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PRINCIPIOS MATEMÁTICOS
PARA CIENCIAS EXÁCTAS
Y TECNOLOGÍA AVANZADA
Tonatiuh Matos
(1)
Petra Wiederhold
(2)
(1) Departamento de F́ısica, Centro de Investigación y de Estudios
Avanzados del IPN, A.P. 14-740, 07000 México D.F., México.
E-mail address, 1: tmatos@fis.cinvestav.mx
URL: http://www.fis.cinvestav.mx/~tmatos
(2) Departamento de Control Automático, Centro de Investigación
y de Estudios Avanzados del IPN, A.P. 14-740, 07000 México D.F.,
México.
E-mail address, 2: biene@ctrl.cinvestav.mx
A nuestra pasión:
Ursula y Tiuh
1991 Mathematics Subject Classification. Curso de Matemáticas
Abstract. Curso de Matemáticas para estudiantes de ciencias exáctas y tec-
noloǵıa avanzada.
Contents
1. Prefacio vi
2. Nomenclatura viii
Part 1. PRELIMINARES 1
3. Conjuntos 2
4. Mapeos 4
5. Producto Cartesiano y Relaciones 8
6. Operaciones 11
7. El Conjunto Ordenado ℜ 12
Part 2. ÁLGEBRA 17
Chapter 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS 19
1. Grupos y Semigrupos 19
2. Homomorfismos 21
3. Subgrupos y Grupos cociente 22
4. Anillos y Campos 24
5. Ideales y Anillos Cociente 26
Chapter 2. ESPACIOS VECTORIALES 29
1. El Espacio Vectorial ℜn 29
2. Definición de Espacio Vectorial 30
3. Subespacios Vectoriales 31
4. Homomorfismos 32
5. Independencia Lineal y Bases 34
6. Transformaciones Lineales 37
7. Álgebras 38
Chapter 3. MATRICES 41
1. Mapeos Lineales y Matrices 41
2. Isomorfismos 43
3. Ecuaciones Lineales 47
4. Transpuesta e Inversa de Matrices 49
Chapter 4. DETERMINANTES 53
1. Definición 53
2. Matrices Similares 57
3. Invariantes de Matrices Similares (Vectores y Valores Propios) 58
Chapter 5. FORMAS CANONICAS 63
iii
iv CONTENTS
1. Introducción 63
2. Forma Canónica de Jordan 69
3. Forma Canónica Natural 73
Part 3. VARIABLE COMPLEJA 77
Chapter 6. EL PLANO COMPLEJO 79
1. Los Números Complejos 79
2. Funciones en el Plano Complejo 80
3. La Derivada en el Plano Complejo 84
4. Funciones Armónicas 88
5. La Integral en el Plano Complejo 90
6. La Integral de Cauchy 98
Chapter 7. SERIES 103
1. Series en el Plano Complejo 103
2. Series de Taylor en el Plano Complejo 105
3. Series de Laurent 107
4. Polos y Residuos 111
5. Evaluación de Integrales 118
Chapter 8. GEOMETRIA DEL PLANO COMPLEJO 125
1. Transformaciones Conformes 125
2. Superficies de Riemann 130
Part 4. ANALISIS 133
Chapter 9. ESPACIOS MÉTRICOS Y UNITARIOS 135
1. Estructuras sobre ℜ y ℜn 135
2. Espacios Métricos. 140
3. Espacios Normados 145
4. Espacios Euclideanos. 150
5. Espacios Unitarios 153
Chapter 10. ESPACIOS DE HILBERT Y BANACH 157
1. Sistemas Ortonormales Completos. 157
2. Operadores Adjuntos. 164
Chapter 11. ESPACIOS CON MEDIDA 173
1. Medida 173
2. Integración en espacios con Medida 177
3. Espacios Lp 181
4. Desarrollo de Fourier en L2 183
5. Funciones Especiales 184
Part 5. ECUACIONES DIFERENCIALES 191
Chapter 12. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 193
1. Métodos de Solución 193
2. Transformadas Integrales 199
3. Método de Series 204
CONTENTS v
Chapter 13. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 209
1. Métodos de Solución 209
2. Separación de Variables 210
3. Método de series de Fourier 220
4. Funciones de Green 221
Part 6. TOPOLOGÍA 227
Chapter 14. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 229
1. Definición y Ejemplos 229
2. Cerradura, Interior y Frontera 233
3. Funciones Continuas 238
4. Topoloǵıa cociente 241
5. Espacios Compactos 243
6. Espacios Conexos 248
Chapter 15. VARIEDADES DIFERENCIALES 251
1. Variedades 251
2. Funciones suaves 256
3. Vectores Tangentes. 258
4. Uno formas 260
Chapter 16. TENSORES Y P-FORMAS 273
1. Tensores 273
2. p-Formas 278
3. Diferenciación e integración en variedades 279
4. Derivada de Lie y Derivada Covariante 293
5. El Tensor Métrico y el Tensor de Curvatura 300
Chapter 17. HACES FIBRADOS 311
1. Haces 311
2. Espacios G 313
3. Haces Fibrados Principales 315
4. Haces Vectoriales 319
Chapter 18. GRUPOS DE LIE 323
1. Campos Invariantes por la Izquierda 323
2. La Función Exponencial 326
3. La representación Adjunta y la Forma de Maurer Cartan. 328
4. Representación de Grupos y Algebras de Lie 332
Part 7. APLICACIONES 335
Chapter 19. APLICACIONES 337
1. Ecuaciones Quirales 337
2. Geometrización de Teorias de Norma 344
Chapter 20. Indice Analitico 353
vi CONTENTS
1. Prefacio
Este trabajo es el resultado de la impartición durante 20 años de las materias
de Matemáticas y de Métodos Matemáticos en los Departamentos de F́ısica, de
Ingenieŕıa Eléctrica y de Control Automático del Centro de Investigación y de Es-
tudios Avanzados del IPN (Cinvestav), aśı como en el Instituto de F́ısica y Matemá
ticas de la Universidad Michoacana, en México. También se ha impartido parte del
material, incluyendo la parte de topoloǵıa en cursos especiales de geometŕıa difer-
encial en las anteriores instituciones y en el Astronomisch-Physikalisches Institut de
la Friederich-Schiller-Universitët de Jena, Alemania, en el Institut fër Theoretische
Physik, de la Technische Universitë Wien y en el Departament of Physics of the
University of British Columbia, en Vancouver, Canada. El temario es básicamente
el correspondiente al de la mayoŕıa de las instituciones donde se imparte la carrera
de F́ısica y Tecnoloǵıa avanzada en México, como son el CINVESTAV, la UNAM
o la UAM, la Universidad Michoacana, la Veracruzana, etc. y estoy seguro que en
otros páıses de Ispanoamérica. Este material tiene como objetivo suplir la terrible
deficiencia de no haber un curso en español, que corresponda a los temarios de las
instituciones de habla ispana, hablado en lenguage espa nol.
El objetivo del libro es multiple. El principal es dar al estudiante la idea
fundamental de lo que son las matemáticas: las matemáticas son la herramienta
que nos ayuda a pensar. Es por eso que el objetivo de estos cursos no ha sido
informativo, sino mas bien formativo. Con estos cursos nosotros pretendemos que
el estudiante adquiera una formación mı́nima de matemáticas para la investigación
en las ciencias y las ingenieŕıas. El avance de las ciencias naturales y de la ingenieŕıa
hace cada vez mas necesario que el estudiante no solo aprenda a calcular en las
ramas de las matemáticas que se utilizan en su campo, sino que aprenda a utilizar
los teoremas y los resultados emanados de la matemática en toda su connotación.
Es por eso que el libro inicia con definiciones muy elementales, pero necesarias
para entender el resto del material. Sin embargo, el libro no esta pensado para
que el estudiante se convierta en matemático profesional. Esta es la razón por la
que para los teoremas que nosotros consideramos demasiado largos de demostrar,
no se incluye su demostración, solo se enuncian sus postulados con sus premisas
y se utilizan. El libro no pretende ser un compendio completo de matemáticas,
ni siquiera de las matemá ticas que se utilizan en alguna rama en especial. Cada
caṕıtulo de este libro podŕıa extenderse a ser un libro gigante de cada tema. Ese
no es el objetivo del libro. Mas bien pretende introducir al estudiante a cada
tema, para que cuando necesite de éste, pueda recurrir a libros especializados del
tema particular, pero pueda entender este libro especializado con un mı́nimo de
dificultad. Los temas tocados por el libro son los temas básicos t́ıpicos de un curso
de matemáticas: Álgebra, Análisis, Variable Compleja, Ecuaciones Diferenciales
y Topoloǵıa, que son los tópicos mı́nimos que un matemático debeŕıa dominar.
Esta experiencia en la enseñanza de las matemáticas es la que se utiliza en este
libro, para que el estudiante adquiera un mı́nimo de formación en matemáticas
para su investigación en ciencias o en ingenieŕıa. La parte de topoloǵıa diferencial
o variedades diferenciales se agrega, ya que esta área de las matemáticas se ha
convertido en una excelente herramienta para la mecánica clásica, la mecánica
cuántica, la termodinámica, el control automático, entre otras ramas de la ciencia
y la tecnoloǵıa.
1. PREFACIO vii
La compresión de este librorequiere de cursos previos de matemáticas. El
material aqúı contenido esta pensado para tres semestres de mas o menos 40 horas
de los cursos avanzados en las carreras de ciencias o para las maestŕıas en ciencias
e ingenieŕıas. El último tema, topoloǵıa, podŕıa ser un curso optativo en algunas
de estas maestŕıas.
Las matemáticas son por lo general sencillas. Toda la dificultad de entenderlas
radica en el hecho de cómo estudiarlas. A diferencia de otras materias de la escuela,
el aprendizaje de las matemáticas es un proceso lineal, no se puede entender un
material si no se ha comprendido y estudiado con cuidado todo el material ante-
rior. Generalmente, la razón por la que las matemáticas se dificultan es porque
no entendemos un concepto y generalmente este no-entendimiento viene porque
no entendimos algún concepto anterior. Generalmente no nos damos cuenta de
esto. Nosotros recomendamos leer la introducción de este libro con mucho cuidado.
Parecerá que todo es fácil, hasta trivial. Pero las bases firmes ayudaran al es-
tudiante a comprender el resto del material. Nosotros hemos optado por dar las
ideas claras con toda su abstracción, estamos seguros que a la larga este método
facilita mucho el entendimiento de las matemáticas, en vez de dar conceptos in-
tuitivos. Nuestra experiencia es que la acumulación de conceptos intuitivos crea
lagunas de conocimiento cada vez más grandes y por lo tanto a una incomprensión
de las matemáticas cada vez mayor. También hemos evitado mucho material que a
nuestro parecer se deriva fácilmente del material estudiado aqúı. Por eso pensamos
que el material contenido en este libro es el mı́nimo necesario para entender una
gran cantidad de temas matemáticos, de ninguna forma el material es completo.
Es preferible que el estudiante este preparado para aprender más a futuro a que un
estudiante “lo sepa todo” de un tema dado. La profundidad de su conocimiento en
algún tema estará determinado más bien por las necesidades de su investigación.
Es muy común que en los cursos de matemáticas se toquen temas con mucha pro-
fundidad que en nuestras investigaciones nunca necesitamos.
La necesidad de que los estudiantes de ciencias e ingenieŕıa tengan una for-
mación mı́nima en matemáticas es cada vez mas imperiosa. Vivimos la revolución
cient́ıfico-tecnológica y estos cambios tan vertiginosos en nuestro medio, en nues-
tras vidas requieren de una preparación más profunda y más especializada, pero
sin perder de vista lo general. Es por eso que el libro pretende reducir cada tema
de las matemáticas al mı́nimo, pero dando una panorámica general de los temas de
mayor importancia de las matemáticas que nos ayudaran en nuestras investigaciones
cient́ıficas y tecnológicas, es decir, tocando los temas básicos que nos ayudaran a
pensar.
Queremos agradecer a todos los estudiantes que nos hicieron el favor de leer el
texto y pasarnos correcciones y sugerencias que ayudaron notablemente a mejorar el
texto. Especialmente queremos agradecer a Nayeli Azusena Rodŕıguez Briones y a
Alberto Vázquez por las correcciones que amablemente nos hicieron llegar, muchas
gracias a todos.
México D.F., 2008
Tonatiuh Matos y Petra Wiederhold
viii CONTENTS
2. Nomenclatura
2.1. Conjuntos.
Definición 0.1. .
