Estimador de Estado Estático

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL 
 
 
 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y 
ELECTRÓNICA 
 
 
 
 
 
ESTIMADOR DE ESTADO ESTÁTICO DISTRIBUIDO PARA EL 
MONITOREO Y CONTROL DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE 
POTENCIA 
 
 
 
 
 
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERA EN 
ELECTRÓNICA Y CONTROL 
 
 
 
 
DIANA CAROLINA SORIA DUQUE 
dicarosoria@hotmail.com 
 
 
 
 
 
DIRECTOR: ING. SILVANA DEL PILAR GAMBOA BENITEZ, MSC. 
silvana.gamboa@epn.edu.ec 
 
 
 
CODIRECTOR: ING. LUIS ALBERTO MORALES ESCOBAR, MSC. 
luis.moralesec@epn.edu.ec 
 
 
 
 
Quito, Octubre 2016
 
 
 
 
DECLARACIÓN 
 
 
Yo, Diana Carolina Soria Duque, declaro bajo juramento que el trabajo aquí 
descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentada para ningún 
grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas 
que se incluyen en este documento. 
 
A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual 
correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo 
establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la 
normatividad institucional vigente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
____________________ 
Diana Carolina Soria D. 
 
 
 
 
 
 
 
CERTIFICACIÓN 
 
 
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Diana Carolina Soria Duque, 
bajo mi supervisión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________ 
 Ing. Silvana Gamboa, Msc 
DIRECTOR DEL PROYECTO 
 
 
 
 
 
 
 
________________________ 
 Ing. Luis Morales, Msc 
CODIRECTOR DEL PROYECTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTO 
 
 
Agradezco a Dios por el regalo de la vida, por guiar mis pasos en todo momento y 
por haberme dado la inteligencia, fuerza y sabiduría para culminar mi carrera 
universitaria. 
 
A mis padres Manuel y Marina, a mis hermanos Jeannette y Darwin; quienes 
estuvieron conmigo apoyándome incondicionalmente para que no desmaye y 
culmine el presente trabajo. 
 
A Diego por el apoyo y ayuda brindada a lo largo de esta etapa universitaria. 
 
A Escuela Politécnica Nacional y en especial a los profesores de la Facultad de 
Ingeniería Eléctrica y Electrónica, por los conocimientos brindados en las aulas 
mismos que sirvieron para el desarrollo del proyecto. 
 
A mi directora Msc. Silvana Gamboa por el conocimiento y experiencia 
compartida, por su paciencia y su gran ayuda brindada, y especialmente por su 
valiosa dirección del presente proyecto. 
 
Al Msc. Luis Morales por su colaboración en la realización del proyecto. 
 
Al PhD. Franklin, PhD Fabián e Ing. Gonzalo por su amistad y ayuda brindada 
desinteresadamente en el desarrollo del proyecto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEDICATORIA 
 
A mis queridos padres Manuel y Marina, por el sacrificio que han realizado para 
darme la educación y formarme como una persona de bien, por sus consejos, su 
amor, por estar siempre junto a mí brindándome su apoyo en los buenos y malos 
momentos, por eso y mucho más gracias los quiero con todo mi corazón. 
 
A mi querida hermana Jeannette por su cariño, su amistad, sus consejos y 
enseñanzas de superación humana y profesional que quedarán grabados en mi 
corazón, por ser como una segunda madre para mí, por ser mi ejemplo a seguir y 
la estrella que desde el cielo me cuida, te dedico a ti ñaña porque sin ti no estaría 
aquí culminando esta etapa de mi vida. Espero que desde el cielo te encuentres 
orgullosa de mí. Te quiero mucho. 
 
A mi querido hermano Darwin por su ayuda brindada en todo momento 
moralmente y académicamente, pues siempre me ayudó cuando más lo necesite 
por ser un buen hermano. Te quiero mucho. 
 
A mi sobrino, Filip, mi pequeño angelito que está en el cielo cuidándome. Te 
quiero mucho. 
 
A Diego quien siempre tuvo un consejo para mí y una palabra de aliento, por el 
cariño y amor brindado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTENIDO 
RESUMEN.............................................................................................................................i 
 
PRESENTACIÓN................................................................................................................ii 
CAPITULO 1 ....................................................................................................................... 1 
MARCO TEÓRICO............................................................................................................ 1 
1.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 1 
1.2 SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA (SEP) .................................................. 1 
1.2.1 DESCRIPCIÓN .................................................................................................... 1 
1.2.2 FUNCIONAMIENTO [2] .................................................................................... 3 
1.2.3 ELEMENTOS DEL SISTEMA ELÉCTRICO .................................................... 4 
1.2.3.1 Generador [5] ................................................................................................. 5 
1.2.3.1.1 Modelo .................................................................................................... 5 
1.2.3.2 Transformador [5].......................................................................................... 7 
1.2.3.2.1 Modelo [6] .............................................................................................. 8 
1.2.3.3 Circuitos Interruptores, Breaker .................................................................. 10 
1.2.3.4 Línea de Transmisión [5] ............................................................................. 10 
1.2.3.4.1 Modelo [5] ............................................................................................ 11 
1.2.3.4.1.1 Línea de Transmisión de longitud corta ........................................ 11 
1.2.3.4.1.2 Línea de transmisión de longitud media ........................................ 12 
1.2.3.4.1.3 Línea de transmisión de longitud larga.......................................... 12 
1.2.3.5 Cargas [7] .................................................................................................... 13 
1.2.3.6 Buses o Nodos ............................................................................................. 14 
1.2.3.6.1 Nodos de Consumo (PQ) ...................................................................... 14 
1.2.3.6.2 Nodos de generación (PV) .................................................................... 14 
1.2.3.6.3 Nodo de referencia (Slack) ................................................................... 15 
1.3 ANÁLISIS EN SISTEMAS DE POTENCIA ........................................................ 15 
1.3.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 15 
1.3.2 TÉCNICAS PARA ANÁLISIS DE RED .......................................................... 15 
1.3.2.1 Requerimientos ............................................................................................ 16 
1.3.2.1.1 Perfil Plano ........................................................................................... 16 
1.3.2.1.2 Nodo de referencia ............................................................................... 17 
 
 
 
1.3.2.2 Matriz de Admitancia [5] ............................................................................ 17 
1.3.2.2.1 Matriz de Admitancia para Línea de Transmisión de Longitud Media 18 
1.3.2.2.2 Matriz de Admitancia para Transformadores ....................................... 19 
1.3.2.3 Descripción de Técnicas para Análisis de Red ............................................ 19 
1.4 FLUJO DE POTENCIA (FP) .................................................................................21 
1.4.1 DESCRIPCIÓN [8] ............................................................................................ 21 
1.4.2 MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN PARA FLUJO DE POTENCIA [5]
 ..................................................................................................................................... 22 
1.4.3 APLICACIONES [8] .......................................................................................... 23 
1.5 ESTIMACIÓN DE ESTADO (EE) ........................................................................ 24 
1.5.1 GENERALIDADES [10] ................................................................................... 24 
1.5.1.1 Estado .......................................................................................................... 24 
1.5.1.2 Variables de Estado ..................................................................................... 24 
1.5.2 ANTECEDENTES DE LA ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS 
ELÉCTRICOS DE POTENCIA [11] .......................................................................... 25 
1.5.3 ESTIMADOR DE ESTADO EN SEP [8] .......................................................... 27 
1.5.4 COMPONENTES DEL ESTIMADOR DE ESTADO [8] ................................. 27 
1.5.4.1 Medidas del Sistema [11] ............................................................................ 29 
1.5.4.1.1 Telemedidas .......................................................................................... 29 
1.5.4.1.2 Pseudomedidas ..................................................................................... 29 
1.5.4.1.3 Medidas virtuales .................................................................................. 29 
1.5.5 CLASIFICACIÓN DE ESTIMADOR DE ESTADO ........................................ 30 
1.5.5.1 Estimación de Estado basada en el modelo ................................................. 30 
1.5.5.1.1 Estimación de Estado Estático [15] ...................................................... 30 
1.5.5.1.2 Estimación de Estado Dinámico [14] ................................................... 30 
1.5.5.2 Estimación de Estado basada en Procesamiento de Datos .......................... 31 
1.5.5.2.1 Estimación de Estado Centralizada (EEC) [11] ................................... 31 
1.5.5.2.2 Estimación de Estado Distribuido (EED) [14] ..................................... 33 
1.5.5.2.3 Justificación de la Estimación de Estado Distribuido [14] ................... 34 
1.5.6 APLICACIONES DE LA ESTIMACIÓN DE ESTADO [11] .......................... 36 
1.5.7 MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN PARA ESTIMACIÓN DE 
ESTADO ..................................................................................................................... 37 
 
 
 
