PronsticodeSequaHidrolgicaenlaCuencaHidrogrficaZaza

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PRONÓSTICO DE SEQUÍA HIDROLÓGICA A PARTIR DE LA SEQUÍA 
METEOROLÓGICA EN LA CUENCA HIDROGRÁFICA DEL RÍO ZAZA CON 
CIERRE EN LA ESTACIÓN HIDROMÉTRICA PASO VENTURA.1 
 
M.Sc. Osmany Ceballo Melendres2, M.Sc. Carlos Sebrango Rodríguez3, M.Sc. Ariel 
Enrique Ramos Hernández, Dr.C. Ignacio González Ramírez4 
 
Las sequías son fenómenos esencialmente meteorológicos que se transmiten a 
través de las componentes del ciclo hidrológico con posterioridad. Esta relación de 
causalidad puede ser modelada en primera aproximación en forma lineal mediante 
un modelo de función de transferencia. Las características de estos modelos pueden 
aprovecharse para establecer relaciones cualitativas entre los déficit de 
escurrimientos. La aplicación al caso de la Cuenca Hidrográfica del Río Zaza con 
cierre en la Estación Hidrométrica Paso Ventura evidencia estas relaciones, 
demostrándose que en muy corto tiempo después que comienza la sequía 
meteorológica se estable la sequía hidrológica. 
 
Palabras Claves: sequía, cuenca hidrográfica, ciclo hidrológico, series de tiempo 
 
1. INTRODUCCIÓN. 
 
Ocupando una superficie de 6732 km2, Sancti Spíritus fue una de las provincias 
surgidas en la región central del país con la división político-administrativa de 1976, 
limitando al Norte con el Océano Atlántico, al Sur con el mar Caribe, al Este con la 
provincia de Ciego de Ávila y al Oeste con las de Villa Clara y Cienfuegos. 
 
El territorio alberga una gran diversidad de secuencias rocosas de distinto origen, lo 
que unido a la variabilidad del relieve y del clima, constituyen los principales factores 
que determinaron la formación de un verdadero mosaico de suelos y vegetación. 
 
El clima predominante es tropical estacionalmente húmedo, con influencia marítima 
y rasgos de semicontinentalidad. La precipitación media anual es de 1410-1430 mm, 
distribuida en dos períodos: el lluvioso (de mayo a octubre, concentrando el 84% del 
volumen anual) y el poco lluvioso (de noviembre a abril, con 210-230 mm), siendo 
diciembre el mes menos lluvioso (media de 15-25 mm) y junio el más lluvioso, con 
250-260 mm. La distribución espacial de las precipitaciones es también irregular, con 
un incremento del volumen anual desde las costas (con medias de 1000-1200 mm), 
hacia el interior, de este a oeste y con la altitud (llegando a 1600-1700 mm en 
Guamuhaya). 
 
 
 
1 III Coloquio Evaluación de Peligro, Vulnerabilidad y Riesgos para la Reducción de los Desastres de 
la VIII Convención Internacional sobre Medio Ambiente y Desarrollo, realizada en La Habana, Cuba, 
del 4 al 8 de julio de 2011 
2 Unidad de Medio Ambiente. Sancti Spíritus, Cuba. ocm@umass.yayabo.inf.cu 
3 Universidad de Sancti Spíritus, Cuba. sebrango@suss.co.cu 
4 Universidad de Sancti Spíritus, Cuba. ignacio@bibliocuss.suss.co.cu 
 
mailto:ocm@umass.yayabo.inf.cu
mailto:sebrango@suss.co.cu
mailto:ignacio@bibliocuss.suss.co.cu
La superficie forestal actual solo representa el 16.2% de la superficie geográfica de 
la provincia, resultado de una prolongada deforestación que se ha logrado revertir 
mediante un sistemático trabajo de reforestación encaminado a la disminución de 
áreas deforestadas. 
 
Esas características climáticas condicionan el régimen hídrico de los ríos (estiajes y 
crecidas coincidentes con las épocas menos lluviosa y lluviosa, respectivamente), 
donde además, el substrato litológico y el relieve determinan la formación de una 
densa red de drenaje superficial, con 17 cuencas hidrográficas principales (entre 
ellas una de interés nacional y cuatro de interés provincial). Todo esto explica que la 
provincia cuente con un potencial hídrico total de 2 860.4 millones de m3 de agua 
dulce (superficial y subterránea), de los cuales los 2541.5 millones corresponden a 
las aguas superficiales (una de las reservas más ricas del país). 
 
La cuenca hidrográfica del río Zaza, Figura 1, se extiende entre las coordenadas 
368 000 a 840 000 de longitud oeste y entre 200 000 y 800 000 de latitud norte. 
Presenta una gran diversidad de paisajes físico-geográfico; como la llanura 
pantanosa palustre marina, en la desembocadura del río, otros tipos de llanuras de 
variada génesis y morfología, oscilando desde llanuras bajas a altas, con presencia 
de diferentes tipos de colinas, altiplanicies y montañas de más de 700,00 msnmm 
en la que se incluye las montañas de Sancti Spíritus (Consejo de Cuenca Provincial, 
1997). 
 
