Teoria de Campos Quânticos

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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CAMPOS CUÁNTICOS
L. L. Salcedo
Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear,
Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
E-mail: salcedo@ugr.es
22 de abril de 2024
Resumen
Apuntes de la asignatura, 2010-2024. Versión 22-abr-2024.
http://www.ugr.es/local/salcedo/public/tcc/curso.pdf
Índice general
1 Teoría de campos clásicos 1
1.1 Invariancia Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Notación relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Álgebras de Lie de Lorentz y Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Derivada funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Formalismo lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Formalismo canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
ÍNDICE GENERAL 2
1.5.1 Transformaciones de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Simetrías cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 Traslaciones espacio-temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.2 Rotaciones espacio-temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Simetrías internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Corriente y acoplamiento gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9 Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Campo de radiación 1
2.1 Partículas idénticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1.1 Espacio de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1.2 Operadores campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Operadores de un cuerpo y dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Orden normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5 Teorema de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.6 Segunda cuantización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Ecuaciones de Maxwell e invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Cuantización del campo de radiación. Fotones. Espín del fotón . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Oscilador armónico cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Cuantización del campo de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Relaciones de conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ÍNDICE GENERAL 3
2.3.4 Divergencias infrarroja y ultravioleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Energía del vacío. Efecto Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Interacción radiación-materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Tratamiento clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Tratamiento cuántico. Emisión espontánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Campo de Klein-Gordon 1
3.1 Campo de Klein-Gordon real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1.1 Cuantización del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1.2 Invariancia relativista y unicidad del vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Campo de Klein-Gordon complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Cargas conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Simetrías internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Simetrías discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 Paridad en φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.2 Paridad o inversión espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.3 Conjugación de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5.4 Inversión temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5.5 Transformación CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Relaciones de conmutación covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6.1 Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6.2 Cálculo de ∆(x− y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ÍNDICE GENERAL 4
3.6.3 Microcausalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6.4 Ordenación cronológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6.5 Propagador de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6.6 Cálculo del propagador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 Localizabilidad de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.1 Interpretación del propagador de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.2 Localizabilidad de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.3 Operador posición para Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.4 Operadores densidad de partículas y densidad de carga . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Conexión espín-estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9 Representación de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.9.1 Mecánica cuántica con número finito de grados de libertad . . . . . . . . . . . . . 42
3.9.2 Representación de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.9.3 Espacio de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.10 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10.1 Expresiones en una base ortonormal arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Campo de Dirac 1
4.1 Ecuación de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.2 Formulación lagrangiana del campo de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 Campo de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.4 Ecuación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ÍNDICE GENERAL 5
4.5 Campo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.6 Soluciones tipo onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.7 Relaciones de conmutación covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.8 Paridad y conjugación de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Campos con interacción 1
5.1 Diferencias con el caso libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.2 Funciones de Green o de correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.3 Representación de Lehmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.4 Funcional generador de las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4.1 Funcional generador . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4.2 Operador de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4.3 Función de partición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.5 Formulación basada en integración funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5.1 Integral de caminos de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5.2 Integral funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.6 Funcional generador de la teoría libre. Notación de DeWitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.7 Teorema de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.8 Campo libre en presencia de una corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 Teoría de perturbaciones 1
6.1 Fórmula de Gell-Mann–Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
ÍNDICE GENERAL 6
6.2 Diagramas de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.2.1 Diagramas y reglas de Feynman para Z[J] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.2.2 Reglas de Feynman para G[J] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.2.3 Teorema del linked-cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.2.4 Reglas de Feynman para las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.2.5 Algunas relaciones estructurales diagramáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.3 Teoría φ 4 y otras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.3.1 Reglas de Feynman en espacio de posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.3.2 Reglas de Feynman en espacio de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.3 Campos cargados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.3.4 Reglas de Feynman para QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.4 Tipos de diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4.1 Diagramas de vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4.2 Diagramas conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.4.3 Diagramas de autoenergía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.4.4 Vértices irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.5 Ecuaciones de Schwinger-Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.6 Acción efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Matriz S 1
7.1 Fórmulas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7.2 Amplitud invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
ÍNDICE GENERAL 7
7.3 Anchura de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7.4 Interacción mediada por un potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 Teoría de campos en espaciotiempo euclídeo 1
8.1 Rotación de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
8.2 Espacio euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.2.1 Tiempo imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.2.2 Acción euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8.2.3 Funciones de correlación euclídeas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8.2.4 Formalismo euclídeo en espacio de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8.3 Mecánica estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8.3.1 Relación con mecánica estadística clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8.3.2 Teoría de campos a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9 Renormalización 1
9.1 Parámetros desnudos y renormalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9.2 Esquemas de regularización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9.3 Teoría regulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.4 Renormalización perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9.5 Renormalizabilidad perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9.6 Renormalización perturbativa a todos los órdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9.7 Renormalización no perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ÍNDICE GENERAL 8
9.7.1 Teoría regulada en el retículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.7.2 Límite del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.8 Grupo de renormalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.8.1 Trivialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.8.2 Función beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.8.3 Running de la constante de acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10 Bibliografía 1
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 1
1 Teoría de campos clásicos
1.1 Invariancia Poincaré
1.1.1 Notación relativista
Usamos unidades c = 1. El espacio-tiempo (plano) es (isomorfo a) R4 en 3+ 1 dimensiones (o más
generalmente, Rd , d = D+1).
x = xµ = (t,x) = (t,x,y,z) ∈ R4. (1.1)
La cuatro componentes xµ , x0 = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z, son la componentes contravariantes del
cuadrivector x. Los índices griegos son espacio-temporales, µ = 0,1,2,3. Los índices latinos espaciales,
i = 1,2,3.
La métrica de Minkowski es gµν = diag(+1,−1,−1,−1), es decir,
gµν =

+1, µ = ν = 0
−1, µ = ν 6= 0
0, µ 6= ν
. (1.2)
También se usa la métrica con signo opuesto, que tiene varias ventajas, pero la usada aquí está más
extendida en física de partículas.
Las componentes contravariantes de la métrica, gµν , están formadas por la matriz inversa de las
componentes covariantes, gµν , es decir, gµαgαν = δµν . (Hay suma implícita sobre índices repetidos, en
este caso α.) En relatividad especial gµν y gµν tienen la misma matriz
gµν = gµν = diag(+1,−1,−1,−1), gµ
ν = gµ
ν = δµν = diag(1,1,1,1) (1.3)
Usando la métrica se puede pasar de las componentes covariantes a las contravariantes de un tensor y
viceversa:
xµ = gµνxν = (t,−x) x0 = x0 = t, xi =−xi =−x . (1.4)
La norma al cuadrado y el producto escalar se definen usando la métrica de Minkowski:1.1
x · x = x2 = gµν xµxν = xµxµ = t2−x2 = t2− x2− y2− z2,
x · y = gµν xµyν = xµyµ = x0y0−x ·y.
(1.5)
1.1No debe confundirse x2 = x · x con x2 = y. Ídem x cuadrivector con x = x1.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 2
(A menudo el punto del producto escalar es omite.) x2 representa el intervalo relativista entre el origen y
el punto espacio-temporal x:
x2

> 0 separación tipo tiempo
< 0 separación tipo espacio
= 0 separación tipo luz
. (1.6)
Las transformaciones de Lorentz son las transformaciones lineales en el espacio-tiempo que dejan inva-
riante el producto escalar (o equivalentemente la norma al cuadrado):
Λ : R4→ R4, x 7→ x′ = Λx, x′µ = Λ
µ
ν xν ,
xy = x′y′, gµνxµyν = gαβ x′αy′β = gαβ Λ
α
µ xµ
Λ
β
ν yν .
(1.7)
La invariancia requiere
gµν = gαβ Λ
α
µ Λ
β
ν . (1.8)
En notación matricial G = ΛT GΛ. La ley de transformación de las componentes covariantes es
x′µ = (Λ−1)ν
µ xν = Λµ
ν xν , Λµ
ν = gµα gβν
Λ
α
β = (Λ−1)ν
µ . (1.9)
Por su definición el conjunto de transformaciones forman el grupo matricial L =O(1,3), que es el grupo
de Lorentz completo. Es un grupo de Lie de dimensión 6 (en 3+1 dimensiones). La ley de composición
corresponde al producto de matricesΛ12 = Λ1Λ2.
El grupo completo contiene rotaciones, boosts, reflexión espacial (paridad) e inversión temporal. Te-
niendo en cuenta que det(AB) = detAdetB y detG =−1, se deduce que las transformaciones de Lorentz se
dividen en dos tipos L = L+∪L− de acuerdo con detΛ =±1. Se usa la notación L+ = SO(1,3), denominado
a veces grupo propio de Lorentz. Los elementos de L− se denominan inversiones. Por otro lado,
1 = g00 = gαβ Λ
α
0 Λ
β
0 = (Λ0
0)
2− (Λ0
i)
2, |Λ0
0| ≥ 1. (1.10)
Por tanto también hay dos tipos de transformaciones L = L↑∪L↓, ortocronas o antiortocronas, de acuerdo
con Λ0
0 ≷ 0. Se usa la notación L↑ = O+(1,3) y L↓ = O−(1,3) El grupo de Lorentz completo contiene
cuatro componentes conexas
L = L↑+∪L↑−∪L↓+∪L↓−. (1.11)
La componente L↑+ = SO+(1,3) es un subgrupo normal, el grupo restringido de Lorentz generado por
rotaciones y boosts. Toda Λ ∈ L↑+ es de la forma Λ(θ,v) = B(v)R(θ). B(v) es el boost puro de velocidad
v que actúa igual que Λ sobre (1,0):
Λ
(
1
0
)
= B
(
1
0
)
=
(
γ
γv
)
, γ = (1−v2)−1/2. (1.12)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 3
Por otro lado el grupo de las rotaciones está formado las transformaciones de Lorentz que dejan invariante
el vector (1,0). Es decir, R(θ) = B−1(v)Λ(θ,v) (que por construcción deja (1,0) invariante). θ = ωn,
donde n es el eje de rotación (n2 = 1) y ω es el ángulo de rotación. Los boosts no forman un grupo en el
caso relativista. (Dos boosts puros sucesivos en la misma dirección producen un boost puro en la misma
dirección, pero si no están la misma dirección se genera una rotación adicional.)
Las otras componentes de L se obtienen aplicando paridad e inversión temporal. Paridad o inversión
espacial es la transformación(
t
x
)
→ P
(
t
x
)
=
(
t
−x
)
, P = diag(1,−1,−1,−1), PL↑↓± = L↑↓∓ . (1.13)
Obsérvese que en un espacio de dimensión arbitraria paridad se puede identificar con una reflexión que
cambie el signo de un número impar de componentes de x. (Si se cambia un número par se obtiene una
rotación.)
Inversión temporal es la transformación que cambia el sentido del tiempo:(
t
x
)
→ T
(
−t
x
)
, T = diag(−1,1,1,1), T L↑↓± = L↓↑∓ . (1.14)
El conjunto de transformaciones que deja invariante el intervalo (x− y)2 entre dos sucesos x e y es el
grupo inhomogéneo de Lorentz o grupo de Poincaré, P = IO(1,3). Son transformaciones afines (Λ,a)
x→ Λx+a, Λ ∈ L, a ∈ R4. (1.15)
El grupo de Poincaré es el producto semidirecto del grupo de traslaciones espacio-temporales, x→ x+a, con
el grupo de Lorentz. De su definición sobre R4 se deduce la ley de composición (Λ12,a12) = (Λ1,a1)(Λ2,a2),
con Λ12 = Λ1Λ2 y a12 = a1 +Λ1a2.
