GEOMETRIA_DESCRIPTIVA

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GEOMETRÍA 
DESCRIPTIVA 
Cuarta Edición 
Geometría 
Descriptiva 
 
Autor: 
Dr. Víctor Vidal Barrena 
 
Universidad 
Nacional de Ingeniería 
CAPÍTULO 
© 2016 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 
3 
LA RECTA 
© 2016 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 
GEOMETRÍA DESCRITIVA 
Tercera 
E
d
ició
n
 
Víctor Vidal Barrena 
2 - 2 
2.1 LA RECTA OBLICUA.- 
POSICION DE UNA RECTA OBLICUA EN EL ESPACIO.
DEPURADO
Es la recta que no es paralela ni perpendicular a ningún plano de proyección.- 
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Tercera 
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2 - 3 
Es la posición que adopta una recta de ser paralelo o perpendicular a los planos 
principales . Para ambas posiciones de la recta se proyectara en dimensión 
verdadera en uno de los planos principales. 
a.).-CON RESPECTO AL PARALELISMO.-La recta se proyectara en dimensión 
verdadera en el plano adyacente. Tenemos las rectas. 
 1.- RECTA HORIZONTAL. 
 2.- RECTA FRONTAL. 
 3.- RECTA DE PERFIL. 
 b.).-CON RESPECTO A LA PERPENDICULARIDAD.- La recta se 
proyecta de punta en el plano adyacente. Tenemos las rectas. 
 1.- RECTA VERTICAL. 
 2.- RECTA NORMAL 
 3.- RECTA ORTO PERFIL. 
2.2 POSICIONES PARTICULARES DE UNA RECTA EN EL ESPACIO. 
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2 - 4 
2.2.1 RECTA HORIZONTAL 
DEPURADO
 VISTA 
TRIDIMENSIONAL
LA RECTA HORIZONTAL.
Es aquella recta paralela al plano principal horizontal proyectándose sobre el en verdadera 
magnitud. 
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2.2.2 LA RECTA FRONTAL.- 
LA RECTA FRONTAL
VISTA 
TRIDIMENSIONAL
DEPURADO
Es aquella recta paralela al plano principal frontal proyectándose sobre el, en dimensión 
verdadera. 
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2.2.3 LA RECTA DE PERFIL 
LA RECTA DE PERFIL
DEPURADO
 VISTA 
TRIDIMENSIONAL
Es aquella recta paralela al plano principal de perfil, proyectándose sobre el en 
dimensión verdadera. 
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2.2.4 LA RECTA VERTICAL 
 VISTA 
TRIDIMENSIONAL
LA RECTA VERTICAL
DEPURADO
Es aquella recta perpendicular al plano principal horizontal, proyectándose sobre el 
como un punto. 
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2.2.5 LA RECTA NORMAL 
DEPURADO
 VISTA 
TRIDIMENSIONAL
LA RECTA NORMAL
Es aquella recta perpendicular al plano principal frontal, proyectándose sobre el 
como un punto. 
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2.2.6 LA RECTA ORTOPERFIL 
DEPURADO
 VISTA 
TRIDIMENSIONAL
LA RECTA ORTOPERFIL
Es aquella recta perpendicular al plano principal de perfil, proyectándose sobre el 
como un punto. 
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2 - 10 
2.3 DIMENSION VERDADERA DE UNA RECTA OBLICUA. 
DIMENSION 
VERDADERA 
OBLICUA.
Una recta oblicua que sea paralela a un plano de proyección, será proyectada sobre 
este plano en dimensión verdadera. 
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PROCEDIMIENTO. 
1.-SE TRAZA EL 
PLANO DE 
PROYECCION H1, 
PARALELO Y A 
CUALQUIER 
DISTANCIA DE LA 
RECTA AB.
2.-SE TRAZA LINEAS 
DE REFERENCIA 
DESDE LOS PUNTOS
 A y B, 
PERPENDICULARES A 
EL PLANO DE 
PROYECCION H1. 
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2 - 12 
PROCEDIMIENTO. 
COTA
COTA
C
O
T
A
C
O
T
A
3.-UBICAMOS 
LOS PUNTOS A
 y B, CON SUS 
RESPECTIVAS 
COTAS.
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2 - 13 
PROCEDIMIENTO 
COTA
COTA
C
O
T
A
C
O
T
A
4.- SE UNEN 
LOS PUNTOS 
AyB EN EL 
PLANO H1.
5.- LA RECTA 
SE 
PROYECTARA 
EN DIMENSION 
VERDADERA.
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2.4 PENDIENTE VERDADERA DE UNA RECTA. 
PLANO 
HORIZONTAL
Es el ángulo comprendido entre una recta oblicua proyectada en dimensión 
verdadera con respecto a un plano horizontal 
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2.4 PENDIENTE VERDADERA DE UNA RECTA. 
