ESTATICA

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Estática 
 
Estática: Es la rama de la física que analiza los cuerpos en reposo: fuerza, par / 
momento y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio 
estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los 
subsistemas no varían con el tiempo. La primera ley de Newton implica que la 
fuerza neta y el par neto (también conocido como momento de fuerza) de cada 
organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitación pueden derivarse 
cantidades como la carga o la presión. La red de fuerzas de igual a cero se 
conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se 
conoce como la segunda condición de equilibrio. Un cuerpo está en reposo 
cuando su velocidad es igual a cero y está en equilibrio cuando la aceleración es 
igual a cero 
El equilibrio puede ser de tres clases: 
 Estable: Un péndulo, plomada o campana. 
 Inestable: Un bastón sobre su punta. 
 Indiferente: Una rueda en su eje. 
 
Si un cuerpo está suspendido, el equilibrio será estable. Si el centro de gravedad 
está por debajo del punto de suspensión, es inestable. Si el centro de gravedad 
está por encima es indiferente, coincide en ambos puntos. 
El punto de aplicación de la resultante de la fuerza de gravedad que la Tierra 
ejerce sobre todo y cada una de las partículas que se encuentran constituidas por 
un cuerpo se llama centro de gravedad. 
Se llama momento de una fuerza (Mf) con respecto a un eje de rotación al 
producto resultante de multiplicar la intensidad de la fuerza por la distancia que 
existe entre la recta de acción de la fuerza y el eje de rotación. 
A esta distancia se le llama brazo de la fuerza. 
 
 
 
M -> Momento 
F -> Fuerza 
d -> Distancia 
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_de_gravedad
https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_una_fuerza
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Brazo_de_la_fuerza&action=edit&redlink=1
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Una estructura simple se llama pórtico, formada por dos barras y una viga. 
Barra es un elemento estructural. 
CUERPOS RIGIDOS 
 
Equilibrio de Cuerpos Rígidos: Cuando la fuerza y el par son iguales a cero, las 
fuerzas externas forman un sistema equivalente y se dice que el cuerpo rígido se 
encuentra en equilibrio. 
Por tanto, las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo 
rígido se pueden obtener igualando a cero a R y a 𝑜R 
ΣF = 0 ΣMO = Σ(r x F) = 0 
Si se descompone cada fuerza y cada momento, obtenemos, 
Las ecuaciones obtenidas se pueden emplear para determinar fuerzas 
desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o reacciones 
desconocidas ejercidas sobre este por sus puntos de apoyo. 
Para poder escribir las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido, es esencial 
identificar primero todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo y, entonces, 
dibujar el diagrama de cuerpo libre correspondiente. 
Diagrama de cuerpo libre: Al resolver un problema relacionado con el equilibrio 
de un cuerpo rígido es esencial que se consideren todas las fuerzas que actúan 
sobre éste. Por tanto, el primer paso en la solución del problema es esquematizar 
un diagrama de cuerpo libre del cuerpo rígido en consideración. 
Los pasos que se deben seguir al momento de dibujar u diagrama de cuerpo libre: 
 Se debe separar el cuerpo del suelo y de todos los demás cuerpos. Así, se 
realiza un croquis del contorno del cuerpo ya aislado. 
 Todas las fuerzas externas deben indicarse en el diagrama de cuerpo libre. 
Estas fuerzas representan las acciones ejercidas sobre el cuerpo libre por 
el suelo y por los cuerpos que han sido separados del mismo. 
 Las magnitudes y las direcciones de las fuerzas externas que son 
conocidas deben señalarse con claridad en el diagrama de cuerpo libre. 
 Las fuerzas externas desconocidas consisten en las reacciones a través de 
las cuales el suelo y otros cuerpos se oponen a un posible movimiento del 
cuerpo libre. 
 El diagrama de cuerpo libre también debe incluir dimensiones, puestos que 
estas se pueden necesitar para el cálculo de momentos de fuerzas. 
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Fuerzas externas e internas 
Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en: fuerzas 
externas y fuerzas internas. 
 
