ApuntesElectronica

Vista previa del material en texto

Fundamentos de la electrónica
y los semiconductores
Comité editorial de la colección
Fundamentos de la electrónica
y los semiconductores
Juan Antonio Leñero Bardallo
Existe una versión electrónica de este mismo libro
«Esta obra ha superado un proceso de evaluación externa por pares»
Primera edición:
Edita: Editorial UCA
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz
C/ Doctor Marañón, 3 - 11002 Cádiz (España)
www.uca.es/publicaciones
publicaciones@uca.es
©Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz
©Nombre del autor o autores
©De cada capítulo su autor
ISBN:
e-ISBN:
Depósito legal:
Imprime:
Diseño: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz
«Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o
transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de
sus titulares, salvo excepción previsa por ley. Diríjase a CEDRO (Centro
Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar
o escanear algún fragmento de la obra»
A mi esposa, Patricia, por animarme y ayudarme a
escribir este libro
Índice general
1. Introducción a la electrónica 3
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Aplicaciones de la electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Sistemas electrónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Elementos de un circuito electrónico . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Placas de circuitos impresos (PCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Componentes discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Señales analógicas y digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Materiales semiconductores y
diagramas de bandas de energía 15
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Sólidos cristalinos y materiales semiconductores . . . . . . . . . 15
2.3. Números cuánticos y estados
energéticos accesibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Diagrama de bandas de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. El enlace covalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6. Portadores de carga en semiconductores . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Semiconductores en equilibrio
térmico 25
3.1. Introduccción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Densidad de estados en las bandas de valencia y de conducción . 25
3.3. Semiconductores extrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4. Neutralidad de cargas en un semiconductor . . . . . . . . . . . . 30
4. Corrientes de transporte y
difusión en semiconductores 35
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Condiciones de equilibrio térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3. Dependencia entre la movilidad y la temperatura . . . . . . . . . 37
4.4. Densidad de corriente debida a los
flujos de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5. Difusión de portadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6. Densidades globales de portadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7. Campo eléctrico y bandas de energía . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.8. Generación y recombinación de
portadores de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.9. Tiempo medio de vida de portadores
en desequilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.10. Las ecuaciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. El diodo de unión 51
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2. La unión PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3. La unión PN polarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4. Flujos de portadores en la
región de carga espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5. Ecuaciones del diodo en estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6. Campos y potenciales en la unión . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7. Capacidad de la unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.8. Mecanismos de ruptura de las
uniones PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.9. Modelo de pequeña señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.10. El diodo en conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Circuitos con diodos y
aplicaciones 75
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2. Modelos del diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3. Diodo con resistencia serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
x
6.4. Parámetros de interés de
señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5. Circuitos rectificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.6. Circuito rectificador de media onda . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.7. Rectificadores de onda completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.8. Reguladores de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.9. Circuitos limitadores de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7. Amplificación y conmutación 93
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2. Amplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3. Tipos de amplificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4. Parámetros de interés de un amplificador . . . . . . . . . . . . . 95
7.5. Macromodelos del amplificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.6. Decibelios y ganancia de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.7. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.7.1. Tipos de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.8. Implementación de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.8.1. Filtro paso de bajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.8.2. Filtro paso alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.9. Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.10. Modulación PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8. El amplificador operacional 113
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2. Realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3. El amplificador operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3.1. Principio de operación y símbolo . . . . . . . . . . . . . 116
8.3.2. Característica estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.3.3. Resistencia de entrada del amplificador . . . . . . . . . 117
8.3.4. Resistencia de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.3.5. Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.4. Análisis de circuitos con
amplificadores operacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.4.1. Simplificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.4.2. Amplificador no inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
xi
8.4.3. Amplificador inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.4.4. Sumador inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.4.5. Seguidor de tensión o buffer . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.4.6. Convertidor corriente a tensión . . . . . . . . . . . . . . 127
8.4.7. Circuito restador o sumador diferencial . . . . . . . . . 127
8.5. Otros parámetros de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.5.1. Máxima oscilación de la tensión de salida . . . . . . . . 129
8.5.2. Máxima corriente de salida . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.5.3. Slew Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9. El transistor bipolar 135
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.2. Estructura del dispositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3. Gananacia en corriente continua del transistor . . . . . . . . . . 138
9.4. Modelo de Ebers-Moll de gran señal del
transistor bipolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.5. Símbolos eléctricos del transistor bipolar . . . . . . . . . . . . . 143
9.6. Modelo estático del transistor bipolar . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.7. Efecto Early . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.8. Modelos de pequeña señal del
transistor bipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.8.1. Modelo en π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.9. Modelo híbrido con parámetros H . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10. El transistor MOSFET 153
10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.2. El transistor MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3. Estructura del transistor MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4. Principio básico de operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.5. La unión Metal-Óxido-Semiconductor . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.6. Campos y potenciales en la unión
Metal-Óxido-Semiconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.7. Tensión de banda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.8. Acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.9. Deserción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.10.Región de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
xii
10.11. El transistor MOS como dispositivo
de cuatro terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.12. Modulación de la longitud del canal . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.13. El transistor P-MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.14.Modelo de pequeña señal del transistor MOS . . . . . . . . . . . 174
xiii
Prólogo
La obra es un manual de iniciación a la electrónica como disciplina. En los capítu-
los iniciales, se introducen las propiedades de los sólidos cristalinos semiconduc-
tores. A posteriori, se estudian los dispositivos básicos semiconductores que se
utilizan en el diseño electrónico: el diodo de unión, el transistor bipolar y el tran-
sistor MOSFET. El estudio de cada uno de ellos va acompañado de la resolución
de ejercicios representativos. La obra está especialmente dirigida para estudian-
tes de ingeniería que deseen adquirir los fundamentos básicos para el análisis y el
diseño de circuitos electrónicos.
Capítulo 1
Introducción a la electrónica
1.1. Introducción
Definir en una frase en concepto de electrónica no es una tarea fácil. La electró-
nica es una disciplina con múltiples aplicaciones y la frontera entre ella y otras
disciplinas como la ingeniería eléctrica, la robótica o la arquitectura de compu-
tadores es, a veces, difusa. Al igual que la ingeniería eléctrica, la electrónica hace
uso de dispositivos que procesan señales eléctricas. ¿Cuál es entonces el matiz
que diferencia estas disciplinas? Quizás la principal diferencia es que la electróni-
ca está centrada en el uso de dispositivos semiconductores. Es decir, dispositivos
que, dependiendo de las condiciones de operación a las que se sometan, tienen un
comportamiento u otro. Por tanto, la electrónica tiene como base el uso de dis-
positivos que se pueden programar para que operen de una forma u otra dentro
de un mismo circuito.
En cuanto a las aplicaciones, normalmente en ingeniería eléctrica el objetivo es
crear circuitos o máquinas que generen energía eléctrica, que la transformen en
otras fuentes de energía o que la transporten de forma eficiente. La electrónica
tiene como objetivo hacer un procesamiento de señales eléctricas para obtener,
procesar y transmitir información de nuestro entorno. Por ejemplo, un sensor de
imagen es un dispositivo electrónico que es capaz de, a partir de la energía lumi-
nosa de una escena, generar una matriz cuyos valores representan la iluminación
media de determinadas zonas de la escena visual. En cambio, si analizamos una
tostadora, su objetivo es transformar energía eléctrica en energía calorífica. Por
ello, normalmente hablamos de dispositivos eléctricos cuando nos referimos a dis-
positivos que transforman la energía.
Dentro de la electrónica, a su vez, se suele hablar de microelectrónica y nanoelec-
trónica. ¿Cuál es la diferencia? En realidad, las tres disciplinas son la misma. Los
semiconductores tienden a fabricarse con el menor tamaño posible, para poder
poner el mayor número de ellos dentro de un mismo circuito y así aumentar su
capacidad de procesamiento. Los primeros transistores (componentes básicos de
los circuitros integrados) tenían un tamaño discreto, es decir, eran componentes
aislados que podían ser manipulados de forma aislada. El desarrollo de la disci-
plina hizo que cada vez el tamaño de los mismo se pudieran hacer más pequeño.
Como resultado, fue posible integrar millones de transistores en un mismo chip.
Durante muchos años, los transistores alcanzaron un tamaño microscópico, de ahí
el nombre de microelectrónica.
Hoy en día, los transistores que se integran en circuitos comerciales tienen un
tamaño por debajo del micrómetro. Por tanto, quizás es más preciso hablar de
nanoelectrónica. En todo caso, normalmente se usa el término electrónica para
hacer referencia a la disciplina de forma genérica, incluyendo circuitos fabricados
con compenentes electrónicos macroscópicos que pueden ser soldados a mano.
Los términos microelectrónica y nanoelectrónica se suelen reservar para el dise-
ño de circuitos integrados: circuitos formados por gran número de componentes
electrónico de tamaño microscópico.
Para una introducción a la disciplina, se recomiendan los capítulos introductorios
de las siguientes referencias bibliográficas: Hambley [2001], Storey [2009], Boy-
lestad [2009], Sedra [2006], Brihuega [2010].
1.2. Aplicaciones de la electrónica
Inicialmente, la electrónica estuvo enfocada hacia la creación de dispositivos de
cálculo y computación. Sin embargo, pronto hubo una diversificación de sus apli-
caciones. Los campos de aplicación de la electrónica son múltiples e involucran
disciplinas muy diversas como la computación, la bio-medicina o las comunica-
ciones. Resulta difícil hacer una clasificación exhaustiva, por lo que citaremos
aquellas disciplinas que consideramos más significativas y de mayor arraigo en la
4
CAPÍTULO 1
Aplicaciones de la electrónica
sociedad.
