CAP_6 ejercicios

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CAP 6: CLASIFICACIÓN DEL SUELO EN INGENIERIA GEOTÉCNICA 
UNIVERSIDAD DE PIURA 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
MECÁNICA DE SUELOS (MSU) 
 
PARTE TEÓRICA 
1. Considerando un modelo de cubo unitario de partícula de suelo se puede deducir que ∈=
3 ∈v, despreciando las cantidades pequeñas de deformación. 
 ( F ) 
 
__∈𝑉= 3 ∈______________________________________________________________ 
 
_________________________________________________________________________ 
 
 
2. Un ejemplo de simetría biaxial ocurre en la segunda etapa de un ensayo triaxial ( V) 
 
 
_________________________________________________________________________ 
 
_________________________________________________________________________ 
 
 
3. Los esfuerzos por debajo de una superficie circular con carga como por ejemplo el cimiento 
de un tanque de almacenamiento reflejan una condición de compresión unidimensional no 
confinada ( F) 
 
Es simetría biaxial_________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
 
4. En un muro de contención la deformación en su dirección más larga será igual a 0 
 (V) 
 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
 
 
5. En la primera fase de un ensayo triaxial la muestra el espécimen se encuentra confinado 
lateralmente por un anillo de metal de tal forma que se restringen las deformaciones en esas 
direcciones. (F) 
 
______Se da en un ensayo de compresión unidimensional confinado_________________ 
 
_________________________________________________________________________ 
 
6. En el caso de una simetría biaxial la rigidez volumétrica tiende al infinito cuando el valor del 
módulo de Poisson es 0.5, lo cual indica que no se puede tener un cambio de volumen sin 
drenado. ( F) 
 
Se da en compresión unidimensional confinada ___________________________________ 
 
_________________________________________________________________________ 
 
 
7. Un esfuerzo isotrópico se puede visualizar claramente en la primera fase de un ensayo 
triaxial. 
 
 (V) 
 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
 
 
8. En el análisis de esfuerzos mediante el círculo de Mohr el esfuerzo desviador s’ representa la 
diferencia entre el esfuerzo principal menor y el esfuerzo principal mayor. 
 (V) 
 
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________ 
 
 
9. En el análisis de esfuerzos en el círculo de Mohr, el esfuerzo cortante puede hallarse como 
1
2 
(𝜎1 − 𝜎3)𝐶𝑜𝑠2 ∝ donde el cortante es máximo cuando α =45° 
 (F) 
 
 
__Es___
1
2 
(𝜎1 − 𝜎3)𝑠𝑒𝑛2 ∝ __________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
 
 
10. En el modelo de curva idealizada de compresión para un suelo en condiciones drenadas, el 
nivel máximo de esfuerzo al cual se ha sometido el suelo históricamente después de la 
aplicación de una carga actual se le llama esfuerzo isotrópico. 
 (F) 
 
 
__Se le llama esfuerzo de preconsolidación _____________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
 
11. Un esfuerzo isotrópico se puede visualizar claramente en la primera fase de un ensayo 
edométrico. (F) 
 
__En la primera fase de un ensayo endometrico se puede visualizar una prueba de 
compresión unidimensional_______________________________________________ 
 
 
12. Un suelo falla sólo debido a la presencia de un esfuerzo normal máximo o bien de un 
esfuerzo cortante máximo. (F) 
 
Se debe a una combinación de esfuerzo axial y esfuerzo cortante en la envolvente de 
falla. 
 
13. Una zapata apoyada sobre un granito no alterado, presenta valores de presión de 
contacto menores que una zapata apoyada sobre arena suelta. (F) 
 
14. A menor rigidez del suelo, se obtienen valores bajos de presión de contacto y se 
producen menores deformaciones en el terreno. (F) 
 
15. Una cimentación flexible, cargada uniformemente, transmite al suelo una presión de 
contacto constante. (V) 
 
16. En una cimentación muy rígida sobre un suelo tipo SW, el asentamiento es uniforme 
a través de toda su achura y transmite una presión de contacto más alta cerca de los 
bordes. (F) 
 
17. La intensidad del esfuerzo vertical por debajo de una cimentación circular disminuye 
tanto vertical como lateralmente. (V) 
 
18. Si el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que actúan sobre un plano en una masa 
de suelo son tales que son representados por un punto ubicado encima de la envolvente 
de falla, entonces ese punto en realidad no existe. (V) 
 
Es una condición no existente, ya que antes el suelo ya ha fallado. 
 
19. Tal como se muestra en la figura, el plano de falla EF forma un ángulo ϴ con el plano 
principal mayor. Se cumple entonces que ϴ = 45 + ϕ/2. (V) 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 + ϕ + 180 
 
−2𝜃 = 180 
 
 ϴ = 45 + ϕ/2. 
 
20. Un suelo arenoso suelto presenta ángulos de fricción interna menores que los de un 
suelo arenoso denso. (V) 
 
Arena Angulo de fricción 
Suelta 27-30 
Media 30-35 
Densa 35-38 
 
21. Se efectuó una prueba de corte directo en un suelo arcilloso. El tamaño del espécimen 
fue de 50 mm x 50 mm x 20 mm. Si la fuerza normal en la falla y la fuerza cortante 
en la falla fueron de 80 N y 53.96 N, respectivamente, entonces se cumple que el 
ángulo de fricción interna resultante es igual a 34°. (V) 
 
𝜎 =
80
0.05 ∗ 0.05
= 32kN/m2 
 
𝜏 =
53.96
0.05 ∗ 0.05
= 21.58kN/m2 
 
𝜑 = tan−1
21.58
32
= 33.99° ≅ 34° 
 
 
22. Una zapata apoyada sobre una pizarra no alterada, presenta valores de presión de 
contacto mayores que una zapata apoyada sobre un suelo tipo SP. ( ) 
 
23. Se tienen dos cimentaciones muy rígidas, una apoyada sobre un suelo cohesivo y la 
otra sobre un suelo no cohesivo. Se puede afirmar que el asentamiento es uniforme y 
que la forma de la presión de contacto es la misma, en ambos casos. (F) 
 
El asentamiento es uniforme en ambos casos, pero la presión de contacto en la 
cimentación rígida sobre suelo cohesivo es más alta acerca de los bordes mientras 
que en un suelo no cohesivo transmite una presión de contacto menor cerca de la 
orilla y mayor bajo el centro (debido a la mayor presión de confinamiento). 
 
