ORIGENES_DE_LA_TOPOLOGIA

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ORIGENES DE LA TOPOLOGIA 
I 
UNIVERSIDAD AUTONOMA 
DE GUERRERO 
Maeatria en Matemotlca Educatlva 
por Enrique Antonlano 
0 
XX ANIVERSARIO 
CENTRO DE INVESTIGACIO~ V 
ESTUDI_OS AVANZADOS OEL_I.P.N. 
R9a Matemcitka Educatlva 
ORIGENES DE LA TOPOLOGIA 
por Enrique 
Crea que al hablar de los orfgenes de cualquier " cosa" uno puede, silo desea, 
encontrar rafces tan antiguas como su conocimiento del pasado lo permita, 
aunque a veces las relaciones entre el orfgen y lo originado resulten bastante 
rebuscadas. Como yo considero que la topologfa es una cie~cia nueva, no inten-
tarl! llevar mi analisis m~s alla del Siglo XIX. 
Antes de empezar a hablar de los orfgenes, creo conveniente explicar lo que 
entiendo por topologfa. 
La palabra"topolog(a" se deriva de las palabras griegas: topos que significa 
"lugar'', "posici6n" o "espacio" y logos que significa "tratado" o "estudio". De 
acuerdo con esto, la topolog fa es la ciencia del espacio; analiza el concepto de 
espacio e investiga las propiedades de los espacios en lo particular yen lo general. 
Ahora quiero resaltar la siguiente definici6n de espacio topol6gico. 
DEELNICION. Un espacio topol6gico consiste de un conjunto X y de una 
familia A de subconjuntos de /JI, 1/amados los abiertos, que satisface las dos pro-
piedades siguientes: 
1) SiUqEA'v'qEJ--UqEI UqEA 
2) Si U
1
,U
2 
EA•U
1 
n U
2 
EA 
Esta definici6n de espacio, relativamente tan simple, es tan amplia que abarca 
todo aquello que anteriormente se hubiera llamado espacio, coma el espacio 
Euclidiano de tres dimensiones o de cualquier otra dimensi6n, o como el espacio 
de Hilbert de dimensi6n infinita, o los espacios de la geometrfa Riemanniana ode 
Lobachevski, o los espacios fase de la ffsica, o espacios de matrices o de funciones 
o que se yo cuantos ejemplos mas. 
Por otro lado, quiero hacer notar dos hechos importantes acerca de la defini -
ci6n. El primero, es que esta redactada eri el lenguaje de los conjuntos y el se-
es el que un conjunto cualquiera pueda convertirse en un espacio, simple-
mente por distinguir la familia de las subconjuntos abiertos. 
El simple hecho de mencionar los conjuntos, evoca la memoria de George 
Cantor ( 1845-191 Bl quien desarrolla la teorfa de los conjuntos e inicia el 
~llo de la topologfa en una serie de trabajos desd~ 3 hasta 1884. Pero, 
lqul! motiva este desarrollo? W 
En 1826, Niel H. Abel presenta un contraejemplo al Teorema de Agustin 
Louis Cauchy : "cuando una sucesi6n de funciones continuas converge, la funci6n 
lfmite resulta continua". El contraejemplo que presenta Abel, es la serie: 
(!{xl = sen x - 1/2 sen 2~ ~-
----------·----------
2 
i JI 
. discontinua en x = (2n+ 1 hr. En 1848, Philip Ludw1 Seide trae a escena el con-
cepto de convergencia uniforme para ac arar este as n td'.'-A todo esto hay que 
anadir que segun la interpretaci6n de Cauchy de "convergencia" su resultado era 
correcto, asunto que se aclara aun mcis hoy dfa en terminos d!ll reciente "a~lisis 
no estandar". 
