TAZ-TFM-2023-114

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Introducción y algunas contribuciones a la teoría de
RELATIVIDAD ESPECIAL DEFORMADA
Autor:
Iván Fernández Fernández
Directores:
José Luis Cortés Azcoiti
José Manuel Carmona Martínez
Maykoll Anthonny Reyes Hung
Departamento de Física Teórica
Zaragoza, 3 de febrero de 2023
Resumen
Debido a que el espacio-tiempo desempeña un papel distinto en Relatividad General y en Teoría
Cuántica de Campos, los intentos de unificar ambas teorías en una sola han fallado. Actualmente
se piensa en la Relatividad General como en una teoría efectiva a bajas energías de otra teoría
más fundamental, la teoría de Gravedad Cuántica.
En este trabajo se presenta un modelo que modifica la Relatividad Especial, llamado Relatividad
Especial Deformada. Se postula como una teoría efectiva de Gravedad Cuántica en la que se
introduce una escala característica, que generalmente se considera la escala de Planck.
Para definir las operaciones básicas con las que construir el modelo usaremos un método nove-
doso enfocado en una perspectiva geométrica. El subsecuente desarrollo se centrará en definir
adecuadamente los elementos que conforman la cinemática de procesos del modelo, dejando para
futuros trabajos la extensión a la dinámica de procesos y sus posibles predicciones medibles.
Índice de contenidos
1. Introducción 1
2. Relatividad Especial Deformada 2
3. La base clásica de κ-Poincaré como modelo de DSR 4
3.1. Introducción a la perspectiva geométrica . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2. Ley de composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3. Antípoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5. Relación de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Cinemática relativista deformada 12
4.1. Ley de conservación en diagramas con loops . . . . . . . . . . . . 14
4.2. Cinemática de un proceso a partir de los diagramas de Feynman 16
5. Invariantes relativistas generalizados 19
6. Conclusión 21
7. Bibliografía 25
Anexos:
A. Solución del sistema de ecuaciones para la composición de momentos 27
B. Cálculo de la expresión de la transformación de Lorentz para el segundo
momento de un momento compuesto 28
i
1. Introducción
La unificación de la Relatividad General (GR) y la Teoría Cuántica de Campos (QFT) es un
problema que trae de cabeza a los mayores expertos desde hace décadas, principalmente debido
al papel que tiene el espacio-tiempo en cada una de las teorías: en GR es una variable dinámica
que se deforma por la presencia de fuentes de energía, como materia o radiación, y en QFT es
un marco estático sobre el que se describen los procesos de interacción.
En la actualidad [1], el punto de partida más común es la asunción de que la gravedad puede
ser cuantizada, lo que lleva a extender GR a una QFT en la que es imposible eliminar el cutoff
ultravioleta (UV); es decir, a una teoría no renormalizable. Por esta razón se piensa en GR como
en una teoría efectiva a bajas energías de otra teoría más fundamental y renormalizable, la teoría
de Gravedad Cuántica (QG), de forma similar a cómo se puede extraer la Teoría de Fermi de
la desintegración β como una teoría efectiva de la teoría del Modelo Estándar (SM). Esta teoría
efectiva sería válida por debajo de una cierta escala de masa o energía característica, que juega el
rol de cutoff UV. Normalmente se considera la escala de Planck como el cutoff natural asociado
a QG, aunque existen otras posibilidades y podría tratarse de una escala órdenes de magnitud
por debajo de la de Planck (véase [1, sec. 2.3.4]).
La escala de Planck viene definida en primera instancia a través de la longitud de Planck como
una relación entre constantes fundamentales: la velocidad de la luz c, la constante de Newton G
y la constante de Planck (reducida) ℏ,
lP =
√
ℏG
c3
≈ 1.616255(18)× 10−35m ,
a partir de la cual se pueden obtener el tiempo de Planck, la masa de Planck y la energía de Planck
asociadas. Podemos entender el significado de esta escala fundamental, a la que se equiparan los
efectos gravitatorios y los cuánticos, de dos formas distintas:
1. La longitud de Planck hace referencia al tamaño de un agujero negro cuyo radio de Sch-
warzschild y su longitud de onda Compton son iguales. Tratar de medir longitudes más
pequeñas aumentando la energía provocaría la formación de agujeros negros.
2. Por debajo de esta escala la incertidumbre asociada al tensor métrico provoca que la estruc-
tura del espacio-tiempo no sea igual que la que percibiría un observador a bajas energías.
En su lugar, el espacio-tiempo tendría una estructura en forma de espuma.
Dado que no existe todavía una teoría fundamental de gravedad cuántica consistente que permita
realizar predicciones fenomenológicas a bajas energías, en este trabajo se tomará un enfoque de
tipo bottom-up, en el que se postulan aquellas propiedades que debería tener una teoría QG y que
podrían ser observables a bajas energías, de manera que se puedan hacer algunas predicciones
fenomenológicas realistas comprobables experimentalmente. Existe un consenso generalizado de
que una de tales propiedades debería corresponder a una modificación del espacio-tiempo clásico
y, por tanto, de sus simetrías: la invariancia Lorentz. La modificación que vamos a estudiar en este
trabajo recibe el nombre de Relatividad Especial Deformada o Relatividad Doblemente Especial
(DSR), porque propone deformar las transformaciones de Lorentz de Relatividad Especial (SR)
1
de manera que la escala de Planck sea invariante, de modo similar a como ocurre con la velocidad
de la luz c en SR.
Convencionalmente, se asume que DSR será una teoría efectiva de QG en el límite en que las cons-
tantes de Planck y de Newton van a cero (ℏ, G → 0) manteniendo su cociente constante ℏ/G ̸= 0.
En este límite, la longitud de Planck tiende a cero, siendo la masa de Planck MP =
√
ℏc/G (o
la energía asociada) la que define la escala característica de la teoría a bajas energías.
El objetivo de este trabajo es desarrollar una perspectiva geométrica novedosa para caracterizar
un cierto modelo de DSR particularmente interesante, a diferencia de trabajos previos en los
que se utilizaba una perspectiva algebraica para su definición [2-6]. Como veremos, este modelo
de DSR surge de modo natural en una interpretación de DSR que evita ciertos problemas con-
ceptuales de la interpretación más convencional. La nueva perspectiva incluirá además todos los
ingredientes necesarios para realizar un análisis cinemático de un proceso que involucre varias
partículas, incluyendo una propuesta para obtener las leyes de conservación y los invariantes
relativistas.
El trabajo estará estructurado de la siguiente manera:
Sentaremos las bases del modelo (sección 2), al que, por simplicidad, exigiremos que sea
invariante bajo rotaciones espaciales no deformadas.
Tras presentar los resultados obtenidos en trabajos previos usando la perspectiva algebraica,
nos centraremos en la deducción de las leyes de transformación deformadas de cuadrimo-
mentos y su aplicación en la cinématica de procesos. Se presentará en las secciones 3.2, 3.3
un método novedoso para obtener la composición de dos cuadrimomentos (correspondiente
a la suma y resta de cuadrimomentos en SR), que será completado con una modificación
de la transformación de Lorentz para sistemas de dos o más partículas (sección 3.4) y de
la relación de dispersión (sección 3.5).
Se presentará una propuesta para obtener las leyes de conservación (en la sección 4) y
los invariantes relativistas (en la sección 5) en un proceso que involucre varias partículas,
cerrando así el desarrollo teórico concerniente a la cinemática en este modelo de DSR. Estos
resultados suponen contribuciones originales a la teoría de DSR.
2. Relatividad Especial Deformada
Antes de profundizar en el tema que nos ocupa, es conveniente definir el marco conceptual en el
que situaremos el modelo DSR que se utilizará en el trabajo.Para ello, empezaremos explicando
los ingredientes fundamentales de DSR, que son la ley de composición de momentos, las leyes de
transformación entre observadores inerciales y la relación de dispersión. La deformación de estas
leyes responde a la modificación del principio de relatividad de SR, en el que introducimos una
nueva escala fundamental que puede ser medida por todo observador inercial [7].
En DSR, la ley de composición de momentos deja de ser la de SR (sumas de energías y momentos),
adoptando expresiones no lineales que involucran tanto la escala característica de la teoría como
las componentes de ambos cuadrimomentos, de tal forma que en el límite en el que la escala
característica de energías tiende a infinito se recupera la ley de SR. A su vez, la modificación de las
2
transformaciones de Lorentz viene caracterizada por la modificación de la relación de dispersión,
adaptándose de manera que esta se mantenga invariante bajo estas transformaciones. De nuevo,
se exige que se recuperen las expresiones de SR en el límite en que la escala característica
de energías tiende a infinito. Finalmente, se impone la condición de que la isotropía espacial
se mantiene inalterada. Esto nos lleva a que las rotaciones espaciales vienen descritas por las
mismas transformaciones de SR.