Los objetos (sin índices) invariantes bajo transformaciones de Lorentz se denominan escalares (Lorentz).
Por ejemplo, la norma al cuadrado, x2.
Los objetos que se transforman como x bajo transformaciones de Lorentz son cuadrivectores. Aµ →
A′µ = Λµ
ν Aν , Aν = gµνAν , (A′)2 = A2. Por ejemplo, el cuadrimomento pµ = (E,p), donde E es la energía
y p el momento. De modo que p2 = pµ pµ = E2−p2 = m2 es un escalar Lorentz, la masa invariante al
cuadrado.
Igualmente ∂µ =
∂
∂xµ
es un cuadrivector:
∂
′
µ =
∂
∂x′µ
=
∂xν
∂x′µ
∂ν = (Λ−1)ν
µ∂ν = Λµ
ν
∂ν . (1.16)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 4
Correspondientemente el d’alambertiano 2= ∂µ∂ µ = ∂ 2
t −∇2 es un escalar Lorentz.
Estas leyes de transformación son consistentes con las reglas de cuantización E→ i∂0, p=−i∇, que se
pueden escribir en forma conjunta como pµ → i∂µ o (pµ → i∂ µ). Nótese que para x y p lo natural son las
componentes contravariantes (xi son las componentes de x y pi son las de p), en cambio para la derivada
lo natural son las componentes covariantes, ∂i son las componentes de ∇, mientras que ∂ i =−∇.
Por definición un tensor (respecto del grupo L↑+) con m índices contravariantes y n covariantes
T µ1···µm
ν1···νn (los índices pueden estar ordenados de forma distinta) se transforma según1.2
T ′µ
′
1···µ ′m
ν ′1···ν ′n = Λ
µ ′1
µ1 · · ·Λµ ′m
µmΛν ′1
ν1 · · ·Λν ′n
νn T µ1···µm
ν1···νn , Λ ∈ L↑+ . (1.17)
La suma de tensores del mismo tipo produce otro tensor, Aµν +Bµν = Cµν , y lo mismo el producto,
AµνBα
β =Cµν
α
β . Los índices se pueden subir y bajar con la métrica. Contracción de un índice covariante
con uno contravariante produce un nuevo tensor: AµαBα
ν =Cµν . La derivada de un campo tensorial produce
otro campo tensorial, ∂µAν(x) = Bµν(x).
La métrica es un tensor invariante (por definición de transformación de Lorentz):
gµν → g′µν = Λµ
α
Λν
β gαβ = gµν . (1.18)
Aparte de la métrica, sólo hay otro tensor básico invariante L↑+, el tensor de Levi-Civita εµναβ (con
D+1 índices en D+1 dimensiones). Básico se refiere a que cualquier otro tensor invariante está construido
combinando gµν y εµναβ . El tensor de Levi-Civita se define por la propiedades: i) εµναβ es completamente
antisimétrico bajo permutación de índices. En particular, se anula si dos índices toman el mismo valor. Y
ii) ε0123 =+1, equivalentemente ε0i jk = εi jk. Nótese que entonces ε0123 =−1. Esta elección de signo no es
universal. εµναβ es un pseudo-tensor ya que es un tensor (invariante) bajo L+ pero cambia de signo bajo
L−:
ε
′
µ ′ν ′α ′β ′ = Λµ ′
µ
Λν ′
ν
Λα ′
α
Λβ ′
β
εµναβ = det(Λ)εµ ′ν ′α ′β ′ =±εµ ′ν ′α ′β ′ . (1.19)
El producto de un número par de tensores de Levi-Civita es un tensor invariante y se puede escribir en
función de la métrica:1.3
− εµ ′ν ′α ′β ′εµναβ = gµ ′µgν ′νgα ′αgβ ′β −·· · . (1.20)
La suma es sobre 4! permutaciones de (µναβ ), con signo más si la permutación es par y con signo menos si
es impar. En general se usa tensor para un objeto con comportamiento tensorial bajo L y pseudo-tensor si
en la transformación tiene un factor det(Λ). Así, si Fµν es un tensor, F̃µν = 1
2 εµναβ Fαβ es un pseudo-tensor.
El potencial vector A es un vector (o auténtico vector, o vector polar) y el campo magnético B =∇×A
1.2Nótese que Tµν = δµν no es un tensor, y sí lo es T µ
ν = δµν .
1.3En efecto, el lado derecho es totalmente antisimétrico en µ,ν ,α,β y también en µ ′,ν ′,α ′,β ′, por tanto debe ser un
múltiplo del lado izquierdo.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 5
(Bi = εi jk∂ jAk) es un pseudo-vector o vector axial. Bajo paridad A(x)→−A(−x) y ∇→−∇, en cambio
B(x)→+B(−x).
El cuadrivolumen subtendido por cuatro cuadrivectores A, B, C, D es εµναβ AµBνCαDβ . Por otro
lado A, B, C subtienden una hipersuperficie (subespacio tridimensional) Σ con cuadrivector normal σβ =
εµναβ AµBνCα . Por construcción σµV µ = 0 para cualquier cuadrivector V en Σ. Interesa especialmente el
caso de cuadrivectores infinitesimales. Con paralelepípedos infinitesimales de dimensión n se puede cubrir
una región Ω ⊂ R4 (n = 4) o una hipersuperficie (n = 3), etc. En particular, el elemento de cuadrivolu-
men d4x corresponde a la celdilla con cuadrivectores (dx0,0,0,0), (0,dx1,0,0), (0,0,dx2,0), (0,0,0,dx3).
Igualmente, la hipersuperficie t = cte tiene elemento de volumen dσµ = (d3x,0,0,0), así∫
R3
d3xA0(x) =
∫
Σ
dσµ Aµ(x). (1.21)
1.1.2 Álgebras de Lie de Lorentz y Poincaré
Para Λ ∈ L↑+ infinitesimal
Λ
µ
ν = gµ
ν +δω
µ
ν , Λ
T GΛ = G =⇒ δωµν =−δωνµ . (1.22)
La condición de antisimetría (válida análogamente para cualquier grupo O(n,m)) indica que sólo hay 6
parámetros independientes, correspondientes a 3+3 de rotaciones y boosts.
Si D(Λ) es una representación de L↑+ en un espacio vectorial complejo V , D(Λ1Λ2) = D(Λ1)D(Λ2), se
tendrá
D(Λ) = e−
i
2 ωµν Jµν
, Jµν =−Jνµ . (1.23)
Los 6 operadores (en V ) Jµν son los generadores del grupo L↑+ en V . En el caso infinitesimal D(Λ) =
1− i
2 δωµνJµν . El factor i es convencional de modo que si la representación es unitaria Jµν son operadores
hermíticos.1.4 El factor 1/2 es un factor de simetría, también convencional. Por ejemplo, en la representación
D(Λ) = Λ en V = R4,
Λ
α
β = gα
β +δω
α
β = gα
β +
1
2
δωµν(gµαgν
β −gναgµ
β ), (Jµν)α
β = i(gµαgν
β −gναgµ
β ). (1.24)
En este caso cada uno de los 6 operadores Jµν son matrices 4×4. Esta representación no es unitaria.
Cualquiera que sea la representación, los generadores satisfacenlas relaciones de conmutación del
álgebra de Lie del grupo (y por tanto el álgebra se puede obtener de cualquier representación fiel):
[Jµν ,Jαβ ] = i(gναJµβ −gµαJνβ −gνβ Jµα +gµβ Jνα). (1.25)
1.4El grupo de Lorentz restringido es simple, conexo y no compacto, en consecuencia todas sus representaciones unitarias son
de dimensión infinita (excepto la representación trivial). De ahí que mecánica cuántica relativista requiere teoría de campos.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 6
Extendamos el grupo de Lorentz al de Poincaré, x→Λx+a. Si D(Λ,a) es una representación del grupo
de Poincaré debe cumplir
D(Λ1,a1)D(Λ2,a2) = D(Λ1Λ2,a1 +Λ1a2). (1.26)
Actúa primero Λ y luego a, (Λ,a) = (1,a)(Λ,0). Entonces es costumbre expresar la representación en
términos de generadores como1.5
D(Λ,a) = eiaµ Pµ
e−
i
2 ωµν Jµν
. (1.27)
Pµ , el cuadrimomento, son los generadores infinitesimales del grupo de traslaciones.
El álgebra de Lie de Poincaré se puede obtener también a partir de una representación matricial usando
una representación en un espacio de 5 dimensiones:(
Λ a
0 1
)(
x
1
)
=
(
Λx+a
1
)
. (1.28)
En todo caso, se obtiene para el álgebra de Lie
[Jµν ,Pα ] = i(gναPµ −gµαPν), [Pµ ,Pν ] = 0. (1.29)
En términos de una descripción espacio-temporal
H = P0, (P )i = Pi, (J)i =
1
2
εi jkJ jk, (K)i = J0i . (1.30)
K genera los boosts y J , el momento angular, las rotaciones. Usamos simplemente Ji, Ki, εi jk para objetos
sin índices temporales. Nótese que con la signatura elegida para la métrica Pi no es (P )i = Pi sino −Pi.
Las relaciones de conmutación se pueden reescribir
[Pi,P j] = [Pi,H] = [Ji,H] = 0,
[Ji,P j] = iεi jkPk, [Ji,K j] = iεi jkKk, [Ji,J j] = iεi jkJk,
[Ki,P j] =−iδi jH, [Ki,K j] =−iεi jkJk, [Ki,H] =−iPi.
(1.31)
El recubridor universal del grupo de Lorentz es SL(2,C). Es inmediato que los operadores
J± =
1
2
(J ± iK) := JL,R, J = JL +JR (1.32)
cumplen
[J±,i,J±, j] = iεi jkJ±,k, [J±,i,J∓, j] = 0. (1.33)
1.5a y ω son coordenadas normales del grupo de traslaciones y de Lorentz respectivamente. Como para cualquier grupo de
Lie, es posible usar coordenadas normales globales para el grupo de Poincaré conexo eia′µ Pµ− i
2 ωµν Jµν
, pero a′ no coincidirá con
a.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 7
Es decir, la complexificación del álgebra de Lie de Lorentz so(1,3) se descompone como la complexificación
de su(2)⊕su(2).1.6 Esto permite etiquetar las representaciones irreducibles del grupo restringido de Lorentz
mediante dos índices [ jL, jR] con jL,R entero o semientero (dimensión (2 jL + 1)(2 jR + 1)). Bajo paridad
J± → J∓ y por tanto [ jL, jR]→ [ jR, jL]. Hay dos representaciones irreducibles básicas (representaciones
quirales) con las que se pueden construir las demás representaciones irreducibles de dimensión finita del
grupo de Lorentz:
[
1
2
,0] : J =
1
2
σ, K =− i
2
σ left,
[0,
1
2
] : J =
1
2
σ, K =+
i
2
σ right.
(1.34)
Siendo σ las matrices de Pauli.
Ejemplo Para una partícula de Dirac, con las gammas de Dirac, γµ = (γ0,γ), en la representación
quiral
γ5 =
(
1 0
0 −1
)
, γ
0 =
(
0 1
1 0
)
, γ =
(
0 −σ
σ 0
)
,
Jµν =
i
4
[γµ ,γν ], J =
(1
2σ 0
0 1
2σ
)
, K =
( i
2σ 0
0 − i
2σ
)
.
(1.35)
Por tanto el espacio de Dirac de dimensión 4 no es irreducible Lorentz, se reduce como [1
2 ,0]⊕ [0, 1
2 ]. Este
espacio es invariante bajo paridad. La representación vector, V µ , corresponde a [1
2 ,
1
2 ]. ♦
Respecto de las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré, hay dos operadores invariantes
Poincaré que se pueden utilizar para clasificarlas, a saber, P2 y W 2. Estos dos operadores conmutan con
los generadores de Poincaré. P2 = PµPµ = M2 es la masa invariante al cuadrado. El otro invariante está
relacionado con el espín:
Wµ =
1
2
εµναβ PνJαβ , (1.36)
es el (pseudo) vector de Pauli-Lubanski, W 2 =WµW µ .
