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1 Sucesiones de números reales
1.1 Números reales
En el conjunto de los números reales tenemos definidas dos operaciones bina-
rias, suma y producto, y una relación de orden
(a, b) → a + b
(a, b) → ab
a ≤ b.
Ellos cumplen los siguientes axiomas:
A1 Conmutatividad de la suma. Para todo par ordenado (a, b) de números
reales, a + b = b + a.
A2 Asociatividad de la suma Para toda terna (a, b, c) de números reales,
(a + b) + c = a + (b + c).
A3 Existencia de elemento neutro, o “cero”, para la suma. Existe un
número real, que denotamos “0”, con la condición de ser a + 0 = a para
todo número real a.
A4 Existencia de elemento inverso, u opuesto, para la suma. Existe, para
cualquier número real a, un número real, −a, que satisface a + (−a) = 0.
A5 Conmutatividad del producto. Para todo par ordenado de números reales
(a, b), se tiene ab = ba.
A6 Asociatividad del producto. Para toda terna de números reales (a, b, c),
se tiene (ab)c = a(bc).
A7 Existencia de unidad para el producto. Existe un número real, “1”,
1 6= 0, tal que a 1 = a para todo número real a.
A8 Existencia de elemento inverso para el producto. Para todo número real
a, a 6= 0, existe un número real, a−1, o 1/a, que satisface aa−1 = 1.
A9 Distributividad del producto con respecto a la suma. Para toda terna
de números reales (a, b, c), vale que a(b + c) = ab + ac.
A10 Transitividad del orden. Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.
A11 Antisimetŕıa del orden. Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
1
1 Sucesiones de números reales 2
A12 Para dos números reales cualesquiera a, b, es a ≤ b, o b ≤ a.
A13 a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c para todo número real c.
A14 0 ≤ a y 0 ≤ b implican 0 ≤ ab.
A15 Axioma de completitud. Todo conjunto acotado superiormente tiene
supremo.
De estos axiomas se deducen las siguientes propiedades:
P1 El elemento neutro para la suma es único, pues si hubiera dos, digamos
0 y 0′, seŕıa 0 = 0 + 0′ = 0′.
P2 a + b = a + c ⇒ b = c. En particular, el opuesto de a, −a, es único.
Luego −(−a) = a. Escribimos a− b en lugar de a + (−b).
P3 ab = 0 es equivalente a a = 0 o b = 0.
P4 El conjunto de los números reales, sin el 0, satisface los mismos axiomas
con respecto al producto (Axiomas 5, 6, 7 y 8) que el conjunto de todos los
números reales con respecto a la suma (Axiomas 1, 2, 3 y 4). Luego aquéllos
satisfacen las mismas propiedades que éstos para la suma. A saber,
el elemento neutro para el producto es único.
Si a 6= 0 y ab = ac, entonces b = c. En particular, el inverso es único.
Además (a−1)−1 = a.
Si b 6= 0, entonces ab−1(= a(1/b)) también se escribe a/b.
El cero no tiene inverso, ya que a0 = 0 para todo número real a.
P5 Si a 6= 0, b 6= 0, entonces (ab)−1 = a−1b−1.
P6 Se tiene (−a)b = a(−b) = −(ab). En particular, −a = (−1)a.
P7 Cuando a ≤ b y a 6= b, se escribe a < b. Aśı, a ≤ b es equivalente a
a < b o a = b.
P8 Para dos números reales cualesquiera a, b vale una y sólo una de las
siguientes relaciones
a < b, a = b, b < a
(b < a también se escribe a > b).
P9 a ≤ b y b < c implican a < c.
P10 a ≤ b y c ≤ d implican a+ c ≤ b+d. Si además a < b o c < d, entonces
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a + c < b + d.
P11 a ≤ b es equivalente a a+c ≤ b+c. a < b es equivalente a a+c < b+c.
P12 Las relaciones a ≤ b, 0 ≤ b− a, a− b ≤ 0, −b ≤ −a, son equivalentes.
Las siguientes relaciones son también equivalentes: a < b, 0 < b− a, a− b <
0, −b < −a.
P13 Si a ≥ 0, b ≥ 0, entonces a+ b ≥ 0. Más aún, es a+ b > 0 o a = b = 0.
P14 Para cualquier número real a, se define
|a| =
{
a si a ≥ 0
−a si a < 0.
Se tiene | − a| = |a|, |a| = 0 si y sólo si a = 0.
P15 Si α > 0, entonces la relación |a| ≤ α es equivalente a −α ≤ a ≤ α.
|a| < α es equivalente a −α < a < α.
P16 Para a, b reales cualesquiera, se tiene
|a + b| ≤ |a|+ |b|,
||a| − |b|| ≤ |a− b|.
P17 Si c ≥ 0, entonces a ≤ b ⇒ ac ≤ bc.
P18 Regla de los signos
{a ≥ 0 y b ≤ 0} ⇒ ab ≤ 0
{a ≤ 0 y b ≤ 0} ⇒ ab ≥ 0
{a > 0 y b > 0} ⇒ ab > 0
{a > 0 y b < 0} ⇒ ab < 0
{a < 0 y b < 0} ⇒ ab > 0.
P19 Para dos números reales cualesquiera a, b se tiene |ab| = |a||b|.
P20 Si a > 0, entonces a−1 > 0. Si c > 0, entonces la relación a ≤ b es
equivalente a ac ≤ bc, y la relación a < b es equivalente a ac < bc. La relación
0 < a < b es equivalente a 0 < b−1 < a−1.
P21 Para cualquier número real a se define
sig (a) =



1 si a > 0
−1 si a < 0
0 si a = 0.
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Sigue que sig (ab) = sig (a) sig (b), a = |a| sig (a).
P22 Las relaciones 0 < a1 ≤ a2, 0 < b1 ≤ b2, implican a1b1 ≤ a2b2. Si
además a1 < a2 o b1 < b2, entonces a1b1 < a2b2.
P23 La relación a2 ≤ b2 es equivalente a |a| ≤ |b|. La relación a3 ≤ b3 es
equivalente a a ≤ b.
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1.2 Sucesiones numéricas
Consideremos una aplicación
N 7→ R,
esto es, una ley de correspondencia que asigna a cada número natural n un
número real an. Estos números reales an, imagen de los números naturales,
quedan ordenados de acuerdo con la relación “<” que existe en N. Debe
entenderse “ordenados” con respecto a su enumeración, no con respecto a su
valor numérico:
a1, a2, a3, · · · .
Esto se llama una sucesión de números reales. También se la indica {an}.
Ejemplos
{1/n} = 1, 1/2, 1/3, · · ·
{1/2n} = 1/2, 1/4, 1/8, · · ·
{n} = 1, 2, 3, · · ·
{
n + 1
n
}
= 2, 3/2, 4/3, · · ·
0, 1/2, 0, −1/3, 0, 1/4, 0, −1/5, · · ·
0, 1, 0, 2, 0, 3, · · ·
0, 1, 0, 11, 0, 111, · · ·
0, 49, 0, 499, 0, 4999, · · ·
{1} = 1, 1, 1, · · · .
Puede ocurrir que an se aproxime a un determinado número real l a medida
que n crece. En este caso l se llama ĺımite de la sucesión dada, y se indica
l = lim
n→∞
an, o bien an → l cuando n →∞.
La definición precisa es la siguiente:
l = limn→∞ an si y sólo si para cada ε > 0, arbitrario, existe un
número natural n0, que depende de ε, tal que para n > n0 vale
|an − l| < ε.