 
24. En la figura se muestra la sección transversal de un terraplén. Se sabe que q = 150 
kN/m2.Se cumple que el esfuerzo axial vertical en el punto B es igual al triple del 
esfuerzo axial vertical en el punto A. (F) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B 
1.0 m 
3.5 m 
3.0 m 1.5 m 1.0 m 
q [kN/m2] 
A 
1.0 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpolar 
 5 0.063 
 5.5 0.05800 
 6 0.053 
 
 
 
 1 1.17 1.25 
0.6 0.328 0.22532 0.177 
0.67 0.223 
0.8 0.285 0.21836 0.187 
PUNTO 
A PUNTO B 
Carga corrida 
continua Carga corrida continua 
b 0.75 m b 0.75 m 
x 3.75 m x 0.25 m 
z 1 m z 2 m 
z/b 1.33 z/b 2.67 
x/b 5 x/b 0.33 
I 0.00465 I 0.429 
 
Carga corrida triangular 
izquierda Carga corrida triangular izquierda 
c 3 m c 3 m 
x 0 m x 3.5 m 
z 1 m z 2 m 
x/c 0 x/c 1.17 
z/c 0.33 z/c 0.67 
I 0.09285 I 0.223 
 
Carga corrida triangular 
derecha Carga corrida triangular derecha 
c 1 m c 1 m 
x 5.5 m x 2 m 
z 1 m z 2 m 
x/c 5.5 x/c 2 
z/c 1.00 z/c 2 
I 0.058 I 0.078 
 
Itotal 0.156 Itotal 0.730 
q 150 kN/m2 q 150 kN/m2 
σ'z 23.33 kN/m2 σ'z 109.5 kN/m2 
 
 Relación 4.694533762 
25. La losa de cimentación que se muestra en la figura está sometida a cargas uniformes 
de 250 kN/m2y 150 kN/m2en el área sombreada y sin sombrear respectivamente. Se 
cumple que la intensidad del esfuerzo vertical inducido en el punto del suelo a 1 metro 
por debajo del punto A es igual a 241.81 kN/m2. (V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
Interpolar 
3 0.2465 
4 0.2478 
5 0.2491 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 2 m L 4 m 
B 2 m B 2 m 
z 1 m z 1 m 
L/z 2 L/z 4 
B/z 2 B/z 2 
I 0.2325 I 0.2387 
 
L 4 m L 7 m 
B 3 m B 4 m 
z 1 m z 1 m 
L/z 4 L/z 7 
B/z 3 B/z 4 
I 0.2441 I 0.2478 
 
I kN/m2 I kN/m2 
0.465 250 116.25 0.465 100 46.5 
0.4774 250 119.35 0.4774 100 47.74 
0.465 -150 -69.75 0.4882 150 73.23 
0.4774 -150 -71.61 0.4956 150 74.34 
0.4882 150 73.23 241.81 kN/m2 
0.4956 150 74.34 
 241.81 kN/m2 
1m 2m 
4m 
3m 
2m 
2m 
2m 
2m 
A 
250 kN/m2 
150 kN/m2 
26. La intensidad del esfuerzo axial vertical por debajo del centro de una cimentación 
circular disminuye verticalmente. (V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A medida que z va aumentando los factores de influencia A y B van disminuyendo y por lo 
tanto la intensidad de esfuerzo axial vertical disminuye. 
𝜎𝑍 = 𝑞(𝐴 + 𝐵) 
 
27. La intensidad del esfuerzo vertical por debajo de una carga lineal uniforme disminuye 
lateralmente a ella. (V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conforme r es mayor la relación r/z aumentará en la tabla 6.3, entonces el factor de 
influencia 𝐼𝐿 será menor y por consiguiente la intensidad del esfuerzo vertical disminuye. 
 
 
28. Un suelo arenoso suelto presenta ángulos de fricción interna mayores que los de un 
suelo arenoso denso. (F) 
 
Arena Angulo de fricción 
Suelta 27-30 
Media 30-35 
Densa 35-38 
 
 
29. Tres zapatas corridas de cimentación paralelas, cada una de 3 m de ancho y separadas 
5 m entre sus centros, transmiten presiones de contacto de 200 kN/m2, 150 kN/m2 y 
100 kN/m2, respectivamente. Se puede afirmar que el esfuerzo axial vertical, por 
debajo del centro de la zapata de 150 kN/m2 a una profundidad de 3 m, es menor a 100 
kN/m2. (F) 
 
 
30. Del ejercicio anterior. Se puede afirmar que el esfuerzo axial vertical, por debajo del 
centro de la zapata de 200 kN/m2 a una profundidad de 3 m, es mayor a 100 kN/m2. 
 (V) 
 
Punto B 
q (kN/m2) x (m) x/b z/b Is σz 
200 5 3.33 2 0.061430 12.286 
150 0 0.00 2 0.550000 82.5 
100 5 3.33 2 0.061430 6.143 
 101 kN/m2 
 
 
 
 
 
 
b 1.5 m 
z 3 m 
Punto A 5 0.013 
q 
(kN/m2) 
x (m) x/b z/b Is σz 6.67 0.008992 
200 0 0.00 2 0.550000 110 10 0.001 
150 5 3.33 2 0.061430 9.2145 
100 10 6.67 2 0.008992 0.8992 
 120 kN/m2 
31. Del ejercicio 34; se puede afirmar que el esfuerzo axial vertical, por debajo del centro 
de la zapata de 100 kN/m2 a una profundidad de 3m, es menor a 100 kN/2. (V) 
 
Punto C 
q (kN/m2) x (m) x/b z/b Is σz 
200 10 6.67 2 0.008992 1.7984 
150 5 3.33 2 0.061430 9.2145 
100 0 0.00 2 0.550000 55 
 66 kN/m2 
 
32. En la prueba de consolidación unidimensional, los esfuerzos laterales aplicados sobre 
la muestra de suelo son cero. (F) 
En la prueba de consolidación unidimensional, el suelo está confinado lateralmente por 
un anillo, por lo tanto, se ejercen esfuerzos laterales. 
 