1. Aplicaciones Industriales: la industriamoderna está altamente automatiza-
da y es inconcebible sin dispositivos electrónicos. Cabe destacar la robótica,
el control de procesos, sensores de cualquier tipo, dispositivos electrome-
cánicos, etc.
2. Computación: todos los ordenadores personales y dispositivos de propósito
general se nutren de electrónica digital. Cabe destacar los microprocesado-
res, memorias, CPUs, etc.
3. Automoción: el auge del coche eléctrico ha hecho que los dispositivos elec-
trónicos cada vez cobren mayor protagonismo en el automóvil. La tenden-
cia es a integrar el mayor número de sensores posibles en los coches moder-
nos para ayudar la conducción y mejorar el rendimiento de los vehículos.
4. Comunicaciones: la implantación en la sociedad del teléfono móvil y de
Internet, hizo que se desarrollase mucho la industria electrónica. En con-
creto, fue el principal motor de la misma, durante la pasada década. Caben
destacar los teléfonos móviles, GPSs, transmisores y receptores, TVs, etc.
Cabe mencionar, que la venta masiva de teléfonos móviles ha impulsado el
desarrollo de sensores muy diversos y en principio, no relacionados con las
comunicaciones: giroscopios, cámaras, sensores táctiles, pantallas de visua-
lización, etc.
5. Vigilancia y defensa: en esta categoría podemos citar a las cámaras de cual-
quier tipo: infrarrojas, sensores de visión, radares, sónares, dispositivos de
navegación, etc.
6. Aplicaciones bio-médicas: la microelectrónica ha permitido el desarrollo
de dispositivos muy avanzados para el diagnóstico y la intervención qui-
rúrgica. Podemos mencionar Rayos X, Resonancia magnética, TAC, etc.
7. Aeroespaciales/navales:ambas industrias demandan sistemas electrónicos
avanzados de navegación, posicionamiento, transmisión de datos a gran
distancia, y sensores muy diversos.
8. Militares: en muchos casos, el desarrollo de sistemas de defensa ha sido el
motor de desarrollo de la industria electrónica. Por ejemplo, el sistema GPS
de posicionamiento fue creado con una finalidad militar.
5
Entradas
(Sensores/Transductores)
Acondicionamiento
de Señal y Procesado
Salidas
Actuadores/Transductores
Realimentación
Salidas
Figura 1.1: Diagrama de bloques de un sistema electrónico. Las entradas se generan
a partir de sensores o transductores que miden algún tipo de energía y generan se-
ñales eléctricas, capaces de ser procesadas por un sistema electrónico. En segundo
lugar, tenemos bloques electrónicos que acondicionan la señal: la preparan para po-
der procesarla. Además, costa de lementos de procesamiento y cómputo. Finalmen-
te, tenemos las salidas del sistema. Éstas pueden ser señales eléctricas o actuadores y
transductores que producen algún efecto en el medio físico.
1.3. Sistemas electrónicos
Podemos definir un sistema como un conjunto de elementos interrelacionados y
que interactúan entre sí. Es habitual escuchar el término ‘sistema electrónico’ o
simplemente ‘sistema’ para referirnos a componentes electrónicos complejos que
realizan alguna función. ¿Cuáles son los componentes que constituyen un siste-
ma electrónico? En la Figura 1.1, puede verse un esquema conceptual de un siste-
ma electrónico. En primer lugar, tenemos las entradas, que suelen ser magnitudes
físicas que deseamos medir o procesar (presión, temperatura, iluminación, etc).
Dichos estímulos externos deben ser convertidos en señales eléctricas que los sis-
temas electrónicos pueden procesar. Los encargados de esta labor son los sensores
o transductores, que son dispositivos capaces de traducir una magnitud física en
una señal eléctrica que pueda ser interpretada por el sistema electrónico. Por señal
entendemos la representación frente al tiempo de una magnitud física que que-
remos procesar. Si hablamos de señales eléctricas, normalmente nos referimos a
magnitudes eléctricas frente al tiempo: tensión, intensidad, amplitud, etc.
El segundo de los elementos son los encargados de acondicionar y procesar la
información. Normalmente las señales eléctricas que recibimos necesitan ser pre-
paradas para su posterior procesamiento. Si pensamos en un sistema de comuni-
caciones, en el receptor, es necesario amplificar, filtrar, desmodular y digitalizar
las señales eléctricas que se reciben antes de poder procesarlas. Una vez que las
6
CAPÍTULO 1
Sistemas electrónicos
Figura 1.2: Fotografía del chip de visión HDRLVS. Dimensiones 3,3mm×4,2mm.
El lector puede encontrar una descripción detallada del sensor en el este artículo
Leñero-Bardallo et al. [2017]. Se trata de un dispositivo capaz de medir niveles de
iluminación muy dispares entre sí. Para una demonstración de la funcionalidad del
chip, véase: https://www.youtube.com/watch?v=KrdpUpBRD60.
señales eléctricas están acondicionadas, se procesan con procesadores y dispositi-
vos programables que puedan tomar decisiones, en función de los valores de las
señales que se miden. Finalmente, tenemos los elementos de salida del sistema
electrónico. Éstas pueden ser a su vez, señales eléctricas si van a ser interpretadas
o procesadas por otro sistema electrónico, pueden ser pantallas de visualización
de datos, o actuadores. Los actuadores son elementos físicos que transforman las
señales eléctricas en otras magnitudes físicas (energía mecánica, sonido, luz, etc).
Es habitual que las salidas de un sistema electrónico se realimenten, es decir, es-
tén conectadas a las entradas del mismo. Por ejemplo, si tenemos un sistema que
trate de seguir la posición de un objeto en movimiento, típicamente el sistema
determina la posición del objeto en cuestión, luego corrige su posición en base al
error medido, y finalmente vuelve a realizar una nueva medida en la que influye
la decisión anterior del sistema.
En la Figura 1.2, se muestra la fotografía de un microchip de un sensor de ima-
gen. El sistema contiene más de un millón de transistores. Dentro de él se han
implementado los bloques constitutivos de un sistema electrónico, descritos en la
Figura 1.1.
7
+
_
Figura 1.3: Ejemplos de elementos constitutivos de un circuito integrado. Se presen-
tan bloques básicos que pueden interconectarse entre sí para crear sistemas mucho
más complejos.
1.4. Elementos de un circuito electrónico
Si analizamos un microchip comercial de cualquier tipo, véase Figura 1.1, es ha-
bitual encontrar millones de componentes electrónicos interconectados entre sí.
El objeto de esta asignatura es familiarizar a los alumnos con los bloques consti-
tutivos básicos, para el diseño de tales sistemas. En concreto nos centraremos en
dispositivos semiconductores con distintas regiones de operación: diodos, tran-
sistores bipolares y transistores MOSFET.
En la Figura 1.3, aparecen los símbolos eléctricos de algunos de estos dispositivos.
A partir de ellos, será posible construir bloques mucho más complejos: amplifi-
cadores, receptores/transmisores de radio, fotoreceptores, etc. Por supuesto, en
un circuito electrónico, podemos encontrar componentes eléctricos clásicos: bo-
binas, condensadores, resistencias, etc. La particularidad es que todos ellos tienen
un tamaño micrométrico. Por tanto, un microchip puede tener un tamaño de mi-
límetros. La pregunta que podemos plantearnos entonces es cómo podemos tener
acceso a las distintas entradas y salidas del chip para estimularlo o recibir sus res-
puestas. Los chips suelen tener pads. Los pads son unas regiones planas de metal
8
CAPÍTULO 1
Placas de circuitos impresos (PCB)
Figura 1.4: Detalles de la interconexión del circuito integrado ARTMC con un en-
capsulado comercial PGA-144. Pueden apreciarse los hilos metálicos que conectan
los pads del chip con el encapsulado.
donde es posible con un hilo metálico (normalmente oro o aluminio) unir el pad
con un encapsulado, donde se pega el chip en un substrato conectado a tierra. En
la Figura 1.4, se muestra un chip conectado a un encapsulado comercial tipo PGA-
144. Se aprecian los hilos metálicos que conectan los pads del chip al encapsulado.
1.5. Placas de circuitos impresos (PCB)
Los encapsulados que contienen los chips, suelen soldarse en Placas de Circuito
Impreso (PCB), del inglés, Printed Circuit Board. Las PCB, a su vez, contienen otros
chips o componentes necesarios para el funcionamiento del sistema electrónico:
reguladores de tensión, leds, buses de entrada/salida, disipadores de potencia, os-
ciladores de cuarzo, memorias, etc. Una PCB básicamente es una estructura rígida
y plana sobre la que se sueldan con tiras de metal se interconectan todos los com-
ponentes mencionados. Normalmente, las placas de circuito impreso permiten su
acople a otras estructuras rígidas. Por ejemplo: soportes de lentes, cajas que las
recubren y protegen, etc. Es habitual que muchos de los componentes de la PCB
vayan soldados con estaño. Para ello, suele hacerse el soldado de forma manual o
9
Figura 1.5: Ejemplo de placa de circuito impreso. Pueden apreciarse los puntos en los
que los distintos compentes irán soldados. A la izquierda, se ha soldado un conector
tipo Mezanine que permitirá conectar la PCB a otra distinta..
10
CAPÍTULO 1
Componentes discretos
Figura 1.6: Fotografía de diversos componentes electrónicos discretos.
mediante hornos dedicados. En la Figura 1.5, puede observarse un ejemplo de PCB
diseñada para el test de un prototipo del sensor de visión mostrado en la Figura
1.2.