 Fuerzas externas: Representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre 
el cuerpo rígido en consideración, ellas son las responsables del 
comportamiento externo del cuerpo rígido; además, causan que el cuerpo 
se mueva o aseguran que éste permanezca en reposo. 
 Fuerzas internas: Mantienen unidas las partículas que conforman al 
cuerpo rígido. Si éste está constituido en su estructura por varias partes, las 
fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como 
fuerzas internas. 
Equilibrio en dos dimensiones: 
Reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una estructura bidimensional: 
Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser divididas 
en tres grupos que corresponden a tres tipos de apoyos (puntos de apoyo) o 
conexiones: 
 Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida. 
Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen 
rodillos, balancines, superficies sin fricción, eslabones o bielas y cables 
cortos, collarines sobre barras sin fricciones y pernos sin fricción en ranuras 
lisas. Cada uno de estos apoyos y conexiones pueden impedir el 
movimiento solo en una dirección. 
 Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección 
desconocidas. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de 
este tipo incluyen pernos sin fricción en orificios ajustados, articulaciones o 
bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del 
cuerpo o bien no pueden impedir la rotación del mismo. 
 Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se 
originan por apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del 
cuerpo libre y, por tanto, lo restringen por completo. 
Equilibrio de un cuerpo rígido en dos dimensiones: Al seleccionar a los ejes x 
y y en el plano de la estructura, se tiene que, 
ΣFX= 0 ΣFY= 0 ΣMO= 0 
Es posible obtener ecuaciones de una sola incógnita al sumar momentos con 
respecto al punto de intersección de las líneas de acción de dos fuerzas 
desconocidas o, si dichas fuerzas son paralelas, sumar las componentes 
perpendiculares a esa dirección común. 
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Reacciones estáticamente indeterminadas: Los tipos de apoyos que usan 
imposibilitan que el cuerpo rígido se moviera bajo la acción de cargas dadas o 
bajo cualquier otra condición de carga, estos se dice que el cuerpo rígido tiene 
restricción completa; a estos apoyos involucran tres incógnitas. Cuando se 
presenta una situación como esta, se dice que son reacciones estáticamente 
determinadas. 
Si un cuerpo rígido tiene restricciones completa y si las reacciones en sus apoyos 
son estáticamente determinadas, entonces habrá tantas incógnitas como 
ecuaciones de equilibrio. Se debe señalar que la condición ya mencionada, 
aunque es necesaria, no es suficiente. 
Un cuerpo rígido esta impropiamente restringidosiempre que los apoyos estén 
ubicados de tal forma que las reacciones sean concurrentes o paralelas. 
Equilibrio de un cuerpo sujeto a dos fuerzas: Por lo general, un cuerpo se 
encuentra en estas circunstancias recibe el nombre de cuerpo sujeto a dos 
fuerzas. Si un cuerpo a dos fuerzas esta en equilibrio entonces las dos fuerzas 
que actúan sobre este deben tener la misma magnitud, la misma línea de acción y 
sentidos opuestos. 
Podemos decir que, un cuerpo sujeto a dos fuerzas puede definirse como un 
cuerpo rígido sujeto a dos fuerzas que actúan únicamente en dos puntos. 
Equilibrio de un cuerpo sujeto a tres fuerzas: Un cuerpo rígido sujeto a tres 
fuerzas es un cuerpo sometido a fuerzas que actúan solo en tres puntos. Si el 
cuerpo está en equilibrio, las líneas de acción de las tres fuerzas deben ser 
concurrentes o paralelas. 
Equilibrio en tres dimensiones: En el caso general de tres dimensiones, se 
requieren seis ecuaciones escalares, para expresar las condiciones de equilibrio 
de un cuerpo rígido: 
 
 
Las ecuaciones escalares, se obtendrán de modo más práctico si primero se 
expresan en forma vectorial, es decir, y se expresan las fuerzas F y los vectores 
de posiciones r en términos de componentes escalares y vectores unitarios. 
ΣF = 0 ΣMO = Σ(r x F) = 0 
Reacciones en puntos de apoyo y conexiones para una estructura tridimensional 
ΣFX=0 ΣFY=0 ΣFZ=0 
ΣMX=0 ΣMY=0 ΣMZ=0 
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Es una estructura tridimensional, las reacciones abarcan desde una sola fuerza de 
dirección conocida, que ejerce una superficie sin fricción hasta un sistema fuerza- 
par ejercido por un apoyo fijo. 
Algunos apoyos y conexiones pueden impedir la rotación y la traslación; en estos 
casos, las reacciones correspondientes incluyen tanto pares como fuerzas. 
Si las reacciones involucran más de seis incógnitas, hay más incógnitas que 
ecuaciones y algunas de las reacciones son estáticamente indeterminadas. Si no 
cumple algunas de las ecuaciones de equilibrio bajo una condición general de 
carga, en tales circunstancias, el cuerpo rígido solo está parcialmente restringido. 
A pesar de que se tengan seis o más incógnitas, es posible que no se cumplan 
algunas de las ecuaciones de equilibrio. Esto puede ocurrir cuando las ecuaciones 
asociadas con los apoyos son paralelas o intersecan a la misma línea; entonces, 
el cuerpo rígido tiene restricción impropia. 
Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes: El principio de 
transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un 
cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto 
dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F´que tiene la misma magnitud y 
dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas 
tengan la misma línea de acción. 
 
Producto vectorial de dos vectores: El producto vectorial de dos vectores P y Q 
se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones 
 
 La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q. 
 La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del 
ángulo θ formado por P y Q (medida menor o igual a 180°). Por lo tanto, se 
tiene V = PQ sen θ 
 La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. 
El vector V que satisface estas tres condiciones se conoce como el producto 
vectorial de P y Q, y se representa por la expresión matemática. 
 
En virtud de la notación utilizada, el producto vectorial de dos 
vectores P y Q también se conoce como Producto cruz P y Q. 
Productos vectoriales expresados en términos de componentes 
rectangulares: Los productos vectoriales para los diversos pares 
posibles de vectores unitarios son: 
Al descomponer P y Q en sus componentes rectangulares se escribe 
 
 
Al factorizar se obtiene 
j x i = - k 
k x i = j 
i x j = k 
j x j = 0 
k x j = - i 
ixk=- j 
jxk=i 
k x k = 0 
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Por lo tanto las componentes rectangulares del producto vectorial est n dadas por 
 
 
 
Momento de una fuerza con respecto a un punto 
El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F. 
 
 
Representado con θ el ángulo entre las líneas de acción del vector de posición r y 
de la fuerza F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O 
está dada por: 
 
Teorema de Varignon: La propiedad distributiva de los productos vectoriales se 
puede emplear para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas 
concurrentes. 
rx(F1+F2+…)=rxF1+rxF2... 
Producto escalar de dos vectores: El producto escalar de dos vectores P y Q se 
define como el producto de las magnitudes de P y Q y el coseno del ángulo θ 
formado por P y Q. 
 
Triple producto mixto de tres vectores: Se define al treple producto escalar o 
triple producto mixto de tres vectores S, P Y Q como la expresión escalar. 
 