PENDIENTE EN GRADOS
50% DE 
PENDIENTE.
DE BA, 
DESCENDENTE
30° DE 
PENDIENTE.
DE BA, 
DESCENDENTE
PENDIENTE EN PORCENTAJE
LA PENDIENTE DE UNA RECTA PUEDE ESTAR EXPRESADA EN GRADOS O 
EN PORCENTAJE. 
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2.4 PENDIENTE DE LA RECTA OBLICUA. 
PENDIENTE EN PORCENTAJE
50% DE 
PENDIENTE.
DE AB 
ASCENDENTE
30° DE 
PENDIENTE.
DE AB 
ASCENDENTE
PENDIENTE EN GRADOS
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CUANDO LA PENDIENTE ES ASCENDENTE O DESCENDENTE. 
PENDIENTE DESCENDENTEPENDIENTE ASCENDENTE 
CUANDO LA 
COTA DEL 
PUNTO A ES 
MAYOR QUE LA 
DEL PUNTO B, 
ASCIENDE.
MEDIMOS DESDE A MEDIMOS DESDE B
CUANDO LA 
COTA DEL 
PUNTO B ES 
MENOR QUE LA 
DEL PUNTO A 
DESCIENDE
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2.5 DIMENSION VERDADERA DE UNA RECTA: MÉTODO DE LA DIFERENCIA DE COTAS. 
SE DAN LAS 
LA RECTA AB. 
DETERMINAR SU 
DIMENSION 
VERDADERA SIN 
USAR NINGUNA 
VISTA AUXILIAR.
CONSISTE EN DETERMINAR LA DIMENSIÓN VERDADERA DE UNA RECTA 
OBLICUA, SIN UTILIZAR NINGÚN PLANO AUXILIAR. 
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PROCEDIMIENTO. 
SE LLEVA LA 
DISTANCIA 
HORIZONTAL 
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PROCEDIMIENTO. 
dc
dc
DESDE EL PLANO 
FRONTAL SE TOMA LA 
DIFERENCIA DE COTAS
Y SE COLOCA EN EL 
EXTREMO DE LA RECTA 
HORIZONTAL AB.
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2 - 21 
PROCEDIMIENTO. 
dc
dc
100
50
DIMENSION VERDADERAPENDIENTE
UNIR LOS EXTREMOS 
Y FORMAR EL 
TRIANGULO 
RECTANGULO Y 
TENEMOS LA 
DIMENSION 
VERDADERA DE LA 
RECTA AB , Y SU 
PENDIENTE.
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2 - 22 
2.6 CASO ESPECIAL EN LA RECTA FRONTAL. 
dc
100
80
PENDIENTE REAL 
PARA EL CASO 
DE UNA RECTA 
FRONTAL SE 
MIDE EN EL 
PLANO FRONTAL 
DE AB O DE BA.
COMO LA RECTA FRONTAL SE PROYECTA EN DIMENSIÓN VERDADERA EN LA 
VISTA FRONTAL, LA PENDIENTE SE MIDE EN ESTE PLANO DE PROYECCIÓN. 
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La orientación de una recta es el ángulo 
agudo comprendido entre la proyección 
horizontal de la recta oblicua con 
respecto al meridiano (línea norte – sur). 
Para describir la dirección de una recta 
sobre la superficie de la tierra, se utiliza 
el termino de Rumbo, que se expresa en 
grados y se dice primero norte o sur y 
luego este u oeste. 
2.7 ORIENTACIÓN DE UNA RECTA. 
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2 - 24 
2.7 DIRECCION O RUMBO DE UNA RECTA.- 
EO
S
N
EO
S
N
S
O E
N
RUMBO DE UNA RECTA
SOLO EN EL PLANO 
HORIZONTAL
DE AB= SØ°E
DE BA =NØ°O
LA DIRECCIÓN DE UNA RECTA SE GRAFICA SOLO EN EL PLANO HORIZONTAL. 
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2.8 PROYECCION DE PUNTA DE UNA RECTA. 
DADA LA RECTA 
OBLICUA AB . SE 
PIDE PROYECTAR 
LA RECTA AB DE 
PUNTA.
Una recta oblicua se proyecta de punta en un plano de proyección, cuando 
este plano es perpendicular a la dimensión verdadera de dicha recta. 
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PROCEDIMIENTO.- 
LLEVAR LA 
RECTA AB, A 
DIMENSION 
VERDADERA, 
USANDO EL 
METODO DE 
VISTA 
AUXILIAR 
EXPLICADO 
ANTERIORMENTE.
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PROCEDIMIENTO.- 
SE TRAZA EL 
PLANO 1.2. 
PERPENDICULAR 
A LA 
PROYECCION 
AB EN 
DIMENSION 
VERDADERA. 