Los primeros modelos de DSR se formularon apoyándose en una perspectiva algebraica; actual-
mente, existe una tendencia en tratar de traducir esta formulación a una perspectiva geométrica
[8], aunque esta última todavía se apoya en los resultados obtenidos con la perspectiva algebrai-
ca. En la primera parte de este trabajo trataremos de formular el modelo utilizando únicamente
una perspectiva geométrica. Por otro lado, además de este cambio de perspectiva, en la segunda
parte del trabajo vamos a introducir un cambio en la interpretación convencional de DSR.
La tendencia habitual entre los autores especializados en este campo es identificar la deformación
introducida en DSR con un cambio en la noción de espacio-tiempo [7, 9], que pierde la propiedad
de conmutatividad y da lugar a una pérdida de la localidad (localidad relativa) debido a la no
linealidad de las leyes de conservación. Esta interpretación convencional surge de la deformación
del álgebra de Poincaré, denominada álgebra de κ-Poincaré, lo que implica una deformación de
las simetrías relativistas [2]. La descomposición del álgebra de Lie asociada al grupo de Lorentz
en un espacio en cinco dimensiones permite definir los generadores de las coordenadas espa-
ciotemporales, que no conmutan, y que caracterizan una generalización del espaciotiempo de
Minkowski. Esta generalización, conocida como espacio-tiempo no conmutativo de κ-Minkowski,
es la base para la interpretación convencional de DSR. Además, la relación de dispersión se mo-
difica de acuerdo con el principio de relatividad, que en este caso estipula que la nueva escala
fundamental es medible por cualquier observador inercial a través de la determinación de la rela-
ción de dispersión de un fotón, y que a su vez implica una modificación de las transformaciones
de Lorentz. La deformación de estas expresiones conduce a una modificación de la propagación
de una partícula aislada ([7, secciones 1.2.2 y 1.2.3], [10]).
Sin embargo, los modelos de DSR basados genéricamente en un cambio en la noción de espacio-
tiempo presentan problemas conceptuales a los que hasta el momento no se les ha dado una
solución satisfactoria. Por ello, en este trabajo reinterpretaremos DSR asociando la deformación
a una interacción entre partículas, es decir, partículas separadas por una distancia menor que
una cierta longitud. Esta nueva interpretación identifica DSR con una modificación de la noción
de localidad en las interacciones en lugar de en el espacio-tiempo, además de eliminar los efectos
que tenía la interpretación convencional sobre la propagación libre.
La nueva interpretación, basada en un cambio en la noción de localidad, soluciona los siguientes
problemas conceptuales inherentes a la interpretación basada en un cambio en la noción de
espacio-tiempo:
Problema del espectador [10]. En la interpretación convencional de DSR, una interac-
ción que sea local para un observador será vista como no local por otro observador como
consecuencia de la localidad relativa. Nos encontramos en una situación en la que, depen-
diendo del sistema de referencia que estemos utilizando, veremos que una cierta partícula
participa o no en una interacción, por lo que no podríamos afirmar que una partícula es
espectadora en un proceso. Por tanto, esta interpretación implica que, para analizar un
3
proceso, también debemos tener en cuenta las partículas espectadoras debido a que no
podemos asegurar que no estén participando en la interacción.
En la nueva interpretación, este problema desaparece al considerar que la deformación sólo
se da por las partículas que participan en la interacción a una distancia menor que la
longitud característica de la teoría. De esta manera, ni el entorno ni el observador afectan
al proceso.
Problema del balón [10, 11]. En regímenes macroscópicos (estados con muchas partícu-
las) surgen problemas a la hora de aplicar transformaciones modificadas a partir de sus
constituyentes (cuadrimomentos de las partículas individuales) en la interpretación origi-
nal de DSR. Los términos de corrección en la relación de dispersión deformada modifican
notablemente la energía total del sistema, haciendo que en general difiera respecto de la
energía total que obtendríamos aplicando la relación de dispersión relativista sin deformar,
en desacuerdo con los resultados experimentales (la energía total del sistema debe con-
cordar con la calculada a través de la relación de dispersión no deformada). También se
puede detectar este problema al considerar la composición de momentos lineales, donde los
términos de corrección también hacen que en general el momento lineal total difiera del
observado (la suma de los momentos lineales).
De nuevo estas dificultades desaparecen al utilizar la interpretación nueva. En estos modelos
la cinemática deformada no se aplica a objetos macroscópicos ni a partículas suficientemente
alejadas, de modo que podemos recuperar las expresiones de SR y hacer compatibles DSR
y los resultados experimentales.
La propiedad del clúster. Los problemas anteriores se extienden al tratamiento de dos
sistemas alejados entre sí en la interpretación convencional. En la interpretación nueva,
la deformación de la cinemática es compatible con el tratamiento independiente de dos
sistemas suficientemente alejados.
Una vez que hemos motivado la introducción de la nueva interpretación que vamos a implementar,
estamos preparados para adentrarnos en el desarrollo matemático de éste.
3. La base clásica de κ-Poincaré como modelo de DSR
Empezaremos revisando brevemente los resultados previos en la construcción de modelos DSR
con el objetivo de tener con qué comparar las expresiones que obtengamos más adelante.
Un punto de partida habitual en la formulación de la deformación de las expresiones de SR son los
generadores X0 y Xi del subálgebra de κ-Poincaré, que se obtienen mediante la descomposición
de Iwasawa y se interpretan como las coordenadas espaciotemporales del espacio-tiempo no
conmutativo de κ-Minkowski [2-6]. La razón para partir desde este punto es definir DSR como
una deformación del álgebra de Poincaré parametrizada por el parámetro κ. Puesto que es posible
redefinir estos generadores combinándolos linealmente entre sí, pueden tenerse distintas bases de
la deformación κ-Poincaré [12]. Cada una de estas bases representa un modelo DSR, y en todas
ellas es habitual la asunción de que la subálgebra de Lorentz no está deformada, lo que permite
extraer los generadores del subálgebra X0 y Xi, que llamaremos generador temporal y espacial,
4
respectivamente; los generadores Xi conmutan entre sí, pero no conmutan con X0. En este
trabajo nos centraremos en la llamada base clásica, caracterizada por que las transformacionesde Lorentz actúan sobre un momento de la misma manera que en SR (toda la no trivialidad de
la descomposición aparece en la ley de composición de momentos y en las transformaciones de
Lorentz del sistema de dos partículas).
Con esta descomposición, podemos definir un elemento del grupo producto de los grupos genera-
dos por cada uno de los generadores espaciotemporales, siendo cada uno de ellos la exponencial
de la contracción con la coordenada de la variedad cuadridimensional del espacio de momentos
g = eikiX
i
eik0X
0 , donde kiX
i envuelve un sumatorio en i. Definiendo el elemento del grupo de
esta manera, en lugar de considerar la exponencial de una combinación lineal de los cuatro gene-
radores, el grupo de transformaciones generado por las coordenadas de espacio-tiempo incluirá
transformaciones más allá de ese subgrupo abeliano. Las entradas no triviales de la matriz re-
sultante nos permiten definir las que serán las coordenadas de la base clásica P0 y Pi (y una
cantidad adicional P4, que cumple P 2
4 = 1/κ2 + P 2
0 − P⃗ 2) como una elección alternativa a las
coordenadas k0 y ki para cada elemento del grupo. Las relaciones entre las distintas coordenadas
son:
P0 (k0,k) =
1√
κ
[
sinh
√
κk0 +
κk2
2
e
√
κk0
]
Pi (k0,k) =kie
√
κk0
P4 (k0,k) =
1√
κ
[
cosh
√
κk0 −
κk2
2
e
√
κk0
] (1)
Estas expresiones se obtienen al actuar con la matriz sobre el origen de la variedad, definido
por el vector O = (0, 0, 0, 0, 1/κ). De esta manera, podemos definir las componentes de un
cuadrimomento como las coordenadas alternativas Pµ.
Dados dos elementos de un grupo, g y h, que representan dos puntos de la variedad, se define la
composición de los dos elementos del grupo como una aplicación en la variedad que, dados dos
puntos, define un tercer punto representado por un nuevo elemento del grupo, f = f(g, h). Al
asociar momentos a cada punto en la variedad, se tiene una aplicación que asocia un momento
a un par de momentos. A esta aplicación, definida por la composición de elementos del grupo,
es lo que denominamos composición de momentos.
Para obtener la ley de composición, debemos darnos cuenta de que al componer dos elementos
del grupo g y h, a los que asociamos dos momentos Pµ y Qν , respectivamente, el elemento del
grupo resultante f = gh, al que asociamos el momento (P ⊕Q)µ, debe ser un elemento del
grupo. El resultado de actuar con el producto de las matrices sobre el origen de la variedad nos
proporciona las expresiones de la composición de dos momentos:
(P ⊕Q)0 =P0κ (Q4 +Q0) +Q0
1
κ (P4 + P0)
+
P⃗ · Q⃗
P4 + P0
,
(P ⊕Q)i =Piκ (Q4 +Q0) +Qi .
(2)
Utilizando este método, nos hemos visto obligados a hacer referencia a las coordenadas (k0, ki)
para obtener las leyes de composición en las coordenadas (P0, Pi). Estas relaciones imponen una
5
restricción sobre los posibles valores de las componentes de un momento, que viene dada por la
expresión P0 + P4 > 0. Por otro lado, esta aproximación algebraica requiere la obtención de los
generadores X0 y Xi, para lo que no existe un procedimiento simple.
