Matemática na Era Moderna

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Caṕıtulo 4
Edad Moderna Temprana
Autores: Cristian Palma, Guillermo Sánchez, Pablo Andagana, José Ocampo, Kar-
la Proaño
1700
Empieza el siglo XVII y Europa se prepara para dar grandes avances y presentar
a matemáticos excepcionales, muchos de los cuales van a ser grandes influyentes en la
ciencia moderna por sus eficaces herramientas deducidas y una visión más allá de lo
que se hab́ıa tenido antes. Entre peŕıodos de guerra y paz, los pilares modernos del
mundo se iban acentuando con mas firmeza. Entre tantos sucesos, se ha denominado
a este peŕıodo como el Siglo de las Luces y los ilustrados, todo en los hombros de
aquellos grandes que pertenecieron al mayor grupo de intelectuales: los ilustrados.
Con el desarrollo de la máquina de vapor las industrias se levantaron como gigan-
tes en todo el mundo y fueron los responsables de un crecimiento social nunca antes
visto; todo iba para bien. Los estándares de vida subieron, la producción empieza a ser
masiva y la ciencia entró en el mundo para demostrar que puede ser aplicada a todo
esto, llevando los números y ecuaciones de la hoja al mundo en resultados grandiosos.
De la mano del crecimiento social y económico, las ideas invadieron mentes de grandes
héroes que pusieron fin a un periodo de monarcas que ya no velaban por su pueblo;
los gritos revolucionarios se escucharon en Francia y Estados Unidos a la manera de
la Revolución Francesa y la independecia americana.
Las ideas flúıan y flúıan, y a la par de los gritos históricos y los grandes descubri-
mientos cient́ıficos, las bellas artes tuvieron un resurgir como el de un fénix. Grandes
músicos como Beethoven, Mozart, Pachebell, entre otros, creaban piezas que impre-
sionaban incluso a las audiencias más apáticas en los teatros y cámaras mientras que
pintores como Jean-Pierre Houël plasmaban en lienzos los sucesos que marcaron al
mundo, como si su pincel y pintura fuesen la espada y el escudo que logró los gritos de
libertad. Parećıa que las grandes mentes hab́ıan acordado dar un paseo por el mundo
en este siglo. Aunque sabemos que todo aquello teńıa la misma ráız: reafirmar el poder
de la razón frente a la fé en cuestiones que eran necesarias. Nuestros admirados ma-
temáticos estudiados en el caṕıtulo pertenecen a Europa, un continente que empezaba
aśı en este siglo:
135
136 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Figura 4.1: Mapa de Europa, inicios del siglo XVIII.
Matemática en la Inglaterra y Suecia de princi-
pios de siglo XVIII
Thomas Bayes (c. 1701 – 1761)
Nació en Londres, Inglaterra, en el año 1702, pero no se ha encontrado registro
de la fecha exacta de su nacimiento. Hijo de Joshua y Ann Bayes. Su padre fue uno
de los primeros seis ministros presbiterianos que fueron ordenados en Inglaterra. La
educación de Thomas fue privada, un hecho que se antoja necesario para el hijo de un
ministro presbiteriano de aquellos tiempos. Parece ser que de Moivre fue su maestro
particular, pues se sabe que por ese entonces ejerćıa como profesor en Londres.
MATEMÁTICA EN LA INGLATERRA Y SUECIA DE PRINCIPIOS DE SIGLO XVIII137
Figura 4.2: Thomas Bayes.
Fue ordenado ministro presbiteriano y asistió a su padre en Holborn. Al final de la
década iniciada en 1720 fue nombrado pastor en Turnbridge Wells (Kent, Inglaterra).
Aunque trató de retirarse de su puesto eclesiástico en 1749, permaneció en él hasta
1752; una vez retirado siguió viviendo en Turnbridge Wells hasta el d́ıa de su muerte.
Teólogo, matemático y miembro de la Royal Society desde 1742, fue el primero en
establecer una base matemática para la inferencia probabiĺıstica (la manera de calcular,
a partir de la frecuencia con la que un acontecimiento ocurrió, la probabilidad de que
ocurrirá en el futuro). Falleció el 17 de abril de 1761. Sus restos descansan en el
cementerio londinense de Bunhill Fields.
Teorema de Bayes. Bayes fue uno de los primeros en utilizar la probabilidad
inductivamente y establecer una base matemática para la inferencia probabiĺıstica.
Su teorema expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en
términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la
distribución de probabilidad marginal de sólo A.
P (Ai|B) =
P (B|Ai)P (Ai)
P (B)
.
La fórmula de Bayes encuentra aplicaciones importantes en la teoŕıa de artilleŕıa de
largo alcance, como es conocer con más precisión las condiciones de tiro. Los métodos
estad́ısticos que suponen el parámetro de prueba como una variable aleatoria postulan-
do además una función de densidad para dicho parámetro se conocen como métodos
de Bayes.
Las técnicas de Bayes permiten abordar en forma diferente el área de ”toma de de-
cisiones”, formulándola en términos de pérdidas o ganancias económicas y no en térmi-
nos de la probabilidad de tomar la decisión correcta. Aśı, por ejemplo, tomar una o
dos decisiones que pudieran ser incorrectas puede ser benéfico en términos económicos.
Daniel Bernoulli (1700 – 1782)
Un 29 de enero de 1700, tres d́ıas después del fatal terremoto en Cascadia en
el contienente americano, nace Daniel Bernoulli en una región de los Páıses Bajos
llamada Groninga. Hijo de Johann Bernoulli y Dorothea Falkner, cargaba un apellido
138 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
respetado en los ćırculos académicos por parte de su padre, quien se desepeñaba a la
fecha de su natalicio como profesor de matemática. La habilidad de Johann con los
números le otorgó una plaza como catedrático en la Universidad de Basilea, en la cual
obtiene un nombramiento que conlleva trasladar la corta vida de su hijo Daniel a la
ciudad suiza de donde el apellido Bernoulli era originario después de haber húıdo a
causa de las persecuciones de hugonotes. [16]
Ya establecido, Daniel mostró ser brillante en varios campos del saber. Logró no-
tables calificaciones en la secundaŕıa y era capaz de hablar varios idiomas. Pese a
su legado como próspero matemático, empezó en las ciencias de la salud, egresando
con estudios de medicina de la institución donde trabajó su padre, en 1721, con su
trabajo en el estudio de la respiración humana, curiosamente un trabajo con enfoque
mecanicista que predominaba en la época y que estaba más cerca de sus inclinaciones
intelectuales, la matemática.[5]
A pesar de una gran tésis en medicina, fue rechazado cuando intentó postularse
a una vacante de profesor de medicina, a pesar de aquel fracaso no se rindió pero
cambió de área; finalmente se decidió con los números y tan solo dos años despues de
haber egresado fue ganador del concurso anual de ciencias de la Academia Francesa
impresionando a muchos matemáticos de la época, entre los cuales estaba Christian
Goldbach, conocido por sus trabajos en teoŕıa de números con el problema que lleva su
nombre: La Conjetura de Goldbach. Christian vio el potencial que el joven Bernoulli
demostraba y decidió publicar una serie de cartas que hab́ıan intercambiado. Estas
cartas expresaban las habilidades matemáticas de Bernoulli y después de hacerlas
públicas en 1724, llegaron a oidos de muchas universidades por alrederor del mundo
entero. Esta difusión fenomenal convenció a Catalina I ponerle un puesto de profesor
en la recién fundada Academia de Ciencias Rusas, en Sanpetesburgo. Dicha oferta
no solo fue propuestra a Daniel; su hermano Nicolau fue invitado a Rusia también.
Daniel desempeñó labores en matemática y f́ısica por ocho años, periodo durante el
cual mantuvo una cercaca relación con Leonhard Euler, a quién ya conoćıa de años
atrás y fue recomendado por él mismo para la Academia Rusa. [24]
Universidad de Basilea. En 1732, Bernoulli regresa a Suiza incorporándose
como profesor de la Universidad de Basilea, en las facultades de botánica y anatomı́a.
Durante su estancia como profesor, escribió la obra Hydrodynamica, de la cual resalta
los inicios de lo que años más tarde se conoció como el Principio de Bernoulli. También,
en esa época seinteresó en el estudio de probabilidades. Al trabajar a la par de su
padre, empezaron a tener conflictos de intereses, compet́ıanen todo lo relacionado a la
academia empeorando su relación de poco en poco. Esto llego a tal punto que su padre
empezó a publicar obras a su nombre y se atribúıa varios descubrimientos de Daniel;
quiso robar su idea de Hydrodynamica. Ya empezado el año de 1750, fue nombrado
rector de la universidad en la que trabajaba y publicó más de 80 trabajos.Esto le
concedió un puesto en Royal Society. Se mostró muy comprometido con el desarrollo
de la universidad, realizó donaciones monetarias en varias ocasiones para equipamiento
de laboratorios y adquisición de nuevos t́ıtulos en la Biblioteca.
Su prestigio creció considerablemente tanto como conferencista de F́ısica Teórica y
sobre todo por sus clases, poco comunes, de F́ısica Experimental. Normalmente a sus
conferencias asist́ıan más de cien participantes, de diferentes rincones de Europa.
MATEMÁTICA EN LA INGLATERRA Y SUECIA DE PRINCIPIOS DE SIGLO XVIII139
Figura 4.3: Universidad de Basilea, Suiza.
Trabajos y campos. Daniel Bernoulli fue part́ıcipe en varios campos del saber,
entre los que están la medicina, f́ısica y matemática, y en lo último siendo pionero en
los principios de la matemática aplicada. Un dato importante de mencionar es que los
conocimientos iniciales de Daniel fueron a causa de su familia; su padre y hermanos le
impart́ıan lecciones de matemática durante su juventud. Profundizando en los campos
que intervino a lo largo de su vida, se tiene:
1. Aportes en matemáticas: estad́ıstica y probabilidad
2. Aportes en f́ısica: hidrodinámica
3. Aportes en qúımica: cinética de gases.
4. Matemática aplicada, casos de estudio de datos y muestras para predicciones de
comportamientos.