Y CON EL 
ALEJAMIENTO 
a. SE UBICA 
LA RECTA DE 
PUNTA. AB. 
EN VISTA 2.
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2.9 PUNTO CONTENIDO EN UNA RECTA. 
PUNTO CONTENIDO EN UNA RECTA
PUNTO Q 
SOBRE LA 
RECTA AB.
Se dice que un punto esta contenido en una recta, cuando este se proyecte 
contenido en dicha recta en cualquier plano de proyección que puede 
trazarse en ella. 
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 Es la posición que adopta dos rectas en 
el espacio, y al proyectarse sobre los 
planos principales, estas rectas pueden 
ser: 
1. Perpendiculares. 
2. Paralelas. 
3. Concurrentes (rectas que se cortan) 
4. No concurrentes (rectas que se cruzan) 
2.10 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO. 
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2.10.1 RECTAS PERPENDICULARES. 
DOS RECTAS QUE SE 
CORTAN O SE 
CRUZAN SON 
PERPENDICULARES 
ENTRE SI, CUANDO 
POR LO MENOS UNA 
DE LAS RECTAS SEA 
PARALELO AL PLANO 
DE PROYECCION, 
PROYECTANDOSE 
SOBRE EL EN 
DIMENSION 
VERDADERA.
RECTA CD EN 
DIMENSION 
VERDADERA.
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2.10.2 RECTAS PARALELAS. AB // CD. 
SON AQUELLAS RECTAS 
DE UN MISMO PLANO 
QUE TIENEN TODOS SUS 
PUNTOS EQUIDISTANTES, 
EN CUALQUIER PLANO DE 
PROYECCION QUE PUEDE 
TRAZARSE. ES DECIR SE 
PROYECTARAN SIEMPRE 
PARALELAS.
RECTAS 
PARALELAS.
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2.10.3 RECTAS CONCURRENTES.- Rectas que se cortan. 
DOS RECTAS 
COPLANARES QUE 
SE INTERSECTAN, 
ES DECIR QUE 
TIENEN UN PUNTO 
EN COMUN DE 
INTERSECCION. EN 
CUALQUIER PLANO 
DE PROYECCION 
QUE PUEDA 
TRAZARSE.
RECTAS QUE SE CORTAN
PUNTO X COMUN A 
CD y AB
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2.10.4 RECTAS NO CONCURRENTES.- Rectas que se cruzan. 
LAS RECTAS QUE 
SE CRUZAN SON 
AQUELLAS RECTAS 
NO COPLANARES 
QUE NO SE 
INTERSECTAN, ES 
DECIR QUE NO 
TIENEN UN PUNTO 
DE INTERSECCION 
COMUN EN 
CUALQUIER PLANO 
DE PROYECCION 
QUE PUEDA 
TRAZARSE. 
RECTAS QUE SE 
CRUZAN 
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2 - 34 
2.11 CARACTERISTICAS DE LA RECTA HORIZONTAL. 
N
S
EO
SOLO EN EL PLANO 
HORIZONTAL
RUMBO DE UNA RECTA
 HORIZONTAL.
S
DE AB= SØ°E
DE BA =NØ°O
E
S
O
N
E
N
LA RECTA 
HORIZONTAL NO 
TIENE PENDIENTE.
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2 - 35 
2.12 CARACTERISTICAS DE LA RECTA FRONTAL. 
N
S
EO
SOLO EN EL PLANO 
HORIZONTAL
E
S
N
O
S
N
EO
RUMBO DE UNA RECTA
 FRONTAL.
DE AB= ESTE
DE BA =OESTE
LA RECTA FRONTAL 
TIENE UN RUMBO 
SOLO AL ESTE O AL 
OESTE. y SU 
PENDIENTE SE 
PUEDE MEDIR EN EL 
PLANO FRONTAL.
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2 - 36 
2.13 CARACTERISTICAS DE LA RECTA ORTOPERFIL. 
N
S
EO
SOLO EN EL PLANO 
HORIZONTAL
DE AB= ESTE
DE BA =OESTEEO
S
N
EO
S
N
RUMBO DE UNA RECTA
 ORTOPERFIL.