1.6. Componentes discretos
La integración de circuitos microelectrónicos es costosa en cuanto al precio de
fabricación como al tiempo requerido para ello. ¿Por qué entonces fabricar mi-
crochips? La razón es que cuando el volumen de chips que se fabrican es muy
elevado, el coste unitario por chip es bastante reducido, siendo rentable la ope-
ración. Lógicamente,fabricar un microchip para probar una idea o un concepto
simple es muy costoso en términos económicos. En esos casos, una alternativa es
comprar chips que contienen componentes electrónicos integrados y que realizan
alguna función genérica: amplificar, filtrar en frecuencia, regular tensión, etc. Se
les suele denominar componentes discretos. Suelen presentarse en encapsulados
fáciles de soldar en las PCB. Son una alternativa barata para el test y el diseño
de prototipos, antes de una integración masiva de chips. Como ejemplos, pode-
mos destacar la serie 7400 de circuitos integrados digitales. En la Figura 1.6, se
muestran componentes discretos diversos. Entre ellos, podemos encontrar com-
11
Muestreador Cuantificador Codificador
Conversor A/D
1001011
Señal
digital
x(t) x[n] x [n]c
Señal
analógica
Señal en 
tiempo discreto
Señal
cuantizada
b6
b5
b4b3b2b1b0
Figura 1.7: Ilustración de las fases y el proceso de conversión analógico/digital.
ponentes elementales como condensadores y resistencias o bloques más complejos
formados por agrupaciones de transistores. Entre ellos, podemos hacer múltiples
clasificaciones. Una de ellas es dividir a los componentes en activos y pasivos:
Pasivos: en general, no requieren alimentación propia o polarización para
funcionar. Atenúan y no realizan ninguna operación de acondicionamiento
sobre la señal de entrada. Ejemplos: condensadores, resistencias, etc.
Activos: suelen necesitar alimentación o polarización adecuada para poder
operar. Amplifican o realizan operaciones de acondicionamiento sobre la
entrada. Ejemplos: amplificadores, transistores, giradores, etc.
1.7. Señales analógicas y digitales
Los circuitos electrónicos pueden procesar dos tipos de señales: las digitales y las
analógicas, Hambley [2001], Storey [2009], Boylestad [2009], Sedra [2006]. Las
señales analógicas son aquellas que provienen del mundo real. Toman un conjun-
to continuo e infinito de valores a lo largo del tiempo. Las señales digitales son
aquellas que sólo pueden tener valores discretos y definidos a lo largo del tiempo.
Típicamente, valores lógicos ‘1’ o ‘0’ en la lógica binaria. Estas señales se obtie-
nen al discretizar las señales analógicas. La conversión de una señal analógica en
una digital se denomina conversión analógica-digital (A/D) y puede dividirse en
varias etapas, tal como se muestra en la Figura 1.7:
1. Muestreo de la señal analógica: se toman muestras de la señal analógica
12
CAPÍTULO 1
Señales analógicas y digitales
en determinados instantes de tiempo. Sus valores se hacen discretos en el
dominio del tiempo.
2. Cuantización: a continuación, se establece un conjunto de valores discretos
que puede tomar la señal en cada instante. A cada valor que se obtiene con
cada una de las muestras se le asigna el valor cuantizado más próximo, para
minimizar el error en la conversión.
3. Digitalización: a cada uno de los posibles valores de la señal, se le asigna un
número binario que lo representa (secuencia de ceros y unos).
Conviene no confundir las señales digitales con las señales discretas. Una señal
discreta es aquella que sólo toma valores en determinados instantes de tiempo
(muestreo). Sin embargo, los valores que puede tomar son infinitos. En una señal
digital, los valores de salida que la señal puede tomar son finitos y determinados
en el proceso de la conversión A/D.
13
Capítulo 2
Materiales semiconductores y
diagramas de bandas de energía
2.1. Introduction
En este capítulo, estudiaremos los principios básicos de operación de los dispositi-
vos semiconductores. Comenzaremos definiendo las propiedades y las diferencias
entre conductores, aislantes y semiconductores. Posteriormente, se introducirán
los diagramas de bandas de energía para ilustrar los niveles energéticos accesibles
en los semiconductores. Concluiremos estudiando el enlace covalente, presente en
los semiconductores construidos con silicio. Para una introducción a la Física de
los Semiconductores, se recomiendan los capítulos iniciales de la obra de Pierret,
Pierret [1998]; los capítulos del uno al cuatro del manual de Singh, Singh [1994];
y los capítulos del primero y segundo del libro de Yang, Yang [1988]. Para un es-
tudio en mayor profundidad de las propiedades físicas de los semiconductores, la
monografía del autor Cilingiroglu, Cilingiroglu [1993].
2.2. Sólidos cristalinos y materiales semiconductores
Las sustancias sólidas que encontramos en la naturaleza pueden clasificarse se-
gún el patrón de regularidad que forman los átomos que los constituyen. Si los
átomos forman un patrón regular que se repite de forma constante a lo largo del
espacio, decimos que tenemos un sólido cristalino o cristal. Pueden existir mate-
riales policristalinos, Pierret [1998], Singh [1994]. Estos materiales están forma-
dos por diversos cristales en cada uno de los cuales los átomos siguen un patrón
de regularidad. Por otra parte, tenemos los materiales amorfos, en los cuales los
átomos no se organizan siguiendo ningún patrón. Los materiales semiconducto-
res que estudiaremos se construyen a partir de un substrato de material conductor
cristalizado. Posteriormente, durante el proceso de fabricación de los mismos, se
añaden impurezas de forma controlada para obtener determinadas propiedades.
Es importante resaltar que las propiedades de los sólidos cristalinos dependen del
comportamiento colectivo de los átomos que forman una red tridimensional pe-
riódica. Por tanto, el comportamiento de un semiconductor es isotrópico, porque
no depende de la dirección que consideremos para analizarlo, al ser el mismo en
todas las direcciones.
Los materiales semiconductores suelen encontrarse en los grupos II B, III A, IV
A, VA y VI A de la Tabla Periódica de los Elementos. Dentro de estos grupos, hay
que resaltar la columna IV, donde se encuentran el Silicio (Si) que es el semicon-
ductor más empleado en la actualidad. Los motivos de su éxito son dos: su gran
abundancia en la naturaleza (la arena de playa tiene un alto contenido de silicio)
y el hecho de que es una materia prima barata. Cabe destacar, aunque es mucho
más costoso y escaso en la naturaleza, el Germanio (Ge) y compuestos binarios:
GaAs, InP, InSb, etc, capaces de emitir luz en el espectro visible y en el infrarrojo
cercano. También son habituales en la actualidad compuestos ternarios y cuater-
narios en comunicaciones ópticas: AlGaAs, InGaAsP. Por ejemplo, el compuesto
GaP puede emitir luz en la banda visible (350nm-700nm). Dependiendo de las im-
purezas que se le añada, es posible emitir en distintas longitudes de onda dentro
del espectro visible (colores).
2.3. Números cuánticos y estados
energéticos accesibles
Las propiedades eléctricas de los sólidos están determinadas por la estructura de
bandas de energía de los mismos. Dichas bandas surgen por la interacción de los
electrones y los átomos que forman la materia. En electrónica, al referirnos a ban-
das de energía, nos referiremos estados energéticos accesibles para los electrones
que se desplazan por la red cristalina que forma un semiconductor. En condicio-
16
CAPÍTULO 2
Números cuánticos y estados
energéticos accesibles
nes de reposo, los electrones tienden a ocupar los estados energéticos accesibles de
menor energía (Principio de Mínima Energía). Sin embargo, cuando los electrones
reciben energía externa suficiente, pueden ocupar estados energéticos accesibles
e ionizar los átomos en los que estaban inicialmente. Decimos que un átomo está
ionizado cuando tiene un número de electrones distinto al que presenta en re-
poso, bien porque alguno de sus electrones ocupa estados energéticos accesibles
de otros átomos, bien porque un electrón de otro átomo ocupe estados accesibles
del átomo en cuestión. Puede ocurrir, que los átomos reciban energía externa y
algunos de sus electrones pasen a estados energéticos superiores. Típicamente, al
recibir un fotón, los electrones absorben su energía para poder acceder a un nivel
energético más alto. A su vez, puede ocurrir que los electronesde niveles energé-
ticos superiores a los del estado de reposo, pasen a un estado de mínima energía
inicial y emitan un fotón con la diferencia de energía entre ambos niveles.
Según el Principio de Intercidumbre de Heisenberg R. S. Muller [1991], existe un
límite finito a la precisión con la que podemos determinar la posición y la canti-
dad de movimiento de una partícula. Considerando una partícula que se mueve a
lo largo del eje x:
∆x∆ρ ≤ η
2
(2.1)
Donde ∆x es la variación de posición a la largo del eje x y ∆ρ es la variación
de la cantidad de movimiento. Por tanto, al referirnos a la posición de electrones
en esta asignatura, en realidad, nos referiremos a una región donde la probabilidad
de hallar un electrón es alta. No pueden existir electrones que tengan los cuatro
números cuánticos iguales (Principio de Exclusión de De Pauli). Los electrones
ocupan los estados electrónicos de menor a mayor energía sin que haya más de
un único electrón en el mismo estado. Cada nivel de energía se corresponde con
un estado electrónico que tiene asociada una función de onda u orbital, que viene
definida por una serie de números cuánticos: el número cuántico principal (n), el
número cuántico orbital (l), con l = 0, 1, , n− 1; el número cuántico magnético
(m), con m = −l, , 0, .., l; y el número cuántico de spin (s), con s = −1/2, 1/2.