También se conoce varios principios cient́ıficos tales como la ecuación diferencial
de Bernoulli
dy
dx
+ P (x)y = f(x)yn,
o también la función de números generatriz de Bernoulli
G(x) =
x
ex − 1
, |x| < 2π,
pero no todos estos aportes provienen de Daniel en particular, sino de los varios
miembros de su familia que, al igual que él, fueron notables ilustres del siglo. Vale
recalcar que, entre todos los Bernoulli, Daniel es de la tercera generación. Los aportes
de otros no se nombrarán por no ser los personajes de estudio.
Teoŕıa Cinética de los Gases. En 1738, Daniel Bernoulli publicó la obra Hy-
drodynamica, sentando las bases de la teoŕıa cinética de los gases y planteando los
argumentos, que todav́ıa se utilizan hoy en d́ıa, de que los gases se componen de un
gran número de moléculas que se mueven en todas las direcciones, que su impacto en
140 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
una superficie causa la presión del gas que sentimos, y que lo que se experimenta en
forma de calor es simplemente la enerǵıa cinética de su movimiento. La teoŕıa no fue
aceptada de inmediato, en parte debido a que la conservación de la enerǵıa todav́ıa no
se hab́ıa establecido y a que los f́ısicos no sab́ıan cómo las colisiones entre moléculas
podŕıan ser perfectamente elásticas. Esto es de suma importancia ya que fue una pri-
mera aproximación a la determinación de resultados experimentales que no depend́ıan
en su totalidad del método experimental, se obteńıan datos y a partir de aquellos datos
por modelos matemáticos se predećıan comportamientos del sistema per se, basando
dichos datos en un modelo que años mas tarde se lo denominaŕıa una distribución de
probabilidad.
El modelo planteado por Daniel, si bien describ́ıa lo buscado, logró pasar de una
toma de datos estad́ısticos a un modelo matemático que modela propiedades qúımi-
cas que siguen las leyes de gases ideales. Teńıa ciertas falencias en aspectos qúımicos.
Vale rescatar que se asienta la teoŕıa cinética de los gases con una distribución proba-
biĺıstica espećıfica planteada por Boltzman, que son planteamientos de distribuciones
gaussianas dependientes de una variable de temperatura, donde se asume como el valor
esperado a la velocidad media.
Figura 4.4: Hydrodynamica, por Daniel Bernoulli.
Hidrodinámica, el Principio de Bernoulli. Siguiendo los avances publicados
en su obra Hydrodynamica, se plantea el Principio de Bernoulli [14], que en esa época
lo planteo como el comportamiento de un ĺıquido a lo largo de lineas de corrientes. Al
carecer aún de conocimientos del principio de la conservación de enerǵıa este trabajo
fue presentado en condiciones ideales descartando al rozamiento como elemento f́ısico
que interviene en el estudio dado. Un diagrama que ilustra esto es el siguiente:
MATEMÁTICA EN LA INGLATERRA Y SUECIA DE PRINCIPIOS DE SIGLO XVIII141
Figura 4.5: Diagrama del Principio de Bernoulli.
De la figura anterior: Aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo
son las envolventes del campo de velocidades. En mecánica de fluidos se denomina
ĺınea de corriente al lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de
las part́ıculas de fluido en un instante t determinado. En particular, la ĺınea de corriente
que se encuentra en contacto con el aire, se denomina ĺınea de agua. La ecuación que
actualmente describe el comportamiento fue planteada por Lehonard Euler años mas
tarde, en base a los trabajos de Bernoulli.
Matemática, estudio de probabilidades. Daniel Bernoulli realizó un aporte
importante al cálculo de probabilidades cuando sistematiza el uso de los métodos in-
finitesimales. Con esta poderosa herramienta encontró, en forma más sencilla que por
los métodos combinatorios clásicos, soluciones asintóticas a ciertos tipos de problemas
con valores grandes de los parámetros [26]. También Daniel Bernoulli va a interesar-
se por el problema del análisis de los errores en las observaciones. En esa época era
común considerar el promedio de las observaciones realizadas como el mejor valor de
la magnitud medida. Bernoulli mostró la insuficiencia de tal razonamiento y aconseja
utilizar un método que puede considerarse un antecedente al método de los mı́nimos
cuadrados ideado posteriormente por Gauss [12], [25]. Hoy en dia esto se conoce co-
mo una distribución de masa de probabilidad bajo el nombre de la distribución de
Bernoulli, que es:
Figura 4.6: Distribución de Bernoulli.
El dominio de dicha distribución se plantea entre 0 y 1. Esta distribución que se
basa en un ensayo de Bernoulli, un experimento que puede tener de resultado éxito o
fracaso.
Fortune Morale e Fortune Physique. Entre los intereses de Daniel Bernoulli,
142 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
estaban los juegos de azar. Aplicando aquellos conocimientos adquiridos en probablii-
dades y su interés al juego, lo llevarin a una discusión de lo que él denominó la fortuna
morale y la fortuna physique. Son entidades mentales y f́ısicas que consideraba rela-
cionadas entre si; si una cambiaba la otra también. Un cambio en el aspeco mental
iba a inflúır proporcionalmente a la razón respecto a la fortuna f́ısica, en el total del
posesor. Esto queŕıa decir que si se apuesta con un riesgo igual al del oponente, se está
arriesgando más a perder que a ganar ya que una pérdida dada será mayor al total de
la fortuna. Dedujo una supuesta fórmula del incremento y decremeto. Sea x la fortuna
f́ısica y y la fortuna moral tenemos
dy = k
dx
x
.
Brook Taylor (1685 – 1731)
Brook Taylor nació en Middlesex(Actual Edmonton), Inglaterra, el 18 de agosto
de 1685. Proviene de una familia perteneciente a la nobleza Inglesa. Esto permitió
que desde temprana edad, Taylor contara con una educación privilegiada con tutores
privados en diversas áreas, entre ellas música y pintura.
Figura 4.7: Retrato de Brook Taylor
En 1703, ingresó a la Universidad de St. John, Cambridge, donde obtuvo su li-
cenciatura en Derecho en 1709 y el doctorado en 1714. A pesar de sus estudios en
leyes, no existe registro de que alguna vez haya ejercido tal profesión [28]. Existe, sin
embargo, evidencia de correspondenciaentre Taylor y sus tutores John Machin y John
Keill, con quienes compart́ıa sus resultados y pensamientos acerca de diversos pro-
blemas matemáticos. Aśı, se conoce que el primer resultado importante que escribió
fue el de la solución al centro de oscilación de un cuerpo en 1708, mismo que no séıa
publicado hasta 1714. La autoŕıa de este resultado fue disputado con Johann Bernoulli.
Taylor y la Sociedad Real de Londres.
MATEMÁTICA EN LA INGLATERRA Y SUECIA DE PRINCIPIOS DE SIGLO XVIII143
Figura 4.8: Fotograf́ıa actual de St. John’s College, Cambridge.
En abril de 1712, Taylor fue elegido miembro de la Sociedad Real de Londres. Se
le fue asignada la tarea de liderar el comité de investigación en torno a la disputa del
inventor del cálculo. Esta tarea fue culminada poco tiempo después y marca una de las
primeras declaraciones públicas de Taylor, en donde reconoce a Newton como inventor
del cálculo [20].
Dos aós más tarde, en 1714, Taylor fue elegido secretario de la Sociedad Real. Los
cuatro años que se mantuvo en esa posición son considerados como los más productivos,
en cuanto a descubrimientos matemáticos. En este periodo fueron publicaron dos de las
aportaciones más sobresalientes de Taylor a la matemática del siglo XVIII: Methodus
Incrementorum Directa et Inversa y Linear Perspective en 1715.
Methodus Incrementorun Directa et Inversa.
Figura 4.9: Portada del libro Methodus Incrementorum
La primera edición fue publicada en 1715 y la segunda en 1717. En esta obra,
Taylor describe la naturaleza y principios de su nuevo método de incrementos. En la
primera parte se explican los principios del nuevo método incremental, y por medio de
eso, el método de fluxiones se explica más plenamente de lo que se hab́ıa hecho hasta
144 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
esa época. En la segunda parte, se explican las aplicaciones de estos dos métodos en
problemas como el cálculo de tangentes, rayos de concavidad y la cuadratura de todo
tipo de curvas, la vibración de una nota musical, centros de oscilación y percusión,
entre otros.
Antecedentes a la Serie de Taylor. En definitiva, Taylor no fue el ı́nico que
trabajó en el teorema que hoy lleva su nombre y que en su momento fue conocido como
la Proposición 7, Corolario 2 del Methodus. Taylor no fue el primero en descubrirlo, de
hecho, se dice que existieron por lo menos cinco que se anticiparon, entre ellos James
Gregory, Newton, Leibniz, Johann Bernoulli y Abraham de Moivre [7].
¿Cómo se puede explicar que varios matemáticos de finales del siglo XVII y princi-
pios del siglo XVIII, realizaran de manera relativamente simultánea, el descubrimiento
de la serie de Taylor? Este fenómeno, según Feigenbaum (2004), se puede justificar por
tres razones: por la naturaleza misma de la serie de Taylor, aparece en más de una
rama de las matemáticas y como tal, tiene una variedad de formas de demostrarse; al
estado general del conocimiento y la práctica matemática del momento, caracterizada
principalmente por el rápido desarrollo de los conceptos y técnicas del cálculo y su
aplicación a un número prodigioso de problemas en matemáticas y f́ısica; y finalmente
la comunicación entre los miembros de la comunidad matemática dispersa en toda
Europa.