1 Sucesiones de números reales 6
Recordar que |an − l| < ε es equivalente a l − ε < an < l + ε. Conviene
considerar aqúı el caso de ĺımite infinito. Si bien ∞ no es un número, también
se simboliza limn→∞ an = ∞, o an →∞ cuando n →∞.
limn→∞ an = ∞ si y sólo si dado un número real M > 0, arbitrario,
existe n0(M) ∈ N tal que para n > n0 es |an| > M .
limn→∞ an = +∞ (respectivamente −∞) si y sólo si dado un
número real M > 0, arbitrario, existe n0(M) tal que para n ∈
N, n > n0, vale an > M (respectivamente an < −M).
Dada una sucesión, puede ocurrir que tenga ĺımite finito (sucesión conver-
gente), o ĺımite infinito (sucesión divergente) o bien que no tenga ĺımite, ni
finito ni infinito (sucesión oscilante). Se puede probar fácilmente que estos
tres casos son excluyentes entre śı.
1.3 Propiedades de los ĺımites finitos
Supongamos que an → l cuando n →∞.
(a) Desde un término en adelante, es decir, para todo an con n > n0, an
se conserva mayor que cualquier número menor que l, y menor que cualquier
número mayor que l.
(b) Si sig (l) 6= 0 entonces a partir de un término en adelante, an tiene el
mismo signo que l.
(c) Si dos sucesiones tienen ĺımites distintos, entonces los términos de la de
mayor ĺımite superan a los de menor ĺımite desde un término en adelante.
(d) Si an → a, bn → b, y a partir de un término en adelante es an < bn,
entonces a ≤ b.
(e) El ĺımite es único.
(f) Si an → l, bn → l, y a partir de un término en adelante es
an ≤ cn ≤ bn,
entonces cn → l.
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1.4 Subsucesiones
Una sucesión es una aplicación g : N → R. Supongamos que tenemos una
aplicación h : N→ N, estrictamente creciente, es decir, h(n) < h(m) si n < m.
Luego la composición
g ◦ h, N h→ N g→ R,
es una aplicación de N en R. Por lo tanto es también una sucesión, que por
provenir de la otra de esa manera se llama subsucesión de la otra. Si, por
ejemplo, tenemos la sucesión a1, a2, · · ·, y
h(1) = 3, h(2) = 5, h(3) = 6, h(4) = 10, · · · ,
entonces la subsucesión que se forma es {bn}, donde
b1 = a3, b2 =a5, b3 = a6, b4 = a10, · · · .
Proposición Si una sucesión es convergente (respectivamente, divergente),
entonces cualquier subsucesión de ella será también convergente (respectiva-
mente, divergente).
Una sucesión {an} se dice creciente (respectivamente, decreciente) si
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · ·
(respectivamente, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · ·). Si todas las desigualdades son estrictas,
entonces se llaman estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes.
Una sucesión {an} se dice acotada superiormente (respectivamente, inferi-
ormente) si existe un número real M > 0 tal que an < M (respectivamente,
an > −M).
Proposición Toda sucesión creciente (respectivamente, decreciente) y acotada
superiormente (respectivamente, acotada inferiormente) tiene ĺımite finito.
La demostración de esta Proposición se basa en el Axioma 15 de los números
reales. En realidad, lim an resulta ser sup(an) en el caso creciente e inf(an)
en el caso decreciente. Observar que la condición de ser creciente, o decre-
ciente, basta pedirla a partir de un término en adelante. Lo mismo para la
acotación superior o inferior, ya que una cantidad finita de números siempre
están acotados.
Un ejemplo notable de sucesión acotada superiormente y estrictamente cre-
ciente es
{(1 + 1/n)n}.
1 Sucesiones de números reales 8
Una sucesión {an} puede no tener ĺımite pero śı pueden tenerlo subsucesiones
de ella. Si una subsucesión de {an} tiene un ĺımite l, entonces l se llama ĺımite
de oscilación de la sucesión {an}. De esta manera, una sucesión puede tener
muchos (en realidad, infinitos) ĺımites de oscilación. Por ejemplo, sea {an} la
sucesión
1, 0, 1, 0, 1, · · · .
La subsucesión
a1, a3, a5, · · ·
tiene ĺımite 1, mientras que la subsucesión
a2, a4, a6, · · ·
tiene ĺımite 0. Puede probarse fácilmente que esta sucesión tiene sólo estos dos
ĺımites de oscilación.
Una sucesión tiene siempre ĺımites de oscilación, con valor finito o infinito. De
entre todos los ĺımites de oscilación hay uno que es el mayor de ellos, finito o
infinito. Se le da el nombre de ĺımite superior, y se simboliza
lim sup an o lim an.
Asimismo, siempre hay un menor ĺımite de oscilación, finito o infinito, que se
llama ĺımite inferior de la sucesión, y se denota
lim inf an o lim an.
Valen los siguientes resultados:
(a) lim sup an = +∞ si y sólo si {an} no es acotada superiormente.
(b) lim inf an = −∞ si y sólo si {an} no es acotada inferiormente.
(c) La sucesión {an} tiene ĺımite, finito o infinito con signo determinado,
si y sólo si lim inf an = lim sup an. En este caso el valor de su ĺımite es el
coincidente de lim inf an y lim sup an.
Un criterio general de convergencia
Comprobar si una sucesión tiene ĺımite por su misma definición supone conocer
el valor del ĺımite. Existe un criterio que permite determinar la existencia de
ĺımite finito de una sucesión sin conocer su supuesto ĺımite. Es la llamada
1 Sucesiones de números reales 9
condición de Cauchy.
Definición Una sucesión an se dice de Cauchy si dado ε > 0, arbitrario, existe
n0(ε) ∈ N tal que si n,m ∈ N, n ≥ n0, m ≥ n0, entonces |an − am| < ε.
Proposición Una sucesión an tiene ĺımite finito si y sólo si es de Cauchy.
Demostración: Supongamos que an → l, l finito. Dado ε > 0, existe n0 ∈ N
tal que |an − l| < ε/2 si n ≥ n0. Luego, si n ≥ n0, m ≥ n0, sigue que
|an − am| = |an − l + l − am| ≤ |an − l|+ |l − am| < ε/2 + ε/2 = ε.
Por lo tanto {an} es de Cauchy.
Rećıprocamente, supongamos ahora que {an} es de Cauchy. La demostración
sigue los siguientes pasos:
1ro Una sucesión de Cauchy es acotada. En efecto, un conjunto finito de
números reales es acotado. Luego el conjunto {a1, a2, · · · , an0} es acotado.
Para n > n0 tenemos
|an| = |an − an0 + an0| ≤ |an − an0|+ |an0| < |an0|+ ε.
Luego el conjunto {an0+1, an0+2, · · ·} es también acotado. Como la unión de
dos conjuntos acotados es otro conjunto acotado, sigue que la sucesión {an} es
acotada.
2do Debido a los puntos (a) y (b) anteriores, toda sucesión acotada tiene
ĺımite superior y ĺımite inferior finitos.
3ro Debe ser
l = lim inf an = lim sup an = l.
En efecto, supongamos que l < l, y sea ε = l−l > 0. Como estamos suponiendo
que {an} es una sucesión de Cauchy, sigue que existe n0 ∈ N tal que
|am − an| < ε/3 si m ≥ n0, n ≥ n0.
Por otra parte, existe una subsucesión {ani
} de {an} tal que ani
→ l, y existe
otra subsucesión {ami
} de an tal que ami
→ l. Por lo tanto, a partir de un
cierto término de la primera subsucesión vale
|ani
− l| < ε/3.
Análogamente, a partir de cierto término de la segunda subsucesión vale
|ami
− l| < ε/3.
1 Sucesiones de números reales 10
Sigue que para estos términos
ε = |l − l| = |l − ami
+ ami
− ani
+ ani
− l|
≤ |l − ami
|+ |ami
− ani
|+ |ani
− l| < |ami
− ani
|+ 2/3 ε.
