Análisis Estrutural II

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN 
FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO 
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 
 
 
 
TEMA: 
ANALISIS MATRICIAL EN ARMADURAS 2D 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
CURSO: 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
 
CICLO: 
VI 
 
ALUMNO: 
FERNANDEZ ARCELA, MARCO DAVID 
 
 
 
 
 
 
PIMENTEL 03 DE MAYO DEL 2015 
 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II – PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
EJERCICIO 1 
La estructura plana mostrada en la figura esta compuesta con 5 elementos biarticulados. 
Los elementos AD y BC no estan unidos directamente, al igual que los elementos CF y 
DE. Suponga para todos elementos EA = 30000 ton. 
La estructura se somete a una carga de 20 ton. Aplicada en el punto “C” dirigida 
verticalmente hacia abajo. Note que la estructura y las acciones sobre ella son simetricas, 
por lo que no hay componentes horizontales de desplazamiento en C o D. Por lo tanto, el 
analisis puede hacerse con 2 GDL. Indicados. 
Determine: 
a) Los desplazamientos para ambos grados de libertal 
b) Las fuerzas axiales en los elementos CD y en 1 cualquiera de los otros elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
Desarrollo: 
 Datos: 
 EA = 3x104 ton 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
LONGITUD DE LAS BARRAS 
N° de Barra Longitud (m) 
1 7.00 
2 7.00 
3 8.00 
4 7.80 
5 4.20 
HALLAR MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL [k], donde EA = CTE 
[�] = �
 
 4285.71 0 0 0 0 
 0 4285.71 0 0 0 [�] = 0 0 4285.71 0 0 
 0 0 0 4285.71 0 
 0 0 0 0 7142.86 
 
PASO 1.- Hallar Matriz Continuidad 
 � = [ .− . ] � = [ .− . ] � = [ .. ] 
 � = [ .. ] � = [ .. ] 
 
 
 [0] [µ1]t 1 
 -[µ2]t [0] 2 
[a] = [µ3]t [0] 3 
 [0] -[µ4]t 4 
 [µ5]t -[µ5]t 5 
 5 6 
 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
MATRIZ DE CONTINUIDAD 
 0 0 0.8 -0.6 1 
 -0.8 0.6 0 0 2 
[a] = 0.8 0.6 0 0 3 
 0 0 -0.8 -0.6 4 
 0 1 0 -1 5 
 X Y X Y 
 5 6 
 
 
PASO 2.- Hallar Matriz de Rigidez General [K] [�] = [�] [�][�] 
 Hallar [a]t 
 0 -0.8 0.8 0 0 
[a]t = 0 0.6 0.6 0 1 
 0.8 0 0 -0.8 0 
 -0.6 0 0 -0.6 -1 
 
 
 5485.71 0 0 0 
[K]= 0 10228.57 0 
-
7142.857 
 0 0 5485.714 0 
 0 
-
7142.857 0 10228.57 
 
PASO 3.- Hallar los desplazamientos [µ] [�] = [ ]− [ ] 
 Hallar [ ]− 
 0.00018229 0 0 0 [ ]− = 0 0.00019082 0 0.00013325 
 0 0 0.00018229 0 
 0 0.00013325 0 0.00019082 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
 
 Hallamos [F] y luego [µ] 
 0.00 0.00 
[F] = 0.00 [µ]= 
-
0.00266508 
 0.00 0.00 
 -20.00 -0.0038164 
 
 
PASO 4.- Hallar el vector deformaciones [e] [�] = [�][�] 
 
 0.002 
 -0.002 
[e]= -0.002 
 0.002 
 0.001 
 
 
PASO 5.- Hallar el vector de fuerza en cada barra [s] [ ] = [�][�] 
 9.81 
 -6.85 
[s]= -6.85 
 9.81 
 8.22 
 
 
 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
PASO 6.- Hallar el vector Fuerzas Externas [F], para comprobar que el resultado sea 
correcto [�] = [�] [ ] 
 0.00 
[F]= 0.00 
 0.00 
 -20.00 
 
 
PASO 7.- Hallar las Reacciones de los Apoyos [�] = [��] [ ] 
 
 Hallar [��] 
 
 -[µ1]t 0 0 0 1 
 0 0 0 [µ2]t 2 
[ah]= 0 -[µ3]t 0 0 3 
 0 0 [µ4]t 0 4 
 0 0 0 0 5 
 1 2 3 4 
 
 
 