33. En una cimentación muy rígida el asentamiento del suelo y la presión de contacto 
transmitida son iguales sin importar el tipo de suelo: cohesivo o no cohesivo. (F) 
En una cimentación muy rígida sobre suelo cohesivo, el asentamiento es uniforme a 
través de toda su achura y transmite una presión de contacto más alta cerca de los bordes. 
En una cimentación muy rígida sobre suelo no cohesivo, el asentamiento es uniforme a 
través de toda su achura y transmite una presión de contacto menor cerca de la orilla y 
mayor bajo el centro. 
 
34. La profundidad donde σ’z = 0 kN/m2 en una cimentación circular, es mayor a la 
profundidad donde ese esfuerzo es cero pero en una cimentación corrida. (F) 
Los bulbos de presión indican que a la profundidad donde el esfuerzo axial vertical es 
cero para una cimentación circular, se tienen valores de esfuerzo en una cimentación 
corrida. 
Los bulbos de presión en una cimentación corrida son mayores que en una cimentación 
circular. 
 
35. Los esfuerzos cortantes laterales en el suelo, debidos a una carga puntual aplicada en 
dirección normal a la superficie son nulos. (V) 
Los esfuerzos cortantes verticales actúan debido a la aplicación de la fuerza puntual en 
superficie y tienen sentido ascendente. Los esfuerzos cortantes laterales son cero. 
 
 
 
 
36. En la prueba de compresión simple sobre una muestra de suelo, el esfuerzo principal 
menor es siempre cero. (V) 
El esfuerzo principal menor corresponde a la presión de confinamiento que es cero 
porque la muestra de suelo no está confinada. 
 
37. La sensibilidad de las arcillas puede adoptar valores menores a 1. (F) 
La sensibilidad es la razón entre la resistencia a la compresión simple en estado 
inalterado dividida entre la resistencia que se obtiene en un estado remoldeado y es 
mayor a uno. 
 
 
38. La carga uniformemente distribuida sobre el área es de 100 kN/m2 para el área 
sombreada. La presión es de 85 kN/m2en el área sin sombrear. Se cumple que el 
esfuerzo axial vertical a una profundidad de 5 m debajo del punto C es menor a 10 
kN/m2. (V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39. ¿Qué es la resistencia al corte de un suelo? (2.5pto) 
 
Es la resistencia máxima de un suelo al experimentar una tensión que le produce la falla. 
 
q 85 kN/m2 q 15 kN/m2 
z 5 m z 5 m 
 
Suma / 
Resta 
L B L/z B/z IR σz (kN/m2) 
+ 13 5 2.6 1 0.202 17.17 
- 5 3 1 0.6 0.1361 11.57 
+ 7 2 1.4 0.4 0.1094 1.64 
- 3 2 0.6 0.4 0.0801 1.20 
 6.04 
2 0.1999 
2.6 0.202 
3 0.2034 
40. ¿En que se basa la teoría de fallade Mohr-Coulomb? Grafica la envolvente de 
falla.(2.5pto) 
La falla al corte de un suelo, es producto de la combinación de un esfuerzo máximo 
axial y de un esfuerzo máximo cortante. 
 
 
c: cohesión (kg/cm2) 
φ: ángulo de fricción interna del suelo 
(°) 
τ: esfuerzo cortante (kg/cm2) 
σ´: esfuerzo de compresión (kg/cm2) 
 
τ = c + σ´tanφ 
 
 
 
 
 
 
 
41. ¿En qué punto ocurre la falla y por qué en los otros no? (2.5pto) 
Ocurre falla en B: El suelo se encuentra en el límite plástico, en la envolvente de falla. 
En A: Aún el suelo soportante deformaciones (rango elástico). 
 
En C: Es una condición no existente, ya que antes el suelo ya ha fallado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42. ¿Cómo definiría Ud. la presión de contacto? ¿Cuáles son las consideraciones 
teóricas tomadas en cuenta para hallar las presiones verticales debajo de un 
punto?(2.5pto) 
 
Es la intensidad de carga generada por la interacción entre suelo y estructura. 
Consideraciones: 
o Las zapatas o losas de cimentación nunca son perfectamente flexibles ni 
perfectamente rígidas. 
o Al diseñar una cimentación de C.A. se debe plantear una evaluación razonable de la 
distribución de la presión de contacto. 
o La distribución de la presión de contacto influye en el valor de los momentos flectores 
en la zapata o losa de cimentación. 
o Para análisis de esfuerzos, el suelo se considera como un semiespacio elástico 
semiinfinito. 
o Masa de suelo es homogénea, elástica e isotrópica. 
 
43. Grafique la variación de un esfuerzo vertical respecto a una carga puntual en 
función a la profundidad.(2.5pto) 
 
El esfuerzo vertical disminuye con la profundidad, en forma casi exponencial 
 
 
44. Proporcione ejemplos reales asociados con los siguientes estados del suelo: a) esfuerzo 
isotrópico, b) esfuerzos con simetría biaxial, c) deformación plana, d) deformación 
lateral nula y deformación vertical unidimensional, e) esfuerzos axiales laterales nulos. 
 
