Trigonometria: Ángulos e Medidas

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UNIDAD V: ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
 
203
UNIDAD 5 (CINCO): ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
 PROPÓSITOS DEL CURSO:
 MOSTRAR a las razones trigonométricas como una herramienta y un modelo en la solución de problemas diversos campos del conocimiento.
INICIAR, así mismo, un nuevo saber matemático que culminará posteriormente con el estudio de las funciones trigonométricas
A MANERA DE EXPLICACIÓN
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 APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE LA UNIDAD CINCO:
Al finalizar la unidad: El alumno: 
 Conoce que las razones trigonométricas se derivan de una propiedad fundamental de los triángulos rectángulos semejantes, y sabrá que existen seis de ellas.
 Aprecia la importancia de las tablas trigonométricas en la solución de problemas que involucren triángulos rectángulos.
 Construye una tabla de seno, coseno y tangente para los ángulos de: 30°, 45° y 60°.
Usa tablas trigonométricas y calculadora para obtener los valores del seno, coseno y tangente; así como de sus inversas.
 Estima el valor del resultado en la resolución de triángulos y problemas, los contrastará con los resultados obtenidos, y realizará la validez de los mismos en el contexto del problema.
A MANERA DE EXPLICACIÓN
205
  Adquiere habilidad en el manejo de la calculadora al resolver ejercicios y problemas de corte trigonométrico.
 Maneja algebraicamente algunas identidades trigonométricas.
 Comprende la deducción de las fórmulas de las leyes de senos y cosenos.
 Resuelve problemas donde se involucren cualquier tipo de triángulos.
 Aplica, junto con los conocimientos de esta unidad, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el teorema de Pitágoras y los criterios de semejanza, en la resolución de problemas.
 Valora a la trigonometría como una herramienta de gran utilidad en la solución de diversidad de problemas.
 
 
.
A MANERA DE EXPLICACIÓN
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La agricultura y la navegación son actividades que, desde sus orígenes, requirieron cálculos de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. La trigonometría se encarga de establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las medidas de unas con respecto a las medidas de las otras.
A MANERA DE EXPLICACIÓN
207
La observación astronómica como actividad del se humano, ha estado asociada con la noción de ángulo en geometría y obviamente en trigonometría. Un sistema de medición de los ángulos que permita compararlos eficazmente con otras magnitudes geométricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente asociándolos a arcos de circunferencia. Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace intervenir una magnitud irracional, el número pi; esto implica que cuestiones aparentemente sencillas, como por ejemplo la división de un ángulo cualquiera en tres partes iguales, no puedan resolverse fácilmente mediante una construcción geométrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compás.
Dados tres puntos distintos, M, N y R, consideremos las dos semirrectas NM y NR del plano que contiene a los tres puntos; dichas semirrectas poseen un origen común N y dividen al plano en dos regiones, cada una de las cuales se denomina ángulo. Las semirrectas son los lados del ángulo y su origen común es el vértice.
A continuación estudiaremos un poco sólo los ángulos que contienen los triángulos.
A MANERA DE EXPLICACIÓN
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ÁNGULOS:
Geométricamente hablando un ángulo es la abertura entre dos semirrectas.
Por ejemplo: 
En cada caso tenemos momentos diferentes del ángulo 
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(síguele y encuentra el valor del radián en grados, minutos y segundos).
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5.13).Fíjate bien en las razones trigonométricas del ángulo A y del ángulo B. Si escribes los valores de las razones de los dos ángulos
 y los comparas, indica en tus propias palabras lo que sucede, construye una tabla y escribe lo que notaste. 
B
C
c
b
a
A
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A 
B 
C 
 
R 
Q 
P 
 
 
Para hacer su medición, l os ángulos pueden representarse en los sistemas que 
siguen: 
  En el sistema sexagesimal : 
1° = 60’ = 3600” 
1’ = 60” 
  En el sistema centesimal: 
1
G
 = 100
m
 = 10000
s
 
1
m
 = 100
s 
Transformemos grados sexagesimales a grados c entesimales 
90° x = 100
G
 (1°) 