La función de onda de un electrón es una función que depende de la posición del
electrón (~r) y de los cuatro números cuánticos. Se sugiere, que el alumno deter-
mine por sí mismo el número máximo de electrones que puede existir en cada
número cuántico orbital, en función de las expresiones anteriores. En la siguien-
te tabla se resumen el número máximo de electrones de cada número cuántico
17
Cuadro 2.1: Números cuánticos y orbitales
Nº Cuántico Orbital (l) 0 1 2 3
Denominación/letra s p d f
Nº máximo de electrones 2 6 10 14
l=0 l=1 l=2 l=3
nº
 c
uá
nt
ic
o 
pr
in
ci
pa
l
nº
 m
áx
im
o 
el
ec
tr
on
es1
2
3
4
5
6
7
2
8
18
32
32
32
32
2
2s 2
3s2
4s2
25s
6s2
27s
2p6
3p6
4p6
5p6
6p6
7p6
3d10
4d10
5d10
6d10
7d10
4f 14
5f 14
6f 14
7f 14
1s
Figura 2.1: Ilustración de la configuración electrónica (llenado de capas) en función
del número cuántico principal (n) y los posibles valores del número cuántico orbital
(l).
orbital (l):
Nótese que usualmente los números cuánticos orbitales (l) se denotan con le-
tras. El número cuántico orbital, l = 0, se denota con la letra s; el l = 1 con
la letra p, etc. En la Figura 2.1 se ilustra cómo, en función de los valores del nú-
mero cuántico principal (n) y del número cuántico orbital (l), los electrones se
distribuyen en un átomo:
El átomo de silicio (Si) tiene 14 electrones en su última capa. Por tanto, si-
guiendo la regla nemotécnica de la Figura 2.1, su configuración electrónica sería:
1s22s22p63s23p2. El Germanio tiene 32 electrones en su última capa. Se deja co-
mo ejercicio al lector que determine su configuración electrónica. Hay que men-
cionar que las propiedades de los semiconductores van a depender del número
cuántico principal de su última capa (M ). En el caso del silicio (M=3). Para el
18
CAPÍTULO 2
Diagrama de bandas de energía
germanio (M=4).
2.4. Diagrama de bandas de energía
Para estudiar y entender las propiedades de los semiconductores, se utilizan dia-
gramas en los cuales se representa los niveles energéticos que pueden tomar los
electrones de la última capa de los semiconductores. Recordemos que la disposi-
ción de estos electrones determina en gran medida las propiedades eléctricas de
los semiconductores. Para describir las propiedades de un átomo de un material
sólido sólo es necesario conocer el número total de electrones que lo constituye
(N ) y el número de electrones de la última capa (M ). Sin embargo, en gran medi-
da las propiedades de los materiales van a depender en gran medida de los estados
energéticos ocupados por los electrones de la última capa. A estos estados ener-
géticos se les suele denominar bandas de valencia.
Si los átomos están suficientemente separados, los electrones de la banda de va-
lencia de ellos no interactúan entre sí. En cambio, cuando los átomos se agrupan
entre sí formando moléculas o redes cristalinas, los electrones de las últimas capas
pueden interaccionar. Este fenómeno se traduce en una interacción de las bandas
de energía de los átomos. Es decir, aparecen estados energéticos disponibles que
no aparecían en los átomos de forma aislada. Por tanto, las bandas de energía se
deforman y cambian dependiendo de la disposición espacial de los átomos. En la
Figura 2.2, se ilustra este efecto. A medida que las bandas se aproximan, puede
ocurrir que se solapen, es decir que no haya separación entre ellas. Si el acerca-
miento continúa, las bandas de energía volverán a separarse. Entre ellas, existirá
una región de separación que se denomina banda prohibida. A los extremos de la
banda prohibida se les denomina bandas de valencia y de conducción respectiva-
mente. A la diferencia de energía entre ellos, se le denomina energía de la banda
prohibida.
A la izquierda de la 2.2, se muestra la distribución de las bandas de energía en
sólidos de distintos tipos. En los semiconductores, la energía de la banda prohibi-
da es tal que, en determinadas situaciones, es posible el paso de electrones desde
la banda de valencia a la banda de conducción. En los materiales dieléctricos o
aislantes, la energía de la banda prohibida es muy elevada, por lo que, en condi-
ciones normales de operación, el paso de electrones entre la banda de valencia y
de conducción no es posible. Finalmente, en el caso de los metales, las bandas de
19
6eV1eV
Ep
Es
C B A
Distancia interatómica Banda de conducción Banda de valencia
Semiconductor Aislante Conductor
Figura 2.2: Diagrama de bandas de energía. A la izquierda, se ilustra cómo los esta-
dos energéticos disponibles cambian cuando varía la distancia entre átomos. En los
otros tres diagramas de bandas, se ilustra cómo se distribuyen los estados energéticos
diponibles en los semiconductores, los materiales aislantes y en los metales.
energías aparecen de forma contigua, las bandas de valencia y conducción pueden
solaparse. (metales de transición). También puede ocurrir que la banda de con-
ducción se encuentre parcialmente llena. Por tanto, de manera intuitiva podemos
afirmar que los semiconductores presentan un comportamiento intermedio en-
tre los materiales aislantes y los conductores, que los hacen apropiados para ser
usados como dispositivos programables.
En el cero absoluto (T=0K), los electrones ocupan los estados de la banda
de valencia. Decimos que están en condiciones de reposo. Sin embargo, debido
a la energía térmica, es posible que existan electrones que salten desde la banda
de valencia a la de conducción y viceversa. Éste es el principio básico de opera-
ción de los semiconductores. En tales circunstancias, si existe un campo eléctrico,
los electrones podrán desplazarse por el cristal ocupando los estados energéticos
adicionales disponibles. El movimiento de cargas, electrones en este caso, produ-
ce una corriente eléctrica que fluye a través del semiconductor. Normalmente, a
temperatura ambiente (T=27ºC), el número de electrones que ocupan estados en
la banda de conducción de un semiconductor no es despreciable.
20
CAPÍTULO 2
El enlace covalente
+4
+4+4
+4
+4
(a)
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Electrón
 Libre
Hueco
(b)
Figura 2.3: (a) Enlace covalente entre distintos átomos de Silicio en una red cristalina.
Los cuatro electrones de valencia de cada átomo se comparten mediante un enlace
covalente con sus vecinos, para conseguir la configuración electrónica de un gas noble
(18 electrones en total). (b) Ilustración de la creación de un par electrón-hueco en una
red cristalina.
2.5. El enlace covalente
La tendencia natural de los elementos es alcanzar la configuración electrónica de
un gas noble. Es decir, elementos cuya última capa es cerrada o está completa.
Los gases nobles son altamente establesy no reaccionan con otros elementos de
la tabla periódica. Por tanto, cuando los átomos se agrupan para formar molécu-
las estables, tienden a ceder o a ganar electrones para conseguir la configuración
electrónica de un gas noble en su última capa. Por ejemplo, si consideramos el
enlace iónico de la sal común (NaCl). La configuración iónica del Na es Na:
1s22s22p63s1 y la del Cl es Cl: 1s22s22p63s23p5. Por tanto, el Na tiene en su
última capa un electrón y al Cl le falta un único electrón para completar dicha
capa. Por tanto, la tendencia es que el Na ceda un electrón alCl para que complete
su última capa. Ambos elementos estarán cargados positivamente y negativamen-
te de forma respectiva, por lo que la tendencia natural es que se atraigan y creen
un compuesto estable.
Otro tipo distinto de enlace entre átomos es el covalente. En los semicon-
ductores encontramos este tipo de enlace. En este caso particular, átomos vecinos
comparten electrones de su última capa para que cada uno de ellos pueda alcan-
zar la configuración electrónica de un gas noble. Es decir, en un enlace covalente
21
un mismo electrón forma parte de la última capa de dos átomos distintos que lo
comparten por igual. Recordemos que el átomo de silicio (Si, 14 electrones en
total) tiene cuatro electrones en su capa de valencia (última capa). Para comple-
tarla, necesita un total de 18-14=4 electrones (ver Figura 2.3). Para conseguirlo, los
átomos de silicio se disponen en una red cristalina de forma que comparten cua-
tro de sus electrones de su última capa con sus cuatro vecinos, mediante un enlace
covalente. De esa forma, pueden rellenar su última capa de electrones y alcanzar la
configuración electrónica de un gas noble. En la Figura 2.3, se ilustran los enlaces
covalentes entre átomos de silicio en una red cristalina.
2.6. Portadores de carga en semiconductores
En ausencia de temperatura y energía externa, los electrones de los átomos de una
red cristalina tienden a ocupar los estados energéticos de menor energía, con la
configuración electrónica de un gas noble, tal como se ilustra en la Figura 2.3.(a).
Sin embargo, a temperatura ambiente, es bastante probable que los electrones de
la banda de valencia adquieran la energía necesaria para acceder a niveles energé-
ticos de la banda de conducción. En dicha banda hay muchos niveles de energía
disponibles que pueden ocupar. Cuando esto ocurre, decimos que se forma un par
electrón-hueco, tal como se detalla en la Figura 2.3.(b). Un electrón de la banda de
valencia ‘salta’ a la banda de conducción. En ese momento, tendremos un electrón
que puede desplazarse libremente por la red cristalina, y un hueco. Los huecos son
niveles energéticos disponibles en la banda de valencia, debido a electrones que
han saltado a la banda de conducción. Por tanto, la existencia de un hueco denota
la existencia de un átomo cargado positivamente. Hemos de resaltar, que un hueco
no es un ente físico como un electrón; simplemente es un estado energético que
indica que un átomo tiene estados energéticos disponibles en su capa de valencia
y está cargado positivamente.