La unión de A con B : A ∪B
La interseccion entre A y B : A ∩B
Conjunto vacio φ
A es subconjunto de B: A ⊂ B
El complemento del conjunto A: Ac
La diferencia entre A y B : A \B
El conjunto potencia de A: P(A)
2.2. Mapeos.
Definición 0.2. .
Mapeo o función f de E en F : f : E → F
Dominio de definición de f : Df
Dominio de valores de f : Vf
Composición de mapeos: (g ◦ f)(x) = g(f(x))
Mapeo inverso: f−1
Imagen del conjunto X : f(X)
Imagen inversa: f−1(Y )
2.3. Producto Cartesiano y Relaciones.
Definición 0.3. .
Producto cartesiano: A×B
Relación entre dos conjuntos: (a, b) ∈ R o aRb o a ∼ b
Clase de equivalencia de x : [x]
El conjunto de todas las clases de equivalencia: E
Conjunto cociente: E =E / ∼
Operación binaria: ϕ : E × E ⇀ E
Ejemplo 0.4. ϕ(x, y) = x+y, ϕ(x, y) = x ·y, ϕ(x, y) = x−y, x, y ∈ E,
etc.
2.4. Conjuntos Especiales.
Definición 0.5. .
Los números Naturales: N
Los números Enteros: Z
Los números Racionales: Q
Los números Reales: ℜ
Los números Complejos: C
2.5. En los reales ℜ.
Definición 0.6. .
Conjunto parcialmente ordenado: (A,≤)
Los Reales positivos: ℜ+ = {x ∈ ℜ : x > 0}
Los Reales negativos: ℜ− = {x ∈ ℜ : x < 0}.
El mı́nimo de A: minA
El máximo de A: maxA
El supremo de x: supx
El ı́nfimo de x: inf x
2. NOMENCLATURA ix
2.6. Álgebra.
Definición 0.7. .
Grupo o Semigrupo: (A, ·)
Grupo Cociente: E/H
Anillo: (A,+, ·)
Espacio Vectorial: (K,V,+, ·) o simplemente V
Álgebra: (A,+, ·, ◦)
Espacios isomofos: V1
∼= V2
Subespacios: V1 ⊂sub V1
Cerradura lineal de X : L(X)
Linealmente independiente: l.i.
La Dimensión de V : dim V = n
El conjunto de las Transformaciones lineales o mapeos lineales: L(V1, V2) :=
Hom(V1, V2)
El nucleo de f : ker f
El Rango de f : Rgf := dim f(V1)
2.7. Matrices.
Definición 0.8. .
La transpuesta de A: AT
El Rango de A : RgA
La inversa de una matriz A : A−1
La matriz identidad: I =


1 0
. . .
0 1


El determinante de A : detA
La Traza de la matriz A: TrA
Delta de Kronecker: δkj = (I)ij
Matriz caracteristica de A: A− λI
Polinomio carateriztico de A: det (A− λI)
Ecuación caracteristica de A: det (A− λI) = 0.
Matrix polinomial: U(λ)
2.8. Variable Compleja.
Definición 0.9. .
Parte Real de z: Re(z)
Parte imaginaria: Im(z)
Módulo de z: |z|
Complejo conjugado: z̄
Ĺımite de f : limz→z1 f(z) = z2
La derivada de f en z: df
dz
Función armónica: ∇2u = 0
2.9. Espacios Unitarios y Métricos.
Definición 0.10. .
Espacio Euclidiano o Espacio Unitario: (E, (·, ·))
Espacio normado: (E, ‖ · ‖)
Norma de x: ‖ x ‖
x CONTENTS
x es perpendicular u ortogonal a y: x ⊥ y
Complemento ortogonal de H: H⊥
Espacio métrico: (X, ρ)
Distancia entre x y y: ρ (x, y)
Bola de centro x ∈ X y radio r > 0 : Br (x)
Una sucesión: (xn) o xn
Convergencia de una sucesión: lim
n→∞
xn = x o xn → x
Definición 0.11. .
El conjunto de funciones continuas en [a, b] : C ([a, b])
El espacio de polinomios definidos en [a, b] : Pn ([a, b])
Conjunto de las funciones trigonométricas: T ([−π, π])
Polinomio de grado n: pn o pn(x).
Polinomios de Legendre: Pn o Pn(x)
Polinomios de Bessel Jn
Polinomios de Hermite: Hn o Hn(x)
Polinomios de Laguerre: Ln
Polinomios de Tchebichef de primera clase: Tn
Polinomios de Tchebichef de segunda clase: Un
Polinomios de Jacobi: P ν,µn
Polinomios de Gegenbauer: Cλn
El espacio de las funciones periodicas en [a, b] : Fp ([a, b])
Espacio Pseudo-Euclidiano o Espacio de Lorentz: L
Grupo de isometrias del espacio métrico (X, ρ) : Iso (X, ρ)
2.10. Espacios de Hilbert y Banach.
Definición 0.12. Sistema ortonormal: {xi}i∈I
Serie de Fourier:
∑
iǫI (x, xi) xi
Operador adjunto de A: A∗
Operador hermitiano de A: A†
2.11. Espacios con Medida.
Definición 0.13. Álgebra o Álgebra-σ sobre Ω: F
Conjuntos de Borel: E
Espacio Medible: (Ω,F)
Medida: µ o m
Espacio con Medida: (Ω,F , µ)
Medida de Dirac: δx
Función indicadora: χA
2.12. Ecuaciones Diferenciales.
Definición 0.14. .
La ecuación del oscilador armónico y′′ + ω2y = 0.
Ecuación diferencial de Legendre:(
1− x2
)
d2
dx2Pn − 2x d
dxPn + n (n+ 1)Pn = 0
Ecuación diferencial de Bessel: x2 d2
dx2Jn + x d
dxJn +
(
x2 − n2
)
Jn = 0
Ecuación diferencial de Hermite: d2
dx2Hn − 2x d
dxHn + 2nHn = 0
Ecuación diferencial de Laguerre: x d2
dx2Ln + (1− x) d
dxLn + nLn = 0
2. NOMENCLATURA xi
La transformada integral: F (s) = (eq, xs).
La transformada de Fourier: xk = exp(ikx)
La transformada de Laplace: xs = exp(as)
La convolución de f con g: f ∗ g =
∫∞
−∞ f(u)g(x− u)du
2.13. Operadores Diferenciales y Coordenadas.
Definición 0.15. .
Operador Nabla: ∇ =
(
∂
∂x ,
∂
∂y ,
∂
∂z
)
Operador Laplaciano: ∇2
Operador d’Alabertiano: � = ∇2 − v2∂2/∂t2
Elemento de linea: dr = (dx, dy, dz) = dx ex + dy ey + dz ez
Coordenadasesfericas
x = r sin(θ) cos(ϕ), y = r sin(θ) sin(ϕ), z = r cos(θ)
dr = dr er + rdθ eθ + r sin (θ) dϕ eϕ
∇ =
(
∂
∂r
,
1
r
∂
∂θ
,
1
r sin (θ)
∂
∂ϕ
)
∇ ·A =
1
r2
∂
(
r2Ar
)
∂r
+
1
r sin(θ)
∂ (sin(θ)Aθ)
∂θ
+
1
r sin(θ)
∂Aϕ
∂ϕ
∇2 =
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2 sin(θ)
∂
∂θ
(
sin(θ)
∂
∂θ
)
+
1
r2 sin2(θ)
∂2
∂ϕ2
Coordenadas cilindricas
x = ρ cos(ϕ), y = ρ sin(ϕ), z = z
dr = dρ eρ + ρdϕ eϕ + dz ez
∇ =
(
∂
∂ρ
,
1
ρ
∂
∂ϕ
,
∂
∂z
)
∇ ·A =
1
ρ
∂ (ρAρ)
∂ρ
+
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
∂Aρ
∂z
∇2 =
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2
∂ϕ2
+
∂2
∂z2
Coordenadas nulas ξ = x+ vt y η = x− vt
Función de Green G(x,y)
Delta de Dirac δ (x)
La ecuación de onda �u = ∇2u− v2 ∂2u
∂t2 = ρ(x, y, z)
La ecuación de Difusión ∂u
∂t = ∇ · (D∇u)
La ecuación de Poisson ∇2u = ρ(x, y, z)
2.14. Topoloǵıa.
Definición 0.16. .
Topoloǵıa de X: τX
Una Vecindad de x: Ux
Una Cubierta: U
El ĺımite: xi ⇀ x o limxi = x.
La topoloǵıa relativa o inducida: τA
La clausura de A: A
xii CONTENTS
El interior de A: Å
La frontera de A: ∂A
El conjunto de funciones continuas: Map(X,Y ) = C0(X,Y )
Las proyecciones de X × Y : Πx
La inclusión de A en X: i : A →֒ X
Espacios topológicos homeomorfos: X
hom∼ Y
El grupo de automorfismos: (Aut(X), ◦)
Camino o trayectoria: c
Reparametrización de c: ϕ∗(c)
2.15. Variedades Diferenciales.
Definición 0.17. .
Variedad real de dimensión n: (Mn, τMN )
Carta sobre Mn: cα = (Uα, ψα, Vα)
Dominio de la carta: Uα
Sistema de coordenadas sobre Uα: (Uα, ψα)
Parametrización de Uα:
(
ψ−1
α , Vα
)
Imagen de la carta cα: Vα = ψα (Uα)
i-ésima función coordenada sobre ℜn: ri
i-ésima función coordenada del sistema de coordenadas xiα := ri ◦ ψα
Funciones de transición: ψαβ := ψβ ◦ ψ−1
α
Funciones suaves sobre Mn: C∞ (Mn,ℜ)
Funciones suaves en la vecindad de x: C∞ (Mn, x,ℜ)
Imagen rećıproca o “Full-back” de F : F ∗
Variedades difeomórficas: Mm
dif∼= Nn
Espacio tangente en x: TxM
n
Vector en TxM
n: ∂
∂xi
∣∣
x
tal que ∂
∂xi
∣∣
x
(f) := ∂
∂ri
(
f ◦ ψ−1
)∣∣
ψ(x)
Base coordenada de TxM
n:
{
∂
∂xi
∣∣
x
}
i=1,··· ,n
2.16. 1-Formas.
Definición 0.18. .
La diferencial de F en x: dFx = Fx∗
Espacio cotangente en x: T ∗
xM
n
Campos vectoriales en Mn: TMn
1-formas en Mn: T ∗Mn
Producto ó paréntesis de Lie: [X,Y ]
ϕ-relacionados: dϕx(Xx) = Yϕ(x)
X ϕ-invariante o invariante bajo ϕ : X ◦ϕ∗ = ϕ∗ ◦X , o dϕx(Xx) = Xϕ(x)
Imagen reciproca o “pull-back”: F ∗
y
Part 1
PRELIMINARES
3. Conjuntos
Toda construcción matemática inicia con elementos básicos fundamentales, ax-
iomas y postulados que se aceptan de antemano. Estos elementos son la base de
toda la estructura matemática que vamos a construir aqúı. Para nosotros, la base
de nuestra construcción van a ser los conjuntos y suponemos que el lector está
familiarizado con los conceptos básicos de la teoŕıa de conjuntos. Sin embargo,
para especificar la notación que usaremos a lo largo del libro, vamos a recordar
algunos conceptos básicos, sin detenernos mucho en ellos. Nombramos, por lo gen-
eral, conjuntos mediante letras mayúsculas y elementos mediante letras minúsculas.
Recordamos que si A y B son conjuntos, entonces:
* a ∈ A denota que el elemento a pertenece al conjunto A;
* a 6∈ A denota que el elemento a no pertenece al conjunto A;
* El conjunto A ∪B = {a | a ∈ A o a ∈ B} es la unión de A y B;
* El conjunto A ∩B = {a | a ∈ A y a ∈ B} es la intersección de A y B;
* φ denota el conjunto vacio, el conjunto que no tiene ningún elemento;
* A ⊂ B, al igual que A j B, denotan que el conjunto A es subconjunto del
conjunto B, lo cual significa que para cualquier elemento x ∈ A implica que x ∈ B;
* A ⊂ B puede también denotar que A j B, con A 6= B, es decir, A es un
subconjunto propio de B;
* A y B son iguales, A = B, siempre cuando A ⊂ B y B ⊂ A;
* Sea E el conjunto que denota el conjunto universo, es decir, el conjunto
de todos los elementos existentes (o de interés). Entonces, para cualquier conjunto
A (siendo entonces un subconjunto de E), Ac = {x ∈ E | x 6∈ A} es el conjunto
complementario (o conjunto complemento) de A;
* El conjunto A \B = {x ∈ A | x 6∈ B} es el conjunto diferencia entre A y
B.