Ejemplo 
 
 
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Análisis del equilibrio: La estática proporciona, mediante 
el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los 
problemas denominados isostáticos. En estos problemas, 
es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, 
que son: 
 El resultado de la suma de fuerzas es nulo. 
 El resultado de la suma de momentos respecto a un 
punto es nulo. 
Estas dos condiciones, mediante el álgebra lineal, se convierten en un sistema de 
ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones es la solución de la 
condición de equilibrio. 
Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante 
gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de 
sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se 
tiende al cálculo por ordenador. 
Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se 
puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario 
considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de 
compatibilidad se obtienen mediante la introducción 
de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante 
los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la 
mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los 
sólidos y sus efectos internos. 
Suma de fuerzas: Cuando sobre un cuerpo o sólido rígido actúan varias fuerzas 
que se aplican en el mismo punto, el cálculo de la fuerza resultante resulta trivial: 
basta sumarlas vectorialmente y aplicar el vector resultante en el punto común de 
aplicación. 
Sin embargo, cuando existen fuerzas con puntos de aplicación diferentes es 
necesario determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Para fuerzas 
no paralelas esto puede hacerse sumando las fuerzas dos a dos. Para ello se 
consideran dos de las fuerzas que trazan rectas prolongando las fuerzas en 
ambos sentidos y buscando su intersección. Esa intersección será un punto de 
paso de la fuerza suma de las dos. A continuación se substituyen las dos fuerzas 
por una única fuerza vectorial suma de las dos anteriores aplicada en el punto de 
intersección. Esto se repite n-1 veces para un sistema de n fuerzas y se obtiene el 
punto de paso de la resultante. En el caso límite del que se tengan n fuerzas 
paralelas puede emplearse el polígono funicular para hallar el punto de paso de la 
resultante. 
Aplicaciones: Por esta cuestiónes que la estática resulta ser una materia 
indispensable en carreras y trabajos como los que llevan a cabo la ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Ordenador
https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_resultante
https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_funicular
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estructural, mecánica y de construcción, ya que siempre que se quiera construir 
una estructura fija, como ser, un edificio, en términos un poco más extendidos, los 
pilares de un rascacielos, o la viga de un puente, será necesario e indiscutible su 
participación y estudio para garantizar la seguridad de aquellos que luego transiten 
por las mencionadas estructuras. 
La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes 
constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material. 
Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos 
cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que 
puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos. 
Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus 
ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones 
que deberá tener, límites para un uso seguro, etcétera, mediante un análisis de 
materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería 
mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para 
el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar 
la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes. 
El estudio de la Estática suele ser el primero dentro del área de la ingeniería 
mecánica, debido a que los procedimientos que se realizan suelen usarse a lo 
largo de los demás cursos de ingeniería mecánica. 
Sólidos y análisis estructural: La estática se utiliza en el análisis de las 
estructuras, por ejemplo, en arquitectura e ingeniería estructural y la ingeniería 
civil. La resistencia de los materiales es un campo relacionado de la mecánica que 
depende en gran medida de la aplicación del equilibrio estático. Un concepto clave 
es el centro de gravedad de un cuerpo en reposo, que constituye un punto 
imaginario en el que reside toda la masa de un cuerpo. La posición del punto 
relativo a los fundamentos sobre los cuales se encuentra un cuerpo determina su 
estabilidad a los pequeños movimientos. Si el centro de gravedad se sitúa fuera de 
las bases y, a continuación, el cuerpo es inestable porque hay un par que actúa: 
cualquier pequeña perturbación hará caer al cuerpo. Si el centro de gravedad cae 
dentro de las bases, el cuerpo es estable, ya que no actúa sobre el par neto del 
cuerpo. Si el centro de gravedad coincide con los fundamentos, entonces el 
cuerpo se dice que es meta-estable. 
Para poder saber el esfuerzo interno o la tensión mecánica que están soportando 
algunas partes de una estructura resistente, pueden usarse frecuentemente dos 
medios de cálculo: 
 La comprobación por nudos. 
 La comprobación por secciones. 
 