 
 
45. Explique a detalle, cómo dibujar el Círculo de Mohr para determinar el esfuerzo 
normal y el esfuerzo cortante sobre el plano de falla AA’. El punto de partida de su 
explicación debe ser el elemento sometido a esfuerzos ortogonales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
46. Explique las condiciones que debe reunir el suelo para que se presenten las 
distribuciones de presión de contacto mostradas. Describa cada caso. 
 
 
 
Solución 
1. Zapata apoyada sobre roca dura 
 Roca: alto módulo de deformación 
 Carga se transmite a un área pequeña 
 Se produce una alta concentración de esfuerzos 
 Valores altos de presión de contacto 
2. Zapata apoyada sobre suelo rígido 
 Reduce la rigidez del terreno 
 Carga se distribuye en forma más lateral 
 Valores más bajos de presión de contacto 
3. Zapata apoyada sobre suelo blando 
 Mucha menor rigidez del terreno 
 Carga se distribuye de manera casi uniforme 
 Valores mucho más bajos de presión de contacto 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE PRÁCTICA 
Pregunta 1 (6 puntos) 
 
Deducir las fórmulas de las diferentes condiciones esfuerzo-deformación de un suelo, 
planteadas a continuación: 
 
1. Módulo de rigidez para cortante puro. 
 
 
 
2. Deformación volumétrica para deformación plana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Módulo compresión volumétrico para un esfuerzo isotrópico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Deformación volumétrica para simetría biaxial. 
 
 
 
 
 
 
5. Deformación volumétrica para compresión unidimensional no confinada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta 2 
 
La losa de cimentación que se muestra en la figura está sometida a una carga uniforme de 
250KN/m2 en el área sombreada y 150KN/m2 en el área no sombreada. Determine la 
intensidad de los esfuerzos vertical directo y cortante en un punto a 3m por debajo de la 
esquina A. (5pto) 
 
𝝈𝒁 =
𝟏
𝒁𝟐
∑ 𝑷𝑰𝑷
𝑲
 
𝞽𝒁 =
𝟏
𝒁𝟐
∑
𝒓
𝒁
𝑷𝑰𝑷
𝑲
 
𝑰𝑷 =
𝟑
𝟐𝝅
[
𝟏
𝟏 + (
𝒓
𝒛)
𝟐
]
𝟓
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta 3 (5 puntos) 
 
La Subgerencia Regional de Morropón-Huancabamba, se encuentra construyendo un Centro 
de Salud en Sondorillo; para lo cual solicitan al Laboratorio de Ensayos de Materiales de 
Construcción de la Universidad de Piura determinar la máxima resistencia a la compresión 
que puede llegar a tener el suelo donde se va a edificar.Ante esto, los técnicos Wilfredo Lazo 
y Willo Lazo viajan hasta el lugar, realizan una calicata a un metro de profundidad y extraen 
una muestra de suelo, la cual es llevada al laboratorio y clasificada como arcilla de alta 
plasticidad con arena, con un contenido de humedad del 25.65%. 
 
El técnico Wilfredo Lazo sigue el procedimiento de la norma ASTM D2166-91 para realizar 
un ensayo de compresión unidimensional no confinado para suelos cohesivos y toma los 
datos necesarios de dicho ensayo. Para poder seguir avanzando con otros ensayos y sabiendo 
que un alumno del curso de Mecánica de Suelos se encuentra realizando apoyo estudiantil 
en el LEMC, le entrega los siguientes datos para que encuentre la máxima resistencia a la 
compresión que el cliente ha solicitado. 
 
 
 
 
qu =__________kg/cm2 
Determinación del contenido de humedad: 
Cáp. Nº C8 
Peso de cápsula (g) 19.45 Contenido de humedad 25.65 
Peso de espécimen húmedo + cáp (g) 141.42 % 
Peso de espécimen seco + cáp (g 116.52 
Datos del espécimen: 
Diámetro inicial Do (cm) 3.6 Densidad húmeda(gr/cm3) 1.68 
Area inicial Ao (cm) 10.18 Densidad seca (gr/cm3) 1.33 
Altura inicial Lo (cm) 7.23 Gravedad específica 2.73 
Volumen inicial Vo (cm) 73.59 Grado de saturación % 67 
Peso del espécimen (g) 123.3 Tipo de espécimen Remoldeado 
 
Registro del ensayo: 
Lapso de tiempo Dial de carga Carga axial Dial de def. Deformación Deformación Área corregida Esfuerzo 
seg 0,0001"/div kg 0,001"/div total (cm) unitaria cm2 kg/cm2 
0 0.0000 0.00 0 0.00 
10 0.0008 3.52 0.010 0.03 
20 0.0021 9.24 0.020 0.05 
30 0.0033 14.52 0.030 0.08 
40 0.0040 17.60 0.040 0.10 
50 0.0041 18.04 0.050 0.13 
60 0.0041 18.04 0.060 0.15 
70 0.0040 17.60 0.070 0.18 
80 0.0037 16.28 0.080 0.20 
90 0.0034 14.96 0.090 0.23 
100 0.0032 14.08 0.100 0.25 
Solución 
 
Registro del ensayo: 
lapso de 
tiempo Dial de carga Carga axial Dial de def. Deformación Deformación 
Area 
corregida Esfuerzo 
seg 0,0001"/div kg 0,001"/div total (cm) unitaria cm2 kg/cm2 
0 0.0000 0.00 0 0.00 0.000 10.18 0.00 
10 0.0008 3.52 0.010 0.03 0.004 10.21 0.34 
20 0.0021 9.24 0.020 0.05 0.007 10.25 0.90 
30 0.0033 14.52 0.030 0.08 0.011 10.29 1.41 
40 0.0040 17.60 0.040 0.10 0.014 10.32 1.70 
50 0.0041 18.04 0.050 0.13 0.018 10.36 1.74 
60 0.0041 18.04 0.060 0.15 0.021 10.40 1.73 
70 0.0040 17.60 0.070 0.18 0.025 10.44 1.69 
80 0.0037 16.28 0.080 0.20 0.028 10.47 1.55 
90 0.0034 14.96 0.090 0.23 0.032 10.51 1.42 
100 0.0032 14.08 0.100 0.25 0.035 10.55 1.33 
 