Luego |ami
− ani
| > ε/3. Pero esto está en contradicción con el hecho de que
a partir del término an0 , todos los términos de la sucesión {an} satisfacen
|an − am| < ε/3.
1.5 Cálculo de ĺımites
A diferencia de lo que ocurre con las operaciones de suma y producto de
números reales, no existe un algoritmo general que permita calcular ĺımites de
sucesiones. El método consiste entonces en calcular por definición el ĺımite de
determinadas sucesiones sencillas para después reducir a éstas sucesiones de
expresión más complicada. Para realizar esto debemos saber cómo se comporta
el ĺımite cuando operamos con sucesiones.
Suma
Dadas dos sucesiones {an}, {bn}, podemos formar la sucesión suma
{an + bn} = a1 + b1, a2 + b2, · · · .
Para el ĺımite de la sucesión suma tenemos los siguientes casos:
{an → a, bn → b} ⇒ an + bn → a + b
{an →∞, {bn} acotada } ⇒ an + bn →∞
{an → +∞, bn → +∞} ⇒ an + bn → +∞
{an → −∞, bn → −∞} ⇒ an + bn → −∞.
Si an → +∞, bn → −∞, entonces no puede darse una respuesta general para
lim(an + bn).
Producto
Dadas dos sucesiones {an}, {bn}, la sucesión producto es
{anbn} = a1b1, a2b2, · · · .
Obtenemos que
{an → a, bn → b} ⇒ anbn → ab
{an → 0, {bn} acotada } ⇒ anbn → 0
{an →∞, |bn| > K > 0} ⇒ anbn →∞.
1 Sucesiones de números reales 11
Si an → 0 y bn → ∞, entonces no hay respuesta general para el ĺımite del
producto.
Cociente
La sucesión cociente es
{an/bn} = a1/b1, a2/b2, · · · .
Sigue que
{an → a, bn → b 6= 0} ⇒ an/bn → a/b
{{an} acotada , bn →∞} ⇒ an/bn → 0
{|an| > K > 0, bn → 0} ⇒ an/bn →∞
{an →∞, {bn} acotada } ⇒ an/bn →∞.
Si an → 0 y bn → 0, o bien an → ∞, bn → ∞, entonces no hay respuesta
general para el ĺımite del cociente.
Logaritmos
Si α > 0, α 6= 1, b > 0, se define logα b a un número x que satisface αx = b.
Dada la sucesión {bn}, bn > 0, queda formada la sucesión
{logα bn} = logα b1, logα b2, · · · .
Si bn → b > 0, entonces logα bn → logα b.
En efecto, suponiendo α > 1, para ε > 0 es αε > 1, α−ε < 1. Luego, como
bn/b → 1, sigue que a partir de un n en adelante es
α−ε < bn/b < αε.
Tomando logaritmo en estas dos desigualdades sigue que
−ε < logα bn − logα b < ε,
lo que prueba que logα bn → logα b.
Si bn → 0, bn > 0, y α > 1, entonces logα bn → −∞. Si, en cambio, α < 1,
entonces logα bn → +∞.
Potencia
Si {an}, an > 0, {bn}, son dos sucesiones, entonces puede construirse la
sucesión potencia
{abn
n } = ab1
1 , ab2
2 , · · · .
1 Sucesiones de números reales 12
Si an → a > 0, y bn → b, entonces abn
n → ab.
Además
{an → 0, bn → b > 0} ⇒ abn
n → 0
{an → 0, bn → b < 0} ⇒ abn
n → +∞
{an → a > 1, bn → +∞} ⇒ abn
n → +∞
{an → a > 1, bn → −∞} ⇒ abn
n → 0
{an → a < 1, bn → +∞} ⇒ abn
n → 0
{an → a < 1, bn → −∞} ⇒ abn
n → +∞
{an → 0, bn → +∞} ⇒ abn
n → 0
{an → 0, bn → −∞} ⇒ abn
n → +∞
{an → +∞, bn → +∞} ⇒ abn
n → +∞
{an → +∞, bn → −∞} ⇒ abn
n → 0.
En los siguientes casos no puede darse una respuesta general.
an → 0, bn → 0,
an → +∞, bn → 0,
an → 1, bn → +∞,
an → 1, bn → −∞.
2 Series numéricas
El concepto de ĺımite de una sucesión permite definir una suma de infinitos
términos o serie numérica∞∑
i=1
ai = a1 + a2 + · · · .
Sea
S1 = a1
S2 = a1 + a2
...
...
...
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an
...
...
...
Entonces se define ∞∑
i=1
ai = lim
n→∞
Sn.
De acuerdo con esta definición, una serie puede ser convergente, divergente u
oscilante, en concordancia con el carácter de la sucesión de sumas parciales.
De las propiedades válidas para sumas finitas se mantiene la propiedad dis-
tributiva:
k
∞∑
i=1
ai =
∞∑
i=1
kai.
La propiedad asociativa se preserva para series convergentes o divergentes pero
no vale en general para series oscilantes. Por ejemplo, la serie
1− 1 + 1− 1 + · · ·
es oscilante pues sus sumas parciales son
1, 0, 1, 0, 1, · · · .
Pero si asociamos
(1− 1) + (1− 1) + · · · ,
se convierte en
0 + 0 + 0 + · · · = 0,
serie convergente.
13
2 Series numéricas 14
Serie geométrica
Sea a 6= 0, k 6= 1. La serie
a + ak + ak2 + ak3 + · · · = a
∞∑
i=1
ki−1
se llama serie geométrica de razón k. La suma parcial enésima es
Sn = a + ak + ak2 + · · ·+ akn−1.
De aqúı
kSn = ak + ak2 + · · ·+ akn = Sn+1 − a.
Por otra parte Sn+1 − Sn = akn. Luego
kSn + a− Sn = akn,
(k − 1)Sn = a(kn − 1).
Por lo tanto
Sn = a
kn − 1
k − 1
= a
1− kn
1− k
.
Vemos que, si 0 ≤ |k| < 1, Sn converge a a
1−k
. Si k > 1, entonces Sn → +∞.
Si k < −1, entonces Sn → ∞. Si k = −1, entonces la serie geométrica es
oscilante. En conclusión, la serie geométrica de razón k es convergente cuando
y sólo cuando −1 < k < 1.
Criterio de Cauchy para series
Dado que la suma de una serie es el ĺımite de la sucesión de sus sumas parciales,
el criterio de convergencia de Cauchy para sucesiones es aplicable a las series.
Una serie
∑∞
i=1 ai es convergente si y sólo si dado ε > 0, arbitrario,
existe n0(ε) ∈ N tal que para n0 ≤ n < m vale |∑m
i=n+1 ai| < ε.
En particular, si m = n + 1, queda |an+1| < ε. Esto dice que si una serie es
convergente entonces su término general tiende a 0. Pero !cuidado!, el hecho
rećıproco no es en general cierto: hay series no convergentes cuyo término
general śı tiende a cero. El ejemplo t́ıpico es la llamada serie armónica,
∞∑
i=1
1/i = 1 + 1/2 + 1/3 + · · · .
2 Series numéricas 15
Convergencia absoluta
Definición Una serie
∑∞
i=1 ai se dice absolutamente convergente si la serie∑∞
i=1 |ai| es convergente.
Dado que |∑m
i=n+1 ai| ≤
∑m
i=n+1 |ai|, el criterio de convergencia de Cauchy
afirma que una serie absolutamente convergente es convergente. La implicación
rećıproca no es en general cierta: una serie puede ser convergente pero no
absolutamente convergente. Por ejemplo, probaremos más adelante que
∞∑
i=1
(−1)i+11/i = 1− 1/2 + 1/3− 1/4 + 1/5− · · ·
es convergente, pero
∞∑
i=1
|(−1)i+11/i| = 1 + 1/2 + 1/3 + · · ·
es divergente.