Taylor demostró la Proposición 7, Corolario 2 por medio de, y como una contribu-
ción a su teoŕıa más general de incrementos finitos. Leibniz y De Moivre se encontraron,
inesperadamente, con series similares en el curso de sus investigaciones independien-
tes que involucraron secuencias numéricas y secuencias de diferencias succesivas: en
una forma estrictamente anaĺıtica Leibniz, como Taylor, transformó las diferencias fi-
nitas en diferenciales, mientras que De Moivre reinterpretó su fórmula de inspiración
numérica en términos geométricos como la coordenada de la parábola de interpolación
aproximada para una curva, llegando aśı a la fórmula para la curva en śı misma. Tanto
Bernoulli como De Moivre demostraron que la serie de Bernoulli utilizaba esencialmen-
te diferentes versiones del método de integración repetida por partes. Y Newton, como
consecuencia de su procedimiento término por término para generar soluciones en se-
rie a ecuaciones diferenciales, anticipó el método de coeficientes indeterminados para
obtener la serie de Taylor: primero asumiendo la forma de la serie, entonces diferen-
ciado sucesivamente para dtermine los coeficientes. Finalmente tanto Bernoulli como
Leibniz llegaron a la llamada Serie de Bernoulli mientras experimentaban con su nue-
vo cálculo de operaciones, cada una empleando de manera de manera alternativa la
analoǵıa entre las potencias sucesivas de un binomio y los diferenciales sucesivos de
un producto. [7]
A pesar de que los antes mencionados trabajaron de forma independiente se pueden
resaltar dos herramientas en común: la fórmula de interpolación, publicada por primera
vez como el Lema 5 del Libro 3 del PhilosophiæNaturalis Principia Mathematica [17],
y fórmula del diferencial para un producto, ambos conducen directamente a la serie
de Taylor o Bernoulli. Leibniz, Taylor, y De Moivre todos usaron una versión de la
fórmula de Newton como paso crucial de la obtención de la forma general de la serie.
Y por lo que se sabe, James Gregory puede tambi’en haber llegado a la serie de esta
forma, dado que de igual manera, teńıa posesión de la fórmula general de interpolación,
habiéndola descubierto independiente de Newton. [7]
Entre tantos que se asercaron al descubrimiento de la reconocida serie, se desta-
ca Johann Bernoulli, de hecho, en ocasiones la serie se denomina Serie de Bornoulli
en lugar de Taylor. Finalmente, el teorema de Taylor permite obtener aproximacio-
nes polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea
MATEMÁTICA EN LA INGLATERRA Y SUECIA DE PRINCIPIOS DE SIGLO XVIII145
diferenciable.
Figura 4.10: Aproximación mediante polinomios de Taylor de la función seno.
A medida que el grado del polinomio aumenta, la aproximación mejora dentro
del entorno.
Taylor y los Leibnizianos. Taylor hab́ıa reconocido en reiteradas ocasiones a
Newton como el inventor del cálculo. Esto causó disgusto en quienes consideraban que
ese t́ıtulo deb́ıa ser atribuido a Leibniz. Quienes estuvieron especialmente disgustados
por esto fueron Johann Bernoulli y el mismo Leibniz, quienes criticaron fuertemente
el trabajo de Taylor, tildándolo de plagio y poco innovador. La correspondencia entre
Johann Bernoulli y Leibniz evidencian la desaprobación hacia Taylor. En respuesta
a Leibniz acerca del Methodus Incrementorun Directa et Inversa, Johann Bernoulli
escribió:
Finalmente he recibido el librito de Taylor...lo más nuevo es el plagio; al
final del librito propone un método pata determinar el centro de oscilación
de un péndulo compuesto, el cual fue completamente tomado de mi nueva
teoŕıa presente en el Acta Eruditorium de 1714 [20].
A lo que Leibniz respondió:
Deduje fácilmente que el libro de Taylor le agradaŕıa muy poco. Me parece
que tal escritor no es en absoluto apto para llevar a cabo el cargo de
Secretario de la Sociedad Real, se requiere un hombre menos matemático
tal vez, pero más claro y virtuoso en relaciones literarias[28] .
Los ataques de Leibniz y los hermanos Bernoulli continuaron por varios años. Tay-
lor se defendió de dichas acusaciones de manera pública, e incluso anónimamente a las
malas crt́icas tanto de Leibniz como de Johann Bernoulli sobre el Methodus Incremen-
torum, mismas que fueron publicadas el periódico Biblioteque Angloise de Amsterdam.
146 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Para el año de 1721, Taylor hab́ıa perdido el interés por seguir defendiéndose de las
acusaciones de los Leibnizianos y desde ese momento decidió mantener silencio ante
cualquier otra forma de ataque.
Últimos años. Después de dos matrimonios que terminaron en tragedia, el pri-
mero en 1723 y el segundo en 1730, la salud de Taylor decayódrásticamente en el
año siguiente. Falleció a la edad de 46 años, el 29 de diciembre de 1731, en Somerset
House, Inglaterra.
Trabajo póstumo. De su segundo matrimonio, con Sabetta Sawbridge de Olan-
tigh, Kent en 1725, nació su primogénita Elizabeth, madre de Sir William Young,
quien seŕıa el encargado de mantener el legado de Taylor al publicar, en 1793, una
colección de sus trabajos bajo el t́ıtulo de Contemplatio Philosophica [20].
Matemática en Francia e Italia del siglo XVIII
Pierre-Simone de Laplace
Pierre-Simone de Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge,
Normandia (actualmente en Francia) [4]. Su familia era de la clase media-alta, pues
su padre poseia un trabajo importante en el ayuntamiento de la ciudad. Su educación
inicial fue en un priorato benedictino. Tras su eduacion primaria, Laplace decidió, en
conjunto con su padre, estudiar en la Universidad de Caen para convertirse en un cura
católico.
Mientras estudiaba en la Universidad de Caen, Laplace despertaria el interés de
dos profesores de matemáticas, Cristophe Gadbled y Jean le Canu. Ellos descubrieron
el gran potencial de Laplace y lo incitaron a dejar la carrera de teoloǵıa para dedicarse
a tiempo completo a las matemáticas [27].
En su estadia en Caen, publica su primer trabajo en matemáticas, que fue titulado
”Sur le Calcul integral aux differences infiniment petites et aux differences finies”. Este
trabajo seŕıa publicado en una revista titulada ”Miscellanea Taurinensia”, la cual fue
fundada por Joseph Louis Lagrange. Tras la publicación de este trabajo, ambos cul-
tivarian una amistad muy fuerte, de tal manera que sus trabajos posteriores estaŕıan
fuertemente entrelazados [1].
Le Canu, se dispuso proveer de entrenamiento formal a Laplace, una vez que este
decidiera dejar la carrera de teoloǵıa. Le Canu sin embargo, se sent́ıa impotente ante las
habilidades de Laplace, por lo que escribió una carta de recomendación a Jean le Rond
d’Alembert (el director de la Academia de Ciencias en Paŕıs), con la esperanza de que
pudiera tutorar a Laplace. D’Alembert era uno de los matemáticos mas prestigiosos
de la época. Su trabajo mas importante fue la resolución de la ecuacion diferencial,
que después seŕıa bautizada con su nombre, la ecuación de d’Alembert:
∂2f(x, t)
∂t2
= k
∂2f(x, t)
∂x2
(4.1)
Esta ecuación describe el comportamiento de una onda en una dimensión espa-
cial. Su aporte seŕıa tan grande que posteriormente un operador, �, también seŕıa
bautizado con su nombre. El operador de d’Alembert, permite reescribir la ecuación
MATEMÁTICA EN FRANCIA E ITALIA DEL SIGLO XVIII 147
diferencial de d’Alembert como �f(x, t) = 0.
D’Alembert aceptó tutorar a Laplace, aunque este aceptaŕıa solo por compromiso
con Le Canu. A pesar de que d’Alembert era incrédulo de las capacidades de Laplace
al inicio, al poco tiempo cambiaŕıa de parecer y aceptaŕıa la prodigiosidad de Laplace.
D’Alembert escribe una carta de recomendación dirigida al École Militaire, una de las
instituciones mas prestigiosas de la época, con la esperanza de que Laplace continue
su educación.
Laplace permanece en el École Militaire desde 1771 a 1787, tiempo en el cual
Laplace cultiva una amistad con el prodigioso padre de la qúımica moderna, Antoine
Lavoisier. De esta amistad se publicaŕıa Memoir sur le combustion, que fue publicado
en 1784 y en este trabajo se estableceŕıan las bases de la teoŕıa cinetica molecular.
Por otra parte en 1773, Laplace seŕıa aceptado en la Academia de Ciencias de
Paŕıs tras la públicación de un trabajo sobre el movmiento planetario. Este trabajo
seŕıa el primer paso en la publicación de su obra maestra Mecanique céleste que seŕıa
públicada en completitud en 1825.
Laplace trabajaŕıa como Ministro del Interior inmediatamente despues del golpe de
estado de 18 Brumaire, que da inicio al reinado de Napoleon Bonaparte. Sin embargo
su cargo duraŕıa a penas seis semanas. Bonaparte describiŕıa en una carte posterior
que el desempeño de Laplace en el gobierno fue peor que el promedio. Posteriomente
Bonaparte lo nombra Senador de la República, cargo que le durará hasta la cáıda
del imperio. Durante su tiempo como senador, serviŕıa en conjunto con su gran amigo
Joseph Louis Lagrange. En 1817 tras la restoración de los Borbón, Laplace seŕıa elevado
al cargo de Marqués.
Figura 4.11: Laplace en su retrato oficial como senador del Primer Imperio
frances
Laplace muere en Paŕıs en 1827 y su cerebro seŕıa extráıdo de su cuerpo para
estudio por el médico Francois Magendie. [8]
Mecanique Céleste. Fue la obra maestra de Laplace. En esta obra se recopilan
todos sus trabajos con respecto a movimiento de los cuerpos celestes.