 
 
 
 
Razón de deformación (% / 
min): 0.71 
 
Anillo de carga 
Nº: 10741 
 
Constante de 
rigidez: 0,44 kg/div 
qu = 1,74 
kg/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 4. (3 puntos) 
Se va a preparar un terraplén con una anchura de base de 10 m y dos taludes laterales: uno 
de 5 m de ancho (talud izquierdo) y otro de 10 metros de ancho (talud derecho). Es importante 
que el aumento del esfuerzo axial vertical a una profundidad de 3 m por debajo de la parte 
central de la base no sea superior a 70.6 kN/m2. 
 
Determine la máxima altura permisible para la porción central de la estructura, si el material 
de construcción tiene un peso unitario de 18 kN/m3. 
 
Nota: La sobrecarga ejercida por el terraplén, en kN/m2, es iguala la altura del terraplén 
multiplicada por el peso unitario del material de construcción. 
Solución 
Parte central 
b 5 m 0.2 0.009 
z 3 m 0.3 0.0255 
x 0 m 0.4 0.042 
x/b 0 
z/b 0.6 
Is 0.937 
 
Talud 
izquierdo 
 
Talud 
derecho 
 
c 5 m c 10 m 
z 3 m z 3 m 
x 10 m x 15 m 
x/c 2.0 x/c 1.5 
z/c 0.6 z/c 0.3 
IT 0.018 IT 0.0255 
 
Itotal 0.9805 
σmáx 70.6 kN/m2 
h 4.00 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 respuestas 
0.75 punto c/u 
3 puntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 5. (4 puntos) 
La figura muestra el plano de una cimentación de losa circular de gran tamaño; el área central 
sombreada transmite una sobrecarga de 100 kN/m2 y el área anular externa transmite una 
presión de 200 kN/m2. Calcule la intensidad del esfuerzo vertical inducido en puntos de la 
masa del suelo, a 4 m por debajo de A y C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
8 respuestas 
0.5 puntos c/u 
4 puntos 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
A 
4 
0 
10 200 0.4 
0 0.629 0.320 189.8 
C 10 1 0.310 0.124 86.8 
 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
4 
0 
5 -200 0.8 
0 0.375 0.381 -151.2 
C 10 2 0.048 -0.018 -6 
 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
A 
4 
0 
5 100 0.8 
0 0.375 0.381 75.6 
C 10 2 0.048 -0.018 3 
 
 8 respuestas Puntos σz 
 0.5 puntos c/u A 114.2 
 4 puntos C 83.8 
Pregunta Nº 6. (6 puntos) 
Cuatro cargas de columnas de 900 kN, 800 kN, 200 kN y 500 kN, están situadas en las 
esquinas de un cuadrado de 4 m de lado en la superficie de una masa de suelo. Existe una 
alcantarilla que pasa en forma diagonal por el cuadrado, directamente bajo las cargas de 900 
kN y 200 kN y a una profundidad de 4 m. Calcule el esfuerzo axial vertical impuesto en la 
alcantarilla debido a las cuatro cargas en tres puntos: bajo la carga de 900 kN, bajo la carga 
de 200 kN y en un punto a la mitad entre éstos. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
900 A 800 
kN kN 
 
 
 
 B 
 
 
 C 
500 200 
kN kN 
 
 
Lado 4 m 
z 4 m 
 
 
 
Punto A 
carga (kN) r (metros) r/z Ip σz 
900 0 0 0.4775 26.8573966 
800 4 1 0.0844 4.22023273 
200 5.66 1.41 0.0306 0.38286729 
500 4 1 0.0844 2.63764546 
 34.10 kN/m2 
Punto B 
carga (kN) r (metros) r/z Ip σz 
900 2.83 0.71 0.1733 9.74621002 
800 2.83 0.71 0.1733 8.66329779 
200 2.83 0.71 0.1733 2.16582445 
500 2.83 0.71 0.1733 5.41456112 
 25.99 kN/m2 
Punto C 
carga (kN) r (metros) r/z Ip σz 
900 5.66 1.41 0.0306 1.7229028 
800 4.00 1.00 0.0844 4.22023273 
200 0.00 0.00 0.4775 5.96831037 
500 4.00 1.00 0.0844 2.63764546 
 14.55 kN/m2 
 
Pregunta Nº 7. (9 puntos) 
La losa de cimentación que se muestra en la figura está sometida a una carga uniforme de 
250 kN/m2 en el área sombreada y a 150 kN/m2 sobre el área no sombreada. Determine la 
intensidad de los esfuerzos vertical directo y cortante en un punto a 3 m por debajo de la 
esquina A. 
 
1 1 
A 
Solución 
 
 
 
 
Pregunta Nº 8. (5 puntos) 
Tres cargas lineales de 100 kN/m, 80k N/m y 100 kN/m, separadas 2 m una a continuación 
de la otra, actúan verticalmente sobre la superficie horizontal de un suelo. Grafique los 
esfuerzos axiales y cortantes verticales inducidos por esas cargas, sobre el eje vertical que se 
encuentra debajo de la carga central de 80 kN/m y hasta 3 m por debajo de la superficie. 
 
Nota: para obtener las gráficas de variación de esfuerzos, considere una profundidad inicial 
de 0.1 m. Después, debe trabajar a intervalos de 1 metro de profundidad hasta llegar a los 
3 m pedidos. Es decir: z = 0.1, 1, 2 y 3 m. 
 