Por estas razones, vamos a desarrollar una perspectiva geométrica que nos permita obtener los
ingredientes del modelo de DSR correspondiente a la base clásica de κ-Poincaré, que son las leyes
de composición y transformaciones de Lorentz para el sistema de dos partículas, complementados
con la relación de dispersión y las transformaciones de Lorentz de una partícula (triviales para
el caso de la base clásica), de una manera más directa y sencilla.
3.1. Introducción a la perspectiva geométrica
En el sucesivo desarrollo usaremos una perspectiva geométrica, en la que usaremos un espacio
llano en 5 dimensiones para describir un espacio curvo de una dimensión menor. Los índices
griegos harán referencia a las componentes del espacio de Minkowski (µ, ν, . . . = {0, 1, 2, 3}), los
latinos a las componentes espaciales (i, j, . . . = {1, 2, 3}), y los índices latinos en mayúscula a las
componentes un espacio 5D (A,B, . . . = {0, 1, 2, 3, 4}).
Esta perspectiva se basa en la identificación de la variedad definida por el grupo de transformacio-
nes generado por las coordenadas
(
X0, Xi
)
de κ-Minkowski con un espacio curvo maximalmente
simétrico [8] 1.
Empezamos considerando un espacio de momentos curvo, identificando los puntos del espacio
con las variables momento. A continuación, tomaremos un espacio de momentos maximalmente
simétrico y particularizaremos al caso de interés en función de las propiedades que le exigimos,
definiendo las leyes de composición y las transformaciones de Lorentz (“quasi-traslaciones” y
“rotaciones rígidas” de las variables momento, respectivamente) a partir de las isometrías del
espacio de momentos.
Podemos obtener la forma maximalmente simétrica de la métrica en el espacio de momentos 4D,
con coordenadas pµ, embebiéndolo en un espacio 5D plano, con coordenadas xA = (pµ, z). Aquí
la coordenada p0 hace referencia a la energía de la partícula, y las coordenadas “tipo momento”
p1, p2, p3 y z hacen referencia al momento lineal de la partícula y a la nueva dimensión añadida,
respectivamente. El elemento de línea viene definido a partir de la métrica gAB
dτ25 = gABdx
AdxB = Cµνdp
µdpν − κ−2dz2 , (3)
donde Cµν es una matriz simétrica constante 4× 4 que para la signatura (+,−,−,−) tendrá un
autovalor positivo (energía) y tres negativos (momento lineal); generalmente se sustituye esta
matriz por la métrica de Minkowski. En este espacio 5D restringimos las variables a un 5D-
hiperboloide con curvatura κ constante [13], relacionada con la escala característica de DSR (Λ)
según κ = 1/Λ, bajo la condición κ2Cµνp
µpν − z2 = −1. Esta última condición nos permite
reducir el espacio 5D al 4D con la relación entre z y pµ,
1Un espacio maximalmente simétrico es un espacio métrico en el que se puede definir el concepto “dimensión”
y cuyo grupo de simetría tiene la dimensión máxima posible. Un espacio métrico real de dimensión D tiene
asociado un grupo de isometría (subgrupo del grupo de simetría que contiene todas las biyecciones que preservan
la distancia), el grupo de Lie, cuya dimensión máxima es D(D + 1)/2.
6
dτ24 = dpµγµνdp
ν , donde γµν = Cµν −
κ2
1 + κ2Cρσpρpσ
Cµλp
λCνηp
η . (4)
Imponer la covariancia de las transformaciones usando esta parametrización del espacio vectorial
nos llevaría al llamado modelo de Snyder [14]. El principal argumento para rechazar este modelo
se centra en la expresión resultante para la composición de dos variables momento, que no es
asociativa, lo que impide analizar sistemas con más de dos partículas de manera intuitiva. Por esta
razón, priorizaremos la asociatividad de la composición de dos momentos sobre la covariancia,
exigiendo que la composición forme un grupo.
Antes de continuar, y dado que le exigimos al modelo invariancia bajo rotaciones, podemos
simplificar los cálculos eligiendo que la matriz Cµν sea la métrica de Minkowski Cµν = ηµν y
reescalando la quinta componente z = κP4. La métrica queda (escribimos las cuatro primeras
componentes en mayúsculas para diferenciarlas de las originales)
dτ25 = dP 2
0 − dP2 − dP 2
4 , (5)
junto con la condición
P 2
0 −P2 − P 2
4 = − 1
κ2
, (6)
donde definimos P =
√
P 2
1 + P 2
2 + P 2
3 .
Sin pérdida de generalidad, seleccionamos el punto
(
0, 0, 0, 0, 1
κ
)
como origen de nuestra variedad.
La otra opción, que es la elección del punto
(
0, 0, 0, 0,− 1
κ
)
como origen, no modifica sustancial-
mente el desarrollo realizado, salvo signos.
Por construcción, tanto la métrica como las condiciones impuestas son invariantes bajo transfor-
maciones de Lorentz en el espacio 5D, L A
B , según:
Pµ → Pµ = L ν
µ Pν + L 4
µ P4 ,
P4 → P4 = L ν
4 Pµ + L 4
4 P4 .
(7)
Para que una transformación sea válida, las condiciones anteriores deben cumplirse para la va-
riable momento transformada. De P 2
0 −P2 − P 2
4 = P2
0 −P2 −P2
4 = − 1
κ2 se puede extraer:
(
L 4
4
)2
+ δijL 4
i L 4
j −
(
L 4
0
)2
= 1 ,
L µ
0 R 4
0 − δijL µ
i L 4
j − L µ
4 L 4
4 = 0 ,
L µ
0 L ν
0 − δijL µ
i L νj − L µ
4 L ν
4 = ηµν .
(8)
Estas condiciones son equivalentes a las requeridas para una transformación de Lorentz general
en el espacio 5D,
L A′
A ηA′B′L B′
B = ηAB , (9)
7
lo que permite identificar las isometrías del espacio de momentos curvo 4D maximalmente simétri-
co con las transformaciones de Lorentz en el espacio de Minkowski 5D plano: el grupo de Lorentz
es el grupo de transformaciones lineales que dejan invariante el producto minkowskiano de dos
vectores, y es isomorfo al grupo ortonormal generalizado, que es el grupo de transformaciones
lineales que dejan invariante la métrica del espacio de Minkowski en 5D.
Es directo comprobar que las expresiones de las transformaciones de Lorentz habituales en SR
en las variables Pµ dejan invariantes todas las expresiones citadas. Como consecuencia, tenemos
que la relación de dispersión será también la misma que en SR, generalizada a una coordenada
espacial más.
Aplicar la relación de dispersión a (6) nos lleva a identificar
m2 = P 2
4 − 1
κ2
(10)
por lo que, para evitar masas imaginarias, deberíamos imponer la condición P4 ≥ 1
κ . Definimos
entonces las variables momento físicas como aquellas con P0 positiva y P 2
0 − P2 ≥ 0, y que
escribiremos en minúsculas p0, pi. De ahora en adelante usaremos la notación en minúsculas
cuando nos refiramos a variables momento físicas, y en mayúsculas cuando nos refiramos a
variables momento que no sean físicas, o bien cuando nos refiramos a las componentes de un
punto en el espacio vectorial.
3.2. Ley de composición
Procederemos a deducir la ley de composición de DSR compatible con una transformación de
Lorentz lineal (es decir, la correspondiente a la base clásica) para una variable momento (com-
posición de cuadrimomentos o quasi-traslación).
Podemos denotar a los factores de P4 en la transformación de la variable momento Pµ según
L 4
M = κAM , donde escribimos las constantes en forma de matriz fila AM = (Aµ, A4). Esta matriz
puede identificarse con las componentes del momento 5D resultado de aplicar la transformación al
momento 5D que representa el origen O =
(
0, 0, 0, 0, 1
κ
)
, lo que puede comprobarse sustituyendo
P = O y L 4
M = κAM en (7). Dado que cada momento 5D tiene asociado un momento 4D
cuyas componentes son las cuatro primeras componentes del momento 5D, esta transformación
se corresponde con la transformación del momento 4D de componentes nulas en el momento 4D
de componentes Aµ. Identificar esta transformación con una traslación en 4D nos lleva a que Aµ
son los cuatro parámetros de la traslación. Esta interpretación hace que se cumpla directamente
la primera condición de (8).
Ahora tenemos 20 ecuaciones (las 15 ecuaciones de (8) más las 5 definiciones de L4
M ) para los 25
grados de libertad del sistema (las distintas componentes de L sin suponer su covariancia). Sólo
nos falta por encontrar esas últimas 5 condiciones que nos permitan definir las quasi-traslaciones.
Estas condiciones deben provenir de imponer la asociatividad en la composición de momentos.