1.5.7.1 Método de Mínimos Cuadrados [20] ........................................................... 37 
1.5.7.1.1 Mínimos Cuadrados Ponderados (WLS) [5] ........................................ 40 
1.6 SISTEMA SCADA [21] ........................................................................................... 43 
1.6.1 FUNCIONES DE UN SCADA .......................................................................... 44 
1.6.2 ARQUITECTURA DE UN SCADA ................................................................. 45 
1.6.3 SCADA EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA ................................ 46 
1.7 HERRAMIENTAS DE DESARROLLO .............................................................. 47 
1.7.1 PLATAFORMA DE PROGRAMACIÓN ......................................................... 47 
1.7.1.1 Descripción de la Plataforma Matlab [22] ................................................... 47 
1.7.1.2 Programación en Matlab [22] ...................................................................... 50 
1.7.1.2.1 Scripts ................................................................................................... 50 
1.7.1.2.2 Funciones .............................................................................................. 50 
1.7.1.2.3 Bucles ................................................................................................... 51 
1.7.1.2.4 Instrucciones ......................................................................................... 51 
1.7.2 HERRAMIENTA GENERADORA DE DATOS DE ENTRADA ................... 52 
1.7.2.1 Descripción del Simulador [23] ................................................................... 52 
1.7.2.2 Funciones ..................................................................................................... 54 
CAPITULO 2 ..................................................................................................................... 55 
DESARROLLO DEL ESTIMADOR DE ESTADO CENTRALIZADO.................... 54 
2.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 55 
2.2 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN ....................................................................... 55 
2.2.1 ADQUISICIÓN DE DATOS ............................................................................. 56 
2.2.1.1 Determinación de las Mediciones Reales .................................................... 56 
2.2.1.1.1 Criterios de Selección de Mediciones .................................................. 57 
2.2.2 SELECCIÓN DEL MÉTODO NUMÉRICO ..................................................... 57 
2.2.3 DESARROLLO DEL ESTIMADOR ................................................................. 58 
2.2.3.1 Cálculo de la matriz de admitancia ............................................................. 58 
2.2.3.2 Determinación de las Variables de Estado .................................................. 58 
2.2.3.3 Determinación del perfil plano .................................................................... 59 
2.2.3.4 Cálculo de los Valores Verdaderos de las Medidas .................................... 59 
2.2.3.5 Cálculo del Jacobiano .................................................................................. 60 
 
 
 
2.2.3.6 Cálculo de la matriz de pesos y ganancia .................................................... 61 
2.2.3.7 Determinación del vector de estado ............................................................ 62 
2.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO ................................................................ 63 
2.3.1 SISTEMA DE PRUEBA NETS ......................................................................... 63 
2.3.1.1 Mediciones Reales ....................................................................................... 64 
2.3.1.2 Modelo del Sistema ..................................................................................... 66 
2.3.2 DESARROLLO DE LA PROGRAMACIÓN .................................................... 66 
2.3.2.1 Datos de Entrada .......................................................................................... 66 
2.3.2.2 Programación del Algoritmo ....................................................................... 67 
2.3.2.2.1 Almacenamiento de Datos .................................................................... 68 
2.3.2.2.2 Cálculo de la Matriz de Admitancia ..................................................... 69 
2.3.2.2.3 Determinación de las variables de estado ............................................. 70 
2.3.2.2.4 Cálculo de los Valores Verdaderos de la Medidas .............................. 71 
2.3.2.2.5 Cálculo de Matriz Jacobiano ................................................................ 72 
2.3.2.2.6 Cálculo Matriz de Pesos y Matriz de Ganancia .................................... 73 
2.3.2.2.7 Cálculo del Vector de Estado ............................................................... 74 
2.3.3 DIAGRAMA DE FLUJO ................................................................................... 75 
CAPITULO 3 .....................................................................................................................76 
DESARROLLO DEL ESTIMADOR DE ESTADO DISTRIBUIDO……………...... 75 
3.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 76 
3.2 METODOLOGÍA .................................................................................................... 76 
3.2.1 DESARROLLO DEL ESTIMADOR DISTRIBUIDO ...................................... 76 
3.2.1.1 División del sistema .................................................................................... 77 
3.2.1.2 Adquisición de datos ................................................................................... 78 
3.2.1.2.1 Determinación de Mediciones Reales .................................................. 78 
3.2.1.2.2 Ecuaciones de Borde ............................................................................ 79 
3.2.1.3 Estimación de Estado................................................................................... 80 
3.2.1.4 Integración a la Solución Global ................................................................. 80 
3.2.1.4.1 Identificación de buses de frontera compartidos .................................. 81 
3.2.1.4.2 Diferencia de Ángulo por Bus .............................................................. 81 
3.2.1.4.3 Angulo de Diferencia por Subsistema .................................................. 82 
 
 
 
3.2.1.4.4 Ajuste del valor de compensación ........................................................ 82 
3.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO ................................................................ 83 
3.3.1 DIVISIÓN DEL SISTEMA ............................................................................... 83 
3.3.1.1 Modelo del Sistema ..................................................................................... 87 
3.3.1.2 Mediciones Reales del Subsistema y Variables de Borde ........................... 88 
3.3.2 DESARROLLO DE LA PROGRAMACIÓN .................................................... 88 
3.3.2.1 Script de Estimación .................................................................................... 89 
3.3.2.1.1 Datos de Entrada ................................................................................... 89 
3.3.2.1.2 Almacenamiento de Datos .................................................................... 90 
3.3.2.1.3 Subrutina Cambio de Numeración ....................................................... 91 
3.3.2.1.4 Nuevas Variables de Almacenamiento de Datos .................................. 93 
3.3.2.1.5 Estimación de estado centralizada ........................................................ 93 
3.3.2.1.6 Diagrama de Flujo ................................................................................ 94 
3.3.2.2 Script de Solución Global ............................................................................ 95 
3.3.2.2.1 Datos de Entrada ................................................................................... 95 
3.3.2.2.2 Ubicación del Subsistema que contiene la Referencia Global ............. 95 
3.3.2.2.3 Separación de los Subsistemas ............................................................. 96 
3.3.2.2.4 Identificación de Nodos de Frontera Compartidos ............................... 96 
3.3.2.2.5 Cálculo del Ángulo de Diferencia ........................................................ 96 
3.3.2.2.6 Cálculo del Valor Promedio ................................................................. 97 
3.3.2.2.7 Identificación de un Subsistema Aislado.............................................. 98 
3.3.2.2.8 Compensación de Ángulos Nodales ..................................................... 98 
3.3.2.2.9 Integración de la Solución Global ........................................................ 99 
3.3.2.2.10 Ejemplo de cálculo ........................................................................... 100 
3.3.2.2.11 Diagrama de Flujo ............................................................................ 101 
CAPITULO 4 ................................................................................................................... 103 
PRUEBAS Y RESULTADOS………………………………………………………… 102 
4.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 103 
4.2 PRUEBAS Y RESULTADOS .............................................................................. 103 
4.2.1 ESTIMACIÓN DE ESTADO CENTRALIZADO (EEC) ............................... 103 
4.2.1.1 Pruebas Realizadas en EEC ....................................................................... 103 
 
 
 
4.2.1.1.1 Prueba Nº1 .......................................................................................... 103 
4.2.1.1.2 Prueba Nº2 .......................................................................................... 104 
4.2.1.1.3 Prueba Nº3 .......................................................................................... 104 
4.2.1.1.4 Prueba Nº4 .......................................................................................... 104 
4.2.1.1.5 Prueba Nº5 .......................................................................................... 104 
4.2.1.1.6 Prueba Nº6 .......................................................................................... 105 
4.2.1.2 Resultados Obtenidos en EEC ................................................................... 105 
4.2.1.2.1 Resultado Nº1 ..................................................................................... 105 
4.2.1.2.2 Resultado Nº2 ..................................................................................... 107 
4.2.1.2.3 Resultado Nº3 ..................................................................................... 109 
4.2.1.2.4 Resultado Nº4 ..................................................................................... 111 
4.2.1.2.5 Resultado Nº5 ..................................................................................... 113 
4.2.1.2.6 Resultado Nº6 ..................................................................................... 115 
4.2.2 ESTIMACIÓN DE ESTADO DISTRIBUIDO (EED) .................................... 118 
4.2.2.1 Prueba Realizadas en EED ........................................................................ 118 
4.2.2.1.1 Prueba Nº1 .......................................................................................... 123 
4.2.2.1.2 Prueba Nº2 .......................................................................................... 123 
4.2.2.1.3 Prueba Nº3 .......................................................................................... 124 
4.2.2.1.4 Prueba Nº4 .......................................................................................... 124 
4.2.2.1.5 Prueba Nº5 .......................................................................................... 124 
4.2.2.2 Resultados Obtenidos EED ....................................................................... 125 
4.2.2.2.1 Resultado Nº1 ..................................................................................... 125 
4.2.2.2.2 Resultado Nº2 ..................................................................................... 129 
4.2.2.2.3 Resultado Nº3 ..................................................................................... 133 
4.2.2.2.4 Resultado Nº4 ..................................................................................... 137 
4.2.2.2.5 Resultado Nº5 ..................................................................................... 141 
CAPITULO 5 ................................................................................................................... 146 
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………………………………… 145 
5.1 CONCLUSIONES ................................................................................................. 146 
5.2 RECOMENDACIONES .......................................................................................148 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................…………………………….148
i 
 
 
RESUMEN 
El presente proyecto tiene como objetivo desarrollar una metodología de solución 
para la estimación de estado estático distribuida aplicada al monitoreo y control de 
sistemas eléctricos de potencia, esta metodología propuesta se justifica por la 
necesidad de usar técnicas descentralizadas, en donde los datos se mantengan 
dentro de la misma operadora y se restrinja el intercambio de información con 
otras operadoras, minimizando a su vez los tiempos de respuesta con un 
procesamiento en paralelo de cada subsistema que forma parte del sistema 
global; lo que trae importantes beneficios al monitoreo y control del sistema a 
través del SCADA. 
 
