INSTITUTO_TECNOLOGICO_DE_CHILPANCINGO_IN

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHILPANCINGO 
 
 
INGENIERIA CIVIL 
 
 
ESTATICA 
 
 
ANALISIS DE ESTRUCTURAS 
 
 
EDGAR BENJAMIN NAJERA LOPEZ 
 
 
16520360 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivo 
El objetivo de la investigacion es conocer todo lo posible acerca de los temas de análisis de 
estructuras y conocer su aplicación analítica para demostrar la aplicación que tiene en el campo 
real . 
 
Contenido 
Objetivo ............................................................................................................................................... 2 
Determinación de esfuerzos[editar] ....................................................................................... 4 
Determinación de resistencia y rigidez ................................................................................. 4 
Modelos materiales .................................................................................................................. 5 
Análisis de estructuras hiperestáticas ....................................................................................... 5 
Análisis dinámico de estructuras................................................................................................ 5 
Vigas .................................................................................................................................................... 6 
Armaduras ........................................................................................................................................... 9 
Analisis de una armadura por el metodo de nodos .......................................................................... 10 
Analisis de una armadura por el metodo de secciones .................................................................... 12 
Mecanismos ...................................................................................................................................... 14 
Análisis del equilibrio ................................................................................................................. 15 
CABLES ............................................................................................................................................... 16 
1. Cables sometidos a cargas puntuales .................................................................................... 17 
Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas en la proyección horizontal ......... 20 
Conclusión ......................................................................................................................................... 24 
 
 
Análisis de estructuras 
 
Análisis estructural se refiere al uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para 
encontrar los esfuerzos internos, deformaciones y tensiones que actúan sobre una 
estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria. 
Igualmente el análisis dinámico estudiaría el comportamiento dinámico de dichas 
estructuras y la aparición de posibles vibraciones perniciosas para la estructura. 
 
Determinación de esfuerzos 
El tipo de método empleado difiere según la complejidad y estructuras muy sencillas entre 
los que se encuentran la teoría de vigas de Euler-Bernoulli es el método más simple, es 
aplicable sólo a barras esbeltas sometidas a flexión y esfuerzos axiales. Naturalmente no 
todas las estructuras se dejan analizar por este método. Cuando existen elementos 
estructurales bidimensionales en general deben emplearse métodos basados en resolver 
ecuaciones diferenciales. 
Métodos programables: 
 Así para determinar esfuerzos sobre marcos o pórticos se usa frecuentemente 
el método matricial de la rigidez basado en el modelo de barras largas, que 
modeliza los elementos resistentes como elementos unidimensionales sometidos 
predominantemente a flexión 
 Cuando se trata de analizar elementos más pequeños o con forma irregular donde 
pueden producirse concentraciones de tensiones se usan métodos numéricos 
más complejos como el Método de los elementos finitos. 
 
Determinación de resistencia y rigidez 
A partir de los esfuerzos se pueden calcular directamente los desplazamientos y las 
tensiones. En el caso del método de los elementos finitos se suele determinar 
directamente el desplazamiento sin necesidad de calcular los esfuerzos internos. Una 
estructura correctamente diseñada además de ser funcional y económica debe cumplir 
obligatoriamente dos criterios razonables de seguridad: 
1. El criterio de resistencia, consistente en comprobar en que en ninguno de sus 
puntos el material sobrepasa unas tensiones admisibles máximas. 
2. El criterio de rigidez, consistente en comprobar que bajo las fuerzas y 
solicitaciones actuantes los desplazamientos y deformaciones de la estructura no 
sobrepasan un cierto límite. Dicho límite está relacionado con criterios de 
funcionalidad, pero también de estabilidad o de aplicabilidad de la teoría de la 
elasticidad lineal.1 
 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_din%C3%A1mico
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez
https://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Concentraci%C3%B3n_de_tensi%C3%B3n&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_finitos
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructural#cite_note-Hibbeler-1
 