2.1 Series de términos positivos
Si una serie tiene todos sus términos positivos (o todos positivos a partir de
un término en adelante), entonces la sucesión de sus sumas parciales es cre-
ciente (o creciente a partir de un término en adelante, respectivamente). Si
todas estas sumas parciales están acotadas, entonces la serie será convergente.
Si las sumas parciales no están acotadas, entonces la serie será divergente
a +∞. Por tanto, una serie de términos positivos no puede ser oscilante
(Como
∑
ai = −1
∑
(−ai), todos los resultados que se obtengan para series
de términos positivos son también válidos para series de términos negativos).
Sean
∑
ai,
∑
bi, dos series de términos positivos,
∑
bi convergente.
(i) Si a partir de un término es ai ≤ bi, entonces
∑
ai es convergente.
(ii) Si a partir de un término es ai/bi ≤ λ, entonces
∑
ai es convergente
(Criterio de comparación de primera especie).
(iii) Si a partir de un término es ai+1/ai ≤ bi+1/bi, entonces
∑
ai es con-
vergente (Criterio de comparación de segunda especie).
Probemos (iii). Supongamos que la desigualdad vale a partir del término
indicado por i0. Luego
ai0+1
ai0
ai0+2
ai0+1
· · · ai0+p
ai0+p−1
≤ bi0+1
bi0
bi0+2
bi0+1
· · · bi0+p
bi0+p−1
,
2 Series numéricas 16
donde p ∈ N es arbitrario. Sigue que
ai0+p
ai0
≤ bi0+p
bi0
,
es decir
ai0+p ≤ ai0
bi0
bi0+p,
o bien
ai0+p
bi0+p
≤ ai0
bi0
.
Como
ai0
bi0
es un número fijo, sigue del criterio de primera especie que
∑
ai
debe ser convergente.
Estos criterios de comparación permiten decidir cuándo una serie es con-
vergente sabiendo que otra serie de términos más grandes lo es. Asimismo, si
una serie de términos positivos tiene términos más grandes que los de una serie
divergente, entonces aquélla es también divergente. Las series que se usan para
comparar son las series geométrica y armónica generalizada. Esta última es
∞∑
i=1
1/iα = 1 + 1/2α + 1/3α + · · · ,
donde α > 0.
Si α ≤ 1, entonces la serie armónica es divergente. Si α > 1, entonces es
convergente.
Aplicando la comparación directa con una serie geométrica de razón k
menor que 1 sigue que si a partir de un cierto término es
n
√
an < k,
entonces
∑∞
n=1 an es convergente (Criterio de Cauchy). Si, en cambio, para
infinitos términos an es n
√
an ≥ 1, entonces la serie es divergente pues no se
cumple la condición necesaria de convergencia, a saber an → 0 cuando n →∞.
Si a partir de un término an0 de la serie es
an+1
an
≤ k < 1,
entonces
∑∞
n=1 an es convergente (Criterio de D’Alembert). En efecto, escribi-
endo an+1
an
≤ kn+1
kn = k, y aplicando el criterio de segunda especie con la serie
geométrica
∑∞
n=1 kn+1, convergente, sigue el resultado. Si, en cambio, a partir
2 Series numéricas 17
de cierto término se mantiene an+1
an
≥ 1, entonces la serie es divergente pues a
partir de alguno de ellos, sus términos son crecientes y por lo tanto no puede
cumplirse la condición necesaria de ser an → 0 cuando n →∞.
Si a partir de cierto término es
n
(
1− an+1
an
)
≥ M > 1,
entonces la serie
∑
an es convergente (Criterio de Raabe). Si, en cambio, a
partir de un cierto término es n(1− an+1
an
) ≤ 1, entonces la serie es divergente.
2.2 Estudio de series en general
Las series que no mantienen su signo a partir de ningún término no pueden
ser estudiadas por los criterios anteriores. Caso particular de estas series son
las llamadas series alternadas.
Una serie
∑
an se dice alternada cuando sig (an+1) 6= sig (an) para todo
n ∈ N.
Una serie alternada es convergente si |an| ≥ |an+1| para todo n ∈ N
y además limn→∞ an = 0 (Criterio de Leibnitz).
Ejemplo
∑∞
n=1(−1)n+11/n = 1 − 1/2 + 1/3 − · · ·. Puede probarse que esta serie
converge a ln 2.
En general, si una serie no conserva el signo de sus términos a partir de
ningún término, entonces se puede analizar las dos series que se forman con
sus términos positivos y negativos, respectivamente. Si
∑∞
i=1 ai es una serie en
tal condición, llamemos pi a los términos de la serie que son positivos, y qi a
los términos negativos de la serie. Desde un principio supongamos que ai → 0
cuando i →∞, ya que si esto no vale la serie no puede ser convergente. Bajo
esta suposición pueden presentarse los siguientes casos:
(a)
∑
pi y
∑
qi ambas convergentes. En este caso
∑
ai es absolutamente
convergente, y por lo tanto también convergente. Además
∑
ai =
∑
pi +
∑
qi,
∑
|ai| =
∑
pi −
∑
qi.
2 Series numéricas 18
(b)
∑
pi convergente,
∑
qi divergente. En este caso tenemos
∑
ai = −∞.
(c)
∑
pi divergente,
∑
qi convergente. Aqúı es
∑
ai = +∞.
(d)
∑
pi y
∑
qi ambas divergentes. En este caso
∑
ai se dice condicional-
mente convergente. Reordenando convenientemente sus términos es posible
obtener una serie convergente a cualquier valor previamente estipulado, di-
vergente u oscilante. Este caso es el de las series convergentes que no son
absolutamente convergentes. Por ejemplo, la serie
1− 1/2 + 1/3− 1/4 + 1/5− · · · .
3 Funciones reales de variable real
3.1 Conjuntos de la recta
Sea A 6= ∅ un conjunto de números reales.
A se dice acotado superiormente si existe M ∈ IR tal que a ≤ M
para todo a ∈ A.
En este casoexiste una menor cota superior, llamada extremo superior de A,
o supremo de A (sup A).
A se dice acotado inferiormente si existe K ∈ IR tal que K ≤ a
para todo a ∈ A.
La mayor de las cotas inferiores se llama extremo inferior de A o ı́nfimo de
A (inf A). Un conjunto es acotado cuando lo es superior e inferiormente.
En general trabajaremos con determinados conjuntos de la recta, a saber los
llamados intervalos.
Un intervalo I es un conjunto no vaćıo de números reales con la siguiente
propiedad: cada vez que a ∈ I, b ∈ I, a < b, entonces c ∈ I si a < c < b. Los
intervalos acotados son:
(a) I = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b}, a ≤ b.
Intervalo acotado cerrado o intervalo compacto.
(b) I = {x ∈ IR : a < x < b}, a < b.
Intervalo acotado abierto.
(c) I = {x ∈ IR : a ≤ x < b}, a < b.
Intervalo acotado semicerrado o semiabierto (cerrado a izquierda, abierto a
derecha).
(d) I = {x ∈ IR : a < x ≤ b}, a < b.
Intervalo acotado semicerrado o semiabierto (cerrado a derecha, abierto a
izquierda).
Los intervalos no acotados son: la recta misma, y semirrectas “izquierdas” o
“derechas”, cerradas o abiertas.
Todos estos intervalos se denotan, respectivamente,
19
3 Funciones reales de variable real 20
[a, b], (a, b), [a, b), (a, b], IR o (−∞, +∞), (−∞, a], (−∞, a), [a,∞), (a,∞).
Si a ∈ IR, un entorno de a es un intervalo abierto de la forma
(a− δ, a + δ), δ > 0.