* El conjunto P(A) = {B | B ⊂ A} es el conjnto de todos los subconjuntos
de A, y se le llama el conjunto potencia de A.
Cuando se trabaja con conjuntos es siempre muy útil la representación de los
conjuntos mediante los Diagramas de Venn, vean por ejemplo la figura 1. Cada
conjunto se representa por una figura en el plano, por ejemplo un ćırculo o una
elipse, entendiendo que los elementos del conjunto quedan representados por puntos
pertenecientes a la figura. Por ejemplo, el caso de dos conjuntos que se intersectan
se refleja entonces por el hecho de que las figuras correspondientes tienen puntos en
común. A continuación vamos a resumir algunas de las reglas fundamentales para
trabajar con conjuntos.
Proposición 0.19. Sean E un conjunto universo, y A, B, C subconjuntos de
E. Entonces vale lo siguiente:
1) Ec = φ, φc = E,
2) (Ac)c = A,
3) A ∪Ac = E, A ∩Ac = φ,
4) A ∩A = A, A ∪A = A,
5) A ∪ E = E, A ∩ E = A,
6) A ∪ φ = A, A ∩ φ = φ,
7) A ∩B = B ∩A, A ∪B = B ∪A,
8) (A ∪B)c = Ac ∩Bc,
9) (A ∩B)c = Ac ∪Bc.
10) A ∪ (B ∩A) = A, A ∩ (B ∪A) = A.
3. CONJUNTOS 3
Figure 1. Diagramas de Venn para la unión A
⋃
B, la inter-
sección A
⋂
B, el complemento Ac y la resta de conjuntos A \ B.
Estos diagramas son muy utilizados para explicar gráficamente las
propiedades de conjuntos.
11) Si A ∪B = E y A ∩B = φ , entonces A = Bc y B = Ac.
12) (A \B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C).
Todas estas propiedades establecen igualdades entre conjuntos. Las propiedades
8) y 9) son llamadas las Reglas de Morgan. Por lo general hay diferentes formas
de proceder para demuestran proposiciones con conjuntos. Por ejemplo, si M y N
son conjuntos, para demostrar que M = N , tenemos dos posibilidades:
1. Demostrar que M y N tienen exactamente los mismos elementos, es decir,
mostrar que x ∈M śı y sólo śı x ∈ N ;
2. O, usando el hecho que M = N śı y sólo śı A ⊂ B y B ⊂ A, hacer la
demostración en dos pasos: Primero se muestra que x ∈ M implica que x ∈ N , y
después se muestra que x ∈ N implica que x ∈M .
Ejemplo 0.20. Demostremos, por ejemplo, la regla de Morgan (A ∪ B)c =
Ac ∩Bc:
Sea x ∈ (A ∪ B)c. Eso significa que x 6∈ (A ∪ B), aśı que, es falso el hecho
que x ∈ A o x ∈ B. Por lo tanto, x 6∈ A y x 6∈ B, es decir, x ∈ Ac ∩ Bc,
lo cual demuestra que (A ∪ B)c ⊂ Ac ∩ Bc. Para mostrar la inclusión contraria,
Ac ∩Bc ⊂ (A ∪B)c, tomemos un elemento x ∈ Ac ∩Bc, eso significa que x 6∈ A y
a la vez x 6∈ B, lo cual implica que x 6∈ A ∪B, aśı que, x ∈ (A ∪B)c, completando
la demostración.
Ejercicio 0.21. Demuestre, con todo detalle, la proposición 0.19.
4
4. Mapeos
Los mapeos son la estructura matemática que asocia elementos entre conjuntos.
Vamos a definir los mapeos porque los vamos a utilizar intensivamente durante todo
el texto y porque el concepto del mapeo es fundamental en matemáticas. En la
literatura se usan como conceptos sinónimos al de mapeo también aplicación o
función. La definición de mapeo es la siguiente:
Definición 0.22. Sean E y F conjuntos. Un mapeo o función f de E en F
(denotado por f : E → F ),asocia a cada elemento de E, un único elemento de F .
Vean la figura 2.
Figure 2. Representación gráfica de un mapeo. Este mapeo va
del conjunto E al conjunto F y asocia a cada elemento de E un
único elemento de F . Si salieran dos flechas de E o algún elemento
de E no tuviera flecha, entonces f no seŕıa mapeo.
Notación 0.23. f también se puede ver como un conjunto de pares ordenados
(a, b), donde a ∈ E y b ∈ F , o como el subconjunto f = {(a, b) | a ∈ E y b ∈ F}
que cumple siempre que cuando (a, b) ∈ f y (a, b′) ∈ f se sigue que b = b′. Como
es bien sabido, en lugar de (a, b) ∈ f se usa también la notación f(a) = b.
Ejemplo 0.24. Sea f : ℜ → ℜ tal que para cada x ∈ ℜ se asocie x → x2, es
decir, la función será, a cada número real le asociamos su cuadrado,tenemos la
función f(x) = x2. Sin embargo, la asociación contraria f : ℜ+→ ℜ tal que para
cada x ∈ ℜ se asocie su ráız cuadrada f(x) =
√
x, no es un mapeo, ya que a cada
número real le estamos asociando dos números (ya no es único), la ráız positiva
y la ráız negativa. Para que f sea mapeo hay que especificar cuál ráız es la que
asociamos, por ejemplo: f(x) = +
√
x.
Definición 0.25. Sea f : E → F una función.
· El conjunto Df = {x ∈ E | existe y ∈ F tal que y = f(x)} se llama el
dominio de definición de f o simplemente dominio de f .
· El conjunto Vf = {y ∈ F | existe x ∈ E con f(x) = y} se llama el dominio
de valores de f o simplemente codominio de f .
4. MAPEOS 5
Ejemplo 0.26. Para el mapeo f(x) = x2, el dominio es el conjunto de los
números reales y el codominio es el conjunto de los números reales positivos unión
el cero.
Ejemplo 0.27. Para el mapeo f(x) = +
√
x (asignación del resultado positivo
solamante), el dominio y el codominio son los números reales no negativos.
Definición 0.28. Una función f : E → F se llama
· suryectiva ó sobre si Vf = F , esto es, si para todo y ∈ F existe x tal que
f(x) = y;
· inyectiva ó 1-1 si para todo x, y ∈ Df vale que f(x) = f(y) implica x = y;
· biyectiva si f es 1-1 y sobre.
Para los ejemplos que siguen vamos a necesitar la siguiente notaci’on.
Notación 0.29. Al conjunto de los reales positivos lo denotamos como ℜ+ =
{x ∈ ℜ : x > 0} y al de los reales negativos como ℜ− = {x ∈ ℜ : x < 0}.
Ejemplo 0.30. La función f : ℜ→ ℜ+ tal que f(x) = x2 es sobre, pues, para
todo x ∈ ℜ+, su raiz cuadrada es un número real cuyo cuadrado es igual a x. Sin
embargo, la función f : ℜ→ ℜ tal que f(x) = x2 no es sobre, pues, para todo
x ∈ ℜ−, no existe un número real cuyo cuadrado es igual a x < 0. Este mapeo no
es 1-1, ya que por ejemplo f(2) = f(−2).
Ejemplo 0.31. La función f : ℜ+→ ℜ, x → x2 (f(x) = x2, con x ∈ ℜ+) es
una función cuyo dominio de definición es ℜ+, su dominio de valores también es
ℜ+. Análogamente, la función f : ℜ+→ ℜ+ es 1-1 y sobre, aśı que es una biyección.
Existe una serie de operaciones muy importantes entre funciones. Como ver-
emos mas adelante, estas operaciones en algunos casos tienen estructuras, ya sea
algebraica o topológica, que hacen muy rico el trabajo matemático con mapeos.
A continuación repasamos algúnas operaciones con funciones, las cuales son de
importancia en el trabajo matemático con ellas.
a) Restricción de mapeos
Definición 0.32. Si f : A→ B y g : A→ B son mapeos, entonces g se llama
la restricción de f si Dg ⊂ Df y g(x) = f(x) para toda x ∈ Dg.
b) Composición de mapeos
Definición 0.33. Sean f : E ⇀ F y g : F ⇀ G mapeos tales que Vf ⊆ Dg. El
mapeo (g ◦ f) : E ⇀ G. definido por (g ◦ f)(x) = g(f(x)) para x ∈ Df , se llama la
composición o la concatenación de f y g. Ver figura 3.
Observen que la concatenación es una operación asociativa entre mapeos, es
decir, para mapeos g, f, h, (g ◦ f)◦h = g ◦ (f ◦h). Es claro que la misma operación,
en general, no es conmutativa, veamos un ejemplo:
Ejemplo 0.34. Sean f y g funciones reales (es decir, de los reales a los reales)
tales que f(x) = x+ 1 y g(x) = x2. Entonces f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1.
Por otro lado g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x+ 1) = (x+ 1)2, que es claramente diferente
a x2 + 1. Es decir, f y g no conmutan con la operación ◦
Otra operación de mucha importancia entre funciones biyectivas es el mapeo
inverso. Hay que tomar en cuenta que esta operación sólo vale entre funciones
biyectivas y no en general. Veamos su definición:
c) Mapeo inverso
6
Figure 3. Composición de funciones. Aqúı se ve la composición
de la función f con g, o sea g(f(a)). El elemento a de E es mapeado
al elemento g(f(a)) de G, pasando por F .
Definición 0.35. Sea f : E → F un mapeo 1-1 y sobre. Un mapeo f−1 :
F ⇀ E definido por f−1(y) = x śı y sólo śı f(x) = y, con y ∈ Vf y x ∈ Df , se
llama mapeo inverso de f . Ver figura 4.
Figure 4. El mapeo inverso mapea un elemento f(a) de F , en
un elemento a de E, tal que si f(a) = b, se tiene que f−1(b) = a.
Para que f este bien definida, la función tiene que ser biyectiva.
Observemos que si f−1 es el mapeo inverso de f , entonces Df−1 = Vf y Vf−1 =
Df .
Notación 0.36. Una función con inversa también se llama invertible o no
singular.
Ejemplo 0.37. La función f : ℜ → ℜ, con f(x) = x2 no tiene inverso, porque
el mapeo f−1(x2) tiene asociados dos elementos, x y −x, por lo que f−1 no es
función (f no es 1-1). Sin embargo, la función f : ℜ+→ ℜ+ con f(x) = x2 tiene
como inverso a f−1(x) = +
√
x.
4. MAPEOS 7
Ejercicio 0.38. Sean f : E → F y g : F → G mapeos invertibles tales que
Vf ⊆ Dg. Demuestre que entonces el mapeo g ◦ f es un mapeo 1-1 de E en G , y
(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
d) Imagen de un conjunto bajo una función
Ahora vamos a definir la forma en que no sólo un elemento, sino todo un
conjunto de elementos puede ser proyectado o mapeado por una función. Primero
vamos a definir la forma directa, es decir, cómo se mapea un conjunto del dominio
al codominio. La definición es la siguiente:
Definición 0.39. Sea f = E ⇀ F una función y X ⊆ Df . El conjunto
f(X) = {f(x) | x ∈ X} se llama la imagen del conjunto X bajo f.
Es claro que f(X) = {y ∈ F | existe x ∈ X tal que f(x) = y}, aśı que,
la imagen del conjunto X bajo f es un subconjunto del codominio de la función.
Si el codominio de la función coincide con la imagen de su dominio de definición,
entonces la función es sobre.
e) Imagen inversa de un conjunto bajo una función
De la misma forma ahora podemos ver cúal es el conjunto correspondiente en
el dominio, de un conjunto del codominio. A este conjunto se le llama la imagen
inversa y es importante señalar que la imagen inversa existe independientemente
de que la función tenga o no inversa. Formalmente la definición es:
Definición 0.40. Sea f : E ⇀ F una función y Y ⊂ F. El conjunto f−1(Y ) =
{x ∈ Df | f(x) ∈ Y } se llama la imagen inversa del conjunto Y bajo f .
Observen que la imagen inversa se define para funciones sin exigir que estas
sean 1-1, aśı que, la definición de la imagen inversa, de entrada, no necesariamente
está relacionada con la definición del mapeo inverso. La imagen inversa existe
sin importar si la función tiene o no inversa. A continuación se resumen algunas
propiedades importantes de la imagen y de la imagen inversa de conjuntos.