Hay varios tipos de representaciones irreducibles unitarias de Poincaré restringido, pero sólo las siguientes
han encontrado aplicación en física:
i) Pµ = Jµν = 0. Es la representación trivial del grupo y corresponde al estado vacío (estado fundamental
de la teoría de campos).
1.6Alternativamente, las soluciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de JL,R se pueden elegir hermíticas (elección de
base) y etiquetarlas con [ jL, jR]. J = JR +JL será hermítica (SU(2) compacto, representaciones de dimensión finita unitarias)
y K = i(JR−JL) antihermítica (representaciones de Lorentz de dimensión finita no unitarias).
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 8
ii) P2 = M2 > 0, P0 > 0, W 2 = −M2 j( j+ 1), con j = 0, 1
2 ,1, . . . Hay una representación irreducible de
este tipo por cada M (M > 0) y j. Se aplica a partículas masivas. En estas representaciones hay un
sistema en el que P = 0, el sistema centro de masas. En este sistema W 0 = 0, W = MS, donde S
es el espín (J = L+S = S en este caso por P = 0). Los estados son de la forma |M, j;p,λ 〉 con
λ =− j,− j+1, . . . , j. p es el momento lineal y λ la helicidad (momento angular en la dirección del
momento lineal). E =+
√
M2 +p2.
iii) P2 = 0, P0 > 0, λ = 0,±1
2 ,±1, . . . Hay una representación irreducible de este tipo por cada λ . Re-
presenta partículas sin masa. En este caso W µ = λPµ y λ es un invariante Poincaré (pseudo-escalar)
que presenta la helicidad. Por este motivo hay un único valor de la helicidad en cada representación
irreducible y no 2 j+1 como ocurre para partículas masivas. La base es |M = 0,λ ;p〉 (p 6= 0). E = |p|.
También hay representaciones taquiónicas, con M2 < 0, que violan causalidad, y otras.
1.2 Derivada funcional
Una función es una aplicación f : A→ B. Suele usarse el nombre función cuando A es Rn o Cn, o más
generalmente cuando A es una variedad de dimensión finita. Por ejemplo f (x) con x ∈Rn. Se suele usar el
nombre funcional cuando A es un conjunto de funciones (en el sentido anterior). Por ejemplo
A = {ϕ : Ω⊂ Rn→ R
x 7→ ϕ(x)
}, F : A→ B
ϕ 7→ F [ϕ]
. (1.37)
El dominio Ω es común a todas las funciones ϕ. Se usa a veces [ϕ] en vez de (ϕ) para denotar dependencias
funcionales. Usualmente B es R o C.
Ejemplo Si ρ(x) (x∈R3) es la densidad de partículas, el número de partículas, NΩ[ρ] =
∫
Ω
d3xρ(x),
es un funcional de ρ.
Ejemplo Hrad =
1
2
∫
d3x(E2(x)+B2(x)), la energía del campo de radiación, es un funcional de E(x)
y de A(x).
Ejemplo δx[ϕ] = ϕ(x) es la distribución delta de Dirac. Es un funcional lineal de ϕ, con un parámetro
x. También suele escribirse δx[ϕ] =
∫
dnyδ (y− x)ϕ(y).
El concepto de derivada funcional es una generalización del concepto de derivada parcial para funciones
ordinarias. Para una función ordinaria bien comportada f : Rn→ R y una variación x→ x+δx, δ f (x) =
n
∑
i=1
∂ f (x)
∂xi δxi +O(δx2). Por definición el coeficiente lineal en δxi es la derivada parcial, ∂i f (x).1.7
1.7Siempre suponemos que las funciones u objetos matemáticos considerados son suficientemente bien comportados, en este
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 9
Análogamente, para un funcional, F : ϕ 7→ F [ϕ] consideramos una variación ϕ→ ϕ +δϕ. La variación
es local (se anula fuera de cierto soporte). Esto induce una variación en F : δF [ϕ] = F [ϕ + δϕ]−F [ϕ].
Para F diferenciable (por definición) δF [ϕ] =
∫
dnxK(x)δϕ(x)+O(δϕ2). La función K(x) depende de x y
ϕ y es la derivada funcional de F respecto de ϕ en x. Suele denotarse δF [ϕ]
δϕ(x)
. Así, para δϕ infinitesimal
δF [ϕ] =
∫
dnx
δF [ϕ]
δϕ(x)
δϕ(x). (1.38)
Por tanto la derivada funcional mide la dependencia de F con respecto a una variación de ϕ(x) en un
entorno de x.
Nótese que: i) δF [ϕ]
δϕ(x)
no depende de la variación δϕ(x). ii) δF [ϕ]
δϕ(x)
tiene dimensiones de [δF ][δϕ]−1[dnx]−1
(a diferencia de ∂i f (x) que tiene dimensiones [δ f ][dx]−1). iii) δϕ(x) es local. Esto quiere decir que se anula
fuera de alguna región acotada que no incluye los límites del dominio de las funciones ϕ, en particular el
soporte de δϕ es interior al dominio Ω de las funciones ϕ, δϕ
∣∣∣
∂Ω
= 0. Esto permite integrar por partes
sin guardar términos de superficie.
Ejemplo Sea F [ϕ] =
∫
Ω
dnx f (ϕ(x),∂iϕ(x),x) para cierta funciónordinaria f .
δF [ϕ] =
∫
Ω
dnx
(
∂ f
∂ϕ(x)
δϕ(x)+
∂ f
∂ (∂iϕ(x))
δ (∂iϕ(x))
)
=
∫
Ω
dnx
(
∂ f
∂ϕ(x)
δϕ(x)−∂i
(
∂ f
∂ (∂iϕ(x))
)
δϕ(x)
)
+
∫
Ω
dnx∂i
(
∂ f
∂ (∂iϕ(x))
δϕ(x)
)
.
(1.39)
Se ha usado que δ (∂iϕ(x)) = ∂i(δϕ(x)). Por el teorema de Stokes (
∫
Ω
dω =
∫
∂Ω
ω), el último término puede
reescribirse ∫
∂Ω
dn−1Si
∂ f
∂ (∂iϕ(x))
δϕ(x) = 0. (1.40)
Es un término de superficie y se anula por δϕ = 0 en ∂Ω. Por tanto
δF [ϕ]
δϕ(x)
=
∂ f
∂ϕ(x)
−∂i
(
∂ f
∂ (∂iϕ(x))
)
. (1.41)
(Hay suma implícita sobre i.) La derivada parcial ∂i externa en el segundo término se refiere a toda la
dependencia en x, no sólo a la x explícita en f .
Otra forma de introducir la derivada funcional es discretizando x [1]. Supongamos ϕ : Ω ⊂ Rn → R.
Dividimos la región Ω en celdillas δΩi, i = 1,2, . . . (un número finito si Ω es acotado) cada una con
caso f es suficientemente diferenciable.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 10
volumen δVi, de modo que {δΩi} es un partición de Ω. Al final se toma el límite δVi→ 0 (uniformemente).
A cada celdilla se le asocia un valor representativo ϕ̄i definido como (δVi)
−1
∫
δΩi
dnxϕ(x) (u otro promedio
adecuado). La idea es que se ha sustituido un conjunto continuo de coordenadas ϕ(x) para describir la
función (o campo) por un conjunto discreto ϕ̄i. El funcional F [ϕ] se sustituye por una función de las ϕ̄i,
F̄(ϕ̄). Se espera recuperar la descripción detallada en el límite del continuo, δVi→ 0.
F [ϕ]→ F̄(ϕ̄i), ϕ(x)→ ϕ̄i, δ F̄ = ∑
i
∂ F̄(ϕ̄)
∂ ϕ̄i
δ ϕ̄i = ∑
i
δVi
1
δVi
∂ F̄
∂ ϕ̄i
δ ϕ̄i. (1.42)
En el límite del continuo
∑
i
δVi→
∫
Ω
dnx, δ ϕ̄i→ δϕ(x),
1
δVi
∂ F̄(ϕ̄)
∂ ϕ̄i
→ δF [ϕ]
δϕ(x)
. (1.43)
Algunas propiedades:
δ
δϕ(x)
(aF +bG) = a
δF
δϕ(x)
+b
δG
δϕ(x)
,
δ (FG)
δϕ(x)
=
δF
δϕ(x)
G+F
δG
δϕ(x)
,
δ
δϕ(x)
δ
δϕ(y)
F =
δ
δϕ(y)
δ
δϕ(x)
F,
δϕ(x)
δϕ(y)
= δ (x− y).
(1.44)
1.3 Formalismo lagrangiano
Supongamos un sistema físico en D+ 1 dimensiones descrito por campos reales φA(x), A = 1, . . . ,N.
Los campos están definidos en cierta región V ⊂ RD. El conjunto de funciones φA(x) es la configuración
(espacial) del campo. Más generalmente los campos pueden ser complejos o tomar valores en espacios de
matrices, o directamente en álgebras, grupos de Lie, etc. En su evolución temporal el sistema describirá un
camino en el espacio de configuraciones espaciales, φA(x) = φA(x, t), x ∈ RD+1. φA(x) es la configuración
espacio-temporal del campo.
El campo, con infinitos grados de libertad (N grados de libertad en cada punto x) es una idealización,
y en todo caso es conveniente tratarlo como un caso límite de un sistema con grados de libertad discretos,
que conocemos mejor. Como se ha descrito antes (al final de la sección ), discretizamos V en celdillas
de tamaño δVi y asociamos un promedio de los campos en cada celdilla, φ̄A,i. Posteriormente tomaremos
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 11
el límite del continuo δVi → 0. Al sistema mecánico descrito por los grados de libertad φ̄A,i se le asocia
un lagrangiano L̄(t) = L̄(φ̄ , ˙̄
φ , t) (con posible dependencia explícita en t). Aquí ˙̄
φA,i =
dφ̄A,i
dt
. La acción del
sistema en el intervalo temporal [t1, t2]
W̄2,1(φ̄) =
∫ t2
t1
L̄(t)dt, (1.45)
es un funcional del camino φ̄A,i(t) en el espacio de configuración discretizado. Las ecuaciones de movimiento
se obtienen aplicando el principio de Hamilton o de mínima acción: la acción debe ser invariante bajo una
variación de primer orden δ φ̄A,i(t) que se anule en los extremos temporales:
δW̄2,1(φ̄) = 0, δ φ̄A,i(t1) = δ φ̄A,i(t2) = 0. (1.46)
Es una condición sobre φ̄A,i(t). Para obtener las ecuaciones de movimiento, notemos que debido a que la
variación es local (en t), se aplica la definición de derivada funcional
δW̄2,1(φ̄) =
∫ t2
t1
dt
δW̄
δ φ̄A,i(t)
δ φ̄A,i(t), (1.47)
donde la derivada funcional se refiere a φ̄A,i(t) como funciones de t y hay suma implícita sobre A, i. Más
explícitamente, notando que la forma del lagrangiano es L̄(φ̄ , φ̇) se puede aplicar ec. (1.41) para n = 1 (y
extendida a varias variables). Las ecuaciones de movimiento son
0 =
δW̄
δ φ̄A,i(t)
=
∂ L̄
∂ φ̄A,i
− d
dt
∂ L̄
∂
˙̄
φA,i
∀x,A. (1.48)
Son las ecuaciones de Euler-Lagrange, o de movimiento, para el sistema discretizado.