LA RECTA 
ORTOPERFIL TIENE 
UN RUMBO SOLO AL 
ESTE U OESTE , y NO 
TIENE PENDIENTE.
dv
dv
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2 - 37 
2.14 CARACTERISTICAS DE LA RECTA DE PERFIL. 
N
S
EO
SOLO EN EL PLANO 
HORIZONTAL
O
S
N
E
 DE PERFIL
N
S
O E
dv
LA RECTA DE 
PERFIL TIENE UN 
RUMBO SOLO AL 
NORTE O AL SUR 
y PARA VER SU 
PENDIENTE SE 
DEBE TRAZAR UN 
PLANO DE 
ELEVACION H1 y 
LLEVAR LA RECTA 
A DIMENSION 
VERDADERA 
DE AB= SUR
DE BA = NORTE
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2 - 38 
2.15 CARACTERISTICAS DE LA RECTA NORMAL. 
N
S
EO
SOLO EN EL PLANO 
HORIZONTAL
O
S
N
E
N
S
O E
d
v
RUMBO DE UNA RECTA
 NORMAL
DE BA = NORTE
DE AB= SUR
LA RECTA 
NORMAL TIENE UN 
RUMBO SOLO AL 
NORTE O AL SUR y 
NO TIENE 
PENDIENTE
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2 - 39 
2.16 CARACTERISTICAS DE LA RECTA DE VERTICAL. 
N
S
EO
SOLO EN EL PLANO 
HORIZONTAL
RUMBO DE UNA RECTA
 VERTICAL.
d
v
LA RECTA 
VERTICAL TIENE 
PENDIENTE 
MAXIMA , y NO 
APUNTA A 
NINGUNA 
DIRECCION, 
PUESTO QUE ES 
PERPENDICULAR 
AL PLANO 
HORIZONTAL.
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Tercera 
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2 - 40 
 PROBLEMAS 
RESUELTOS 
PROBLEMAS RESUELTOS. 
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Tercera 
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2 - 41 
PROBLEMA 2.1: 
Dos cables subterráneos de alta tensión que transportan 
60kv, parten desde el punto A, situado a una profundidad 
de 180 metros del terreno supuesto horizontal. El cable BA 
sigue la dirección N50º0 con pendiente ascendente del 
80%, tiene una longitud de 600 metros. El cable AC sigue 
la dirección N50ºE con pendiente de 20º, estando el 
extremo C a una profundidad de 420 metros. Si un nuevo 
cable de alta tensión ha de conectarse desde el extremo B 
hacia C, determinar: a) La longitud, dirección y pendiente 
del cable BC. b) Las profundidades de los extremos B y C 
con respecto al punto de partida. ESCALA: 1:10000. 
Resolver con vistas auxiliares. A(6.5,-,13.5), Nivel del 
Terreno (-,7,-) 
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2 - 42 
PROCEDIMIENTO P2.1.- 
F
H
180mt.
NIVEL DEL T.
TRAZAMOS LA 
NIVEL DEL 
MEDIMOS LA 
180mt UBICANDO 
EL PUNTO A. EN 
VISTA FRONTAL.
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2 - 43 
PROCEDIMIENTO P2.1.- 
F
H
180mt.
N50°O.
100
 80
 600m
t
H
1
NIVEL DEL T.
CON DATOS 
N50°O, y 
PENDIENTE 
DEL 80% AS. 
DE BA. Y 
LONG DE 
600mt. 
PUNTO B.
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2 - 44 
PROCEDIMIENTO P2.1.- 
F
H
N50°O.
100
 80
 600m
t
H
1
NIVEL DEL T.
NIVEL DEL T.
20°
2
H
 420mt
180mt.
CON DATOS 
DE 
PENDIENTE 
DE 20° y 420mt 
DE 
PROFUNDIDAD 
UBICAMOS EL 
PUNTO C.
N50°E
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2 - 45 
PROCEDIMIENTO P2.1.- 
F
H
N50°O.
100
 80
 600m
t
H
1
NIVEL DEL T.
NIVEL DEL T.
20°
2
H
 420mt
180mt.
N50°E
H
3
UNIMOS EL 
PUNTO B CON 
C y LUEGO 
HALLAMOS SU 
dv, 
PENDIENTE , 
DIRECCION 
CON EL 
METODO 
ESTUDIADO 
ANTERIORMENTE
dv
.
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E
d
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2 - 46 
PROCEDIMIENTO P2.1.- 
F
H
N50°O.
100
 80
 600m
t
H
1
NIVEL DEL T.
NIVEL DEL T.
20°
2
H
 420mt
180mt.
N50°E
H
3
dv
.
420mt.
240mt.
410mt.
respuesta:
a).-DIRECCION 
DE BC= N10°E
PEND 30% AS.
LONG 70mt
b).-DIF. PROF 
AC=240mt
DIF.PROF
AB=410mt
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2 - 47 
PROBLEMA 2.2: 
Dos gaseoductos que transportan gas propano parten de las 
plantas de distribución ubicadas en B y D hacia la ciudad C, la 
que parte desde B sigue la dirección S50ºE y la que parte desde 
D va con 150% de pendiente. Estas líneas de distribución se 
cruzan con una línea de distribución horizontal de agua potable 
que parte desde A hacia un reservorio ubicado en E a 200 y 100 
metros por debajo de ellas respectivamente. Determinar a) La 
longitud y pendiente de la línea BC, b) La longitud y la 
orientación de la línea DC; y c) La orientación la línea de 
distribución de agua potable. Resolver sin vistas auxiliares. Nota: 
Considerar al punto D detrás de B. ESCALA: 1:10,000. 