La forma en que imponemos esta condición viene de la interpretación de las isometrías como
transformaciones de Lorentz en el espacio plano 5D, imponiendo que las quasi-traslaciones for-
men un subgrupo de las transformaciones de Lorentz en el espacio de Minkowski 5D. Podemos
definir este subgrupo a través de la invariancia de un cierto subespacio del espacio 5D bajo estas
8
transformaciones. Dado que estamos definiendo transformaciones lineales, es conveniente 2 que
este subgrupo venga determinado por un subespacio definido por una expresión lineal en las
componentes del espacio 5D P0, Pi, P4.
Dado que estamos imponiendo la isotropía en nuestro modelo, este subespacio será el hiperplano
cuadridimensional dentro del espacio de Minkowski 5D definido por la anulación de una cierta
combinación lineal de P0 y P4, f (P0, P4) = 0. Esta imposición es equivalente a decir que esta
combinación lineal de las componentes transformadas f (P0,P4) es proporcional a la misma
combinación lineal de las componentes sin transformar, i.e. f (P0,P4) ∝ f (P0, P4).
Bajo todas las condiciones impuestas, es fácil ver que debemos definir 3
f (P0, P4) = P4 + αP0 → P4 + αP0 = ρ(A) (P4 + αP0) (11)
donde α es una constante a determinar y ρ(A) es el factor de proporcionalidad resultado de aplicar
la transformación L N
M con coeficientes AM = (A0, Ai, A4). Aplicando (11) a la transformación
del origen O encontramos 4
ρ(A) = κ (A4 + αA0) , (12)
lo que nos impone las siguientes 4 condiciones
L 0
4 + αL 0
0 = α
(
L 4
4 + αL 4
0
)
= ακ (A4 + αA0)
L i
4 + αL i
0 = 0 ,
(13)
que, junto con la nueva incógnita α, nos permiten resolver (8). Una de las ecuaciones nos propor-
ciona los posibles valores de α que permiten resolver el sistema, obteniendo la condición α2 = 1.
El desarrollo en detalle puede consultarse en el Anexo A.
En función del valor de α, tenemos
2El método que utilizamos para definir el subgrupo, y por tanto obtener una ley de composición, no es único.
Se pueden obtener expresiones distintas a partir de la definición de subespacios diferentes que sean invariantes
bajo estas transformaciones de Lorentz en el espacio 5D.
3De haber definido f (P0, P4) ̸= 0 como subespacio invariante bajo la transformación, tendríamos ρ(A) = 1 y
no podríamos definir una composición de momentos.
4Con este resultado es fácil ver por qué P4 no tiene un factor multiplicando en la expresión que define el
subespacio invariante. Suponiendo un factor β multiplicando a P4, si aplicamos una transformación al origen O
dada por A = O llegamos a β = β2, por lo que si queremos que P4 aparezca en la expresión debemos elegir β = 1.
9
L 0
4 = ακA4 −
α
κ (A4 + αA0)
L i
4 = − δibAb
A4 + αA0
L 4
M = κAM
L 0
0 = ακA0 +
1
κ (A4 + αA0)
L 0
i = ακAi L i
0 = α
δibAb
A4 + αA0
L i
j = δij
P0 = A0κ (P4 + αP0) + P0
1
κ (A4 + αA0)
+ α
P⃗ · A⃗
A4 + αA0
Pi = Pi + κ (P4 + αP0)Ai
P4 = A4κ (P4 + αP0)− αP0
1
κ (A4 + αA0)
− P⃗ · A⃗
A4 + αA0
,
(14)
donde P⃗ y A⃗ se refieren a las componentes momento lineal de P y A, siendo su producto escalar
P⃗ · A⃗ = δijPiAj .
Definimos la composición de variables momento físicas de derecha a izquierda 5 de modo que es
la variable momento de la derecha a la que se le aplica la quasi-traslación con parámetro el de
la izquierda, es decir,
p0 = (P ⊕Q)0 =p0κ (Q4 + αq0) + q0
1
κ (P4 + αp0)
+ α
p⃗ · q⃗
P4 + αp0
pi = (P ⊕Q)i =piκ (Q4 + αq0) + qi
P4 = (P ⊕Q)4 =P4κ (Q4 + αq0)− αq0
1
κ (P4 + αp0)
− p⃗ · q⃗
P4 + αp0
(15)
La propiedad más importante de esta definición de quasi-traslación es la asociatividad: a di-
ferencia de otros modelos DSR, este modelo facilita la composición de un número elevado de
variables momento, imprescindible para el análisis de procesos en física de partículas. Al elegir
la asociatividad de la composición de momentos, hemos tenido que sacrificar la covariancia de la
misma. Nótese también que la composición de momentos que hemos definido no es conmutativa,
lo que modificará el entendimiento que tenemos en las leyes de conservación que se aplican en
procesos que involucran dos o más partículas.
Se puede comprobar que, definidas de esta manera, las leyes de composición son las mismas que
se obtienen en trabajos previos, reproduciendo la composición de la base clásica de κ-Poincaré,
mostrada en (2), cuando imponemos α = 1. Por tanto, hemos proporcionado un método alterna-
tivo para definir este modelo DSR con una salvedad: con este método no hay ninguna necesidad
de imponer la condición adicional A4+αA0 > 0 utilizado en estos trabajos previos [2-6]. Podemos
concluir que el resultado que arroja el método utilizado en trabajos previos está relacionado con
un subespacio del espacio vectorial que hemos utilizado en este trabajo.
Nótese que para evitar infinitos en la composición de dos momentos físicos debe exigirse que
P4 + αp0 ̸= 0. La elección α = −1 conduce a una situación con una interpretación física poco
clara: habría un conjunto de momentos que, además de otros problemas heredados, no pueden5Esta definición no afecta al resto del desarrollo del modelo. El único motivo para definirlo de esta manera es
obtener expresiones que puedan compararse con el desarrollo algebraico original [4-7].
10
componerse 6. Por otro lado, dado que los momentos físicos tienen P0 > 0 y P4 > 0, no habrá
momentos físicos que cumplan P4+αP0 = 0 si elegimos α = 1, en concordancia con las expresiones
obtenidas en trabajos previos. Por estas razones, descartamos la opción de α = −1. Es el caso
α = 1 el que reproduce la cinemática de DSR en la perspectiva geométrica.
Terminamos con una serie de definiciones que permiten caracterizar sistemas de una o más
partículas. Mantendremos la constante α en las sucesivas expresiones para que sean lo más
generales posibles.
3.3. Antípoda
Se define como la variable momento P̂ que compuesta con su variable momento asociada P da
como resultado la variable momento nula P ⊕ P̂ = O = (0, 0, 0, 0, κ−1).
P̂0 =− p0 +
αp⃗ 2
P4 + αp0
= −αP4 +
α
κ2 (P4 + αp0)
P̂i =− pi
κ (P4 + αp0)
P̂4 =P4 .
(16)
Es fácil ver que en el límite de SR recuperamos la forma habitual, en la que la antípoda es
simplemente el cuadrimomento cambiado de signo. El papel de la antípoda dentro del modelo es
el de permitirnos escribir relaciones entre momentos en un proceso de manera análoga a como lo
hacemos en SR: una igualdad entre sumas o diferencias de cuadrimomentos en SR se traducirá
en una composición de momentos o una composición de un momento con la antípoda de otro
en DSR. También podremos escribir los invariantes relativistas, que en SR son cuadrados de
sumas o diferencias de momentos, como cuadrados de la composición de dos momentos o de la
composición de un momento con la antípoda de otro.
3.4. Transformaciones de Lorentz
Es fácil ver que la actuación de una rotación sobre la composición de dos variables momento es
trivial, siendo equivalente a la composición de las dos variables momento rotadas de la misma
manera. Este resultado es consecuencia de imponer la isotropía en el modelo.
En cuanto a los boosts o transformaciones de Lorentz puras, queremos imponer que tanto el
momento compuesto como uno de los dos momentos que se componen transformen de la misma
manera que en SR; el otro momento que se compone sufrirá una transformación de Lorentz con
parámetros distintos. Expresamos esta condición como
(P ⊕Q)′ = P ′ ⊕ Q̄ , (17)
6Prestando atención a (6), el hiperplano definido por los momentos que cumplen P4 + αP0 = 0 con α = −1
viene dado por todos aquellos cuadrimomentos físicos con un momento P⃗ 2 = 1/κ2. Estos cuadrimomentos físicos
no tendrían bien definidos ni la composición con otro cuadrimomento dependiendo de la posición en la que
aparezcan en la composición ni, como veremos más adelante, la antípoda, la ley de conservación en un proceso
y los invariantes relativistas generalizados. El significado de este comportamiento particular no está claro y deja
lugar a la especulación.
11
donde la tilde indica la transformación usual del boost en SR y la barra indica otra expresión
del boost diferente. La idea detrás de esta condición es encontrar la variable momento que, al
componerse con el boost usual de la otra variable momento, dé como resultado el boost de la
composición de las dos variables momento originales.
Las expresiones para las variables momento transformadas en el espacio 5D son (desarrollo en el
Anexo B)
Q̄0 = α
[
(P ⊕Q)4 + α (P ⊕Q)′0
κ (P4 + αP ′
0)
−Q4
]
,
Q̄i = (P ⊕Q)′i − P ′
i
(P ⊕Q)4 + α (P ⊕Q)′0
P4 + αP ′
0
,
Q̄4 = Q4 .