En el límite del continuo
L̄(φ̄ , ˙̄
φ , t)→ L[φ , φ̇ , t], W̄2,1(φ̄)→W2,1[φ ] =
∫ t2
t1
dt L[φ , φ̇ , t]. (1.49)
El lagrangiano es un funcional de φA(x) y φ̇A(x), como funciones de x. La acción es un funcional de φA(x)
como función de x = (x, t). Para obtener las ecuaciones del movimiento en el continuo, se multiplican las
ecuaciones de movimiento discretas ec. (1.48) por 1/δVi y se aplica ec. (1.43):
0 =
δL
δφA(x)
− d
dt
δL
δ φ̇A(x)
. (1.50)
En la aplicación de ec. (1.43) se ha supuesto que las variaciones δφA(x) y δ φ̇A(x) son locales, en
particular, se anulan en ∂V . Esto puede ocurrir porque haya condiciones periódicas de contorno de modo
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 12
que ∂V es vacío, o V = RD (todo el espacio) y los campos van a cero en el infinito, o tienen condiciones
de contorno tipo caja en ∂V .
Las ecuaciones se pueden derivar directamente del principio de Hamilton extendido a campos. Los
campos φA(x) están definidos en una región Ω ⊂ RD+1, que hasta ahora era V × [t1, t2], pero ahora su-
ponemos arbitraria. Entonces el principio extendido requiere que bajo una variación infinitesimal de φA(x)
(configuración espacio-temporal) que se anule en la frontera de Ω la acción quede invariante
δWΩ[φ ] = 0, δφA(x)
∣∣∣
∂Ω
= 0. (1.51)
Este requerimiento da lugar a las ecuaciones de movimiento (de nuevo la variación es local y da lugar a la
derivada funcional):
0 =
δW
δφA(x)
. (1.52)
Nótese que esta ecuación no requiere que exista un lagrangiano. Otra observación es que las ecuaciones del
caso qi(t) (número finito de grados de libertad) se reobtienen considerándolo como una teoría de campos
en 0+1 dimensiones, donde el espacio-tiempo es sólo t, y qi(t) son una colección de campos.
Veamos que este principio nos lleva a las mismas ecuaciones ec. (1.50). La condición δφA(x)
∣∣∣
∂Ω
= 0 se
satisfacía ya, dado que Ω =V × [t1, t2] con δφA(x, t1) = δφA(x, t2) = 0 y también δφA(x, t)
∣∣∣
∂V
= 0. Entonces
δWΩ[φ ] =
∫ t2
t1
dt δL[φ , φ̇ , t] =
∫ t2
t1
dt
∫
V
dDx
(
δL
δφA(x)
δφA(x)+
δL
δ φ̇A(x)
δ φ̇A(x)
)
=
∫ t2
t1
dt
∫
V
dDx
(
δL
δφA(x)
− d
dt
δL
δ φ̇A(x)
)
δφA(x).
(1.53)
Efectivamente δWΩ[φ ] = 0 implica ec. (1.50).
En la práctica los lagrangianos de campos que se consideran son locales, es decir, de la forma
WΩ[φ ] =
∫
Ω
dD+1xL (φ(x),∂φ(x),x). (1.54)
L (x) es la densidad lagrangiana. ∂φ(x) se refiere a ∂µφ(x), las derivadas parciales respecto de x. La
formulación hasta ahora es válida en general, pero en teoría relativistas ∇φ debe aparecer de forma
simétrica con φ̇ = ∂tφ . Incluso en teorías no relativistas, las derivadas espaciales aparecen de forma natural:
la aparición de ∂tφ (a través de la energía cinética) indica que cuesta energía deformar φA(x) en sentido
temporal. Del mismo modo cuesta energía deformarlo en sentido espacial y eso introduce ∇φA. No se
consideran densidades lagrangianas con derivadas de orden superior del mismo modo que no aparece q̈i en
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 13
el lagrangiano en mecánica. Que la acción sea local indica que si Ω1∩Ω2 = /0, WΩ1∪Ω2 =WΩ1 +WΩ2 y no
hay acción a distancia (evitar que la haya es precisamente el motivo de introducir teoría de campos).1.8
Para una teoría local, la derivada funcional en ec. (1.52) puede calcularse en forma más explícita por
aplicación de ec. (1.41):1.9
0 =
∂L (x)
∂φA(x)
−∂µ
(
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
)
. (1.55)
Son las ecuaciones de Euler-Lagrange, o de movimiento, de la teoría de campos.1.10 De nuevo la ∂µ externa
del segundo término actúa sobre toda la dependencia en x no sólo la x explícita en L (en ese sentido la
derivada es total y a veces se usa la notación Dµ).
Ejemplo Consideremos la teoría de Klein-Gordon real, φ(x) ∈ R:
L (x) =
1
2
∂µφ(x)∂ µ
φ(x)− 1
2
m2
φ
2(x). (1.56)
En este caso1.11
∂L (x)
∂φ(x)=−m2
φ(x),
∂L (x)
∂ (∂µφ(x))
= ∂
µ
φ(x), (1.57)
y las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan
(∂µ∂
µ +m2)φ(x) = 0. (1.58)
Ésta es la denominada ecuación de Klein-Gordon. El parámetro m≥ 0 es la masa del campo. ♦
En este caso y en general, a menudo es mejor calcular a mano la variación de W e integrar por partes
en vez de usar para obtener las ecuaciones de movimiento, en vez de usar la fórmula general (1.55).
Debe notarse que las ecuaciones de movimiento no determinan W [φ ] o L (x) de forma unívoca, ya que
dos densidades lagrangianas L (x) y L ′(x) relacionadas mediante:
L ′(x) = L (x)+∂µΛ
µ(φ(x),x) (1.59)
producen las mismas ecuaciones (de nuevo ∂µ deriva toda la dependencia en x). Λµ es una función arbitraria
de φ y x (pero no contiene ∂φ). Esto se puede verificar directamente en ec. (1.55). Alternativamente, se
1.8La propia existencia de una lagrangiano, ec. (1.49) indica una localidad en sentido temporal: la acción en un intervalo
temporal es la suma de la acciones en los subintervalos. Una ejemplo de un término no local sería
∫
dtddx1ddx2V (x1 −
x2)φ(x1, t)φ(x2, t).
1.9El mismo resultado se obtiene con ec. (1.50).
1.10Nótese que la métrica de Minkowski no aparece realmente en la fórmula. Las ecuaciones son válidas en cualquier teoría
de campos locales, relativistas o no.
1.11 ∂ (∂α φ∂ α φ)/(∂µ φ) = gαβ ∂ (∂α φ∂β φ)/(∂µ φ) = 2gαβ gµ
α φ∂β φ = 2∂ µ φ .
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 14
ve notando que la nueva contribución a la acción es un término de superficie:∫
Ω
dD+1x∂µΛ
µ(φ(x),x) =
∫
∂Ω
dD
σµ Λ
µ(φ(x),x). (1.60)
Esta acción no tiene derivada funcional y no cambia las ecuaciones de movimiento.
Si se tiene un par de campos reales φ1(x), φ2(x), se pueden formar dos campos complejos equivalentes
φ(x), φ ∗(x):
φ(x) =
1√
2
(φ1(x)+ iφ2(x)), φ
∗(x) =
1√
2
(φ1(x)− iφ2(x)), (1.61)
de modo que las ecuaciones de movimiento
0 =
∂L (x)
∂φA(x)
−∂µ
(
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
)
, A = 1,2 (1.62)
se pueden cambiar por las dos ecuaciones
0 =
∂L (x)
∂φ(x)
−∂µ
(
∂L (x)
∂ (∂µφ(x))
)
, 0 =
∂L (x)
∂φ ∗(x)
−∂µ
(
∂L (x)
∂ (∂µφ ∗(x))
)
. (1.63)
Aquí φ(x) y φ ∗(x) se tratan como campos independientes (a efectos de derivadas parciales o funcionales).
El factor 1/
√
2 es convencional.1.12 Dado que L (x) es real las dos ecuaciones son conjugadas una de
otra.1.13 En la práctica esta construcción sólo tiene interés si los campos tienen la misma naturaleza, por
ejemplo el mismo espín y la misma masa.
Ejemplo Campo de Klein-Gordon complejo. Se tienen dos campos de Klein-Gordon reales de igual
masa m y desacoplados
L (x) =
1
2
(∂µφ1)
2− 1
2
m2
φ
2
1 +
1
2
(∂µφ2)
2− 1
2
m2
φ
2
2 , (1.64)
en términos del campo complejo
L (x) = ∂µφ
∗(x)∂ µ
φ(x)−m2
φ
∗(x)φ(x). (1.65)
φ(x) y φ ∗(x) y satisfacen la ecuación de Klein-Gordon ec. (1.58).
1.12En variable compleja z = x+ iy se definen las derivadas de Wirtinger ∂z = (∂x − i∂y)/2 y ∂z∗ = (∂x + i∂y)/2, tales que
δx∂x +δy∂y = δ z∂z +δ z∗ ∂z∗ . Aquí se ve que es equivalente imponer nulidad de la variación respecto de (δx,δy) o respecto de
(δ z,δ z∗).
1.13Para cualquier teoría, la acción debe ser real para que la condición de estacionaridad tenga solución dentro del campo de
φA(x) reales. Si L (x) fuera complejo la solución de las ecuaciones ec. (1.63) produciría un “φ∗(x)” que no sería el conjugado
de φ(x). Por otra parte, si se cambia la ecuación de φ∗(x) para que sea la conjugada de la de φ(x) resulta que no hay una
acción común de la cual deriven el par de ecuaciones modificadas.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 15
1.4 Formalismo canónico
Volvemos momentáneamente a la versión discretizada. El momento canónico conjugado de la coorde-
nada φ̄A,i es
π̄A,i =
∂ L̄
∂
˙̄
φA,i
, (1.66)
y el hamiltoniano es
H̄(φ̄ , π̄, t) = ∑
A,i
π̄A,i
˙̄
φA,i− L̄. (1.67)
Para que tenga buen límite al continuo, hay que escalar π̄A,i con 1/δVi
π̄A,i
δVi
→ πA(x) =
δL
δ φ̇A(x)
. (1.68)
Entonces H̄ también tiene buen límite
∑
A,i
π̄A,i
˙̄
φA,i− L̄→ H[φ ,π, t] = ∑
A
∫
V
dDxπA(x) φ̇A(x)−L, (1.69)
y lo mismo las ecuaciones de Hamilton
˙̄
φA,i(t) =
∂ H̄
∂ π̄A,i
→ φ̇A(x) =
δH
δπA(x)
,
˙̄πA,i(t) =−
∂ H̄
∂ φ̄A,i
→ π̇A(x) =−
δH
δφA(x)
.
(1.70)
Nótese que en el formalismo canónico hay que eliminar las velocidades en función de los momentos canónicos
(invirtiendo ec. (1.68) en el caso de campos). Las derivadas funcionales de H o L son respecto de φA(x) y
πA(x) como funciones de x (no x).
En el caso de una teoría local
H =
∫
V
dDxH (φ(x),∇φ(x),π(x),x), H (x) = ∑
A
πA(x)φ̇A(x)−L (x), πA(x) =
∂L
∂ φ̇A(x)
. (1.71)
H (x) es la densidad hamiltoniana. Obsérvese que H (x) no contiene derivadas de π(x), y por tanto las
ecuaciones de Hamilton se pueden escribir en la forma
φ̇A(x) =
∂H (x)
∂πA(x)
, π̇A(x) =−
∂H (x)
∂φA(x)
+∇
(
∂H (x)
∂ (∇φA(x))
)
. (1.72)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 16
De nuevo, todas estas fórmulas valen para un sistema de campos cualesquiera. En el caso de un sistema
con covariancia relativista, el formalismo lagrangiano mantiene esa simetría explícita (W es invariante
Lorentz y L (x) es un escalar Lorentz). En cambio el formalismo canónico no es manifiestamente covariante.