A(13.5,2.5,-), B(6,6.5,15), C(9,1.5,-), D(12.5,8.5,-), E(5,2.5,-) 
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2 - 48 
PROCEDIMIENTO P2.2.- 
SE UNEN LOS PUNTOS 
CORRESPONDIENTES
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2 - 49 
PROCEDIMIENTO P2.2.- 
S60°E
CON DATO DE BC= S60°E 
SE UBICA EL PUNTO C .EN 
EL PLANO HORIZONTAL.
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2 - 50 
PROCEDIMIENTO P2.2.- 
S60°E
dc.
100
150
CON PENDIENTE 150% Y 
CON dc DE LA RECTA CD 
UBICAMOS EL PUNTO D EN 
VISTA HORIZONTAL.
DOS SOLUCIONES 
TOMAMOS EL PUNTO D. 
QUE ESTA DETRAS
RADIO =
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2 - 51 
PROCEDIMIENTO P2.2.- 
S60°E
dc.
100
150
UNIMOS LA RECTA CD.
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2 - 52 
PROCEDIMIENTO P2.2.- 
S60°E
dc.
100
150
100mt
200mt
MEDIMOS EL CRUCE 
HORIZONTAL A LAS 
ALTURAS DE 100 y 200mt.
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2 - 53 
PROCEDIMIENTO P2.2.- 
dc.
100
150
100mt
200mt
S60°E
SE PROYECTA LOS 
PUNTOS DE CRUCE 
CD. 
POR LA UNION DE X e Y . 
PASARA LA RECTA AE , 
HORIZONTAL PEDIDA.
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2 - 54 
PROCEDIMIENTO P2.2.- 
dc.
100
150
100mt
200mt
SE PROYECTA LOS 
PUNTOS DE CRUCE 
CD. 
POR LA UNION DE X e Y . 
PASARA LA RECTA AE , 
HORIZONTAL PEDIDA.
S60°E
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2 - 55 
PROCEDIMIENTO P2.2.- 
dc.
100
150
100mt
200mt
S60°E N60°O
L
O
N
G
=
B
D
respuesta.-
direccion de AE = N60°O
DIREC. 
DC=S50°O
S50°O
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2 - 56 
Una araña situada en A, observa una mosca en B, 
con pendiente de del 50%, esta al percatarse que 
a sido descubierta, inicia vuelo descendente en la 
dirección este y con pendiente de 20°, en ese 
mismo instante la araña le dirige su tela araña en 
la dirección de N30°E. y con pendiente 
descendente de 70%. Determinar si la araña 
atrapa a la mosca, de no ser así, hallar la altura 
vertical libre del cruce de las trayectorias. 
ESCALA: 1/1250. Resolver sin vistas auxiliares. 
A(8 , 7, 14), (2, 3.5, - ). 
PROCEDIMIENTO P2.3.- 
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2 - 57 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 58 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 59 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 60 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 61 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 62 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 63 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 64 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 65 
SOLUCION P2.3.- 
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2 - 66 
Un avión se encuentra en un punto A, y viaja en 
dirección N30°E, después de 10 minutos se 
encuentra en B, a 70km de A y 30km debajo de el. 
Desde el punto A se observa un barco en dirección 
N45°O, y 40km debajo de el con una pendiente del 
60%; cuando el avión estaba en B, observó al 
mismo barco bajo un ángulo de depresión de 20° y 
en dirección N30°O. Determinar el rumbo, la velo-
cidad y el espacio recorrido por el barco entre las 
dos posiciones en que fue observado. ESCALA: 1: 
2´000,000. A( 7, 5, 12.). 
PROBLEMA P2.4: 
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SOLUCION P2.4.- 
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2 - 68 
SOLUCION P2.4.- 
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2 - 69 
SOLUCION P2.4.- 
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2 - 70 
SOLUCION P2.4.- 
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2 - 71 
SOLUCION P2.4.- 
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2 - 72 
SOLUCION P2.4.- 
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SOLUCION P2.4.- 
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SOLUCION P2.4.- 
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SOLUCION P2.4.- 
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2 - 76 
SOLUCION P2.4.- 
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2 - 77 
Un cazador situado en la cima de una montaña A a una 
altura de 600mt sobre el nivel del piso, observa un cóndor 
en tierra según la dirección S35°E, con una pendiente des-
cendente de 50% . El cazador desciende desde la monta-
ña una altura de 300mt a razón de 30mt por cada 100mt , 
según una dirección S60°O, de donde dispara un proyectil 
en dirección S45°E, que hace impacto en el cóndor que 
había inicia do vuelo desde tierra según una dirección 
S65°O, con una pendiente ascendente de 70% y una velo-
cidad de 50km/hr. Determinar a).- la distancia recorrida , 
velocidad y pendiente del proyectil . b).- la distancia 
recorrida del cóndor y su altura respecto al cazador 
(segunda posición).ESCALA : 1:20000. A(9, 4, 13). 
