Cargas virtuais

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Método de las Fuerzas. Cambio de
temperatura y cargamento externo
Calcular las reacciones, los esfuerzos internos en la estructura y el desplaza-
miento horizontal del pat́ın, para cada condición:
1. Cargamento externo
2. Cambio de temperatura
3. Ambos a la vez
4. Descenso del pat́ın (↓) = 5 cm
5. Los tres efectos a la vez
1. Cargamento externo
6m
4
m
2
m
7
k
N
/
m
El módulo de elasticidad del material es G = 210GPa y el coeficiente de
dilatación lineal α = 1× 10−5 ◦C−1. Las columnas son de perfiles HEB y la
viga del tipo IPE300. Sus caracteŕısticas principales son las siguientes:
Perfil HEB
Área: 78.10 cm2
Momento de inercia: 5.70× 103 cm4
Altura de la sección: 20 cm
Profundidad del centro de gravedad: 10 cm
Perfil IPN300
Área: 53.08 cm2
2
Momento de inercia: 8.36× 103 cm4
Altura de la sección: 30 cm
Profundidad del centro de gravedad: 15 cm
La carga mostrada corresponde a la presión dinámica de un viento básico
de 50m/s.
Cálculo de estabilidad y determinación
Las reacciones que aparecen en los apoyos son las siguientes:
6m
4
m
2
m
HA
VA
MA
VB
El número de barras n es 1 y el número de reacciones r es 4. Por lo tanto:
G = r − 3 ∗ n = 4− (3 ∗ 1) = 1 (1)
Método de las fuerzas
La estructura es hiperestática de Grado 1. La estructura original se reem-
plaza por una fundamental, obtenida reemplazando el apoyo en A por una
articulación. Al final, se compatibiliza el giro en A con el producido por un
momento redundante unitario en el mismo punto.
3
Estado 0
6m
4
m
2
m
7
k
N
/
m
HA
VA
VB
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fx = 0 7 · 4−HA = 0 H0
A = 28 kN∑
A
M = 0 (VB ∗ 6)− 7 · 4 ∗ 2 = 0 V 0
B = 9.33 kN∑
Fy = 0 −VA + VB = 0 V 0
A = 9.33 kN
Primer corte 0 ≤ x ≤ 4m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA + N̄ = 0 N0
I = 9.33 kN∑
Fx = 0 −HA + 7x+ V̄ = 0 V 0
I = 28− 7x∑
x
M = 0 7x ∗ x
2
−HA ∗ x+ M̄ = 0 M0
I = 28x− 3.5x2
Segundo corte 0 ≤ x ≤ 6m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fx = 0 −HA + 7 · 4 + N̄ = 0 N0
II = 0kN∑
Fy = 0 −VA − V̄ = 0 V 0
II = −9.33 kN∑
x
M = 0 7 · 4 ∗ 2−HA ∗ 4 + VA ∗ x+ M̄ = 0 M0
II = 56− 9.33x
4
Tercer corte 0 ≤ x ≤ 2m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA − N̄ = 0 N0
III = −9.33 kN∑
Fx = 0 −HA + q · 4− V̄ = 0 V 0
III = 0kN∑
x
M = 0 q · 4 ∗ (2− x)−HA ∗ (4− x) + VA ∗ 6 + M̄ = 0 M0
III = 0kNm
56.0 kNm
56.0 kNm
Cálculo de giro en A (θ0A)
Se utiliza aqúı el Método de los Trabajos Virtuales para el cálculo del giro
en A debido al cargamento externo. Para ello se introduce un Momento
virtual X̄1 en el punto de interés.