Figura 1. Cuenca Hidrográfica del Río Zaza. 
 
En Cuba se considera la cuenca hidrográfica como unidad básica funcional y ámbito 
de aplicación de los programas y planes de manejo integral de los recursos 
naturales, en su vínculo con el desarrollo económico y social. Con la creación en 
1997 del Consejo Nacional de Cuencas Hidrográficas por acuerdo del Consejo de 
Ministros, se inició un nuevo estilo en el trabajo ambiental del país, considerándose 
la cuenca como la unidad básica para evaluar el trabajo de gestión ambiental 
integral. 
 
La cuenca hidrográfica del río Zaza es la segunda más extensa del país, 
2413.0 Km2, lo cual representa el 2.2 % del territorio nacional, su río principal el cual 
le da nombre es de 155 Km, el potencial hidráulico es de 949.70 hm3, las aguas 
superficiales alcanzan el 97 % y las subterráneas el 3.5 %, en total existen 66 
fuentes contaminantes de residuales líquidos (CITMA, 2010). 
 
En ella reside el 2.4 % de la población cubana, y se desarrolla una variada actividad 
agropecuaria e industrial, así como un importante desarrollo hidráulico. Está ubicada 
en las provincias de Sancti Spíritus y Villa Clara, en la zona central de la Isla de 
Cuba y constituye una de las 8 cuencas hidrográficas priorizadas en el país por las 
afectaciones ambientales que presenta, su amplia actividad económica y su 
importancia social. 
 
Si las actuales tendencias de explotación de los ecosistemas en la cuenca del río 
Zaza continuaran durante mucho más tiempo, los ayer opulentos y magníficos 
recursos agrarios, despojados de su suelo fértil y victimas de la explotación 
destructiva hoy, en un futuro cercano será ya demasiado tarde para su recuperación 
eficaz. La erosión del suelo, como algunas enfermedades del hombre no puede 
remediarse cuando se ha descuidado sus primeras etapas. 
 
“El progreso o la decadencia de un pueblo se juzgan por la forma en que éste acepta 
y utiliza sus recursos naturales. Los suelos y las aguas pueden usarse de tal modo 
que constituyan bienes perdurables, capaces de rendir utilidades perpetuas. Hombre 
y naturaleza tienen que trabajar en armonía. Si se destruye el equilibrio de los 
recursos naturales se destruye también el equilibrio de la vida humana” (Person et 
al., 1949). 
 
Y en este contexto, que anteriormente hemos descrito, es en el que se desarrolla 
nuestro trabajo; teniéndose como objetivos: 
 
1) Desarrollar una metodología capaz de representar la relación de causalidad que 
existe entre la lluvia y el escurrimiento, es decir, encontrar una ecuación matemática 
(modelo ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)S) que nos permita obtener datos que reflejen el 
efecto de una sequía meteorológica sobre una hidrológica. 
 
2) Aplicar los resultados anteriormente explicados en un ejemplo real. (Aplicación 
sobre la cuenca hidrográfica del río Zaza con cierre en la Estación Hidrométrica 
Paso Ventura). 
 
2. MATERIALES Y MÉTODOS. 
 
Una serie de tiempo o serie cronológica es una colección de valores de una cierta 
variable aleatoria medidos a intervalos regulares de tiempo. El objetivo del análisis 
de tal serie es llegar a describir la variable como cierta función del tiempo que 
permita analizar con detalles el pasado y hacer pronósticos futuros (Grau, 1997). 
 
El estudio de las series de tiempo no se puede abordar sólo con las técnicas básicas 
de regresión, porque en la mayoría de los casos los valores de la serie en diferentes 
instantes de tiempo están autocorrelacionados como consecuencia de que el valor 
en cadamomento depende muy frecuentemente de los valores o de la variabilidad 
de los valores en instantes anteriores. Las situaciones más complicadas se 
producen cuando dependen además de períodos similares del tiempo anterior, con 
cierta estacionalidad (Grau, 1997). 
 
Esto estimuló que se desarrollaran teorías matemáticas y procedimientos prácticos 
generales orientados especialmente al estudio de series cronológicas. Por ejemplo, 
la metodología de Box-Jenkins (1976), es válida para el análisis de un conjunto 
bastante amplio de series y está fundamentada en una sólida teoría matemática de 
los modelos llamados ARIMA. Además se adoptaron o condicionaron otras teorías 
como la teoría de la regresión y la del análisis espectral para el estudio de series de 
tiempo (Grau, 1997). 
 
Disponibilidad de los datos. 
 
Para la realización de este trabajo fue posible contar con datos de la serie de 
caudales mensuales (1965-2001) de la estación hidrométrica Paso Ventura ubicada 
en el río Zaza (N: 256 400; E: 663 800), provincia de Sancti Spíritus y las series 
mensuales de lluvia (1965-2001) de los equipos pluviométricos ubicados en la 
cuenca hidrográfica del río Zaza. Estos datos fueron suministrados por el 
Departamento de Protección de Cuencas y Agua del INRH de Sancti Spíritus. 
 