 
 
Solución 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 9. (4 puntos) 
Tres zapatas corridas de cimentación paralelas, cada una de 4 m de ancho y separadas 5 m 
entre sus centros, transmiten presiones de contacto de 200 kN/m2, 150 kN/m2 y 100 kN/m2, 
respectivamente. Calcule la intensidad del esfuerzo axial vertical debido a las cargas 
combinadas por debajo del centro de cada una de las zapatas a una profundidad de 3.6 m. 
 
Solución 
 
b 2 m 
z 3.6 m 
 
Punto A 2 0.172 
q (kN/m2) x (m) x/b z/b Is σz 2.5 0.116 
200 0 0.00 1.8 0.593000 118.6 3 0.06 
150 5 2.50 1.8 0.116000 17.4 
100 10 5.00 1.8 0.010000 1 
 137 kN/m2 12 respuestas 
Punto B 0.33333333 puntos 
q (kN/m2) x (m) x/b z/b Is σz 
200 5 2.50 1.8 0.116000 23.2 
150 0 0.00 1.8 0.593000 88.95 
100 5 2.50 1.8 0.116000 11.6 3 
 124 kN/m2 
Punto C 
q (kN/m2) x (m) x/b z/b Is σz 
200 10 5.00 1.8 0.010000 2 
150 5 2.50 1.8 0.116000 17.4 
100 0 0.00 1.8 0.593000 59.3 
 79 kN/m2 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 10. (4 puntos) 
Se va a preparar un terraplén con una anchura de base de 24 m y dos taludes laterales de 12 
m de ancho (talud izquierdo) y 18 metros de ancho (talud derecho). Es importante que el 
aumento del esfuerzo axial vertical a una profundidad de 6 m por debajo de la base no sea 
superior a 53 kN/m2. 
Determine la máxima altura permisible para la porción central de la estructura, si el material 
de construcción tiene un peso unitario de 18 kN/m3. (La sobrecarga ejercida por el terraplén, 
en kN/m2, es igual a la altura del terraplén multiplicada por el peso unitario del material de 
construcción). 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 11. (4 puntos) 
La figura muestra el plano de una cimentación de losa circular de gran tamaño; el área central 
sombreada transmite una sobrecarga de 100 kN/m2 y el área anular externa transmite una 
presión de 200 kN/m2. Calcule la intensidad del esfuerzo vertical inducido en puntos de la 
masa del suelo, a 6 m por debajo de A, B y C. 
 
 
Solución 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
A 
6 
0 
10 200 0.6 
0 0.486 0.378 172.8 
B 5 0.5 0.4275 0.3725 160 
C 10 1 0.256 0.144 80 
 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
A 
6 
0 
5 -200 1.2 
0 0.232 0.315 -109.4 
B 5 1 0.151 0.149 -60 
C 10 2 0.053 0 -10.6 
 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
A 
6 
0 
5 100 1.2 
0 0.232 0.315 54.7 
B 5 1 0.151 0.149 30 
C 10 2 0.053 0 5.3 
 
 Puntos σz 
 A 118.1 
 B 130.00 
 C 74.7 
12 Respuestas 
0.33333333 puntos 
Pregunta Nº 12. (3 puntos) 
La planta de un área rectangular flexible cargada se muestra en la figura siguiente. La carga 
uniformemente distribuida sobre el área es de 100 kN/m2 para el área sombreada. La presión 
es de 85 kN/m2 en el área sin sombrear. Determine el esfuerzo axial vertical a una 
profundidad de 5 m debajo del punto C. 
 
Solución 
q 85 kN/m2 q 15 kN/m2 
z 5 m z 5 m 2 0.1999 
 2.6 0.202 
Suma / 
Resta 
L B L/z B/z IR σz (kN/m2) 3 
0.2034 
+ 13 5 2.6 1 0.202 17.17 
- 5 3 1 0.6 0.1361 11.57 
+ 7 2 1.4 0.4 0.1094 1.64 
- 3 2 0.6 0.4 0.0801 1.20 
 6.041 4 ptos 3 ptos 
 
 
1.5 ptos por 
procedimiento 
 
2 puntos de 
procedimiento 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 13. (10 puntos) 
La losa de cimentación que se muestra en la figura está sometida a cargas uniformes de 250 
kN/m2 y 150 kN/m2 en el área sombreada y sin sombrear, respectivamente. Calcule la 
intensidad del esfuerzo vertical inducido en un punto del suelo a 5 metros por debajo de la 
esquina A. 
 
 
 
 
Solución 
1 2 3 4 5 
6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 
16 17 18 19 20 
 21 22 23 24 
 25 26 27 28 
 
 250 kN/m2 
 150 kN/m2 
 
z 5 m 
 
σz 60 kN/m2 
τrz 26 kN/m2 
 
 
 
 
A
250 kN/m2
150 kN/m2
A
250 kN/m2
150 kN/m2
3m 2m 
4m 
4m 
2m2m 
 
 
Pregunta Nº 14. (4 puntos) 
Tres zapatas corridas de cimentación paralelas, cada una de 3 m de ancho y separadas 5 m 
entre sus centros, transmiten presiones de contacto de 200 kN/m2, 150 kN/m2 y 100 kN/m2, 
respectivamente. Calcule la intensidad del esfuerzo axial vertical debido a las cargas 
combinadas por debajo del centro de cada una de las zapatas a una profundidad de 3 m. 
 
