Problemas Matemáticos

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Universidad
de Murcia
Dpto. de Matemáticas
Fundamentos Matemáticos para el
Estudio del Medio Ambiente.
Final (1er Parcial). 07-07-2004.
1. (3 Puntos) Estudiar y representar gráficamente la función
f(x) =
1
x3 − 3x + 2
.
2. (2 Puntos) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = xe2x+1 y la recta
y = x.
3. (2 Puntos) Determinar el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un
triángulo equilátero de lado `.
4. (3 Puntos) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) x2y′ = y2 + 2xy (b) x2y′ + 2xy =
cos x
sen3 x
Universidad
de Murcia
Dpto. de Matemáticas
Fundamentos Matemáticos para el
Estudio del Medio Ambiente.
Final (1er Parcial). 07-07-2004.
1. (3 Puntos) Estudiar y representar gráficamente la función
f(x) =
1
x3 − 3x + 2
.
2. (2 Puntos) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = xe2x+1 y la recta
y = x.
3. (2 Puntos) Determinar el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un
triángulo equilátero de lado `.
4. (3 Puntos) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) x2y′ = y2 + 2xy (b) x2y′ + 2xy =
cos x
sen3 x
Universidad
de Murcia
Dpto. de Matemáticas
Fundamentos Matemáticos para el
Estudio del Medio Ambiente.
Final (2do Parcial). 07-07-2004.
1. (2.5 Puntos) Se ha observado el crecimiento de una población de bacterias, obteniéndose
los datos siguientes, referidos a una unidad de volumen:
xi = d́ıas desde el cultivo 1 2 3 4
yi = millones de bacterias 1 1.5 3 5
Comprobar, entre las aproximaciones lineal (y = a+ bx) y exponencial (y = aebx), cuál
es mejor.
2. (2.5 Puntos) Discutir y resolver, en los casos en que sea posible, el siguiente sistema
de ecuaciones en función del parámetros m.



x + y + z = m− 1
mx + (m− 1)y + z = m− 1
(m + 1)x + (m + 1)z = m− 1
3. (2.5 Puntos) Estudiar si la siguiente matriz es o no diagonalizable, y en caso afirmativo,
obtener las matrices diagonal y de paso:
A =


2 0 1
0 −1 0
0 1 −1


4. (2.5 Puntos) Encontrar las funciones de efectivos de dos especies que conviven de
acuerdo con el modelo
xn+1 = 2xn + yn
yn+1 = xn + 2yn,
sabiendo que las condiciones iniciales del sistema son x0 = 4 e y0 = 2.
Universidad
de Murcia
Dpto. de Matemáticas
Fundamentos Matemáticos para el
Estudio del Medio Ambiente.
Final (2do Parcial). 07-07-2004.
1. (2.5 Puntos) Se ha observado el crecimiento de una población de bacterias, obteniéndose
los datos siguientes, referidos a una unidad de volumen:
xi = d́ıas desde el cultivo 1 2 3 4
yi = millones de bacterias 1 1.5 3 5
Comprobar, entre las aproximaciones lineal (y = a+ bx) y exponencial (y = aebx), cuál
es mejor.
2. (2.5 Puntos) Discutir y resolver, en los casos en que sea posible, el siguiente sistema
de ecuaciones en función del parámetros m.



x + y + z = m− 1
mx + (m− 1)y + z = m− 1
(m + 1)x + (m + 1)z = m− 1
3. (2.5 Puntos) Estudiar si la siguiente matriz es o no diagonalizable, y en caso afirmativo,
obtener las matrices diagonal y de paso:
A =


2 0 1
0 −1 0
0 1 −1


4. (2.5 Puntos) Encontrar las funciones de efectivos de dos especies que conviven de
acuerdo con el modelo
xn+1 = 2xn + yn
yn+1 = xn + 2yn,
sabiendo que las condiciones iniciales del sistema son x0 = 4 e y0 = 2.
Universidad
de Murcia
Dpto. de Matemáticas
Fundamentos Matemáticos para el
Estudio del Medio Ambiente.
Examen Final. 07-07-2004.
1. (2 Puntos) Estudiar y representar gráficamente la función
f(x) =
1
x3 − 3x + 2
.
2. (3 Puntos) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) x2y′ = y2 + 2xy (b) x2y′ + 2xy =
cos x
sen3 x
3. (3 Puntos) Discutir y resolver, en los casos en que sea posible, el siguiente sistema de
ecuaciones en función del parámetros m.



x + y + z = m− 1
mx + (m− 1)y + z = m− 1
(m + 1)x + (m + 1)z = m− 1
4. (2 Puntos) Encontrar las funciones de efectivos de dos especies que conviven de acuerdo
con el modelo
xn+1 = 2xn + yn
yn+1 = xn + 2yn,
sabiendo que las condiciones iniciales del sistema son x0 = 4 e y0 = 2.
Universidad
de Murcia
Dpto. de Matemáticas
Fundamentos Matemáticos para el
Estudio del Medio Ambiente.
Examen Final. 07-07-2004.
1. (2 Puntos) Estudiar y representar gráficamente la función
f(x) =
1
x3 − 3x + 2
.
2. (3 Puntos) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) x2y′ = y2 + 2xy (b) x2y′ + 2xy =
cos x
sen3 x
3. (3 Puntos) Discutir y resolver, en los casos en que sea posible, el siguiente sistema de
ecuaciones en función del parámetros m.



x + y + z = m− 1
mx + (m− 1)y + z = m− 1
(m + 1)x + (m + 1)z = m− 1
4. (2 Puntos) Encontrar las funciones de efectivos de dos especies que conviven de acuerdo
con el modelo
xn+1 = 2xn + yn
yn+1 = xn + 2yn,
sabiendo que las condiciones iniciales del sistema son x0 = 4 e y0 = 2.