De todos los pluviómetros con que se contaba era necesario escoger uno de ellos 
como representativo de la cuenca del río Zaza con cierre en la Estación Hidrométrica 
Paso Ventura. En Guía para la acción frente a la sequía (INRH-CENHICA), se 
plantea que en Cuba los factores fisiográficos tales como la forma de la cuenca, 
altitud media sobre el nivel del mar, topografía, suelos, etc., determinan las 
características del escurrimiento superficial y en general de su red fluvial, los cuales 
están relacionados directamente con el comportamiento de las lluvias como su única 
fuente de alimentación. Teniendo en cuenta estos factores fisiográficos generales y 
otros de carácter estadísticos se determinaron los criterios fundamentales para 
establecer de todos los equipos cual sería el pluviómetro representativo de la cuenca 
con cierre en la Estación Hidrométrica Paso Ventura: 
 
1. Encontrarse preferentemente en el centro de la cuenca con cierre en la 
Estación Hidrométrica Paso Ventura; 
2. Presentar en su ubicación espacial características físico-geográficas similares 
al resto de la cuenca; 
3. Tener certeza de la calidad de las observaciones y; 
4. Que la serie de datos registrada en el pluviómetro mantuviera una buena 
correlación (r > 0,7) con los otros pluviómetros que se encuentran dentro de la 
cuenca o cerca de la misma. 
 
Estos resultados fueron comprobados con algunas investigaciones hidrológicas, 
donde se solicitaban el pluviómetro representativo de cuencas relacionadas con la 
estudiada. 
Cuando se analizaron los criterios antes expuestos se concluyó que el pluviómetro 
422 ubicado en la localidad Hortelano (N: 252 200; E: 654 200), cumplía con los 
requisitos planteados y por lo tanto sería el escogido como representativo de la 
cuenca. Utilizando el software SPSS versión 8.0 obtuvimos el coeficiente de 
correlación de las observaciones mensuales del pluviómetro 422 con las 
observaciones mensuales de los pluviómetros que aparecen en la siguiente Tabla 1. 
 
Tabla 1. Equipos pluviométricos y sus coordenadas planas de Lambert utilizados para 
obtener el coeficiente de correlación de cada par de pluviómetro. 
 
Pluviómetros Coordenadas Pluviómetros Coordenadas 
 N E N E 
432 247300 658300 395 249600 630300 
450 252800 664200 454 242200 663500 
463 267900 677900 460 272500 673700 
502 256400 663800 731 258100 684500 
730 260600 677900 779 253500 679400 
765 266200 658400 780 246700 670800 
768 257800 649200 932 232500 650600 
375 256400 628200 934 235900 649900 
391 252900 632800 937 236400 655300 
 
Metodología utilizada. 
 
En una primera aproximación puede suponerse una relación lineal entre la excitación 
a que se ve sometida una cuenca, representada por las precipitaciones, y su 
respuesta apreciable en la serie de caudales, o mejor aún la precipitación efectiva. 
Designando a Pv, y Qv, la precipitación total y la efectiva del año v en el mes  
sobre la cuenca de interés; ellas corresponden a las series temporales que 
representan los recursos meteorológicos e hidrológicos respectivamente. Con el 
objetivo de remover la periodicidad, ambas series pueden ser estandarizadas 
periódicamente mediante las expresiones: 
 



P
Pv
v
S
mP
X


,
112 
 



Q
Qv
v
S
mO
Y


,
112 
Donde: v = 1,2,...........N;  = 1,2,.............12, siendo N el número de años de interés, 
 un índice del mes, mP el promedio y S2
P la varianza de las precipitaciones totales 
del mes  y mQ S2
Q el promedio y la varianza de las precipitaciones efectivas de 
cada mes. 
 
Como primera aproximación, la dependencia lineal entre las variables 
estandarizadas pueden representarse mediante un modelo de función de 
transferencia, FT de orden (r, S, b) donde r es el número de términos 
autorregresivos, S el de términos de excitación y b el desfase entre excitación y 
respuesta. De manera explícita este modelo corresponde a: 
t
S
j
jbtj
r
i
tt XWYY   




01
11 
1 
2 
Sequía meteorológica 
donde t es el ruido del sistema. Estos modelos pueden escribirse en la forma de 
Box-Jenkins (1976), como: 
    tt
b
str XBBWYB   
donde r(B) es un polinomio de grado r en B, WS(B) otro polinomio en B de grado S 
y B es el operador de retroceso, definido como 
ntt
n ZZB  . 
Con el objetivo de visualizar los efectos de las sequías meteorológicas, observables 
en la serie Pv,, sobre las hidrológicas, representadas por Qv, es conveniente utilizar 
la representación explícita del modelo (3) para la variable Yt: 
      rrt
b
Srt BXBBWBY    11 
La que se puede colocar como: 
  ttt NXBVY  
 