90
)1(100
90
90
G
X
( ¿estás de acuerdo con esto?) 
Sigamos adelante: 





90
)1(100
90
90
G
x
 
x =
90
100
G
 
x = 1.1111
G 
(Lo que significa que un grado sexagesimal es 1.11 grados 
centesimales):1°= 1.1111
G
 
También: 
x
G
G
1
90
100


 
)90(1100 

GG
x
 
G
G
G
G
100
)90(1
100
100 

x
 
100
)90(1
x
 
100
90
x
 
x = 0.9° 
 
( Lo que quiere decir que un grado centesimal es 0.9 
grados sexagesimales): 1
G
 = 0.9° 
5.1).Determina los grados sexagesimales que hay en 95 grados centesimales. 
5.2).Calcula los grados sexagesimales que hay en 56 grados centesimales. 
5.3).Encuentra los grados cente simales que hay en 37 grados sexagesimales. 
5.4).¿Cuántos son los grados centesimales que hay en 49 grados 
sexagesimales?. 
 El sistema circular o radial; Su unidad el radián 
2

r = 360°; ahora despeja r; como tu ya sabes: 
Valor del radián (r)= 
2
360
= 

180
 
=
14159.3
180
 
Hagamos nuevamente: 2

r = 360°; luego despeja 1°, como tu ya sabes; para 
que encuentres el valor de 1° sexagesimal en radianes: 
2

r = 360° 
2

r = 360( 1°) 

360
r 2
 1° 

180
r 
 1° 

180
r 14159.3
1° 
[( Un grado sexagesimal es igual a 0. 01745r (radianes]. 
5.5).Encuentra los radianes( r ) que hay en 78 grados sexagesimales. 
5.6).Determina los radianes( r ) que hay en 45 grados sexagesimales. 
5.7).Calcula los radianes( r ) que hay en 2

 grados sexagesimales. 
5.8).¿Cuántos son los radianes(r ) que hay en 
2

 grados sexagesimales?. 
5.9).Determina los grados sexagesimales que hay en 3 radianes y transformarlos 
a grados, minutos y segundos. 
5.10).Encuentra los grados sexagesimales que hay en 4.8 radianes y 
transformarlos a grados, minutos y segundos. 
 
5.11).Con la figura anterior, obtener las razones trigonométricas del ángulo agudo 
A: 
 
 
 
 
 
 
Síguele indicando la definición en cada una de las razones trigonomé tricas 
anteriores. 
 

c
a
ASen
 

a
b
ACot
 

c
b
ACos
 

b
c
ASec
 

b
a
ATan
 

a
c
ACsc
 
5.12).Dibuja la misma figura que tienes en el problema 5.11, y Determina la 
simbolización de las razones trigonométricas del ángulo agudo B: 
 
BSen
 
BCot
 
BCos
 
BSec
 
BTan
 
BCsc
 
5.14).Fíjate bien en las razones tri gonométricas del ángulo A y del ángulo B . Si 
los valores del lado b = 3 Cm y el del lado a = 4 Cm del triángulo de abajo. 
Determina el valor de la hipotenusa y los valores de las razones del ángulo A. 
 
 
 
 
 
 
c = 

22
ba
5 
B 
C 
c 
b 
a 
A 
5.15).Si los valores de de los catetos del triángulo de abajo miden 4 y 6 Cm, 
Calcula la hipotenusa y las razones trigonométricas del ángulo B. 
 
 
 
 
B 
C 
c 
b 
a 
A 
5.16).-Si los valores de los catetos del triángulo de abajo miden 6 y 8 Cm, 
Calcula el valor de la hipotenusa y las razones trigonométricas de los ángulos A 
y B. 
 