Inicialmente se establece el sistema de prueba sobre el cual se ejecuta la 
estimación distribuida, en este caso es el New England Test System, este sistema 
es dividido en subsistemas, para los cuales se establece las ecuaciones de cada 
uno y las ecuaciones de borde que las relacionan. Posteriormente se desarrolla la 
programación del algoritmo de estimación de estado utilizando el método de 
mínimos cuadrados ponderados, este algoritmo es ejecutado en cada subsistema, 
con la finalidad de estimar las variables de estado locales. Finalmente se realiza 
la integración de los resultados de estimación local en una solución global, 
mediante la programación del algoritmo de compensación de ángulos respecto al 
ángulo de referencia general, permitiendo de esta manera estimar las variables de 
estado globales que determinan el comportamiento del sistema. 
 
Toda la programación utilizada es desarrollada en scripts de Matlab, mismos que 
trabajan con archivos de Excel (extensión .xls) para la lectura y escritura de datos; 
los datos de entrada para el procesamiento del algoritmo son extraídos del 
simulador Power Factory, en donde se ha implementado el modelo de prueba. 
 
Es importante mencionar que primero se ejecuta la estimación centralizada sobre 
el sistema de prueba global, con el fin de establecer una referencia para 
garantizar confiabilidad en los resultados del análisis distribuido. 
ii 
 
 
PRESENTACIÓN 
En el presente estudio se desarrolla una metodología de solución de estimación 
de estado estático distribuido para el sistema eléctrico de potencia, para ello el 
proyecto está estructurado por 5 capítulos, mismos que se detallan a 
continuación: 
El capítulo 1 comprende el marco teórico, aquí se proporciona una descripción de 
la planta sobre la cual se desarrolla la estimación de estado distribuida, se 
describe a cerca de las técnicas de análisis de sistemas de potencia y finalmente 
se introduce la explicación de estimación de estado aplicada a redes eléctricas. 
En el capítulo 2 se establece la metodología de solución de estimación de estado 
centralizado mediante requisitos y procedimientos estructurados, se realiza la 
implementación de la técnica sobre el modelo de prueba establecido, New 
England Test System (NETS), y se desarrolla la programación del algoritmo de 
solución. 
En el capítulo 3 se plantea la metodología de solución para la estimación de 
estado distribuida, se establecen los requerimientos y procedimientos. Además se 
desarrolla la programación del algoritmo de solución sobre el sistema de prueba 
NETS. 
El capítulo 4 comprende las pruebas realizadas para la estimación de estado 
centralizada y distribuida, posteriormente se muestran las tablas de resultados 
obtenidos al aplicar las diferentes pruebas. 
En el capítulo 5 se presentan las conclusiones y recomendaciones de la técnica 
desarrollada. 
1 
 
 
CAPITULO 1 
 
MARCO TEÓRICO 
 
1.1 INTRODUCCIÓN 
 
En el presente estudio, la planta sobre la cual se va a desarrollar la técnica de 
estimación de estado estática distribuida, es un modelo de prueba del sistema 
eléctrico de potencia, por esta razón es necesario iniciar con una explicación 
breve sobre la misma, para posteriormente introducir la técnica propuesta. 
 
1.2 SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA (SEP) 
 
1.2.1 DESCRIPCIÓN 
 
En la actualidad, la energía eléctrica es un recurso indispensable para el 
desarrollo de los seres humanos pues mediante la misma es posible el desarrollo 
tecnológico, la productividad y el mejoramiento de la calidad de vida. 
 
El sistema eléctrico de potencia (SEP) es el encargado de la generación, 
transmisión y distribución de energía de acuerdo a la demanda existente en 
tiempo real. El SEP, está constituido por generadores, líneas de transmisión y 
distribución, con el fin de proveer energía eléctrica hacia el consumidor final [1]. 
En la Figura 1.1, se puede observar un ejemplo sencillo de las tres partes 
importantes de un sistema eléctrico de potencia. 
 
CARGA
GENERADOR
GENERADORLINEA DE 
TRANSMISIÓN
LINEA DE 
DISTRIBUCIÓN
 
Figura 1.1. Diagrama de un Sistema Eléctrico de Potencia [1] 
2 
 
 
La energía eléctrica es usada para el funcionamiento de dispositivos eléctricos y 
electrónicos, mismos que deben trabajar con un adecuado nivel de potencia, por 
esta razón se requiere de [2]: 
 
· Un sistema de control de generación, encargado de regular la potencia y 
voltaje generado. 
· Un sistema de control de transmisión, encargado de controlar la potencia y 
voltaje en los dispositivos primarios. 
 
De esta forma se garantiza una correcta operación del sistema y además se 
evitan las sobrecargas en la red [2]. En la Figura 1.2, se muestra el sistema 
nacional de transmisión, en donde se observa lo complejo que llega a ser el 
sistema eléctrico. 
 
 
Figura 1.2. Sistema Nacional de Transmisión [3] 
3 
 
 
1.2.2 FUNCIONAMIENTO [2] 
 
El sistema eléctrico funciona de la siguiente forma: las centrales de generación se 
encargan de producir la energía, mientras que las líneas de distribución permiten 
repartir la energía a lo largo de la extensión geográfica en la que se distribuyen 
los usuarios, y finalmente las líneas de transmisión conectan las centrales 
generadoras con las líneas de distribución [1]. 
 
La red de transmisión funciona mediante tres subsistemas, mismos que se 
detallan a continuación [2]: 
 
· Sistema de Transmisión, permite que las estaciones de generación y los 
centros de carga estén interconectados. 
· Sistema de Subtransmisión, transfiere la potencia de las subestaciones de 
transmisión a las subestaciones de distribución 
· Sistema de Distribución, entrega la potencia al consumidor final. 
 
Es importante mencionar que la red eléctrica debe operar tomando en cuenta 
ciertos parámetros, como son: frecuencia constante y voltaje constante, dados 
estos parámetros, el sistema eléctrico puede funcionar en 5 estados: 
 
· Estado normal, cuando las variables están dentro de los rangos normales y 
el funcionamiento es seguro. 
· Estado alerta, existencia de aumento de perturbaciones o baja de niveles 
de seguridad y las variables se acercan a los límites. 
· Estado emergencia, ocurre en un estado de alerta y las variables bajan 
más allá de los niveles permisibles. 
· Estado extremo, si no se toman acciones en el estado anterior, el sistema 
puede colapsar y dejar de funcionar. 
· Estado restaurativo, el sistema entra en este estado cuando se ejecutó 
alguna acción que restaure el funcionamiento de la red. 
 
4 
 
 
En el sistema eléctrico de potencia se debe garantizar la estabilidad del sistema, 
esto se logra con la ausencia de perturbaciones o fenómenos en la red, situación 
que no existe, sin embargo al decir que se requiere estabilidad en la red eléctrica, 
se habla que los niveles de las variables eléctricas del sistema trabajen dentro de 
los rango permitidos y con la capacidad de recuperación ante cualquier 
eventualidad. 
 
1.2.3 ELEMENTOS DEL SISTEMA ELÉCTRICO 
 
Los elementos principales que se pueden encontrar en el sistema eléctrico son: 
generadores, transformadores, breakers, líneasde transmisión, cargas y nodos o 
buses, tal como se muestra en la Figura 1.3, los cuales se describen brevemente 
en los siguientes apartados. 
 
 
Figura 1.3. Elementos del Sistema Eléctrico de Potencia. [4] 
5 
 
 
1.2.3.1 Generador [5] 
 
Los generadores son máquinas sincrónicas encargadas de transformar la energía 
mecánica en energía eléctrica y funcionan como fuentes de energía en los 
sistemas de potencia. 
 
El generador al ser una máquina sincrónica está compuesto por una parte móvil 
llamada rotor y una parte estacionaria que se denomina estator o armadura, 
dentro de ellas se puede encontrar el devanado de campo y el devanado de 
armadura respectivamente. El principio de funcionamiento es el siguiente: el rotor 
gira dentro del estator y se produce la circulación de un flujo entre el entrehierro 
del estator y el rotor, generando de esta manera un voltaje en el devanado de 
armadura y un par electromagnético. En la Figura 1.4, se puede observar una 
sección transversal de un generador. 
 
 
Figura 1.4. Sección Transversal de un Generador [4] 
 
1.2.3.1.1 Modelo 
 
Para realizar cualquier tipo de control sobre el generador es necesario conocer su 
modelo, mismo que se lo obtiene a partir del siguiente circuito equivalente 
mostrado en la Figura 1.5 [4]. 
6 
 
 
Ea Va
+
-
Xar Xt Ra
Ia
+
-
Er
Xs
 
Figura 1.5. Circuito Equivalente de un Generador por Fase [4] 
 
Aplicando las leyes de Kirchhoff en el circuito anterior, se establece la Ecuación 
1.1 de voltaje [4] y simplificando se tiene la Ecuación 1.5. 
 !" = #" $ %&"'"( $ %&"') $ &"*" (1.1) !" = #" $ %&"+'"( , ')- $ &"*" (1.2) !" = #" $ %&"'. $ &"*" (1.3) !" = #" $ &"+%'. , *"- (1.4) //////////////////////////////!" = #" $ %&"'.// ; *0 = 1 (1.5) 
 
Donde, !0= Voltaje en el terminal #"= Voltaje generado en cada fase sin carga &"= Corriente de armadura '"(= Reactancia en armadura ')= Reactancia de pérdidas *"= Resistencia de armadura '.= ('"( , ')- 
 
La complejidad del modelo del generador depende del estudio a realizar, en el 
caso del estimador de estado estático se representa al generador como una 
fuente de voltaje, por tanto no es necesario detallar un modelo avanzado debido a 
que no es alcance en el presente proyecto. 
 