 
Modelos materiales 
Dentro del análisis estructural es importante modelizar el comportamiento de los 
materiales empleados mediante una ecuación constitutiva adecuada. Los tipos modelos 
de materiales más frecuentes son: 
 Modelo elástico lineal e isótropo, el más usado, ya que el teorema de Rivlin-
Ericksen permite establecer que para deformaciones suficientemente pequeñas todo 
sólido elástico es asintóticamente lineal e isótropo. 
 Modelo elástico lineal ortotrópico, constituye una modificación de modelo isótropo 
para materiales cuya resistencia y comportamiento depende de la dirección, 
laminados, elementos de madera, etc., requieren modelos ortótropos para ser 
adecuadamente modelizados. 
 Modelos de plasticidad y viscoplasticidad. Los metales a partir de ciertos valores de 
tensión experimentan deformaciones plásticas irreversibles, así como otras no 
linealidades. El cálculo plástico a costa de complicar las leyes materiales dan una 
predicción más exacta de las cargas de colapso o fallo de las estructuras, así como un 
ahorro en material al poder tener en cuenta el rango de trabajo de los materiales en el 
que estos están experimentando transformaciones irreversibles pero sin alcanzar las 
cargas de fallo o colapso. 
 Modelos de daño. 
 
Análisis de estructuras hiperestáticas 
Este tipo de estructuras no pueden ser analizadas únicamente mediante las ecuaciones 
de la estática o de equilibrio, ya que éstas últimas proporcionan un número insuficiente de 
ecuaciones. Los problemas hiperestáticos requieren condiciones adicionales usualmente 
llamadas ecuaciones de compatibilidad que involucran fuerzas o esfuerzos internos y 
desplazamientos de puntos de la estructura. Existen varios métodos generales que 
pueden proporcionar estas ecuaciones: 
 Método matricial de la rigidez 
 Teoremas de Castigliano 
 Teoremas de Mohr 
 Teorema de los tres momentos 
 
Análisis dinámico de estructuras 
Otra área importante del diseño de maquinaria, análisis de vibraciones y diseño 
sísmico de edificios es el análisis dinámico. En este tipo de análisis se buscan las 
respuestas máximas de ciertos parámetros (aceleraciones, desplazamientos, esfuerzos, 
etc.) que se producen en una estructura bajo cargas dinámicas o variables con el tiempo. 
Eso en general requiere el uso de ecuaciones diferenciales. Algunos aspectos frecuentes 
del análisis dinámico incluyen: 
https://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)https://es.wikipedia.org/wiki/Isotrop%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rivlin-Ericksen
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rivlin-Ericksen
https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica#Materiales_el%C3%A1sticos_ortotr%C3%B3picos
https://es.wikipedia.org/wiki/Plasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)
https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad
https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_compatibilidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez
https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Castigliano
https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Mohr
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_tres_momentos
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_vibraciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_s%C3%ADsmica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_s%C3%ADsmica
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_din%C3%A1mico
 Análisis modal 
 Determinación de frecuencias propias 
 Determinación de fenómenos de resonancia 
Vigas 
Las vigas son miembros generalmente colocados en posición horizontal y que soportan 
una carga vertical. Esta carga vertical se puede distribuir en todo el claro o aplicarla sólo 
en un segmento del mismo. Si la carga se distribuye sobre un segmento muy corto del 
claro, se considera como carga en un punto. 
 
 
 
Los modelos estudiados hasta ahora involucraban la estabilidad y equilibrio externo de la 
estructura. Para completar el análisis se hace necesario el conocimiento de las fuerzas 
internas en cada uno de los elementos que componen el sistema estructural. En este 
caso nos referiremos a los elementos tipo viga. 
Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incógnitas: 
una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas 
de extremo y aplicando el método de las secciones en cualquier punto de la viga nos 
daría como resultado un tramo de viga estáticamente determinado con tres ecuaciones 
estáticas disponibles y tres incógnitas por determinar. Observemos que la clave es 
conocer las fuerzas de extremo de elemento, es decir, aquellas que se ejercen en las 
uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructural y de ahí proceder a 
determinar las fuerzas internas por la estática. Podemos concluir que el elemento a 
analizar es estáticamente determinado así pertenezca a un sistema indeterminado. 
Esto explica porque la metodología y el objetivo de los métodos de análisis es determinar 
las fuerzas de unión y de ahí seguir con el análisis independiente de cada elemento. 
Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, 
considerarlo con sus fuerzas extremas como fuerzas de reacción y analizarlo hasta 
encontrar las fuerzas internas: 
 