148 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
En primer lugar se describe la solución a la ecuación diferencial
∇2f + kf = 0
Ecuación que describe el comportamiento de lo que ahora se conoce como campos
escalares conservativos, es decir campos escalares f tales que ∇ × f = 0 en todo su
dominio.
Laplace descubriŕıa que la solucion a esta ecuación diferencial, si se establece a
la superficie de una esfera como frontera, seŕıa un caso especial de los poĺınomios de
Legendre, especificamente la familia de polinómios de orden 0 P 0
m(x)
Figura 4.12: Visualización de los coeficientes de Laplace.
Estos polinomios seŕıan rebautizados como coeficientes de Laplace (actualmente
conocidos como armónicos esféricos) y el operador ∇2 seŕıa nombrado como lapla-
ciano. Por medio de este trabajo se funda lo que actualmente se conoce como teoŕıa
de los potenciales, en la que se estudia todos los campos escalares que cumplen con
la ecuación de Laplace ∇2f = 0. A través del uso de esta nueva teoŕıa, Laplace logra
demostrar que el sistema sistema solar es un sistema estable. Aśı mismo en este trabajo
expone la teoŕıa ”nebular”sobre la formación de las estrellas y teoriza la finitud de la
velocidad de la gravedad.
Essai Philosophique sur les Probabilités. Laplace describe los preceptos que
daŕıan paso a la intepretación bayesiana de las probabilidades. Se describen, en resu-
men, 4 preceptos
La probabilidad es un cociente entre los eventos favorables y el universo.
Las probabilidades iniciales se deben determinar de antemano, pues no siempre
son equitativas
La probabilidad de dos eventos conjuntos es el producto de sus probabilidades
independientes
MATEMÁTICA EN FRANCIA E ITALIA DEL SIGLO XVIII 149
La probabilidad no es una frecuencia de eventos, es la medida de la expectativa
de los eventos
Bayes posteriormente basaŕıa sus trabajos en probabilidad sobre estos preceptos.
Por otro lado, en este trabajo también se discute sobre la causalidad y el determi-
nismo de los eventos f́ısicos. Laplace dice que
Podemos entender al presente como un efecto de su pasado y la causa
de su futuro. Un intelecto capas, en cualquier momento, obtener perfecta
información sobre el universo y pudiese analizar exhaustivamente esta in-
formación. Podŕıa escribir una formula única que describriese la evolución
de todos los fenomenos del universo. Para este intelecto, el pasado y el
futuro seŕıan como el presente.
Esta idea, paradójica, pues describe una entidad que no percibe tiempo, fue bauti-
zada como ”demonio de Laplace”. Por otra parte, con estas idea Laplace popularizaŕıa
la idea del determinismo f́ısico, es decir, que el estado actual predice el estado posterior.
Transformada integral de Laplace. Mientras Laplace trabajaba con Lagrange
en el senado de la Republica Francesa de Napoleon, Lagrange le propone el estudio
de las ecuaciones de la forma
∫
f(x)ekxdx. Estas ecuaciones fueron estudiadas ante-
riormente por Leonhard Euler, quien descubrió que proporcionaban solución a ciertas
ecuaciones diferenciales.
Laplace estudia estas ecuaciones y descubre que no solo son la solución a ciertas
ecuaciones, sino que también describe un mapeo desde el espacio de ecuaciones dife-
renciales hasta el espacio vectorial de polinómios.Este mapeo además es invariante a
través de manipulaciones algebraicas. Por lo que una solución en el espacio de ecuacio-
nes diferenciales es, necesariamente, una solución en el espacio vectorial de polinomios.
De tal manera que este mapeo permite proporcionar de solución a todas ecuaciones
diferenciales, al encontrar la solución al polinomio generado cuando se les aplica la
transformación. De tal manera que se define la transformada integral de Laplace como
L : E → V
L [f(x)]→
∫ ∞
0
f(x)e−sxdx
L−[f(s)]→ 1
2πi
∮
estf(s)ds
(4.2)
Joseph-Louis Lagrange
Giuseppe Ludovico de La Grange nació el 25 de eenero de 1736 en Tuŕın, Reino
de Piedmont-Sardinia (actualmente Italia). Su padre fue el tesorero de la Oficina de
Trabajos Públicos del reino, por lo cual su familia gozaba de muchas comodidades. Sin
embargo, para cuando Lagrange alcanzó la mayoŕıa de edad, su familia se encontraba
en la ruina debido al problema con las apuestas de su padre [11].
Lagrange se graduó en leyes de la Universidad de Tuŕın. Pasaba mucho de su
tiempo en la biblioteca de la universidad, pues teńıa una gran pasión por la lectura.
Un d́ıa se topó con los trabajos recién publicados por Edmond Halley, lo que des-
pertó su pasión por las matemáticas. Lagrange estudió por su propia cuenta durante
un año, al final del cual el rey Carlos Emanual III de Piedmont lo nombra Profesor
150 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Sostituto del Maestro di Matematica en la Academia Real Militar de Artilleria en 1755.
En pública un diario recolectado los mejores trabajos en ciencias de la época co-
nocido como ”Miscellanea Taurinensia”. En este diario pública los trabajos de Brook
Taylor, Jean le Rond d’Alembert, Leonhard Euler, Pierre-Simon de Laplace, etc. Aśı
mismo
En 1756 Euler y Maupertius tratan de convencer a Lagrange de ir a trabajar en la
Academia de ciencias de Berĺın. Sin embargo Lagrange rechaza la invitación. En 1765
el mismo Federico II de Prusia escribe una carta a su puño, invitando nuevamente
a Lagrange a Berĺın. Lagrange nuevamente rechaza la invitación diciendo que .A mi
parecer, Berĺın no es el mejor destino para mı́ mientras el Señor Euler se encuentré
también ah́ı”. Lagrange mantenia una amistad muy cercana con Euler y créıa que al
ir a Berĺın esa amistad se deterioraŕıa.
En 1766 Euler viaja a San Petersburgo y Federico II de Prusia nuevamente le es-
cribe a invitarle a Berĺın, .El mas grande rey de Europa se merece al mejor matemático
de Europa”le escribe. Finalmente Lagrange acepta la invitación.
En su tiempo en Berĺın, Federico II de Prusia se converteŕıa en un amigo muy cer-
cano de Lagrange. Ambos gozaban de cenas privadas y largas conversaciones filosóficas.
En 1786 Federico II de Prusia muere, 3 años después de la muerte de la esposa
de Lagrange. Lagrange sumido en una gran depresión se muda a Paŕıs al recibir una
invitación de Luis XVI.
Su trabajo en Paŕıs es pequeño debido a su gran depresión. En 1793, con el co-
mienzo del Reino del Terror.en Francia, todos los extranjeros son expulsado de Francia,
con pocas excepciones, como es el caso de Lagrange. En 1799 es nombrado Senador
de la República por Napoleon y se le entrega la nacionalidad francesa. Además su
nombre es cambiado oficialmente a Joseph Louis Lagrange. Lagrange fue indispensa-
ble en la anexación paćıfica del Reino de Piedmont-Sardinia al Primer Imperio Frances
Murió en 1813 y su tumba fue mandada a grabar por Napoleon en persona. Además
su nombre fue escrito en la inauguración de la Torre Eiffel
Tuŕın. En Tuŕın, Lagrange manteńıa una relación muy estrecha con Euler. En una
de las innumerables cartas entre ambos, Lagrange le describe a Euler la ecuación-δ.
Dado un funcional S (una versión generalizada de función) con argumento L, donde
S tiene la forma
S(q) =
∫
L(t, q(t), q̇(t))dt (4.3)
la ecuación-δ se escribe como
∂L
∂q(t)
− d
dt
(
∂L
∂q̇(t)
) = 0 (4.4)
Esta ecuación permite encontrar los puntos de inflexión de S, de esta manera
permite encontrar los máximos y mı́nimos de L en S. Esta ecuación es ahora conoci-
da como la ecuación de Euler-Lagrange y es una pieza centra del cálculo de variaciones.
MATEMÁTICA EN FRANCIA E ITALIA DEL SIGLO XVIII 151
Berĺın. En Berĺın, Lagrange sigue estudiando su ecuación-δ. Su trabajo es públi-
cado su obra maestra Mecanique Analityque. En este libro, descubre que S puede ser
utilizado para describir el movimiento de cuerpos, si se escoge a L = K − T (enerǵıa
cinética menos enerǵıa potencial del sistema). En este caso, su ecuación-δ le permite
calcular el camino de objeto descrito por L cuando es sometido a las restricciones S.
Por otra parte también describe una generalización de las ecuaciones de Newton,
conocida como la identidad de d’Alembert∑
(F −ma) · δr = 0 (4.5)
Esta identidad dice, la suma de las fuerzas externas sobre un sistema menos la
masa por aceleración, proyectada sobre un desplazamiento independiente del tiempo
siempre es igual a 0. Esta identidad será usada después de Hamilton para determinar
el Hamiltoniano de un cuerpo. El Hamiltoniano en conjunto con L, ahora conocido co-
mo el Lagrangiano de un cuerpo, son la base de la rama f́ısica de la mecanica anaĺıtica.
Aśı mismo, en este periodo, Lagrange continua el trabajo de Laplace en la estabili-
dad del sistema solar. Utilizando la ecuación-δ Lagrange descubre que el sistema solar
es estable debido a que los cuerpos que orbitan el sol lo hacen en los puntos de infle-
xión del campo gravitacional conjunto de los cuerpos. Posteriormente se nombraŕıan
a todos los puntos de inflexión de un sistema gravitacional como puntos de Lagrange.