6m
4
m
2
m
X̄1
HA
VA
VB
5
∑
Fx = 0 −HA = 0 H̄A = 0kN∑
A
M = 0 (VB ∗ 6)− X̄1 = 0 V̄B = X̄1/6∑
Fy = 0 −VA + VB = 0 V̄A = X̄1/6
Primer corte 0 ≤ x ≤ 4m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA + N̄ = 0 N̄I = X̄1/6∑
Fx = 0 −HA + V̄ = 0 V̄I = 0kN∑
x
M = 0 −HA ∗ x− X̄1 + M̄ = 0 M̄I = X̄1
Segundo corte 0 ≤ x ≤ 6m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fx = 0 −HA + N̄ = 0 N̄II = 0kN∑
Fy = 0 −VA − V̄ = 0 V̄II = −X̄1/6∑
x
M = 0 −HA ∗ 4 + VA ∗ x− X̄1 + M̄ = 0 M̄II = X̄1 −
X̄1
6
x
Tercer corte 0 ≤ x ≤ 2m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA − N̄ = 0 N̄III = −X̄1/6∑
Fx = 0 −HA − V̄ = 0 V̄III = 0kN∑
x
M = 0 −HA ∗ (4− x) + VA ∗ 6− X̄1 + M̄ = 0 M̄III = 0kNm
6
X1
X1
De la igualdad del Teorema de los Trabajos Virtuales:
E · X̄1 · θ0A =
1
II
·
∫ 4
0
(28x− 3.5x2) · X̄1 dx+
1
III
·
∫ 6
0
(56− 9.33x) · (X̄1 −
X̄1
6
x) dx
+
1
IIII
·
∫ 2
0
0 · 0 dx
E · θ0A =
149333.33
57× 10−6m4
+
112020
83.6× 10−6m4
+ 0
θ0A(⟳) = 0.018 85 rad
Estado 1
6m
4
m
2
m
Ā1
HA
VA
VB
En el Estado 1, se introduce un Momento unitario A1 en el apoyo A. Los
esfuerzos sobre la estructura serán análogos a los producidos por el momento
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virtual considerado en el apartado anterior. Aśı:
N1
I = A1/6 M1
I = A1
N1
II = 0kN M1
II = A1 −
A1
6
x
N1
III = −A1/6 M1
III = 0kNm
Se plantea entonces la igualdad de los Trabajos Virtuales, para el cálculo
del giro en A.
E · A1 · fAA =
1
II
·
∫ 4
0
A1 · X̄1 dx+
1
III
·
∫ 6
0
(A1 −
A1
6
x) · (X̄1 −
X̄1
6
x) dx
+
1
IIII
·
∫ 2
0
0 · 0 dx
E · fAA =
4
57× 10−6m4
+
2
83.6× 10−6m4
+ 0
fAA(⟳) = 448.09× 10−9 rad/Nm
Ecuación de compatibilidad
θ0A(⟳) + fAA(⟳) ·MA = 0
MA = − θA
fAA
=
0.018 85 rad
448.09× 10−9 rad/Nm
MA(⟲) = 42.07 kNm
1.1 Reacciones
De las ecuaciones de equilibrio, en la estructura original:∑
Fx = 0 7 · 4−HA = 0 HA(←) = 28 kN∑
A
M = 0 VB ∗ 6− 7 · 4 ∗ 2 +MA = 0 VB(↑) = 2.32 kN∑
Fy = 0 VA + VB = 0 VA(↓) = 2.32 kN
MA(⟲) = 42.07 kNm
1.2 Esfuerzos internos
Se toman tres cortes en la estructura para la determinación de los esfuerzos
internos sobre ella.
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Primer corte 0 ≤ x ≤ 4m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA + N̄ = 0 NI = 2.32 kN∑
Fx = 0 −HA + 7 · x+ V̄ = 0 VI = 28− 7x∑
x
M = 0 7x ∗ x
2
−HA ∗ x−MA + M̄ = 0 MI = −42.07 + 28x− 3.5x2
Segundo corte 0 ≤ x ≤ 6m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fx = 0 −HA + 7 · 4 + N̄ = 0 NII = 0kN∑
Fy = 0 −VA − V̄ = 0 VII = −2.32 kN∑
x
M = 0 7 · 4 ∗ 2−HA ∗ 4 + VA ∗ x++MA + M̄ = 0 MII = 13.93− 2.33x
Tercer corte 0 ≤ x ≤ 2m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA − N̄ = 0 NIII = −2.32 kN∑
Fx = 0 −HA + 7 · 4− V̄ = 0 VIII = 0kN∑
x
M = 0 7 · 4 ∗ (2− x)−HA ∗ (4− x) + VA ∗ 6 + M̄ = 0 MIII = 0kNm
1.3 Desplazamiento en apoyo pat́ın ∆qB
Se recurre al Método de los Trabajos virtuales. Para ello se introduce una
Carga virtual X̄2 en B. Se calculan las reacciones para la carga virtual, y
los esfuerzos internos virtuales correspondientes.