 
 
 
 
B 
C 
c 
b 
a 
A 
Si consideramos los valores de las razones trigonométricas del triángulo 
rectángulo (◮ABC) que sigue: 
Son las que se indican a continuación : 
 
c
a
ASen
 
a
b
ACot 
 
c
b
ACos 
 
b
c
ASec
 
b
a
ATan 
 
a
c
ACsc
 
5.17).Tomando en cuenta los valores que tie nes arriba, de las razones 
trigonométricas del ángulo agudo A del triángulo rectángulo, despeja los lados 
del triángulo y escribe en tus propias palabras el significado de cada expresión. 
B 
C 
c 
b 
a 
A 
 
c
a
ASen
 
c Sen A = 
a = c Sen A 
 
a
b
ACot 
 
 
b = a Cot A 
c
b
ACos 
 
b= c Cos A 
b
c
ASec
 
c = b Sec A 
b
a
ATan 
 
a = b Tan A 
a
c
ACsc
 
c = a Csc A 
5.18).Considera las expresiones para calcular los lados del triángulo rectángulo 
cuyo ángulo A mide 32°, determina el ángulo B y la medida de los catetos y la 
hipotenusa del mismo triángulo. 
A + B = 90 ( 
< B = 58
0 
 
a = c Sen A 
a = c Sen 32 
a = c ( 0.5299) 
a = 0.5299 c 
b = a Cot A 
b = a Tan
-1
= a
TanA
1
 
b=a(
32
1
Tan
) 
b =a(1.6005) 
b = 1.6005 a 
b= c Cos A 
b = c Cos 32 
b = c ( 0.8480) 
b = 0.8480 c 
c = b Sec A 
a = b Tan A c = a Csc A 
Tan A = 
b
a
 Sec A = 1.1792 
 Csc A = 1.8871 
Cot A =
TanA
1
 
Cot A =
6248.0
1
 
 
Cot A = 1.6005 
5.19). Calcular la altura de un muro donde se ha recargado una escalera de 6 
metros de largo y apoyada en el piso formando un ángulo de 42°.( Hacer la 
gráfica). 
a = c Sen A 
a = 6 Sen 42° 
a = 6(0.6691) 
a = 4.0148(El muro mide 4.0148 m) 
5.20).Para sostener un poste de 20 metros de a lto, se coloca un cable desde la 
punta del poste hasta el piso, formando un ángulo con e l poste de 65°. 
Determinar la longitud del cable utilizado, haciendo la gráfica correspondiente. 
c = a Sec B 
c = 20 Sec 65° 
c = 20(2.3663) 
c = 47.3261 
b = 47.3261(.9063) 
b = 42.8920 
a = 20 
5.21).En un edificio de 22 metros de alto hay un o bservador, desea saber a que 
distancia se encuentra una persona, si la observa formando un ángulo de 
depresión de 32° 20’ . (El ángulo de depresión se forma en la parte inferior a la 
horizontal que forma el observador). 
C = 22 Csc 32° 20’ 
C = 22(1.8695) 
C= 41.1292 m 
b = 41.1292Cos32°20’ 
b = 41.1292(.8449) 
b = 34.7501 m 
 
☛RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30° Y 60° 
Primero tracemos un triángulo equilátero: 
 
B 
C 
 
b 
a 
A 
A 
D 
C 
2
1
 
1 
30° 
60° 
☛CD = 
22
)
2
1
(1
= 

4
1
1 
4
1
4
4
4
3
=
4
3
=
2
3
=
2
1
3
 
Entonces:CD = 
2
1
3
; Esto significa que en todo triángulo 
rectángulo 30°, 60°, 90°; la hipotenusa toma un valor cualquiera, el 
cateto menor ( opuesto al ángulo de 30°) es la mitad de la hipotenusa 
y el cateto mayor ( opuesto al ángulo de 60°) es el cateto menor 
multiplicado por la raíz de 3. ¿Está claro? 
5.22).Dibuja un triángulo rectángulo como el anterior , con un valor de la 
hipotenusa de 4 Cm y calcula el valor del cateto menor, el cateto mayor y 
determina los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos de 30° y 60° 
(simplificados lo más que puedas) y determina sus inver sas. 
 