Figura 4.13: Visualización del sistema gravitacional Sol-Tierra y los puntos de
Lagrange {L1, L2, L3, L4, L5}
Finalmente en este periodo, Lagrange contribuye, a la recién nacida teoŕıa de los
potenciales de Laplace, con una versión de su ecuación-δ para campos escalares. Esta
adaptación es conocida como multiplicadores de Lagrange y es la relación
∇f(x) =
M∑
k=1
λk∇gk(x) ⇐⇒ ∇f(x)−
M∑
k=1
λk∇gk(x) = 0 (4.6)
Donde f es un campo escalar, g es una función que describe las restricciones del
campo,M es el conjunto de puntos de inflexión y λ son los multiplicadores de Lagrange.
152 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Figura 4.14: Curvas de nivel de un campo escalar y lineas de restricción
Usando la figura anterior como ejemplo, los multiplicadores de Lagrange permiten
encontrar el máximo y mı́nimo de las curvas de nivel cuando estan sometidas a dos
restricciones que tiene forma lineal.
Paris. El trabajo de Lagrange en Paŕıs fue ĺımitado a la formalización y estructura-
ción de los conocimientos de la época. Tras la muerte de Lavoisier, lideró el movimiento
para estandarizar las medidas. Aśı utilizó el infinitesimal como formalización de las
técnicas de cálculo. [10]
Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier nació en Auxerre el 21 de marzo de 1768, hijo de
un humilde sastre. Su familia proveńıa de la Lorena. Huérfano a los ocho años, fue
recogido por el organista de la catedral y director de un pensionado, Joseph Pallais,
seguidor de las teoŕıas de Rousseau quién le enseñaŕıa a leer y escribir y le formaŕıa en
sus mismos ideales. El buen comportamiento del pequeño Fourier fue observado por
una dama caritativa que lo recomendó al obispo para que lo admitieran en la Escuela
militar de Auxerre, dirigida por los monjes benedictinos de la congregación de Saint-
Maur. Es aqúı donde Joseph Fourier destaca en todas las materias y especialmente en
matemáticas, cuyos problemas estudiaba durante la noche escondido en un armario. Su
brillante reputación hizo que los benedictinos quisieran que se uniese a su congregación
y fue enviado al noviciado de Saint-Benoit-sur-Loire, donde le encargaron del curso de
matemáticas.
MATEMÁTICA EN FRANCIA E ITALIA DEL SIGLO XVIII 153
Figura 4.15
Ante los movimientos revolucionarios de finales de 1789, que haćıantemer el cierre
de las instituciones monásticas, sus superiores le propusieron tomara los votos para
conseguir una pensión cuando se clausurase el monasterio. Fourier rechazó la proposi-
ción y regresó a la Escuela militar de Auxerre, donde los monjes lo acogieron como su
hijo predilecto, encargándole la cátedra de retórica y compartiendo la de matemáticas
con su antiguo profesor M. Bonnard.
A los 20 años, Fourier escribió una memoria sobre las ecuaciones algebráicas, que
fue presentada a la Academia de Ciencias, mereciendo el reconocimiento de Lagrange,
Monge y Laplace. Durante la revolución francesa fue nombrado miembro del Comité
de Salud Pública de Auxerre y, gracias a la cáıda del poder de Robespierre, se libró
de ser guillotinado.
A finales de 1794 se incorporó a la Escuela Normal Superior de Paŕıs donde contó
con profesores como Lagrange y Laplace. Fourier descubrió el teorema que lleva su
nombre, que también puede ser empleado en el estudio de la luz, del sonido y de
cualquier fenómeno ondulatorio. Completó su estudio sobre la teoŕıa matemática de
la conducción del calor, encontró que algunas series sinusoidales relacionadas armóni-
camente eran útiles para representar la distribución de la temperatura a través de un
cuerpo y lo publicó en un libro llamado Théorie analytique de la chaleur en 1822.
154 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Figura 4.16: Théorie analytique de la chaleur.
Estas series infinitas de funciones trigonométricas,
Figura 4.17
ahora conocidas como las series de Fourier, constituyen la herramienta matemática
básica del análisis empleado para analizar funciones periódicas a través de la descom-
posición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más
simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). Otro trabajo
MATEMÁTICA EN FRANCIA E ITALIA DEL SIGLO XVIII 155
importante del cient́ıfico francés fue en el método de eliminación para la solución de
un sistema de desigualdades, teoŕıa muy usada actualmente para programación lineal.
Jean-Baptiste Joseph Fourier falleció en Paŕıs el 16 de mayo de 1830.
Siméon-Denis Poisson
Figura 4.18: Retrato de Siméon-Denis Poisson.
Contexto social y primeros años. Siméon-Denis Poisson nació el 21 de junio
de 1781 en Pithiviers, Francia. Su padre, Siméon Poisson, fue un soldado de la armada
Francesa, posición por la cual sufrió de discriminación por parte de la nobleza. El 14 de
julio de 1789, cuando Siémon-Denis teńıa ocho años, la insurrección parisina anunció
el inicio de la Revolución Francesa. Como recompensa al apoyo que el padre de Poisson
brindó a la revolución este fue nombrado presidente del distrito de Pithiviers. Desde
este puesto fue capaz de influir en la futura carrera de su hijo. [6]
Por desición de su padre, Poisson fue enviado a Fontainebleau para convertirse en
aprendiz de cirujano. Poisson demostró ser un jóven talentoso pero sin ningún interés
por la profesión médica, razón por la cual en 1796 regresó junto a su padre para
enlistarse en la Escuela Central de Pithiviers, en donde demostró sus capacidades de
aprendizaje, especialmente en matemáticas.
Paso por la Escuela Politécnica de Paŕıs. Poisson rindió los exámenes de
ingreso a la Escuela Politécnica de Paŕıs, y pesar de haber recibido una educación
menos formal que el resto de los aspirantes, obtuvo la mejor calificación. Aśı, en 1798
comenzó sus estudios en matemáticas. A la edad de 18 años, presentó dos memorias:
una sobre el método de eliminación de Étienne Bézout, el otro sobre el número de
integrales de una ecuación de diferencias finitas. Estos escritos llamaron la atención
de Sylvestre-François Lacroix y Adrien-Marie Legendre, este último le concedió el
honor de publicar su trabajo en la Recueil des Savants Étrangers. Gracias a este logro,
Poisson obtuvo el reconocimiento de conocidos matemáticos de la época, tales como
Laplace y Lagrange, quienes fueron sus profesores y posteriormente colegas. [2]
156 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Figura 4.19: Fotograf́ıa actual de la Escuela Politécnica de Paŕıs.
Su vocación para la docencia, se vió reflejada en sus años de estudiante, cuando
sus compañeros acud́ıan a su habitación para que explicara nuevamente una clase que
les era particularmente compleja. Aśı, en 1800, por recomendación de Laplace, obtuvo
la posición de répétiteur, misma que mantendŕıa hasta 1802, cuando fue ascendido a
asistente de profesor, hasta que en 1806 fue nombrado profesor titular, reemplazando
a Fourier, quien hab́ıa respondido al llamado de Napoleón de ir a Grenoble . [2]
Aportaciones. Poisson realizó numerosas aportaciones en las áreas de matemática
y f́ısica. Sus memorias en f́ısica exploraron ramas como la elasticidad, calor, magnetis-
mo, capilaridad y mecánica celeste; miemtras que en matemática realizó contribuciones
a la teoŕı de números, cálculo de probabilidades y series de Fourier. Siguiendo el re-
sultado acerca de la función de potencial, obtenido por Laplace en 1785:
∇2V = 0 (4.7)
Poisson encontró que la ecuación de Laplace se cumple para el caso en que el punto
atráıdo por la masa es un punto exterior a ella:
∇2V = −4πp (4.8)
Donde p es la dendidad de masa en un punto. Este problema fue tratado inicialmente
como de gravitación, más tarde seŕıa extendido a problemas de electricidad y magne-
tismo mediante la ecuación:
∇2V = − ρ
ε0
(4.9)
Donde ρ es la densidad de carga y ε0 es la permitividad en el vaćıo. La gran obra
didáctica de Poisson es Traité de Mécanique , un libro magistral publicado en 1811.
Una segunda edición fue publicada en 1833.
MATEMÁTICA EN FRANCIA E ITALIA DEL SIGLO XVIII 157
Figura 4.20: Portada de la obra Traité de Mécanique.
Este texto fue utilizado durante gran parte de siglo XIX en Europa, especialmente
en Francia. Una de las razones por las fue tan usado como referenca fundamental para
la enseñanza de la materia, además de importantes aportaciones, es el sentimiento de
patriotismo francés que se extendió incluso a los ćırcuos cient́ıficos y que no permitió
que alguien que no fuera francés como Newton, impartiera, a través de una de las obras
más importantes de la historia, sus aportaciones en mec’anica. Se dice que incluso
Lagrange y Laplace, desconoćıan a Newton o Leibniz como los inventores del cálculo
diferencial, y más bien le atribúıan este t́ıtulo al matemático francés Fermat [21]. El
Traité de Mécanique sirvió como base en los futuros trabajos de Hamilton y Carl
Jacobi. Siguiendo el trabajo en probabilidad realizado enEssai Philosophique sur
les Probabilités por uno de sus tutores y colegas Pierre-Simone de Laplace. Poisson
publicó en 1838 Recherches sur la probabilité des jugements en matières
criminelles et matière civile [2], donde se trata la probabilidad de ocurrencia de
suscesos que, a su vez tienen probabilidades muy pequeñas. Un proceso de Poisson
cumple con los siguientes criterios (en realidad muchos fenómenos modelados como
procesos de Poisson no cumplen exactamente con estos):
Los eventos son independientes entre śı. La ocurrencia de un evento no afecta a
la probabilidad de que se produzca otro evento.
La tasa media (eventos por peŕıodo de tiempo) es constante.
No se pueden producir dos eventos al mismo tiempo.