Un entorno reducido de a es de la forma (a− δ, a) ∪ (a, a + δ).
Sea A un subconjunto no vaćıo de IR.
a ∈ IR se dice punto de acumulación de A si todo entorno de a
contiene infinitos puntos de A.
Es obvio que si A es un conjunto de finitos puntos, entonces no existe ningún
punto de acumulación de A. Por el contrario, si A es un conjunto acotado de
infinitos elementos, entonces siempre existe al menos un punto de acumulación
de A.
Un conjunto A se dice cerrado si todo punto de acumulación de A
pertenece al conjunto.
De aqúı, todo conjunto finito es cerrado. Todo intervalo cerrado es un conjunto
cerrado.
Un punto a se dice interior a un conjunto A si existe un entorno
de a contenido en A.
A se dice abierto si todos sus puntos son interiores al conjunto.
Todo intervalo abierto es un conjunto abierto. Un conjunto es abierto si y
sólo si su complementario es cerrado. IR y ∅ son los únicos subconjuntos de IR
cerrados y abiertos simultáneamente.
3.2 Funciones reales de variable real
Sean A y B dos conjuntos no vaćıos cualesquiera.
Se llama función de A en B a un mecanismo que asigna a cada
elemento de A un elemento en B.
3 Funciones reales de variable real 21
A se llama dominio de la función. B se llama codominio o recorrido de la
función. Se escribe
f : A 7→ B, o bien A
f7→ B.
Si x ∈ A, se denota f(x) al elemento en B que la función asigna a x.
La imagen de la función es el subconjunto del codominio B que
consiste de todos los elementos de la forma f(x), con x ∈ A.
Caso particular es la llamada función constante, que asigna a todo elemento
x ∈ A un elemento fijo b ∈ B.
Una función se llama inyectiva si, cada vez que x 6= y, x, y ∈ A, es
f(x) 6= f(y).
Se llama suprayectiva si su imagen coincide con su codominio.
Una función que al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva se
llama biyectiva.
Si g : B 7→ C es una función cuyo dominio contiene a la imagen de f , entonces
queda determinada la función composición
g ◦ f : A 7→ C,
definida su ley de correspondencia por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Cuando el codominio B coincide con el dominio A queda establecida la lla-
mada función identidad, caso especial de función biyectiva, cuya ley de corres-
pondencia se define por
idA(x) = x para todo x ∈ A.
Si f : A 7→ B es una función biyectiva, entonces existe su función inversa
f−1 : B 7→ A, que satisface
f ◦ f−1 = idB, f−1 ◦ f = idA.
Hasta aqúı hemos visto definiciones válidas para funciones cuyo dominio y
codominio son conjuntos cualesquiera. De aqúı en adelante supondremos que
3 Funciones reales de variable real 22
el codominio es IR y el dominio es generalmente un intervalo. Tales funciones
reales de variable real permiten una representación gráfica de las mismas.
También es a veces posible expresar anaĺıticamente la ley de corresponden-
cia mediante las operaciones de los números reales. Más aún, de funciones
definidas en un mismo dominio pueden obtenerse otras, operando entre ellas.
Por ejemplo, la ley de correspondencia puede estar dada por un polinomio
Pn(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0,
donde an, an−1, · · · , a0 son números reales fijos y x, como es habitual, representa
un valor genérico del dominio de la función. O también puede estar dada por
un cociente de polinomios
Pn(x)
Qn(x)
, Qn(x) 6= 0.
Función potencial
Es la definida por
f : [0,∞) 7→ [0,∞), f(x) = xp, p > 0,
o bien
f : (0,∞) 7→ (0,∞), f(x) = xp, p < 0.
Como es una función biyectiva, tiene función inversa, cuya expresión es x1/p.
Luego su inversa es también una función potencial.
Función exponencial
Es la definida por
f : IR 7→ (0,∞), f(x) = ax, a > 0, a 6= 1.
Como también es biyectiva, existe su función inversa, a saber
f : (0,∞) 7→ IR, f(x) = loga x.
3 Funciones reales de variable real 23
Funciones circulares
Consideremos un triángulo rectángulo de lados a, b, c, donde c es la hipotenusa,
que suponemos de longitud 1, y x es el ángulo, en radianes, entre los lados a
y c. Se define
senx = b/c, cos x = a/c, tan x = b/a = senx/ cos x.
Definidas en principio en x ∈ [0, 2π], se las extiende a todo x ∈ IR por period-
icidad.
Tenemos que
sen (−x) = −senx, cos(−x) = cos x
para todo x ∈ IR. Además
sen2x + cos2 x = 1.
Otras relaciones útiles son:
sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α,
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β.
Luego
sen 2x = 2 sen x cos x,
cos 2x = cos2 x− sen2 x = 2 cos2 x− 1.
Las funciones
sen x : [−π/2, π/2] 7→ [−1, 1],
cos x : [0, π] 7→ [−1, 1],
tan x : (−π/2, π/2) 7→ IR,
son biyectivas. Sus funciones inversas son, respectivamente
arcsen x : [−1, 1] 7→ [−π/2, π/2],
arccos x : [−1, 1] 7→ [0, π],
arctan x : IR 7→ (−π/2, π/2).
3 Funciones reales de variable real 24
Funciones hiperbólicas
Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se definen como
shx : IR 7→ IR, shx = [ex − e−x]/2,
chx : IR 7→ [1,∞), chx = [ex + e−x]/2.
La tangente hiperbólica se define como
tghx : IR 7→ (−1, 1), tghx = shx/chx.
Tenemos que
chx + shx = ex, chx− shx = e−x, ch 2 x− sh 2 x = 1.
Como la función seno hiperbólico es biyectiva, existe su función inversa. Obteng-
amos su expresión. Llamemos y = shx. Como
ch 2 x = sh 2 x + 1 = y2 + 1,
y chx es siempre positivo, sigue que chx = +
√
y2 + 1. Luego y+
√
y2 + 1 = ex.
Tomando en esta igualdad logaritmo neperiano, resulta x = ln(y +
√
y2 + 1).
Aśı,
sh−1 x = ln(x +
√
x2 + 1).
Análogamente se puede obtener la función inversa de ch x : [0,∞) 7→ [1,∞).
3.3 Ĺımite de una función
Sea f : A 7→ IR una función real de variable real y supongamos que el conjunto
A tiene un punto de acumulación a. Vamos a definir el ĺımite de la función f
en el punto a. Se escribe
l = lim
x→a
f(x), o bien f(x) → l cuando x → a.
Por ser a punto de acumulación de A siempre existen sucesiones acotadas
{xn}, xn ∈ A \ {a}, xn → a.
Definición
l = limx→a f(x) si para toda sucesión xn → a, xn ∈ A \ {a}, vale que
f(xn) → l para n →∞.
3 Funciones reales de variable real 25
Hay que destacar que aqúı l puede tomar un valor finito o infinito.
Observar que esta definición se basa en la de ĺımite de sucesiones numéricas y
por lo tanto todo lo que vale para éstas vale también para el ĺımite funcional.
Por ejemplo, sabemos que el ĺımite de una suma de dos sucesiones numéricas
es la suma de los ĺımites de cada una de ellas, cuando estos existen con valor
finito. Consideremos ahora dos funciones, f : A → IR, g : A → IR. Luego
existe la función suma f + g : A → IR, definida como
(f + g)(x) = f(x) + g(x).
Supongamos que f(x) → l1, g(x) → l2, cuando x → a. Entonces
(f+ g)(x) → l1 + l2 cuando x → a.