 
 
Notemos que al partir el elemento una sección ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a 
un apoyo de empotramiento, podemos decir, que las conexiones que se generan a lo 
largo del elemento son uniones rígidas y las fuerzas en cada sección son iguales y de 
sentido contrario. 
Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizará la siguiente convención: 
Cortante: Las fuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotación horaria 
del elemento 
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_modal_utilizando_FEM
 
 
Momento: Los momentos positivos son aquellos que producen concavidad hacía arriba 
en el elemento horizontal o tracciones en la fibra inferior. Para elementos verticales esta 
convención se puede complicar un poco por lo tanto regirá el criterio de dibujar el 
diagrama de momentos para la cara traccionada. 
 
 
 
Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica tracción en el 
elemento. 
Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas 
de fuerza axial (P), diagramas de fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector 
(M). Los diagramas representan la variación de estas fuerzas a lo largo del elemento, 
dibujando en las abcisas la longitud del elemento y en las ordenadas el valor de la fuerza 
interna. Para axial y cortante los valores positivos se dibujan por encima del elemento 
pero para los momentos se dibujará el diagrama para el lado traccionado del elemento, 
así, si el elemento es horizontal el lado positivo del diagrama estará para abajo. La 
convención para momentos rige para cualquier ubicación de este en el espacio y es 
independiente del origen escogido, ya sea este en el extremo derecho o izquierdo del 
elemento. 
 
Relación entre momento cortante y carga 
En el caso de cargas distribuidas actuando perpendicular al elemento se puede encontrar 
una relación con las fuerzas internas de cortante y momento por medio del siguiente 
análisis de una sección infinitesimal del elemento. 
 
Aplicando equilibrio a la sección de viga indicada tenemos: 
 
integrando a ambos lados, tenemos: 
 
la variación del cortante en un tramo de viga dado es igual al área bajo la curva de 
carga. (note que el equilibrio se hizo con la carga negativa, por lo tanto no se debe 
involucrar otra vez su signo en la ecuación). 
dividiendo por dL a ambos lados tenemos: 
 
donde podemos decir que la pendiente a la curva del diagrama de cortante es igual al 
negativo de la carga distribuida. 
Ahora con la ecuación de momentos tenemos: 
 
 
onsiderando una longitud muy pequeña del trozo de viga analizado, el término con dL2 se 
aproxima a cero, y la ecuación nos queda 
 
integrando: 
 
de donde la segunda integral representa el área bajo la curva del diagrama de cortantes 
en un tramo de viga dado y podemos concluir que la variación del diagrama de momentos 
en un tramo de vigas es igual al área bajo la curva del diagrama de cortante. 
Dividiendo a ambos lados por dL, tenemos: 
 
Donde la pendiente del diagrama de momentos en cualquier punto es igual al valor del 
cortante en ese punto. 
 
Armaduras 
Es un tipo de estructura de mayor importancia en ingeniería. Proporciona soluciones 
tanto prácticas comoeconómicas a muchos problemas, principalmente en el diseño 
de puentes y edificios. Las armaduras que a continuación vamos a analizar se tratan de 
estructuras planas en dos dimensiones, pero que, varios planos unidos entre sí pueden 
formar elementos tridimensionales. 
 
Es un montaje de elementos delgados y rectos que soportan cargas principalmente 
axiales(de tension y compresión ) en esos elementos.Los elementos que conforman la 
armadura,se unen en sus puntos extremos por medio de pasadores lisis sin friccion 
localizados en una placa llamada "Placa de Unión ", o por medio de 
soldadura,mremaches,tornillos, para formar un armazon rigido. 
 