Lema 0.41. Sea f : E ⇀ F una función, X1 y X2 subconjuntos de Df , y Y1
y Y2 subconjuntos de F . Entonces:
1) f(X1 ∪X2) = f(X1) ∪ f(X2)
2) f(X1 ∩X2) j f(X1) ∩ f(X2)
3) f−1(Y1 ∪ Y2) = f−1(Y1) ∪ f−1(Y2)
4) f−1(Y1 ∩ Y2) = f−1(Y1) ∩ f−1(Y2)
En la segunda propiedad, en general vale solamente la desigualdad, como mues-
tra el siguiente ejemplo:
Ejemplo 0.42. Considerese los conjuntos X = {a, b, c, d}, Y = {d, e, h, g},
M = {l,m, n, o} , y un mapeo f : X ∪ Y ⇀ M dado por
f = {(a, l), (b, l), (c,m), (d, l), (e, n), (h,m), (g, o)}.
Tenemos f(X) = {l,m} , f(Y ) = M , aśı que f(X) ∩ f(Y ) = {l,m}, pero
f(X ∩ Y ) = f({d}) = {l} lo cual es un subconjunto propio de {l,m}.
Ejercicio 0.43. Demuestre, con todo detalle, las propiedades del lema 0.41.
Ejercicio 0.44. Sea f : A → B tal que x → f(x) = 1/x. Diga si f es mapeo
para
1) A = ℜ, B = ℜ, donde ℜ son los números reales.
2) A = ℜ\{0}, B = ℜ,
8
3) A = ℜ, B = ℜ\{0},
4) A = ℜ\{0}, B = ℜ\{0},
5) A = ℜ, B = ℜ ∪ {zapato},
6) A = ℜ, B = S1, donde S1 es el ćırculo.
5. Producto Cartesiano y Relaciones
En esta sección vamos a estudiar el producto cartesiano entre dos o más conjun-
tos. Este concepto es importante porque es la base para definir dimensión, espacios
vectoriales, etc. Con este concepto también vamos a definir relación y relación de
equivalencia, la cual será usada multiples veces en lo que sigue e incluso, se puede
dar una definición alternativa de funición. Entonces la definición de producto carte-
siano es como sigue:
Definición 0.45. Si E1, E2, ..., En son conjuntos, entonces el producto carte-
siano n-ésimo de estosconjuntos se define como el conjunto de todas las n-uplas
(ordenadas) (e1, e2, ..., en) donde para cada i ∈ {1, ..., n}, ei es un elemento del
conjunto Ei, es decir:
E1 × E2 × ...× En = {(e1, e2, ..., en) | e1 ∈ E1, . . . , ei ∈ Ei, . . . , en ∈ En}
Ejemplo 0.46. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto
de pares ordenados de elementos de A y B:
A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B},
Alternativamente, un mapeo puede entenderse también como un producto
cartesiano de dos conjuntos desde las primeras entradas representan el dominion
de la función y la segunda entrada el codominio. Un caso especial del producto
cartesiano es cuando todos los conjuntos son iguales, E = E1 = E2 = · · · = En.
Entonces, el producto cartesiano E × E × · · · × E se denota por En, y se nombra
la potencia n-ésima del conjunto E : En = {(e1, e2, ..., en) | ei ∈ E}.
Ejemplo 0.47. El Espacio Vectorial Euclidiano ℜn es un ejemplo bien conocido
de la potencia de un conjunto, ℜn = ℜ× · · · × ℜ = {(a1, . . . , an) | ai ∈ ℜ para todo
i ∈ {1, . . . , n}}. En particular, tenemos el Plano Euclidiano ℜ2 = ℜ×ℜ = {(a, b) |
a, b ∈ ℜ}.
Partiendo ahora del concepto de producto cartesiano podemos definir el im-
portante concepto de relación, el cual es básico para el álgebra. Una relación es
básicamente un subconjunto del producto cartesiano, formalmente se define como:
Definición 0.48. Sean E1, . . . , En, conjuntos y E = E1 × E2 × · · · × En el
conjunto cartesiano de estos. Una relación sobre E es un subconjunto de E.
En particular, si todos los conjuntos E son los mismos, para un conjunto E =
E×E×...×E, cualquier subconjunto de la potencia n-ésima de E se llama relación
n-ária sobre E. Ver figura 5.
El caso más importante es el caso n = 2, la relación se llama entonces relación
binaria sobre E. Si denotamos la relación por R, entonces R ⊂ E ×E, aśı que R
es un conjunto de pares ordenadas (a, b) con a, b ∈ E. En lugar de (a, b) ∈ R se
usa también la notación aRb o, se usa un śımbolo apropiado, por ejemplo a ∼ b o
a ≤ b o a ‖ b o a ≡ b.
5. PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES 9
Figure 5. Una relación es representada aqúı de dos formas.
La relación representada es una relación entre números que esta
dada por (0,2), (1,1), (2,0), (2,2), (3,4), (6, 6), (7,6), (7,8), (7,9).
Obsérvese que a diferencia de los mapeos, una relación es muy
general y no guarda reglas especiales.
Notación 0.49. En lo que sigue vamos a denotar una relación indistintamente
como R o ∼. Aśı, a está relacionado con b, se denota como aRb o a ∼ b.
Ejemplo 0.50. Tomemos el conjunto R de los reales y sean a, b ∈ R. Decimos
que a y b estan relacionados a ∼ b si a es menor que b. En vez de a ∼ b escribimos
a < b y a ∼ lo denotamos por <.
Por otro lado, existe una clasificación de las relaciones dada por sus propiedades.
Esta clasificación es:
Definición 0.51. Una relación binaria R sobre un conjunto E se llama
· reflexiva si (x, x) ∈ R , para todo x ∈ E;
· antireflexiva si no existe x ∈ E tal que (x, x) ∈ R ;
· simétrica si, para x, y ∈ E, (x, y) ∈ R implica (y, x) ∈ R ;
· antisimétrica si, para x, y ∈ E, cuando (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R entonces
se sigue x = y ;
· transitiva si, para x, y, z ∈ E, cuando (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces se
sigue (x, z) ∈ R ;
· relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplo 0.52. La relación en R dada por <, no es reflexiva, ya que un número
no puede ser menor a si mismo, esto es, < es antireflexiva. Tampoco es simétrica,
ya que si a < b, se sigue que b no puede ser menor que a. < no puede ser anti-
simétrica porque no es antireflexiva, pero ≤ si es antisimétrica. < y ≤ son transi-
tivas.
10
Las relaciones de equivalencia tienen una gran importancia, debido a que dan
lugar a una descomposición del conjunto en donde se definen en clases. Esta descom-
posición separa los conjuntos en subconjuntos disjuntos dando aśı una clasificación
natural del conjunto con esta propiedad. Es por eso que las clases de equivalencia
son muy importantes en matemáticas. Por ejemplo, esta descomposición es la base
de la construcción de estructuras cocientes. Veamos esto en la siguiente definición.
Definición 0.53. Sea ∼ una relación de equivalencia sobre E. Para x ∈ E, la
clase de equivalencia de x se define como [x] = {y ∈ E | x ∼ y}. El conjunto E
de todas las clases de equivalencia se llama el conjunto cociente de E, el cual se
denota también por E/ ∼, vean la figura 6:
Figure 6. Una relación de equivalencia separa los conjuntos en
subconjuntos disjuntos, sólo relacionados por la relación de equiv-
alencia. Es una manera de clasificar conjuntos en sus partes.
E = E/ ∼= {[x] | x ∈ E} = {{y ∈ E | y ∼ x} | x ∈ E}
Debido a la reflexividad de una relación de equivalencia ∼ sobre E, la clase
[x] es un conjunto no vaćıo pues contiene a x. Es evidente que toda clase [x] es
un subconjunto de E. Por lo tanto, la unión de todas las clases de equivalencia
es igual al conjunto E. Aplicando la simetŕıa de ∼, es claro que, para x, y ∈ E,
x ∼ y implica que tanto x ∈ [y] como también y ∈ [x]. Tomando en cuenta además
la transitividad de la relación, es fácil deducir que [x] = [y] śı y sólo śı x ∼ y.
Observese también que clases distintas de equivalencia son disjuntas entre śı, en
resumen podemos escribir esto en el siguente lema.
Lema 0.54. Si ∼ es una relación de equivalencia sobre E, y [x] es la clase de
equivalencia de x, para x ∈ E, entonces
a) x ∈ [x];
b) x ∼ y śı y sólo śı [x] = [y] , para x, y ∈ E;
c) si [x] 6= [y] entonces [x] ∩ [y] = φ, para x, y ∈ E.
6. OPERACIONES 11
Como consecuencia de estas propiedades, el conjunto cociente E/ ∼ es una
descomposición del conjunto E, es decir, E/ ∼= {[x] | x ∈ E} es un conjunto de
subconjuntos de E, los cuales son disjuntos por parejas y cuya unión es igual a E.
Ejercicio 0.55. Demuestra con detalle el lema 0.54.
Ejemplo 0.56. Sea x, y ∈ Z , el conjunto de los números enteros, y sea ∼5
la relación dada por x ∼5 y si x/5 y y/5 tienen el mismo residuo, formalmente
si existen representaciones x = k · 5 − r , y = l · 5 − r, con números enteros
k y l ( r es el residuo). Tenemos por ejemplo 0 ∼5 5 ∼5 10 ∼5 20 ∼5 −15;
3 ∼5 13 ∼5 −2 ∼5 23 ∼5 588. Es fácil ver que ∼5 es una relación de equivalencia.
Entonces, cada clase de equivalencia de esta relación tiene una forma [r] = {x | x/5
deja el residuo r}, lo cual es el conjunto de todos los números enteros representables
como k·5r, para algún número entero apropiado k. Resulta que solamente hay cinco
clases de equivalencia, dadas por [0], [1], [2], [3], [4]. En particular, la clase [0] es el
conjunto de todos los números enteros que son multiples de 5.
6. Operaciones
El álgebra abstracta se basa en propiedades de operaciones entre los elementos
de un conjunto. Por eso, aqúı repasamos y formalizamos conceptos elementales
relacionados con operaciones.
Definición 0.57. Sea E un conjunto. Una operación (binaria) sobre E es
un mapeo ϕ : E × E ⇀ E, con Dϕ = E × E.
Notación 0.58. Para denotar una operación, usualmente se usa un śımbolo
apropiado, por ejemplo +,×, ·, −.
Las operaciónes son clasificadas segun sus propiedades. Estas propiedades son
fundamentales y definen muchas veces a la operación misma. Según las propiedades
de las operaciones se van a definir las estructuras algebraicas. Estas propiedades
son:
Definición 0.59. Una operación ϕ se llama
· Asociativa si ϕ(ϕ(a, b), c) = ϕ(a, ϕ(b, c)), a, b, c ∈ E
· Conmutativa si ϕ(a, b) = ϕ(b, a) a, b ∈ E
· Con elemento neutro si existe e ∈ E tal que ϕ(a, e) = ϕ(e, a) = a para
toda a ∈ E
· Invertible por la izquierda si para todo b, c ∈ E, existe a ∈ E tal que
ϕ(a, b) = c
· Invertible por la derecha si para todo b, c ∈ E, existe a ∈ E tal que
ϕ(b, a) = c
Ejemplo 0.60. Tomemos de nuevo los números reales ℜ. La operación + :
ℜ× ℜ → ℜ, con +(a, b) = a+ b, es tal que para todo a, b, c ∈ ℜ, se tiene que +:
· Es Asociativa ya que +(+(a, b), c) = +(a+ b, c) = (a+ b) + c = a+ (b+ c) =ϕ(a, ϕ(b, c)), a, b, c ∈ E
· Es Conmutativa ya que +(a, b) = +(b, a)
· Existe 0, elemento neutro tal que +(a, 0) = +(0, a) = a
· Es Invertible por la izquierda y por la izquierda ya que existe siempre un
número tal que +(a, b) = +(b, a) = c
12
Comentario 0.61. .
a) Cada operación binaria, tiene maximalmente un elemento neutro. Para
demostrar esto, supongamos que ϕ tiene dos elementos neutros e1 y e2. Entonces
ϕ(e1, e2) = e1 y ϕ(e2, e1) = e2, pero debido a que e1 y e2 son neutros, se obtiene
e1 = e2.
b) Otra manera de entender que significa que ϕ es invertible por la izquierda
es la siguiente. Sean b, c ∈ E y consideremos a x como una incognita. Entonces ϕ
es invertible por la izquierda si la ecuación ϕ(x, b) = c siempre se puede resolver.