(18)
La invariancia de la cuarta componente bajo esta transformación de Lorentz junto con (6) revela
que la cantidad m2 = Q2
0−Q⃗2 = Q̂2
0−
⃗̂
Q2 también se mantiene invariante, tal y como esperábamos.
3.5. Relación de dispersión
El casimir 7 que da lugar a la relación de dispersión viene determinada, en la perspectiva geomé-
trica, por (el cuadrado de) la “distancia” desde el origen hasta el punto que define el momento
de la partícula C(p) = d2(0, p) = m2 en el espacio 5D.
La forma general de obtener la expresión es calculando la ecuación geodésica (a través de los
símbolos de Christoffel) e integrando sobre la curva que une ambos puntos. Sin embargo, en
este caso tenemos un espacio plano y contamos con la condición (6), por lo que, como se puede
comprobar, el casimir es una función de P 2
0 −P2, C(p) = C
(
P 2
0 −P2
)
. Por tanto, la relación de
dispersión es la misma que en SR
P 2
0 −P2 = m2 (19)
Evidentemente, es invariante bajo transformaciones de Lorentz lineales, que son las usadas para
este modelo de DSR en el sistema de una partícula (base clásica).
4. Cinemática relativista deformada
La ley de composición de DSR modifica el entendimiento que tenemos sobre la cinemática de
sistemas de dos o más partículas. A pesar de conseguir que sea asociativa, la no conmutatividad
de la composición introduce una arbitrariedad en la teoría. En general P ⊕ Q ̸= Q ⊕ P , por lo
que en los procesos que envuelvan 2 o más partículas en el estado inicial y/o final, el orden en
el que compongamos las variables momento en el planteamiento de las leyes de conservación no
será trivial, a diferencia de en SR.
7Dado un álgebra de Lie, el operador casimir es un operador que conmuta con todos los elementos del álgebra.
Estos operadores se construyen a partir de los elementos del álgebra y tienen la propiedad de que cualquier
potencia del casimir es a su vez casimir del álgebra.
12
Al no haber un criterio consistente y bien definido que dé preferencia a una ordenación concreta
de los momentos en la composición en un proceso, debemos aceptar que todas las posibles orde-
naciones pueden ser válidas. Cada una de estas posibles ordenaciones define un “canal” o vía por
la que se da el proceso.
Debemos encontrar un método que nos diga cuáles son estas posibles ordenaciones de las com-
posiciones de los momentos en un proceso. Para eso nos apoyamos en los diagramas de Feynman
que aparecen en la representación diagramática de las diferentes contribuciones a la amplitud
de probabilidad de que se dé un proceso en el tratamiento perturbativo en teoría cuántica de
campos.
En estos diagramas, la cinemática viene codificada en los vértices, que interpretamos como inter-
acciones entre 2 o más partículas en un punto del espacio-tiempo, y las líneas, que se asocian con
el momento de una partícula que participa en el proceso. Cada vértice del diagrama de Feynman
y las líneas que van a parar al vértice se corresponden con el producto de campos que aparecen en
un término del lagrangiano en un mismo punto del espacio-tiempo, que a su vez se corresponden
con partículas que están a distancias arbitrariamente pequeñas, hasta su interacción en el mismo
punto del espacio-tiempo. Queda entonces claro que la nueva ley de composición ha de aplicarse
en los vértices del diagrama, de modo que ahora será la composición de los momentos de las
líneas que entran al vértice lo que es igual que la composición de los momentos de las líneas que
salen.
Debido a la no conmutatividad de la composición, la relación entre los momentos entrantes y
salientes del vértice ya no es única. Este simple hecho cambia el entendimiento que tenemos de
la ley de conservación como una relación entre los momentos de las líneas externas del diagrama.
Figura 1: Diagrama de Feynman de la gene-
ración de un par electrón-positrón a partir
de la interacción de dos fotones a orden ár-
bol. Las flechas en las líneas representan el
momento (no su flujo de carga), y el avance
temporal va de izquierda a derecha.
Para ilustrar este cambio de paradigma utilizamos
como ejemplo la generación de un par electrón-
positrón debido a la interacción de dos fotones a
orden árbol (Fig. 1), proceso de gran importancia
en el estudio de fotones de alta energía en astrofí-
sica.
En este caso podemos identificar el fotón de alta
energía con el de momento k y el de baja energía
con el de momento κ. En cada vértice tenemos una
igualdad entre la composición de los momentos en-
trantes y la composición de los momentos salientes,lo que nos permite eliminar el momento de la línea
interna L, resultando cuatro posibles relaciones en-
tre los distintos momentos de las líneas externas
k ⊕ P̂− =P+ ⊕ κ̂
k ⊕ P̂− =κ̂⊕ P+
P̂− ⊕ k =P+ ⊕ κ̂
P̂− ⊕ k =κ̂⊕ P+
(20)
13
que serían iguales si estuviésemos en SR.
La segunda y la tercera ecuación de (20) pueden reescribirse, eliminándose las antípodas, para
expresar estas relaciones como una igualdad entre una composición de momentos entrantes y
una composición de momentos salientes, como es habitual en las leyes de conservación en SR.
Sin embargo, en la primera y la cuarta no es posible hacer esto. En primera estancia estaría-
mos tentados de eliminar estas dos ecuaciones y limitarnos a aquellas que representan leyes de
conservación tal y como estamos acostumbrados en SR, pero esto no siempre es posible.
Un ejemplo viene de considerar un scattering protón-electrón. En el vértice que representa la
interacción del fotón virtual y el electrón operaríamos de la misma forma que antes porque todas
las partículas involucradas en el vértice son elementales (no tienen estructura). Por otro lado, en
el vértice que involucra al protón, al ser una partícula no elemental (los protones son sistemas
compuestos de quarks y gluones) la interacción es manifiestamente no local 8, por lo que no
veremos los efectos de DSR y deberán aplicarse las leyes de composición de SR: la composición
es la suma y la antípoda es el negativo del momento original. En este caso está claro que no se
podrá escribir la ecuación con la forma habitual de una ley de conservación.
Por tanto, debemos generalizar el concepto de conservación a una dependencia de las variables del
estado final (momentos) con las del estado inicial, de modo que a partir de ahora para nosotros la
expresión “ley de conservación” tendrá este significado en lo que a cinemática se refiere. También
debemos diferenciar entre dos tipos de vértices (procesos o interacciones): los elementales, que
son aquellos que sólo involucran partículas elementales y que en QFT dan lugar a interacciones
localizadas en un punto del espacio-tiempo, y los no elementales, que incluyen al menos una
partícula no elemental e imposibilita localizar la interacción en un punto del espacio-tiempo.
Llegados a este punto, es posible ver el cambio de entendimiento esencial detrás del modelo DSR
que estamos implementando. En el desarrollo de este modelo se trata el modelo estándar como
una teoría efectiva de otra en la que las interacciones no son locales, cuyos efectos vienen caracte-
rizados por la deformación. Por debajo de una cierta escala (caracterizada por κ), la interacción
entre partículas elementales será no local, pudiendo entenderse como una teoría relativista no
local.
4.1. Ley de conservación en diagramas con loops
Es conveniente revisar qué pasa cuando utilizamos las pautas descritas en un diagrama en el que
aparece al menos un loop. Para ilustrarlo añadimos al diagrama 1 un loop (Fig. 2).
De nuevo encontramos una serie de relaciones entre los momentos de las líneas externas del
diagrama
8Este vértice, en la práctica, representa el elemento de matriz de la corriente electromagnética entre el protón
entrante y el saliente, que requiere de física no perturbativa para calcularlo (teoría de la interacciones fuertes que
describe al protón como un estado ligado). Se expresa en función de factores de forma que reflejan que, aunque la
corriente electromagnética sea un operador local, esa interacción con el protón no es algo que ocurra en un punto
del espacio-tiempo.
14
k ⊕ P̂− =P+ ⊕ κ̂
k ⊕ P̂− =κ̂⊕ P+
P̂− ⊕ k =P+ ⊕ κ̂
P̂− ⊕ k =κ̂⊕ P+
(21)
Figura 2: Diagrama de Feynman de la gene-
ración de un par electrón-positrón a partir
de la interacción de dos fotones a un loop.
Las flechas en las líneas representan el mo-
mento (no su flujo de carga), y el avance
temporal va de izquierda a derecha. Puede
elegirse indiferentemente la línea etiqueta-
da con el momento A o con el momento B
para que represente a un fotón.
pero esta vez encontramos unas relaciones adicio-
nales en las que aparece un momento de una de las
líneas internas
k ⊕ P̂− =A⊕ P+ ⊕ κ̂⊕ Â
k ⊕ P̂− =A⊕ κ̂⊕ P+ ⊕ Â
P̂− ⊕ k =Â⊕ P+ ⊕ κ̂⊕A
P̂− ⊕ k =Â⊕ κ̂⊕ P+ ⊕A
(22)
Estas líneas internas son herramientas para un
cálculo perturbativo, por lo que no deberían tener
cabida en las leyes de conservación que describen
la cinemática de un proceso.