7 
 
 
1.2.3.2 Transformador [5] 
 
Los transformadores son bobinas que bajo un adecuado orden de agrupación 
permiten la circulación de flujo magnético, todo transformador está compuesto por 
un núcleo bobinado, en donde las bobinas que abracen al núcleo pueden ser una 
o más conectadas en serie o paralelo. Un transformador permite subir o bajar el 
nivel de voltaje mediante la relación de transformación que se utilice, esto 
depende del número de espiras o vueltas que enrollen al núcleo. En la Figura 1.6, 
se puede observar un transformador de dos devanados. 
 
 
Figura 1.6. Transformador [4] 
 
Los voltajes inducidos en el transformador se generan dependiendo el número de 
vueltas de los devanados y la variación del flujo magnético en un instante de 
tiempo. En la figura 1.7, se presenta el esquema de un transformador de dos 
devanados [6]. 
 
 
Figura 1.7. Representación de un Transformador Ideal [6] 
8 
 
 
De la Figura 1.7, se puede establecer las Ecuaciones 1.6, 1.8 y 1.9. 
 2324 = 5354 = 6463 = 0 (1.6) 
7 = 8 9:9) (1.7) ;3 = #3&3< (1.8) 
;4 = #4&4< = 0#4 >6?"<@< (1.9) 
 
Donde, #AB #C= Voltajes en el devanado primario y secundario 8AB8C = Número de vueltas de los devanados primario y secundario &AB &C= Corrientes en el devanado primario y secundario 0= Relación de transformación 7= Voltaje inducido := Flujo magnético. ;= Potencia aparente en los devanados 
 
En un sistema eléctrico los transformadores permiten regular el nivel de voltaje 
entre las barras, mediante ajustes porcentuales del valor nominal, a estos ajustes 
se los conoce como variación de taps o radios en el transformador. 
 
En el siguiente apartado se explica el modelo tomando en cuenta el radio en el 
transformador. 
 
1.2.3.2.1 Modelo [6] 
 
El modelo del transformador se obtiene mediante el circuito eléctrico equivalente 
mostrado en la Figura 1.8, este circuito puede estar referido al primario o al 
secundario. 
 
Simplificando el circuito de la Figura 1.8, se tiene el circuito de la Figura 1.9. 
 
9 
 
 
N1 N2
+
-
+
-
V1 V2
I1 I2R1 jX1
Gc -jBm
Ic Im
Ie
 
Figura 1.8. Circuito Equivalente Referido al Primario [6] 
 
+
-
V2
I2
+
-
V1
I1 Req jXeq
N1 N2
 
Figura 1.9. Circuito Equivalente Simplificado [6] 
 
De la Figura 1.9, la resistencia al ser muy pequeña puede despreciarse, 
quedando finalmente solo una inductancia en el modelo simplificado, como lo 
muestra la Figura 1.10. 
 
+
-
V2
I2
+
-
V1
I1 jXeq
N1 N2
 
Figura 1.10. Circuito Equivalente Simplificado Final [6] 
 
El circuito equivalente final y la influencia de los taps en el transformador permiten 
determinar un modelo sencillo que represente a este elemento para la ejecución 
de análisis y estudios de la red eléctrica, este modelo es el denominado modelo pi 
(D) del transformador mostrado en la Figura 1.11. 
10 
 
 
p s
IsIp
Vp Vs
 
Figura 1.11. Modelo D del Transformador [2] 
 
En donde el parámetro 0 es determinado mediante la Ecuación 1.10: 
 0 = E)F6G = 5354 (1.10) 
 
Siendo, 0= Relación de espiras del transformador HIJ= Corriente que entre t y q &K= Corriente en el primario. 
 
1.2.3.3 Circuitos Interruptores, Breaker 
 
Los interruptores y breakers son dispositivos que permiten la conexión y 
desconexión de ciertos elementos que componen el sistema eléctrico, ya sea por 
diferentes causas como: protección ante fallas, regulación de capacidad de 
generación, mantenimientos, etc. 
 
En el presente trabajo no se los considera con un modelo sobre el cual se deba 
poner énfasis ya que únicamente se propone un estudio en estado estable, en 
donde estos elementos estén ya sea conectados o desconectados, permitiendo el 
paso o no de corriente. 
 
1.2.3.4 Línea de Transmisión [5] 
 
Las líneas de transmisión son conductores a través de los cuales circula la 
corriente eléctrica y además sirven de conexión con los otros elementos que 
11 
 
 
forman parte del sistema de potencia. Estas líneas de transmisión son 
consideradas líneas de transporte, las cuales tienen cuatro parámetros: 
resistencia, inductancia, capacitancia y conductancia. 
 
· La resistencia y la inductancia son parámetros que se establecen a partir 
de las características de conductor, diseño y longitud de la línea, estos 
valores constituyen la impedancia de la línea, misma que es constante en 
toda su longitud. 
· La capacitancia en la línea se relaciona con la diferencia de potencia que 
se origina entre los conductores. 
· La conductancia tiene relación con las corrientes de fuga que se presentan 
en los aislamientos de los cables, estos valores suelen ser despreciados. 
 
Los parámetros mencionados anteriormente así como la longitud de la línea 
influyen en los niveles de voltaje obtenidos en los terminales de las líneas. 
 
Las líneas de transmisión requieren de un modelo que las represente, el cual se 
detalla en la siguiente sección. 
 
1.2.3.4.1 Modelo [5] 
 
Una línea de transmisión de acuerdo a su longitud puede ser representada como: 
 
· Línea de transmisión de longitud corta (menor a 80 km de longitud) 
· Línea de transmisión de longitud media (entre 80 km y 240 km de longitud) 
· Línea de transmisión de longitud larga (mayor a 240 km de longitud) 
 
1.2.3.4.1.1 Líneade Transmisión de longitud corta 
 
La línea de longitud corta es una representación simple en donde solo interviene 
la resistencia e inductancia en serie, no existe ramas en paralelo por lo tanto la 
corriente entre el emisor y receptor es la misma, esta representación se muestra 
en la Figura 1.12. 
12 
 
 
Z=R+jωL
+
-
Vs
+
-
Vr CARGAGEN
Is Ir
 
Figura 1.12. Línea de Transmisión Corta [5] 
 
1.2.3.4.1.2 Línea de transmisión de longitud media 
 
La línea de transmisión de longitud media se la representa por un circuito con 
impedancia en serie y una admitancia en paralelo, esta admitancia equivale a la 
capacitancia la cual se divide a la mitad y es ubicada en los extremos de la línea, 
tal como se muestra en la Figura 1.13. 
 
ZIs Ir
Y Y
2 2
+
-
Vs
+
-
Vr
 
Figura 1.13. Circuito PI de una Línea de Transmisión Media [5] 
 
Es importante señalar que el modelo a utilizarse para el desarrollo del presente 
trabajo es el modelo de línea de longitud media. 
 
1.2.3.4.1.3 Línea de transmisión de longitud larga 
 
Finalmente la línea de transmisión de longitud larga tiene un modelo más 
complejo y la solución requiere de ecuaciones diferenciales. 
 
Este modelo se observa en la Figura 1.14, en donde se considera un elemento 
diferencial de longitud en la línea (LM), una distancia M desde el extremo del 
receptor de la línea, N/LM es la impedancia en serie, O/LM es la admitanciha 
paralelo de la sección elemental; finalmente ! e & corresponden a los fasores que 
13 
 
 
varian con M. En el modelo se debe tomar en cuenta que los parámetros se 
encuentran distribuidos a lo largo de toda la línea. 
 
+
-
Vs
+
-
Vr
CARGA
GENERADOR
I+dI
V+dV
dx
+
-
+
-
V
I
x
Ir
 
Figura 1.14. Diagrama de una Línea de Transmisión Larga [5] 
 
En este tipo de línea no se pone mayor énfasis en su explicación debido a que no 
es base del presente estudio. 
 
1.2.3.5 Cargas [7] 
 
La carga es el elemento que consume la potencia que se genera en una red 
eléctrica, este elemento lo constituyen diversos dispositivos entre ellas: resistivas, 
inductivas, motores, etc. 
 
Las cargas por ser de diferentes tipos no tienen un modelo único sino que varían 
dependiendo de su constitución. En la Figura 1.15, se puede observar un ejemplo 
del diagrama de bloques con el efecto de una carga en una máquina rotacional. 
 
1
MsPmec
PL
+ 
ω 
D
--
1
Ms+DPmec
+ 
ω 
PL
-
 
a) b) 
Figura 1.15. (a) Diagrama de Bloques de Máquina y Carga. (b) Diagrama de Bloques 
Simplificado de Máquina y Carga 
 
Cabe mencionar que en el presente estudio las cargas se modelan como un 
consumo de potencia, sea esta una potencia activa o reactiva. 
14 
 
 
1.2.3.6 Buses o Nodos 
 
Los buses son barras a las cuales se conectan los generadores, transformadores, 
líneas de transmisión y cargas, en estos puntos se miden las variables eléctricas 
de interés. 
 