Siendo V(B) un polinomio en B de orden infinito cuyos elementos corresponden a la 
respuesta del sistema o una excitación de tipo impulso. Los valores de los 
coeficientes Vj están relacionados con los parámetros  y W mediante un sistema de 
ecuaciones lineales. Disponiendo del modelo de función de transferencia y 
conocidos los valores de la función respuesta impulso, (V0, V1, V2, ............) es 
posible estimar cuantitativamente algunos efectos de interés de las sequías 
meteorológicas sobre las hidrológicas, como las que se analizan a continuación: 
 
a) Es de interés estimar el impacto de un tipo de sequía sobre la otra a través de una 
medida del déficit de recursos de agua superficial provocado por un déficit en la 
precipitación. Para ello, se puede centrar el interés sobre el efecto en la precipitación 
efectiva de un déficit en las precipitaciones totales ocurridas a partir del mes  
durante n períodos seguidos. Así la sequía meteorológica corresponde a un escalón 
de tamaño a y longitud n en la serie de precipitaciones totales en relación con los 
valores medios. La respuesta puede observarse k meses después, también con 
relación al valor medio de las correspondientes precipitaciones efectivas. 
Las principales variables involucradas se muestran a continuación: 
 


P
v
m
P ,
 
 
 
 
 


Q
v
m
Q ,
 
 
 
3 
4 
5 
1 
a 
1 
- 
 +1 +n +k t 
1 
1 
t +n +1  
- 
1 2 3. . . . . . . . . . . n 
Sequía 
meteorológica 
Sequía hidrológica 
Los valores de respuesta y excitación están ligados directamente a través de la 
expresión (5) la cual puede expresarse explícitamente, aceptando que el valor 
esperado del ruido es nulo, como la tradicional función de convolución: 




0j
jtjt XVY 
Esta relación puede transformarse en términos de las precipitaciones efectivas y 
totales utilizando la ecuación (1): 


 







 


0 ,
,,,
j jP
jPjv
j
Q
Qv
S
mP
V
S
mQ




 
Que por comodidad puede expresarse como: 


 





















0 ,
,
,
,,
11
j jP
jv
jP
jP
j
Q
Q
Q
v
m
P
S
m
V
S
m
m
Q








 
donde se aprecia que es conveniente utilizar las precipitaciones totales y efectivas 
en términos reducidos, usando para ello los valores medios mensuales: 



Q
v
v
m
Q
q
,
,  ; 
jP
jv
jv
m
P
p


 



,
,
, 
Combinando estas relaciones en (8) se puede despejar qv, como: 
 






0
,
,
,
, 1
j
jv
jP
jP
j
Q
Q
v P
S
m
V
m
S
q 




 
En la relación (10) las series q y p son de promedio 1 y varianza periódica. Una 
sequía meteorológica puede quedar representada por uno o más valores de p 
menos de 1. En particular supóngase que p adopta los siguientes valores: 









ntsi
conntsia
tsi
P




 1
 1a 1 
 1
 
Esto indica entonces una sequía de tamaño a y duración n que ocurre a partir del 
mes  . Interesa conocer el efecto de ella sobre el caudal k meses después, con k = 
0, 1, 2 . . . . Reemplazando  por +k en la expresión (10) se tiene: 
 







 
0
,
,
,
,
,
, 11
j
jkv
jkp
jkp
j
kQ
kQ
kv P
S
m
V
m
S
q 




 
Considerando que p es igual a 1 para t   y t   + n en el término de la suma es 
distinto a cero solo para algunos valores, por lo tanto combinando (11) y (12) y 
eliminando el índice v por comodidad se tiene: 
 
 




k
nkj jkp
jkp
j
kQ
kQna
k a
S
m
V
m
S
q
1 ,
,
,
,,
, 11




 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
Donde na
kq ,
, representa la respuesta k meses después a una sequía de tamaño a y 
duración n que comenzó en el mes . En particular, si n = 1 se tiene: 
  a
S
m
V
m
S
q
p
p
k
kQ
kQa
k 


11
,
,
,
,1,
,




 
Esta expresión puede entenderse de la siguiente manera. Si en un mes cualquiera  
se tiene una reducción de precipitaciones tal que solo se dispone de una proporción 
a del valor medio de ese mes, ello tendrá efecto sobre las precipitaciones efectivas 
de manera que k meses después solo se contará con una proporción na
kq ,
, del valor 
medio de ella. 
 