En primera instancia podríamos pensar que los dia-
gramas a nivel árbol nos proporcionan las leyes de
conservación, y que los diagramas con loops impo-
nen restricciones a los momentos que pueden ad-
quirir las partículas virtuales representadas por las
líneas internas. Sin embargo hay un ejemplo claro
que contradice esta forma de entender el resultado.
Si consideramos un proceso de scattering entre fo-
tones aparece un loop que no podemos eliminar, y de nuevo al tratar de calcular las leyes de
conservación aparecen relaciones que envuelven momentos de las líneas internas. Dado que no
hay un diagrama a orden árbol para este proceso, no tiene sentido utilizar estas expresiones para
restringir los momentos de las líneas internas.
Por esta razón, a falta de encontrar un argumento sólido que modifique el entendimiento sobre
estas relaciones, debemos rechazar las relaciones que envuelvan momentos de líneas internas,
limitando las leyes de conservación a aquellas que únicamente envuelvan los momentos de las
líneas externas.
Se puede ver que si la única diferencia entre dos diagramas es o bien un loop formado al unir dos
líneas que se unen en el mismo vértice, o bien un loop introducido dentro de una línea interna
(como en 2), el diagrama que tiene un loop más nos proporcionará las mismas relaciones o menos
que el otro diagrama.
15
4.2. Cinemática de un proceso a partir de los diagramas de Feynman
Para obtener todas las relaciones entre los momentos de las líneas externas válidas para un pro-
ceso es necesario tener en cuenta todos los diagramas posibles. En nuestra forma de proceder
imponemos que todas las líneas del diagrama tendrán un momento asociado, y nunca una an-
típoda. Esto implica tener en cuenta no sólo las distintas configuraciones que pueden dibujarse
con una cierta cantidad de líneas internas, sino además todas las posibles direcciones de los mo-
mentos de las líneas internas en cada diagrama, con la limitación de que en un vértice no pueden
ser todas las líneas entrantes o salientes. El efecto de considerar todas las posibles direcciones
de los momentos de las líneas internas sobre las leyes de conservación se hace patente cuando
consideramos procesos que envuelven tanto partículas elementales como compuestas.
Trataremos de proponer un método sistemático que no nos obligue a plantear todas las direcciones
de las líneas internas en un diagrama, o por lo menos nos simplifique su cálculo. En este método, a
cada vértice le asociaremos un momento resultado de la composición de los momentos asociados a
las líneas externas que van a parar a ese vértice (en todas las ordenaciones posibles). El resultado
de componer los momentos asociados a los distintos vértices según se indica más adelante se
igualará a 0.
En vértices elementales, las líneas externas entrantes aparecen en la composición con el mo-
mento asociado, y las líneas externas salientes aparecen con la antípoda del momento asociado.
En vértices compuestos tendremos dos posibles momentos asociados (se corresponden a las dos
direcciones del momento total asociado a las líneas internas en el vértice): la diferencia de los mo-
mentos de las líneas externas entrantes menos las salientes (
∑
Pin−
∑
Pout), o la antípoda de la
diferencia de los momentos de las líneas externas salientes menos las entrantes (
∑
Pout−
∑
Pin).
En los vértices compuestos, para que un posible momento asociado sea válido, la diferencia de
momentos debe hacer referencia a un momento, i.e. debemos escoger la diferencia de momentos
cuya energía sea positiva. A continuación, tendremos que especificar si este momento es entranteo saliente para saber si deberíamos tomar el momento o su antípoda, respectivamente, para
componer con los momentos asociados de vértices elementales. En caso de tener dos o más
vértices compuestos conectados entre sí por líneas internas, operamos igual que haríamos en SR
y se toma el momento total, excluyendo las líneas internas que conectan con vértices elementales,
para componer con el resto de vértices elementales.
Añadimos la figura 3 para ilustrar los conceptos expuestos respecto a los vértices.
Esta asociación entre vértices y momentos de líneas externas sirve para describir las posibles
ordenaciones en las dos subestructuras principales de las que se compone un diagrama: diagrama
tipo árbol, y loop. Se añaden dos esquemas para facilitar el entendimiento del método aplicado
a cada subestructura en las figuras 4 y 5 para el diagrama tipo árbol y el loop, respectivamente.
Diagrama tipo árbol. Esta subestructura se compone de una cadena de vértices conectados
en serie por líneas internas. En los vértices de los extremos aparecerán conectadas dos líneas
externas, y los vértices internos tendrán una línea externa. Empezando por uno de los extremos,
componemos los momentos asociados a los vértices de forma consecutiva recorriendo la cadena
hasta su otro extremo; cada vez que compongamos con un momento nuevo, en caso de ser un
vértice elemental, este podrá aparecer compuesto tanto por la izquierda como por la derecha. La
16
Figura 3: Ejemplo de momentos asociados a un vértice elemental y compuesto, con momentos
externos A y B (entrante y saliente, respectivamente) y un momento interno C.
composición estará igualada a 0. Las ordenaciones resultantes de recorrer la cadena en ambas
direcciones, y todas las permutaciones cíclicas de estas, serán todas las ordenaciones válidas para
esta subestructura.
Figura 4: Ejemplo de obtención de las ordenaciones posibles en un diagrama tipo árbol. Los
valores V1, ..., VN hacen referencia a los momentos asociados a los distintos vértices de la cadena.
Loop. En esta subestructura, los vértices están unidos por líneas internas formando un circui-
to cerrado. Cada uno de estos vértices está conectado con otros dos vértices a través de líneas
internas, y tiene una línea externa. Empezando por cualquiera de los vértices, componemos los
momentos asociados a los vértices de forma consecutiva recorriendo la cadena en cualquier direc-
ción hasta llegar al primer vértice; esta composición estará igualada a 0 (O). Las ordenaciones
resultantes de recorrer la cadena en ambas direcciones, y todas las permutaciones cíclicas de
estas, serán todas las ordenaciones válidas para esta subestructura.
Combinando el método propuesto para las dos posibles subestructuras será posible obtener las
17
Figura 5: Ejemplo de obtención de las ordenaciones posibles en un loop. Los valores V1, ..., V6
hacen referencia a los momentos asociados a los distintos vértices del loop.
ordenaciones posibles para cualquier diagrama. La forma de combinar los métodos, que ilustramos
con un ejemplo en la figura 6, es considerar el vértice en el que se unen las dos subestructuras como
un vértice incógnita; aplicamos el método a una de las subestructuras, despejamos el momento
asociado al vértice incógnita y lo utilizamos para aplicar el método a la otra subestructura.
Figura 6: Ejemplo ilustrativo de la combinación de los métodos para las dos subestructuras para
obtener las posibles ordenaciones de una estructura más compleja.
Como caso particular podemos ver que todas las ordenaciones serán posibles en un proceso dado
si se cumple uno de estos casos:
Entre todos los diagramas válidos para el proceso, para cada línea externa entrante existe
un diagrama en el que comparte vértice con cada línea externa saliente.
18
Entre todos los diagramas válidos para el proceso, es posible encontrar diagramas com-
puestos por un solo loop en los que cada línea externa esté aislada en un vértice (el vértice
conecta una línea externa con dos internas) y tenga como primeros vecinos (esté conectada
por sólo una línea interna) todas las parejas formadas por el resto de líneas externas, es
decir, en el loop es posible conectar las líneas externas en cualquier orden.
En situaciones similares a la anterior en las que, aunque no es posible conectar una línea
externa concreta a una línea interna del diagrama que conecta otras dos líneas externas, sí
existen diagramas que son pequeñas variaciones del anterior en los que esta línea externa
comparte vértice con las otras líneas externas fuera del loop.
Otra consecuencia de esta prescripción es que, entre las ordenaciones válidas de la composición de
momentos, no habrá ninguna en la que entre dos momentos cualesquiera aparezca un momento
con el que no pueda compartir vértice o una composición de momentos que represente un conjunto
de partículas cuya combinación de números cuánticos sea nula (por ejemplo una partícula y
su antipartícula). La única excepción a este resultado es que los momentos en cuestión estén
situados en los extremos de la expresión de la composición de todos los momentos igualada a
0. Por ejemplo, suponiendo una interacción que envuelva un quark y un electrón en los estados
inicial (momentos qi y ei) y final (momentos qf y ef ), nunca aparecerá en ninguna relación la
combinación qieiq̂f êf .
5. Invariantes relativistas generalizados
Como consecuencia de la invariancia relativista, los elementos de matriz y las probabilidades
que se calculan en la dinámica de SR son funciones de estos invariantes relativistas, por lo
que es natural pensar que una generalización de estos elementos en DSR debe ser también a
través de funciones de invariantes relativistas generalizados. Aunque no vayamos a discutir una
modificación de la dinámica de procesos, es de interés tratar la generalización de los invariantes
relativistas ya que, con este último punto, el trabajo contendrá todos los ingredientes del modelo
relacionados con cinemática que son necesarios para modificar la dinámica.
