Fundamentos de Lógica

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 1
Lógica
1.1. Fundamentos de lógica
En el desarrollo de cualquier teoŕıa matemática se hacen afirmaciones en forma de frases, tales afirmaciones verbales
o escritas se denominan enunciados o proposiciones, son frases declarativas verdaderas o falsas, pero no ambas (no
se consideran proposiciones que requieran una opinión individual y que por lo tanto, no pueden ser verdaderas o
falsas).
Una afirmación como
1 + 1 = 7
es un ejemplo de una proposición, ya que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Se usan letras minúsculas,
por ejemplo p, q o r, para denotar proposiciones. Se emplea también la notación
p : 1 + 1 = 7
para definir que p es la proposición 1 + 1 = 7.
Ejemplo 1.1. Consideremos los siguientes enunciados
p : Hay un premio Nobel de ciencias de la computación.
q : La Tierra es el único planeta del universo que tiene vida.
r : Teclee Control Z para salir del modo Inserte.
En este caso p y q son proposiciones; p es falsa y q puede ser verdadera o falsa, pero nadie lo sabe hasta ahora; r
no es una proposición, porque r no es verdadera ni falsa, en este caso r es un mandato.
✷
Las proposiciones anteriores pueden considerarse como primitivas, ya que no se pueden descomponer en partes más
simples. Las proposiciones primitivas se utilizan con conectivos lógicos para formar enunciados compuestos.
Se puede negar una proposición o combinar dos como sigue:
1. Negación: la negación de una proposición p se denota por ¬p o p, y se lee no p.
2. Conjunción: la conjunción de p, q se denota por p ∧ q, y se lee p y q.
1
3. Disyunción: la expresión p ∨ q denota la disyunción de p, q, y se lee p o q. Aqúı se utiliza o en sentido
inclusivo. En consecuencia, p ∨ q es verdadera si una o la otra, o ambas proposiciones p, q son verdaderas.
Esto suele indicarse escribiendo y/o. El o exclusivo se denota mediante p ∨ q. La proposición compuesta
p ∨ q es verdadera si una u otra, pero no ambas proposiciones p, q son verdaderas.
4. Implicación: se dice que p implica q y se escribe p → q para designar la implicación de q por p. Opcional-
mente se puede decir: si p, entonces q; p es suficiente para q; p sólo si q; q es necesario para p. La proposición
p se denomina hipótesis de la implicación, y q se le denomina conclusión. Cuando se combinan proposicines
de está manera, no es necesario que haya una relación causal entre las porposiciones. Sólo se escribe p → q
con la definición anterior para la implicación, tanto si p, q están relacionadas como si no.
5. Equivalencia: la equivalencia de dos proposiciones p, q se denota por p ↔ q, y se lee p es equivalente a
q, p si, y sólo si q o p es necesario y suficiente para q.
Observación. Enunciados como
El número x es un entero
no es una proposición ya que su valor de verdad (verdadero o falso) no puede determinarse si no se asigna un valor
numérico a x, por ejemplo si x es el número 2 la proposición seŕıa verdadera, pero si x es igual
√
2 la propoposición
es falsa.
La veracidad o falsedad de una proposición compuesta como una función de los valores verdaderos de sus com-
ponentes primitivos, las tablas de verdad, que se muestran a continuación presentan la veracidad y falsedad de la
negación y de otras proposiciones compuestas basadas en los valores verdaderos de sus componentes primitivos, en
este caso se asocia 0 para falso y 1 para verdadero.
p ¬p
0 1
1 0
p q p ∧ q p ∨ q p∨q p → q p ↔ q
0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1
Observaciones.
1. Las columnas de los valores verdaderos para una proposición y su negación son opuestas entre si.
2. La proposición p ∧ q es verdadera sólo cuando ambas proposiciones son verdaderas.
3. La proposición p ∨ q es falsa sólo si los componentes primitivos son falsos.
4. La proposición p∨q es verdadera cuando exactamente una de ellas es verdadera.
5. Para la implicación es resultado es verdadero en todos los casos, excepto donde p es verdadera y q falsa.
6. La equivalencia es verdadera precisamente cuando los componentes primitivos tienen el mismo valor ver-
dadero.
7. Los resultados de las tablas anteriores también son aplicables cuando se sustituyen los śımbolos p, q por
proposiciones compuestas.
Ejemplo 1.2. Sean p, q, r proposiciones, construya la tabla de verdad para las proposiciones ¬r,¬r → p, q∧ (¬r →
p).
Solución.
p q r ¬r ¬r → p q ∧ (¬r → p)
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 1
✷
Ejemplo 1.3. Sean p, q proposiciones, construya la tabla de verdad para las proposiciones ¬p ∨ q y p → q.