Tanto en (13) como en (14) queda claro que si a = 1 entonces q = 1. Es decir que si 
se mantienen los valores medios de precipitaciones entonces se tendrán valores 
medios de caudales. 
 
b) Retardo medio 
 
También es de interés conocer el tiempo que tardarán como promedio en notarse los 
efectos de las sequías meteorológicas sobre el comportamiento de los caudales. 
Esto queda reflejado en el retardo medio del sistema, que se obtiene ponderando los 
retardos por los efectos que se transmiten: 





1j
j
G
Vj
T 
Donde G es la ganancia del sistema, es decir la respuesta a una función escalón de 
la excitación, calculable como Box-Jenkins (1976): 
 
  r
sWWWW
G
 




1
10
11
1 
Como el polinomio de respuesta a la función impulso, V(B) cumple con: 
 
 2
321 32 BVBVV
dB
BdV
 
 
 1
1
1
VVj
dB
dV
j
j 


 
Entonces 
 
 
 1
1
1
V
W
T 
 
Expresando V(B) en función de los polinomios (B) y W(B) según la ecuación (4), 
derivando y evaluando para B = 1 se obtiene: 
 
 
 
 1
1
1
1

 



W
W
bT 
Donde el apóstrofe indica la derivada del polinomio respecto al factor de retroceso B. 
 
 
14 
15 
16 
18 
17 
3. DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS. 
 
Las variables a tratar representan el caudal medio mensual medido en la Estación 
Hidrométrica Paso Ventura y los valores mensuales de precipitaciones del 
Pluviómetro 422, para ello utilizaremos el software SPSS versión 8.0 debido a la 
facilidad y fiabilidad en la obtención de los resultados. 
 
A continuación se explicarán por pasos el análisis realizado: 
1. Los datos de caudales fueron llevados de m3/s a mm para trabajar con las 
mismas unidades por razones de comodidad. 
2. Fijamos las variables de datación en años y meses. 
3. Las series fueron centradas y estandarizadas según la ecuación (1) con el 
objetivo de eliminar la estacionalidad y atendiendo a la comodidad que esto 
representa para la aplicación de la metodología expuesta. 
4. Ploteamos la serie Zlluvia y sus correspondientes funciones de 
autocorrelación (ACF) y de autocorrelación parcial (PACF), Figura 2. El 
gráfico de la serie evidencia la homogeneidad de varianzas. De aquí se 
demuestra también que la componente estacional ha sido separada y además 
se evidencia la necesidad de una componente autorregresiva. Observe en 
particular el hecho de contar con un “lags” o retardo de 16 con el objetivo de 
tener un mejor criterio de la estacionalidad. 
 
 
 
 
Figura 2. Serie de Lluvia ploteada y sus funciones de autocorrelación (ACF) y de 
Autocorrelación parcial (PACF). 
5. La parte autorregesiva, por lo tanto, es tratada por un modelo ARIMA (1,0,0) y 
comenzamos el análisis. Se puede observar que la componente 
autorregresiva es significativa. 
 
Arima 
 
MODEL: MOD_4 
Model Description: 
Variable: ZLLUVIA 
Regressors: NONE 
Non-seasonal differencing: 0 
No seasonal component in model. 
Parameters: 
AR1 ________ < value originating from estimation > 
95.00 percent confidence intervals will be generated. 
Split group number: 1 Series length: 432 
No missing data. 
Melard's algorithm will be used for estimation. 
Termination criteria: 
Parameter epsilon: .001 
Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 
SSQ Percentage: .001 
Maximum number of iterations: 10 
Initial values: 
AR1 .11455 
Marquardt constant = .001 
Adjusted sum of squares = 419.35257 
 Iteration History: 
 Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt Constant 
 1 419.34815 .00100000 
Conclusion of estimation phase. 
Estimation terminated at iteration number 2 because: 
Sum of squares decreased by less than .001 percent. 
FINAL PARAMETERS: 
Number of residuals 432 
Standard error .9863742 
Log likelihood -606.56159 
AIC 1215.1232 
SBC 1219.1916 
 Analysis of Variance: 
 DF Adj. Sum of Squares Residual Variance 
Residuals 431 419.34815 .97293406 
 Variables in the Model: 
 B SEB T-RATIO APPROX. PROB. 
AR1 .11782277 .04852263 2.4282024 .01558220 
Covariance Matrix: 
 AR1 
AR1 .00235445 
Correlation Matrix: 
 AR1 
AR1 1.0000000 
The following new variables are being created: 
 Name Label 
 FIT_1 Fit for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4 NOCON 
 ERR_1 Error for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4 NOCON 
 LCL_1 95% LCL for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4 NOCON 
 UCL_1 95% UCL for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4 NOCON 
 SEP_1 SE of fit for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4 NOCON 
 
6. Se comprueban ahora que los residuales no están autocorrelacionados por 
medio de ACF y PACF, Figura 3. Como se puede apreciar los errores no 
están correlacionados que es lo que queríamos obtener, además de 
considerar los resultados estadísticos de los modelos analizados; también se 
analizaron otros modelos autorregresivos de mayor orden pero el resultado no 
fue satisfactorio, se concluye por lo tanto, que la serie de Zlluvia bajo las 
condiciones impuestas, puede ser modelada ARIMA (1,0,0). 
 
 
 
Figura 3. Funciones de Autocorrelación (ACF) y Autocorrelación parcial (PACF) para los 
Residuales. 
 