Para lograr obtener cualquiera de estas dos comprobaciones se debe tomar en 
cuenta la sumatoria de fuerzas externas en la estructura (fuerzas en x y en y), 
para luego comenzar con la comprobación por nudos o por sección. Aunque en la 
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortante
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortante
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_normal
https://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flector
https://es.wikipedia.org/wiki/Viga
https://es.wikipedia.org/wiki/Puente
https://es.wikipedia.org/wiki/Pilar
https://es.wikipedia.org/wiki/Rascacielos
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructural
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Construcci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno
https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
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práctica no siempre es posible analizar una estructura resistente exclusivamente 
mediante las ecuaciones de la estática, y en esos casos deben usarse métodos 
más generales de resistencia de materiales, teoría de la elasticidad, mecánica de 
sólidos deformables y técnicas numéricas para resolver las ecuaciones a las que 
esos métodos llevan, como el popular método de los elementos finitos.se puede 
utilizar en poleas. 
EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS 
Cuando un cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas, que la resultante de 
todas las fuerzas y el momento resultante sean cero, entonces el cuerpo está en 
equilibrio. Esto, físicamente, significa que el cuerpo, a menos que esté en 
movimiento uniforme rectilíneo, no se trasladará ni podrá rotar bajo la acción de 
ese sistema de fuerzas. 
Por ahora centraremos la atención en un solo cuerpo, posteriormente se 
estudiaran sistemas de varios cuerpos interconectados. 
Las posibilidades de movimiento que tiene un cuerpo o los grados de libertad, son 
seis: tres de traslación, en las direcciones x, y, z y tres de rotación, alrededor de 
los mismos ejes. Como en general, los cuerpos que son objeto de estudio en 
ingeniería están unidos, soportados, en contacto con otros, las posibilidades de 
movimiento en translación y rotación son menores, esto es, disminuyen los grados 
de libertad. Es, entonces, importante conocer qué tipo de restricción ofrecen los 
apoyos, uniones o contactos que tiene el cuerpo objeto del análisis. Las 
restricciones a que es sometido un cuerpo, se manifiestan físicamente por fuerzas 
o pares (momentos) que impiden la translación o la rotación respectivamente y se 
les conoce como reacciones. 
El estudio del equilibrio de un cuerpo rígido consiste básicamente en conocer 
todas las fuerzas, incluidos los pares que actúan sobre él para mantener ese 
estado. 
Por ahora se analizarán las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es decir 
las fuerzas que otros cuerpos, unidos o en contacto con él, le ejercen. Estas 
fuerzas son las fuerzas aplicadas por contacto, el peso y las reacciones de los 
apoyos. Las fuerzas aplicadas y el peso en general son conocidos, entonces el 
estudio del equilibrio consiste básicamente en la determinación de las 
reacciones. También puede ser objeto de estudio las condiciones geométricas 
que se requieren para mantener en equilibrio el cuerpo. 
Para determinar las reacciones que se ejercen sobre un cuerpo es importante 
entender las restricciones que otros cuerpos le imponen al movimiento. La 
cuestión es fácil, si un cuerpo restringe la traslación en una dirección, por ejemplo 
en x, éste ejercerá una fuerza en esta dirección; si impide la rotación alrededor de 
un eje, ejercerá un par en la dirección de ese eje. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales
https://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformables
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos
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Las reacciones ejercidas por diferentes apoyos o uniones se presentan en el 
cuadro al final de la sección, tanto para situaciones tridimensionales como para 
casos en dos dimensiones. 
Ecuaciones de equilibrio: Un cuerpo está en equilibrio cuando el sistema de 
fuerzas se puede reducir a un sistema equivalente nulo Cualquier sistema de 
fuerzas se puede reducir a una fuerza resultante única y a un par resultante 
referidos a un punto arbitrariamente seleccionado. 
Si la fuerza resultante es cero, el cuerpo, debido a las restricciones impuestas, no 
se podrá trasladar, perdiendo así tres grados de libertad; de otra parte, si el par 
resultante es cero, el cuerpo no rotará alrededor de cualquiera de los ejes 
coordenados. En forma vectorial, lo anterior se puede expresar así: 
 
Descomponiendo los vectores en sus componentes rectangulares se obtiene: 
 
 
Estas ecuaciones independientes son las disponibles para resolver problemas de 
equilibrio de cuerpos en tres dimensiones. En problemas bidimensionales las 
ecuaciones se reducen a tres, número que corresponde a los grados de libertad 
de un movimiento plano; dos de translación y uno de rotación. 
Si por ejemplo el plano en que actúan las fuerzas es el plano xy, las ecuaciones 
de equilibrio son: 
 
De acuerdo a lo anterior, el máximo número de incógnitas que puede tener un 
problema para poder solucionarlo completamente, es de seis para situaciones en 
tres dimensiones y de tres para dos dimensiones. 
Cuando en un problema hay tantas incógnitas como ecuaciones disponibles y se 
pueden hallar todas, se dice que el problema es estáticamente determinado. Si 
existen más incógnitas que ecuaciones, el problema es insoluble en su totalidad 
por los métodos de la estática y el problema es estáticamente indeterminado. 
De otra parte, hay situaciones en las que, a pesar de tener un número de 
incógnitas igual al de ecuaciones disponibles no se pueden solucionar. Estas 
situaciones se presentan por un arreglo especial de los apoyos, haciendo que el 
sistema no esté completamente restringido para un sistema general de fuerzas. 
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Tal sistema es entonces estáticamente indeterminado y parcial o impropiamente 
restringido. Un cuerpo parcialmente restringido puede estar en equilibrio para un 
sistema particular de carga, pero dejará de estarlo para un sistema general de 
carga. 
Por ejemplo una puerta apoyada en sus bisagras, estará en equilibrio mientras no 
se aplique una carga horizontal. 
Si en un sistema hay menos incógnitas que ecuaciones disponibles, éste es 
parcialmente restringido, es decir, no podrá estar en equilibrio para un sistema 
general de fuerzas. 
 
 
 
 
 
 
ARMADURAS 
Estructura compuesta por barras unidas entre si por medio de articulaciones; las 
fuerzas externas actúan en las uniones o nudos. 
Cada elemento o barra de la armadura trabaja únicamente bajo cargas axiales sea 
tracción o compresión. Además el eje centroidal de cada barra coincide con el de 
las demás barras en un punto (nudo), a fin de no generar excentricidades. 
Se usan para cubrir grandes luces en estructuras como: Puentes, tijerales, naves 
industriales, etc. 
El material más usado para este tipo de estructura es el acero y en menor 
cantidad la madera. 
 