Solución.
p q ¬p ¬p ∨ q p → q
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 1 1
✷
En el ejemplo anterior observamos que las dos últimas columnas son iguales, esto permite considerar la siguiente
definición.
Definición 1.1. Dos proposiciones s1 y s2 son lógicamente equivalentes, y se escribe s1 ⇐⇒ s2, cuando las tablas
de verdad para s1, s2 son exactamente las mismas.
Como resultado de del ejemplo anterior, se concluye que para la implicación no se necesita el conectivo, este
puede sustituirse mediante la negación y la disyunción. Las siguientes tablas muestran la equivalencia lógica de
(p ↔ q) ⇐⇒ (p → q) ∧ (q → p).
p q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
Además tenemos la siguiente equivalencia lógica (p ↔ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)
Ejemplo 1.4. Construir la tabla de verdad de: p∨q, p ∨ q,¬(p ∧ q), (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q). En este caso obtenemos:
p q p∨q p ∨ q ¬(p ∧ q) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
0 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
Con base en la tabla anterior, concluimos que p∨q ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q). ✷
Ejemplo 1.5. Construir la tabla de verdad de las proposiciones p → (p∨q) y p∧(¬p∧q). En este caso obtenemos:
p q p ∨ q p → (p ∨ q) ¬p ∧ q p ∧ (¬p ∧ q)
0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0
1 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
En la tabla anterior podemos observar que la proposición p → (p ∨ q) siempre es verdadera, mientras que la
proposición p ∧ (¬p ∧ q) siempre es falsa.
✷
Definición 1.2. Una proposición que siempre es verdadera se denomina tautoloǵıa; una que siempre es falsa se
denomina contradicción.
Nota. La negación de una tautoloǵıa es una contradicción, y la negación de una contradicción es una tautoloǵıa.
Ejemplo 1.6. La tabla de verdad que se obtienen para la proposición p∨¬p es una tautoloǵıa, y para la proposición
p ∧ ¬p es una contradicción. Esto se muestra en la siguiente tabla:
p ¬p p ∨ ¬p p ∧ ¬p
1 0 1 0
0 1 1 0
✷
Se utilizan los śımbolos T0 para denotar cualquier tautoloǵıa y F0 para designar cualquier contradicción.
Con los conceptos de equivalencia lógica, tautoloǵıa y contradicción, se formula la siguiente lista de leyes para el
álgebra de proposiciones.
Leyes de la lógica. Para cualesquiera proposiciones p, q, r,
1. ¬(¬p) ⇐⇒ p Ley de la doble negación
2.
¬(p ∨ q) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬q
¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q Leyes de DeMorgan
3.
p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p
p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p
Leyes conmutativas
4.
p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r
p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r
Leyes asociativas
5.
p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Leyes distributivas
6.
p ∨ p ⇐⇒ p
p ∧ p ⇐⇒ p
Leyes idempotentes
7.
p ∨ F0 ⇐⇒ p
p ∧ T0 ⇐⇒ p
Leyes de identidad
8.
p ∨ ¬p ⇐⇒ T0
p ∧ ¬p ⇐⇒ F0
Leyes inversas
9.
p ∨ T0 ⇐⇒ T0
p ∧ F0 ⇐⇒ F0
Leyes de dominación
10.
p ∨ (p ∧ q) ⇐⇒ p
p ∧ (p ∨ q) ⇐⇒ p
Leyes de absorción
Definición 1.3. Si s es una proposición (que incluye sólo ¬,∧ y vee), el dual de s, denotado por sd, es la proposición
obtenida al sustituir cada caso de ∧(∨) de s pos ∨(∧), y cada caso de T0(F0) por F0(T0).
Ejemplo 1.7. Las proposiciones p ∨ ¬p ⇐⇒ T0 y p ∧ ¬p ⇐⇒ F0 son duales entre śı, lo mismo ocurre con las
proposiciones p ∨ T0 y p ∧ F0.
Teorema 1.1 (El principio de dualidad). Sean s y t proposiciones según lo descrito en la definición anterior. Si
s ⇐⇒ t, entonces sd ⇐⇒ td.
Para mostrar la utilidad de las leyes de la lógica, aplicaremos lasmismas para simplificar las redes de conmutación.
Una red de conmuntación está formada por cables e interruptores que conectan dos terminales T1 y T2. En dicha
red, un interruptor está abierto (0) y no fluye la corriente por él, o cerrado (1) de manera que fluye por él la
corriente.
La siguiente imagen muestra una red con un interruptor.