Solución 
Cuadrados N x,y y,x r r/z Ip Ip x N P Ip r/z N 
1 1 2.5 3.5 4.3012 0.8602 0.1196 0.1196 
250 
0.1028 
2 1 1.5 3.5 3.8079 0.7616 0.1522 0.1522 0.1159 
3 1 0.5 3.5 3.5355 0.7071 0.1733 0.1733 0.1225 
6 1 2.5 2.5 3.5355 0.7071 0.1733 0.1733 0.1225 
7 1 1.5 2.5 2.9155 0.5831 0.2297 0.2297 0.1339 
8, 16 2 0.5 2.5 2.5495 0.5099 0.2679 0.5359 0.2732 
11 1 1.5 2.5 2.9155 0.5831 0.2297 0.2297 0.1339 
12 1 1.5 1.5 2.1213 0.4243 0.3157 0.3157 0.1339 
13 1 0.5 1.5 1.5811 0.3162 0.3762 0.3762 0.1190 
17 1 0.5 1.5 1.5811 0.3162 0.3762 0.3762 0.1190 
18 1 0.5 0.5 0.7071 0.1414 0.4544 0.4544 0.0643 
 3.1361 1.4410 
 
5, 28 2 1.5 3.5 3.8079 0.7616 0.1522 0.3043 
150 
0.2318 
4, 24 2 0.5 3.5 3.5355 0.7071 0.1733 0.3465 0.2450 
10, 27 2 1.5 2.5 2.9155 0.5831 0.2297 0.4594 0.2679 
9, 23 2 0.5 2.5 2.5495 0.5099 0.2679 0.5359 0.2732 
15, 26 2 1.5 1.5 2.1213 0.4243 0.3157 0.6313 0.2679 
14, 25, 20, 
22 4 0.5 1.5 1.5811 0.3162 0.3762 1.5049 0.4759 
19, 21 2 0.5 0.5 0.7071 0.1414 0.4544 0.9088 0.1285 
 4.6912 1.8902 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 15. (4 puntos) 
Se va a preparar un terraplén con una anchura de base de 28 m y dos taludes laterales de 14 
m de ancho (talud izquierdo) y 16 metros de ancho (talud derecho). Es importante que el 
aumento del esfuerzo axial vertical a una profundidad de 4 m por debajo de la base no sea 
superior a 120 kN/m2. 
Determine la máxima altura permisible para la porción central de la estructura, si el material 
de construcción tiene un peso unitario de 18 kN/m3. (La sobrecarga ejercida por el terraplén, 
en kN/m2, es igual a la altura del terraplén multiplicada por el peso unitario del material de 
construcción). 
 
B 1.5 m 
Z 3 m 
 
Punto A 5 0.013 
q (kN/m2) x (m) x/b z/b Is σz 6.67 0.008992 
200 0 0.00 2 0.550000 110 10 0.001 
150 5 3.33 2 0.061430 9.2145 
100 10 6.67 2 0.008992 0.8992 
 120 kN/m2 12 respuestas 
Punto B 0.33333333 puntos 
q (kN/m2) x (m) x/b z/b Is σz 
200 5 3.33 2 0.061430 12.286 
150 0 0.00 2 0.550000 82.5 
100 5 3.33 2 0.061430 6.143 
 101 kN/m2 
Punto C 
q (kN/m2) x (m) x/b z/b Is σz 
200 10 6.67 2 0.008992 1.7984 
150 5 3.33 2 0.061430 9.2145 
100 0 0.00 2 0.550000 55 
 66 kN/m2 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte 
central 
 
 1.5 1.875 2 
b 14 m 0.2 0.003 0.2 0.009 0.003 0.001 
z 4 m 0.25 0.0061875 0.25 I 
x 0 m 0.4 0.01575 0.4 0.042 0.016 0.007 
x/b 0 
z/b 0.2857 
Is 0.98843 
 4 respuestas 
Talud izquierdo Talud derecho 1 punto c/u 
c 14 m c 16 m 
z 4 m z 4 m 
x 28 m x 30 m 
x/c 2 x/c 1.875 
z/c 0.29 z/c 0.25 
IT 0.0037 IT 0.0061875 
 
Itotal 0.9983 
σmáx 120 kN/m2 
h 6.68 m 
Pregunta Nº 16. (4 puntos) 
La figura muestra el plano de una cimentación de losa circular de gran tamaño; el área central 
sombreada transmite una sobrecarga de 80 kN/m2 y el área anular externa transmite una 
presión de 200 kN/m2. Calcule la intensidad del esfuerzo vertical inducido en puntos de la 
masa del suelo, a 6 m por debajo de A, B y C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
Parte 
central 
 
 1.5 1.875 2 
b 14 m 0.2 0.003 0.2 0.009 0.003 0.001 
z 4 m 0.25 0.0061875 0.25 I 
x 0 m 0.4 0.01575 0.4 0.042 0.016 0.007 
x/b 0 
z/b 0.2857 
Is 0.98843 
 4 respuestas 
Talud izquierdo Talud derecho 1 punto c/u 
c 14 m c 16 m 
z 4 m z 4 m 
x 28 m x 30 m 
x/c 2 x/c 1.875 
z/c 0.29 z/c 0.25 
IT 0.0037 IT 0.0061875 
 
Itotal 0.9983 
σmáx 120 kN/m2 
h 6.68 m 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
A 
6 
0 
10 200 0.6 
0 0.486 0.378 172.8 
B 5 0.5 0.4275 0.3725 160 
C 10 1 0.256 0.144 80 
 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
A 
6 
0 
5 -200 1.2 
0 0.232 0.315 -109.4 
B 5 1 0.151 0.149 -60 
C 10 2 0.053 0 -10.6 
 
Puntos z (m) r (m) a (m) q (kN/m2) z/a r/a A B σz 
A 
6 
0 
5 80 1.2 
0 0.232 0.315 43.76 
B 5 1 0.151 0.149 24 
C 10 2 0.053 0 4.24 
 
 12 respuestas 0.4 0.363 Puntos σz 
 0.3333333 puntos 0.5 0.3725 A 107.16 
 0.6 0.382 B 124.00 
 C 73.64 
 
 
 
Pregunta Nº 17. (2.0 puntos) 
En la figura se muestra la sección transversal de un terraplén. Calcule los esfuerzos verticales 
en los puntos A y B, si se sabe que el esfuerzo axial vertical en el punto C es igual a 40 
kN/m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
C 
B 
2
.0
 m
 