 -0.8 0.6 0 0 0 0 0 0 1 
 0 0 0 0 0 0 0.8 -0.6 2 
[ah]= 0 0 -0.8 -0.6 0 0 0 0 3 
 0 0 0 0 0.8 0.6 0 0 4 
 0 0 0 0 0 0 0 0 5 
 X Y X Y X Y X Y 
 1 2 3 4 
 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
 
 Hallar [��] 
 -0.8 0 0 0 0 
 0.6 0 0 0 0 
 0 0 -0.8 0 0 
 0 0 -0.6 0 0 [��] = 0 0 0 0.8 0 
 0 0 0 0.6 0 
 0 0.8 0 0 0 
 0 -0.6 0 0 0 
 
 
 
Las reacciones son: 
 -7.85 
 5.89 
 5.48 
 4.11 
[H]= 7.85 
 5.89 
 -5.48 
 4.11 
 
 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
 
RESPUESTAS: 
a) El punto 5 se desplaza 0.00 en el eje “X”, -0.00266508 en eje “Y” 
El punto 6 se desplaza 0.00 en el eje “X”, -0.00381640 en el eje “Y” 
 
b) Las fuerzas axiales son las siguientes : 
 CD es 8.22 en compresión. 
 BC es 9.81 en compresión. 
 AD es 6.85 en tensión. 
 DE es 6.85 en tensión. 
 CF es 9.81 en compresión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
 
 
 
EJERCICIO N° 2 .- RESOLVER CON MÉTODO MATRICIAL 
La estructura de la figura se somete a una carga vertical ( hacia abajo) de 12 ton. En el 
nudo 3, determine los desplazamientos ( verticales) de los nudos y las fuerzas axiales en 
cada barra. Las barras horizontales tienen un area de seccion transversal de 15 cm2; el 
resto de los elementos tien un area de 10 cm2. 
 
 Considerar para todos los elementos EI = 2.1x106 kg/cm2 
 
 Note que, siendo la estructura y las acciones simetricas, el analisis puede 
efectuarse con dos grados de libertad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desarrollo: 
Hallar EA, asumiendo que el area transversal es circular para todas las barras. 
Entonces: 
PARA LOS ELEMENTOS HORIZONTALES �ℎ = � = �� 
� = √ � = . � 
 � = �� = � . = . � 
 
Al EI lo divido en I, y quedara solo E �� = . � 6 ���. � = . � 6 ��� 
PARA LOS ELEMENTOS RESTANTES � = � = �� 
� = √ � = . � 
 � = �� = � . = . � 
 
Al EI lo divido en I, y quedara solo E �� = . � 6 ���. � = . � 6 ��� 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
Ahora Multiplicamos por el A, y tendremos 
un EA, para elementos horizontales � = . � 6 �� 
Transformamos de kg a tn � = . � � 
 
Ahora Multiplicamos por el A, y tendremos 
un EA, para los demas elementos. � = . � 6 �� 
Transformamos de kg a tn � = . � � 
 
LONGITUD DE LAS BARRAS 
N° de Barra Longitud (m) 
1 4.00 
2 4.00 
3 4.00 
4 4.00 
5 5.00 
6 5.00 
7 5.00 
8 5.00 
9 3.00 
 
HALLAR MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL [k], donde EA = CTE 
 [�] = �
 
 
 4588.70 0 0 0 0 0 0 0 0 
 0 4588.70 0 0 0 0 0 0 0 
 0 0 4588.70 0 0 0 0 0 0 
 0 0 0 4588.70 0 0 0 0 0 [�] = 0 0 0 0 2997.33 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0 2997.33 0 0 0 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 0 0 0 0 0 0 2997.33 0 0 
 
0 0 0 0 0 0 0 2997.33 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 4995.55 
 
 
 
 
PASO 1.- Hallar Matriz Continuidad 
 � = [ .. ] � = [ .. ] � = [ .. . ] 
 � = [ .. ] � = [ .− . ] � = [ .− . ] 
 � = [ .− . ] � = [ .. ] � = [ .. ] 
 
 
 [µ1]t [0] 1 
 -[µ2]t [0] 2 
 [0] [µ3]t 3 
 [0] -[µ4]t 4 
[a] = [0] [µ5]t 5 
 [µ6]t [0] 6 
 -[µ7]t [0] 7 
 [0] -[µ8]t 8 
 [µ9]t -[µ9]t 9 
 5 6 
 
 
 