Como los elementos o miembros son delgados e incapaces de soportar cargas 
laterales,todas las cargas deben estar aplicadas en las uniones o nodos. Se dice que una 
armadura es rígida si está diseñada de modo que se deformará mucho bajo la acción de 
una carga pequeña. 
 
 
Armaduras simples 
La mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias armaduras unidas 
entre sí para formar una armadura espacial. Las armaduras simple, son aquellas 
armaduras que se obtienen a partir de una armadura triangular rígida, agregándole dos 
nuevos elementos y conectándolos en un nuevo nodo. Si a una armadura triangular rígida 
le agregamos dos nuevos elementos y los conectamos en un nuevo nodo, también se 
obtiene una estructura rígida. 
 
Las armaduras que se obtienen repitiendo este procedimiento reciben el nombre de 
armaduras simples. Se puede comprobar que en una armadura simple el número total de 
elementos es m = 2 n -3, donde n es el número total de nodos. 
 
 
 
Consideraciones importantes para el analisis de una armadura 
 
En el primer caso tienden a estirar al elemento y éste está en tensión o tracción; en la 
segunda figura tiendena comprimir al elemento y el mismo está en compresión. 
 
 
 
 
 
 
 
Analisis de una armadura por el metodo de nodos 
 
El método de los nodos nos permite determinar las fuerzas en los distintos elementos de 
una armadura simple. Consiste en: 
 
 
1. Obtener las reacciones en los apoyos a partir del DCL de la armadura completa. 
2. Determinar las fuerzas en cada uno de los elementos haciendo el DCL de cada 
uno de los nodos o uniones. Se recomienda empezar analizando aquellos nodos 
que tengan no más de dos incógnitas. 
Si la fuerza ejercida por un elemento sobre un perno está dirigida hacia el perno, dicho 
elemento está en compresión; si la fuerza ejercida por un elemento sobre el perno está 
dirigida hacia fuera de éste, dicho elemento está en tensión. 
 
Ejemplo: Determinar las fuerzas axiales en los miembros de la armadura e indicar si están 
en tensión o en compresión. 
 
 
 
Analisis de una armadura por el metodo de secciones 
 
El método de las secciones para el análisis de armaduras se basa en el equilibrio de 
cuerpo rígido de una parte de la armadura. 
 
Pasos para analizar una armadura por el método de las secciones. 
 
 
1. Realizar un diagrama de cuerpo libre sobre la armadura completa. Escribir las 
ecuaciones de equilibrio y resolver estas ecuaciones para determinar las 
reacciones en los apoyos. 
2. Localice los miembros de la armadura para los cuales se desean encontrar las 
fuerzas. Marque cada uno de ellos con dos trazos cortos como se muestra en la 
figura. 
3. Trace una línea ( corte) a través de la armadura para separarla en dos partes. No 
es necesario que la línea sea recta, sino que debe separar a la armadura en dos 
partes apropiadas. Así mismo, se debe tener en cuenta que cada una de las 
partes de la armadura debe contener por lo menos un miembro completo ( sin 
cortar). 
4. Seleccione una de las partes de la armadura seccionadas en el paso 3 y dibuje un 
diagrama de cuerpo libre de ella. A menos que se tenga otra información, suponga 
que las fuerzas desconocidas en los miembros son de tensión. 
5. Escriba las ecuaciones de equilibrio para las partes seleccionadas en el paso 4. Si 
en el paso 3 fue necesario cortar más de tres miembros con fuerzas desconocidas 
en ellos, es posible que se tenga que considerar partes adicionales de la armadura 
o nodos por separados. Para determinar las incógnitas. 
6. Resuelva el conjunto de ecuaciones obtenidas en el paso 5 para determinar las 
fuerzas desconocidas. 
7. Repita los pasos 3 a 6, según se requiera, para completar el análisis. 
 