En el caso de que exista un campo eléctrico, los portadores de carga se desplaza-
rán por la red cristalina, generando una corriente eléctrica. A su vez, los electro-
nes y los huecos se pueden recombinar, volviendo al estado energético inicial. Es
importante destacar que los electrones tienden a ocupar los estados energéticos
disponibles en la banda de conducción que tienen menor energía. En cambio, los
huecos corresponden a los niveles energéticos disponibles en la banda de valen-
cia, que tienen mayor energía. Esto es lógico, puesto que el resto de electrones del
22
CAPÍTULO 2
Portadores de carga en semiconductores
átomo de silicio cargado positivamente, tenderá a ocupar los estados energéticos
con menor energía, por debajo del máximo de la banda de valencia.
23
Capítulo 3
Semiconductores en equilibrio
térmico
3.1. Introduccción
En este tema estudiaremos las propiedades de los semiconductores cuando están
a temperatura constante (equilibrio térmico). Se obtendrán expresiones analíti-
cas para determinar las concentraciones de electrones y huecos en las bandas de
conducción y valencia, respectivamente. Introduciremos el concepto de dopado y
semiconductor extrínseco, que será de gran utilidad para abordar los temas suce-
sivos. Para este tema, se recomienda los capítulos iniciales de la obra de Pierret,
Pierret [1998]. En mayor profundidad, pueden consultarse las referencias Singh
[1994], Yang [1988], Cilingiroglu [1993].
3.2. Densidad de estados en las bandas de valencia y de
conducción
La ocupación de los estados energéticos disponibles en un semiconductor depende
de la temperatura. Ello es intuitivo: al estar sometidos los átomos a mayor tempe-
ratura, los electrones pueden ganar la energía necesaria para ocupar estados ener-
géticos accesibles en la banda de conducción. Por tanto, la densidad de ocupación
Banda Prohibida
B
an
da
 C
on
du
cc
ió
n
B
an
da
 V
al
en
ci
a Ev
Ec
Figura 3.1:Diagrama de bandas de energía de un semiconductor en equilibrio térmi-
co.
de los estados energéticos de las bandas de valencia y conducción dependerá de la
temperatura. Conviene recordar que al hablar de estados energéticos ocupados o
disponibles, nos referiremos a los mismos en términos de probabilidad.
En la Figura 3.1, se muestra el diagrama de bandas de energía de un semicon-
ductor. Las bandas de energía aparecen distribuidas de forma continua en dos re-
giones diferenciadas: la banda de valencia y la banda de conducción. Entre ellas,
hay una región conocida como banda prohibida en la que no hay estados ener-
géticos disponibles. Por tanto, para pasar desde el máximo nivel de la banda de
valencia (Ev) hacia el mínimo nivel de la banda de conducción (Ec), es necesario
un aporte de energía mucho mayor que el que existe entre los niveles energéti-
cos de la banda de valencia y la banda de conducción. Por simplicidad, podemos
considerar que la separación entre niveles de energía de la banda de valencia y
la banda de conducción es constante. En realidad, no es así, puesto que existen
mayor número de estados energéticos disponibles conforme aumenta la energía
de los mismos. Por tanto, la separación entre bandas es menor, conforme nos des-
plazamos hacia arriba.
Las densidades de estados energéticos de las bandas de conducción y valencia son
de forma respectiva, R. S. Muller [1991]:
26
CAPÍTULO 3
Densidad de estados en las bandas de valencia y de conducción
Ne (E) =
8
√
2π
h3
m
∗ 3
2
e
√
E − Ec (3.1)
Nh (E) =
8
√
2π
h3
m
∗ 3
2
h
√
Ev − E (3.2)
Donde m∗
e y m∗
h son respectivamente las masas efectivas de los electrones y
de los huecos, R. S. Muller [1991]. En el caso de los huecos, no son un ente físico
real. Sin embargo, se les asocia una masa efectiva en relación a las propiedades que
presentan estos portadores de carga positiva en el semiconductor.
Para conocer la probabilidad de que un determinado estado energético esté ocu-
pado, es necesario saber la función de densidad de probabilidad de ocupación
de los estados. Dicha función depende de los valores energéticos, que pueden va-
riar en el intervalo E ∈ [0,∞), y de la temperatura, T . A mayor temperatura
mayor será la energía de los electrones, por tanto, tendrán más probabilidad de
ocupar estados energéticos accesibles en la banda de conducción. La probabilidad
de ocupación de un estado energético E viene dada por:
f (E, T ) =
1
1 + e
E−Ef
KT
(3.3)
La ecuación de distribución de probabilidad de la Ecuación 3.3 recibe el nom-
bre de distribución de Fermi-Dirac. es una constante que recibe el nombre de Ni-
vel de Fermi. El nivel de Fermi depende de la temperatura del semiconductor. En
condiciones de equilibrio térmico y temperatura ambiente, el nivel de Fermi indi-
ca un estado de energía que tiene una probabilidad de valor 0.5 de estar ocupado.
La concentración de electrones en la banda de conducción se computa integran-
do el producto entre la concentraciónde electrones y la función de densidad de
probabilidad para valores de energía variando en el intervalo E ∈ [0,∞). El
cómputo de dicha integral no es trivial, puesto que la función de densidad de
probabilidad no tiene primitiva conocida. Aproximando la función de densidad
a esta otra (aproximación de Boltzman, Pierret [1998]):
f (E, T ) = e
E−Ef
KT , con E − Ef � KT (3.4)
E integrando la función de densidad de probabilidad obtenemos:
27
ni =
∫ ∞
Ec
f (E, T )Ne (E) · dE = Uce
−
Ec−Ef
KT (3.5)
Uc = 2
(
2πm∗
eKT
h2
) 3
2
(3.6)
Como es de esperar, la densidad de portadores (electrones) en la banda de con-
ducción, ni , es mayor cuanto mayor es la temperatura. Además, depende del valor
mínimo de la banda de conducción Ec. Para deducir el valor de las concentracio-
nes de huecos en la banda de valencia, hemos de calcular los estados energéticos
de la banda de valencia que no están ocupados. Es decir, la función de densidad
de probabilidad será 1− f (E, T ):
pi =
∫ EV
0
(1− f (E, T ))Nh (E) · dE = Uve
−
Ef−Ev
KT (3.7)
Uv = 2
(
2πm∗
hKT
h2
) 3
2
(3.8)
Decimos que un semiconductor es intrínseco cuando tiene el mismo número
de electrones que de huecos. En el caso ideal de que tengamos un cristal formado
exclusivamente con silicio (sin impurezas), las concentraciones de electrones y de
huecos serán exactamente las mismas, siendo el semiconductor intrínseco. Por
tanto, a partir de las ecuaciones anteriores, podemos deducir que:
Ef = Ei =
1
2
(Ev + Ec) +
3
4
KTln
(
m∗
h
m∗
e
)
(3.9)
Podemos asumir que la masa efectiva de los electrones y de los huecos es apro-
ximadamente la misma. Por tanto, el nivel de Fermi puede aproximarse en condi-
ciones de equilibrio térmico como el valor medio entre la banda de valencia y la
de conducción. Esto es:
Ef = Ei ≈
1
2
(Ev + Ec) (3.10)
En realidad, la masa de los electrones y de los huecos depende ligeramente de
la temperatura, por lo que el nivel de Fermi puede desplazarse levemente, bien
hacia arriba bien hacia abajo del punto medio entre las bandas de valencia y de
28
CAPÍTULO 3
Semiconductores extrínsecos
(a)
Si
BSi
Si
Si
Hueco
Si
PSi
Si
Si
Electrón
 Libre
(b)
Figura 3.2: Semiconductor de Tipo P. (b): Semiconductor de tipo N.
conducción.
A partir de las expresiones anteriores, puede demostrarse que el producto de la
concentración de electrones y la concentración de huecos en un semiconductor
intrínseco es constante y depende de la anchura de la banda prohibida, Eg =
Ec − Ef :
nipi = n0p0 = n2
i = p2i = 4
(
2πKT
h2
) 3
2
(m∗
em
∗
h)
3
2 e−
Eg
KT (3.11)
Esta expresión se conoce como Ley de Acción de Masas. En condiciones de
temperatura constante, equilibrio térmico, las concentraciones de electrones y
huecos suelen denotarse con los subíndices 0: n0 y p0 . Es habitual referirse a las
propiedades de los semiconductores en función de las concentraciones de porta-
dores en un semiconductor intrínseco en equilibrio térmico.
3.3. Semiconductores extrínsecos
Por razones que explicaremos en temas posteriores, interesa crear semiconduc-
tores en los que las cantidades de huecos y electrones disponibles en las bandas
de valencia y de conducción no coincidan: semiconductores extrínsecos. Esto es
relativamente fácil introduciendo átomos de impureza en el cristal, tal como se
ilustra en la Figura 3.2.
Los elementos del grupo V de la tabla periódica tienen cinco electrones en la capa
29
de valencia. Esto hace que cuatro de ellos se enlacen a los átomos de silicio vecinos
mediante un enlace covalente, quedando un electrón con un enlace débil que hace
que cualquier incremento de energía le permita acceder a la banda de conducción,
sin generar un hueco en la banda de valencia, puesto los estados energéticos están
completos en ella. Esto puede interpretarse como que existen estados energéticos
disponibles por encima de la banda de valencia y por debajo de la banda de con-
ducción, en los cuales hay electrones que, incluso con baja temperatura, pueden
pasar a la banda de conducción (Figura 4.5.(a)). Ejemplos de impurezas donadoras
del grupo V de la Tabla Periódica son: arsénico y el antimonio.
Si en lugar de átomos del grupo V, se introducen impurezas con átomos del grupo
III de la Tabla Periódica, que sólo tienen tres átomos en su capa de valencia, estos
átomos se enlazarán con tres de sus vecinos mediante un enlace covalente, pero
el cuarto posible enlace carece de electrón. Ello se interpreta como que existen
estados energéticos disponibles justo por encima de la banda de valencia (Figura
4.5.(b)). Un aporte mínimo de energía hace que electrones de la banda de valencia
pasen a estos estados energéticos, creándose un hueco en la banda de valencia.