PROBLEMA P2.5.- 
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2 - 78 
SOLUCIÓN P2.5: PASO 1.- 
H
NIVEL DEL PISO
4
6
0
0
m
t
13
9
FA
SE GRAFICA LA 
COORDENADA
A(9, 4, 13)
Y EL NIVEL DEL PISO 
600mt.
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2 - 79 
SOLUCIÓN P2.5: PASO 2.- 
S35°E
HA
NIVEL DEL PISO
4
6
0
0
m
t
13
9
FA
100
HA
50
6
0
0
m
t
HC
ESCALA: 1 / 20,000
 
CF
CH
SE UBICA LA 
DIRECCION DE S35°E 
y PENDIENTE DE 50% 
CON 600mt DE NIVEL 
DEL PISO SE UBICA 
EL CONDOR EN 
TIERRA.
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2 - 80 
SOLUCIÓN P2.5: PASO 3.- 
AH
NIVEL DEL PISO
3
0
0
m
4
6
0
0
m
t
13
S35°E
FA´
9
FA
S60°O
AH́
CF
HC
100
HA
3
0
0
m
t
50
6
0
0
m
t
HC
30
A´ 100
H HA
CON DATO DE 
S60°O y 300mt 
DE ALTURA CON 
PENDIENTE DE 30
% SE UBICA AL 
CAZADOR DONDE 
DISPARA EL 
PROYECTIL.
EN A'.
ESCALA: 1 / 20,000
 
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2 - 81 
SOLUCIÓN P2.5: PASO 4.- 
S65°O
S35°E
HA
3
0
0
m
NIVEL DEL PISO
4
6
0
0
m
t
13
a
lt
u
ra
 r
e
s
p
. 
a
l 
c
a
z
a
d
o
r
d
c
FA´
9
CF́
FA
S45°E
S60°O
AH́
HC´
100
HA
50
6
0
0
m
t
HC
dis
t. 
re
c. p
or e
l c
ondor
dist recorrida por el proyectil
d
c
CF
100CH́
CH
CH́
100
27
70
CH
AH́
3
0
0
m
t
HHA´ 100
30
A
d
c
d
c
SE INTERSECTAN LAS 
DIRECCIONES DEL CONDOR Y 
EL PROYECTIL Y CON DATO DE 
PENDIENTE DE 70% 
UBICAMOS EL CONDOR EN 
VISTA FRONTAL
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2 - 82 
SOLUCIÓN P2.5: PASO 5.- 
AHH
100A´
30
CH
6
0
0
m
t
3
0
0
m
t
HA´
d
c
HC
27
H
100
CH
C´
100CH́
70
d
c
FC
HC´
S45°E
S60°O
AF
FC´
9
d
c
S65°O
S35°E
ESCALA: 1 / 20,000
 
respuesta : condor
b).-dist. rec = 
992.5mt.
 altura respecto 
al cazador= 
264.5mt.
 
respuesta : proyectil
a).-dist. rec = 
1194.5mt.
pendiente = 27% as.
 
dist recorrida por el proyectil
NIVEL DEL PISO
HA
d
c
3
0
0
m
a
lt
u
ra
 r
e
s
p
. 