7. Para la serie Zcaudal se repiten los pasos anteriores y los resultados son 
similares, Figuras 4 y 5.Figura 4. Serie de ZCaudal ploteada y sus funciones de autocorrelación (ACF) y de 
Autocorrelación parcial (PACF). 
 
La parte autorregesiva, por lo tanto, es tratada por un modelo ARIMA (1,0,0) y 
comenzamos el análisis. Se puede observar que la componente autorregresiva es 
significativa. 
 
Arima 
 
MODEL: MOD_15 
Model Description: 
Variable: ZCAUDAL 
Regressors: NONE 
Non-seasonal differencing: 0 
No seasonal component in model. 
Parameters: 
AR1 ________ < value originating from estimation > 
95.00 percent confidence intervals will be generated. 
Split group number: 1 Series length: 432 
No missing data. 
Melard's algorithm will be used for estimation. 
Termination criteria: 
Parameter epsilon: .001 
Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 
SSQ Percentage: .001 
Maximum number of iterations: 10 
Initial values: 
AR1 .35716 
Marquardt constant = .001 
Adjusted sum of squares = 353.01131 
 Iteration History: 
 Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt Constant 
 1 352.76417 .00100000 
Conclusion of estimation phase. 
Estimation terminated at iteration number 2 because: 
 Sum of squares decreased by less than .001 percent. 
FINAL PARAMETERS: 
Number of residuals 432 
Standard error .90453222 
Log likelihood -569.21466 
AIC 1140.4293 
SBC 1144.4978 
 Analysis of Variance: 
 DF Adj. Sum of Squares Residual Variance 
Residuals 431 352.76417 .81817854 
 Variables in the Model: 
 B SEB T-RATIO APPROX. PROB. 
AR1 .38259668 .04634525 8.2553588 .0000000 
Covariance Matrix: 
 AR1 
AR1 .00214788 
Correlation Matrix: 
 AR1 
AR1 1.0000000 
The following new variables are being created: 
 Name Label 
 FIT_4 Fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15 NOCON 
 ERR_4 Error for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15 NOCON 
 LCL_4 95% LCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15 NOCON 
 UCL_4 95% UCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15 NOCON 
 SEP_4 SE of fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15 NOCON 
 
 
 
Figura 5. Funciones de Autocorrelación (ACF) y Autocorrelación parcial (PACF) para los 
Residuales. 
 
 
 
 
 
 
 
8. A la serie ARIMA (1,0,0) obtenida en el paso anterior se le incluye como 
“regresor” la serie Zlluvia. Se puede apreciar que el regresor es significativo. 
 
Arima 
 
MODEL: MOD_23 
Model Description: 
Variable: ZCAUDAL 
Regressors: ZLLUVIA 
Non-seasonal differencing: 0 
No seasonal component in model. 
Parameters: 
AR1 ________ < value originating from estimation > 
ZLLUVIA ________ < value originating from estimation > 
95.00 percent confidence intervals will be generated. 
Split group number: 1 Series length: 432 
No missing data. 
Melard's algorithm will be used for estimation. 
Termination criteria: 
Parameter epsilon: .001 
Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 
SSQ Percentage: .001 
Maximum number of iterations: 10 
Initial values: 
AR1 .32459 
ZLLUVIA .48170 
Marquardt constant = .001 
Adjusted sum of squares = 252.64459 
 Iteration History: 
 Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt Constant 
 1 252.40996 .00100000 
Conclusion of estimation phase. 
Estimation terminated at iteration number 2 because: 
 Sum of squares decreased by less than .001 percent. 
FINAL PARAMETERS: 
Number of residuals 432 
Standard error .7660369 
Log likelihood -496.90942 
AIC 997.81885 
SBC 1005.9557 
 Analysis of Variance: 
 DF Adj. Sum of Squares Residual Variance 
Residuals 430 252.40775 .58681253 
 Variables in the Model: 
 B SEB T-RATIO APPROX. PROB. 
AR1 .35429678 .04491313 7.888490 .0000000 
ZLLUVIA .47696876 .03642283 13.095322 .0000000 
Covariance Matrix: 
 AR1 
AR1 .00201719 
Correlation Matrix: 
 AR1 
AR1 1.0000000 
Regressor Covariance Matrix: 
 ZLLUVIA 
ZLLUVIA .00132662 
Regressor Correlation Matrix: 
 ZLLUVIA 
ZLLUVIA 1.0000000 
The following new variables are being created: 
 Name Label 
 FIT_6 Fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23 NOCON 
 ERR_6 Error for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23 NOCON 
 LCL_6 95% LCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23 NOCON 
 UCL_6 95% UCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23 NOCON 
 SEP_6 SE of fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23 NOCON 
 
9. Se plotean los ACF y PACF los cuales demuestran que los residuales no 
están autocorrelacionados, Figura 6. 
 
 
Figura 6. Funciones de Autocorrelación (ACF) y Autocorrelación parcial (PACF) para los 
Residuales. 
 