En DSR, un proceso dado puede darse por varios canales diferentes. Una generalización de la
dinámica se encargaría de proporcionar una expresión de la sección eficaz para cada canal posible,
por lo que debemos encontrar una forma de identificar los invariantes relativistas dado un canal,
identificado por una cierta relación entre momentos.
Para ilustrar el método de identificación de los invariantes planteamos un proceso que involucra
4 partículas, y particularizamos a un canal que viene definido por la relación
a⊕ b = c⊕ d , (23)
donde las variables a, b, c y d pueden ser tanto momentos como antípodas.
En SR, nos apoyamos en el producto minkowskiano de los momentos (el cuadrado de los mo-
mentos) para extraer de esta relación 3 invariantes relativistas, las variables de Mandelstam s, t
y u 9, que no son independientes entre sí, ya que la suma de los 3 invariantes es una combinación
9Para el proceso que hemos planteado (23), estos serían s = (a+ b)2, t = (a− c)2 y u = (a− d)2.
19
de cuadrados de las masas de las partículas. En DSR, sin embargo, no podemos apoyarnos en el
mismo procedimiento ya que no somos capaces de leer estos invariantes de la relación correspon-
diente a la que existe entre los invariantes no independientes de SR, por lo que podemos concluir
que en DSR no habrá un equivalente a esta relación entre los invariantes no independientes de
SR. Por tanto, los invariantes relativistas generalizados serán independientes.
En DSR utilizamos las mismas herramientas que en SR; sin embargo, no podemos tratar a
todos los momentos envueltos en la relación de la misma manera. Tal y como hemos definido
la transformación de Lorentz para una composición de momentos 3.4, no todos los momentos
que aparecen en (23) transforman de la misma manera: la composición y el primer momento que
aparece en la composición transforman según la transformación de Lorentz usual, mientras que
el segundo momento que aparece en la composición en general transformará de forma distinta.
Dadoque el producto minkowskiano sólo es invariante si los momentos involucrados transforman
según la misma ley de transformación (la transformación de Lorentz usual), debemos utilizar
únicamente aquellos que cumplen esta condición, que son 3: a, c y a⊕ b = c⊕ d.
Esta forma de proceder marca una diferencia respecto a SR, donde uno trabaja con invariantes
que no son independientes entre sí, que se relacionan por una combinación del cuadrado de las
masas de las partículas involucradas. En DSR, una vez nos centramos en un canal, no es posible
leer esta misma relación siguiendo el mismo .
Para identificar los invariantes relativistas independientes, bastará con identificar aquellos mo-
mentos (o composición de momentos) de entre los nombrados anteriormente cuyo cuadrado defina
una función de los momentos que se mantenga invariante bajo transformaciones de Lorentz. Para
ello usaremos el siguiente resultado:
Proposición. Dados dos momentos k y l que transforman según la transformación de Lorentz
usual, la cantidad
(
k̂ ⊕ l
)2
no cambia bajo transformaciones de Lorentz de sus componentes.
Demostración. De acuerdo con (6), comprobar que la cantidad
(
k̂ ⊕ l
)2
no cambia es equi-
valente a comprobar que el transformado en el espacio de momentos 5D,
(
K̂ ⊕ L
)
4
, no cambia
10.
Tomamos la expresión para la antípoda de un momento K ′ (16) al que se le ha aplicado una
transformación de Lorentz y lo componemos con el momento L′ transformado Lorentz. Bajo
transformación de Lorentz, K ′
4 = K4 y L′
4 = L4. Introducimos las cantidades transformadas en
la expresión correspondiente en (15).
10Es importante darse cuenta de que aquí estamos componiendo dos momentos que transforman linealmente
bajo transformaciones de Lorentz, por lo que su composición no transformará linealmente. Por esta razón, se
escribe
(
K̂ ⊕ L
)
en lugar de
(
K̂ ⊕ L
)′
.
20
(
K̂ ⊕ L
)
4
=K4κ
(
L4 + αl′0
)
−
αl′0 +
(
− k⃗′
κ(K4+αk′0)
)
· l⃗′
κ
(
K4 + α
(
−αK4 +
α
κ2(K4+αk′0)
)) =
=K4κ
(
L4 + αl′0
)
− αl′0κ
(
K4 + αk′0
)
+ k⃗′ · l⃗′ = κK4L4 −
(
k′0l
′
0 − k⃗′ · l⃗′
) (24)
Por definición, la cantidad entre paréntesis no cambia bajo transformaciones de Lorentz de los
componentes, k′0l′0 − k⃗′ · l⃗′ = k0l0 − k⃗ · l⃗. Queda entonces demostrado que la cantidad
(
k̂ ⊕ l
)2
no cambia bajo transformaciones de Lorentz de sus componentes.
Ahora debemos darnos cuenta de que no todas las composiciones de una antípoda con un mo-
mento (de los propuestos más arriba) es un invariante relativista válido. Un ejemplo claro es
â ⊕ (c⊕ d) = â ⊕ (a⊕ b) = b: el cuadrado de esta cantidad es invariante bajo transformaciones
de Lorentz, pero esto es debido a que es una constante y no una función de los momentos.
Con los momentos válidos para identificar los invariantes relativistas podemos formar 3 momentos
cuyo cuadrado no cambia; estos son â⊕ c, ĉ⊕a y (a⊕ b) = (c⊕ d). Tenemos que â⊕ c y ĉ⊕a es
uno la antípoda del otro, sin embargo, como dado un momento el valor de su cuadrado es igual
al valor del cuadrado de su antípoda, podemos descartar uno de los dos momentos para escribir
los invariantes. Por esta razón podemos identificar los 2 invariantes relativistas para el proceso
propuesto:
(â⊕ c)2 y (a⊕ b)2 . (25)
Este método es extrapolable a procesos que involucren más partículas. Podemos suponer ahora
un proceso con 5 partículas, y particularizamos al canal
a⊕ b = c⊕ d⊕ e . (26)
Podemos identificar 4 momentos que transforman según las transformaciones de Lorentz: a, c,
c ⊕ d y a ⊕ b = c ⊕ d ⊕ e. A partir de estos 4 momentos es sencillo identificar los 5 invariantes
relativistas:
(â⊕ c)2 , (c⊕ d)2 , (a⊕ b)2 = (c⊕ d⊕ e)2 ,
(â⊕ c⊕ d)2 y (ĉ⊕ (a⊕ b))2 = (ĉ⊕ (c⊕ d⊕ e))2 = (d⊕ e)2 .
(27)
6. Conclusión
En este trabajo nos hemos planteado una nueva forma de derivar las leyes de transformación
del modelo DSR asociado a la llamada “base clásica” de κ-Poincaré, en línea con la tendencia
existente de tratar de explicar con argumentos geométricos los desarrollos realizados desde una
21
perspectiva algebraica. Además, revisando los problemas conceptuales derivados de la interpre-
tación convencional de los modelos desarrollados, hemos visto necesario plantear un cambio de
interpretación, basada en una modificación de la localidad de interacciones, para que el modelo
sea más consistente. En la segunda parte del trabajo, se ha explorado la cinemática deformada
que se obtendría al considerar diagramas de Feynamn con leyes de conservación de momentos
en los vértices como consecuencia de la deformación de la composición de momentos, y cómo
podrían definirse invariantes relativistas que generalicen los de relatividad especial a las interac-
ciones deformadas.
Hemos conseguido replicar las expresiones obtenidas en trabajos previos de las leyes de trans-
formación deformadas [4-7] usando únicamente una perspectiva geométrica en la sección 3. Por
otro lado, la nueva interpretación, formulada en la sección 2, nos ha permitido presentar una
propuesta para obtener las leyes de conservación y los invariantes relativistas (en las secciones
4 y 5, respectivamente) compatible con todo el desarrollo previo. Mientras la sección 3 ofrece
una aproximación original a resultados ya conocidos en la literatura (la ley de composición y las
transformaciones de Lorentz en el sistema de dos partículas correspondientes a la base clásica de
κ-Poincaré), los contenidos de las secciones 4 y 5 son totalmente novedosos, no discutidos antes
en la literatura referente a las teorías DSR.
Este trabajo conforma la base para un modelo DSR con las características requeridas. Contiene
todos los ingredientes necesarios para definir de manera consistente una modificación de la ci-
nemática de relatividad especial compatible con el principio de relatividad. Las ideas esenciales
utilizadas durante el desarrollo teórico del modelo han sido:
1. Suponemos una invariancia bajo rotaciones espaciales no modificada.
2. La modificación de SR emerge de la interacción entre partículas elementales, pero no se
manifiesta en la interacción de partículas compuestas, cuyo tamaño es mayor que la escala
característica.
3. La descripción de la cinemática relativista deformada a través de una ley de composición
no conmutativa implica la existencia de distintos canales por los que puede darse un cierto
proceso.
4. Esta modificación permite definir las leyes de conservación con la ayuda de los diagramas
de Feynman que describen un cierto proceso. Esta visión implica que la interacción de una
partícula con las partículas portadoras de esta interacción deja de ser puntual.