En efecto, consideremos una sucesión {xn}, xn ∈ A \ {a} para todo n ∈
IN, xn → a. Como f(x) → l1 cuando x → a, sigue que f(xn) → l1, y
análogamente g(xn) → l2. Por lo tanto (f + g)(xn) → l1 + l2. Como {xn} es
cualquier sucesión con los requisitos expuestos, queda probada la afirmación
mencionada.
De la misma manera se puede probar que (fg)(x) → l1l2, si se define la
función producto
fg : A → IR, (fg)(x) = f(x)g(x).
En general, todos los resultados que valen para operaciones con sucesiones
valen análogamente para operaciones con funciones: suma, producto, cociente,
potencia, logaritmos. Del mismo modo siguen existiendo las mismas indeter-
minaciones, a saber:
Para la suma: ∞−∞.
Para el producto: 0∞.
Para el cociente: 0/0, ∞/∞.
Para la potencia: 00, ∞0, 1∞.
Queda claro entonces que todas las reglas que valen para operaciones con
sucesiones siguen valiendo para operaciones con funciones. Por ejemplo:
Si f(x) → 0 para x → a y g(x) se conserva acotada en un entorno
de a, entonces f(x)g(x) → 0 para x → a.
3 Funciones reales de variable real 26
Tener presente que l = lim f(x) para x → a si para toda sucesión xn → a, xn ∈
A \ {a}, vale que f(xn) → l. No basta que para alguna sucesión {xn} valga lo
anterior. Consideremos el siguiente ejemplo.
f : (0,∞) 7→ [−1, 1], f(x) = sen (π/x)
La expresión π/x establece una biyección entre el intervalo abierto (0,1) y la
semirrecta abierta (π,∞). Quiere decir que el comportamiento de la expresión
sen (π/x) en (0,1) debe ser como el comportamiento de la expresión sen x en
(π,∞). Por ejemplo, senx oscila infinitas veces en (π,∞), toma infinitas veces
el valor 1, el 0, el −1, y en general cualquier valor comprendido entre −1 y
1. Luego también debe ocurrir lo mismo con sen (π/x) en el intervalo (0,1).
Alĺı también debe oscilar infinitas veces entre −1 y 1. El cero es punto de
acumulación del intervalo (0,∞), y luego en principio podemos considerar el
ĺımite de sen (π/x) para x → 0. Como estamos considerando esta expresión
en (0,∞), x → 0 con valores positivos de x. Esto se indica x → 0+ (se lee x
tiende a 0 por la derecha). Pero existe el ĺımite?
Como lo sugiere la discusión anterior, no existe el ĺımite de esta función para
x → 0. En efecto, consideremos la sucesión {1/n}, 1/n → 0+, 1/n ∈ (0,∞)
para todo n ∈ N. Evaluando la función en estos valores obtenemos
sen (π/(1/n)) = sen nπ = 0
para todo n, y luego sen (nπ) → 0. Si 0 fuera el ĺımite de la función, entonces
debeŕıa ocurrir que f(xn) → 0 para toda sucesión xn → 0+. Sin embargo,
elijamos xn = 2/(4n + 1), que también tiende a 0 y pertenece al dominio de la
función. Ahora
sen (π/xn) = sen ([4n + 1]π/2) = 1
para todo n ∈ N, y esta sucesión tiende a 1. Esta diferencia en los ĺımites de
dos sucesiones distintas implica ya que no existe el ĺımite de esta función en 0.
Aśı como para 0 y 1, también podemos probar que dado cualquier c ∈ [−1, 1]
podemos conseguir una sucesión zn, que depende de c, zn > 0, zn → 0+, tal
que
sen(π/zn) → c.
Lo que sucede con esta función conduce a definir el llamado ĺımite de os-
cilación de una función en un punto a, y que es el concepto análogo al de ĺımite
de oscilación de una sucesión numérica.
3 Funciones reales de variable real 27
Definición
l se dice ĺımite de oscilación de f en a si existe alguna sucesión {zn}, zn →
a, zn 6= a, y zn en el dominio de la función para todo n, tal que f(zn) → l.
En el ejemplo anterior vemos que todo l ∈ [−1, 1] es ĺımite de oscilación de la
función en el origen.
Cuando la función está acotada en un entorno de a entonces siempre existen
el ĺımite superior e inferior de oscilación, que se simbolizan
lim sup f(x), lim inf f(x), para x → a,
o bien
limf(x), limf(x), para x → a,
respectivamente.
Si f no está acotada superiormente en ningún entorno de a, entonces
lim sup f(x) = +∞ para x → a.
Si f no está acotada inferiormente en ningún entorno de a, entonces
lim inf f(x) = −∞ para x → a.
Ahora llamemos
h : (0,∞) 7→ (0,∞), h(x) ≡ x,
g : (0,∞) 7→ [−1, 1], g(x) = sen (π/x).
Consideremos la función producto
hg : (0,∞) 7→ IR, (hg)(x) = x sen (π/x).
Calculemos
lim(hg)(x) para x → 0+.
Como h(x) → 0 para x → 0 (probarlo) y g(x) está acotada en todo su dominio
(aunque bastaŕıa que lo estuviera en algún entorno de 0), sigue por la regla
ya conocida que x sen (π/x) → 0 para x → 0+. En este caso las infinitas
oscilaciones de sen (π/x) en el intervalo (0,1) no afectan a la existencia del
ĺımite. Este hecho se observa en su gráfica:
3 Funciones reales de variable real 28
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
x
x sen (π/x)
Hay una definición equivalente de ĺımite finito de una función f en un punto
a, punto de acumulación de su dominio. Es la siguiente:
Un número l se dice ĺımite de la función f en a si dado ε > 0,
arbitrario, existe δ > 0, que depende de ε, tal que para aquellos x
que están en el dominio de f y además satisfacen 0 < |x− a| < δ,
vale que |f(x)− l| < ε.
Para ĺımites infinitos están las siguientes definiciones:
lim f(x) = +∞ para x → a si dado K > 0, arbitrario, existe δ > 0,
que depende de K, tal que para aquellos x que están en el dominio
de f y además satisfacen 0 < |x− a| < δ, vale que f(x) > K.
lim f(x) = −∞ para x → a si dado K > 0, arbitrario, existe δ > 0,
que depende de K, tal que para aquellos x que están en el dominio
de f y además satisfacen 0 < |x− a| < δ, vale que f(x) < −K.
lim f(x) = ∞ para x → a si dado K > 0, arbitrario, existe δ > 0,
que depende de K, tal que para aquellos x que están en el dominio
de f y además satisfacen 0 < |x− a| < δ, vale que |f(x)| > K.
Ejemplos
1) f : (0,∞) 7→ (0,∞), f(x) = 1/x,
lim f(x) = +∞ para x → 0.
2) h : (−∞, 0) 7→ (−∞, 0), h(x) = 1/x,
lim h(x) = −∞ para x → 0.
3) g : IR \ {0} 7→ IR \ {0}, g(x) = 1/x,
lim g(x) = ∞ para x → 0.
3 Funciones reales de variable real 29
Observar que los tres ĺımites anteriores se obtienen inmediatamente si se
aplica la definición por sucesiones dada en primer lugar. Por ejemplo, 1/x →
+∞ para x → 0+ pues para cualquier sucesión xn → 0+ vale que 1/xn → +∞.
Las definiciones vistas hasta ahora son válidas para x → a, a valor finito.
También se puede definir el ĺımite de una función para
x → +∞, x → −∞, o bien x →∞,
cuando existen sucesiones {xn}, con xn en el dominio de la función para todo
n y tales que xn → +∞, xn → −∞, xn →∞, respectivamente. La definición
por sucesiones es análoga al caso a finito.
f(x) → l para x → +∞ si para toda sucesión {xn}, xn pertene-
ciente al dominio de la función para todo n, xn → +∞, vale que
f(xn) → l.