La siguiente imagen muestra una red, donde la corriente fluye de T1 a T2 si cualquiera de los interruptores p, q
está cerrado, esta red se denomina paralela y se representa por p ∨ q.
En la imagen se muestra una red, donde la corriente fluye de T1 a T2, pero necesita que los dos interruptores p, q
estén cerrados, esta red se denomina en serie y se representa por p ∧ q.
Ejemplo 1.8. Los interruptores de una red no tienen por qué actuar independientemente unos de otros. Considére-
se la red que se muestra en la imagen siguiente. Los interruptores marcados por t y ¬t no son independientes. Los
interruptores se acoplan de manera que t está abierto (cerrado) sy, y sólo si ¬t está cerrado (abierto) simultánea-
mente. Lo mismo sucede con los interruptores de q,¬q (además, por ejemplo los tres interruptores denominados p
no son independientes).
Solución. En la red de la imagen anterior, podemos observar redes en paralelo y en serie, en este caso la red
queda representa por: (p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ t ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬t ∨ r)
Apliquemos la leyes de la lógica para simplificar la proposición anterior, a continuación se describe un forma de
realizar la simplificación de la red:
(p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ t ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬t ∨ r) Razón
⇐⇒ p ∨ [(q ∨ r) ∧ (t ∨ ¬q) ∧ (¬t ∨ r)] Ley distributiva de ∨ sobre ∧
⇐⇒ p ∨ [([(q ∨ r) ∧ t] ∨ [(q ∨ r) ∧ ¬q]) ∧ (¬t ∨ r)] Ley distributiva de ∧ sobre ∨
⇐⇒ p ∨ [([(q ∨ r) ∧ t] ∨ [(q ∧ ¬q) ∨ (r ∧ ¬q)]) ∧ (¬t ∨ r)] Ley distributiva de ∧ sobre ∨
⇐⇒ p ∨ [([(q ∨ r) ∧ t] ∨ (r ∧ ¬q)]) ∧ (¬t ∨ r)] q ∧ ¬q ⇐⇒ F0, la identidad para ∨
⇐⇒ p ∨ [([(q ∨ r) ∧ t] ∧ (¬t ∨ r)) ∨ ((r ∧ ¬q) ∧ (¬t ∨ r))] Ley distributiva de ∧ sobre ∨
⇐⇒ p ∨ [[(q ∨ r) ∧ (t ∧ (¬t ∨ r))] ∨ [(r ∧ ¬q ∧ ¬t) ∨ (r ∧ ¬q ∧ r)]]
Asociatividad de ∧ y ley distributiva
de ∧ sobre ∨
⇐⇒ p ∨ [[(q ∨ r) ∧ (t ∧ r)] ∨ [(r ∧ ¬q ∧ ¬t) ∨ (r ∧ ¬q)]] Ley distributiva de ∧ sobre ∨
Leyes inversas y leyes de identidad
⇐⇒ p ∨ [[(q ∨ r) ∧ (t ∧ r)] ∨ [(r ∧ ¬q)] Ley de absorción
⇐⇒ p ∨ [(q ∧ t ∧ r) ∨ (r ∧ t ∧ r) ∨ (r ∧ ¬q)] Ley distributiva de ∧ sobre ∨
⇐⇒ p ∨ [(q ∧ t ∧ r) ∨ (r ∧ t) ∨ (r ∧ ¬q)] Ley idempotente
⇐⇒ p ∨ [(r ∧ t) ∨ (r ∧ ¬q)] Ley de absorción
⇐⇒ p ∨ [r ∧ (t ∨ ¬q)] Ley distributiva de ∧ sobre ∨
Las redes de las imagénes son equivalentes, con una diferencia de cinco interruptores.
✷
Caṕıtulo 2
Teoŕıa de conjuntos
2.1. Operaciones con conjuntos
Introduciremos la notación y propiedades básicas de teoŕıa de conjuntos. El lenguaje y la notación de conjuntos
provee de un marco natural en las cuales se pueden formular las teoŕıas matemáticas. Los elementos del lenguaje
de la teoŕıa de conjuntos que introduciremos ilustran el uso del lenguaje formal.
Definición. El término conjunto lo consideraremos un concepto primitivo no definido (podemos pensarlo como
un agregado o familia de objetos, etcétera; sin embargo los términos agregado, familia, etcétera, son de alguna
forma sinónimos del término conjunto); al pensar en un conjunto, pensaremos en los miembros o elementos que
lo constituyen, de tal forma que desde el inicio hay una relación entre los elementos y los conjuntos, a saber, un
elemento pertenecer o no pertenecer a un conjunto dado.