En particular esto sucede para el caso especial c = e (para el neutro de ϕ), aśı que
para cualquier b ∈ E, existe a ∈ E tal que ϕ(a, b) = e. Al elemento a se le llama el
elemento inverso izquierdo de b.
c) Análogamente, ϕ es invertible por la derecha significa que la ecuación ϕ(b, x) =
c, con b, c ∈ E para una incognita x, siempre se puede resolver. O sea, existe a ∈ E
tal que ϕ(b, a) = e. A este elemento a se le llama el elemento inverso derecho de b.
Si la operación es invertible (por la izquierda en este caso), implica que existe
x = b−1 que cumple con esta identidad. b−1 es la expresión que se acostumbra para
denotar el inverso de b.
7. El Conjunto Ordenado ℜ
En esta sección veremos a los números reales como un conjunto ordenado, el
orden en estos números es de suma importancia, por eso que les dedicamos una
sección especial. Los números reales son conjuntos ordenados y las operaciones en
ℜ se “portan bien” con respecto al orden. Para comenzar, daremos la definición de
qué significa ordenado. Es un concepto que utilizamos mucho, pero necesita una
definición formal. Veamos esto:
Definición 0.62. Si A es un conjunto y ≤ es una relación binaria, reflexiva,
antisimétrica y transitiva sobre A, entonces ≤ se llama orden parcial sobre A, y
(A,≤) se llama conjunto parcialmente ordenado.
Como vemos, esta definición se puede aplicar a cualquier conjunto no necesari-
amente de números, el orden parcial es un concepto muy general. En los números
naturales, enteros, racionales, y reales, con su orden parcial ≤ en ℜ definido por
x ≤ y śı y sólo śı existe k ∈ ℜ, k ≥ 0 tal que x + k = y, todos los números estan
ralacionados entre si, es decir, para cualesquiera dos números x, y , o vale x ≤ y o
bien y ≤ x.
Definición 0.63. Un orden parcial sobre A se llama orden (lineal) si para
todo a, b ∈ A se sigue a ≤ b o b ≤ a.
Notación 0.64. Para efectuar cálculos en (ℜ,+, ·,≤), usaremos la notación:
x < y śı y sólo śı x ≤ y y x 6= y.
Comentario 0.65. Obsevemos que ℜ+ ∪ ℜ− ∪ {0} es una descomposición de
ℜ.
Comentario 0.66. N ⊂ ℜ+ y ℜ+ es cerrado bajo las dos operaciones de
(ℜ,+, ·).
Lema 0.67. Para todo a, b, c ∈ ℜ, a ≤ b implica a+ c ≤ b+ c , y a ≤ b y c ≥ 0
implica que a ·c ≤ b ·c. (“Monotońıa” de + y ·; por eso (ℜ,+, ·,≤) se llama campo
ordenado.)
7. EL CONJUNTO ORDENADO ℜ 13
Ejercicio 0.68. Demostrar el lema anterior.
Ejercicio 0.69. Demostrar para a, b, c ∈ ℜ:
a) a ≤ b, c ≤ d implica a+ c ≤ b+ d (adición de desigualdades);
b) 0 ≤ a ≤ b, 0 ≤ c ≤ d implica a · c ≤ b · d (multiplicación de desigualdades);
c) a ≤ b implica −a ≥ −b;
d) a 6= 0 implica a2 > 0.
Aplicando estas sencillas leyes de cálculo y el principio de inducción completa,
se pueden demostrar muchas formulas que valen para los números naturales o
reales. Vamos a ver un ejemplo representativo para recordar el uso de la inducción
matemática.
Ejemplo 0.70. Demostramos que, para todo número natural n vale
(0.1)
n∑
i=1
= 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = 1/2 · n · (n+ 1).
Vamos a demostrarlo por inducción matemática.
Primer paso: demostramos que la fórmula es verdad para n = 1 (inicio de la
inducción): Pues claro,
∑1
i=1 = 1, y por el otro lado 1/2 · 1 · 2 = 1, 1 = 1.
Segundo paso: Suponemos que la fórmula es verdadera para n = k (hipótesis
de inducción) y asumimos ahora n = k + 1. Hay que demostrar que la fórmula
es verdad para este n (demostración de la inducción), aplicando la hipótesis de
inducción.
Entonces tenemos la hipótesis
∑k
i=1 i = 1/2 · k · (k + 1), y
k+1∑
i=1
i =
k∑
i=1
i+ (k + 1) por la hipótesis
= 1/2 · k · (k + 1) + (k + 1)
= (k + 1)(
1
2
k + 1) =
1
2
(k + 1)(k + 2),
lo cual completa la demostración.
Ejercicio 0.71. Demostrar por inducción que:
a) para todo n ∈ N y x ∈ ℜ, x > −1, (1 + x)n ≥ 1 + nx ( desigualdad de
Bernoulli);
b) para todo n ∈ N y x, a ∈ ℜ, 0 ≤ a ≤ 1, (1 + a)n ≤ 1 + (2n − 1)a.
En un conjunto ordenado es posible definir un elemento que es mayor a todos o
un elemento que es menor a todos. Estos conceptos son los que definen el máximo
y el mı́nimo. Su definición formal es:
Definición 0.72. Sea a ∈ A, A ⊂ (ℜ,≤). Se define el mı́nimo y el máximo
de A como
a = minA śı y sólo śı a ≤ b para todo b ∈ A,
a = maxA śı y sólo śı b ≤ a para todo b ∈ A.
Lema 0.73. Para cualquier A ⊂ ℜ, si minA [maxA] existe, entonces es único.
Demostración 0.74. Suponemos a = minA, y que existe a′ ∈ A tal que
a′ = minA. Entonces a ≤ b para toda b ∈ A y a′ ≤ b para toda b ∈ A, en particular
a, a′ ∈ A, aśı que a ≤ a′ y a′ ≤ a, lo cual implica por la antisimetŕıa de ≤ que
a = a′. �
14
Notación 0.75. Recordamos la notación de intervalos en ℜ: si a, b ∈ ℜ, en-
tonces
[a, b] = {x ∈ ℜ | a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ ℜ | a < x < b},
[a, b) = {x ∈ ℜ | a ≤ x < b},
(a, b] = {x ∈ ℜ | a < x ≤ b}.
Además se define usualmente
[a,∞) = {x ∈ ℜ | a ≤ x},
(a,∞) = {x ∈ ℜ | a < x},
(−∞, b) = {x ∈ ℜ | x < b},
(−∞, b] = {x ∈ ℜ | x ≤ b}.
Notemos que ∞ es un śımbolo que en éste caso significa muy grande, más
grande de lo que yo necesito, más grande de lo que yo quiero, tan grande como sea
necesario. Pero ∞ es sólo eso, un śımbolo, no es un número que pertenezca a los
reales.
Ejercicio 0.76. Determinar (si existen) los mı́nimos y máximos de los seguientes
subconjuntos de ℜ:
M1 = [−230, 500),
M2 = M1 ∩ Z,
M3 = (−∞, 0] ∪ [3, 4] ∪ (45, 2000],
M4 = (0,
√
2] ∩ Z,
M5 = [0,
√
2) ∩ Z,
M6 = [0,
√
2] ∩ Z,
M7 = (0,
√
2) ∩ Z,
M8 = [−1,∞).
Otros conceptos importantes en un conjunto ordenado son el de cota supe-
rior y el de cota inferior. Estos conceptos están intimamente relacionados con los
anteriores de máximo y mı́nimo. Su definición formal es:
Definición 0.77. Sea S ⊂ ℜ, S 6= φ y x ∈ ℜ.
x se llama cota superior de S si y ≤ x par toda y ∈ S.
x se llama cota inferior de S si y ≥ x para toda y ∈ S.
S se llama acotado por arriba [por abajo] si S tiene cota superior [inferior].
S se llama acotado si S tiene cota inferior y cota superior.
Notación 0.78. Denotamos OS = {x ∈ ℜ | x es cota superior de S}, US =
{x ∈ ℜ | x es cota inferior de S}.
Resumen 0.79. De una forma análoga a la definición de cota superior y cota
inferior, también podemos definir, supremo e ı́nfimo del conjunto S, y denotarlos
como supS y inf S, los cuales se definen como:
x = supS śı y sólo śı x ∈ ℜ tal que y ≤ x para toda y ∈ S, y además, para
todo z ∈ OS (es decir, z ∈ ℜ tal que s ≤ z para toda s ∈ S) se sigue x ≤ z.
x = inf S śı y sólo śı x ∈ ℜ tal que y ≥ x para toda y ∈ S, y además, para todo
z ∈ US (es decir, z ∈ ℜ tal que s ≥ z para toda s ∈ S) se sigue x ≥ z.
Comentario 0.80. Algunas observaciones sobre este tema nos ayudaran a
ordenar conceptos:
- Cotas superiores e inferiores pueden no existir
7. EL CONJUNTO ORDENADO ℜ 15
- Aunque supS y inf S existen, pueden no pertenecer a S
- Si maxS [minS] existe, entonces existe supS [inf S] y supS = maxS ∈ S
[inf S = minS ∈ S].
Ejercicio 0.81. Investigar si los siguientes conjuntos tienen cotas superi-
ores/inferiores, y si los tienen decir cuáles son y determinar, si existen, supremos
e infimos:
C1 = [1,∞),
C2 = (1,∞),
C3 = { 1
n | n ∈ N}.
Ejercicio 0.82. Demuestrar que, si S ⊂ ℜ y p es una cota superior de S tal
que p ∈ S, entonces p = supS.
Part 2
ÁLGEBRA
CHAPTER1
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS
La primera parte de nuestro estudio esta dedicada a las estructuras algebraicas.
En esta parte vamos a iniciar agregandole a los conjuntos operaciones. Primero una,
luego dos y aśı, varias operaciones. Cuando estas operaciones tienen determinadas
propiedades, estos conjuntos con operaciones definidas en el conjunto reciben difer-
entes nombres. Vamos a iniciar con la estructura más simple, un conjunto más una
operación, llamada semigrupo. Como esta estructura es tan pobre, (pero impor-
tante), la siguiente será una estructura con una operación, pero con inverso y un
elemento especial, llamado identidad. A esta estructura se le llama grupo. De esta
forma, los conjuntos se van enriqueciendo con operaciones formando estructruas
cada vez más ricas e interesantes. Luego agregaremos dos, tres y más operaciones,
aunque aqúı sólo nos limitaremos a las estructuras más conocidas y las más usadas
en las ciencias exactas y en la ingenieŕıa.
1. Grupos y Semigrupos
Los grupos han adquirido suma importancia en muchos campos de aplicación
de las matemáticas. En f́ısica y qúımica la estructura de grupo es fundamental
tanto para entender las simetŕıas en teoŕıas de campo, en teoŕıas de part́ıculas
elementales, como para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Los grupos
son estructuras básicas de las matemáticas. Vamos a iniciar con la definición de
semigrupo para a partir de esta definición, dar la definición de grupo.
Un grupo es un conjunto provisto de una operación con ciertas propiedades,
las cuales generalizan de forma abstracta operaciones que nos son familiares desde
niños para calcular con números. Antes de definir un grupo, consideramos entonces
un concepto todav́ıa más simple, el de semigrupo:
Definición 1.1. Un semigrupo es un conjunto E provisto de una operación
binaria asociativa · sobre E, se donota por (E, ·).
El hecho que · es una operación binaria sobre E significa que, siempre cuando
a, b ∈ A, entonces a · b ∈ A. Veamos unos ejemplos:
Ejemplo 1.2. Sea A = {f : A ⇀ A} el conjunto de todos los mapeos del
conjunto A en śı mismo, y consideramos la operación ◦ de composición (concate-
nación) entre mapeos, entonces (A, ◦) es un semigrupo. Observamos que (A, ◦)
además tiene un elemento especial: un elemento neutro, el mapeo identidad IA
definido por IA(x) = x para todo x ∈ A, pues, definitivamente IA ◦ f = f◦ IA para
cualquier f ∈ A.
Notación 1.3. Si un semigrupo E tiene un elemento identidad, es decir, si
tiene un elemento e ∈ E tal que e · a = a para todo a ∈ E, el semigrupo se llama
monoide.
19
20 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS
Ejemplo 1.4. Sea A un conjunto arbitrario (por ejemplo, de ”letras y cifras”).