 
 
 
B 
C 
 
b 
a 
A 
A 
D 
C 
4 
30° 
60° 
2 
32
 
 
2
1
4
2
30 Sen
 
2
3
4
32
60 Sen
 
4
32
30Cos
=
2
3
 
2
1
4
2
60 Cos
 
32
2
2
3
2
1
30
30
30 
Cos
Sen
Tan
 
3
2
32
2
1
2
3
60
60
60 
Cos
Sen
Tan
 
5.23).Con un triángulo 30°, 60° ,90°. Darle un valor a la h ipotenusa de 5 Cm; 
determina los valores de los catetos menor y mayor y calcula las razones 
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°. 
 
A 
B 
C 
 
b 
a 
A 
 
30° 
60° 
B 
C 
c =5 
b 
a 
☛RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DE 45°. 
Tomemos un cuadro cualesquiera con una de sus diagonales y pongamos el 
símbolo a para cada uno de los lados del cuadro: 
 
 
Ahora calculemos los lados de uno de los triángulos rectángulos y determinemos 
las razones trigonométricas de los ángulos de 45°. 
a 
a 
a 
a 
☛El cuadro anterior fue dividido en dos triángulo s 
rectángulos isósceles. 
☛Los ángulos agudos de cada triángulo son iguales 
por tratarse de triángulos isósceles y por lo tanto 
miden 45°. 
 
Empecemos con el valor de 1 para los catetos: Suponiendo que les llamemos a, 
entonces aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: 
222
caa 
 
Podemos afirmar que en este tipo de triángulos, los 
catetos toman cualquier valor numérico y la hipotenu sa 
es el valor de los catetos por la raíz de dos. 
222
11 c
 
Sustituyendo ya que a = 1 
2
11 c
 Desarrollando 
2 = 
2
c
 Agrupando 
2
2c
 
Aplicando regla 
c2
 
Desarrollando. Aquí se nota y debemos de estar de 
acuerdo que el coeficiente de la 
2
es 1, o sea el valor 
de los catetos iguales. 
 
Ahora síguele con los valores 2 y 3, utilizando el procedimiento planteado. 
 
5.25).Si consideramos los valores de las razones trigonométricas de los ángulos 
de 30°, 45° y 60°( se indican en las tablas anexas) , determina y verifica el 
cumplimiento de las identidades que a continuación se escriben. 
Con: 
 
2
1
30Sen
 
3
2
1
60Sen 
 
3
2
1
30Cos
 
2
1
60Cos
 
3
1
30Tan
 
1
3
60Tan
 
 
2
1
45Sen
 
1
1
1
45 Cot
 
2
1
45Cos
 
2
1
2
45 Sec
 
1
1
1
45 Tan
 
2
1
2
45 Csc
 
5.25.1). Sen 30° + Cos 60°(Cot 45°)=
)1(
2
1
2
1

 = 
1
2
2
2
1
2
1

 
 
 
5.25..2). Sen 60° + Cos 30°(Tan 45°)= 
5.25.3).Verificar la identidad: 
13030
22
CosSen
 y 
 45145
22
CosSen
 
130Cos30Sen
22

 
1)3
2
1
()
2
1
(
22

 
1)
4
3
()
4
1
( 
 
1
4
4

 
11
 
 45145
22
CosSen
 
22
)
2
1
(1)
2
1
( 
 
2
1
1
2
1

 
2
1
2
2
2
1

 
 
2
1
30Sen
 
3
2
1
60Sen
 
3
2
1
30Cos
 
2
1
60Cos
 
3
1
30Tan
 
1
3
60Tan
 
 
2
1
45Sen
 
1
1
1
45 Cot
 
2
1
45Cos
 
2
1
2
45 Sec
 
1
1
1
45 Tan
 
2
1
2
45 Csc
 
5.25.4).-Verificar la identidad: 
130Csc30Cot
22

 y 
 45Tan145Csc
22
 
130Csc30Cot
22

 
123
2
2

 
3= 4 – 1 
3 = 3; Si es cierta la identidad( se verifica) 
 
 45Tan145Csc
22
 
2
2
112
 
2 -1= 1 
1 = 1; Si es cierta la identidad( por tanto se verifica) 
 
 
Escribe todo lo que entiendas al 
mirar, escuchar y analizar.