a
l 
c
a
z
a
d
o
r
4
6
0
0
m
t
FA´
13
HA´
100AH
50
SOLUCION FINAL
dist. re
c. por el condor
RESP:
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2 - 83 
PROBLEMA 2.6: 
Dos cables subterráneos de alta tensión que transportan 
1000kv., parten desde el punto A, situado a una 
profundidad de 200 metros del terreno supuesto hori-
zontal. El cable BA sigue la dirección N50º0 con pen-
diente ascendente del 80%, tiene una longitud de 600 
metros. El cable AC sigue la dirección N50ºE con pen-
diente de 20º, estando el extremo C a una profundidad de 
450 metros. Si un nuevo cable de alta tensión ha de 
conectarse desde el extremo B hacia C, determinar: a) La 
longitud, dirección y pendiente del cable BC. b) Las 
profundidades de los extremos B y C con respecto al 
punto de partida. ESCALA: 1:10000. Resolver con vistas 
auxiliares. A(6.5,-,13.5), Nivel del Terreno (-,7,-) 
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2 - 84 
 SOLUCIÓN P2.6: PASO 1.- 
nivel del terreno
7
H
F
6.5
13.5
AH
SE GRAFICA EL PÚNTO A(6.5, - , 13.5)
Y EL NIVEL DEL TERRENO ( -, 7, - )
DONDE SE CONSIDERA LA LINEA DE PLIEGUE HF
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2 - 85 
SOLUCIÓN P2.6: PASO 2.- 
FA
6.5
nivel del 
terreno
H
7
F
13.5
20
0m
t
SE MIDE 200mt DE PROFUNDIDAD A 
PARTIR DEL NIVEL DEL TERRENO O LINEA 
DE PLIGUE HF
AH
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2 - 86 
SOLUCIÓN P2.6: PASO 3.- 
6.5
A
H7
F
13.5
nivel del terreno
1
H
1A
F
N50°0
HA
20
0m
t
20
0m
t
TRAZAMOS LA DIRECCION DESDE EL PUNTO A 
EN EL PLANO HORIZONTAL SE TRAZA UNA 
RECTA CON DIRECCION DE N50°O Y PARALELA 
A EL Y A CUALQUIER DISTANCIA EL PLANO H1
CON LA COTA DEL PUNTO A DE 200mt SE UBICA 
EL PUNTO A EN EL PLANO 1
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2 - 87 
SOLUCIÓN P2.6: PASO 4.- 
600m
t
nivel del terreno
7
F
H
6.5
FA
B 1
1
13.5
1A
H
100
80
AH
N50°020
0m
t
20
0m
t
CON 80% Y DESDE EL PUNTO A EN VISTA 1 
TRAZAMOS LA PENDIENTE PARA BAJAR PUESTO 
QUE DEL PUNTO B DEBE SUBIR 
DESDE LA RECTA EN VISTA 1 CON PENDIENTE 
DEL 80% SE MIDE 600mt UBICANDO EL PUNTO 
B
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2 - 88 
SOLUCIÓN P2.6: PASO 5.- 
600m
t
nivel del terreno
7
F
H
B
6.5
FA
B 1
F
1
13.5
1A
H
100
80
AH
N50°0
B H
C
O
T
A
 D
E
L
 P
U
N
T
O
 B
C
O
T
A
 D
E
L
 P
U
N
T
O
 B20
0m
t
OBTENEMOS EL 
PUNTO B EN EL 
PLANO FRONTAL 
CON 
LA COTA DEL PUNTO 
B
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GEOMETRÍA DESCRITIVA 
Tercera 
E
d
ició
n
 
Víctor Vidal Barrena 
2 - 89 
SOLUCIÓN P2.6: PASO 6.- 
nive
l d
el te
rre
no
N50°E
nivel del terreno
7
F
H
13.5
6.5
N50°0
B 1
AF
2
1
600m
t
100
H
80
A1
AH H
B F
CF
HB
A 2
2C
CH
20
0m
t
450m
t
45
0m
t
SE MIDE 450mt 
DE PROFUNDIDAD SE 
UBICA EL PUNTO C
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E
d
ició
n
 
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2 - 90 
SOLUCIÓN P2.6: PASO 7.- 
7
A
600m
t
100
80
B
7
nivel del terreno
F
H
1
6.5
B F
1
AF
B H
CF
B 3
20
10
0
2
1
H
13.5
A 2
N50°0
nive
l d
el te
rre
no
AH H
N50°E
C 2
H
HC 3
L
O
N
G
. 
6
5
0
 m
t.
3C
20
0m
t
200m
t
20
0m
t
SE FORMA LA RECTA AC PARA 
HALLAR LA LONGITUD 
Y PENDIENTE
RESPUESTA
a).- direc: N5°E
 lon : 650mt
 pend: 20%AS.
450m
t
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E
d
ició
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2 - 91 
SOLUCIÓN P2.6: PASO 8 
A
H nivel del terreno
7
F B 1
600m
t
80
6.5
B F
CF
F
3
10
0
B
nive
l d
el te
rre
no
H
13.5
1
A1 100
H
2
2A
3C H
AH
N50°0
HB
N50°E
H
L
O
N
G
. 
6
5
0
 m
t.
20
3C
C 2
450m
t
450mt
200m
t
20
0m
t
45
0m
t
20
0m
t
respuesta 
a).- N5°E
 PEND.- 20%AS
 LONG.- 650mt
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E
d
ició
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2 - 92 
Una antena parabólica en un edificio E de 20 pisos de 
altura debe transmitir su señal a dos retransmisoras 
situado al nivel del piso y en los puntos A y B. A la 
primera retransmisora la señal llega con una pendiente 
del 60% , a la segunda la señal llega con una 
dirección de S25°E y con pendiente del 80%. 
determinar: a).- la dirección de la señal a la primera 
transmisora. b).- la distancia entre las dos 
transmisoras. Nota: considerar la altura de la antena 
parabólica despreciable y la altura de cada piso es de 
2.5mt. Resolver sin utilizar vistas auxiliares. 