Una secuencia finita de elementos de A la llamamos una palabra sobre A, es decir,
una palabra tiene la forma (a1, a2, a3, ..., an), con n ≥ 1, n natural, ai ∈ A para
todo i. El número n es llamado longitud de la palabra. Adicionalmente se considera
la palabra vaćıa, denotada por φ y definida como la secuencia de longitud cero (la
cual no contiene ningún elemento). Entonces el conjunto de palabras sobre A está
dado por E = {(ai)ni=1, n ∈ N, ai ∈ A para toda i = 1, ..., n} ∪ {φ}. Definimos
ahora la adición de palabras como:
(a1, a2, a3, ..., ak) + (b1, b2, b3, ..., bl) = (a1, a2, a3, ..., ak, b1, b2, b3, ..., bl)
Es evidente que (E,+) es un semigrupo, llamado el semigrupo de las palabras, el
cual tiene importancia básica en teoŕıas de la computación. La adición + aqui
definidida es claramente no conmutativa y tiene un elemento neutro: la palabra
vaćıa.
Con esto ya estamos listos para la definición de grupo.
Definición 1.5. Un grupo (E, ·) es un semigrupo con elemento neutro y ele-
mentos inversos, es decir:
1) (E, ·) es semigrupo
2) Existe e ∈ E tal que e · a = a
3) Para todo a ∈ E existe x ∈ E tal que x · a = e. A x se le denota por a−1.
Notación 1.6. En caso de que la operación · sea además conmutativa, (E, ·)
se llama grupo Abeliano o grupo conmutativo.
Antes de considerar unos ejemplos de grupos, observamos los siguientes detalles
y propiedades elementales:
Comentario 1.7. Sea E grupo y a ∈ E. Según la definición, existe x ∈ E tal
que x·a = e, es decir, x es un “inverso por la izquierda” de a. Pero x·a·x = e·x = x.
Por otro lado, existe y ∈ E tal que y · x = e. Eso significa (y · x)a · x = y · x, en
consecuencia e · a · x = e, entonces a · x = e , es decir, x es a la vez ”inverso por
la derecha” de a. El elemento x se llama inverso de a y se denota por a−1.
Comentario 1.8. En un grupo:
* Para cada a ∈ E existe a−1 ∈ E tal que a−1 ·a = a ·a−1 = e, lo cual significa
que las ecuaciones x · a = e y a · x = e, con a ∈ E, x incognita, siempre se pueden
resolver.
* Para cada a ∈ E, su inverso a−1 es determinado de manera única.
* El elemento neutro también es determinado de manera única. Además, según
la definición, el neutro primero es un ”neutro por la izquierda”. Sin embargo, con
e · a = a tenemos también a · e = a · (a−1 · a) = (a · a−1) · a = e · a = a, aśı que, e
es a la vez un neutro ”por la derecha”. En consecuencia:
* Para toda a ∈ E, se tiene que e · a = a · e = a.
* Para a, b, c ∈ E, a · c = b · c implica que a = b, lo cual es fácil de deducir.
* Para a, b ∈ E, (a · b)−1 = b−1 · a−1 , puesto que (b−1 · a−1) · (a · b) =
b−1 · (a−1 · a) · b = e.
Ahora analizamos unos ejemplos :
Ejemplo 1.9. (Z,+) el conjunto de los números enteros con la suma ordinaria,
es un grupo abeliano. Su neutro es el número 0; para cada entero a, su inverso es
2. HOMOMORFISMOS 21
el número −a. Asimismo, los números racionales Q, los reales R, y los complejos
C, cada uno con la suma ordinaria, son grupos abelianos.
Ejemplo 1.10. (Z, ·), el conjunto de los enteros con el producto ordinario, es
un semigrupo conmutativo, cuyo neutro es el número 1. Sin embargo, no es un
grupo, puesto que para cualquier entero a diferente de 1, su inverso multiplicativo
seŕıa el número a−1 = 1
a , el cual no es entero y el 0 no tiene inverso.
Ejemplo 1.11. El conjunto Q de los racionales, igualmente como el de los
reales R y el de los complejos C, con el producto ordinario ·, son semigrupos
conmutativos con el neutro 1, pero no son grupos. Eso se debe a que el número 0,
el cual es el neutro aditivo, no tiene inverso multiplicativo, puesto que 1
0 no es un
número. Por otro lado, es evidentemente que (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) y (C \ {0}, ·)
son grupos abelianos.
Ejemplo 1.12. Sea A un conjunto y F = {f : A ⇀ A, biyectiva}, el conjunto
de los mapeos biyectivos de A en śı mismo. Entonces (F , ◦) con la operación de
la composición, es un grupo, en general este grupo no es abeliano. El neutro de
este grupo (su unidad) es el mapeo identico IA : A ⇀ A definido por IA(x) = x
para toda x ∈ A. El elemento inverso para cada f ∈ F es el mapeo inverso f−1,
cuya existencia está asegurada para cualquier biyección. (F , ◦) se llama el grupo
de permutaciones del conjunto A, cada f ∈ F es llamado una permutación de A.
Ejercicio 1.13. .
1) Demuestre que Z2 = ({1,−1}, ·) es un grupo.
2) Sea el conjunto A = {a, b, c}. Defina un producto + en A de tal forma que
(A,+) sea un grupo.
3) ¿Se puede definir + de tal forma que (A,+) sea abeliano?
Ejercicio 1.14. Sea O(n) = {O | O es matriz n × n con OT = O−1}. De-
muestre que este conjunto es un grupo con la multiplicación de matrices.
Ejercicio 1.15. Sea el conjunto SU(2) = {U | U es matriz 2 × 2 compleja
U =
(
a b
c d
)
, con d = a∗ y c = −b∗ }, donde * significa complejo conjugado.
Demuestre que SU(2) es un grupo con el producto entre matrices. Observe que
detU = 1.
2. Homomorfismos
Las estructuras algebraicas suelen tener semejanzas entre ellas. Estas semejan-
zas se representan en matemáticas utilizando el concepto de mapeos muy epeciales
llamados morfismo. Los morfismos nos sirven para relacionar conjuntos con estruc-
turas entre śı, de tal forma que con estos morfismo, uno puede estudiar propiedades
de algún conjunto usando otro, en dondeestas propiedades sean más simples de
entender. En esta sección daremos sólo la definición de estos morfismos para grupos.
Definición 1.16. Sean (E, ·) y (F, ·) grupos y f : E ⇀ F . f se llama homo-
morfismo si f(a · b) = f(a) · f(b) para toda a, b ∈ E
Un homomorfismo se llama
· monomorfismo si f es mapeo 1− 1
· epimorfismo si f es mapeo sobre
· isomorfismo si f es biyectiva
· automorfismo de E si f es isomofismo y f : E ⇀ E.
22 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS
Ejemplo 1.17. Sea el conjunto Z2 = {k0, k1} con el producto + definido por
k0 + k0 = k0, k0 + k1 = k1, k1 + k0 = k1 y k1 + k1 = k0. Es fácil ver que (Z2,+) es
un grupo. Ahora tomemos la función f : Z2 → Z2, tal que f(k0) = 1 y f(k1) = −1.
Entonces se tiene que
f(k0 + k0) = f(k0) = 1 = 1 · 1 = f(k0) · f(k0)
f(k0 + k1) = f(k1) = −1 = 1 · (−1) = f(k0) · f(k1)
f(k1 + k0) = f(k1) = −1 = (−1) · 1 = f(k1) · f(k0)
f(k1 + k1) = f(k0) = 1 = (−1) · (−1) = f(k1) · f(k1)
Por lo que f es un homomorfismo entre los grupos (Z2,+) y (Z2, ·). Además es un
homomorfismo 1-1, por lo que es un monomorfismo, y es sobre, entonces también
es un epimorfismo, por lo que f es un isomorfismo entre estos dos grupos.
3. Subgrupos y Grupos cociente
Los subconjuntos de un conjunto A con estructura de grupo, no necesariamente
son grupos. Eso es fácil verlo, ya que si, por ejemplo, un subconjunto de A no
contiene el neutro o no tiene los inversos de todos los elementos del subconjunto, éste
no será grupo. Sin embargo, si en este subconjunto se tiene también la estructura de
grupo con la misma operación binaria que el original, entonces se sigue la siguiente
definición.
Definición 1.18. Sea A ⊂ B. Se dice que A es un subgrupo de (B, ·) si (A, ·)
también es grupo, si (B, ·) conserva el mismo elemento neutro de (A, ·)
Comentario 1.19. El producto del grupo (A, ·) y (B, ·) podŕıan no ser el
mismo, si no lo especificamos aśı. Sin embargo, en este texto siempre sobre en-
tenderemos que ambos grupos conserven la misma operación binaria.
Notación 1.20. Si el conjunto A es subgrupo del conjunto B, lo vamos a
denotar como A ⊂gr B.
Ahora vamos a introducir un concepto muy importante en los grupos que de-
spues extederemos para los anillos, es el concepto de grupo cociente. Primero vamos
a introducir una ralación de equivalencia en el grupo, con ella, el conjunto se separa
en clases de equivalencia formando el conjunto de las clases. Luego podemos definir
en ciertas ocaciones una operación en el conjunto de las clases y con este fomar de
nuevo un grupo. A este grupo lo llamaremos grupo cociente. Vamos a hacerlo
formalmente.
Definición 1.21. Sea (E, ·) grupo y H subgrupo de E es decir H ⊂gr E y sean
a, b ∈ E. La relación ∼H se define como
a ∼H b⇔ a · b−1 ∈ H
Lema 1.22. ∼H es una relación de equivalencia.
Demostración 1.23. Chequemos que se cumple la definición de relación de
equivalencia.
1) e ∈ H porque H es subgrupo de E. Además si a ∈ H esto implica que
a−1 ∈ H por lo mismo. Se sigue que e ∈ H sii a · a−1 ∈ H, esto implica que
a ∼H a o sea ∼H es reflexiva.
3. SUBGRUPOS Y GRUPOS COCIENTE 23
2) Sean a ∼H b, por definición esto es sii a · b−1 ∈ H. Por ser subgrupo se
sigue que (a · b−1)−1 ∈ H y esto es sii b · a−1 ∈ H, lo que implica que b ∼H a, es
decir ∼H es simétrica.
3) Sean a ∼H b y b ∼H c. Esto implica que a · b−1 ∈ H y b · c−1 ∈ H. Pero H
es cerrado bajo ·, por lo que (a · b−1) · (b · c−1) = a · e · c−1 = a · c−1 ∈ H es decir
a ∼H c, lo que implica que ∼H es transitiva. �
Corolario 1.24. ∼H genera una descomposición de E en clases de equivalen-
cia. Es decir E/ ∼H= {[a] | a ∈ E}.
Notación 1.25. Vamos a denotar a estas clases de equivalencia como: [a] =not
ka y al conjunto de clases de equivalencia como: E/ ∼H=not K = {ka | a ∈ E}
Ejemplo 1.26. Unos ejemplos muy interesantes son los siguientes:
1) ke = {b ∈ E | e ∼H b⇔ e · b−1 = b−1 ∈ H} = H
2) ka = {b ∈ E | a ∼H b⇔ b · a−1 = h ∈ H}
= {b ∈ E | b = ha} = {h · a ∈ E | h ∈ H} =not H · a
donde la última identidad es la notación que usaremos para este conjunto.
Para poder definir una estructura de grupo en el conjunto de las clases, es
necesario que el grupo original tenga una propiedad más. Esta propiedad es la
siguiente.
Definición 1.27. Un subgrupo H ⊂ E tal que a ·H = H · a para toda a ∈ E
se llama subgrupo normal de E.
Observemos primero que si el grupo original es abeliano, entonces todos su
subgrupos son normales. Pero si el grupo no es abeliano, hay que enteder con
cuidado la definición anterior. El hecho de que a ·H = H ·a implica que si tomamos
el elemento a ·h, siendo h ∈ H , tiene que haber algún elemento en h1 ∈ H ·a, donde
h1 no necesariamente es h1 = h ·a, pero tal que a ·h = h1. Y viceversa, si tomamos
h ·a, entonces existe h2 ∈ a ·H tal que h ·a = h2. Si siempre existen estos elementos
h1 y h2 para todo h ∈ H , el grupo es normal. Entonces podemos dar la estructura
de grupo al conjunto K de las clases usando la siguiente definición:
Definición 1.28. Sean ka, kb ∈ K clases de E generadas por ∼H. Se define el
producto
ka ◦ kb = {x · y | x ∈ ka ∈ K, y ∈ kb ∈ K}
como el producto entre clases de equivalencia.
Con este producto se pueden definir a la vez una estructura de grupo en el
conjunto de las clases de equivalencia, usando la siguiente proposición.