Cuando un semiconductor presenta impurezas de forma controlada se dice que
está dopado. En el caso de que se introduzcan átomos del grupo V, impurezas do-
nadoras, decimos que tenemos un semiconductor de tipo N . En el caso de que
tengamos impurezas aceptoras del grupo III, se dice que tenemos un semiconduc-
tor de tipo P . A partir de ahora, nos referiremos a los semiconductores como
semiconductores de tipo N o de tipo P , para indicar el dopado que se introduce
en ellos. Al referirnos a los semiconductores intrínsecos, nos referimos a semi-
conductores sin impurezas introducidas intencionadamente durante el proceso
de fabricación.
3.4. Neutralidad de cargas en un semiconductor
En un semiconductor en equilibrio térmico, el balance de cargas positivas y nega-
tivas debe ser neutro en todo el cristal. Por cada ión negativo fijo o electrón libre
debe haber un hueco libre. Igualmente por cada impureza aceptora (ión positivo
fijo) o hueco debe existir un electrón libre asociado. Por tanto, la Ecuación de
Neutralidad de Cargas establece que:
p0 − n0 +Nd −Na = 0 (3.12)
30
CAPÍTULO 3
Neutralidad de cargas en un semiconductor
Ev
Ec
Ed
Ev
Ec
Ea
(a) (b)E E
Figura 3.3: a) Diagrama de bandas en un semiconductor con impurezas donadoras
(átomos del grupo V). (b) Diagrama de bandas en un semiconductor con impurezas
aceptoras (átomos del grupo III).
Donde n0 y p0 son las concentraciones de portadores de carga en equilibrio
térmico no debidos a la presencia de átomos de impureza en el cristal.Nd yNa son
las concentraciones volumétricas de electrones y huecos, respectivamente. La Ley
de Acción de masas anteriormente explicada, establece que p0 =
n2
i
n0
, por tanto,
si sustituimos esta expresión en la Ecuación de Neutralidad de Cargas, llegamos
a que:
n0 =
1
2
(Nd −Na) +
√
1
4
(Nd −Na) + n2
i (3.13)
Siendo no la densidad de electrones en un semiconductor genérico. Igualmen-
te, si sustituimos n0 =
n2
i
p0
, obtenemos:
p0 = −1
2
(Nd −Na) +
√
1
4
(Na −Nd) + p2i (3.14)
Analizando las ecuaciones anteriores, es evidente que un semiconductor in-
trínseco Nd = Na = 0 , por lo que n0 = p0 = ni = pi. Por razones que explica-
remos en temas sucesivos, normalmente se prefiere trabajar con semiconductores
con fuerte dopado extrínseco. Esto es: Nd − Na � n2
i . Por tanto, a partir de
31
las Ecuaciones 3.13 y 3.14, las concentraciones de portadores pueden aproximarse
como:
n0 ≈ Nd −Na y p0 =
n2
i
Nd −Na
(3.15)
Las aproximaciones anteriores sólo son válidas para temperaturas de opera-
ción normales. La concentración de portadores intrínsecos aumenta con la tempe-
ratura (T ). Por tanto, a temperaturas elevadas el número de portadores intrínse-
cos es comparable al de portadores extrínsecos. En la Figura 3.4, se observa cómo
la cantidad de portadores en un semiconductor extrínseco depende de la tem-
peratura. Inicialmente, en reposo, todos los portadores. A bajas temperaturas, la
concentración de portadores es muy escasa porque los electrones se encuentran en
los estados energéticos disponibles en la banda de valencia. A medida que aumen-
ta la temperatura, los portadores aumentan de forma significativa debido a que
el semiconductor está fuertemente dopado y hay numerosos estados energéticos
disponibles por encima de la banda de valencia. Durante un intervalo detempe-
raturas, la concentración de portadores es aproximadamente constante e igual a
la cantidad de impurezas introducidas en el cristal. A medida que la temperatura
crece, la cantidad de portadores intrínsecos debido al aumento de temperatura
se hace notable, llegando a superar a la concentración de portadores intrínsecos.
Por tanto, las aproximaciones anteriores, son válidas para un rango de tempera-
turas suficientemente amplio. Sin embargo, en condiciones de alta temperatura,
las aproximaciones dejan de ser válidas.
El hecho de que se introduzcan impurezas en un semiconductor hace que el
nivel de Fermi (Ef ) se desplace ligeramente. Es posible expresar las concentracio-
nes de portadores en un semiconductor extrínseco en función de su diferencia de
energía (Ef ) con respecto al nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco (Ei):
n0 = nie
Ef−Ei
KT y p0 = nie
E−i−Ef
KT (3.16)
32
CAPÍTULO 3
Neutralidad de cargas en un semiconductor
2.0
1.5
1.0
0.5
0 100 200 300 400 500 600
T (K)
n/Nd
n /Ndi
Región Extrínseca
Región Intrínseca
Figura 3.4: Variación de la concentración de los portadores en un semiconductor
extrínseco en función de la temperatura.
33
Capítulo 4
Corrientes de transporte y
difusión en semiconductores
4.1. Introducción
En este capítulo estudiaremos los mecanismos de transporte en semiconductores.
Veremos con son dos los flujos dominantes: los flujos de difusión y de arrastre. De-
pendiendo de aquellos que dominen, las propiedades eléctricas variarán a lo largo
del semiconductor. Para el estudio de los mecanismos de difusión, una descrip-
ción adecuada puede encontrarse en las obras de Pierret y Muller, Pierret [1998],
R. S. Muller [1991].
4.2. Condiciones de equilibrio térmico
A la hora de estudiar el movimiento de portadores de carga en un semiconductor
(electrones y huecos), conviene distinguir dos casos distintos. Por una parte, po-
demos considerar el movimiento de un portador de carga de forma individual. Por
otra parte, podemos referirnos a los flujos netos de carga en el semiconductor. En
este último caso, hablamos de una tendencia o de un comportamiento colectivo
de los portadores de carga.
En equilibrio térmico, los electrones y los huecos que surgen en un semiconduc-
tor se desplazarán de forma aleatoria a lo largo del semiconductor. La dirección
que siga un electrón en un instante determinado, no depende de su trayectoria
anterior. Igualmente, si consideramos un flujo global de huecos o electrones en el
cristal, no habrá una dirección preferente hacia la que los portadores de carga se
desplacen de forma conjunta.
En un semiconductor, los portadores de carga sufren continuos choques dentro
de la red cristalina. La energía potencial de un electrón es una función periódica
en el espacio debido a que la distancia del mis a los núcleos de los átomos de la
red cristalina varía en función de la posición de forma periódica. Cualquier im-
perfección o irregularidad en la red cristalina hace que los portadores de carga
sufran una variación de su energía potencial. Si están en movimiento, hablare-
mos de variaciones de la energía cinética. Por tanto, la presencia de un átomo de
impureza o irregularidad en la red cristalina hace que se produzca una variación
de la energía cinética del electrón. Ello se traduce, en una variación de su movi-
miento. En semiconductores se habla del tiempo de relajación (tn o tp) cuando
nos referimos al tiempo medio en el que un portador de carga puede desplazarse
por la red cristalina, sin variar su trayectoria debido a un cambio de su energía
potencial, provocado por una imperfección en la red cristalina, también conocido
como punto de dispersión.
En el caso de que aparezca un campo eléctrico en el seno del semiconductor apa-
recerá una fuerza que tenderá a desplazar a los portadores de carga de forma co-
lectiva. Como sabemos la relación entre la fuerza y la carga en presencia de un
campo eléctrico es:
~F = −q ~E (4.1)
Los electrones se desplazarán en dirección contraria a la del campo eléctrico
y los huecos en la misma dirección. Se producirán flujos de portadores colectivos
que crearán un flujo de corriente eléctrica. Individualmente, los electrones segui-
rán teniendo un movimiento aleatorio. Sin embargo, colectivamente se moverán
en el sentido contrario al del campo eléctrico. Al movimiento de cargas dentro
de un semiconductor debido a la presencia de campos eléctricos, se le denominar
flujos de arrastre. A la velocidad de los electrones debido a la presencia global del
campo eléctrico se le denomina velocidad de arrastre. Dicha velocidad depende
del tiempo medio entre colisiones de un portador de carga dentro de la red cris-
talina. Matemáticamente las velocidades de arrastre de los electrones y los huecos
suelen expresarse como:
36
CAPÍTULO 4
Dependencia entre la movilidad y la temperatura
van = −µnξ (4.2)
vap = −µnpξ (4.3)
Donde ξ es el módulo del campo eléctrico; µn y µp son los coeficientes de
movilidad de los electrones y los huecos, que miden la facilidad de los portadores
de carga libres de desplazarse en el cristal. En general, son distintos porque las
masas efectivas de los electrones y huecos son distintas. Sus valores dependen del
tiempo de relajación y de sus masas, R. S. Muller [1991], Singh [1994], Cilingiroglu
[1993].
µn =
qtn
m∗
n
(4.4)
µp =
qtp
m∗
p
(4.5)
4.3. Dependencia entre la movilidad y la temperatura
En la Figura 4.1, se ilustra la dependencia entre la movilidad y la temperatura que
existe en un semiconductor. Tal como establecen las Ecuaciones 4.4 y 4.5, la movi-
lidad (µ ) es un coeficiente de proporcionalidad entre la temperatura y el módulo
del campo eléctrico. Tal como explicamos anteriormente, el tiempo medio que un
electrón puede desplazarse por el interior de un semiconductor sin que encuen-
tre un punto de dispersión en la red cristalina depende del dopado (o pureza del
semiconductor). Mientras menos impurezas, mayor será, lógicamente, la proba-
bilidad de que un electrón viaje por el semiconductor sin encontrarse con ellas.