Equilibrio No Equilibrio 
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Si aislamos la barra "A-C" tenemos: 
 
 
 
 
Siendo "FAC" la fuerza que se genera en la barra "A-C" y pasa hacia el nudo; por 
el principio de acción y reacción, con sentido opuesto. Si en la barra presentada se 
realizara un corte a-a, como el mostrado y se analiza el segmento del lado 
izquierdo, se puede apreciar que se genera internamente una fuerza axial "N", 
para mantener en equilibrio a la porción de barra aislada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta fuerza "N" es la fuerza axial (tracción o compresión) que está actuando en la 
barra. 
 Tracción: La fuerza sale de la barra y tiende a estirarla, los problemas que 
se pueden generar por excesivas fuerzas de tracción en las barras son: 
La fluencia del material: La rotura de los miembros por sobrepasar la resistencia 
en tracción del material, específicamente en las uniones, donde se reduce el área 
debido a las conexiones empernadas. 
 
 
 Compresión: La fuerza está dirigida en dirección a la barra y tiende a 
acortar el elemento, el problema que puede generar grandes fuerzas de 
compresión en elementos es: 
El pandeo de elementos esbeltos como es el caso de barras de las armaduras 
 
 
Fuerza axial que se genera al 
realizar un corte en la sección "a-a" 
Fuerza de tracción en la barra 
Fuerzas que se generan al aislar al elemento "A-C" de la estructura. 
Fuerza de compresión en la barra 
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http://3.bp.blogspot.com/-vqmGEfCU0ZI/VlivjD0JXaI/AAAAAAAAABk/KHtatwd3zJE/s1600/teo5.png
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http://4.bp.blogspot.com/-XEWhVOKBArU/Vliv2FgoOeI/AAAAAAAAABs/SA8RTPIoE-Y/s1600/teo6.png
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Tipos de Armaduras: Según la formación de los elementos existen 3 tipos de 
armaduras. 
 Armadura Simple: Formada por barras dispuestas en arreglo triangular 
unidas por medio de nudos articulados, la formación de una armadura 
simple se puede lograr de la siguiente manera: 
Unir 3 barras formando un triángulo. 
A partir de esas 3 barras se ira añadiendo dos barras por cada nudo adicional, 
cuidando siempre la estabilidad de la armadura. 
 
 
 
 Armadura Compuesta: Se denomina así a una armadura formada por dos 
o más armaduras simples unidas por un nudo en común, una barra, otra 
armadura o una combinación de las tres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura simple formada a partir del triángulo sombreado 
Armadura compuesta formada 
por dos armaduras simples 
unidas por un nudo. 
Armadura compuesta formada por dos 
armaduras simples unidas por dos barras. 
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 Armadura Compleja: Se llama armadura compleja a las armaduras que no 
pueden ser clasificadas como armaduras simples o armaduras complejas. 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis Estructural de Armaduras: El análisis estructural de la armadura tiene 
como objetivo calcular las fuerzas en los elementos sometidos a algún tipo de 
carga para su posterior diseño. 
Método de los Nudos o Nodos: Consiste en efectuar las condiciones de 
equilibrio a cada nudo aislado como sólido. A continuación se muestra un ejemplo 
para una mejor comprensión. 
Armadura compuesta formada 
por dos armaduras simples 
unidas por una armadura. 
Armadura compleja 
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Método de Secciones: Cuando necesitamos encontrar la fuerza en solo unos 
cuantos elementos de una armadura, esta puede analizarse mediante el método 
de secciones. Este método se basa en el principio de que si la armadura esta en 
equilibrio. 
El método de secciones puede usarse también para “cortar” o seccionar los 
elementos de toda una armadura. Si la sección pasa por la armadura y se traza el 
diagrama de cuerpo libre de sus dos partes, entonces podemos aplicar las 
ecuaciones de equilibrio a esa parte para determinar las fuerzas del elemento en 
la sección cortada. 
En el método de las secciones, una armadura se divide en dos partes al tomar un 
“corte” imaginario (mostrado aquí como a-a) a través de la armadura. Ya que los 
miembros de las armaduras se ven sometidos a únicamente fuerzas de tensión o 
de compresión a lo largo de su longitud, las fuerzas internas en los miembros 
cortados también serán de ya sea tensión o compresión, con la misma magnitud 
que las fuerzas aplicadas en la unión. Este resultado se basa en el principio de 
equilibrio y la tercera Ley de Newton. 
 
1. Decida cómo necesita “cortar” la armadura. Esto se basa en: 
 Donde usted necesita determinar las fuerzas. 
 Donde el número total de incógnitas no exceda de tres (en general). 
2. Decida con qué lado de la armadura sería más fácil trabajar (la intención es 
minimizar el número de reacciones externas). 
3. Si se requiere, determine cualquier reacción necesaria en los apoyos, 
dibujando el DCL de la armadura completa y aplicando las E-de-E. 
 
4. Dibuje el DCL de la parte seleccionada del corte de la armadura. Necesita 
indicar las fuerzas desconocidas en los miembros cortados. Inicialmente, 
puede asumir que todos los miembros están a tensión, como se hizo 
cuando se usó el método de las juntas. Ya habiendo hallado las incógnitas, 
si la respuesta es positiva, el miembro sí estaba a tensión, según la 
suposición. Si la respuesta es negativa, el miembro está a compresión. (Por 
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favor note que usted puede suponer a las fuerzas ya sea a tensión o 
compresión por inspección cómo se hizo en las figuras de arriba). 
 
5. Aplique las ecuaciones de equilibrio (E-de-E) escalar de la sección cortada 
seleccionada de la armadura para resolver para las fuerzas desconocidas 
en los miembros. Por favor note que, en la mayor parte de los casos, es 
posible escribir una ecuación para resolver para una incógnita 
directamente. Así que ¡búsquela y aproveche este atajo! 
Ejemplo 
 
Dado: Las cargas como se muestran en la armadura. 
Halle: La fuerza en los miembros KJ, KD, y CD. 
Plan: 
a) Haga un corte a través de los miembros KJ, KD y CD. 
b) Trabaje con la parte izquierda de las secciones cortadas. ¿Por qué? 
c) Determine las reacciones en el apoyo A. ¿Cuáles son? 
d) Aplique las E-de-E para encontrar las fuerzas en KJ, KD y CD. 
 