En realidad H no un invariante Lorentz sino la componente temporal de un cuadrivector.
Ejemplo Para el campo de Klein-Gordon real ec. (1.56), el momento canónico y la densidad hamilto-
niana son
π(x) =
∂L
∂ φ̇(x)
= φ̇(x), H (x) =
1
2
(
π
2(x)+(∇φ(x))2 +m2
φ
2(x)
)
. (1.73)
Las ecuaciones de Hamilton son
φ̇(x) = π(x), π̇(x) =∇2
φ(x)−m2
φ(x). (1.74)
Estas dos ecuaciones son equivalentes a la ecuación de Klein-Gordon (∂µ +m2)φ(x) = 0. ♦
Para campos complejos φ(x), φ ∗(x)1.14
π(x) =
∂L (x)
∂ φ̇ ∗(x)
=
1√
2
(π1(x)+ iπ2(x)), π
∗(x) =
∂L (x)
∂ φ̇(x)
=
1√
2
(π1(x)− iπ2(x)),
H (x) = π1(x)φ̇1(x)+π2(x)φ̇2(x)−L (x) = π
∗(x)φ̇(x)+π(x)φ̇ ∗(x)−L (x).
(1.75)
Ejemplo Para el campo complejo de Klein-Gordon, ec. (1.65),
π(x) = φ̇(x), π
∗(x) = φ̇
∗(x),
H (x) = π
∗(x)π(x)+∇φ
∗(x) ·∇φ(x)+m2
φ
∗(x)φ(x).
(1.76)
♦
Para construir el paréntesis de Poisson empezamos en el sistema discretizado. Dados dos funcionales
F [φ ,π] y G[φ ,π] (que también pueden depender del tiempo) expresados en las variables canónicas, y sus
versiones discretizadas,
{F̄ , Ḡ}P = ∑
A,i
(
∂ F̄
∂ φ̄A,i
∂ Ḡ
∂ π̄A,i
− ∂ F̄
∂ π̄A,i
∂ Ḡ
∂ φ̄A,i
)
. (1.77)
Añadiendo los factores δVi y tomando el límite del continuo, se obtiene la versión para campos:
{F,G}P = ∑
A
∫
V
dDx
(
δF
δφA(x)
δG
δπA(x)
− δF
δπA(x)
δG
δφA(x)
)
. (1.78)
1.14En la literatura también se utiliza el convenio alternativo π = ∂L /∂ φ̇ , π∗ = ∂L /∂ φ̇∗.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 17
Usando las identidades
δφA(x)
δφB(y)
= δABδ (x−y),
δπA(x)
δπB(y)
= δABδ (x−y),
δφA(x)
δπB(y)
=
δπA(x)
δφB(y)
= 0, (1.79)
se comprueba que
i) La ecuaciones de Hamilton se pueden reescribir
φ̇A(x) = {φA(x),H}P, π̇A(x) = {πA(x),H}P. (1.80)
Más generalmente, para un observable cualquiera F [φ ,π, t]
dF
dt
= {F,H}P +
∂F
∂ t
. (1.81)
ii) Se satisfacen las relaciones canónicas
{φA(x),φB(y)}P = {πA(x),πB(y)}P = 0, {φA(x),πB(y)}P = δABδ (x−y). (1.82)
Para un campo complejo
{F,G}P =
∫
V
dDx
(
δF
δφ(x)
δG
δπ∗(x)
− δF
δπ∗(x)
δG
δφ(x)
+
δF
δφ ∗(x)
δG
δπ(x)
− δF
δπ(x)
δG
δφ ∗(x)
)
{φ(x),π∗(y)}P = {φ ∗(x),π(y)}P = δ (x−y).
(1.83)
Los restantes paréntesis de Poisson canónicos se anulan.
Ejemplo La función de onda de una partícula no relativista se puede ver como un campo complejo
con ecuación de Schrödinger como ecuación de movimiento. La ecuación (usamos unidades h̄ = 1)
i∂tψ(x) =− 1
2m
∇2
ψ(x)+V (x)ψ(x) (1.84)
y su conjugada, con campos clásicos ψ(x) y ψ∗(x), derivan de la densidad lagrangiana
L (x) =
i
2
(ψ∗(x)∂tψ(x)−∂tψ
∗(x)ψ(x))− 1
2m
∇ψ
∗(x) ·∇ψ(x)−V (x)ψ∗(x)ψ(x), (1.85)
que es real si V (x) lo es. Este lagrangiano difiere por un término de superficie (a saber, i
2
∂t(ψ
∗(x)ψ(x))+
1
2m
∇(ψ∗(x)∇ψ(x))) de
L ′(x) = ψ
∗(x)
(
i∂t +
1
2m
∇2−V (x)
)
ψ(x), (1.86)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 18
que por tanto produce las mismas ecuaciones de movimiento. Ambas formas son equivalentes. UsamosL ′(x) por ser más simple y mejor para hacer el formalismo canónico (que es singular).
El formalismo lagrangiano, y en particular las ecuaciones de Euler-Lagrange, no presenta problemas.
No es el caso para el formalismo hamiltoniano o canónico. Para los momentos canónicos se encuentra
π
∗(x) =
∂L ′(x)
∂ψ̇(x)
= iψ∗(x), π(x) =
∂L ′(x)
∂ψ̇∗(x)
= 0. (1.87)
Claramente no se puede proceder a eliminar las velocidades en función de los momentos canónicos. El
problema proviene de que el lagrangiano es lineal en las velocidades y persiste usando la forma L (x). En
realidad sólo hay dos campos complejos independientes que son ψ y π∗ (o ψ∗), en vez de cuatro ψ, ψ∗,
π, π∗. Es decir, hay la mitad de grados de libertad de los aparentes. Teniendo en cuenta esto se puede
proceder a hacer el formalismo canónico:
H (x) = π
∗(x)ψ̇(x)−L ′(x) =−iπ∗(x)
(
− 1
2m
∇2 +V (x)
)
ψ(x),
{ψ(x),ψ(y)}P = {π∗(x),π∗(y)}P = 0, {ψ(x),π∗(y)}P = δ (x−y).
(1.88)
Las ecuaciones de Hamilton salen ahora correctamente1.15 y reproducen la ecuación de Schrödinger y su
conjugada.
También se puede trabajar con ψ(x) y ψ∗(x) (en vez de π∗(x)):
H (x) = ψ
∗(x)
(
− 1
2m
∇2 +V (x)
)
ψ(x),
{ψ(x),ψ(y)}P = {ψ∗(x),ψ∗(y)}P = 0, {ψ(x),ψ∗(y)}P =−iδ (x−y).
(1.89)
Nótese que H = 〈Ĥ〉ψ (siendo H el hamiltoniano del campo clásico y Ĥ el operador hamiltoniano de la
partícula cuántica.) ♦
1.5 Simetrías
1.5.1 Transformaciones de simetría
Sea un sistema dinámico, cuyo estado está descrito por la configuración (espacio-temporal) de los
campos clásicos reales φA(x), A = 1, . . . ,N, y la dinámica viene dada por una acción W [φ ] que suponemos
local, es decir,
WΩ[φ ] =
∫
Ω
d4xL (x), (1.90)
1.15Teniendo en cuenta que H (x) contiene una dependencia inusual en ∇2ψ(x), o por partes, contiene ∇π∗(x).
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 19
donde la densidad lagrangiana L (x) es una función (no funcional) de φA(x), ∂µφA(x) y x. El caso de
configuraciones definidas sobre otras variedades se puede reducir a éste.
Una transformación (activa) del campo es una aplicación invertible g, que supondremos suficientemen-
te regular, tal que a cada configuración espacio-temporal φ le hace corresponder una nueva configuración,
φ g. Las transformaciones forman un grupo.
La transformación es de simetría (en sentido amplio) si deja invariante el subconjunto de configura-
ciones espacio-temporales que son soluciones de las ecuaciones de movimiento, es decir, si
δW [ϕ]
δϕ(x)
∣∣∣
ϕ=φ
= 0 implica δW [ϕ]
δϕ(x)
∣∣∣
ϕ=φ g
= 0. (1.91)
Si denotamos por M el conjunto de configuraciones del sistema y por S ⊂M el subconjunto de soluciones,
una simetría (en sentido amplio) es una transformación invertible g de M en M , que deja invariante S .
También las transformaciones de simetría forman un grupo, el grupo de simetría del sistema.
Nota: Hay que advertir que la simetrías que acabamos de definir son más concretamente simetrías de
la dinámica. En cierto sentido más laxo toda transformación realizable sobre el sistema es una simetría.
Por ejemplo, supongamos un sistema de partículas cargadas que se mueven en un plano. El grupo de
rotaciones tridimensionales SO(3) no define un grupo de transformaciones. SO(3) no es realizable en este
sistema (por lo menos no en ninguna forma natural interpretable como una auténtica rotación). En cambio
el grupo de rotaciones planas SO(2) sí lo hace. Es una simetría del plano que induce una correspondiente
simetría en la variedad formada por el espacio de configuración de las partículas. Si no hay campos externos
aplicados, SO(2) debe ser también una simetría de la dinámica: si una trayectoria es solución, la trayectoria
rotada también lo será (evolución y rotación conmutan). Si hay campos externos aplicados y consideramos
dos conjuntos de condiciones iniciales rotadas unas respecto de otras, las trayectorias correspondientes no
estarán relacionas por una rotación si los campos externos son fijos, pero sí lo estarán si al mismo tiempo
rotamos los campos externos. Esto es una consecuencia de la simetría SO(2) subyacente. Por tanto, a
menudo se denomina de simetría (en sentido más amplio) a cualquier transformación realizable sobre el
sistema.
Sólo vamos a considerar transformaciones locales y continuas, es decir, del tipo:
φ
g
A(x
g) = Fg
A (x,φ(x)), xg = f g(x). (1.92)
Aquí F y f son funciones suficientemente diferenciables de x y φ(x) (no funcionales generales de φ , por
eso la transformación es local). La transformación activa es
φA(x) 7−→
g
φ
g
A(x) = Fg
A (x
g−1
,φ(xg−1
)). (1.93)
Cuando xg = x se dice la transformación es interna.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 20
Ejemplo (Transformaciones de Lorentz.) Si los campos φA(x) forman un multiplete de una represen-
tación D(Λ) de dimensión finita del grupo de Lorentz
φA→ D(Λ)ABφB (1.94)
el campo se transformará según (usando notación matricial, φ un vector columna)
φ(x)→ φ
Λ(x) = D(Λ)φ(Λ−1x) (1.95)
Si Λ12 = Λ1Λ2, debe obtenerse la misma transformación aplicando primero Λ2 y a continuación Λ1 o
directamente Λ12. Podemos comprobar la consistencia de la transformación:
φ(x)→
Λ2
φ
Λ2(x) = D(Λ2)φ(Λ
−1
2 x)
→
Λ1
(φ Λ2)Λ1(x) = D(Λ1)φ
Λ2(Λ−1
1 x) = D(Λ1)D(Λ2)φ(Λ
−1
2 (Λ−1
1 x))
(1.96)
Usando D(Λ1)D(Λ2) = D(Λ1Λ2) y Λ
−1
2 Λ
−1
1 = (Λ1Λ2)
−1,
(φ Λ2)Λ1(x) = D(Λ1Λ2)φ((Λ1Λ2)
−1x) = φ
Λ12(x) (1.97)
Obviamente todo funciona igual para otros grupos. Hay que notar que la transformación en ec. (1.95) es
consistente para campos clásicos o funciones de onda. Hay que modificarla para campos cuánticos (ej. ec.
(3.36)).