A su vez, la energía potencial de los núcleos de la red cristalina depende de la
temperatura. Las oscilaciones térmicas de los núcleos de los átomos en torno a sus
posiciones de equilibrio dependen de la temperatura. Estas oscilaciones, si son los
suficientemente altas, también pueden provocar la dispersión de los portadores
de carga. Este mecanismo de dispersión se hará dominante a alta temperatura. Por
el contrario, a baja temperatura la dispersión dominante será la debida a imper-
fecciones en la red cristalina. En la Figura 4.1, se aprecia este efecto.
37
10
10
0 5 50300 100 300
T (K)
 10
2
M
ov
ili
da
d 
µ 
(1
0 
cm
 s
)
3
2
n
Figura 4.1: Dependencia entre la movilidad de portadores y la temperatura en un
semiconductor.
4.4. Densidad de corriente debida a los
flujos de arrastre
Definimos la densidad de corriente como la cantidad de carga que atraviesa una
unidad de superficie por unidad de tiempo. Es un parámetro importante en se-
miconductores al que nos referiremos en múltiples ocasiones durante el curso. La
carga total almacenada en un volumen de control (Figura 4. 2):
∆Q = qnA∆x = qpA∆x (4.6)
Donde n = n0+∆n y p = p0+∆p son las densidades de electrones y huecos
por unidad de volumen. Se tienen en cuenta las concentraciones de portadores
en equilibrio, n0 y p0 y los exceso de portadores generados en una situación de
desequilibrio, ∆n = ∆p. A es un área transversal de referencia que usamos para
el cómputo de la densidad de corriente, J , y∆x es un incremento de profundidad
a través de dicho área de referencia, tal como se ilustra en la Figura 4.2. Teniendo
en cuenta que la velocidad de arrastre puede expresarse, para los electrones y los
huecos, como , podemos deducir las densidades de corriente debido a los dos tipos
38
CAPÍTULO 4
Densidad de corriente debida a los
flujos de arrastre
A J
∆x
Figura 4.2: Volumen de control a través del cual fluye una densidad de corriente de
portadores J .
de portadores de cargapresentes en semiconductores (electrones y huecos):
Jn =
∆Q
A∆t
= −qnvan = qnµnξ = σnξ (4.7)
Jp =
∆Q
A∆t
= qpvap = qpµpξ = σpξ (4.8)
Los parámetros σn y σp son las conductividades eléctricas de los electrones y
de los huecos. Por tanto, en un semiconductor, la conductividad total será: σ =
σn + σp. Y la densidad de corriente de arrastre total debido a los electrones y los
huecos será:
Ja = (qµnn+ qµpp) ξ (4.9)
En un material homogéneo, de longitud L, sobre el que hay una caída de ten-
sión V , el campo eléctrico es constante e igual a ξ = V
L
. Por tanto, es posible
deducir la corriente eléctrica que circula por el material:
I = JA = σ
V
L
A (4.10)
Aplicando la Ley do Ohm, V = IR, llegamos al valor de la resistencia del
material:
39
R =
L
σA
(4.11)
Vemos que la resistencia es mayor cuando mayor sea la longitud (L), y menor
cuanto menor sea la sección del material (A) y la conductividad del mismo (σ).
4.5. Difusión de portadores
La difusión de portadores es el mecanismo por el cual los portadores de carga se
desplazan desde las regiones en las que sus concentraciones son mayoritarias hacia
las regiones en las que son minoritarios. La difusión es un proceso que se produce
debido almovimiento aleatorio de las partículas debido a la agitación térmica. Por
ejemplo, consideremos dos regiones con distinta concentración de sal, separadas
por una pared. Si en un instante, la pared desaparece, la mitad de las partículas
de una región se desplazará hacia la región adyacente. A su vez, la mitad de estas
partículas que se han desplazado hacia la región donde su concentración es menor,
se desplazarán en esa dirección. Por tanto, el mecanismo de dispersión provoca
un flujo de portadores desde las regiones en las que son minoritarios hacia las
regiones en las que son mayoritarios. Las concentraciones de portadores en cada
región van a depender de las concentraciones iniciales y del tiempo.
En la Figura 4.3, se muestra el mecanismo de difusión de portadores. Inicial-
mente, todos los portadores se encuentran en una región puntual en torno a la
posición inicial (x = 0). A medida que pasa el tiempo, la concentración de por-
tadores tiende a homogeneizarse en todas las regiones del cristal.
Por tanto, si en un semiconductor existe un gradiente de portadores localizado
en una región del espacio, estos tenderán a difundirse y crearán corrientes de di-
fusión. Puede demostrase que dichas corrientes vienen dadas por:
Jn (x) = qDn
∂n (x)
∂x
(4.12)
Jp (x) = −qDp
∂p (x)
∂x
(4.13)
Donde Dn y Dp son los coeficientes de difusión de los electrones y los huecos
respectivamente. Sus valores vienen dados por las Relaciones de Einstein:
40
CAPÍTULO 4
Densidades globales de portadores
x
n(x)
0
t0
t1
t2
t3
Figura 4.3: Mecanismo de difusión de portadores. Se ilustran las concentraciones
de portadores en tres insstantes distintos, partiendo de una distribución inicial en
el instante t0. Inicialmente, los portadores se encuentran localizados en un región
estrecha. A medida que pasa el tiempo, las concentraciones de portadores tienden a
homogeneizarse en el seno del semiconductor.
Dn = ηn
KT
q
(4.14)
Dp = ηp
KT
q
(4.15)
Nótese que el coeficiente de movilidad de los huecos tiene signo negativo.
Por tanto, al sustituir Dp en la Ecuación 4.13, el signo que se obtendrá será el
mismo que en el de la ecuación de difusión de los electrones. Es decir, electrones y
huecos se desplazarán por difusión en el mismo sentido. Ello tiene lógica, puesto
que según hemos argumentado, los flujos de difusión hacen que los portadores se
desplacen desde las regiones en las que son mayoritarios hacia las regiones en las
que son minoritarios.
4.6. Densidades globales de portadores
En base a las argumentaciones de la sección anterior, en un semiconductor en el
que existe un campo eléctrico que provoca un flujo de arrastre de portadores y
41
distintas concentraciones de portadores, que provocan un flujo de difusión, las
densidades de corriente de los electrones y los huecos pueden expresarse como:
Jn (x) = qµnn (x)E (x) + qDn
∂n (x)
∂x
(4.16)
Jp (x) = qµpp (x)E (x)− qDp
∂n (x)
∂x
(4.17)
Nótese que todos los flujos difusivos tienen el mismo signo, exceptuando a
las corrientes de arrastre de los huecos, que se desplazarán en el mismo sentido
que el campo eléctrico. La densidad total de corriente será igual a las sumas de
densidades de corriente debidas a los electrones y a los huecos:
J (x) = Jp (x) + Jn (x) (4.18)
Es importante recordar que el campo eléctrico es el responsable de los flujos
de arrastre. El flujo de electrones debido al arrastre es proporcional a las concen-
traciones de portadores, por tanto, dicho flujo no será significativo en las regiones
en las que las concentraciones de portadores (dopado) sean reducidas. En cambio,
el flujo difusivo sí puede ser muy significativo en regiones con poca concentración
de portadores, debido a la difusión de los mismos.
4.7. Campo eléctrico y bandas de energía
Consideremos un semiconductor sometido a un campo eléctrico. En ese caso, los
electrones que se encuentren en la banda de conducción experimentarán una fuer-
za: ~F = q ~E . Esta fuerza hará que los electrones se aceleren y aumenten su veloci-
dad mientras se desplazan por el cristal. Por tanto, su energía cinética aumentará
conformen se desplazan. Tal como argumentamos, cuando explicamos los diagra-
mas de bandas de energía, el mínimo de energía de un electrón en la banda de
conducción es igual a Ec. Por tanto, podemos concluir que, debido a la presencia
de un campo eléctrico, las bandas de energía dentro de un semiconductor se cur-
van. Por tanto, el valor mínimo de la banda de conducción y el valor máximo de
la banda de valencia, dependerán de la posición entre los puntos en los que existe
un campo eléctrico. Este fenómeno, se muestra en la Figura 4.4.
Por otra parte, la relación entre la fuerza en la dirección del eje x, Fx, y la
variación de la energía potencial a lo largo de dicha dirección viene dada por:
42
CAPÍTULO 4
Campo eléctrico y bandas de energía
E
Ec
Ef
Ev
Figura 4.4: Efecto de curvatura de las bandas de energía en presencia de un campo
eléctrico.
Fx = −∂Ep
∂x
(4.19)
Por otra parte, sabiendo que la fuerza que un campo eléctrico ejerce sobre
un electrón es Fx = −qξ,y teniendo en cuenta la relación entre el mínimo de la
banda de conducción y el máximo de la banda de valencia, podemos establecer la
siguiente relación entre el módulo del campo eléctrico y las energías de las bandas
de valencia y de conducción:
ξ =
1
q
∂Ec
∂x
=
1
q
∂Ev
∂x
(4.20)
Es importante destacar que el desplazamiento de un electrón a lo largo de la
red cristalina, éste intercambia energía potencial y cinética. Esto ocurre hasta que
el electrón llega a un centro de dispersión. En ese caso, el electrón retorna a los
niveles energéticos bajos de la banda de conducción y disipa la energía ganada en
forma de calor por efecto Joule.