Analizando la armadura completa para las reacciones en A, se tiene: 
 F X = A X = 0. 
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Una ecuación de momentos respecto a G para encontrar AY resulta en: 
 M G = AY (12) – 20 (10) – 30 (8) – 40 (6) = 0; AY = 56.7kN 
 
Ahora obtengamos momentos con respecto al punto D. ¿Por qué? 
+ MD = – 56.7 (6) + 20 (4) + 30 (2) – FKJ (3) = 0 FKJ = − 66.7 kN ó 66.7 kN 
(Compresion) 
 
Ahora use las ecuaciones de equilibrio en las direcciones X, Y. 
↑ +  FY = 56.7 – 20 – 30 – (3/13) FKD = 0; FKD = 8.05 kN (Tracción) 
→ +  FX = (– 66.7) + (2/13) (8.05) + FCD = 0; FCD = 62.2 kN (Tracción) 
FUERZAS EN VIGAS Y CABLES 
 Vigas: Las vigas se someten a 
varios patrones de carga incluidas: 
 Cargas concentradas normales 
 Cargas concentradas con inclinación 
 Cargas uniformemente distribuidas 
 Cargas variables distribución 
 Momentos concentrados 
Existen tres tipos de apoyo más comunes: 
1. Apoyo simple de rodillo 
2. Apoyo pasador 
3. Apoyo fijo o empotrador 
https://marcocarrasco.weebly.com/blog-de-estaacutetica/capitulo-7-fuerzas-en-vigas-y-cables
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Definición de momento flexionante: Un diagrama de fuerzas cortantes o un 
diagrama de momentos flexionante es una gráfica que muestra la magnitud de la 
fuerza cortante o momento flexionante a lo largo de la viga. Se denomina 
momento flector al momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones 
sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que 
es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. 
 
Es un requisito típico en vigas y pilares, también en losas ya que todos estos 
elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. El momento 
flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción un 
momento o también de fuerzas puntuales o distribuidas. 
 
El momento flexionante en cualquier sección de la viga tiene igual magnitud, pero 
dirección opuesta a la suma algebraica de los momentos respecto a la sección 
que se esté considerando de todas las cargas externas, y reacciones en los 
apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de esta sección. 
Una viga es un elemento estructural diseñado para soportar cargas aplicadas en 
varios de sus puntos. En la mayoría de los casos las cargas se aplican 
perpendicularmente al eje de la viga, produciendo solamente esfuerzos cortantes y 
momentosflectores. Cuando no se aplican en ángulo recto también producen 
esfuerzos axiales en la viga. 
Nota: Una viga puede estar sometida a cargas concentradas o a cargas 
distribuidas o a cualquier combinación de ambas. 
 
 
 
http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/quimica/3_anio/mecanica_electrica/ESFUERZO_DE_CORTE_Y_MOMENTO_FLEXOR.pdf
http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/quimica/3_anio/mecanica_electrica/ESFUERZO_DE_CORTE_Y_MOMENTO_FLEXOR.pdf
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Cuando la carga por unidad de longitud w es constante sobre una parte de la 
viga, como entre A y B, se dice que la carga está distribuida uniformemente sobre 
esa parte de la viga. 
Las vigas generalmente son barras en forma prismática largas y rectas, con una 
determinada sección transversal. Diseñar la viga consiste en: 
1. Determinar los esfuerzos cortantes y los momentos flectores producidos por 
varias condiciones de carga y diferentes formas de apoyo. 
2. Seleccionar la sección transversal adecuada que presente la resistencia 
más efectiva a los esfuerzos cortantes y momentos flectores producidos por 
las cargas aplicadas. Esta parte pertenece al estudio de la mecánica de 
materiales. 
Esfuerzo cortante y momento flector en una viga: Considérese la viga AB, 
sometida a la acción de varias cargas concentradas y distribuidas. El objetivo 
es determinar el esfuerzo cortante y el momento flector en todos los puntos de la 
viga. 
 
Carga Concentrada o Puntual 
Carga Distribuida 
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Para cualquier tipo de viga estáticamente determinada el método de resolución a 
seguir es el descrito a continuación. 
Método 
1. Reacciones RA y RB. Calcular las reacciones en los apoyos A y B a partir 
del DSL de toda la viga. 
 
2. Fuerzas internas en un punto cualquiera de la viga. Para conocer las 
fuerzas internas en C, cortamos la viga en C y elegimos libremente una de 
las dos partes resultantes de la viga. 
 
Si se escoge la parte izquierda AC de la viga, el DSL de AC: Esas ecuaciones 
permitirán calcular el esfuerzo cortante V y el momento flector M en C 
Convenio de Referencia: Dependiendo de la parte de viga escogida sobre la cual 
actúan las fuerzas internas (porción izquierda o porción derecha), se dice que el 
esfuerzo cortante V y el momento flector M en un punto dado de una viga 
son positivos cuando las fuerzas y pares internos que actúan están dirigidos. 
 