Para el análisis de flujo y estimación del sistema eléctrico se pueden establecer 
barras tipo PV, PQ y Slack, mismas que se detallan a continuación [8]: 
 
1.2.3.6.1 Nodos de Consumo (PQ) 
 
Los nodos de consumo, como su nombre lo indica, son los nodos de la red en 
donde se consume y no se genera, es decir, solo se conoce la potencia activa y 
reactiva de consumo. 
 
En el caso del nodo PQ se tiene la Ecuación 1.11, para las potencias de 
inyección: 
 PE = $PQE/////////////////RE = $RQE (1.11) 
Donde, PE= Potencia Activa inyectada RE= Potencia Reactiva inyectada PQE= Potencia activa de consumo en el nodo i RQE= Potencia reactiva de consumo en el nodo i 
 
1.2.3.6.2 Nodos de generación (PV) 
 
Los nodos de generación son aquellos en donde se inyecta potencia activa, en 
estos nodos existe generación de energía y el generador regula el voltaje del 
nodo. Para el nodo PV se tiene como inyección de potencia la Ecuación 1.12. 
 PE = PSE $ PQE ////////////T ////////RE = RSE $ RQE (1.12) 
 
15 
 
 
Donde, PSE= Potencia activa generada en el nodo i. RSE= Potencia reactiva generada en el nodo i. 
 
1.2.3.6.3 Nodo de referencia (Slack) 
 
El nodo de referencia o nodo slack, es el nodo base a partir del cual se toma la 
referencia del sistema y respecto al cual se miden los voltajes en magnitud y 
ángulo. 
 
1.3 ANÁLISIS EN SISTEMAS DE POTENCIA 
 
1.3.1 INTRODUCCIÓN 
 
El sistema eléctrico debe siempre estar operativo o en la capacidad de 
recuperación inmediata ante fenómenos inesperados, por esta razón se realizan 
análisis y estudios en la red para evitar la existencia de caídas del sistema de 
forma total o parcial. Para ello se requiere de técnicas de análisis y estudios que 
permitan conocer el comportamiento del sistema frente a diferentes condiciones 
que pueden presentarse durante la operación del SEP, y posteriormente a estos 
análisis estar en la capacidad de ejercer acciones de control para regular y 
mantener una red operativa con condiciones normales o habilitar la posibilidad de 
restaurar el sistema en caso de cualquier perturbación. 
 
1.3.2 TÉCNICAS PARA ANÁLISIS DE RED 
 
Varios de los análisis y estudios de red permiten determinar el comportamiento 
del sistema eléctrico mediante sus variables de estado, por esta razón se han 
desarrollado técnicas que permitan determinar las variables de estado de la red 
eléctrica, estas variables de estado son el voltaje, en magnitud y ángulo. 
 
16 
 
 
Para analizar y estudiar el comportamiento del sistema eléctrico se requiere de 
una modelación de red, en donde se considere el comportamiento de cada 
elemento que lo compone, así como también la relación existente entre ellos y 
posteriormente determinar las condiciones de operación del sistema, en cuanto a 
consumo y generación en cada punto del mismo [9]. 
 
A continuación, se establecen los requerimientos y la formulación de la matriz de 
admitancia necesarios para el análisis en SEP’s. Posteriormente se realiza una 
breve descripción de las técnicas más utilizadas. 
 
1.3.2.1 Requerimientos 
 
Para realizar el análisis del sistema eléctrico es necesario establecer los 
siguientes requisitos: 
 
· Establecer las condiciones iniciales para la ejecución del método (perfil 
plano). 
· Determinar un nodo de referencia a partir del cual se van a tomar todas las 
medidas de voltajes y de potencias (transferidas o inyectadas) en cada 
nodo. 
Los requisitos mencionados son detallados a continuación. 
 
1.3.2.1.1 Perfil Plano 
 
Las técnicas para análisis de sistemas eléctricos requieren de condiciones 
iniciales de arranque para la ejecución de la solución, este conjunto de 
condiciones se denomina perfil plano. 
 
El perfil plano es un vector que contienen las variables de estado del sistema de 
potencia, que corresponden a las magnitudes y ángulos del voltaje, este vector 
arranca con valores de 0 en el caso de los ángulos y 1 para la magnitud del 
voltaje. La Ecuación 1.14 muestra la forma del vector del perfil plano. 
17 
 
 
 (1.13) 
M7.I0LU+0VV0WJX7- = //
YZZ
Z[\4\]!3!4!]_̂
__̀ = YZZ
Z[11AAA_̂_
_̀ (1.14) 
 
1.3.2.1.2 Nodo de referencia 
 
Los análisis de red requieren de un nodo de referencia alrededor del cual se 
establecen los valores de las magnitudes eléctricas del sistema, la barra 
considerada como referencia contiene el ángulo slack o referencial, a partir del 
cual se ejecuta cualquier método de análisis de red, este ángulo de referencia es 
igual a 0. 
 
Una vez establecidos los requisitos para el análisis en sistemas eléctricos, es 
necesario mencionar que por facilidad de cálculos los valores son trabajados en 
por unidad, si bien no es un requisito esto ayuda en la solución numérica de las 
técnicas de análisis. 
 
1.3.2.2 Matriz de Admitancia [5] 
 
La matriz de admitancia o ade barra, permite relacionar las inyecciones de 
corriente y los voltajes en una barra y es muy utilizada para realizar análisis de 
red ya que simplifica la solución del sistema cuando son circuitos muy complejos. 
Mediante la ley de Ohm y la ley de corrientes de kirchoff se puede formular las 
ecuaciones de forma matricial que dan lugar a la matriz de admitancia de la red. 
 
ba33 a34a43 a44c b!3!4c = b&3&4c (1.15) 
18 
 
 
La matriz de admitancia se caracteriza por ser de dimensión simétrica, en donde 
los elementos de la diagonal se forman de la sumatoria de todas las admitancias 
que lleguen al nodo de dicha fila y columna correspondiente, mientras que los 
elementos fuera de la diagonal están compuestos de la admitancia que una dos 
nodos determinados por la fila y columna. A continuación se muestra un ejemplo: 
 
ad"((" = ba33 a34a43 a44c Matriz de dimensión e+fHg0.-x/W+hUgXeW0.- (1.16) 
 
Dada la Ecuación 1.16, los elementos de la diagonal son a33B a44 y los elementos 
fuera de la diagonal son a34B a43; los cuales se forman de acuerdo a la Ecuación 
1.17 y 1.18. 
 a+eBe- = i Oj5jk3 l a33 = i Oj5jk3 / (1.17) a+eB W- = $Omno l a34 = $O3n4 (1.18) 
 
Donde, e= Nodo de salida correspondiente a la fila de la matriz W= Nodo de llegada correspondiente a la columna de la matriz!8= Número de líneas que se conectan al nodo e ó W 
 
La matriz de admitancia es una parte fundamental para ejecutar análisis en 
sistemas eléctricos, ya que esta matriz representa las líneas de transmisión y los 
transformadores presentes en la red. 
 
1.3.2.2.1 Matriz de Admitancia para Línea de Transmisión de Longitud Media 
 
La matriz de admitancia para una línea de transmisión de longitud media se 
puede establecer de acuerdo al modelo de la Figura 1.13, establecida en el 
apartado anterior; en este caso los valores de las impedancias en las líneas 
permiten obtener la admitancia correspondiente y a su vez formular la matriz de 
admitancias. En la Ecuación 1.19 y 1.20, se muestra la relación entre admitancia 
19 
 
 
e impedancia en la línea y posteriormente se muestra la matriz de admitancia 
respectiva. 
 apEoq" = 3rstuvw (1.19)!
ad"((" = y3r , z4 $ 3r$ 3r z4 , 3r{ (1.20) 
 
1.3.2.2.2 Matriz de Admitancia para Transformadores 
 
La matriz de admitancia para un transformador se define mediante el modelo 
establecido en la Figura 1.11 de la sección anterior. Dependiendo de la relación 
de transformación se tiene la Ecuación 1.22 para la/a de barra: 
 
baGG a|GaG| a||c b!G!|c = ba}04 $a}0$a}0 a c b!G!|c = b&G&|c (1.21) 
 
ad"((" = ba}04 $a}0$a}0 a c (1.22) 
 
1.3.2.3 Descripción de Técnicas para Análisis de Red 
 
Entre las técnicas más usadas que permiten determinar el comportamiento del 
sistema eléctrico se tiene [8]: 
 
· Flujo de potencia 
· Estimación de Estado 
 
El flujo de potencia permite conocer el estado de operación de la red en estado 
permanente, para ello se requiere de las condiciones de operación especificadas 
como por ejemplo: 
 
· Consumo en los nodos 
20 
 
 
· Potencia de los generadores 
 
Los resultados que se obtienen son voltajes en los nodos, flujo de potencia en 
líneas y/o transformadores e inyecciones de potencia en nodos. El principal 
inconveniente que se tiene es la necesidad de gran cantidad de información libre 
de errores en cada punto del sistema para poder realizar un procesamiento de 
datos con resultados exitosos, esto se vuelve complejo al tener redes de gran 
extensión geográfica. 
 
Los estudios de flujos de potencia si bien modelan el estado de funcionamiento de 
la red eléctrica y generan información adicional, presentan serios inconvenientes, 
entre ellos se tiene: 
 
· Limitaciones en el uso de mediciones, porque en las barras de carga se 
requiere inyecciones de potencia (PB R), y en las barras de control de 
voltaje se requiere potencia y voltaje (PB ~!~). Al prescindir una de ellas no 
es posible la solución. 
· Se requiere valores de mediciones libre de errores, caso contrario el 
resultado es erróneo. 
· Las mediciones de flujo de potencia en las líneas son accesibles, sin 
embargo el flujo de potencia no las requiere. 
 