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6m
4
m
2
m
X̄2
HA
VA
VB
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fx = 0 X̄2 −HA = 0 H̄A = X̄2∑
A
M = 0 (VB ∗ 6)− X̄2 ∗ 2 = 0 V̄B = X̄2/3∑
Fy = 0 −VA + VB = 0 V̄A = X̄2/3
Primer corte 0 ≤ x ≤ 4m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA + N̄ = 0 N̄I = X̄2/3∑
Fx = 0 −HA + V̄ = 0 V̄I = X̄2∑
x
M = 0 −HA ∗ x+ M̄ = 0 M̄I = X̄2x
Segundo corte 0 ≤ x ≤ 6m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fx = 0 −HA + N̄ = 0 N̄II = X̄2∑
Fy = 0 −VA − V̄ = 0 V̄II = −X̄2/3∑
x
M = 0 −HA ∗ 4 + VA ∗ x+ M̄ = 0 M̄II = 4X̄2 −
X̄2
3
x
10
Tercer corte 0 ≤ x ≤ 2m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA − N̄ = 0 N̄III = −X̄2/3∑
Fx = 0 −HA − V̄ = 0 V̄III = −X̄2∑
x
M = 0 −HA ∗ (4− x) + VA ∗ 6 + M̄ = 0 M̄III = 2X̄2 − X̄2x
Planteando la igualdad del Teorema de los Trabajos Virtuales:
E · X̄2 ·∆qB =
1
II
·
∫ 4
0
(−42.07 + 28x− 3.5x2) · X̄2x dx
+
1
III
·
∫ 6
0
(13.93− 2.33x) ·
(
4X̄2 −
X̄2
3
x
)
dx
+
1
IIII
·
∫ 2
0
0 ·
(
2X̄2 − X̄2x dx
)
E ·∆qB =
36773.33
57× 10−6m4
+
138900
83.6× 10−6m4
+ 0
∆qB(→) = 1.1 cm
2. Cambio de temperatura
6m
4
m
2
m
−10 ◦C
50 ◦C
Se considera la misma estructura fundamental que la estudiada para el
primer problema. Al no haber cargas externas, no existe Estado 0. Para
el cálculo del giro producido por la variación de temperatura θtA, y por la
reacción redundante unitaria A1, fAA, se recurre al método de los trabajos
virtuales, colocando un momento virtual X̄1 en A.
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Coeficiente de flexibilidad térmico
Considerando la expresión para el giro en un punto, debido a solicitaciones
de origen térmico, de igualdad de los trabajos virtuales, y considerando
además que la sección HEB es simétrica respecto a su eje neutro:
tCG =
−10 + 50
2
= 20 ◦C
θtA · X̄1 = α · tCG ·
∫ 4
0
N̄I dx+
α · (ti − te)
h
·
∫ 4
0
M̄I dx
θtA · X̄1 = 1× 10−5 ◦C−1 · 20 ◦C ·
∫ 4
0
X̄1/6 dx
+
1× 10−5 ◦C−1 · (−10− 50)
0.20
·
∫ 4
0
X̄I dx
θtA = −1.1867× 10−2 rad
θtA⟲ = 1.1867× 10−2 rad
Ecuación de compatibilidad
Se impone que la sumatoria de rotaciones, por carga térmica y por redun-
dancia en el apoyo, debe ser igual a cero, por condición de desplazamientos
en el empotramiento.
θtA(⟲)− fAA(⟳) ·MA = 0
MA =
1.1867× 10−2 rad
448.09× 10−9 rad/Nm
MA(⟳) = 26.48 kNm
2.1 Reacciones
De las ecuaciones de equilibrio, en la estructura original:∑
Fx = 0 −HA = 0 HA = 0kN∑
A
M = 0 VB ∗ 6−MA = 0 VB(↑) = 4.41 kN∑
Fy = 0 VA + VB = 0 VA(↓) = 4.41 kN
MA(⟳) = 26.48 kNm
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2.2 Esfuerzos internos
Se toman tres cortes en la estructura para la determinación de los esfuerzos
internossobre ella.