Ejemplo: Determinar las fuerzas en los elementos FH, GH y GI, de la siguiente armadura 
 
 
 
 
 
 
Mecanismos 
 
Se le llama mecanismo a los dispositivos o conjuntos de sólidos resistentes que reciben 
una energía de entrada y, a través de un sistema de transmisión y transformación de 
movimientos, realizan un trabajo. 
Un mecanismo transforma el movimiento de entrada (lineal, circular, oscilante) en un 
patrón deseable, por lo general desarrolla una trayectoria final de salida predecible, 
acorde al problema que se desea solucionar. 
 
Un MECANISMO es un elemento que sirve para facilitar el trabajo humano. Un máquina 
está constituida por varios mecanismos. Estudiaremos las principales máquinas simples 
así como los mecanismos que se encargan de la transmisión del movimiento en máquinas 
complejas. 
 
MAQUINAS SIMPLES 
 Las máquinas simples son las que ideó el hombre para ahorrar esfuerzos a la hora de 
mover cargas o realizar otras tareas, son 6 las máquinas simples: 
LA CUÑA 
EL PLANO INCLINADO 
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos
https://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)
 EL TORNILLO 
 EL TORNO 
LA POLEA 
 LA PALANCA 
 
Análisis del equilibrio 
 
Esquema de fuerzas y momentos en una viga en equilibrio. 
La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a 
los problemas denominados hiperestáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las 
condiciones básicas de equilibrio, que son: 
1. El resultado de la suma de fuerzas es nulo. 
2. El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo. 
 Estas dos condiciones, mediante el álgebra lineal, se convierten en un sistema de 
ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones es la solución de la 
condición de equilibrio. 
 Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, 
heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de 
ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo 
por ordenador. 
Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede 
alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones 
de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante 
la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones 
mediante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de 
la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los sólidos y 
sus efectos internos. 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Viga
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Ordenador
https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables
CABLES 
Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en 
un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería. Pensemos en los puentes 
colgantes, no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicar 
veredas en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productos 
agrícolas en los cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, los cables 
para postensado en una obra de hormigón, los tensores o contravientos para luminarias y 
postes, pagodas o techos, etc. 
Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de tracción, se comportan de forma 
inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de 
flexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte 
de la estructura. En el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las 
cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo trabajo a 
tracción del elemento. 
El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para 
cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal, adquieren una forma 
parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables 
sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de 
aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso (en este caso no es una 
carga uniforme) forman una curva llamada catenaria. Un ejemplo de este último caso es el 
de las redes de energía. En el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los 
extremos hasta el punto mas bajo) no sea muy grande, esta catenaria se puede aproximar 
a una parábola. 
Para el análisis se consideran totalmente flexib les e inextensibles de tal manera que en 
toda su longitud los esfuerzos solo serán axiales de tracción y siempre tangenciales a la 
curva del cable. 
 
 
 
1. Cables sometidos a cargas puntuales 
Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometría tal que en cada punto 
de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del 
cable dependerá de la magnitud de las cargaspuntuales y de su punto de aplicación. 
 
 
Siempre la reacción será contraria a la acción ejercida por el cable, ley de acción y 
reacción, por lo tanto solo se ejercerán fuerzas, no momentos, en la misma dirección del 
último tramo de los cables. Con la articulación como apoyo se asegura que la reacción 
tenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su dirección. 
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendríamos un sistema de tres ecuaciones 
independientes y cuatro incógnitas. Note que la dirección de las reacciones depende de la 
geometría del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas. 
 
Si en el cable analizado, sus dos apoyos están al mismo nivel, se puede solucionar el 
análisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del 
cable. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuación que resulta de la 
geometría del cable. Si se conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se 
podría determinar la dirección de una de las reacciones y así la componente horizontal. 
Para este caso especial la cuarta ecuación sería: 
 y en ese caso las componentes de las fuerzas de reacción se expresan 
en función de θ 
 
 
 
 
 
 
 
Comprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e 
inversamente proporcional a la flecha. 
En el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una de 
las flechas del cable. Asumiendo que la flecha conocida sea central, se puede analizar el 
cable aplicando el método de los nudos, considerando cada punto de aplicación de carga 
como un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el método de las 
secciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y 
tomando momentos con respecto al punto de corte. De esta manera se despeja la 
componente horizontal de la reacción. Tenga en cuenta que para apoyos alineados 
horizontalmente, las componentes verticales de las reacciones se determinan por el 
equilibrio externo. 
A continuación se muestra el diagrama de cuerpo libre cuando se utiliza el método de los 
nudos. 
En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resulta 
una incógnita por averiguar que corresponde a la tracción de este. 
 