43
4.8. Generación y recombinación de
portadores de carga
Hemos comentado, que debido a la agitación térmica de los portadores de carga y
a la disponibilidad de estados energéticos disponibles, los electrones pueden pasar
desde la banda de valencia a la banda de conducción, generando pares electrón-
hueco. Llamamos de forma genérica a este proceso generación, g0. A su vez, a los
portadores de carga generados, tienen cierta probabilidad de retornar a sus es-
tados energéticos iniciales: este proceso se denomina recombinación, r0. Ambos
procesos son duales y ocurren de forma continua en un semiconductor.
La tasa de recombinación es proporcional a la concentración de portadores mul-
tiplicada por un coeficiente de probabilidad de que se recombinen:
g0 = r0 = γrp0n0 (4.21)
Y en condiciones de equilibrio térmico, la generación será igual a la recombi-
nación: g0 = r0.
Hasta ahora hemos supuesto, que los pares electrón hueco en un semiconductor
surgen por la agitación térmica de los mismos. Sin embargo, existen otros meca-
nismos por los cuales pueden generarse portadoresen el seno de un semiconduc-
tor. Un ejemplo típico, es debido a la incidencia de fotones. Los fotones tienen
una energía inversamente proporcional a la longitud de onda. Si la longitud de
onda es lo suficientemente pequeña, los fotones pueden intercambiar energía con
la red cristalina y generar pares electrón-hueco. Por tanto, en esa situación habrá
un exceso de portadores (∆n y ∆p) con respecto a los que hay en equilibrio tér-
mico (n0 y p0). Si recordamos de temas anteriores, la probabilidad en equilibrio
térmico de que un electrón ocupe un estado energético,E, disponible en la banda
de conducción venía dado por la función de distribución de Fermi-Dirac:
f (E, T ) =
1
1 + e
E−Ef
KT
(4.22)
Sin embargo, en situaciones como la descrita, en las que existe un exceso de
portadores con respecto a los que hay en equilibrio térmico, la probabilidad de
ocupación será más alta. Para tener en cuenta tales situaciones, se definen los cuasi
niveles de Fermi:Fc yFv . Son niveles de Fermi desplazados con respecto al nivel de
Fermi original Fi, tal como se ilustra en la Figura 4.5. Por tanto, la probabilidad
44
CAPÍTULO 4
Generación y recombinación de
portadores de carga
Ev
Ec
Ev
Ec
Fc
(a) (b)E E
Fv
Fi
Figura 4.5: a) Nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco en equilibrio térmico.
(b) Cuasi-niveles de Fermi en un semiconductor intríseco con exceso de portadores
∆n y ∆p en desequilibrio térmico.
de ocupación de un estado energético accesible, E, en la banda de conducción
será:
f (E, T ) =
1
1 + e
E−Fc
KT
(4.23)
Donde Fc es el cuasi-nivel de Fermi de la banda de conducción. La concentra-
ción total de portadores será igual a:
n0 +∆n = Uce
−Ec−Fc
KT (4.24)
De forma análoga, podemos establecer un cuasi-nivel de Fermi para explicar
el exceso de huecos, Fv . Por tanto la probabilidad de que un hueco ocupe un nivel
de energía accesible en la banda de valencia es:
f (E, T ) =
1
1 + e
Fv−E
KT
(4.25)
Y la concentración total de huecos será igual a:
p0 +∆p = Ucve
−Fv−Ev
KT (4.26)
45
Es importante resaltar que la generación y la recombinación de pares electrón-
hueco están totalmente compensadas, porque por cada electrón en exceso, debe
generarse un hueco. Por tanto,∆n = ∆p, y las distancias deFc = Fv con respecto
al nivel de Fermi en equilibrio son iguales, tal como se ve en la Figura 4.5.(b).
Si denominamos gop a la generación de portadores que se produce debido a la
generación de portadores en exceso, es posible expresar la generación total de
portadores como:
g0 + g0p = γr [(n+∆n) (p+∆p)] (4.27)
4.9. Tiempo medio de vida de portadores
en desequilibrio
Consideremos que, de repente, un semiconductor se ilumina con un haz de luz y
se genera un incremento de portadores∆n = ∆p: durante un intervalo temporal
∆t. Queremos determinar cuánto tiempo tarda el semiconductor en volver a su
estado original. En dicho intervalo temporal, la variación temporal de electrones y
huecos será igual a la variación de la recombinación de portadores en el intervalo
temporal en el que se produce el cambio. Es decir:
−dn
dt
= γrnp− g0 = γr (np− n0p0) (4.28)
−dn
dt
= γr [(n0 +∆n) (p0 +∆p)− n0p0] (4.29)
Desarrollando la Ecuación 4.29, teniendo en cuenta que ∆n = ∆p y que
∆n∆p � ∆nn0, llegamos a que:
−dn
dt
= γr (n0 + p0)∆n =
∆n
τ
(4.30)
Donde τ = 1
γr(n0+p0)
es el tiempo medio de recombinación de los electrones
en equilibrio. Resolviendo la ecuación diferencial anterior, llegamos a que:
∆n (t) = ∆n (0) e−
t
τ (4.31)
46
CAPÍTULO 4
Las ecuaciones de continuidad
z
y
x
Volumen Control Volumen
 Control
x
x+∆x
φ(x,t) φ(x+∆x,t)
g(x) r(x)
(a) (b)
Figura 4.6: (a) Volumen de control que consideramos para el estudio de los flujos de
portadores. (b) Sección transversal del volumen de control. Se ilustran los elementos
que determinan las concentraciones de portadores dentro del volumen de control.
Esta ecuación expresa la evolución temporal del exceso de portadores de carga
generados. Vemos que el exceso de portadores, tiende a desaparecer cuando t →
∞.
Por último, cabe decir, que la recombinación no siempre se produce entre es-
tados energéticos de las bandas de valencia y de conducción. A veces, los cristales
presentan impurezas, que hacen que existan estados energéticos accesibles (tram-
pas) dentro de la banda prohibida. Pueden producirse saltos de portadores hacia
dichas bandas. A su vez, fotones pueden generar electrones que ocupen dichas
bandas. También puede ocurrir, que un electrón que ocupe un estado energético
en el centro de la banda prohibida, pase a un nivel energético inferior, generando
un fotón con una energía igual a la diferencia entre los niveles energéticos inicia-
les.
4.10. Las ecuaciones de continuidad
Consideremos un volumen de control en un semiconductor que no se encuentra
en equilibrio térmico, tal como se ilustra en la Figura 4.6, en el que las concentra-
ciones de portadores φ (x, t) dependen de la posición y del tiempo.
Por simplicidad, asumimos que en el plano Y − Z (sección transversal del
volumen de control) las concentraciones de portadores son homogéneas. Por tan-
to, las concentraciones de portadores sólo dependen de las coordenadas (x, t). Las
Ecuaciones de Continuidad son un par de ecuaciones diferenciales de segundo or-
den que permiten conocer las concentraciones de electrones y huecos en función
47
de la posición (eje x) y el tiempo.
∂∆n
∂t
= g − ∆n
τ
+Dn
∂2∆n2
∂x
− µnEan
∂∆n
∂x
(4.32)
∂∆p
∂t
= g − ∆p
τ
+Dp
∂2∆n
∂x2
− µpEap
∂∆p
∂x
(4.33)
No abordaremos la deducción de dichas ecuaciones en este libro. Su deduc-
ción puede encontrase en los manuales de Pierret [1998] y R. S. Muller [1991]. De
forma abreviada, podemos concluir que son un par de ecuaciones diferenciales
que permiten determinar las concentraciones y huecos en función de todos los fe-
nómenos que hemos estudiado en semiconductores: generación, flujos de difusión
y flujos de arrastre; el tiempo y la posición dentro del semiconductor.
Considerando situaciones más particulares que la anterior, podemos considerar
un volumen de control en el que se existe un incremento de portadores cuya con-
centración depende del tiempo y de la posición en un semiconductor fuertemen-
te extrínseco en el que los flujos de difusión dominan sobre los fenómenos de
generación-recombinación y las corrientes de arrastre. Podemos suponer que los
procesos que generan dichos portadores no son uniformes a lo largo del tiempo.
Por ejemplo, imaginemos que existe una fuente de luz cuya intensidad varía en
función del tiempo y que ilumina el plano Y − Z del volumen de control en la
posición x = 0. En ese caso, por simetría, las concentraciones de portadores sólo
dependerán de la posición en el eje x. Puede demostrarse que las concentracio-
nes del número de portadores en función de las variables (x, t) se rigen por la
siguiente ecuación diferencial:
∂∆p
∂t
= Dn
∂2∆n
∂x2
− ∆n
τ
(4.34)
En el caso de que las corrientes estacionarias no dependan del tiempo, ∂∆n
∂t
=
0, es posible simplificar y resolver la ecuación resultante:
Dn
∂2∆n
∂x2
− ∆n
τ
= 0 (4.35)
Resolviendo dicha ecuación y suponiendo que conocemos el valor del incre-
mento de portadores en x = 0, ∆n (0), llegamos a que:
∆n (x) = ∆n (0) e
− x
Lp (4.36)
48
CAPÍTULO 4
Las ecuaciones de continuidad
Donde Lp =
√
Dnτ es la característica de difusión de los electrones. indica
el efecto que tiene un proceso de difusión a lo largo del semiconductor. Mientras
mayor sea, mayor será la distancia en la que el exceso de portadores debido a
los procesos de difusión tiene un efecto apreciable en la concentración local de
portadores.
49
Capítulo 5
El diodo de unión
5.1. Introducción
En este capítulo presentaremos el primero de los dispositivos semiconductores
que se estudiarán durante el curso: el diodo de unión. Veremos cómo se imple-
menta, las ecuaciones que modelan su comportamiento El diodo de unión fue
inventado por Sir John Ambrose Fleming in 1904, al cual se le considera uno de
los padres de la electrónica. El