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La razón de ese método de referencia está en que eso es lo que sucede en la 
mitad izquierda de una viga simplemente apoyada con una sola carga concentrada 
en el punto medio. Con ese convenio, las fuerzas externas (cargas y reacciones) 
que actúan sobre la viga tienden a cortarla y a flexionarla en C. 
Diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores 
El objetivo es calcular con facilidad los valores de los esfuerzos cortantes V(x) y 
los momentos flectores M(x) en cualquier punto de la viga, y su representación en 
función de la distancia x a uno de los extremos. Podemos analizar una viga AB de 
longitud L, simplemente apoyada y bajo la acción de una sola carga P concentrada 
en el punto medio. 
 
 
Paso 1: Obtener las reacciones a partir del DSL de toda la viga 
 
A continuación, es necesario dividir la viga en secciones. Cada nueva sección 
comenzará justo donde esté aplicada una carga, bien sea concentrada o 
distribuida, o un momento flector aplicado. 
Paso 2: Seccionar la viga por cualquier punto C, a un lado y otro de donde actúa 
la carga concentrada: 
 
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Resolver el DSL de la sección AC con lo que se obtiene, en base al anterior 
convenio de signos: 
Paso 3: Representar el diagrama parcial de V y M en función de x entre A y D. 
 
Paso 4: Seccionar por una sección cualquiera E y repetir los pasos 2 y 3 para 
obtener como varían V y M en función de x desde D hasta B. 
 
Resolver el DSL de la sección EB, con lo que se obtiene: 
Paso 5: Representar el diagrama completo de esfuerzos cortantes y momentos 
flectores: 
 
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Nótese que, cuando una viga está sujeta sólo a cargas concentradas, el esfuerzo 
cortante es constante entre las cargas y el momento flector cambia linealmente 
entre las cargas. Por otro lado, cuando una viga está sujeta a una distribución más 
compleja de cargas uniformes y/o distribuidas, el esfuerzo cortante y el momento 
flector varían de manera muy diferente. 
Relaciones entre cargas, esfuerzo cortante y momento flector 
El cálculo y la obtención de los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos 
flectores puede facilitarse y simplificarse, especialmente el diagrama de momentos 
flectores, si se toman en cuenta algunas relaciones existentes entre la carga, los 
esfuerzos cortantes y los momentos flectores. 
Para una viga cargada se cumple la siguiente relación entre la carga y el esfuerzo 
cortante: Es decir, la pendiente del diagrama de esfuerzos cortantes dV/dx es 
negativa y su valor en cualquier punto es igual a la carga por unidad de longitud en 
ese punto. Esta expresión no es válida en un punto donde está aplicada una carga 
concentrada, ya que el diagrama de esfuerzos cortantes es discontinuo en ese 
punto 
Por otro lado, se cumple la siguiente relación entre el esfuerzo cortante y el 
momento flector: La pendiente del diagrama de momentos flectores dM/dx es igual 
al valor del esfuerzo cortante en ese punto. Esto es cierto en cualquier punto 
donde el esfuerzo cortante tenga un valor bien definido, es decir, en cualquier 
punto donde no hay cargas concentradas aplicadas. 
FUERZAS DISTRIBUIDAS Y MOMENTO DE INERCIA 
MOMENTO DE INERCIA: 
En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma donde 
y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano 
del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). dAy2 
Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más 
corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin 
de tenerlos a mano. 
Ejemplo: 
1. Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales 
y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. 
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Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura. 
En mecánica de los materiales se demuestra que las fuerzas internas en cualquier 
sección transversal de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes, 
ΔF=KyΔA, varían linealmente con la distancia “y” que hay entre el elemento de 
 rea ΔA y un eje que pasa a través el centroide de la sección. 
Nota: El eje que pasan a través del centroide de la sección se llaman Eje Neutro ó 
Eje centroidal. 
Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas a 
tracción, mientras que en el otro lado del eje neutro 
son fuerzas a compresión, lo cual permite decir 
que la resultante de las fuerzas sobre el eje neutro 
es cero. 
En forma general la magnitud de la resultan de las 
fuerzas ΔF, que actuan en un diferencial de rea 
ΔA, es R. 
 
En este caso R= cero, ya que la cantidad YA=0 define el centroide por el área, el 
cual se encuentra sobre el eje X. Por lo tanto el sistema de las ΔF se reduce a un 
par, cuya magnitud Msuma de los momentos de las fuerzas 
 