El tratamiento de las series de Fourier, tan de moda en la epoca, cojeaba por 
la falta- deloo;~pto de uniformiaacl Ya sea en la continuidad o en la conver-
1 _gencia. n -~?.9_!__ Heinri~~ Hei~ . observa que en la demostraci6n de la 
\ U.JJ}~~gd _ __:~ ~r~ -~rigonometrica de la-~ _. _ 
. f(x) = ! 80 + (81COS X + b,sen x) + (a2COS 2x + b2sen ______________________ _/ 
que representa a f(x), se requiere integrar la serie termino a termino, para lo cual, 
de acuerdo con los resultados de Weierstrass es suficiente-el ingrediente de la con-
vergencia uniforme. Esto sugiere la existencia de una serie trigonometrica conver-
gente, aunque no uniformemente convergente, cuyos coeficientes no esten dados 
porTalormula int~ral en temiinosclelafuncion que representa. - ... 
Una serie de Fourier QUe- reprase01a_uniLfunci.6n....dfS:COotinua no converge 
uniformemente en las vecindades de estas discontinuidades y a priori, la con-
~ 1era ser no unlformeaun en las vecindades de las continuidades. Asr 
que el problema de la unicidad de la serie que representa una func i6nsigu~ 
de estar resuelto. 
En ese mismo trabajo Heine demuestra que una serie de Fourier que converge 
unlformemente a cero en los conjuntos que resultan al quitar v~indades de -sus· 
discontinuidades es necesariamente la serie nula. 
--~-- --
Cantor se interesa en el problema de l au iiicidad de las series de Fourier al 
estudiar .Los trabajos de m e. En 1870, buscando un criterio para series trigono-
metricas mcis generales obtiene los siguientes resultados: 
a) Si la sucesi6n de -terminos a
0
sen nx + b
0
cos nx tiende a cero cuando 
n crece para todo valor de x, entonces los coeficientes a
0 
y b
0 
tambien 
tienden a cero cuando n crece. 
b) Si f(x) se representa por una serie convergente para todo valor de x, 
entonces la serie es unica con esas propiedades. 
Un ano mas tarde, ir6nicamente como resultado de conversaciones con 
Kronecker con quien d~relac1ones, da una nueva 
prueba simplificada de este ultimo resultado enuncicindolo como sigue: 
. La unica serie tri~~v~~! _cero _para todo v~lor de x es la 
sene nula. Aaemas. a-I resultado s19ue s1endo valldo s1 no se requiere la conver--
gencia en un conjillftofinffo.Despues de esto, Cantor se propone cai-acterizar 
aquellos conjuntos en los que puede no requerirse la ·convergencia y aun tener el 
------
. Introduce el concepto de derivado de un conjunto; "si P es un conjunto de 
~ ...51.UierJvado_e.'.-es..el~~e ! ~~m~lac_ion ae-P""yclasif~ - _ 
3 
los conjuntos en_d.Q! cla~ _siellQ_o la primeraJa_de aquello.s cuyo n:_~ imo derivado 
es finito. Estos, los subdivide a su vez en especies, segun el orden de la primera 
derivada fin ita. Finalmente demuestra que "la uoicaser.ie..trigooom6ttica_g_ue_.9on-
verge_a_cero-en. el--eomplemento de un conj ':l_f:!.!O de _l_a prim~~a clase es la serie 
nula".. .. 
Este afan de distinguir unos conjuntos de otros es el principio de su marcha 
hacia--;i establecim1enfo de la Teorla de Corijuntos. Hay que agregar aqul, queen 
el curse de sus investigaciones, Cantor introduce una parte significativa de la 
nomenclature de la topologla general ; basta mencionar t~rmlnos como "perfecto" 
"dense", "separable", " continue", "cerrado" , "abierto", con los que· bautiz6 a 
ciertostiR_OS di~onjuntos, ·- - . ·- - - ·- - -·---· . 
- - De hecho, a mi modo de ver, Cantor plantea ya la necesidad de la topologla en 
su carta a Dedekind, despu~ de haberle exhibido una correspondencia biunlvoca 
entre los puntos de la recta y el. piano : ------- -----
"Halle, 4 de julio de 1877. 