Denotaremos a los conjuntos con la letras mayúsculas, como A,B,C, . . ., y minúsculas para los elementos, por
ejemplo x, y, z, . . ., aśı dado el conjuntos A, se escribe x ∈ A, si x es un elemento de A, y x 6∈ A para indicar que x
no pertenece a A.
Podemos comparar dos conjuntos considerando los elementos que contienen:
Inclusión. Dados dos conjuntos A y B, si sucede que todos los elementos de A también son elementos de B, lo
denotamos mediante
A ⊆ B
y decimos que A es subconjunto de B o que A está contenido en B. En lenguaje lógico la relación de inclusión
anterior está definida por:
A ⊆ B ⇐⇒ ∀ x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
La negación de esta relación se denota A 6⊆ B, y aśı
A 6⊆ B ⇐⇒ ∃ x (x ∈ A ∧ x 6∈ B),
i. e., A 6⊆ B si, y sólo si existe algún elemento de A que no está en B.
Igualdad. Dados dos conjuntos A y B, diremos que son iguales, denotado mediante A = B, si A ⊆ B y B ⊆ A.
8
El conjunto vaćıo. Un conjunto vaćıo es un conjunto que no tiene elementos. Se suele usar la letra danesa ∅
para denotar a un conjunto vaćıo y la propiedad lógica que lo define es:
∀ x (x 6∈ ∅)
Proposición 2.1. Si ∅ es el conjunto vaćıo y A es cualquier otro conjunto, entonces ∅ ⊆ A.
Demostración Procedamos por contradicción, supondremos que la afirmación es falsa, i. e. supongamos que
∅ 6⊆ A, entonces ∃ x ∈ ∅ tal que x 6∈ A. Pero no es posible que ∃ x ∈ ∅ ya que ∅ es vació. Por lo tanto ∅ 6⊆ A es
falsa.
.·. ∅ ⊆ A.
✷
Una proposición que es consecuencia (casi) inmediata de otra proposición se suele llamar corolario.
Corolario 2.2. Sólo existe un conjunto vaćıo.
Demostración Supongamos que ∅1 y ∅2 son dos conjuntos vaćıos. Como ∅1 es vaćıo y ∅2 es otro conjunto,
entonces por la proposición anterior obtenemos que ∅1 ⊆ ∅2. Intercambiando los papeles se tiene ∅2 ⊆ ∅2. Entonces
∅1 = ∅1. ✷
De ahora en adelante podemos hablar del conjunto vaćıo.
Operaciones con conjuntos. Por medio de las operaciones (binarias, i.e., que actúan sobre dos elementos) que
describiremos a continuación se obtienen nuevos conjuntos a partir de conjuntos dados. Sean A,B ⊆ U , se definen
las propiedades siguientes:
Unión. Si A y B son conjunto, la unión de A con B es el conjunto
A ∪B := {x : x ∈ A o x ∈ B} = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
Aqúı ∨ es la disyunción lógica y aśı para que un elemento x pertenezca a la unión A ∪B basta con que esté en A
o que esté en B.
Intersección. Si A,B son conjuntos, la intersección de A con B es el conjunto
A ∩B := {x : x ∈ A y x ∈ B} = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Aqúı ∧ es la conjunción lógica y aśı para que un elemento x pertenezca a la intersección A ∩ B es necesario que
esté en A y que esté en B.
Diferencia. Si A,B son conjuntos la diferencia de A con B es el conjunto
A−B := {x : x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Complemento. Si todos los conjuntos que se están considerando en una cierta situación son subconjuntos de
un conjunto dado U y si A ⊆ U , el complemento de A en U es la diferencia
AC := {x : x ∈ U ∧ x 6∈ A} = U −A
Diferencia simétrica. Si A,B son conjuntos la diferencia simétrica de A con B es el conjunto
A△B := {x : x ∈ A o x ∈ B, pero x 6∈ A ∩B}
Es claro que si A,B ⊆ U , entonces A ∪ B,A ∩ B,A△B,AC ∈ U . Por lo tanto ∪,∩,△ son operaciones binarias es
P(U).
Ejemplo 2.1. Considere U = {1, 2, 3, . . . , 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}, C = {7, 8, 9}, hallar:
1. A ∩B 2. A ∪B 3. C ∩B 4. A ∩ C 5. A△B 6. A△C
Definición 2.1. Sean S, T ⊆ U , si S ∩ T = ∅, decimos que S y T son disjuntos o mutuamente disjuntos.
Se tiene la siguiente definición relacionada con el concepto de complemento.