Radio de Giro: Representa la distancia K, perpendicular 
respecto al eje L, a la cual habría que colocarse el área 
concentrada de tal manera que produzca el mismo 
momento de inercia del área total. 
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Segundo momento: Proporcional a las 
áreas elementales o volúmenes asociados 
con ellos. La resultante de estas fuerzas, 
por lo tanto, se puede obtener sumando las 
áreas correspondientes o volúmenes, y el 
momento de la resultante sobre cualquier 
eje dado se pudo determinar mediante el 
cálculo de los primeros momentos de las 
áreas o volúmenes sobre ese eje. 
En la primera parte de este capítulo, 
consideramos distribuimos fuerzas DF 
cuyas magnitudes dependen no sólo de los 
elementos del área de DA en la que actúan 
estas fuerzas, sino también de la distancia 
de DA a algún eje dado. Más precisamente, 
se supone que la magnitud de la fuerza por unidad de área DF / DA para variar 
linealmente con la distancia al eje. Como se indica en la sección siguiente, las 
fuerzas de este tipo se encuentran en el estudio de la flexión de vigas y en los 
problemas de las superficies no rectangulares sumergidas. Suponiendo que las 
fuerzas elementales implicados se distribuyen sobre un área A y varían 
linealmente con la distancia y al eje x, se verá que mientras que la magnitud de su 
impor- resul- R depende del primer momento Qx 5 ey dA de la zona a, la ubicación 
del punto donde se aplica R depende de la segundo momento, o momento de 
inercia, Ix 5 e y2 dA de la misma área con respecto al eje x. Usted aprenderá a 
calcular los momentos de inercia de distintas áreas con respecto a x dado y 
hachas y. También se presentó en la primera parte de este capítulo es el momento 
polar de inercia JO 5 e r2 dA de un área, donde r es la distancia desde el elemento 
de área dA al punto O. Para facilitar sus cálculos, se establecerá una relación 
entre el momento de inercia Ix de una zona a con respecto a un eje x dado y el 
momento de inercia Ix9 de la misma área con respecto al eje centroidal x9 paralelo 
(teorema de los ejes paralelos). También estudiará la transformación de los 
momentos de inercia de un área determinada cuando los ejes de coordenadas se 
rotan. 
En la segunda parte del capítulo, usted aprenderá cómo determinar los momentos 
de inercia de masas diferentes con respecto a un eje dado. Como se ve el 
momento de inercia de una masa dada sobre un eje AA9 se define como I 5 e dm 
r2, donde r es la distancia desde el eje AA9 al elemento de masa dm. Momentos 
de inercia de las masas se encuentran en la dinámica de los problemas que 
implican la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje. 
 Por último, usted aprenderá a analizar la transformación de los momentos de 
inercia de masas cuando los ejes de coordenadas se rotan. 
En la primera parte de este capítulo, consideramos fuerzas distribuimos DF cuyas 
magnitudes DF son proporcionales a los elementos del área de DA en el que 
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actúan las fuerzas y al mismo tiempo variar linealmente con la distancia de DA a 
un eje determinado. 
Consideremos, por ejemplo, un haz de sección transversal uniforme que se 
somete a dos parejas iguales y opuestas aplicada en cada extremo de la viga. Un 
haz de este tipo se dice que está en flexión pura, y se muestra en la mecánica de 
materiales que las fuerzas internas en cualquier sección de la viga se distribuyen 
fuerzas cuyas magnitudes DF 5 ky DA varían linealmente con la distancia y entre 
el elemento de área de DA y un eje que pasa a través del centroide de la sección. 
Este eje, representado por el eje x se conoce como el eje neutro de la sección. 
Las fuerzas sobre un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que 
aquellos en el otro lado son fuerzas de tensión; en el eje neutral en sí las fuerzas 
son cero. 
Momento polar de inercia: El propósito de esta lección fue la 
introducción de la rectangular y momentos polares de inercia de 
las áreas y los radios de giro correspondiente. A pesar de los 
problemas que están a punto de resolver pueden parecen ser 
más apropiado para una clase de cálculo que para uno en la 
mecánica, esperamos que nuestros comentarios introductorios 
que han convencido de la pertinencia de los momentos de 
inercia de su estudio de una variedad de temas de ingeniería. 
1. El cálculo de los momentos rectangulares de inercia Ix y Iy. Definimos 
estos quantities como 
Ix 5 # y2 dA Iy 5 # x2 dA. donde dA es un elemento diferencial de área dy 
dx. Los momentos de inercia son los segundos momentos de la zona; es 
por ello que Ix, por ejemplo, depende de la distancia y perpendicular al área 
dA. Al estudiar Sec. 9.3, se debe reconocer la importancia de definir 
cuidadosamente la forma y la orientación de dA. Además, debe tener en 
cuenta los siguientes puntos. 
a) Los momentos de inercia de la mayoría de las zonas se pueden obtener por 
medio de una sola integración. Las expresiones dadas se puede utilizar 
para calcular Ix y Iy. Independientemente de si se utiliza una sola o una 
integración doble, asegúrese de demostrar en su dibujo el elemento dA que 
usted ha elegido. 
b) El momento de inercia de la superficie es siempre positiva, 
independientemente de la ubicación de la zona con respecto a los ejes de 
coordenadas. Esto es debido a que se obtiene por el producto que inte- 
ción de dA y el cuadrado de la distancia. (Tenga en cuenta cómo esto 
difiere de los resultados para el primer momento de la zona.) Sólo cuando 
se elimina un área (como en el caso de un agujero) tendrá su momento de 
inercia se entró en sus cálculos con un signo menos. 
c. Como comprobación parcial de su trabajo, observan que los momentos 
de inercia son iguales a un momento en la zona de la plaza de longitud. Por 
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lo tanto, cada término en una expresión para un momento de inercia debe 
ser una longitud a la cuarta potencia. 
2. Calcular el momento polar de inercia JO. Definimos como JO 
JO 5 # r2 dA. donde r2 5 x2 1 y2. Si el área dada tiene simetría circular, es 
posible expresar dA como una función de r y para calcular JO con una sola 
integración. Cuando el área carece de simetría circular, por lo general es 
más fácil de calcular primero Ix y Iy y luego para determinar JO de 
JO 5Ix 1Iy. Por último, si la ecuación de la curva que delimita el área dada 
se expresa en coordenadas polares, entonces dA 5 r dr du y se requiere 
una doble integración para calcular la integral para JO. 
3. La determinación de los radios de giro kx y ky y el radio polar de la gyra- ko. 
Estas cantidades se definieron en la Sec. 9.5, y usted debe darse cuenta de 
que se pueden determinar sólo después de la zona y los momentos 
apropiados de inercia se han calculado. Es importante recordar que kx se 
mide en la dirección y, mientras ky se mide en la dirección x. 
FORMULAS 
 
 
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Ejercicio Resuelto 
 
 
 
 
 
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Ejercicios resueltos. 
 
 
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