Debido a las limitantes planteadas en la solución de flujo de potencia, se utiliza 
otra técnica llamada estimación de estado, la cual permite estimar variables de 
estado del sistema (|V| y θ), con la ventaja que usa pocas mediciones y mediante 
algoritmos sofisticados se puede discriminar valores que presenten errores y 
evitar su influencia en el resultado final. Además los sistemas de control, 
supervisión y adquisición de datos instalados en toda red eléctrica, cuentan con 
una base de datos de las mediciones del sistema, mismos que hacen factible la 
solución de estimación de estado en un sistema de potencia [5]. 
 
El uso de la estimación de estado en sistema eléctricos de potencia, se justifica 
porque ofrece buenos resultados al dar una noción de cómo funciona el sistema 
21 
 
 
alrededor de un punto de operación, sirviendo de esta manera de forma eficiente 
en la realización de análisis eléctricos que permitan ejecutar acciones de control. 
El flujo de potencia y la estimación de estado se tratan más detalladamente en 
secciones posteriores. 
 
1.4 FLUJO DE POTENCIA (FP) 
 
1.4.1 DESCRIPCIÓN [8] 
 
En el flujo de cargas o flujo de potencia se pretende determinar las variables de 
estado que determinen el comportamiento del sistema y además se pueden 
calcular otros parámetros que dependen de las variables de estado. Igualmente 
mediante el flujo de cargas se puede determinar un escenario de funcionamiento, 
alrededor de un punto de operación del sistema. 
 
Para desarrollar el flujo de potencia es necesario establecer los siguientes 
requisitos: 
 
· Modelo de sistema (matriz de admitancia) 
· Conocimiento del tipo de barras (PV, PQ, Slack) 
· Condiciones de operación. 
 
Después de establecer los requisitos se procede a la solución del flujo de cargas, 
para lo cual se selecciona un método numérico iterativo adecuado, en este caso 
el más utilizado es el método de Newton Raphson, mismo que se lo detalla a 
continuación mediante una serie de pasos [8]: 
 
1) Inicializar los voltajes en condiciones de arranque (! = AK� XB///\ = 1 ) 
2) Calcular la matriz de variación de potencia activa y reactiva ��P~�R�. Si los 
componentes son menor a la tolerancia detener el proceso. 
3) Calcular la matriz Jacobiano. 
4) Calcular la matriz ��\~ �! !� � 
22 
 
 
5) Actualizar la matriz de voltajes y ángulos �\~!�. Regresar al paso 2. 
 
Este procedimiento se muestra en la Figura 1.16, mediante su respectivo 
diagrama de flujo. 
INICIO
INGRESO DATOS
DECLARACIÓN DE VARIABLES
PERFIL PLANO 
V=1, θ=0
MATRIZ 
JACOBIANO 
MATRIZ VARIACIÓN 
DE ÁNGULO (θ) | 
VOLTAJE (V)
MATRIZ DE VOLTAJES 
Y ÁNGULOS
VARIACIÓN<=TOLERANCIA NO
FIN
SI
ITERACIÓN=ITERACIÓN+1
MATRIZ DE 
ADMITANCIA
MATRIZ DE VARIACIÓN DE 
POTENCIA
 
Figura 1.16. Diagrama de Flujo de Cargas 
 
1.4.2 MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN PARA FLUJO DE POTENCIA [5] 
 
En el sistema eléctrico las variables P y Q constituyen funciones no lineales 
dependientes de las variables de estado, por esta razón el flujo de cargas y en 
general todas las técnicas de análisis de red requieren de métodos numéricos 
23 
 
 
iterativos que permitan dar una solución lineal al modelo. Entre estos métodos se 
tiene: 
 
· El método numérico de Gauss-Seidel, se caracteriza por aproximarse más 
rápido a la solución, pues su objetivo es la minimización del error de voltaje 
entre una iteración y la anterior. 
 
· El método de Newton Raphson, se basa en la solución mediante el uso de 
la serie de Taylor parauna función, en donde el objetivo es que la variación 
de potencia (P y Q) cumpla con la tolerancia establecida, este método se 
caracteriza por presentar menor error en la solución de flujos de potencia. 
 
En la práctica, usualmente se realiza una corrida de flujo con el método de Gauss-
Seidel y si existe algún resultado fuera de rango se ejecuta el método de Newton 
Raphson, es decir Gauss-Seidel es usado para generar valores iniciales para el 
método de Newton-Raphson; con la finalidad de obtener un escenario óptimo con 
resultados adecuados. 
 
1.4.3 APLICACIONES [8] 
 
Los estudios de flujo de cargas son el punto de partida para realizar análisis de: 
estabilidad, optimización y simulaciones del sistema eléctrico de potencia, con el 
fin de poder identificar cualquier cambio que se presente en la red, ya sea 
sobrecargas, voltajes inadecuados, entre otros, para de esta manera encontrar 
soluciones ante posibles situaciones anormales. Este proceso se lo realiza 
diariamente, para garantizar el óptimo funcionamiento del sistema ante cualquier 
eventualidad. 
 
En el presente estudio, flujo de potencia es utilizado para generar las mediciones 
que sirven como datos de entrada para la estimación de estado y además las 
variables de estado obtenidas en la corrida de flujo permiten validar los resultados 
de la programación de estimación centralizada. 
 
24 
 
 
1.5 ESTIMACIÓN DE ESTADO (EE) 
 
En esta sección se explica la técnica de estimación de estado aplicada a sistemas 
eléctricos de potencia. Inicialmente se establecen algunos conceptos básicos y 
posteriormente se detalla la técnica. 
 
1.5.1 GENERALIDADES [10] 
 
1.5.1.1 Estado 
 
El estado de un sistema es el conjunto de variables que permita determinar el 
comportamiento del mismo en un determinado momento. El estado de un sistema 
está representado por el conjunto de variables de estado. 
 
1.5.1.2 Variables de Estado 
 
Las variables de estado son el conjunto de variables que permiten describir el 
comportamiento de un sistema, en donde al conocer la entrada para I � IU y su 
estado inicial en I = IU, se puede determinar el estado futuro del sistema. 
 
Estas variables pueden ser o no cantidades medibles u observables, sin embargo, 
lo usual es escoger parámetros medibles como variables de estado porque estas 
tienen interpretación física. 
 
Un sistema es representado por variables de estado cuando se tienen varias 
entradas y salidas, en donde la representación como función de transferencia 
resulta compleja. Mediante las variables de estado se puede expresar una 
ecuación de estado y la ecuación de salida como una expresión matemática, 
como se plantea en las Ecuaciones 1.23 y 1.24. 
 M�+I- = f+MB XB I- (1.23) O+I- = �+MB XB I- (1.24) 
25 
 
 
Linealizando las expresiones anteriores alrededor de un punto de operación se 
tienen la Ecuación 1.25 y 1.26. 
 M�+I- = �+I-M+I- , �+I-X+I- (1.25) O+I- = �+I-M+I- , �+I-X+I- (1.26) 
 
Donde, �+I-= Matriz de estado �+I-=Matriz de entrada �+I-=Matriz de salida �+I-=Matriz de transmisión directa X+I-= Entrada M+I-= Variable de estado. 
 
Dentro de este concepto, es necesario mencionar que para un sistema eléctrico 
de potencia las variables de estado son el voltaje en módulo (|V|) y ángulo (θ) en 
cada nodo del sistema. 
 
1.5.2 ANTECEDENTES DE LA ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS 
ELÉCTRICOS DE POTENCIA [11] 
 
El conocido fallo de energía eléctrica en Estados Unidos en el año 1965, dio la 
pauta para que se ponga mayor interés en el desarrollo de nuevas técnicas de 
control, que permitan tener mayor confiabilidad en los sistemas eléctricos de 
potencia para la distribución de energía eléctrica, y evitar que un hecho como el 
mencionado apagón se vuelva a producir, incrementando de esta manera la 
seguridad en el sistema. 
 
La técnica de control usado hasta ese momento se basaba en el sistema de 
supervisión, que únicamente se encargaba del control de subestaciones, 
interruptores y generación de energía, es decir no se contaba con las mediciones 
completas en tiempo real que permitan realizar: 
 
26 
 
 
· Análisis de estabilidad 
· Análisis de seguridad 
· Optimización 
· Niveles de seguridad del sistema. 
 
Entonces el principal objetivo planteado fue la obtención de las mediciones de las 
variables en tiempo real, que permiten garantizar un funcionamiento óptimo de la 
red interconectada, capaz de suplir las necesidades de consumo y con ello poder 
determinar: 
 
· El estado de operación de la red y de cada uno de sus componentes 
· Eventualidades que se presenten 
· Funcionamiento anormal 
 
De esta manera se implementan los denominados sistemas SCADA (sistema de 
control supervisión y adquisición de datos) encargados de dar la información 
necesaria de la red mediante mediciones y valores requeridos en tiempo real y de 
forma gráfica. 
 