La función de densidad de probabilidad e, fue definida por Poisson de la siguiente
manera:
f(k, λ) =
e−λλk
k!
(4.10)
Donde k es el número de ocurrencias del evento y λ es el número de veces que se
espera que suceda el evento en un intervalo dado.
158 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Figura 4.21: Distribución de Poisson para distintos λ
Reconocimientos
Figura 4.22: Cara frontal y posterior de la Medalla Copley
Gracias al tratado Nouvelle Theorie L’Action Capillaire, aportación realizada en
teoŕıa capilar publicada en 1831 [2], le fue atribúıda la medalla Copley del año si-
guiente. La Medalla Copley esel más antiguo y prestigioso premio otorgado por la
Sociedad Real de Londres. La Medalla se otorga anualmente por logros sobresalientes
en investigación en cualquier rama de la ciencia.
MATEMÁTICA EN LA ALEMANIA DE FINALES DEL SIGLO XVIII 159
Figura 4.23: Portada de la obra Nouvelle Theorie L’Action Capillaire
El siglo XVIII es considerado el siglo de oro de los matemáticos franceses. De
esta época resuenan los nombres de Lagrange, como creador de la Mecánica Anaĺıtica;
Laplace, fundador de la Mecánica Celeste, Poisson, entre otros. Siendo Poisson uno de
sus pupilos más brillantes y el que continuó con la investigación de manera exhaustiva,
habiendo publicado más de 300 tratados a lo largo de su vida, 60 de los cuales de
consideran de gran importancia y se encuentran registrados oficialmente en los diarios
de la Escuela Politécnica de Paŕıs. Se dice que Poisson usualmente repet́ıa la frase [22]:
La vida es buena sólo por dos cosas: hacer matemática e impartirla.
Poisson realmente vivió bajo esta frase, no dedicó su vida a ninguna otra cosa que no
fuera el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones. Se casó pero no tuvo hijos, se
dice que era una persona introvertida y las únicas personas con las que se relacionaba
eran sus alumnos y colegas.
En 1839, mientras estaba en la presidencia de la Academia, sus fuerzas comenzaron
a traicionarlo. Sin embargo, queŕıa llevar a cabo su laborioso examen de la Escuela
Politécnica; pero este esfuerzo lo venció y murió el 25 de abril de 1840. Desde la muerte
de Laplace en 1827, ha usado, de manera indiscutible, el cetro de las matemáticas
puras. Su nombre es uno de los 72 inscritos en la Torre Eiffel[21].
Matemática en la Alemania de finales del siglo
XVIII
La Ilustración en las universidades alemanas
Los intelectuales alemanes aplaudieron la Revolución Francesa, esperando que la
razónçomo valor y concepto triunfara junto con la Ilustración . Sin embargo, El terror
fue uno de los causantes que la clase media educada germana se sintiera desilusionada
160 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
antes los cambios radicales franceses, esto llevó a que los alemanes tomaran decisiones
autónomas en función de cambiar las leyes e instituciones de manera organizada en
una aparente paz. [29]
Las dos universidades que tuvieron un aporte contundente en la diseminación de las
ideas de la Ilustración fueron la Universidad de Halle y la Universidad de Gotinga; es-
ta última se destacó sobre todo en ciencias naturales y matemáticas. Grandes figuras
como Bernhard Riemann, David Hilbert, Otto von Bismarck, Weber, Noether y otros
se educaron o dieron clases en Gotinga, convirtiéndose aśı en una de las principales
instituciones académicas alemanas. Se crearon nuevas disciplinas de estudio, conside-
raciones metodológicas y publicaciones de resultados, dándole una puerta enorme al
siglo XIX para expandir ideas desarrolladas.
Cabe recalcar que existieron dos corrientes distinguidas en la forma de generar co-
nocimiento e información. Una se basaba en el desarrollo de la historia, filoloǵıa, y
estética, junto con la filosof́ıa cŕıtica de Kant. En la otra cara de la moneda se encon-
traban las ramas del pragmatismo utalitario, en donde se generaban profesionales más
que pensadores. [18]
Carl Friedrich Gauss
Figura 4.24: Gauss en una edad madura
Johann Carl Friedrich Gauss nación en la ciudad alemana de Brunswick, el 30
de abril de 1777; falleció en Gotinga un 23 de febrero de 1855. Fue un matemático,
astrónomo, geobotánico y f́ısico. Es considerado .el pŕıncipe de las matemáticas”por sus
enormes aportes a diversas ramas como la teoŕıa de números, el análisis matemático,
geometŕıa diferencial, estad́ıstica y álgebra. Incursionó en otros campos cient́ıficos
como la geodesia, el magnetismo y la óptica. [3]
MATEMÁTICA EN LA ALEMANIA DE FINALES DEL SIGLO XVIII 161
Figura 4.25: Billete de 10 marcos en honor a Gauss
El niño genio. Existe una leyenda cuyo contenido indica que Gauss obtuvo la
suma de los 100 primeros números naturales dándose cuenta del siguiente patrón
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
...
50(101) =
100(101)
2
=
100(100 + 1)
2
Es decir encontró indirectamente la fórmula para sumar los primeros n números
naturales:
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
Dada su astucia e intuición, Gauss fue educado en matemáticas por Johann Cris-
tian Martin Bartels, quien le ayudó a que dominara temas avanzados para sus, en ese
entonces, 11 años de edad. Entre ellos se encuentra el el teorema del binomio en su
forma generalizada y comprendiera la teoŕıa de las series infinitas, que seŕıa la apertura
para que Gauss comprendiera la teoŕıa del análisis matemático.
162 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Figura 4.26: Johann Cristian Martin Bartels
Teorema de los números primos. En una tabla de logaritmos que Gauss recibió
cuando teńıa 14 años, escribió lo siguiente en el margen de la misma:
π(x) ∼ ln(x)
x
En donde ln es el logaritmo natural y π(x) es la función contadora de números
primos menores o iguales a x. Este resultado es sumamente importante en teoŕıa
anaĺıtica de números y, a pesar de que no fue demostrado por Gauss, evidencia un
conocimiento profundo de un área de las matemáticas que para principios del siglo
XIX no hab́ıa sido desarrollada, ni siquiera formalizada. El teorema fue demostrado
en el año 1896 de manera independiente por Hadamard y de la Vallée.
Collegio Carolinum. Brunswick en el siglo XVIII era un centro poĺıtico y cul-
tural. Los duques Antonio Ulrico y Carlos I invirtieron en artes y ciencias. En 1745
Carlos I fundó el Collegio Carolinum que se convertiŕıa en la Universidad Técnica
de Brunswick con el paso del tiempo. [15]. Gauss se inscribió en esta institución a los
15 años, con la ayuda de su mecena y protector: Carlos I de Brunswick, duque de
esta misma ciudad. En este centro de estudios analizó a profundidad los trabajos de
Newton, Euler y Lagrange. Aqúı descubrió, pero no publicó, el método de los mı́nimos
cuadrados.
Figura 4.27: Universidad Técnica de Brunswick
Estudios superiores de Gauss. Gauss estudió matemáticas en la Universidad
de Gotinga. Estuvo en contacto con varias figuras que marcaron un antes y después
MATEMÁTICA EN LA ALEMANIA DE FINALES DEL SIGLO XVIII 163
en su formación, como Johann Bolyai, otro matemático interesado en el análisis com-
plejo y la geometŕıa no euclidiana. En 1796 y dentro de Gotinga, Gauss demuestra la
constructibilidad del poĺıgono de 17 lados con el uso de regla y compás. Gauss sintió
que este resultado tiene una belleza tanto estética como matemática y fue el descu-
brimiento que confirmó su amor por esta rama del conocimiento y su voluntad para
dedicarse toda su vida a ella.
Figura 4.28: Universidad de Gotinga
Figura 4.29: Construcción del heptadecágono
Posteriormente, Gauss realizó su doctorado en la Universidad de Helmstedt, una
universidad que perdió popularidad y reputación en comparación con Gotinga o Halle.
164 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Su supervisor doctoral fue Johann Piedrich Pfaff, uno de los matemáticos alemanes
más importantes en el área de análisis matemático y ecuaciones diferenciales parciales
en ese entonces, quien a principios del siglo XXI cambiaŕıa su lugar de trabajo a la
Universidad de Halle. En su tesis Gauss demostró el Teorema fundamental del álgebra
para coeficientes reales.
Disquisitiones Arithmeticae.
Figura 4.30: Discusiones en aritmética.
Discusiones en aritmética es el magnus opum de Gauss. Fue escrito en Gotin-
ga en 1798 pero publicado 3 años después. Gauss se inspiró y recopiló los trabajos
en aritmética de Euler, Lagrange, Fermat y Legendre. Aportó también sus propias
demostraciones y descubrimientos. Este libro se convirtió en el primer tratamiento
riguroso de la teoŕıa de números y es un referente para el desarrollo de esta área.
El libro se divide en las siguientes secciones:
Sección1: Definición de congruencia modular entre dos enteros módulo p. Po-
pulariza la notación ≡ para congruencia.
Sección 2 y 3: Factorización única de un entero en números primos. Mı́nimo
común múltiplo, Máximo común divisor. Pequeño teorema de Fermat. Residuos
de potencias.
Sección 4: Demostración de la ley de reciprocidad cuadrática.
Sección 5: Formas binarias cuadráticas.
Sección 6: Resolución de formas binarias cuadráticas.
Sección 7: Ciclotomı́a. ¿Cuándo un n-ágono es constructible?
Otros descubrimientos notables de Gauss
Probabilidad y estad́ıstica
En el libro de 1809 ”Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem
ambientium”, en el que Gauss estudiaba el movimiento de cuerpos celestes, introdujo
los conceptos de: método de los mı́nimos cuadrados y distribución normal.