ESCALA : 1:1000. E(8, 6, 13). A(4, - , - ) 
PROBLEMA 2.7: 
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E
d
ició
n
 
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2 - 93 
SOLUCIÓN P2.7: PASO 1.- 
6
13
84
HE
E F
A
E(8, 6, 13) 
A(4, - , - )
EL GRAFICO DE LAS 
COORDENADAS 
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E
d
ició
n
 
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2 - 94 
SOLUCIÓN P2.7: PASO 2.- 
6
13
84
HE
E FA
L
T
U
R
A
 D
E
L
 E
D
IF
IC
IO
 5
0
 m
t
AF
2.5mt x 20pisos = 50mt
GRAFICO DE LA 
TORRE Y EL NIVEL 
DEL PISO
ALTURA DE LA TORRE 50mt
nivel del piso
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E
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2 - 95 
SOLUCIÓN P2.7: PASO 3.- 
6
13
84
HE
E FA
L
T
U
R
A
 D
E
L
 E
D
IF
IC
IO
 5
0
 m
t
nivel del piso
AF
100
60
HAHE
HA'
HA
RADIO
R
A
D
IO
CON DATOS DE dc 
DE 50mt, 
ALTURA DE LA 
TORRE Y 
PENDIENTE DEL 
60% HALLAMOS 
EL PUNTO A EN EL 
PLANO 
HORIZONTAL.
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E
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2 - 96 
SOLUCIÓN P7: PASO 4.- 
6
13
84
HE
E FA
L
T
U
R
A
 D
E
L
 E
D
IF
IC
IO
 5
0
 m
t
nivel del piso
AF
100
60
HAHE
HA'
HA
RADIO
R
A
D
IO
100
80
HE
HB
5
0
m
t
5
0
m
t
S
25°E
RADIO
RADIO
HB
CON DATOS DE dc 
DE 50mt, ALTURA 
DE LA TORRE Y 
PENDIENTE DEL 80
% HALLAMOS EL 
PUNTO B EN EL 
PLANO 
HORIZONTAL 
SOBRE LA 
DIRECCION DE 
S25°E.
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2 - 97 
SOLUCIÓN P2.7: PASO 5.- 
6
13
84
HE
E FA
L
T
U
R
A
 D
E
L
 E
D
IF
IC
IO
 5
0
 m
t
nivel del piso
AF
100
60
HAHE
HA'
HA
RADIO
R
A
D
IO
100
80
HE
HB
5
0
m
t
5
0
m
t
S
25°E
RADIO
RADIO
HB
FB
PROYECTAMOS EL 
PUNTO B SOBRE EL 
NIVEL DEL PISO 
COMPLETANDO ASI 
LAS PROYECCIONES 
DE LOS PUNTO A y B.
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2 - 98 
SOLUCIÓN P2.7: PASO 6.- 
6
13
84
HE
E
F
A
L
T
U
R
A
 D
E
L
 E
D
IF
IC
IO
 5
0
 m
t
nivel del piso
AF
100
60
HAHE
HA
RADIO
100
80
HE
HB
5
0
m
t
5
0
m
t
S
25°ERADIO
RADIO
HB
FB
R
A
D
IO
D
IR
E
C
C
IO
N
 S
2
9
°O
DISTANCIA ENTRE LAS DOS TRAN
escala 1: 1000
respuesta:
b).-distancia entre las dos trans = 65.5mt.
a).-direccion S29°O.
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Víctor Vidal Barrena 
Del punto A parte una tubería para agua tratada que sigue una dirección 
de N30ºE. Y se dirige al punto L de otra tubería LM. Que es horizontal. 
La tubería LM. Mide 50mt y tiene una dirección de S50ºE. La tubería BM 
tiene orientación N20ºO. Hallar la longitud de BM. Si L esta 20mt encima 
de A. ESCALA 1/100 
PROBLEMA 2.8: 
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SOLUCION P2.8: 
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Tercera 
E
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Víctor Vidal Barrena 
Determinar la orientación de la tubería 
de gas que se conecta a partir del 
tanque situado en T. para que se una a 
otra tubería de gas AB. situada a 
300mt de B. 
PROBLEMA 3.9: 
ESCALA: 1:1 
A(5, 3, 11) B(10, 6, 15) T(15, 7, 10). 
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E
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Víctor Vidal Barrena 
PASO.1.- GRAFICO DE LOS PUNTOS. 
10
3
11
5
15
6
15
7
10
HA
HB
HT
F
T
F
B
F
A
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PASO.2.- SOLUCION. 
10
3
11
5
15
6
15
7
10
HA
HB
HT
F
T
F
B
F
A
H
F
1B
1A
Hc
1c
2c
2T
LO
N
G
IT
U
D
= 818m
t
N
S
O E DIREC = N65ºO
LONG = 818mt
PEND = 16º DES.
Fc
H
1 H
2
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