Los nuevos mecanismos implementados permitieron obtener una base de datos 
de todos los eventos y de esta manera tener un mayor control del sistema, sin 
embargo esto no fue suficiente, ya que los sistemas SCADA implementados 
debían ser mejorados, porque se necesitaba conocer el estado del sistema, para 
ello se tomaron tiempos de muestreo más pequeños, que permitan tener un 
mayor número de mediciones para un comportamiento más real de la red, los 
problemas presentados fueron: errores de medidas, incapacidad de 
procesamiento en tiempo real y la principal desventaja fue que en el flujo de 
potencia no se trabaja con flujos de líneas, imposibilitando de esta manera el 
conocimiento del estado real del sistema de red [11]. 
 
Debido a las desventajas presentadas, el profesor Fred Schweppe del Instituto 
Tecnológico de Massachusetts, propuso que la técnica de estimación de estado 
utilizada a pequeña escala en otras áreas [12], [13], sea aplicada a gran escala en 
27 
 
 
sistemas de potencia como solución a los inconvenientes presentados y con esta 
técnica se arreglaron los problemas de datos y de ejecución en tiempo real, por 
esta razón se la utiliza hoy en día en los sistemas de gestión de energía de redes 
interconectadas, pues garantiza confiabilidad de operación y seguridad. 
 
1.5.3 ESTIMADOR DE ESTADO EN SEP [8] 
 
El estimador de estado forma parte esencial del sistema SCADA para garantizar 
confiabilidad y eficiencia al monitoreo y control de sistemas eléctricos de potencia. 
La técnica de estimación tiene como objetivo la generación de una base de datos, 
para ello el procesamiento de la información está basado en el modelo del 
sistema eléctrico de potencia y las mediciones provenientes del sistema SCADA, 
finalmente los datos generados son las variables de estado de la red eléctrica. 
 
Para estimar las variables de estado del sistema eléctrico de potencia (|V|, θ) se 
requiere: 
 
· El modelo del sistema 
· Mediciones en diversos puntos del sistema (potencia activa inyectada y/o 
de flujo, potencia reactiva inyectada y/o de flujo, voltaje inyectado) 
· Nodo de referencia (slack) 
 
En donde, el modelo del sistema, es la planta sobre la cual se desarrolla la 
estimación de estado, el nodo de referencia es el nodo alrededor del cual se 
ejecuta el procesamiento de datos y las mediciones del sistema permiten estimar 
las variables de estado; estas mediciones se obtienen de la base de datos de un 
sistema SCADA, el cual centraliza la información de las variables eléctricas en 
cada punto del sistema de potencia. 
 
1.5.4 COMPONENTES DEL ESTIMADOR DE ESTADO [8] 
 
Los componentes del estimador de estado son: 
 
28 
 
 
· Modelo del sistema, corresponde a los parámetros de los componentes. 
· Topología de la red, hace referencia a las conexiones entre los 
componentes. 
· Medidas del sistema, estas medidas deben ser pre-filtradascon el fin de 
verificar que las medidas estén libres de errores, es decir, que los valores 
estén dentro de los rangos permitidos. 
· Interfaz Hombre-Máquina 
 
Una forma gráfica de representar los componentes antes mencionados se puede 
observar en la Figura 1.17. 
 
Datos Variables
Datos Fijos
PREFILTRADO ANÁLISIS 
TOPOLOGICO
ESTIMACIÓN DE 
ESTADO
DETECCION DE 
ERRORES
ANÁLISIS 
OBSERVABILIDAD
ELIMINACIÓN DE 
ERRORES
Interfaz Hombre-Máquina
Medidas
Estados
Zonas Observables
Estado estimado Errores
 
Figura. 1.17. Componentes de un Estimador de Estado [8] 
 
El modelo del sistema ha sido detallado en las secciones anteriores, la topología 
de la red se establece con los interruptores en estado estable, la interfaz Hombre-
29 
 
 
Máquina no se considera dentro del alcance del presente proyecto y las medidas 
del sistema se detallan a continuación. 
1.5.4.1 Medidas del Sistema [11] 
 
En un sistema interconectado se distingue las siguientes mediciones eléctricas: 
 
· Magnitudes de voltaje y ángulo en las barras o nodos 
· Potencia neta activa inyectada en cada nodo 
· Potencia neta reactiva inyectada en cada nodo 
· Flujo de potencia activa (potencia activa transferida) en las líneas y 
transformadores 
· Flujo de potencia reactiva (potencia reactiva transferida) en las líneas y 
transformadores 
 
Las medidas anteriormente mencionadas pueden ser de diferente tipo: 
 
1.5.4.1.1 Telemedidas 
 
Son aquellas que se obtienen de los sistemas SCADA, son medidas en tiempo 
real desde las unidades remotas, como por ejemplo: los voltajes, las potencias 
activas y reactivas en los nodos, los flujos de potencia en las líneas y 
transformadores. 
 
1.5.4.1.2 Pseudomedidas 
 
Estas medidas se obtienen de los históricos por lo tanto no son muy precisas, un 
ejemplo de este tipo de mediciones, son las potencias generadas en las centrales 
o las potencias consumidas. 
 
1.5.4.1.3 Medidas virtuales 
 
Son valores que no requieren ser medidos, ya que son restricciones dadas por el 
sistema como por ejemplo las inyecciones de cero en los nudos de tránsito. 
30 
 
 
 
 
1.5.5 CLASIFICACIÓN DE ESTIMADOR DE ESTADO 
 
En el presente documento se plantea la clasificación del estimador de estado 
tomando en cuenta el modelo y el tipo de procesamiento de datos con el fin de 
tener una organización mejor de conceptos para su posterior uso en el desarrollo. 
 
1.5.5.1 Estimación de Estado basada en el modelo 
 
La estimación de estado basada en el modelo del sistema, puede ser estática o 
dinámica [14]: 
 
1.5.5.1.1 Estimación de Estado Estático [15] 
 
El estimador de estado estático aplica el concepto de estimación en un 
determinado instante de tiempo, en donde no se toma en cuenta el cambio de las 
variables en el tiempo. 
 
La solución para la estimación de estado requiere del modelo estático del sistema, 
este modelo está formado por un conjunto de ecuaciones que permiten 
representar al sistema en un instante de tiempo [15]. En el modelo estático la 
salida depende únicamente de las entradas actuales y cambia solo si su entrada 
cambia [16]. 
 
Además en el proceso de solución también se necesita de las mediciones del 
sistema, ya que estos datos constituyen una parte importante en el desarrollo de 
la estimación. 
 
1.5.5.1.2 Estimación de Estado Dinámico [14] 
 
El estimador de estado dinámico toma en cuenta la interrelación que existe entre 
las variables de estado que cambian continuamente en el tiempo, en donde la 
31 
 
 
solución se realiza utilizando el modelo dinámico del sistema, en este modelo se 
considera la dinámica de la parte electromecánica de los generadores. En la 
estimación de estado dinámico se tiene más variables que en una estimación de 
estado estático, sin embargo esto no es garantía en la obtención de mejores 
resultados. 
 
La solución para el estimador de estado dinámico consiste en trabajar con 
modelos lineales dinámicos, en donde las ecuaciones se obtienen a partir de los 
datos del pasado y del modelo de espacio de estados. En el proceso de solución 
la función objetivo consta de la matriz de covariancia de los errores de datos, 
mismos que se obtienen de los datos del pasado. 
 
En el presente estudio no se toma en cuenta el análisis cuando el sistema tiene 
un comportamiento dinámico, por lo tanto su explicación detallada no aplica. 
 
1.5.5.2 Estimación de Estado basada en Procesamiento de Datos 
 
La estimación de estado basada en la forma de procesamiento de los datos 
puede ser centralizado o distribuido, dando lugar a dos tipos de estimación de 
estado: 
 
1.5.5.2.1 Estimación de Estado Centralizada (EEC) [11] 
 
La estimación de estado centralizada, comprende una solución de forma global, 
en donde, todas las mediciones adquiridas, son procesadas conjuntamente para 
formar una sola matriz de solución, es decir, se tiene un único sistema de 
procesamiento de datos para la obtención de las variables de estado. 
 
El estimador de estado centralizado es el método utilizado en el centro de control 
de las centrales de generación de energía eléctrica, porque permiten conocer el 
estado del sistema en tiempo real, proporcionando datos confiables y completos, 
mediante el procesamiento de las mediciones obtenidas de los sistemas de 
32 
 
 
supervisión control y adquisición de datos, SCADA. Una vez obtenidos los datos 
de la estimación de estado se pueden realizar los siguientes análisis: 
 
· Análisis de estabilidad 
· Estudios de generación y demanda 
· Predicciones de consumo 
· Análisis de confiabilidad 
· Estudios de los niveles de seguridad de la red eléctrica. 
· Ampliación de la red eléctrica 
 
En la Figura 1.18, se muestra un esquema del procesamiento de datos de forma 
centralizada. 
 
ESTIMACIÓN DE
ESTADO
BASE DE
DATOS
PLANTA
MEDIDAS
PROCESADOR
DE DATOS
ENVIO DE
DATOS
SCADA
 
Figura 1.18. Representación Centralizada 
 
Esta técnica de estimación de estado centralizada a pesar de ser muy utilizada en 
los sistemas eléctricos de potencia, presenta varias desventajas, como son: 
 
33 
 
 
· Fallo del controlador central, imposibilita el cálculo de estimación de 
estado. 
· Cambios de estado en áreas, que no son informados a tiempo, generan 
errores en los datos. 
· Las áreas no observables que estén fuera del alcance del centro de 
control, ocasionan una ausencia de mediciones produciendo errores en la 
estimación de estado. 
 