Para transformaciones locales conviene usar una definición más restringida de simetría, que esencial-
mente es que la densidad lagrangiana se transforme igual que el campo pero (casi) escalarmente. A saber,
diremos que la transformación local g es de simetría cuando
∀φ ∈M , ∀x ∈ Rd L [φ g](x) = Jg(x)L [φ ](xg−1
) Jg(x) =
∣∣∣det
(
∂ (xg−1
)µ/∂xν
)∣∣∣ (1.98)
Jg(x) es el determinante jacobiano del cambio de variable xg−1
(x), es decir, el cociente entre elementos
de cuadrivolumen d4xg−1 y d4x. Aquí estamos considerando un punto de vista activo. L (x) es conocido
para cualquier configuración φ(x) y denotamos esa dependencia con L [φ ](x). L [φ g](x) es la densidad
lagrangiana en x cuando la configuración es φ g(x).
Esta condición equivale a
∀φ ∈M , ∀x ∈ Rd L [φ g](xg) = Jg(xg)L [φ ](x) (1.99)
y también
WΩg [φ g] =WΩ[φ ] ∀Ω⊂ Rd ∀φ ∈M (1.100)
siendo Ωg es la región transformada de Ω por x→ xg. Es decir, que la acción sea invariante.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 21
Cuando el elemento de cuadrivolumen es invariante (este es el caso de la transformaciones internas,
entre otras) la condición es simplemente que la densidad lagrangiana se transforme escalarmente,
∀φ ,∀x L [φ g](xg) = L [φ ](x) (1.101)
Una situación más general que la indicada en (1.98) es
L [φ g](xg) = Jg(xg)L [φ ](x)+Dg[φ ](x) (1.102)
(Dg(x) es local, depende de x, φ(x) y ∂φ(x), igual que L (x).) En general la presencia del nuevo término
hace que g no sea una simetría (transforme soluciones en soluciones). Una excepción es cuando Dg(x) es
un término de superficie, es decir, del tipo ∂µΛgµ(x), ya que en este caso no influye en las ecuaciones de
movimiento. La definición general de simetría dada en (1.91) (pero restringida a transformaciones locales)
se corresponde a (1.102) con Dg[φ ](x) de superficie.
1.5.2 Teorema de Noether
Primero consideremos qué ocurre con la densidad lagrangiana al hacer una transformación infinitesimal
φA(x)→ φA(x)+δφA(x). Aquí, tanto la configuración φA(x) como la variación δφA(x) son completamente
arbitrarias. La variación de la densidad lagrangiana tiene la forma general
δL (x) = δw(x)+∂µδ jµ(x) (1.103)
donde δ jµ(x) y δw(x) no contienen derivadas de δφ(x). Esta forma se consigue de manera sistemática
mediante integración por partes.
Por ejemplo, para un campo complejo de Klein-Gordon
L (x) = ∂µφ
∗
∂
µ
φ −m2
φ
∗
φ , (1.104)
se varían φ y φ ∗:
δL (x) = ∂µδφ
∗
∂
µ
φ +∂µφ
∗
∂
µ
δφ −m2
δφ
∗
φ −m2
φ
∗
δφ . (1.105)
A continuación (siempre se hace igual) se integranpor partes las derivadas sobre las variaciones δφ y δφ ∗
δL (x) = ∂µ(δφ
∗
∂
µ
φ)−δφ
∗
∂µ∂
µ
φ +∂
µ(∂µφ
∗
δφ)−∂
µ
∂µφ
∗
δφ −m2
δφ
∗
φ −m2
φ
∗
δφ . (1.106)
Por tanto en este caso obtenemos
δw(x) =−δφ
∗(∂µ∂
µ
φ +m2
φ)− (∂ µ
∂µφ
∗+m2
φ
∗)δφ , (1.107)
δ jµ(x) = δφ
∗
∂
µ
φ +∂
µ
φ
∗
δφ . (1.108)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 22
En la medida que L (x) es de la forma L (φ(x),∂φ(x),x) (sólo hay derivadas primeras de φ(x)) la
corriente δ jµ(x) está definida de manera unívoca por integración por partes. Nótese que ∂µδ jµ(x) es
un término de superficie y no contribuye a las ecuaciones de movimiento. Éstas vienen dadas entonces
totalmente por δw(x). No es difícil comprobar que
δw(x) = ∑
A
δW [φ ]
δφA(x)
δφA(x) (1.109)
De hecho éste es el método más práctico para obtener las ecuaciones de movimiento de una teoría (es
decir, calcular una variación infinitesimal general, en vez de usar (1.55)).1.16 Análogamente una expresión
explícita para δ jµ(x) es
δ jµ(x) = ∑
A
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
δφA(x) (1.110)
que es la denominada corriente canónica.
Supongamos ahora que φA(x) es completamente general pero δφA(x) es una transformación infinitesimal
de simetría. Eso requiere que la transformación de simetría considerada forme parte de un grupo de Lie.
En este caso se satisface (1.98). Sea
xg = x+δx, xg−1
= x−δx, (1.111)
Usando la igualdad de Jacobi para matrices det(eA) = etr(A) se deduce det(1+δA) = 1+ tr(δA) y por tanto
Jg(x) = det
(
gµ
ν −∂µδxν
)
= 1−∂µ(δxµ) (1.112)
Por otro lado
L [φ ](xg−1
) = L (x−δx) = L (x)−δxµ
∂µL (x) (1.113)
En conjunto (1.98) implica
δL (x) =−δxµ
∂µL (x)−∂µ(δxµ)L (x) =−∂µ
(
δxµL (x)
)
(1.114)
En particular, para una simetría interna δL (x) = 0. En todo caso, para una transformación de simetría
δL (x) es un término de superficie.
El teorema de Noether se obtiene al combinar este resultado con (1.103),
δL (x) = δw(x)+∂µδ jµ(x) =−∂µ
(
δxµL (x)
)
∀φ ∈M , δφ de simetría. (1.115)
1.16Como ilustración considérese calcular las ecuaciones de movimiento de L (x) = tr
(
∂µU†(x)∂ µU(x)
)
donde el campo U(x)∈
U(n) (matrices unitarias de dimensión n).
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 23
Esta relación implica que cuando δφA(x) es de simetría y φA(x) satisface las ecuaciones de movimiento
(φ ∈S de modo que δw(x) = 0) la corriente infinitesimal
δJµ ≡ δ jµ(x)+δxµL (x) (1.116)
es conservada
∂µδJµ = 0 φ ∈S , δφ de simetría. (1.117)
Este es el teorema de Noether, hay una corriente conservada por cada parámetro en el grupo de Lie de
transformaciones de simetría. δJµ(x) es la corriente canónica o de Noether.1.17
En el ejemplo del campo complejo de Klein-Gordon, el lagrangiano es invariante bajo φ → e−iαφ ,
φ ∗→ eiαφ ∗, si α es real y constante. En este caso
δφ =−iδαφ , δφ
∗ = iδαφ
∗, δJµ = iδα(φ ∗ ∂
µ
φ −∂
µ
φ
∗
φ) = δα Jµ , (1.118)
y en efecto la corriente es conservada
∂µJµ(x) = iφ ∗∂µ∂
µ
φ − iφ∂µ∂
µ
φ
∗ = 0 (1.119)
usando las ecuaciones de movimiento (∂µ∂ µ +m2)φ = 0 y su conjugada.
En el caso más general de (1.102)
δL (x) =−∂µ
(
δxµL (x)
)
+δD(x) (1.120)
que implica (cuando el campo satisface las ecuaciones de movimiento)
∂µδJµ(x) = δD(x) (1.121)
Observación importante: Nótese que la corriente canónica δJµ(x) está determinada por la densidad
lagrangiana y la transformación g, incluso cuando g no es una simetría.
Usando (1.110) se tiene una expresión explícita para la corriente canónica (con suma implícita sobre A)
δJµ(x) =
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
δφA(x)+δxµL (x) (1.122)
La variación del campo φ g(x) tiene dos contribuciones, una porque Fg se aparta infinitesimalmente de la
identidad, y otra porque x varía a x−δx. Conviene separar ambas contribuciones:
δφ(x) = δ̄ φ(x)−δxµ
∂µφ(x), (1.123)
1.17Se podría haber definido de entrada que δφA es de simetría si y sólo si ∀φ ∈M δw es un término de superficie (−∂µ δJµ ),
pero en la práctica no es fácil construir δJµ así.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 24
(δ̄ φ(x) no depende de ∂αφ) y la corriente canónica toma la forma
δJµ(x) =
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
δ̄ φA(x)+δxν
(
gµ
ν L (x)− ∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
∂νφA(x)
)
(1.124)
La ecuación ec. (1.121) es una ecuación de continuidad para δJµ(x) con δD(x) actuando como fuente
o sumidero. La carga (infinitesimal) asociada a la región espacial fija V es
δQV (t) =
∫
V
d3xδJ0(x) (1.125)
y cumple
d
dt
δQV (t) =
∫
V
d3x∂0δJ0(x) =
∫
V
d3x(δD(x)−∂iδJi(x)) =
∫
V
d3xδD(x)−
∫
∂V
d2Si δJi(x). (1.126)
Por tanto la carga en todo el espacio es conservada si la transformación es una simetría (δD(x) = 0)
y no hay flujo hacia el infinito (δJi(x) cae suficientemente deprisa en el infinito). Cuando no se especifica
otra cosa, la carga δQ se refiere a la carga en todo el espacio:
d
dt
δQ(t) =
∫
d3xδD(x). (1.127)
Cuando la carga se conserva la integral es independiente de la superficie espacial (completa):
δQ =
∫
Σ
d3
σµ δJµ(x). (1.128)
Supongamos que la transformación infinitesimal que hemos considerado hasta ahora forma parte de
un grupo de Lie cuyos elementos están caracterizados por n parámetros εa, a = 1, . . . ,n, independientes
de x. Estas se denominan transformaciones globales. Siempre se elige el sistema de coordenadas en el
grupo de modo que 0 corresponde al elemento neutro (transformación identidad). Para g infinitesimal los
parámetros δεa son infinitesimales. Entonces
δxµ(x) = X µ
a (x)δε
a,
δφA(x) = ΦaA(x)δε
a = Φ̄aA(x)δε
a−X µ
a (x)∂µφA(x)δε
a,
δD(x) = Da(x)δε
a.
(1.129)
Se obtienen n corrientes de Noether (finitas) asociadas
Jµ
a (x) =
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
Φ̄aA(x)+Xν
a (x)
(
gµ
ν L (x)− ∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
∂νφA(x)
)
, (1.130)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 25
y n cargas (finitas) asociadas
Qa(t) =
∫
d3xJ0
a (x), (1.131)
con las correspondientes ecuaciones de conservación
∂µJµ
a (x) = Da(x),
d
dt
Qa =
∫
d3xDa(x). (1.132)
Obsérvese que la ecuaciones anteriores no dependen de que el sistema sea relativista. La métrica no
aparece en ningún momento (gµ
ν = δµν). Además todo lo anterior puede repetirse para D+1 dimensiones.
Hemos establecido el teorema de Noether: hay una carga conservada por cada generador de un grupo
de Lie de simetría.
Una observación importante es que, la corriente conservada se puede redefinir (y deja de ser la corriente
de Noether o canónica) sin que cambie ∂µδJµ(x) ni la carga asociada:
δJ′µ(x) = δJµ(x)+∂νδΛ
µν(x), δΛ
µν(x) =−δΛ
νµ(x). (1.133)
(La carga no cambia si δΛ0i(x) cae suficientemente deprisa en infinito.) Esta ambigüedad afecta a la
densidad de carga y de corriente y hay que fijarla usando otros criterios.
Obsérvese que las corrientes de la forma
δJµ(x) = ∂νδΛ
µν(x), δΛ
µν(x) =−δΛ
νµ(x) (1.134)
se conservan idénticamente, es decir, sin usar la ecuaciones de movimiento. Se denominan corrientes
topológicas ya que llevan asociadas cargas topológicas bajo condiciones de contorno adecuadas.