Definición 2.2. Para A,B ⊆ U , el complemento (relativo) de A en B, denotado por B − A, está dado por
{x : x ∈ B ∧ x 6∈ A}.
Teorema 2.3. Las siguientes proposiciones son equivalentes para los conjuntos A,B ⊆ U :
1. A ⊆ B 2. A ∪B = B 3. A ∩B = A 4. BC ⊆ AC
2.2. Leyes de la Teoŕıa de conjuntos
1. (AC)C = A Ley del doble complemento
2.
(A ∪B)C = AC ∩BC
(A ∩B)C = AC ∪BC Leyes de DeMorgan
3.
A ∪B = B ∪A
A ∩B = B ∩A
Leyes conmutativas
4.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = i(A ∩B) ∩ C
Leyes asociativas
5.
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
Leyes distributivas
6.
A ∪A = A
A ∩A = A
Leyes idempotentes
7.
A ∪ ∅ = A
A ∩ U = A
Leyes de identidad
8.
A ∪AC = U
A ∩AC = ∅ Leyes inversas
9.
A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅ Leyes de dominación
10.
A ∪ (A ∩B) = A
A ∩ (A ∪B) = A
Leyes de absorción
Nos percatamos que debe tener alguna importancia que las leyes de la2 a la 10 se presenten por pares. Como en las
leyes de la lógica, estos pares de proposiciones se llaman duales. Una proposición se puede obtener a partir de otra
intercambiando en todos los casos en que se presente ∪ por ∩, y viceversa, y donde aparezca U por ∅, y viceversa.
Lo anterior permite obtener el siguiente resultado.
Teorema 2.4 (El principio de dualidad). Si s es un teorema que trata de conjuntos e incluye sólo a −,∪,∩ e =,
entonces el dual de s también es un teorema de la teoŕıa de conjuntos.
La utilización de este principio reduce el trabajo de forma considerable. Para cada par de las leyes 2 a 10 sólo se
necesita demostrar una de las proposiciones y reccurir a esté principio para obtener la otra proposición.
Cuando una igualdad de conjuntos o proposiciones de subconjuntos comprende a los sumo cuatro conjuntos, se
puede analizar el problema gráficamente. Esto no es una demostración rigurosa, pero si útil. Un diagrama de Venn,
llamado aśı en honor al lógico inglés John Venn (1834 − 1883), se construye como sigue: U se representa por
el interior de un rectángulo, mientras que su subconjuntos se representan por ćırculos interiores y otras curvas
cerradas. En la figura siguiente se ilustran dos diagramas de Veen, el primero corresponde a el conjunto y su
complemento, la otra muestra a la unión e intersección de conjuntos.
En la siguiente figura se ilustra una de las leyes de DeMorgan, en particular se muestra que (A∩B)C = AC ∪BC .
En la siguiente figura se muestra el uso de los diagramas para el caso de A,B,C ⊆ U , para el caso (A∪B)C ∪B =
(AC ∩BC)∪C, pero en vez de utilizar la técnica de regiones sombreadas, se utiliza el enumerar las regiones. Como
tenemos 3 conjuntos los cuales se asocian con el y su complemento con relación a U , aplicando la regla del producto,
obtenemos 8 regiones posibles.
Por ejemplo en la figura las regiones 2, 3, 5, 6, 7, 8 forman la unión de A y B, por lo tanto podemos concluir que
las regiones 1 y 4 corresponde al complemento de esta unión. Aplicando esta técnica concluimos que (A∪B)C ∪B
corresponde a las regiones 1, 4, 6, 7, 8, lo cual coincide con las regiones asociadas a (AC∩BC)∪C, de ah́ı la igualdad.
Otra técnica para probar igualdades entre conjuntos es la tabla de pertenencia, este método está relacionado con
las tablas de verdad. Esto es debido a que para los conjuntos A,B ⊆ U , un elemento x ∈ U cumple exactamente
una de las cuatro situaciones siguientes:
a)x 6∈ A, x 6∈ B b)x ∈ A, x 6∈ B c)x 6∈ A, x ∈ B d)x ∈ A, x ∈ B
Se utiliza 1 cuando x pertenece al conjunto dado y 0 en caso contrario, esto se realiza en la columna que representa
a ese conjunto. Las tablas siguientes corresponden a las tablas de pertenencia.
A Ac
0 1
1 0
A B A ∩B A ∪B
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
Se puede establecer la igualdad entre conjuntos utilizando las tablas de pertenecia. En la siguiente tabla se muestra
esto, para la ley distributiva de la unión sobre la intersección.
A B C B ∩ C A ∪ (B ∩ C) A ∪B A ∪ C (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Con base a la tabla anterior concluimos que:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
.