1.5.5.2.2 Estimación de Estado Distribuido (EED) [14] 
 
La estimación de estado de forma distribuida, busca una descentralización de la 
información con el objetivo principal de mejorar los tiempos de respuesta, sin 
importar el área geográfica por donde se extienda la red interconectada, 
garantizando la eficiencia y seguridad del mismo. Esta técnica de estimación 
distribuida establece la descomposición del sistema eléctrico de potencia en 
subsistemas (operador de sistema), en donde el proceso de estimación de estado 
se realiza de forma paralela para cada subsistema y los resultados parciales de 
estimación son integrados en la solución global de la red. De esta manera los 
datos son procesados de forma distribuida sin tener que sobrecargar de 
información al centro de control central [17]. 
 
Este proceso de estimación de estado distribuida presenta muchas ventajas, entre 
ellas se tiene: 
 
· Tiempos rápidos de ejecución, al trabajar con diferentes procesadores para 
cada operador de sistema. 
· Mayor eficiencia en la toma de decisiones ante cualquier eventualidad 
· Optimización de las acciones de control ejecutadas. 
· Mayor agilidad de tiempos de respuesta. 
· El estimador de estado distribuido aporta a mejorar la confiabilidad, 
seguridad y eficiencia de la red interconectada 
· No depende de la topología de la red. 
34 
 
 
· El estimador de estado distribuido permite tener una operación y monitoreo 
autónomo paracada operador de sistema interconectado. 
 
Adicionalmente, estimar las variables de estado de forma distribuida se vuelve 
fácil de implementar en un sistema eléctrico de potencia, ya que estos operan 
mediante centros de control regionales encargados de enviar la información de su 
propio centro a los centros de control central, en este último los datos son 
integrados en una solución global del sistema, mediante un ajuste de referencias 
respecto a la referencia general. En la Figura 1.19, se muestra la arquitectura de 
comunicación en un sistema distribuido. 
 
AREA 1
AREA 2
AREA 3
AREA 4
AREA 5
CENTRO DE CONTROL
CENTRAL
INFORMACION EN LA ESTIMACIÓN DE ESTADO
INFORMACION EN LA ESTIMACIÓN DE ESTADO DISTRIBUIDO
CENTROL DE
CONTROL
LOCAL
 
Figura 1.19. Arquitectura de Comunicación en un Sistema Distribuido [18] 
 
1.5.5.2.3 Justificación de la Estimación de Estado Distribuido [14] 
 
Los avances tecnológicos han provocado que el uso de la energía eléctrica sea 
cada vez mayor, por esta razón la necesidad de desarrollar nuevas técnicas para 
35 
 
 
el análisis y control de sistemas eléctricos capaces de solventar todos los 
requerimientos de la demanda y satisfacer en su totalidad al consumidor final, de 
forma eficiente y segura. 
Actualmente la estimación de estado trabaja con datos de forma centralizada, en 
donde las principales desventajas son los tiempos de procesamiento cuando el 
sistema es de gran extensión, ya que se tiene mayor información, en este sentido 
se generan problemas de eficiencia, y el riesgo ante fallos del procesador central 
que hace imposible la estimación y todos los análisis de control involucrados 
provocando la caída total del sistema. 
 
Debido estos inconvenientes en el estimador de estado centralizado existe la 
propuesta de descentralizar el procedimiento de estimación, en el que este 
proyecto busca aportar, para ello se desarrolla una estimación de estado 
distribuida aplicada al sistema eléctrico, en donde el procesamiento de datos sea 
de forma paralela, logrando así la reducción del tiempo de procesamiento, lo cual 
trae beneficios al monitoreo y control del sistema porque la toma de acciones de 
control serán de forma ágil y confiable, abriendo las puertas a posibles algoritmos 
de control distribuido. 
 
En la Figura 1.20, se muestra un esquema de configuración de un sistema de 
control distribuido. 
 
36 
 
 
SUBSISTEMA 1 SUBSISTEMA 2 SUBSISTEMA 3
RED DE
COMUNICACIÓN
Acciones de
Control
(AC)
Información de
Entrada
(INF)
(AC) (AC)(INF) (INF)
Variables de
Borde
(VB)
Características
funcionales
(CF)
(VB) (VB) (VB)(CF) (CF) (CF)
Computadores de
bajo nivel
Servidor de alto
nivel
 
Figura 1.20. Configuración de Sistema de Control Distribuido [19] 
1.5.6 APLICACIONES DE LA ESTIMACIÓN DE ESTADO [11] 
 
Las aplicaciones del estimador de estado en un sistema eléctrico de potencia son: 
 
· La estimación de flujo de potencia e inyección en los puntos en donde no 
se tienen mediciones en tiempo real, ayudan para el control de carga y 
frecuencia del sistema. 
· Estimación de cargas para la generación de potencia activa y reactiva de 
forma óptima. 
· El estimador genera toda la información necesaria para revisiones 
periódicas del sistema (cargas, líneas de transmisión, generación), toma de 
decisiones en cuanto anomalías en el sistema, análisis de estabilidad y 
operación, predicción de eventos. 
· Mejoramiento de los niveles de seguridad mediante la base de datos 
generada por el estimador de estado. 
· Mediante la estimación de estado se pretende dar a conocer el estimado 
de flujos de cargas, niveles de tensión (magnitud y ángulo), salidas de los 
generadores, cargas. 
· Permite la localización de eventos anormales en el sistema. 
37 
 
 
· Ayuda a la detección de puntos vulnerables ante una entrada. 
· La estimación de estado proporciona niveles de corrección ante 
perturbaciones y de esta manera lograr el restablecimiento del sistema en 
el menor tiempo posible. 
 
1.5.7 MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN PARA ESTIMACIÓN DE 
ESTADO 
 
Los métodos numéricos que se utilizan para la solución de la estimación de 
estado estático, son aquellos que se basan en una solución lineal mediante un 
proceso iterativo, ya que se tienen ecuaciones no lineales, entre ellos el más 
utilizado es el método de mínimos cuadrados y a partir de este se derivan los 
otros métodos más elaborados. 
 
1.5.7.1 Método de Mínimos Cuadrados [20] 
 
El método de mínimos cuadrados se basa en la minimización de la función de 
probabilidad que sigue una distribución gaussiana, en donde se establece la 
minimización de la suma de cuadrados de errores de las mediciones. El presente 
método se puede aplicar a sistemas no lineales, en el que la solución se realiza 
de forma lineal mediante un proceso iterativo, a fin de obtener como resultado el 
valor de las variables de estado del sistema. 
 
La técnica de mínimos cuadrados permite tener un ajuste de valores en base a las 
medidas que se dispongan, este método se basa en el análisis del error de la 
medida respecto al valor de referencia, por esta razón es necesario que los 
valores de referencia sean datos libres de errores grandes para obtener 
resultados confiables. 
 
Para el desarrollo del método, se establece la ecuación de las mediciones del 
sistema añadiendo el error en el modelo, esta expresión se define en un instante 
de tiempo, tal como se muestra en la Ecuación 1.27 
 
38 
 
 
NE = hM , 7E (1.27) 
 
En donde, NE son las mediciones de un instrumento de medida; M corresponde al 
valor verdadero de las medidas, en función de los parámetros del sistema y de los 
voltajes verdaderos; h representa un coeficiente numérico que se obtiene de las 
constantes del sistema; 7E refleja el error de la medición y finalmente H es el 
número de la medición. 
 
La Ecuación 1.27 se puede plantear de forma matricial, quedando las mediciones 
con la estructura de la Ecuación 1.28: 
 
N = �N3N4�Nm� = ��3+M3B M4B � B Mo-�4+M3B M4B � B Mo-��m+M3B M4B � B Mo-� , �
7374�7m� (1.28) 
Siendo, N=Mediciones reales W= Componentes del vector de estado M �E= Función no lineal que tiene relación con el vector de estado M e= Corresponde al número de medición. 
 
En donde las mediciones, variables de estado y errores son vectores, los cuales 
se muestran en la Ecuación 1.29, 1.30 y 1.31 respectivamente. 
 
 �� = ��3+M-B �4+M-B � B �m+M-� (1.29) M� = �M3B M4B � B Mo� (1.30) 7� = �73B 74B � B 7o� (1.31) 
 
Siendo, ��=Vector de los valores verdaderos de M �3+M-= Valores verdaderos de la medida M�= Vector de estado M3= Variable de estado 7�= Vector de errores en las medidas 
39 
 
 
7o= Error de la medición 
 
Una vez establecidos los vectores que forman parte de la Ecuación 1.27, se 
plantea la Ecuación 1.32 del error en base a la cual se realiza la solución del 
método de mínimos cuadrados: 
 7 = N $ N� = N $ �M (1.32) 
 
Donde, 7= Error entre la medición real y los valores verdaderos de la medida N= Medición real N�= Valor verdadero de la medida que se obtiene en la solución del método �M= Cantidades medidas desconocidas pero calculadas en el proceso del 
método. 
En la Ecuación 1.32 se plantea la fórmula del error, pero a partir de obtención del 
valor verdadero de la medida, misma que no se la conoce pero se la puede 
estimar, y por ende el error de igual forma viene a ser un estimado, se obtiene 
entonces la Ecuación 1.33. 
 7� = N $ N� = N $ �M� (1.33) 
 
Siendo, 7�= Error estimado entre las mediciones reales y el valor estimado N= Medición real N�B �M�= Valor estimado de la medida 
 
Posteriormente se realiza la suma de los mínimos