. . . Al final de mi carte del 25 de junio, contra mi voluntad, he dado la 
impresi6n de querer, con mi demostraci6n, oponerme al concepto r'nismo de mul-
tiplicidad continua p veces extendida, cuando que mis esfuerzos no tienen otro 
fin que el de la clarificaci6n y correcta fundamentaci6n de este concepto. Cuando 
\ 
dije: "Me par~ pues, que todas las deducciones . . . ", no refer la esa hip6tesis al 
caracter determinado del numero de dimensiones, sino al caracter determinado del 
/ numero de coordenadas independientes, cuyo numero, ~lgunos autores han 
supuesto igual, en toda circunstancia al numero ,de dimensiones . . . Soy de su 
opini6n en que si se fmpone a la correspondencia el ser continua, ya s61o se 
pueden poner en relaci6n unlvoca variedades de un mismo numero de dimen-
siones, . . . (opini6n que es aclarada hasta 1911 por Felix Brouwer). 
Sin embargo, aun no soy capaz de reconocer las dificultades que surgirlan por 
este camino .(el que conduce al concepto de numero de dimensiones), pues no se 
si se puede delimiter el concepto de correspondencil continua en general .. . " . 
- La topologla trata el concepto de vecindad, la propiiiclacnfeesfa"r pr6ximo, la 
continuidad de funciones y otros conceptos similares. De e!lt~~~ ~ escogefos · 
mas simples y los menos posibles como conceptos primitives e impone comci 
axlomas-las propiedades basicas de estos conceptos:-Como clifefcf Lb t>achevslc1; 
" 'Adyacencia es la propiedad que- tien-en7 os·cuerpcis cfue noif perm1te llariiar1os· 
. geomftricos cuando.J~ traemosdecua!gyier otra Rropjedad que puedan tener", 
_____,.- -----· -- ·- .... ----···---· ·-
·oe n palabras de Solomon Lefschetz, "Topologla es el estudio de las propiedades 
cohesivas de los espacios abstractos". -- - ,, · 
- --Casinvestigaciones de ~oli, v ,. _v__?lterra y C. Arzela sobre analisis fun-
cioriar durante los aiios 1883 a 1887, enfatizan Ta necesidad de unificar los con-
ceptos de convergencia, continuidad y demas conceptos asociados a la topologla. 
5..n__!_.9Q~..E!.1l!, Borel pro_pone un estudio de conjuntos cuyo~ ell!'!'entos son 
Uneas o pianos, e interpreta los conceptos de conjunto derlvado, cerrado, acotado 
y perfecto en ese caso, de manera completamente analoga a lo que hiciera Cantor 
con conjuntos de puntos. 
En 1906, Maurice Frechet presenta la primera generalizaci6n importante en 
suc fiser'taci6n doctoral. Consigue dar una definici6n abstracta de llmite, que 
4 
abarca las definiciones previas para espacios de puntos o llneas o pianos o espacios 
de funciones. Si A es un conjunto, esposible definir la noci6n " I/mite de un con-
ju~ aelementos di! _A" indicando cuando una sucesi6ri a1;·a2 , .. . ,an,•·· tiene o 
' no un I !mite a e A, sujeta esta indicaci6n a las siguientes restricciones : 
\ 1. Si aI = a, I= 1,_2, ... entoncesjad tiene llmitea . 
2. Si jaI1 tlene I/mite a, entonces todas las subsucesiones infinitas tomadas 
en el mismo orden' tienen llmite a. 
'--- . 
Entonces Frechet recaptura a trav~ del I I mite conceptos como cerrado, per-
fecto, compacto, etc., sin embargo, para probar que el n-derivado de un conjunto 
contiene al (n + 1 )-derivado (n > 1) se ve forzado a emplear el concepto de vecin-
dad. Por otro lado, su noci6n de llmite, restringida por la numerabilidad de las 
sucesiones no le permite alcanzar un sistema de axiomas para la topologla general. 
. En_ 1908, Frigy_es Riez, presenta en el congreso Internacional de materraticas 
su trabajo "Continuidad y Teorla de Conjuntos abstractos", en el que desarrolla 
un Sistema de ax.iomas para el concepto "punto de condensaci6n". 