10. El ploteo conjunto de la serie original de Zcaudal con el modelo ARIMA(1,0,0) 
de Zcaudal así como la serie original Zcaudal con el modelo ARIMA(1,0,0) de 
Zcaudal considerando como regresor la serie de Zlluvia, Figura 7, muestran 
que esta última se ajusta sensiblemente mejor, sin embargo de estos 
resultados podemos inferir que el modelo presenta algunas dificultades con 
los puntos o valores extremos por lo que podemos pasar a partir de este, 
hacer el análisis de intervención, lo cual es explicado porque en la serie 
analizada se encuentran valores producidos por eventos extremos; los cuales 
suponemos fueron observados con fiabilidad, y para ello se puede utilizar la 
función “delta” o “pulso unitario” ya definido anteriormente, pero como en 
nuestro caso el interés es trabajar con valores medios consideramos obviar 
este análisis. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
 
Figura 7. Ploteo conjunto de la (a) serie original de Zcaudal con el modelo ARIMA(1,0,0) de 
Zcaudal así como la (b) serie original Zcaudal con el modelo ARIMA(1,0,0) de Zcaudal 
considerando como regresor la serie de Zlluvia. 
 
11. Se pasa ahora a la fase de validación aplicando el modelo obtenido a los 
valores reservados, lo cual al ser comparado con el ajuste de la serie original 
se demuestra que el modelo propuesto pronostica aceptablemente los valores 
reservados hasta el último dato de la serie. Es de destacar que la diferencia 
aparente con el análisis de los residuales de la regresión es que no 
necesitamos probar que los mismos se distribuyen normalmente ni sean 
independientes, ni siquiera que tengan la misma distribución para cada 
instante de tiempo. Sin embargo, la efectividad de los pronósticos depende 
teóricamente en muchos casos que los residuales sean independientes y la 
elaboración de los intervalos de confianza, es más fácil si los residuales se 
distribuyen normalmente (en este caso la condición de ser independientes y 
no correlacionados es equivalente), Figura 8. 
 
MODEL: MOD_5 
Model Description: 
Variable: ZCAUDAL 
Regressors: ZLLUVIA 
Non-seasonal differencing: 0 
No seasonal component in model. 
Parameters: 
AR1 ________ < value originating from estimation > 
ZLLUVIA ________ < value originating from estimation > 
95.00 percent confidence intervals will be generated. 
Split group number: 1 Series length: 444 
No missing data. 
Melard's algorithm will be used for estimation. 
Termination criteria: 
Parameter epsilon: .001 
Maximum Marquardt constant: 1.00E+09 
SSQ Percentage: .001 
Maximum number of iterations: 10 
Initial values: 
AR1 .33486 
ZLLUVIA .48150 
Marquardt constant = .001 
Adjusted sum of squares = 267.40407 
 Iteration History: 
 Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt Constant 
 1 267.33823 .00100000 
Conclusion of estimation phase. 
Estimation terminated at iteration number 2 because: 
 Sum of squares decreased by lessthan .001 percent. 
FINAL PARAMETERS: 
Number of residuals 444 
Standard error .77759813 
Log likelihood -517.38747 
AIC 1038.7749 
SBC 1046.9666 
 Analysis of Variance: 
 DF Adj. Sum of Squares Residual Variance 
Residuals 442 267.33776 .60465884 
 Variables in the Model: 
 B SEB T-RATIO APPROX. PROB. 
AR1 .34974622 .04338399 8.061643 .0000000 
ZLLUVIA .47920158 .03661820 13.086432 .0000000 
Covariance Matrix: 
 AR1 
AR1 .00188217 
Correlation Matrix: 
 AR1 
AR1 1.0000000 
Regressor Covariance Matrix: 
 ZLLUVIA 
ZLLUVIA .00134089 
Regressor Correlation Matrix: 
 ZLLUVIA 
ZLLUVIA 1.0000000 
The following new variables are being created: 
Name Label 
FIT_10 Fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5 NOCON 
ERR_10 Error for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5 NOCON 
LCL_10 95% LCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5 NOCON 
UCL_10 95% UCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5 NOCON 
SEP_10 SE of fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5 NOCON 
 
 
 
Figura 8. Funciones de Autocorrelación (ACF) y Autocorrelación parcial (PACF) para los 
Residuales. 
 
12. A partir del modelo final obtenido, que puede ser planteado de esta forma: 
  ttt NXYB  4792.034975,01 Donde Nt es el ruido del sistema, y 
aplicando las ecuaciones 16 y 18 se llega a la conclusión que los efectos de 
las sequías en las precitaciones tardarán como promedio 17 días en notarse 
en los valores promedios de los caudales. 
 