Con todo lo expuesto, este trabajo sirve como punto de partida para formular una extensión
de la dinámica de procesos y así construir un modelo con el cual sea posible hacer predicciones
medibles experimentalmente.
Un posible programa de trabajo incluiría los siguientes pasos: considerar un proceso de interés,
como por ejemplo, la producción de pares electrón-positrón en la interacción de dos fotones;
partir de los diagramas de Feynman del proceso y derivar los distintos canales caracterizados
por leyes de conservación según lo estudiado en este trabajo; obtener los elementos de matriz
correspondientes a cada canal a partir de las expresiones de relatividad especial, sustituyendo los
invariantes relativistas convencionales por los encontrados en este trabajo. Este sería el punto de
22
partida para el cálculo de secciones eficaces y la predicción de, por ejemplo, modificaciones en el
recorrido libre medio de fotones de alta energía propagándose a través de los fondos de radiación,
proceso de gran relevancia en astrofísica.
23
24
7. Bibliografía
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https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/4/045203
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https://arxiv.org/abs/0903.5251
https://doi.org/10.1142/s0217751x17300265
https://doi.org/10.1103/physrevd.105.105004
https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.105.105004
https://doi.org/10.1103/physrevd.103.106015
https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.103.106015
https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.103.106015
https://doi.org/10.1016/S0370-2693(02)02762-4
https://arxiv.org/abs/hep-th/0207279
https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.ppnp.2022.103948
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0146641022000096
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https://doi.org/10.22323/1.406.0322
https://arxiv.org/abs/2203.04091
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https://doi.org/10.1103/PhysRevD.90.076010
https://arxiv.org/abs/1308.0300
Anexos
A. Solución del sistema de ecuaciones para la composición de
momentos
El sistema de ecuaciones (8) se reduce a
R 0
0 A0 − δijR 0
i Aj −R 0
4 A4 = 0 (28)
R a
0 A0 − δijR a
i Aj −R a
4 A4 = 0 (29)(
R 0
0
)2 − δijR 0
i R 0
j −
(
R 0
4
)2
= 1 (30)
R 0
0 R a
0 − δijR 0
i R a
j −R 0
4 R a
4 = 0 (31)
R a
0 R b
0 − δijR a
i R b
j −R a
4 R b
4 = −δab (32)
junto con
R i
4 + αR i
0 = 0 (33)
R 0
4 + αR 0
0 = κ (A4 + αA0) (34)
con a = 1, 2, 3.
Usamos (33) en (29), (31) y (32), y (34) en (28) y (31) para transformar el sistema de ecuaciones
en
R 0
0 (A0 + αA4)− δijR 0
i Aj − ακA4 (A4 + αA0) = 0 (35)
R a
0 (A0 + αA4)− δijR a
i Aj = 0 (36)(
R 0
0
)2 − δijR 0
i R 0
j −
(
R 0
4
)2
= 1 (37)
R a
0
(
R 0
0
(
1− α2
)
+ α2κ (A4 + αA0)
)
− δijR 0
i R a
j = 0 (38)
R a
0 R b
0
(
1− α2
)
− δijR a
i R b
j = −δab (39)
De (36) sacamos una expresión para R a
0 que insertamos en (38) para obtener
δij
(
Ai
A0 + αA4
(
R 0
0
(
1− α2
)
+ α2κ (A4 + αA0)
)
−R 0
i
)
R a
j = 0 (40)
lo que nos proporciona las siguientes expresiones
R a
0 =
δijR a
i Aj
A0 + αA4
(41)
R a
4 = −α
δijR a
i Aj
A0 + αA4
(42)
R 0
i =
Ai
A0 + αA4
(
R 0
0
(
1− α2
)
+ α2κ (A4 + αA0)
)
(43)
27
Introduciendo (43) en (35) sacamos las expresiones para R 0
0 (y por tanto R 0
4 ) y R 0
i
R 0
0 = ακ (A4 + αA0)
A0A4 + α2
(
A2
0 +
1
κ2
)
(A4 + αA0)
2 + 1
κ2 (1− α2)
(44)
R 0
4 = ακ (A4 + αA0)
A2
4 − 1
κ2 + αA0A4
(A4 + αA0)
2 + 1
κ2 (1− α2)
(45)
R 0
i = ακAi
(A4 + αA0)
2
(A0 + αA4)
2 − A⃗2 (1− α2)
(46)
A continuación introducimos (44), (45) y (46) en (37) para obtener los posibles valores de α que
solucionan el sistema de ecuaciones. Tras manipular la ecuación, llegamos a
κ2α2
(
(A4 + αA0)
2
(
A2
0
(
α2 − 1
)
+
1
κ2
α2
)
+
1
κ2
(
α2A2
0 −A2
4 +
1
κ2
(
α2 + 1
)))
=
= (A4 + αA0)
2 + 2
α2 − 1
κ2
+
(
α2 − 1
κ2 (A4 + αA0)
)2 (47)
Fijándonos en los órdenes de κ en los distintos términos de la ecuación es fácil darse cuenta de
que la solución es α2 = 1. Este valor de α2 resuelve directamente (39), dándonos
δijR a
i R b
j = δab (48)
de modo que R i
j define una matriz 3 × 3 ortogonal que representa una rotación general en el
espacio 3D. Sin pérdida de generalidad, podemos escoger R i
j = δij .
Los valores finales de los parámetros de la quasi-traslación son
R 0
0 = ακA0 +
1
κ (A4 + αA0)
(49)
R 0
4 = ακA4 −
α
κ (A4 + αA0)
(50)
R 0
i = ακAi (51)
R i
0 = α
δibAb
A4 + αA0
(52)
R i
4 = − δibAb
A4 + αA0
(53)
R 4
M = κAM (54)
R i
j = δij (55)
B. Cálculo de la expresión de la transformación de Lorentz para
el segundo momento de un momento compuesto
Debemos calcular la expresión de la transformación de Lorentz del momento Q̄ que cumpla
28
(P ⊕Q)′ = P ′ ⊕ Q̄ (56)
sujeto a
(P ⊕Q)′4 = (P ⊕Q)4 . (57)
Calculamos las expresiones de los dos lados de (56) usando (15) y despejamos Q̂. Las expresiones
resultantes son
Q̄0 = κ
[
α
(P ⊕Q)4 + α (P ⊕Q)′0
κ2 (P4 + αP ′
0)
+ α
(
P ′
0 (P ⊕Q)′0 − P⃗ ′ ·
−−−−−→
(P ⊕Q)′ − P4 (P ⊕Q)4
)]
,
Q̄i = (P ⊕Q)′i − P ′
i
(P ⊕Q)4 + α (P ⊕Q)′0
P4 + αP ′
0
,
Q̄4 = −κ
(
P ′
0 (P ⊕Q)′0 − P⃗ ′ ·
−−−−−→
(P ⊕Q)′ − P4 (P ⊕Q)4
)
.
(58)
Por último, por definición de las transformaciones de Lorentz, tenemos que
P ′
0 (P ⊕Q)′0 − P⃗ ′ ·
−−−−−→
(P ⊕Q)′ = P0 (P ⊕Q)0 − P⃗ ·
−−−−−→
(P ⊕Q) . (59)
por lo que podemos concluir que
Q̄0 = α
[
(P ⊕Q)4 + α (P ⊕Q)′0
κ (P4 + αP ′
0)
+ κ
(
P0 (P ⊕Q)0 − P⃗ ·
−−−−−→
(P ⊕Q)− P4 (P ⊕Q)4
)]
,
Q̄i = (P ⊕Q)′i − P ′
i
(P ⊕Q)4 + α (P ⊕Q)′0
P4 + αP ′
0
,
Q̄4 = −κ
(
P0 (P ⊕Q)0 − P⃗ ·
−−−−−→
(P ⊕Q)− P4 (P⊕Q)4
)
.
(60)
Dado que la expresión de Q̄4 depende únicamente de las variables de los momentos sin trans-
formar, es evidente que Q̄4 = Q4. Sustituyendo también en la expresión para Q̄0, obtenemos las
expresiones finales para la transformación de Lorentz de la segunda componente:
Q̄0 = α
[
(P ⊕Q)4 + α (P ⊕Q)′0
κ (P4 + αP ′
0)
−Q4
]
,
Q̄i = (P ⊕Q)′i − P ′
i
(P ⊕Q)4 + α (P ⊕Q)′0
P4 + αP ′
0
,
Q̄4 = Q4 .
(61)
29
	Introducción
	Relatividad Especial Deformada
	La base clásica de -Poincaré como modelo de DSR
	Introducción a la perspectiva geométrica
	Ley de composición
	Antípoda
	Transformaciones de Lorentz
	Relación de dispersión
	Cinemática relativista deformada
	Ley de conservación en diagramas con loops
	Cinemática de un proceso a partir de los diagramas de Feynman
	Invariantes relativistas generalizados
	Conclusión
	Bibliografía
	Solución del sistema de ecuaciones para la composición de momentos
	Cálculo de la expresión de la transformación de Lorentz para el segundo momento de un momento compuesto