 
Para cables con apoyos no lineados horizontalmente, se puede plantear encontrando las 
reacciones en función de la distancia vertical entre el cable y la línea que une los dos 
puntos de apoyo, esta distancia se llama flecha: 
 
 
 
 
 Este valor es constante en toda la longitud del cable ya que no depende de 
P. 
 
 (Ecuación 1) 
Cortando por m y realizando equilibrio en la sección izquierda: 
 
Donde representa los momentos de las cargas externas con respecto 
al punto m. 
Despejando Ay*X 
 (Ecuación 2) 
Igualando la ecuación 1 por X con la ecuación 2: 
 
 
 
 
 
Donde B se considera el extremo derecho del cable y m un punto medido desde el 
extremo izquierdo del cable. Note que en esta ecuación no están involucradas las 
reacciones verticales, solo las cargas externas. 
Esta ecuación relaciona la componente horizontal de la tensión, la flecha del cable en un 
punto determinado y las cargas actuantes, se conoce como el teorema del cable: ·”En un 
punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente 
horizontal de la tensión por la flecha en ese punto, es igual al momento flector que actúa 
en esa sección si se considera el cable como una viga simplemente apoyada”. 
En el caso de que el apoyo en B esté por encima del apoyo A, la ecuación 
 
se conserva. (Realice equilibrio y despeje) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para despejar H o Ym de esta relación se necesita conocer al menos una de las dos. En 
el diseño de estructuras con cables, el diseñador tiene la opción de fijar la flecha deseada 
o fijar la componente horizontal de la tensión, la cual permanece constante en toda la 
longitud. 
 
Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas en la proyección horizontal 
Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección 
horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña. 
La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto 
mas bajo de este. 
Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola en el centro 
o considerarlo desde un extremo. 
 
 
 
 
 
 
 
Desde el centro 
 
 
 
 Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un 
valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma 
de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con 
respecto a D tenemos: 
 
Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, 
note que la ecuación corresponde a una parábola. 
 
 
 
Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la 
flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la 
simetría tenemos: 
, en esta ecuación podemos observar que el momento máximo 
ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al 
momento máximo de una viga simplemente apoyada. 
Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la 
sección indicada: 
 
 
El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es: 
 
 
La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2: 
 
La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente 
horizontal de la tensión, H. 
 
Cables con apoyos no alineados horizontalmente: 
 
 
Tomando momentos con respecto a B y seccionando el cable por m y tomando momentos 
con respecto a m: 
 
 
Igualando Ay y despejando la H*ym 
 
Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x está medida desde el 
extremo izquierdo. 
Para xm=L/2 
 
 
 Que corresponde al valor del momento máximo desarrollado en una viga 
horizontal con la misma carga w. 
La ecuación que define la forma del cable es una parábola con origen en el extremo 
izquierdo: 
 
Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en función de H, se 
deriva e iguala a cero: 
 
 Constituye la tangente en cualquier punto del cable 
 
Para dy/dx=0 
 Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H depende de la 
flecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o ym. 
 
Longitud del cable necesaria: 
 
 
 
 
Expresando una longitud diferencial de cable en función de dx y dy tenemos: 
 
Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical: 
 
Se conoce la expresión dy/dx 
 
Reemplazando: 
 
Integrando esta función se puede obtener la longitud del cable. 
 
En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor 
de dy/dx es: 
 
 
 
dx 
Haciendo una sustitución de variables: 
 
 
 
 
 
, donde X es el valor de la proyección 
horizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tangencia cero. 
 
Conclusión 
En conclusión aprendimos todo acerca de las estructuras y como estudiarlas de una 
forma analítica para comprender mejor lo que pasa al ejercerles una carga y poder 
obtener conocimientos de importancia para nuestra materia.