13. Por último buscamos los estadísticos finales de los errores. 
 
FIT Error Statistics 
 
 Error Variable ERR_10 
 Observed Variable ZCAUDAL 
 
 N of Cases Use 432 
 Predict 12 
 
 Deg Freedom Use 430 
 Predict 12 
 
 Mean Error Use .0107 
 Predict .3652 
 
 Mean Abs Error Use .5199 
 Predict .8076 
 
 Mean Pct Error Use 67.2161 
 Predict 6367.9540 
 
 Mean Abs Pct Err Use 188.1532 
 Predict 6410.4467 
 
 SSE Use 252.3390 
 Predict 14.9205 
 
 MSE Use .5868 
 Predict 1.2434 
 
 RMS Use .7661 
 Predict 1.1151 
 
 Durbin-Watson Use 1.9207 
 Predict 2.3695 
 
Para una mayor comprensión de estos resultados se explicarán a continuación que 
representan estos estadísticos. 
 
La interpretación de los primeros parámetros es obvia. Observe que el error medio 
es bastante cercano a cero. El error medio absoluto es el valor medio del error en 
valor absoluto. Los errores en porciento se calculan utilizando como denominador 
los valores observados de la serie y luego se promedian incluyendo signos (Mean 
Pct Error) y en valor absoluto (Mean Abs Pct Error) Para estos dos parámetros que 
se calculan es imprescindible especificar una serie “denominador” en el subcomando 
OBS. (En este ejemplo utilizamos la propia serie de escurrimiento) 
 
SSE denota la suma de cuadrados de los errores de las diferencias entre los valores 
observados de las series y los valores predichos por el modelo. 
 
MSE (Mean Square Error) es la media de la serie SSE, esto es, la SSE dividida por 
los grados de libertad del error. 
 
RMS (Root Mean Square Error) es la raíz cuadrada de MSE. 
El test de Durbin-Watson, verifica la hipótesis nula de que los residuales de la 
regresión son independientes contra la hipótesis alternativa de que estos residuales 
siguen un proceso autorregresivo de primer orden. 
 
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 
CONCLUSIONES. 
1. La experiencia internacional y los resultados de la investigación desarrollada 
en el marco de este trabajo, confirman que la metodología de Box-Jenkins 
aplicadas a series hidrológicas tienen un gran interés científico, tecnológico y 
práctico para su aplicación en los trabajos de pronósticos y generación de 
series. 
2. La cuenca hidrográfica del río Zaza, enmarcada a partir del cierre en la 
Estación Hidrométrica Paso Ventura, presenta un retardo promedio de 17 
días para notarse la influencia de una sequía meteorológica en una 
hidrológica. Esto significa la gran vulnerabilidad de la cuenca para soportar 
una sequía meteorológica. 
3. La serie de caudales mensuales (Zcaudal) de la estación Paso Ventura se 
ajusta perfectamente a un modelo ARIMA (1,0,0) con la influencia del 
regresor de la serie de lluvias (Zlluvia). 
4. Con el modelo obtenido se pueden realizar pronósticos a corto plazo. 
5. Del análisis de la lluvia llegamos a la conclusión que la misma en sí se 
comporta como un ruido blanco es decir es una “variable aleatoria pura”. 
6. Se demostró que la serie de caudales (Zcaudal) modelados ARIMA usando 
como regresor la lluvia (Zlluvia), se ajusta mejor que considerando solo el 
modelo ARIMA (1,0,0). 
7. La forma de estandarización de las variables de lluvia y caudal pueden ser 
una herramienta eficaz para separar la componente estacional de la serie. 
 
RECOMENDACIONES. 
 
1. Se recomienda hacer extensivo el uso de la metodología de Box-Jenkins 
para aplicarla a series hidrológicas con dependencias seriales. 
2. Lograr la regionalización de estos modelos, a partir de criterios estrictamente 
estadísticos, con el fin de poder hacer análisis a toda una región o provincia. 
3. Deberá confirmarse las causas que hacen que los valores de los caudales, 
en el cierre en estudio, tengan un retardo de 17 días como promedio en 
notarse una sequía en el régimen de lluvias. 
4. A partir de los resultados obtenidos se deberán analizar los aspectos físico-
geográficos que hacen que la cuenca sea vulnerable cuando ocurre una 
sequía meteorológica. 
5. Lograr completar toda la información digital y realizar un Sistema de 
Información Geográfica (S.I.G.) de la cuenca hidrográfica del río Zaza. 
 
5. BIBLIOGRAFÍA. 
 
[1] Box, G. E. P. and Jenkins, G. M.; 1976; Time Series Analysis Forecasting and 
Control, Holden Day, San Francisco. 
 
[2] Box, G. E. and Tiao, G. C.; 1975; Intervention analysis with applications to 
economic enviromental problems, Journal on the American Statistical Associations 
70: 70-79 pp. 
 
[3] C.N.A.P; 2010; Sistema Nacional de Áreas Protegidas. Cuba. 
 
[4] Consejo de Cuenca Provincial; 1997; Diagnóstico Cuenca Zaza (1997); Inédito. 
 
[5] Grau, A. Ricardo; 1997; Series Cronológicas y Métodos Robustos de Regresión, 
UCLV, Santa Clara, Villa Clara, Cuba, 1997. 
 
[6] Person, H. S., Johnston Coil, E. y Beall, Robert T.; 1949; Las Pequeñas Fuentes 
Fluviales; Publicación TC-244; Washington, D.C.