Proposición 1.29. Sea E grupo y H un subgrupo normal de E. Sean ka ∈ K
las clases generadas por ∼Hcon a ∈ E. Con el producto ka ◦ kb = ka·b, se sigue que
(E/ ∼H , ◦) es grupo i.e. (K,◦) es un grupo.
Demostración 1.30. Chequemos que se cumple la definición de grupo.
a)ka ◦ kb ⊂ K ya que (H · a) · (H · b) = H · (a ·H) · b = H ·H · a · b = H · a · b
(ya que H ·H = H), se sigue que. ka ◦ kb = ka·b ∈ K
b)(ka ◦ kb) ◦ kc = (H · a ·H · b) ·H · c = H · a · (H · b ·H · c)
c) ke ∈ K y es el neutro del grupo, ya queka ◦ ke = ka·e = ka
d) ka ◦ ka−1 = ka·a−1 = ke �
24 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS
Notación 1.31. Al grupo K se le denota como K = E/H y se le llama el grupo
cociente de E por H.
El siguiente ejemplo nos dará mayor claridad sobre las definiciones anteriores.
Ejemplo 1.32. Sea (Z,+) y H = {2n | n ∈ Z}, el grupo de los enteros pares.
Entonces (H,+) es subgrupo normal de (Z,+). Veamos esto con detalle.
Observemos que la relación ∼H para los elementos a, b ∈ Z es tal que si a ∼H b,
se tiene que a+ (−b) ∈ H, lo cual implica que a− b debe estar en H, es decir, debe
ser par. Pero esto solo pasa si ambos a y b son pares o ambos son impares. Vamos
a definir las clases de equivalencia de los pares y las clases de equivalencia de los
impares en los enteros como:
k0 = {b ∈ Z | b ∼H 0} = H
k1 = {b ∈ Z | b ∼H 1} = {2n+ 1, n ∈ Z}
k2 = H
es decir, K = {k0, k1}. Observemos que con la suma (el producto de grupo)
k0 ⊕ k1 =



⊕ k0 k1
k0 k0 k1
k1 k1 k2 = k0
(K, ⊕) es un grupo. Pero ya habiamos visto en el ejemplo 1.17 que este grupo es
isomorfo a Z2, por lo que Z/H = Z2 = Z/{2n | n ∈ Z}.
Ejercicio 1.33. Construir Z3 = Z/multiplos de 3 y Z4 = Z/multiplos de 4.
4. Anillos y Campos
Otras estructuras algebraicas de mucha importancia son los anillos y los cam-
pos. En esta sección veremos la definición de estos.
Definición 1.34. Sea A conjunto y · ,+ operaciones binarias sobre A es decir
· : A×A ⇀ A y + : A×A ⇀ A.
A la triada (A,+, ·) se le llama anillo si
1) (A,+) es grupo abeliano
2) (A, ·) es semigrupo
3) + y · son distributivos
Comentario 1.35. Expĺıcitamente, un conjunto con las operaciones + y · es
un anillo, si se cumple lo siguiente
1) Para toda a, b ∈ A, a+ b ∈ A es asociativo.
2) Existe e tal que e+ a = a+ e = a para toda a ∈ A.A e también se le llama
el cero de A y se le denota por e = 0
3) Para toda a ∈ A existe −a tal que a+ (−a) = 0
4) a+ b = b+ a para todos a, b ∈ A
5) a, b ∈ A, se sigue que a · b ∈ A, es decir, el producto es asociativo
6) Para toda a, b, c ∈ A se tiene que el producto es distributivo por la izquierda
con la suma, es decir c · (a+ b) = c · a+ c · b
7) Analogamente por la derecha, esto es (a+ b) · c = a · c+ b · c
Ejemplo 1.36. ({0},+, ·) esun anillo trivial
(Z,+, ·) es el anillo de los enteros
(ℜ,+, ·) es el anillo de los reales
4. ANILLOS Y CAMPOS 25
Ejercicio 1.37. Demuestre que (Z,+, ·) y (ℜ,+, ·) son anillos.
Entre más ricas sean las estructuras algebraicas, más propiedades tienen. Ahora
veremos algúnas de las propiedades más interesantes de los anillos.
Sea (A,+, ·) anillo y 0 el neutro de la operación binaria +. Entonces se siguen
los siguientes lemás.
Lema 1.38. Para todo a ∈ A implica que a · 0 = 0 · a = 0
Demostración 1.39. Como a ·0 = a ·(0+0) = a ·0+a ·0, y 0 = −(a ·0)+a ·0 =
−(a · 0) + a · 0 + a · 0, entonces 0 = a · 0 �
Lema 1.40. (−a) · b = −(a · b) y a · (−b) = −(a · b)
Demostración 1.41. Ya que (a · b) + (−a) · b = (a+ (−a)) · b = 0 · b = 0 �
Lema 1.42. (−a) · (−b) = a · b
Demostración 1.43. Análogo. �
Las propiedades anteriores son bien conocidas en los números reales, pero se
cumplen en cualquier anillo. Algunos de los tipos especiales de anillos más usados
en la literatura son los siguientes
Sea (A,+, ·) anillo
Definición 1.44. Un anillo (A,+, ·) se llama:
· Anillo conmutativo, si · es conmutativo
· Anillo con unidad, si A tiene al menos 2 elementos y · tiene elemento
neutro (llamado 1).
· Anillo sin divisores de cero, si A tiene al menos 2 elementos y a 6= 0 y
b 6= 0 implica que a · b 6= 0 para todos a, b ∈ A
· Dominio integral, si A es anillo conmutativo, con unidad, sin divisores de
cero.
· Campo si A es anillo sin divisores de cero cuyo semigrupo multiplicativo
(A\{0}, ·) es grupo abeliano.
· Semicampo si A es anillo sin divisores de cero cuyo semigrupo multiplicativo
(A\{0}, ·) es grupo no abeliano.
Ejercicio 1.45. .
1) Exprese expĺıcitamente todas la propiedades de un campo.
2) Demuestre que (Z,+, ·), (Q,+, ·), (ℜ,+, ·), (C,+, ·), son anillos conmutativos
con unidad sin divisores de cero.
3) Demuestre que (Q,+, ·), (ℜ,+, ·) y (C,+, ·), son campos.
4) Demuestre que ({2n | n ∈ Z},+, ·) es anillo conmutativo sin unidad sin
divisores de cero.
De forma análoga a como definimos subgrupo, se puede definir subanillo.
Definición 1.46. Sea E ⊆ A. (E,+, ·) es un subanillo de A, si E es anillo
con el mismo neutros multiplicativo y aditivo de A.
26 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS
5. Ideales y Anillos Cociente
En una sección anterior definimos los grupos cociente. Análogamente vamos a
definir ahora los anillos cociente y algúnas de sus propiedades más interesantes.
Sean (A,+, ·) anillo y (H,+, ·) un subanillo de A. Claramente se tiene que
(H,+) tiene que ser subgrupo abeliano de (A,+). Pero si (H,+) es abeliano, esto
implica que (H,+) es un subgrupo normal de (A,+). Entonces podemos construir
(A,+)/∼H = A/H = K. Si ka, kb ∈ K, se tiene que
ka ⊕ kb = {m+ n | m ∈ ka, n ∈ kb} = ka+b
Analogamente definimos en el semigrupo (H, ·)
ka ⊙ kb = {m · n | m ∈ ka, n ∈ kb}
= {m · n | m ∈ H + a, n ∈ H + b}
= {(k1 + a) · (k2 + b) = k1 · k2 + k1 · b+ a · k2 + a · b, k1, k2 ∈ H}
Proposición 1.47. Sea (A,+, ·) anillo y H ⊂ A subanillo de A y sean a ∈ A
y h ∈ H. Entonces la triada (A/∼H ,⊕,⊙) es un anillo si a ·h ∈ H y h ·a ∈ H, con
ka ⊕ kb = ka+b
ka ⊙ kb = ka·b = {h+ a · b, h ∈ H} = H + ab
Ejercicio 1.48. Probar la proposición formalmente.
Notación 1.49. Al anillo (A/H,+, ·) se le llama anillo cociente y a H se le
llama un ideal en A.
Ejemplo 1.50. Sea el anillo (Z,+, ·). El conjunto H = ({3n | n ∈ Z},+, ·) es
un ideal de Z. Para ver esto, primero veamos que H es un subanillo de Z :
1) H es cerrado para la suma, ya que 3n+ 3m = 3(n+m) ∈ H.
2) Con inversos, ya que −(3n) = 3(−n) ∈ H.
3) H es cerrado para el producto, ya que 3n · 3m = 3(3nm) ∈ H.
Entonces H es subanillo de Z. Además: + y · son asociativos. El neutro de la
suma es 0 = 3 · 0
Comentario 1.51. (H,+, ·) es anillo conmutativo sin divisores de cero, pero
no tiene unidad, ya que (1 6= 3n).
Ejemplo 1.52. Ahora chequemos que H es ideal. Para ver esto, falta ver que
el producto de un elemento de H con cualquier elemento de Z pertenece a H. Pero
esto es asi, ya que (3n) · m = 3(nm) ∈ H. Entonces Z3 = (Z/H,+, ·) es un
anillo cociente. Ahora veamos como se ve este anillo cociente. Los elementos ka se
pueden escribir como: a, b ∈ Z, a ∼H b ssi a− b ∈ H, es decir ssi a− b es multiplo
de 3 y esto es ssi a y b dejan el mismo resto en sus divisores entre 3, es decir, si
a = 3l1 + r, y b = 3l2 + r. Entonces se tiene que,
k0 = H
k1 = {3n+ 1 | n ∈ Z}
k2 = {3n+ 2 | n ∈ Z}
k3n = k0, k3n+1 = k1, k3n+2 = k2
5. IDEALES Y ANILLOS COCIENTE 27
Si las operaciones entre las clases de equivalencia están dadas por
ka ⊕ kb = ka+b
ka ⊙ kb = ka·b
se tiene entonces que la suma y el producto están dados respectivamente por
ka ⊕ kb =



⊕ k0 k1 k2
k0 k0 k1 k2
k1 k1 k2 k0
k2 k2 k0 k1
y
ka ⊙ kb =



⊙ k0 k1 k2
k0 k0 k0 k0
k1 k0 k1 k2
k2 k0 k2 k1
Por lo que H es un ideal.
Ejercicio 1.53. Respondan sin pruebas explicitas a las siguientes preguntas.
1) ¿Cuáles de los anillos Z2,Z3,Z4 no tienen divisores de cero?
2) ¿Cuáles si tienen división entre cero?
3) ¿Cuáles son campos?
Ejercicio 1.54. Construya explicitamente los ideales de Z4
CHAPTER 2
ESPACIOS VECTORIALES
Los espacios vectoriales son la estructura más rica que vamos a ver aqúı con
detalle. Los espacios vectoriales son tan importantes en f́ısica, qúımica, ingenieŕıa,
etc. que les vamos a dedicar un capitulo completo a ellos solos. Los espacios
vectoriales más conocidos son los que se construyen sobre ℜn. En este caṕıtulo
vamos a repasar estos espacios y despues vamos a generalizarlos a espacio vectoriales
arbitrarios. Estamos suponiendo que el lector esta familiarizado con ℜn, pero para
iniciar el tema, vamos a dar un resumen de sus propiedades más importantes.
1. El Espacio Vectorial ℜn
Resumen 2.1. Recordemos que el espacio vectorial ℜn, o escrito explicitamente
(ℜn, · ,+ ,⊙), es una estructura algebráica, definida sobre los reales, tal que:
X(ℜ,+, ·) es un campo que con la operación + es grupo Abeliano, con neutro
0ℜ y distributividad entre + y ·, y con la operacion ·, (ℜ\{0ℜ}, ·) es grupo Abeliano,
con neutro 1ℜ sin divisores de cero: a 6= 0ℜ, b 6= 0ℜ ⇒ a · b 6= 0ℜ
X(ℜn,+,⊙) es espacio vectorial sobre (ℜ,+, ·) tal que (ℜn,+) son grupos
Abelianos con neutro 0ℜn
X(ℜn,⊙) es un mapeo de ℜ⊙ℜn en ℜn (es un nuevo tipo de multiplicación); ⊙
es distributiva con + y asociativa con ·, es decir, si se tiene que, a, b ∈ ℜ, x,y ∈ ℜn
entonces:
a⊙ (x + y) = (a⊙ x) + (a⊙ y)
(a+ b)⊙ x = (a⊙ x) + (b⊙ x)
(a · b)⊙ x = a⊙ (b⊙ x)
X⊙ tiene neutro representado por 1ℜ y cumple que 1ℜ⊙x = x para todo x ∈ V.