Primer corte 0 ≤ x ≤ 4m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA + N̄ = 0 NI = 4.41 kN∑
Fx = 0 −HA + V̄ = 0 VI = 0kN∑
x
M = 0 −HA ∗ x−MA + M̄ = 0 MI = 26.48 kNm
Segundo corte 0 ≤ x ≤ 6m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fx = 0 −HA + N̄ = 0 NII = 0kN∑
Fy = 0 −VA − V̄ = 0 VII = −4.41 kN∑
x
M = 0 −HA ∗ 4 + VA ∗ x−MA + M̄ = 0 MII = 26.48− 4.41x
Tercer corte 0 ≤ x ≤ 2m
De las ecuaciones de equilibrio:∑
Fy = 0 −VA − N̄ = 0 NIII = −4.41 kN∑
Fx = 0 −HA − V̄ = 0 VIII = 0kN∑
x
M = 0 HA ∗ (4− x) + VA ∗ 6−MA + M̄ = 0 MIII = 0kNm
2.3 Desplazamiento en apoyo pat́ın ∆tB
Se recurre al Método de los Trabajos virtuales. Para ello se introduce una
Carga virtual X̄2 en B. Se calculan las reacciones para la carga virtual,
y los esfuerzos internos virtuales correspondientes. Planteando la igualdad
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del Teorema de los Trabajos Virtuales:
tCG =
−10 + 50
2
= 20 ◦C
X̄2 ·∆tB = α · tCG ·
∫ 4
0
N̄I dx+
α · (ti − te)
h
·
∫ 4
0
M̄I dx
X̄2 ·∆tB = α · tCG ·
∫ 4
0
X̄2
3
dx+
α · (ti − te)
h
·
∫ 4
0
X̄2x dx
∆tB = 1× 10−5 ◦C−1 · 20 ◦C · 4
3
+
1× 10−5 ◦C−1 · (−10− 50)
0.20
· 8
∆tB = −2.37 cm
∆tB⟲ = 1.1867× 10−2 rad
3. Ambos a la vez
Ecuación de compatibilidad
Se impone que la sumatoria de las tres rotaciones, por carga externa en el
Estado 0, por carga térmica en el Estado 1 y por redundancia en el apoyo
en el Estado 1, θ0A, θtA y fAA, respectivamente, debe ser igual a cero, por
condición de desplazamientos en el empotramiento.
θ0A(⟳)− θtA(⟲) + fAA(⟳) ·MA = 0
MA =
1.1867× 10−2 rad− 0.018 85 rad
448.09× 10−9 rad/Nm
= −15.58 kNm
MA(⟲) = 15.558 kNm
3.1 Reacciones
De las ecuaciones de equilibrio, en la estructura original:∑
Fx = 0 7 · 4−HA = 0 HA = 28 kN∑
A
M = 0 −7 · 4 ∗ 2 + VB ∗ 6−MA = 0 VB(↑) = 6.73 kN∑
Fy = 0 VA + VB = 0 VA(↓) = 6.73 kN
MA(⟳) = 18.47 kNm
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4. Descenso del pat́ın ρBv
= 5 cm
5
cm
6 m
4
m
2
m
Se considera la misma estructura fundamental que la estudiada para el
primer problema. Al no haber cargas externas, no existe Estado 0. Para el
cálculo del giro producido por el descenso del pat́ın, θρA, y por la reacción
redundante unitaria A1, fAA, se recurre al método de los trabajos virtuales,
colocando un momento virtual X̄1 en A.
Coeficiente de flexibilidad de movimiento de apoyos
Considerando la expresión para el giro en un punto, debido a movimientos
de apoyos, de igualdad de los trabajos virtuales:
θρA · X̄1 = −
∑
R · ρ
θρA · X̄1 = −
X1
6
· −0.05m
θρA = 0.008333
θρA(⟳) = 0.0083 rad
Ecuación de compatibilidad
Se impone que la sumatoria de rotaciones, por descenso de apoyo y por
redundancia en el apoyo, debe ser igual a cero, por condición de desplaza-
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mientos en el empotramiento.
θρA(⟳) + fAA(⟳) ·MA = 0
MA = − 0.0083 rad
448.09× 10−9 rad/Nm
MA(⟲) = 18.52 kNm
4.1 Reacciones
De las ecuaciones de equilibrio, en la estructura original:∑
Fx = 0 −HA = 0 HA = 0kN∑
A
M = 0 VB ∗ 6−MA = 0 VB(↓) = 3.1 kN∑
Fy = 0 VA + VB = 0 VA(↑) = 3.1 kN
MA(⟲) = 18.52 kNm
5. Los tres efectos a la vez
Para considerar los tres efectos a la vez, se recurre a la superposición de
efectos:
5.1 Reacciones
Se suman los tres momentos en el empotramiento, por cargamento externo,
por cambio de temperatura y por descenso de apoyos:
MA = −42.07 kNm(⟲) + 26.48 kNm(⟳)− 18.52 kNm(⟲) = −34.11
MA = 34.11 kNm(⟲)