De forma similar se definen los otros dos casos. Y también el caso de ĺımite
infinito para x →∞.
Con la otra definición hay que distinguir los casos de ĺımite finito e infinito.
Para ĺımite finito tenemos que:
f(x) → l para x → +∞ si dado ε > 0, arbitrario, existe M > 0,
que depende de ε, tal que si x > M vale que |f(x)− l| < ε.
f(x) → l para x → −∞ si dado ε > 0, arbitrario, existe M > 0,
que depende de ε, tal que si x < −M vale que |f(x)− l| < ε.
f(x) → l para x →∞ si dado ε > 0, arbitrario, existe M > 0, que
depende de ε, tal que si |x| > M vale que |f(x)− l| < ε.
Para el caso de ĺımite infinito es:
f(x) → +∞ para x → +∞ si dado K > 0, arbitrario, existe
M > 0, que depende de K, tal que si x > M vale que f(x) > K.
Los otros casos se definen análogamente. Estos son f(x) → ∞ para x → ∞
y además todos los que resultan de poner un signo + o un signo − en uno u
otro lado.
3 Funciones reales de variable real 30
La definición por ĺımite de sucesiones es preferible a la otra del “ε y δ”,
sobre todo a la hora del cálculo efectivo de un ĺımite. Sea el siguiente ejemplo:
lim f(x) para x → 2, donde
f : (0,∞) 7→ (0,∞), f(x) = x2.
Por la definición por sucesiones debemos considerar cualquier sucesión
{xn}, 2 6= xn > 0, xn → 2,
y ver si la sucesión numéricaf(xn) tiende a algún valor l que sea indepen-
diente de la sucesión aśı elegida. Ahora bien, en nuestro ejemplo f(xn) = x2
n.
Pero sabemos por resultados conocidos de sucesiones numéricas que si xn → 2
entonces x2
n → 4. Como este 4 es siempre el ĺımite de x2
n, con tal que xn → 2,
sigue que el ĺımite de esta función para x → 2 es 4.
Con la otra definición debemos fijar un ε > 0, arbitrario, y en función de
este ε encontrar δ > 0 tal que para aquellos x que verifiquen 0 < |x − 2| < δ,
valga que
|x2 − 4| < ε.
Observar en este punto que ya de entrada esta definición tiene un inconve-
niente. El valor del ĺımite, 4 en este caso, no es consecuencia de ningún
cálculo, sino que su valor debe ser propuesto para después verificar que se
trata efectivamente del ĺımite. Prosigamos. Tenemos que
|x2 − 4| = |x− 2||x + 2|.
Andamos con suerte puesto que vemos que la expresión que debemos hacer
menor que un ε prefijado depende de |x − 2|, sobre el que tenemos libertad
para achicarlo tanto como se quiera mediante la elección de δ. Luego
|x2 − 4| = |x− 2||x + 2| < δ|x + 2|.
Representa el factor |x + 2| un obstáculo? No, ya que tenemos libertad para
elegir δ. Luego podemos desde ya fijar δ ≤ 1, con lo cual |x + 2| < 5. Por
lo tanto |x2 − 4| < 5δ y si por otro lado δ ≤ ε/5 queda |x2 − 4| < ε, que era
lo buscado. Resumiendo, tenemos que si δ ≤ min{1, ε/5}, es decir δ ≤ 1 y
además δ ≤ ε/5, vale que
|x2 − 4| = |x− 2||x + 2| < δ|x + 2| < 5δ ≤ ε,
o sea
|x2 − 4| < ε.
3 Funciones reales de variable real 31
3.4 Comparación de variables
De dos números reales fijos, digamos x e y, podemos decir si x > y, x = y
o x < y. Afirmaciones del tipo “x es mucho más grande que y”, “x es muy
pequeño”, etc., no tienen en realidad ningún sentido riguroso. En cambio, si se
trata de cantidades variables las afirmaciones anteriores adquieren un sentido,
ya sean variables discretas, es decir que recorren un conjunto de números a
“saltos”, como por ejemplo el conjunto de números naturales, o bien variables
continuas, que recorren un conjunto de valores sin saltos, como por ejemplo
un intervalo que no se reduzca a un punto. Śı tiene sentido decir “1/n, para
n ∈ N, se hace arbitrariamente pequeño” porque ahora 1/n no representa a
una cantidad fija, sino a un conjunto de infinitos números. Como sabemos,
la afirmación anterior se corresponde con el hecho de que 1/n → 0 cuando
n →∞.
Es muy útil saber comparar variables. Consideremos un ejemplo de series.
Sabemos que la serie armónica
∑
1/n es divergente a +∞. Cómo será la serie
∑
1/[n + 10]?
Comparemos término a término. Tenemos que 1/[n + 10] < 1/n para todo
n ∈ N. Luego tenemos que todas las sumas parciales de la segunda serie
son menores que las correspondientes sumas parciales de la primera. Pero
como la serie mayorante es divergente, no podemos afirmar nada sobre la
serie de términos menores. Sabemos que el carácter de una serie depende del
comportamiento de sus “últimos” términos, es decir, a partir de uno cualquiera
de ellos. Luego comparemos los términos correspondientes de ambas series para
n grande, o sea para n →∞. Tenemos que
lim
1/[n + 10]
1/n
= lim
n
n + 10
= 1.
Como n/[n + 10] < 1, la aproximación de esa fracción a 1 es por la izquierda.
El valor del cociente supera a cualquier número menor que 1 para n suficiente-
mente grande. Por ejemplo, si fijamos 1/2 < 1, tenemos que n/[n + 10] > 1/2
a partir de algún valor de n. En este caso vemos que a partir de n = 11 se
cumple esa desigualdad. Luego
∑∞
n=11 1/[n + 10] está minorada por
∞∑
n=11
1
2n
= 1/2
∞∑
n=11
1
n
= +∞,
3 Funciones reales de variable real 32
y por lo tanto la serie
∞∑
n=1
1
n + 10
=
10∑
n=1
1
n + 10
+
∞∑
n=11
1
n + 10
es divergente a +∞. La causa que ha motivado que la serie de términos
menores sea también divergente se expresa aśı:
La cantidad variable 1/[n+10] es del mismo orden que la cantidad
variable 1/n para n →∞.
Podemos definir en general para variables que dependen de n, α(n), β(n), lo
siguiente:
α(n) y β(n) son del mismo orden para n →∞ si para todo n mayor
que un número fijo vale que
K1 <
∣∣∣∣
α(n)
β(n)
∣∣∣∣ < K2,
donde K1 y K2 son dos constantes fijas, K1 > 0.
Si en particular
lim
n→∞
α(n)
β(n)
= η, η 6= 0, η 6= ∞,
entonces α(n) y β(n) son cantidades del mismo orden. Si η = 1, α(n) y β(n)
se dicen equivalentes. Si
lim
n→∞
α(n)
β(n)
= 0
entonces α(n) se dice de orden inferior a β(n). Por ejemplo, ln n es de orden
inferior a np para todo p > 0 pues limn→∞ ln n
np = 0. Quiere decir que si bien
ln n →∞ para n →∞, su convergencia a ∞ es más lenta que la de np.
Podemos extender esta definición de orden a cantidades que dependen de
una variable continua x, para x tendiendo a un valor fijo finito o infinito.
Concretamente, a funciones f(x), g(x):
f(x) y g(x) se dicen del mismo orden para x → a, a finito, si en
algún entorno reducido de a se verifica
K1 <
∣∣∣∣
f(x)
g(x)
∣∣∣∣ < K2, K1 > 0.
3 Funciones reales de variable real 33
Si limx→a
∣∣∣f(x)
g(x)
∣∣∣ = b > 0, entonces f(x) y g(x) son del mismo orden para x → a.
f(x) y g(x) son del mismo orden para x → +∞ si para todo x
mayor que un valor fijo es
K1 <
∣∣∣∣
f(x)
g(x)
∣∣∣∣ < K2, K1 > 0.