. - - -- ---- -
1. Cada elemento que es un punto de condensaci6n de un conjunto M, lo · 
es,tambi~n de cualquier otro conjunto que contiene a M. 
2. Si un subconjunto se divide en dos partes, cada punto de condensaci6n 
de ~I lo es de al menos una de las partes. 
3 Un conjunto con un s6Io p4nto no ,tiene puntos de condensaci6n. 
l
, 4: Todo punto de condensaci6n queda determinado por los subconjuntos 
de los cuales es punto de condensaci6n. 
Mas tarde, en 1913, Herman Weyl publica su libro sobre superficies de 
Riemann, en el que resalta fundamentalmente el concepto de vecindad. 
" . .. Todos los conceptos de continuidad pueden referirse al de vecindad, de esta 
forma, una explicaci6n de lo que es una v~riedad dos-dimensional requiere: 
1. Una especificaci6n de aquellas cosas particulares que pueden conside-
rarse como puntos de la variedad y 
2. Una explicaci6n del concepto de vecindad. 
Mas adelante continua: A cada punto de la variedad corresponden ciertos con-
juntos de puntos definidos como sus vecindades. Cada vecindad U de un punto x 
debe contener al punto mismo y a una Imagen (mica y reversible de los puntos 
interiores del clrculo unitario Euclidiano D (que env(e el centro del clrrulo a xi 
aderras de satisfacer las siguientes hlp6tesis: 
Si z E V c U y V es vecindad de z. la 1magen: U bajo la transfor-
maci6n reversalfacia el c(rculo Euclidiano debe contener la Imagen de 
Z en SU inti3rior y , ' , 
i . Si K CD es un clrculo con centro en z. entonces existe una vecindad W 
de z cuya imclgen ca~'dentro.de K. 
5 
' , 
Demasiado cbmplicadas las hip6tesis dirla yo. 
En 1914, Felix Hausdorff publica su libro sobre Teorfa de Conjuntos. Ahl 
dice " .. . SobrENa base'del concepto de distancia recae, por ejemplo,,_!ll _co!}cepto 
de sucesi6n conver,pente y sus llmites y escogiendo estas id.@115 como fUAdame,,_,. 
tales uno puede eliillinar la noci6n de distancia .. . ", "podemos asociarle a cada 
punto def conjunto cie~ partes del espacio Jlamadas vecindades pudiendo ser 
6stas los tabiques para ~ nstruir la teorfa .. . " · 
Hausdorff ··aefini6 Espacio Topol6gico en los siguientes :.t6rminos: "Es un 
oonjunto X compuesto de elementos x, junto con ci~flos subconjuntos Ux aso-
ciados ci:>n x. Los subconjuntos Ux son llamados vecindades de x_ y ~Q suj~os 
a las siguientes condiciones: 
1. A cada x corresponde al menos una vecindad Ux· Cada vecindad Ux 
contiene al punto x. · 
2. La intersecci•6n de dos·veciridades de x contiene a una vecindad de x. 
3. Si yes un punto de Ux existe UY C Ux. 
4. Six ¢ y existen Ux y UY tales que Ux n UY = 0. . 
Hausdorff vi6 como dar a la definici6n de Espacio; la presici6n y generalidad 
necesarias para establecer la Topologla,de Conjuntos como una disciplina indepen-
diente. Desde entonces su desarrollo ·ha sido enorme y con muy diversas ramifica-
ciones. Hoy dla, ademAs de la Topologia de Conjuntos, hablamds de Topolog/a 
Diferencial, Topologla Combinatoria y Topologla Algebraica. Hd"esarrollo de esta 
ciencia ha motivado el· nacimiento' de o~ras como la Teoda de Categorlas y el 
Algebra Homol6gica,_ y. aun quedan mochas preguntas sin respuesta y muchas 
posibilidades para nuevas investigaciones. 
Mexico, D.F., 21 de julio de 1981. 
i 
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