MATEMÁTICA EN LA ALEMANIA DE FINALES DEL SIGLO XVIII 165
Figura 4.31: Libro publicado por Gauss en Probabilidad y Estad́ıstica
Figura 4.32: Distribución normal y su forma
Electromagnetismo: Ley de Gauss
En el libro ”Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneo-
rum methodo nova tractata.en el que Gauss estaba haciendo un estudio de las fuerzas
de carácter repulsivo y atractivo para demostrar la ley de Gauss.
166 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Figura 4.33: Ley de Gauss
Gauss también hizo aportes al magnetismo creando uno de los primeros telégrafos
electrostático, que utilizaba pulsos eléctricos para transmitir información a larga dis-
tancia. En vez de usar una pila voltaica, utilizó pulsos de inducción, para aśı transmitir
más información en el mismo tiempo. También impulsó la creación de ”Magnetischer
Verein”(asociación magnética) que se encargó de medir el campo magnético a lo largo
de todo el mundo.
Gauss y la geodesia. En 1818 Gauss, poniendo sus habilidades de cálculo para
el uso práctico, llevado a cabo un estudio geodésico del Reino de Hannover, la vincu-
lación con las encuestas anteriores daneses. Para ayudar a la encuesta, Gauss inventó
el heliotropo, un instrumento que utiliza un espejo para reflejar la luz solar a grandes
distancias, para medir posiciones.
Figura 4.34: Piedra de la misión de Gauss en Garlste
”Pauca sed matura”
MATEMÁTICA EN LA ALEMANIA DE FINALES DEL SIGLO XVIII 167
Gauss no publicó mucho a lo largo de su vida, pero cada uno de sus aportes fue-
ron realmente importantes en distintas áreas de la matemática e influyeron en grandes
matemáticos de toda la historia. Fue tutor de Bernard Riemann y le brindó herramien-
tas matemáticas de geometŕıa no euclidiana. También influyó en Ricci, Levi-Civita y
Christoffel, quienes dieron la base matemática para que Albert Einstein fundara la
teoŕıa de la relatividad.
Figura 4.35: Padres y bases de la relatividad
168 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Avances en el desarrollo del electromagnetismo
Los paradigmas introducidos por Newton en el siglo XVII serián el determinante
del desarrollo posterior en la f́ısica del siglo XVIII. Prueba de esto son las dos mecánicas
- la celeste de Laplace y la anaĺıtica de Lagrange - que, dominadas por un profundo
sentido de la verdad, sentaron las bases de la confianza en el conocimiento cient́ıfico y
su capacidad para explicar todos los fenómenos naturales.
No es sorpresa, por tanto, que la mayoŕıa de investigaciones en f́ısica durante este
siglo estuvieran enfocadas en a la búsqueda de respuestas basadas en la mecánica:
determinación de las orbitas planetarias, correcciones en el la Teoŕıa de Gravitación
Universal, aproximaciones de la densidad de la Tierra, teoŕıa cinética de los gases,
etc. Cabe notar, sin embargo, que aunque también existieron desarrollos menores en
otros campos de la f́ısica como la óptica y la termodinámica, el siglo XVIII destaca
particularmente por la grandes contribuciones a la comprensión de la electricidad y el
magnetismo, hasta ese entonces fenómenos todav́ıa separados.
Uno de los primeros descubrimientos importantes en el es-
tudio de la electricidad vino de la mano del inglés Stephen
Gray (1666-1736), que estudió la conductividad de ciertos ma-
teriales y los clasificó en conductores y no conductores. Para
esto realizó experimentos electrizando por frotamiento un tubo
de vidrio en contacto directo con una pequeña bola metálica
por medio de una cuerda de cálamo; notó que al producirse
el contacto la bola era capaz de atraer cuerpos pequeños. Al
suspender la cuerda en un clavo en el techo, la propiedades
eléctricas de la bola se perd́ıan, y fueron recuperadas al cam-
biar la cuerdas por hilos de seda. Experimentos similares lo
llevaron a descubrir la electricidad por influencia y la conduc-
tividad de ĺıquidos.
La similitudes de los descubrimientos de Gray con inves-
tigaciones pasadas llevaron a al francés Charles François de
Cisternay du Fay (1698-1739), después de numerosos expe-
rimentos con metales y resina y vidrio frotados, a formular
correctamente la existencia de dos tipos de cargas eléctricas y
la naturaleza de su atracción y repulsión:
((Hay dos clases diferentes de electricidad, muy distintas
entre śı: una que llamo electricidad v́ıtrea y otra resinosa. La
primera es la del vidrio, cristal de roca, piedras preciosas, pelo
de animales, lana y muchas otras sustancias; la segunda es la
del ámbar, goma laca, seda, hilo, papel y otros cuerpos. La ca-
racteŕıstica de ambas electricidades es que un cuerpo cargado
con electricidad v́ıtrea repele a todos los demás cargados con la misma electricidad y,
por el contrario, atrae a los que poseen electricidad resinosa.))
Esta explicación dualista de los fenómenos eléctricos, aun-
que novedosa, no era completamente aceptada por la comuni-
dad cient́ıfica, cuyo principal opositor fue el estadista y cient́ıfi-
co estadounidense Benjamin Franklin(1706-1790). Al parecer
de Franklin, los fenómenos eléctricos encontraban su explica-
AVANCES EN EL DESARROLLO DEL ELECTROMAGNETISMO 169
ción en un solo tipo de fluido, cuyo exceso o defecto seŕıa res-
ponsable de la naturaleza repulsiva o atractiva de ciertos ma-
teriales. De esta forma, la electrificación de ciertos materiales
ante el frotamiento seŕıan resultado directo de la transmisión
de este fluido, con ciertos cuerpos propensos a perder fluido y
otros a recibirlo. Estas suposiciones lo llevaron a adoptar los
términos usados hasta hoy para referirnos a la carga eléctrica:
electricidad positiva a la v́ıtrea y negativa a la resinosa.
Experimentos posteriores apoyaron la teoŕıa dualista; uno particularmente llama-
tivo es el de las figuras de Lichtenberg, un tipo de figura que se forma sobre placas no
conductoras al descargar materiales. De acuerdo con la teoŕıa monista de Franklin, el
tipo de carga del material no debeŕıa influir en la forma de las figuras, pues se trata
de un único tipo de fluido.
Figura 4.36: Figuras de Lichtenberg de cargas positiva y negativa
A pesar del fracaso de las predicciones teóricas de Franklin, sus contribuciones ex-
perimentales aportaron enormemente al entendimiento de ciertos fenómenos eléctricos.
Su investigación inició con el estudio del funcionamiento de la botella de Leiden, un
dispositivo capaz de almacenar carga eléctrica y una primera versión de los condensa-
dores modernos. Franklin sugirió que la electricidad de este dispositivo se deb́ıa a un
cierto estado del cristal que aislaba la botella, y al suprimir la tensión sobre este cristal
mediante la descarga el cristal requeŕıa de cierto tiempo para recuperar su estado ori-
ginal. Sucesivas modificaciones a la botella de Leiden basadas en este descubrimiento
le permitieron obtener poderosas descargas que dirigieron inevitablemente su atención
a un poderoso fenómeno eléctrico: las tormentas eléctricas.
Su célebre experimento de la cometa no seŕıa sino la culminación de sus hipótesis
sobre la naturaleza eléctrica del rayo. Como paso previo, demostró que era posible
descargar un conductor aislado pormedio de una punta metálica conectada a tierra.
Con este resultado en mente, ideó un exitoso experimento en el que, al conectar una
esfera conductora a una antena en forma de punta durante una tormenta eléctrica,
consiguió obtener chispas de la esfera al acercar materiales metálicos. Esto lo llevó a
170 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
sugerir una configuración similar en edificios y barcos, con una antena con punta de
oro conectada a tierra o al agua, para evitar accidente provocados por el impacto de
rayos. Este seŕıa el primer modelo del pararrayos moderno.
Dos años después, Franklin idea su famoso experimento de la cometa de manera
muy diferente a la retratada en peĺıculas y series. Consciente de que sufrir una des-
carga eléctrica directa era evidentemente peligroso, el estadounidense ató una punta
metálica a una cometa de seda, conectada por una cuerda conductora a una clavija
de hierro, de la cual pudo extraer innumerables chispas a una distancia prudente. Con
este descubrimiento quedaba demostrada la naturaleza del rayo y algunos fenómenos
que hasta entonces no teńıan explicación, como el extraño olor inmediatamente pos-
terior a la cáıda de un rayo. Franklin explicó correctamente este efecto por los efectos
eléctricos del rayo, y en un futuro se comprobaŕıa que ese olor proveńıa de la formación
de ozono en el aire.
Figura 4.37: Experimento de la cometa de Franklin
Paralelo a los descubrimientos de Franklin, Francisco Aepinus (1724-1802) estu-
diaba la propiedades eléctricas de los cristales. En particular, se enfocó en los cristales
de propiedades piroeléctricas, como la turmalina, que se cargaba eléctricamente al ser
calentada de manera desigual en sus dos extremos. Este material fue el primer de mu-
chos, como el topacio y la esmeralda brasileña, y dio inicio al estudio cualitativo de
esta nuevo tipo de sustancias, muy novedosas en un tiempo en el que se pensaba que la
electricidad solo se pod́ıa generar por frotamiento. Posteriormente se descubriŕıa que
estos mismos materiales se pueden cargar al ser sometidos a presión.