En otras palabras, (ℜn, · ,+ ,⊙) es un espacio vectorial sobre el campo (ℜ,+, ·),
donde para x,y ∈ ℜn, x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) se tiene:
(1) x + y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn),
(2) 0ℜn = (0, 0, · · · , 0),
(3) −(x1, x2, · · · , xn) = (−x1,−x2, · · · ,−xn),
(4) ⊙ es la “multiplicación de escalares con vectores”, para k ∈ ℜ, k ⊙
(x1, x2, · · · , xn) = (k · x1, k · x2, · · · , k · xn).
Otros conceptos importantes a recordar de espacios vectoriales son:
XUn subespacio vectorial H de ℜn es un espacio vectorial tal que H ⊂ ℜn, y
(H, ·,+,⊙) mismo es un espacio vectorial.
XLa interpretación geométrica de un punto en ℜn se suele dar de la forma
siguiente. Un punto x ∈ ℜn es un vector de traslación, determinado por valor y
dirección y representado por una flecha.
XLos Homomorfismos son mapeos lineales entre espacios vectoriales (ℜn, ·,+,⊙)
y (ℜm, ·,+,⊙) sobre el mismo campo ℜ:
29
30 2. ESPACIOS VECTORIALES
XSean (ℜn, ·1,+1,⊙1) y (ℜm, ·1,+2,⊙2) espacios vectoriales y f : ℜn → ℜm
una función entre estos espacios. f se llama homomorfismo si f(x+1 y) = f(x)+2
f(y) y f(a ⊙1 x) = a ⊙2 f(x), para cualesquiera x,y ∈ ℜn, a ∈ ℜ. f se llama
isomorfismo si es homomorfismo y biyección.
XIndependencia y bases en (ℜn,+,⊙) sobre el campo ℜ. Si X ⊂ ℜn, entonces
L(X) = {
m∑
i=1
ai ⊙ xi| ai ∈ ℜ,x1, · · · ,xm elementos distintos de ℜn,m ∈ N}
se llama cerradura lineal de X. L(X) es el subespacio más pequeño deℜn que
contiene a X. X se llama linealmente independiente si para cualesquiera ele-
mentos distintos x1, · · · ,xm de X,
0V =
m∑
i=1
ai ⊙ xi con ai ∈ K implica a1 = a2 = · · · = am = 0K .
X se llama base de ℜn si X es linealmente independiente y L(X) = ℜn.
Cada espacio vectorial ℜn tiene una base y cualesquiera dos bases tienen el
mismo número n de elementos. Este número n se llama dimensión (vectorial)
de ℜn. Por ejemplo dim(ℜn) = n. La base canónica de ℜn es
{(1, 0, · · · , 0, 0), (0, 1, · · · , 0, 0), · · · , (0, 0, · · · , 0, 1, 0), (0, 0, · · · , 0, 1)}
Hasta aqúı hemos recordado las propiedades más importantes de ℜn, en ade-
lante hablaremos de los espacios vectoriales en general.
2. Definición de Espacio Vectorial
Los espacios vectoriales son de las estructuras algebraicas más utilizadas en
todas las ramás de la ciencia. En f́ısica e ingenieŕıa se utilizan intensamente para
modelar el espacio, las funciones periódicas, soluciones de ecuaciones lineales y
diferenciales, los polinomios, etc. Debido a su rica estructura algebraica, los espacios
vectoriales son también muy interesantes para estudiarse desde el punto de vista
matemático puro. En este capitulo estudiaremos los espacios vectoriales y sus
propiedades más importantes. Empecemos entonces con su definición.
Definición 2.2. Sea (K,+, ·) campo y V conjunto. Sean ⊕ : V × V → V y
⊙ : K × V → V operaciones binarias asociativas y distributivas, i.e., se tiene que
para todo a, b ∈ K y x, y ∈ V .
a) (a · b)⊙ x = a⊙ (b⊙ x)
b) (a+ b)⊙ x = (a⊙ x)⊕ (b⊙ x).
c) a⊙ (x⊕ y) = (a⊙ x)⊕ (a⊙ y)
Un espacio vectorial es el ordenamiento (K,V,⊕,⊙) tal que (V,⊕) es grupo
abeliano y la identidad 1K de K es tal que 1K ⊙ x = x para toda x ∈ V .
El ejemplo más conocido y más utilizado por todos es sin duda el espacio
vectorial ℜn. Sin embargo, un caso más general se puede construir con el producto
cartesiano del campo sobre el que se define el espacio vectorial.
Ejemplo 2.3. Sea V = Kn = K ×K × · · · ×K = {(a1, · · · , an) | ai ∈ K para
toda i = 1, · · · , n}. Si x = (a1, · · · , an) y y = (b1, · · · , bn), se pueden definir
la suma ⊕ como x⊕ y = (a1 + b1, · · · , an + bn)
el producto ⊙ como a⊙ x = (a · a1, · · · , a · an)
3. SUBESPACIOS VECTORIALES 31
entonces (V,⊕) es grupo abeliano con neutro 0V = (0, · · · , 0) e inverso (−x) =
(−a1, · · · ,−an).
Uno de los espacios vectoriales más usados y más importantes que se utiliza en
todas las áreas de la ingenieŕıa, f́ısica, matemáticas, etc. son los polinomios. Como
espacios vectoriales estos se pueden definir como seigue.
Ejemplo 2.4. Sea Pn = {a0 + a1x + a2x
2 + · · · + anx
n | ai ∈ K para todo
i = 1, · · · , n} el conjunto de los polinomios sobre el campo K. Si se define la
suma ⊕ entre polinomios x,y ∈ Pn, con x = a0 + a1x + a2x
2 + · · · + anx
n y
y = b0 + b1x+ b2x
2 + · · ·+ bnx
n como:
x⊕ y = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)x
n
el producto ⊙ como
a⊙ x = a · a0 + a · a1x+ · · ·+ a · anxn
entonces (K,Pn,⊕,⊙) es un espacio vectoral.
Notación 2.5. En lo que sigue, generalmente vamos a denotar las operaciones
⊕ y ⊙ en el espacio vectoral, simplemente como + y · respectivemente y al espacio
vectorial simplemente como V .
Ejemplo 2.6. El conjunto de funciones periódicas Fp, con la suma y el producto
de funciones, también es un espacio vectorial.
Ejercicio 2.7. Demuestre con todo detalle que Kn es espacio vectorial.
Ejercicio 2.8. Sea P = {p(x) |polinomio de grado n}. Demuestre que P es
un espacio vectorial con las operaciones estandard entre polinomios.
Ejercicio 2.9. Sea H1 = {h(t) | h(t) = a1 cos(ωt) + a2 cos2(ωt) + · · · +
an cosn(ωt)}. Demuestre que H2 es un espacio vectorial con las operaciones es-
tandard entre polinomios.
Ejercicio 2.10. Sea H2 = {h(t) | h(t) = a1 cos(ωt) + a2 cos(2ωt) + · · · +
an cos(nωt)}. Demuestre que H2 es un espacio vectorial con las operaciones es-
tandard entre polinomios.
3. Subespacios Vectoriales
En la misma forma como hemos definido subgrupos y subanillos, se puede
definir subespacios vectoriales. Este concepto será el tema de esta sección. Su
definición formal es como sigue.
Definición 2.11. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y H ⊆ V.
H es un subespacio Vectorial de V, si H es espacio vectorial con las mismás
operaciones binarias.
Para demostrar que un espacio vectorial es subespacio de otro, afortunadamente
no es necesario probar todas las propiedades de espacio vectorial del subconjunto,
es suficiente con ver que las dos operaciones del subconjunto son cerradas, esto
es debido a que las operaciones ya cumplen con todas las propiedades de espacio
vectorial de entrada. Esta propiedad la enunciaremos como el siguiente lema.
32 2. ESPACIOS VECTORIALES
Lema 2.12. Sea V espacio vectorial sobre un campo K y H ⊆ V . H es sube-
spacio Vectorial de V si
1) Para todos h1, h2 ∈ H implica que h1 + h2 ∈ H
2) Para todos a ∈ K, h ∈ H implica que a · h ∈ H
Demostración 2.13. Se cumplen todas las propiedades de espacio vectorial.
�
Ejemplo 2.14. Sea el plano ℜ2 y H1 = {(a, b) ∈ ℜ2 | b = ma} con m ∈ ℜ
una recta que pasa por el origen. Veamos que una recta que pasa por el origen
es subespacio vectorial del plano. Usemos el lema anterior. Entonces (a1, b1) +
(a2, b2) = (a1 + a2, ma1 + ma2) = (a1 + a2,m(a1 + a2)) ∈ H1. Es decir, es
cerrado para la suma. Por otro lado se tiene que a · (a1, b2) = (a · a1, a · b1) =
(a ·a1, a · (m · a1)) = (a ·a1,m · (a · a1)) ∈ H1, por lo que la recta también es cerrada
para el producto. Entonces esta recta es un subespacio de ℜ2.
Ejemplo 2.15. Sea H2 = {(a, b) ∈ ℜ2 | b = ma + n}, con m,n ∈ ℜ pero
m ·n 6= 0 una recta que no pasa por el origen. ¿Es H2 ⊆ ℜ2 un subespacio vectorial
del plano? Veamos esto, si (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2,m(a1 + a2) + 2n) /∈ H2,
este punto no está en la misma recta. Entonces una recta que no pasa por el origen
no es subespacio vectorial de plano.
Ejemplo 2.16. Sea H3 = {(a, b) ∈ ℜ2 | b = na} ¿Es H1 ∪ H3 ⊆ ℜ2 un
subespacio vectorial del plano? Para ver esto, sean x1 = (a1, b1) ∈ H1 y x2 =
(a2, b2) ∈ H3, entonces se tiene que x1 + x2 = (a1 + a2,ma1 + na2) /∈ H1 ∪ H3,
el cual no está en la unión. Por lo tanto H1 ∪ H3 no es subespacio vectorial del
plano.
Generalmente la unión de espacios vectoriales no siempre es un espacio vecto-
rial, pero la intersección śı, ya que si
1) x,y ∈ H1 ∩H2 esto implica que x,y ∈ H1 y x,y ∈ H2 y esto implica que
x + y ∈ H1 ∩H2
2) a ∈ K y x ∈ H1 ∩H2 esto implica que a · x ∈ H1 y a · x ∈ H2 esto implica
que a · x ∈ H1 ∩H2
Entonces podemos escribir el siguiente
Lema 2.17. La intersección de espacios vectoriales, es espacio vectorial.
Ejercicio 2.18. Digan si el plano P1 = {(x, y, z) | 3x+2y−3z = 0} y el plano
P2 = {(x, y, z) | 3x+ 2y − 3z = 1} son subespacios de ℜ3.
4. Homomorfismos
Los homomorfismos son una herramienta de mucha ayuda en espacios vectori-
ales. Para estudiar las propiedades de espacio vectorial, el espacio ℜn es sin duda
el más estudiado y el más simple. Basta entonces relacionar todos los espacios
homomorfos e isomorfos con el plano n-dimensional para haberlos estudiado todos.
Pero la sorpresa es que todos los espacios vectoriales de la misma dimensión, son
isomorfos. Esta es la razón por cuál el plano n-dimensional es tan interesante. Para
ver esto, iniciemos con la siguiente definición:
Definición 2.19. Sean (V1, ·,+1,⊙1) y (V2, ·,+2,⊙2) espacios vectoriales sobre
K. Un homomorfismo entre V1 y V2 es un mapeo que preserva las operaciones, es
4. HOMOMORFISMOS 33
decir f : V1 ⇀ V2 se llama homomorfismo si
f(x +1 y) = f(x) +2 f(y)
f(a⊙1 x) = a⊙2 f(x) para toda x,y ∈ V1 y a ∈ K
Como siempre, f se llama:
· isomorfismo, si f es homomorfismo y biyección
· automofismo, si f es homomorfismo y V1 = V2
Notación 2.20. Dos espacios vectoriales se llaman isomorfos, si existe
un isomorfismo entre ellos, se escribe V1
∼= V2
Un ejemplo sencillo e ilustrativo usando planos n-dimensionales es el siguiente.
Ejemplo 2.21. Sea V1 = ℜn, y V2 = ℜn+1. El mapeo f : ℜn ⇀ ℜn+1 tal que
f((a1,