MATRIZ DE CONTINUIDAD 
 
 1 0 0 0 1 
 -1 0 0 0 2 
 0 0 1 0 3 
 0 0 -1 0 4 
[a]= 0 0 0.8 -0.6 5 
 0.8 0.6 0 0 6 
 -0.8 0.6 0 0 7 
 0 0 -0.8 -0.6 8 
 0 1 0 -1 9 
 X Y X Y 
 5 6 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASO 2.- Hallar Matriz de Rigidez General [K] 
 [�] = [�] [�][�] 
 Hallar [a]t 
 1 -1 0 0 0 0.8 -0.8 0 0 
[a]t = 0 0 0 0 0 0.6 0.6 0 1 
 0 0 1 -1 0.8 0 0 -0.8 0 
 0 0 0 0 -0.6 0 0 -0.6 -1 
 
 
 13013.98732 0 0 0 
 0 7153.62406 0 -4995.54753 
[K]= 0 0 13013.98732 0 
 0 -4995.54753 0 7153.62406 
 
 
PASO 3.- Hallar los desplazamientos [µ] [�] = [ ]− [ ] 
 
Hallar [ ]− 
 7.68404E-05 0 0 0 [ ]− = 0 0.00027284 0 0.00019053 
 0 0 7.68404E-05 0 
 0 0.00019053 0 0.00027284 
 
 
 Hallamos [F] y luego [µ] 
 0.00 0.00 
[F] = 0.00 [µ]= -0.002286 
 0.00 0.00 
 -12.00 -0.003274 
 
 
PASO 4.- Hallar el vector deformaciones [e] [�] = [�][�] 
 0.00 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 0.00 
 0.00 
[e]= 0.00 
 0.00196447 
 -0.00137184 
 -0.00137184 
 0.00196447 
 0.00098772 
PASO 5.- Hallar el vector de fuerza en cada barra [s] [ ] = [�][�] 
 
 0.00 
 0.00 
 0.00 
[s]= 0.00 
 5.88 
 -4.11 
 -4.11 
 5.88 
 4.93 
 
PASO 6.- Hallar el vector Fuerzas Externas [F], para comprobar que el resultado sea 
correcto 
 [�] = [�] [ ] 
 
 0.00 
[F]= 0.00 
 0.00 
 -12.00 
 
PASO 7.- Hallar las Reacciones de los Apoyos 
 [�] = [��] [ ] 
 
 Hallar [��] 
 
 -[µ1]t [0] [0] [0] 
 [0] [0] [µ2]t [0] 
 [0] -[µ3]t [0] [0] 
 [0] [0] [0] [µ4]t 
[ah]= -[µ5]t [0] [0] [0] 
 [0] -[µ6]t [0] [0] 
 [0] [0] [0] [µ7]t 
ANALISIS ESTRUCTURALII 
Fernández Arcela Marco 
 [0] [0] [µ8]t [0] 
 [0] [0] [0] [0] 
 
 
 
 
 
 
 
 -1 0 0 0 0 0 0 0 
 0 0 0 0 1 0 0 0 
 0 0 -1 0 0 0 0 0 
[ah]= 0 0 0 0 0 0 1 0 
 -0.8 0.6 0 0 0 0 0 0 
 0 0 -0.8 -0.6 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0.8 -0.6 
 0 0 0 0 0.8 0.6 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
 
 
 
 Hallar [��] 
 
 -1 0 0 0 -0.8 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0.6 0 0 0 0 
 0 0 -1 0 0 -0.8 0 0 0 
[ah]t= 0 0 0 0 0 -0.6 0 0 0 
 0 1 0 0 0 0 0 0.8 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0.6 0 
 0 0 0 1 0 0 0.8 0 0 
 0 0 0 0 0 0 -0.6 0 0 
 
 
 
Las reacciones son: 
 
 
 
 -4.711 
 3.533 
 3.289 
[H]= 2.467 
 4.711 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 3.533 
 -3.289 
 2.467 
 
 
 
 
 
RESPUESTAS: 
a) Determine los desplazamientos ( verticales) de los nudos. 
En el punto 5 se desplaza verticalmente 0.002286 hacia abajo 
En el punto 6 se desplza verticalmente 0.003274 hacia abajo 
 
b) Las fuerzas axiales en cada barra. 
 