3
.0
 m
 
3.5 m 
0.5 m 
3.0 m 1.5 m 1.0 m 
q [kN/m2] 
A 
x/c 0 x/c 1.17 x/c 2.00 
z/c 0.67 z/c 0.67 z/c 1.00 
I 0.145 I 0.223 I 0.046 
 
Carga corrida triangular derecha Carga corrida triangular derecha Carga corrida triangular derecha 
c 1 m c 1 m c 1 m 
x 5.5 m x 2 m x -0.5 m 
z 2 m z 2 m z 3 m 
x/c 5.5 x/c 2 x/c -0.5 
z/c 2.00 z/c 2 z/c 3 
I 0.000 0.078 I 0.078 I 0.080 
 
Itotal 0.170 Itotal 0.730 Itotal 0.260 
q 153.85 kN/m2 q 153.85 kN/m2 q 153.85 kN/m2 0.5 
σ'z 26.15 kN/m2 σ'z 112.3 kN/m2 σ'z 40.0 kN/m2 
 0.75 0.75 
 
Pregunta Nº 18. (2.5 puntos) 
La losa de cimentación que se muestra en la figura está sometida a cargas uniformes de 250 
kN/m2 y 150 kN/m2 en el área sombreada y sin sombrear respectivamente. Calcule la 
intensidad del esfuerzo vertical inducido en el punto del suelo a 1 metro por debajo del punto 
A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
L 2 m L 4 m 
1m 2m 
4m 
3m 
2m 
2m 
2m 
2m 
A 
250 kN/m2 
150 kN/m2 
B 2 m B 2 m Interpolar 
Z 1 m z 1 m 3 0.2465 
L/z 2 L/z 4 4 0.2478 
B/z 2 B/z 2 5 0.2491 
I 0.2325 I 0.2387 
 
L 4 m L 7 m 
B 3 m B 4 m 
Z 1 m z 1 m 
L/z 4 L/z 7 
B/z 3 B/z 4 
I 0.2441 I 0.2478 
 
I kN/m2 I kN/m2 
0.465 250 116.25 0.465 100 46.5 
0.4774 250 119.35 0.4774 100 47.74 
0.465 -150 -69.75 0.4882 150 73.23 
0.4774 -150 -71.61 0.4956 150 74.34 
0.4882 150 73.23 241.81 kN/m2 
0.4956 150 74.34 
 241.81 kN/m2 
 
 
Pregunta Nº 19 (3 puntos) 
Se aplica una carga distribuida de 20 kN/m a lo largo de una línea sobre la superficie del 
terreno. Si el esfuerzo axial vertical en el punto A es 1.304 kN/m2 y el esfuerzo axial vertical 
en el punto B es igual a 3.183 kN/m2, determine la profundidad “z” y la distancia horizontal 
“r”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 20 (8 puntos) 
z 
r 
A B 
q = 20 kN/m 
En la figura se muestra la sección transversal de un terraplén. Calcule los esfuerzos verticales 
en los puntos A y B, si se sabe que la intensidad de la carga uniforme en la base de la porción 
central de la estructura es de 100 kN/m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 21 (3 puntos) 
Si z = 6.0 m, determine el valor de “r” si la cimentación circular tiene un radio de 5.0 m y el 
esfuerzo axial vertical en el punto A es igual a 19.04 kN/m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta Nº 22 (6 puntos) 
B 
A 
2
.0
 m
 
3
.0
 m
 
3.5 m 
0.5 m 
3.0 m 1.5 m 1.0 m 
q = 100 kN/m2 
z 
q = 140 kN/m 
r 
A 
Un cimiento rectangular transmite presiones de contacto uniformes de 150 kN/m2 y 200 
kN/m2 (sólo en la región sombreada). Determine el esfuerzo vertical a una profundidad de 5 
metros pordebajo del punto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23.- (4p.) El peso específico de un suelo es d = 20 kN/m3. Siendo la superficie horizontal 
y la tensión horizontal en cualquier punto la tensión principal mayor (1), determine 
mediante la construcción del Círculo de Mohr, lo siguiente: 
a.- El esfuerzo de corte máximo en el punto P. 
b.- El esfuerzo de corte x’z’ para dicho punto, tal como se aprecia en la figura. 
c.- El coeficiente de empuje de reposo Ko. 
 
8.0 m 
4.0 m 
4.0 m 
2.0 m 
2.0 m 
2.0 m 
q = 200 kN/m2 
A 
q = 200 kN/m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 (5p.) La losa de cimentación que se muestra en 
la figura está sometida a una carga uniforme de 
120 kN/m2 en el área sombreada y a 200 kN/m2 
sobre el área no sombreada. Determine la 
intensidad de los esfuerzos vertical directo y 
cortante en un punto a 2.5m. por debajo de la 
esquina A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.0 m 
25.-(5p.) En la figura se muestra la sección 
transversal de un terraplén. Usando los 
factores de influencia de las tablas 
correspondientes, calcule las 
estimaciones del aumento en el 
esfuerzo vertical, que resultarán al 
completar el terraplén por debajo de 
los puntos M y N. El peso unitario 
promedio para el suelo del terraplén es 
de 20kN/m3. 
 
 
 
 
26.-(4p.) En la figura se muestra la planta de la cimentación de un edificio, la cual se 
considera perfectamente flexible. Determine con el uso del Gráfico de Fadum lo 
siguiente: 
 
a.- La variación de la tensión vertical en el punto A, ubicado en la superficie del terreno. 
b.- La variación de la tensión vertical en los puntos B y C, ubicados 5m., bajo la superficie 
del terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27.-(2p.) Indique claramente cuáles son las diferencias entre los criterios de falla 
correspondientes a la Teoría de Mohr-Coulomb y la Teoría de la Trayectoria de 
Tensiones. 
 
 
 
3m 3m 
3m 
4m 4m 
5m 
2m 
2m 2m 2m 2m 
M N