Ejemplo Sea el campo ω(x) que toma valores en U(1), ω(x) = eiθ(x), θ(x) real, en en 1+1 dimensiones
compactificadas en la dirección espacial, x1 ∈ [0,L). Con densidad lagrangiana
L (x) =
1
2
∂µω
−1(x)∂ µ
ω(x)+V (ω(x)) =
1
2
∂µθ(x)∂ µ
θ(x)+V (eiθ(x)).
El campo complejo ω(x) es periódico, ω(x, t) = ω(x+ L, t) y derivable en todos los puntos para que la
energía cinética sea finita. El campo real θ(x) sólo es periódico módulo 2π, θ(x, t) = θ(x+ L, t)+ 2πn.
Este n ∈ Z (el winding number de ω(x)) es un invariante topológico: no puede cambiarse sin pasar por
configuraciones de energía infinita. La corriente topológica asociada es
Jµ(x) =− i
2π
ε
µν
ω
−1(x)∂νω(x) =
1
2π
ε
µν
∂νθ(x), ε
01 =+1,
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 26
Q =
∫ L
0
dx
2π
∂xθ(x, t) =
1
2π
(θ(L)−θ(0)) = n.
♦
Otra observación es que si δD(x) no se anula pero es un término de superficie, todavía hay una simetría
y un corriente conservada,
δD(x) = ∂µΛ
µ(x), δJ′µ = δJµ −δΛ
µ , ∂µδJ′µ = 0 (1.135)
Ejemplo Sea una partícula libre no relativista en D dimensiones espaciales. Este sistema se puede ver
como una teoría de campos en 0+ 1 dimensiones con D campos , que corresponden a la posición de la
partícula, xi(t), i = 1, . . . ,D. La acción es
W =∫
dt L (t), L (t) =
1
2
mẋ2(t)
y ecuaciones de movimiento
δW
δx(t)
=− d
dt
(mẋ(t)) =−mẍ(t) = 0
La transformación de Galileo (boost)
x(t)→ x(t)+vt, t→ t
es una simetría (interna pero dependiente de x) de las ecuaciones de movimiento. Estas transformaciones
forman un grupo de Lie con D parámetros v (que son constantes respecto de t). La acción no es invariante
pero cambia por un término de superficie:
L (t)→ 1
2
m(ẋ(t)+v)2 = L (t)+
d
dt
(
mvx(t)+
1
2
mv2t
)
.
De la transformación infinitesimal
δx = δvt, δ t = 0, δΛ
0 = mxδv
obtenemos para Φ̄aA, X µ
a , Λ
µ
a , Jµ
a
Φ̄aA = δ
A
a t, X µ
a = 0, Λ
0
a = mxa, J0
a = Q = mẋat−mxa.
♦
La etiqueta transformación de gauge se reserva al caso en el que los parámetros εa se eligen arbi-
trariamente en cada x, εa(x). No hay cargas específicas asociadas al grupo gauge. En efecto, supongamos
una transformación:
δxµ = 0, δφA(x) = δε
a(x)FaA(x,φ(x)) (1.136)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 27
que deja invariante la densidad lagrangiana
0 = δL (x) =
∂L (x)
∂φA(x)
δφA(x)+
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
∂µδφA(x)
=
(
∂L
∂φA
FaA +
∂L
∂ (∂µφA)
∂µFaA
)
δε
a +
(
∂L
∂ (∂µφA)
FaA
)
∂µδε
a.
(1.137)
Puesto que por hipótesis se cumple en todos los puntos x y para δεa(x) arbitrarios, se deben anular las dos
expresiones entre paréntesis independientemente. Por tanto
δJµ =
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
δφA(x) =
∂L
∂ (∂µφA)
FaAδε
a = 0. (1.138)
1.6 Simetrías cinemáticas
Son las asociadas al grupo de Poincaré (o Galileo en el caso no relativista).
1.6.1 Traslaciones espacio-temporales
Son las transformaciones
xg = x+a, φ
g
A(x
g) = φA(x). (1.139)
Son simetría para lagrangianas que no dependen explícitamente de x,
L (x) = L (φ(x),∂φ(x)), WΩg [φ g] =WΩ[φ ]. (1.140)
Aplicando ec. (1.124) con δxµ(x) = δaµ , δ̄ φA(x) = 0, se obtiene
δJµ(x) = δaν
(
gµ
ν L (x)− ∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
∂νφA(x)
)
:=−T µν(x)δaν . (1.141)
T µν es el tensor de energía-momento canónico. Hay una corriente conservada y su carga asociada para
cada ν :
∂µT µν(x) = 0, Pµ =
∫
d3xT 0µ(x), ν = 0,1,2,3. (1.142)
Pµ = (H,P) es el cuadrimomento
Pi =−
∫
d3xπA(x)∂iφA(x), H =
∫
d3x
(
πA(x)φ̇A(x)−L (x)
)
. (1.143)
Obsérvese que T 00(x) = H (x). Pµ es un cuadrivector cuando hay invariancia Lorentz. El teorema de
Noether se aplica en todo caso aunque la teoría sea no relativista, para obtener T µ
ν .
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 28
Ejemplo Para el campo de Klein-Gordon real
L (x) =
1
2
∂µφ(x)∂ µ
φ(x)− 1
2
m2
φ
2(x)
T µν(x) = ∂
µ
φ(x)∂ ν
φ(x)−gµνL (x).
(1.144)
♦
La conservación de T µν indica que el sistema está aislado y no intercambia energía y momento con
fuerzas externas. Más generalmente, si L (x) tiene dependencia explícita en x, L (x) = L (φ(x),∂φ(x),x),
∂µT µν =−∂̄
νL (x) (1.145)
donde ∂̄ν se refiere a derivada respecto de la dependencia explícita únicamente.
1.6.2 Rotaciones espacio-temporales
xµ → (xg)µ = Λ
µ
ν xν , φA(x)→ φ
g
A(x
g) = DAB(Λ)φB(x). (1.146)
Aquí Λ es una transformación de Lorentz y D(Λ) la representación del grupo de Lorentz correspondiente
al campo φA(x). La representación será proyectiva si el espín del campo es semientero:
D(Λ1)D(Λ2) =±D(Λ1Λ2). (1.147)
Infinitesimalmente
Λ
µ
ν = gµ
ν +δω
µ
ν , δωµν =−δωνµ
DAB(Λ) = δAB +
1
2
Sµν
ABδωµν , Sµν
AB =−Sνµ
AB .
(1.148)
Las matrices Sµν (matrices respecto de AB) satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz,
y están relacionadas con el espín del campo. Para el campo escalar D(Λ) = 1 y Sµν = 0.
Si la densidad lagrangiana es un escalar bajo la transformación Lorentz ec. (1.146), se obtiene una
corriente conservada por cada uno de los seis parámetros en δωµν
δJµ(x) =
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
1
2
Sµν
ABδωµνφB(x)
+δωναxα
(
gµν L (x)− ∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
∂
ν
φA(x)
)
:=
1
2
Jµνα(x)δωνα .
(1.149)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 29
Jµνα =−Jµαν = T µαxν −T µνxα +
1
2
Sνα
AB
∂L
∂ (∂µφA)
φB (1.150)
Aquí T µν es el tensor de energía-momento canónico. Jµνα(x) es la densidad de momento angular (cuadri-
dimensional). Es conservado y la carga asociada es el momento angular cuadridimensional
0 = ∂µJµνα , Jµν =−Jνµ =
∫
d3xJ0µν . (1.151)
Hay que notar que (si hay invariancia Lorentz) el tensor energía-momento debe ser simétrico [2] y
eso no siempre ocurre para el tensor canónico, y tampoco es automáticamente invariante gauge. Ambos
problemas se pueden resolver usando el método de Belinfante-Rosenfeld que añade un término conservado
adecuado tanto a T µν(x) como a Jµνα(x), de modo que para los nuevos tensores
T µν = T νµ , Jµνα = T µαxν −T µνxα . (1.152)
Obsérvese que ahora la conservación de Jµνα se deriva automáticamente de la conservación de T µν . Por
supuesto Pµ y Jµν son los mismos del tratamiento canónico. En la Sec. 1.8 se explica el método de definir
el T µν físico de una teoría.
1.7 Simetrías internas
Se trata de simetrías globales no ligadas al grupo de Poincaré. Típicamente son transformaciones
lineales:
xg = x, φ
g
A(x
g) = DAB(g)φB(x), (1.153)
donde las matrices D(g) forman una representación de un grupo de Lie de dimensión n. Infinitesimalmente
δφA(x) = δεaT a
AB φB(x) (1.154)
y las matrices T a forman una representación del álgebra de Lie del grupo. Si la acción es invariante bajo la
transformación, W [φ g] =W [φ ], se tendrá una corriente conservada y su correspondiente carga
Jµ
a (x) =
∂L (x)
∂ (∂µφA(x))
T a
AB φB(x), Qa =
∫
d3xπA(x)T a
AB φB(x). (1.155)
Ejemplo Para el campo complejo de Klein-Gordon
L (x) = ∂µφ
∗(x)∂ µ
φ(x)−m2
φ
∗(x)φ(x), (1.156)
Tenemos la simetría interna
φ(x)→ e−iqλ
φ(x), φ
∗(x)→ eiqλ
φ
∗(x) (1.157)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 30
λ es el parámetro del grupo U(1) (g = eiλ ) y q real (para que respete la condición de que φ(x) y φ ∗(x)
sean conjugados uno de otro). (De hecho para que la representación no sea proyectiva debe ser q entero.
En todo caso es una representación del grupo recubridor (R,+).) q determina la irrep de U(1) en la que
cae el campo. En el presente caso n = 1, δεa = δλ , y
T a
φ ,φ =−T a
φ∗,φ∗ =−iq, T a
φ ,φ∗ = T a
φ∗,φ = 0
Jµ(x) = iq(φ ∗∂ µ
φ −∂
µ
φ
∗
φ).
(1.158)
Esta corriente es conservada como se puede verificar usando las ecuaciones de movimiento (∂ 2 +m2)φ = 0
(y su conjugada). En la teoría cuántica q representará la carga de la partícula asociada al campo φ(x). Los
campos reales en cambio corresponden a partículas neutras. ♦
Ejemplo Para el campo de Schrödinger
L (x) =
i
2
(ψ∗(x)∂tψ(x)−∂tψ
∗(x)ψ(x))− 1
2m
∇ψ
∗(x) ·∇ψ(x)−V (x)ψ∗(x)ψ(x). (1.159)
con las mismas transformaciones de fase y q = 1 produce
J0(x) = ψ
∗(x)ψ(x), J(x) =− i
2m
(ψ∗(x)∇ψ(x)−∇ψ
∗(x)ψ(x)). (1.160)
Esta es la densidad y corriente de probabilidad usuales de mecánica cuántica. ♦
1.8 Corriente y acoplamiento gauge
La construcción de Noether proporciona la corriente canónica. Como se ha dicho la corriente física
puede diferir de ésta por términos topológicos. La definición general de la corriente física se obtiene por
acoplamiento a un campo gauge.
Para una simetría U(1) (abeliana) sea W [φ ,A] la acción del campo φ(x) acoplado al campo gauge
externo Aµ(x). La corriente se define mediante
δAW =−
∫
d4xδAµ(x)Jµ(x), Jµ(x) =− δW
δAµ(x)
. (1.161)
Si W es invariante gauge, la corriente es automáticamente conservada. En efecto, bajo una transformación
de gauge
Aµ(x)→ Aµ(x)+∂µΛ(x), (1.162)
entonces para una transformación infinitesimal
0 = δgW =
∫
d4x
(
δgAµ(x)
δW
δAµ(x)
+δgφA(x)
δW
δφA(x)
)
. (1.163)
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 31
El término δW/δφA(x) se anula por las ecuaciones de movimiento de φ ,
0 =
∫
d4x(∂µδΛ(x))Jµ(x) =−
∫
d4xδΛ(x)∂µJµ(x), ∂µJµ(x) = 0. (1.164)
Λ(x) es una variación local.