Nro de barra Fza. Axial 
1 0.00 ------ 
2 0.00 ------ 
3 0.00 ------ 
4 0.00 ------ 
5 5.88 Compresion 
6 -4.11 Tension 
7 -4.11 Tension 
8 5.88 Compresion 
9 4.93 Compresion 
 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO N° 3 .- RESOLVER CON MÉTODO MATRICIAL 
La estructura plana de la figura mostrada esta compuesta por elementos biarticulados, determine 
los desplazamientos verticales de los nudos B y C y las fuerzas axiales en cada elemento, que se 
despues de aplicar una carga vertical (hacia abajo) de 12 ton. En el nudo C, para todos los 
elementos considerar (EA=3x104 ton). Note que, siendo la estructura y las acciones simetricas 
puede realizarse con dos grados de libertad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solucion: 
EA = 3x104 ton 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
 
 
 
 
 
LONGITUD DE LAS BARRAS 
N° de Barra Longitud (m) 
1 4.34 
2 3.79 
3 4.34 
4 3.79 
5 1.20 
 
HALLAR MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL [k], donde EA = CTE 
 [�] = �
 
 
 6933.75 0.00 0.00 0.00 0.00 
 0.00 7905.69 0.00 0.00 0.00 
[k]= 0.00 0.00 6933.75 0.00 0.00 
 0.00 0.00 0.00 7905.69 0.00 
 0.00 0.00 0.00 0.00 25000.00 
 
 
 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
PASO 1.- Hallar Matriz Continuidad 
 � = [ .. ] � = [ .. ] � = [ .. − . ] 
 � = [ .− . ] � = [ .. ] 
 
 
 [µ1]t 0 
 0 [µ2]t 
[a]= -[µ3]t 0 
 0 -[µ4]t 
 [µ5]t -[µ5]t 
 
MATRIZ DE CONTINUIDAD 
 
 0.83 0.55 0 0 
 0 0 0.95 0.32 
[a]= -0.83 0.55 0 0 
 0 0 -0.95 0.32 
 0 1 0 -1 
 
 
PASO 2.- Hallar Matriz de Rigidez General [K] 
 [�] = [�] [�][�] 
 Hallar [a]t 
 0.83 0 -0.83 0 0 
 0.55 0 0.55 0 1 
[a]t= 0 0.95 0 -0.95 0 
 0 0.32 0 0.32 -1 
 
 
 
 9553.32413 0 0 0 
[K]= 0 29194.9202 0 -25000 
 0 0 14269.77794 0 
 0 -25000 0 26619.0862 
 
 
PASO 3.- Hallar los desplazamientos [µ] [�] = [ ]− [ ] 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
Hallar [ ]− 
 0.00010468 0 0 0 [ ]− = 0 0.00017496 0 0.00016432 
 0 0 
7.00782E-
05 
0 
 0 0.00016432 0 0.00019189 
 
 
 Hallamos [F] y luego [µ] 
 0.00 0.00 
[F] = 0.00 [µ]= -0.00197184 
 0.00 0.00 
 -12.00 -0.00230271 
 
 
PASO 4.- Hallar el vector deformaciones [e] [�] = [�][�] 
 
 -0.001 
[e]= -0.001 
 -0.001 
 -0.001 
 0.000 
 
 
PASO 5.- Hallar el vector de fuerza en cada barra [s] [ ] = [�][�] 
 -7.52 
[s]= -5.83 
 -7.52 
 -5.83 
 8.27 
 
PASO 6.- Hallar el vector Fuerzas Externas [F], para comprobar que el resultado sea 
correcto 
 [�] = [�] [ ] 
 
 0.00 
[F]= 0.00 
 0.00 
 -12.00 
 
PASO 7.- Hallar las Reacciones de los Apoyos 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 [�] = [��] [ ] 
 
 Hallar [��] 
 
 -[µ1]t [0] 
 -[µ2]t [0] 
[ah]= [0] [µ3]t 
 [0] [µ4]t 
 [0] [0] 
 
 
 
 -0.83 -0.55 0 0 
 -0.95 -0.32 0 0 
[ah]= 0 0 0.83 -0.55 
 0 0 0.95 -0.32 
 0 0 0 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hallar [��] 
 
 -0.83 -0.95 0 0 0 
[ah]t= -0.55 -0.32 0 0 0 
 0 0 0.83 0.95 0 
 0 0 -0.55 -0.32 0 
 
Las reacciones son: 
 
 11.78 
[H] = 6 
 -11.78 
 6 
 
ANALISIS ESTRUCTURAL II 
Fernández Arcela Marco 
 
RESPUESTAS: 
a) Determine los desplazamientos ( verticales) de los nudos B y C. 
En el punto 5 se desplaza verticalmente 0.00197184 m hacia abajo 
En el punto 6 se desplza verticalmente 0.00230271 m hacia abajo 
 
b) Las fuerzas axiales en cada barra. 
 
 Nro de Barra Fza. Axial 
 1 -7.52 Compresion 
 2 -5.83 Compresion 
 3 -7.52 Compresion 
 4 -5.83 Compresion 
 5 8.27 Tension