Los avances hasta ahora descritos comparten la ubicua caracteŕıstica de que se
limitaban a descripciones puramente cualitativas de los fenómenos experimentales, de-
jando de lado las formulaciones matemáticas. Intentos de llegar a valores numéricos,
como el del francés Le Monnier (1746) y el inglés Watson (1748) de medir la velocidad
de la electricidad, terminaron en fracaso. Del mismo modo, las predicciones teóricas de
AVANCES EN EL DESARROLLO DEL ELECTROMAGNETISMO 171
Bernoulli, Priestley y Cavendish sobre la estructura de la fuerza eléctrica y magnética,
asombrosamente similar a la Ley de gravitación universal de Newton, nunca sobrepasa-
ron el grado de hipótesis dada la falta de una demostración matemática. No seŕıa hasta
la llegada de Coulomb, casi a finales del siglo, que al fin se alcanzaŕıa la rigurosidad
matemática en el esetudio de la electricidad.
Charles August Coulomb (1736-1806), de origen francés,
fue un ingeniero y militar que dedicó sus ratos de ocio al estu-
dio de la brújula y a la fricción. Para poder medir precisamente
agujas suspendidas por hilos, Coulomb inventó independiente-
mente la balanza de torsión, un dispositivo basado en la fuerza
de torsión, para determinar los coeficientes de distintos materiales. El funcionamiento
de este aparto es relativamente simple: una varilla delgada es suspendida por medio
de un alambre de plata en un recipiente de cristal, y mediante un pequeño orificio se
puede introducir una bola cargada que produzca una fuerza eléctrica y, por tanto, una
torsión en el hilo.
Figura 4.38: Balanza de torsión de Coulomb
Al examinar sus resultados de la torsión de una aguja magnética, encontró que las
interacciones entre los polos magnéticos son de tipo Newtoniano. Posteriores experi-
mentos con las cargas eléctricas arrojaron resultados idénticos, llevándolo a formular
por primera vez en 1785 la célebre Ley de Coulomb, el fundamento de todo el estudio
de la electrostática:
Fe = k
m1m2
r2
donde cada m representa una masa y r la distancia que los separa. Coulomb tam-
bién demostró la forma en la que distribuye una cierta densidad de carga en una
superficie conductora usando una esfera hueca, cargada y asilada. Al introducir bolas
172 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
de prueba en el interior de esta esfera hueca, la fuerza sobre ellas fue nula, añadien-
do similitudes a la ley de gravitación newtoniana que predećıa que, bajo una ley de
cuadrado inverso, demostró que en el interior de una capa uniforme de materia no era
posible producir una interacción gravitatoria al introducir otra masa.
Los descubrimientos de Coulomb cierran el estudio de la electricidad en el siglo
XVIII y dan un punto de partida para la gran unificación de las interacciones eléctrica
y magnética para un solo marco teórico en el siglo XIX, de la mano de renombrados
cient́ıficos como Faraday, Ampere y Maxwell.
Anexos
Series infinitas
Dada una sucesión matemática {an} de números racionales, reales o complejos, la
serie asociada se define como:
S =
∞∑
n=1
ai
. Si S posee un valor numérico entonces se dice que converge.
Teorema fundamental del álgebra
f(z) = a0 + a1z + a2z
2 + ...+ anz
n
ai ∈ R, i ∈ {1, 2, ..n}
∃z ∈ C(f(z) = 0)
Congruencia Modular
Se dice que dos números a, b son congruentes módulo c (a ≡ b(modc)), si existe un
número d entero tal que:
b− a
c
= d
Número primo
Se dice que un entero es primo si solo es divisible para si mismo y para la unidad.
Teorema fundamental de la aritmética
Todo entero positivo n > 1 puede ser representado exactamente de una única ma-
nera como un producto de potencias de números primos
n =
k∏
i=1
pαi
i
donde pi es un número primo y αi son enteros positivos.
ANEXOS 173
Máximo común divisor
Si a, b son dos números enteros, se define el máximo común divisor (MCD) como
el mayor número que divide a ambos. Si el mayor número que divide a ambos números
es 1 se dice que los números son primos relativos.
Pequeño teorema de Fermat
Sean a, p primos relativos. Se tiene que:
ap−1 ≡ 1(modp)
Residuo de una n-potencia
Sean m, r enteros coprimos. Si la congruencia modular
xn ≡ r(modm)
es verdadera para un x entero se dice que residuo n − potencia de m. Śımbolo de
Legendre
Ley de los reciprocos cuadráticos
Śımbolo de Legendre:
Sean p, q numeros enteros coprimos, se tiene que:(
q
p
)
=
{
1 si n2 ≡ q(modp) para algun entero n,
−1 en otro caso
y que (
q
p
)(
p
q
)
= (−1)
p−1
2
q−1
2
¿Cuándo un n-ágono es constructible?
Teorema de Gauss-Wantzel
Un n-ágono de lados iguales es constructible si:
n = 2k
∏
p∈F
p
en donde k es un entero mayor o igual que 0 y p es un numero primo de Fermat.
Número primo de Fermat
Un número primo de Fermat es un número natural de la forma
22n
+ 1
en donde n es un entero mayor o igual a 0.
Distribución Normal
174 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Dada una variable aleatoria equipada con una desviación estándar y una media
aritmética, Gauss se preguntó cuál debe la forma de la densidad de probabilidad y qué
método se debe usar para obtener la media aritmética como el mejor estimado de la
localización de la variable. La respuesta: la distribución normal.
Demostración del teorema de la divergencia
Gauss parte de la definición de campo eléctrico a partir de la Ley de Coulomb:
Para llegar a que:
Luego, utiliza el teorema de la divergencia para finalmente expresar que:
Esta contribución se convertiŕıa en una de las leyes de Maxwell.
Enunciación de la serie de Taylor por Johann Bernoulli
Johann Bernoulli parte de la siguiente identidad:
ydx = ydx+ xdy − xdy − x2
1 · 2
d2y
dx
+
x2
1 · 2
d2y
dx
− x3
1 · 2 · 3
d3y
dx2
+
x3
1 · 2 · 3
d3y
dx2
− · · ·
= d(xy)− d(
x2
1 · 2
dy
dx
) + d
x3
1 · 2 · 3
d2y
dx2
− · · ·
Al integrar de 0 a x, se llega a:
ydx = xy − x2
1 · 2
dy
dx
+
x3
1 · 2 · 3
d2ydx2
Si y = f(x), se tiene:
fxo ydu = f(x)− f(o)
Y, por tanto:
f(o) = f(x)− xf(x) +
x2
2
f ′(x)− · · ·
ANEXOS 175
Enunciación de la serie de Taylor por Brook Taylor
Taylor, por otro lado, deduce la seri que lleva su nombre a apartir de la fórmula
de Newton que expresa una función mediante las diferencias finitas:
∫
(x+ n4x) = y + n4y +
n(n− 1)
2
42y + · · ·
E indicando u = 4x; u′ = (n − 1)4x; u′′ = (n − 2)4x; ...la foórmula anterior se
transforma en:
∫
(x+ u) = y +
4y
4x +
uu′
1 · 2
42y
4x2
+
uu′u′′
1 · 2 · 3
43y
4x3
+ · · ·
Bastará hacer 4x pequeña y n lo suficientemente grande para que los valores de
u, u′, u′′, se igualen y en definitiva:
∫
(x+ u) = y + u
dy
dx
+
u2
2!
d2y
dx2
+
u3
3!
d3y
dx3
+ · · ·
Proposición 7, Corolario 2 del Methodus Incrementorum
Figura 4.39: Proposición 7
176 CAPÍTULO 4. EDAD MODERNA TEMPRANA
Figura 4.40: Corolario 2
Series de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier
constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado
para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha
función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples
(como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).
Las series de Fourier tienen la forma:
a0
2
+
∞∑
n=1
(ancos
2nπ
T
t+ bnsin
2nπ
T
t)
Donde an y bn se denominan coeficiente de Fourier de la serie de la funciont
f(t)
Forma Compacta Series de Fourier
En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos
cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidal. Otra forma
de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:
f(t) = A0 +
∞∑
n=1
Ancos(wnt− θn)
En esta ecuación compacta tenemos que: A0 = a0
2 , An =
√
a2n + b2n y
θn = tan−1 bn
an
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RESUMEN 179
Resumen
El desarrollo de la matemática en el siglo XVIII se aborda en el presente caṕıtulo
desde un punto de vista eurocentrista. Los grandes avances se centran en Italia, Gran
Bretraña, Suiza, Alemania, Francia y otros páıses del viejo continente, que se caracte-
rizaron por tener una alta influencia de la Ilustración y una inversión en ciencias puras
y matemática dentro de instituciones educativas, en especial en las Universidades.
Tomas Bayes realizó un estudio de la teoŕıa de las probabilidades brindando una
de las ecuaciones más usadas en el área de las probabilidades condicionales, llamada
teorema de Bayes, que analiza la probabilidad de un suceso en función de probabili-
dades condicionales relacionadas con otros sucesos.
En Suiza nace el matemático más importante del siglo XVIII: Leonard Euler. Pu-
blicó un sinnúmero de resultados relevantes. De entre su vasto contenido se encuentra
el descubrimiento de la constante de Euler, el número transcedental más importante
junto a π. La notación de función matemática es brindada por él, también hace desa-
rrollos en la mecánica, la óptica, teoŕıa de números, astronomı́a y teoŕıa de grafos.
También en Suiza, Daniel Bernoulli siguió la ĺınea académica de su familia y estudió
hidrodinámica desde un punto de vista de ecuaciones diferenciales, también contribuyó
con estudios de densidades de probabilidades y realizó un aporte a la teoŕıa cinética de
gases. La mayoŕıa de sus estudios se dieron en la Universidad de Basilea, la universidad
más antigua de Suiza y que posee una tradición académica notable.
Por otra parte, en el recién instaurado Reino Unido de Gran Bretaña (1707),
Brook Taylor, realizó importantes contribuciones al desarrollo del cálculo diferencial.
En particular creó una herramienta poderosa utilizada en cálculo, análisis matemático
y análisis numérico: las series de Taylor, que permiten aproximar una función diferen-
ciable alrededor de un punto.
Para el año 1729 Bach