Por ejemplo para el campo de Klein-Gordon complejo, ec. (1.156), se puede introducir el campo gauge
mediante la prescripción de acoplamiento mínimo:1.18
∂µφ → Dµφ = (∂µ + iqAµ)φ , ∂µφ
∗→ Dµφ
∗ = (∂µ − iqAµ)φ
∗ = (Dµφ)∗. (1.165)
La acción
W =
∫
d4x
(
Dµ
φ
∗Dµφ −m2
φ
∗
φ
)
(1.166)
es invariante teniendo en cuenta que
φ(x)→ e−iqΛ(x)
φ(x), φ
∗(x)→ eiqΛ(x)
φ
∗(x),
Dµφ(x)→ e−iqΛ(x)Dµφ(x), Dµφ
∗(x)→ eiqΛ(x)Dµφ∗(x).
(1.167)
En este caso la corriente es
δAW =
∫
d4x
(
−iqδAµφ
∗Dµ
φ +Dµ
φ
∗(iqδAµφ)
)
Jµ(x) = iq(φ ∗Dµ
φ −Dµ
φ
∗
φ) .
(1.168)
Coincide con la corriente Noether poniendo Aµ = 0.
Nótese que en general Aµ puede acoplarse de modo invariante gauge de forma no mínima, a través de
Fµν = ∂νAµ−∂µAν .1.19 En todo caso ec. (1.161) proporciona la corriente. Los términos no mínimos indican
que el campo (partícula) tiene estructura, por ejemplo momento magnético, que da nuevas contribuciones
a la corriente.
Nótese también que la acción W es la acción del campo φ acoplado al campo gauge externo. Si Aµ es
un campo dinámico, hay que añadir su acción:
Wtot[φ ,A] =W [φ ,A]+WA[A], (1.169)
y la ecuación de movimiento de Aµ(x) queda
0 =−Jµ(x)+
δWA
δAµ(x)
. (1.170)
1.18Obsérvese que la derivada covariante, como operador diferencial, depende de la carga del campo. La derivada covariante
actúa de acuerdo con la representación del grupo bajo la que se transforma cada campo.
1.19Por ejemplo, con un término −igFµν Dµ φ∗Dν φ , o un momento magnético µ, −µ
1
2 Fµν ψ̄σ µν ψ para una partícula de Dirac.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 32
Así, para el campo de Maxwell,
Aµ = (Φ,A), Fµν = ∂νAµ −∂µAν , F0i = Ei, F i j = εi jkBk, LA =
1
2
(E2−B2) =−1
4
FµνFµν ,
δWA
δAµ(x)
= ∂νFµν =
{
∂iF0i = ∂iEi
∂0F i0 +∂ jF i j =−∂tEi +(∇×B)i
(1.171)
La misma construcción vale para simetrías internas no abelianas con
δAW =−
∫
d4xδAa
µ(x)J
µ
a (x). (1.172)
Una construcción análoga proporciona el tensor energía-impulso T µν físico, simétrico y conservado.
Igual que la corriente es lo que se acopla al campo gauge, el tensor energía-impulso es lo que se acopla a
la métrica gµν(x):
δW =−1
2
∫
d4x
√
−g(x)δgµν(x)T µν(x) (1.173)
Aquí g(x) = det(gµν(x)). De nuevo aquí W sólo incluye la acción de los campos de materia acoplados a la
métrica.1.20
T µν(x) es automáticamente simétrico. En este caso el grupo de transformaciones es el de difeomorfismos
(transformaciones generales de coordenadas). Si W es invariante T µν(x) es también automáticamente
(covariantemente) conservado. En efecto,
g′µν(x) =
∂xα
∂x′µ
∂xβ
∂x′ν
gαβ . (1.174)
En el caso infinitesimal δgµν = ∇µδ f αgαν +∇νδ f β gµβ .
0 = δW =−
∫
d4x
√
−g(x)∇µδ f αgανT µν(x) =
∫
d4x
√
−g(x)δ f αgαν∇µT µν(x) (1.175)
implica
∇µT µν(x) = 0. (1.176)
Además el T µν así obtenido es invariante gauge.
1.20Sumando la acción de Hilbert-Einstein Wgrav =− 1
16πG
∫
d4x
√
−gR, se obtienen las ecuaciones de Einstein de la gravitación
0 =
1√
−g
δ (Wgrav +W )
δgµν (x)
=
1
16πG
(Rµν − 1
2
gµν R)− 1
2
T µν .
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 33
Ejemplo Para el campo real de Klein-Gordon en espacio-tiempo curvo
W [φ ] =
∫
d4x
√
−g(x)L (x), L (x) =
1
2
gµν(x)∇µφ(x)∇νφ(x)− 1
2
m2
φ
2(x). (1.177)
Dado que φ(x) es un escalar ∇µφ(x) = ∂µφ(x) y en este caso la derivada no depende de la métrica. gµν es
la matriz inversa de gµν , por tanto1.21
δgµν =−gµα
δgαβ gβν , δ log(g) = gµν
δgµν (1.178)
se deduce
T µν(x) = ∇
µ
φ(x)∇ν
φ(x)−gµν(x)L (x). (1.179)
En el caso plano, coincide con el tensor canónico obtenido anteriormente. ♦
1.9 Generadores
Como se ha visto a cada transformación local continua le corresponde una carga δG(t) =
∫
d3xδJ0(x)
(antes denominada δQ(t)) que es conservada si se trata de una simetría de la dinámica. Igual que en
mecánica clásica de sistemas finitos, δG(t) es a su vez un generador de la transformación, ya que se
cumple
δφA(x) = {φA(x),δG(t)}P, δπA(x) = {πA(x),δG(t)}P, (1.180)
donde {,}P denota el paréntesis de Poisson
{φA(x, t),φB(y, t)}P = {πA(x, t),πB(y, t)}P = 0, {φA(x, t),πB(y, t)}P = δABδ (x−y). (1.181)
Por ejemplo para una simetría interna,
δG(t) =
∫
d3yπB(y)δφB(y),
{φA(x, t),δG(t)}P =
∫
d3x ({φA(x),πB(y)}PδφB(y)+πB(y){φA(x),δφB(y)}P) = δφA(x).
(1.182)
La segunda relación en ec. (1.180) es tal que la transformación en el espacio de las fases sea canónica,
es decir, respete las relaciones canónicas ec. (1.181).
En general para cualquier funcional F [φ ,π],
δF = {F,δG}P. (1.183)
1.21 Usando, δ (A−1) =−A−1δAA−1, logdetA = tr logA y δ tr logA = tr(A−1δA), para una matriz regular cualquiera.
1 TEORÍA DE CAMPOS CLÁSICOS 34
Si δG no depende explícitamente del tiempo, genera una simetría de la dinámica si deja el hamiltoniano
H[φ ,π] invariante
δH = {H,δG}P = 0. (1.184)
La misma relación se puede leer (considerando ahora a −δ tH como el generador de una transformación, a
saber, la evolución temporal)
∂tδG = {δG,H}P = 0. (1.185)
Es decir, si δG genera una transformación de simetría de la dinámica, entonces se conserva. Éste es el
contenido del teorema de Noether.
Para las transformaciones espacio-temporales,
{φA(x),P0}P = {φA(x),H}P = φ̇A(x),
{φA(x),Pi}P = {φA(x),−
∫
d3yπB(y)∂iφB(y)}P =−∂iφA(x),
(1.186)
consistente con
δφA(x) = {φA(x),−δaµPµ}P =−δaµ
∂µφA(x) = φA(x−δa)−φ(x). (1.187)
Igualmente se verifica para transformaciones de Lorentz.
Además, si los Ga(t) generan un grupo de simetría, satisfacen la correspondiente álgebra de Lie usando
el paréntesis de Poisson como paréntesis de Lie,
{Ga(t),Gb(t)}P = fabcGc(t) . (1.188)
Debe notarse que si δG depende explícitamente del tiempo pero genera una simetría de la dinámica
aún es una constante de movimiento teniendo en cuenta que
d
dt
δG =
∂
∂ t
δG+{δG,H}P. (1.189)
Éste es el caso del generador infinitesimal de los boosts
J0i = tPi−
∫
d3xxi T 00(x). (1.190)
Es una constante de movimiento aunque de acuerdo con las relaciones de conmutación del álgebra de
Lorentz no conmuta con H. En efecto, la relación de conmutación es {K,H}P = −P (ésta es la misma
relación del álgebra de Lorentz en (1.31), teniendo en cuenta que { , }P se corresponde con −i[ , ]). Por
otro lado K en (1.190) tiene dependencia explícita en t, así
∂
∂ t
K = P , {K,H}P =−P ,
d
dt
K = 0 (1.191)
2 CAMPO DE RADIACIÓN 1
2 Campo de radiación
2.1 Partículas idénticas
2.1.1 Espacio de Fock
Sea H1 el espacio de estados monoparticulares, subtendido por una base ortonormal
|x〉 ≡ |x,σ〉, (2.1)
donde x es la posición de la partícula y σ son otros números cuánticos,
〈x,σ |x′,σ ′〉= δ (x−x′)δσσ ′ ≡ δ (x− x′) (2.2)
Podemos también usar otra base ortonormal cualquiera (típicamente la asociada a estados propios del
hamiltoniano en el espacio de una partícula),
|α〉=
∫
d3x∑
σ
ϕα(x)|x〉, 〈α|β 〉= δαβ . (2.3)
Los estados monoparticulares también se llaman orbitales. En nuestras aplicaciones dimH1 = ∞ pero el
formalismo que sigue vale igual si el número de orbitales es finito.
El espacio de N partículas se obtiene con
ĤN = H1⊗
N· · ·⊗H1, ĤN 3 |ψ〉= ∑
α1,...,αN
ψα1,...,αN |α1, . . . ,αN〉 (2.4)
Las partículas son idénticas, por definición, si ningún observable las distingue. Un ejemplo de obser-
vable de partículas idénticas es
H =
N
∑
i=1
T̂i +
1
2
N
∑
i, j=1
i6= j
V̂i j, V̂i j = V̂ji (2.5)
donde todos los operadores T̂ (por ejemplo energía cinética) son iguales salvo que actúan en el espacio de
la partícula i-ésima, y análogamente los V̂ (por ejemplo potencial de interacción entre pares de partículas).
Los observables conmutan con los operadores P̂ que realizan la permutación P de las etiquetas de las
partículas
P ∈ SN P̂|α1, . . . ,αN〉= |α1〉P1⊗·· ·⊗ |αN〉PN = |αP−11, . . . ,αP−1N〉 (2.6)
2 CAMPO DE RADIACIÓN 2
Esto presenta el problema de la degeneración de intercambio. Si ningún observable distingue los estados
permutados se tiene que hay N! estados físicamente equivalentes. Esto es un subespacio de dimensión N!
por cada estado físico en contra del primer postulado de la mecánica cuántica: cada estado corresponde a un
subespacio de dimensión uno. El grupo simétrico tiene dos irreps unidimensionales que son la representación
simétrica (tablero de Young [N]) y la antisimétrica ([1N ]). Para eliminar la degeneración de intercambio se
postula que una especie de partículas idénticas sólo tiene estados simétricos (bosones) o sólo antisimétricos
(fermiones), pero no de simetría mixta. El carácter bosónico o fermiónico es intrínseco a la partícula: puesto
que H conmuta con las permutaciones la evolución