Como ejemplo comparemos sen x y x para x → 0. El ĺımite del cociente sen x/x
es en principio indeterminado, del tipo 0/0. Vamos a resolver la indetermi-
nación probando que lim sen x/x = 1. Consideremos el cuarto de circunferencia
de radio 1, localizada en el primer cuadrante.
O P M
N
Q
x
Tenemos que sen x es la longitud del segmento PQ, tan x es la longitud del
segmento MN y x es la longitud del arco QM , que es mayor que la longitud
del segmento QP . Luego sigue que
senx < x < tan x.
Por consiguiente
1 < x/senx < 1/ cos x,
1 > senx/x > cos x,
0 < 1− senx/x < 1− cos x.
3 Funciones reales de variable real 34
Si aceptamos que 1− cos x → 0 cuando x → 0+ sigue que también 1− senx/x
tiende a 0 y por lo tanto sen x/x → 1 cuando x → 0+.
Si no sabemos cuál es el ĺımite de 1− cos x, ponemos 1− cos x = 2sen2 (x/2) y
usando otra vez la primera relación de desigualdades sigue que 2sen2 (x/2) <
x2/2 y obtenemos
0 < 1− senx/x < x2/2,
y ahora está claro que 1− senx/x queda comprendido entre dos funciones que
tienden a 0 cuando x → 0+. Dado que sen x/x es una expresión par se obtiene
que
lim
x→0
senx/x = 1.
De esta manera, sen x y x son cantidades equivalentes para x → 0.
4 Funciones continuas
Sea f : A 7→ R una función y sea c ∈ A.
f se dice continua en c si cada vez que lim xn = c, xn ∈ A, es
lim f(xn) = f(c) para n →∞.
Si limx→c+ f(x) = f(c), entonces f se dice continua por la derecha
en c.
Si limx→c− f(x) = f(c), entonces f se dice continua por la izquierda
en c.
Una función se dice continua en un subconjunto de su dominio si
es continua en todos los puntos de ese subconjunto.
Cuando una función no es continua en c, entonces se dice discontinua en c.
Los distintos casos de discontinuidad en c son los siguientes:
(a) Discontinuidad evitable Existe limx→c f(x), es finito, pero no coincide
con f(c).
Ejemplo (Todos los ejemplos son en c = 0)
f : R 7→ R, f(x) = sig2 (x).
(b) Discontinuidad de tipo infinito Existe limx→c f(x), pero con valor in-
finito, con el mismo signo.
Ejemplo
f : R 7→ R, f(x) =
{
1/x2 si x 6= 0
0 si x = 0.
(c) Discontinuidad de salto finito Existen los dos ĺımites laterales, finitos,
pero son distintos.
Ejemplo
f : R 7→ R, f(x) =
{
1+e1/x
1−e1/x si x 6= 0
0 si x = 0.
(d) Discontinuidad de salto infinito Existen los dos ĺımites laterales, uno
de ellos finito y el otro infinito, o bien los dos infinitos con distinto signo.
35
4 Funciones continuas 36
Ejemplos
f : R 7→ R, f(x) =
{
e1/x si x 6= 0
0 si x = 0.
f : R 7→ R, f(x) =
{
1/x si x 6= 0
0 si x = 0.
(e) Discontinuidad de segunda especie No existe al menos uno de los dos
ĺımites laterales.
Ejemplo
f : R 7→ R, f(x) =
{
sen (1/x) si x 6= 0
0 si x = 0.
Si f y g son funcionesdefinidas en A, continuas en c ∈ A, entonces
• f + g es continua en c,
• fg es continua en c,
• f/g es continua en c si g(c) 6= 0.
• La composición f ◦ g es continua en c si f es continua en g(c) y g es
continua en c (no es necesario que f sea continua en c).
Todas estas afirmaciones son consecuencia inmediata de la definición de con-
tinuidad y de la definición de ĺımite de sucesiones.
Por ejemplo, probemos la última de ellas. Sea xn → c para n →∞. Como
g es continua en c sigue que g(xn) → g(c), y como f es continua en g(c) sigue
que f(g(xn)) → f(g(c)). Esto es, (f ◦ g)(xn) → (f ◦ g)(c) para n →∞.
Las siguientes funciones son continuas en todo su campo de definición:
Polinomios, funciones racionales, potencias, exponenciales y sus inversas (fun-
ciones logaŕıtmicas), funciones circulares y sus inversas, cuando éstas existen,
funciones hiperbólicas y sus inversas, la función valor absoluto f(x) = |x|. La
función sig (x) es continua en todo x 6= 0, donde tiene una discontinuidad de
salto finito.
Continuidad en un intervalo cerrado y acotado
Sea f : A 7→ R, donde f es continua en A, intervalo cerrado y acotado
(intervalo compacto). Veremos algunas propiedades de una tal función.
4 Funciones continuas 37
Definición c ∈ A se dice un cero de f si f(c) = 0.
Teorema de Bolzano Si a, b ∈ A, a < b, y f(a)f(b) < 0, entonces existe un
cero de f entre a y b.
Demostración: Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0. El caso opuesto se
prueba análogamente. Consideremos el conjunto B = {x ∈ A : f(x) < 0}.
B 6= ∅ porque a ∈ B. Sea c = sup B, es decir c es la menor de las cotas
superiores de B. Veamos que f(c) = 0. En efecto, f(c) no puede ser positivo
porque si aśı fuera existiŕıa un entorno de c donde f es positiva en todos los
puntos de ese entorno y por lo tanto c no seŕıa el supremo de B. Aqúı estamos
usando la continuidad de f . Análogamente se muestra que f(c) no puede ser
negativo.
El Teorema de Bolzano tiene la utilidad práctica de permitir calcular (aprox-
imadamente) ceros de funciones continuas. Consideremos una función continua
f tal que, por ejemplo, f(a) < 0, f(b) > 0. Sea x1 el punto medio entre a y b, es
decir x1 = [a + b]/2. Si f(x1) = 0 entonces ya hemos calculado (exactamente)
un cero de f . Si, por ejemplo, f(x1) > 0, entonces consideremos el intervalo
[a, x1] y su punto medio x2 = [a + x1]/2. (Si f(x1) < 0 entonces hubiéramos
considerado el intervalo [x1, b]). Como f(a) < 0 y f(x1) > 0, por el Teorema
de Bolzano debe existir un cero de f entre a y x1. Si f(x2) = 0 ya lo hemos
calculado exactamente. Si, por ejemplo, f(x2) < 0, entonces consideramos
ahora el intervalo [x2, x1], donde f tiene distinto signo en sus extremos. Se
calcula su punto medio y se continúa este procedimiento de la misma forma.
La longitud del intervalo inicial es b − a, la del segundo es [b − a]/2, la del
tercero [b − a]/4, · · ·, la del enésimo intervalo es [b − a]/2n−1, expresión que
tiende a cero cuando n →∞. Como dentro de estos intervalos debe haber un
cero de f , podemos aśı calcular este cero con un error pequeño.
Como consecuencia del Teorema de Bolzano sigue que si una función es
continua en [a, b] entonces toma cualquier valor comprendido entre f(a) y
f(b).
En efecto, supongamos que f(a) < f(b) y sea η tal que f(a) < η < f(b).
Consideremos la función continua f(x)−η = g(x). Luego g(a) < 0 y g(b) > 0.
Por lo tanto, por el Teorema de Bolzano sigue que existe c, a < c < b, tal que
g(c) = 0, o sea f(c) = η.
4 Funciones continuas 38
Llamemos C a la imagen de la función continua f : [a, b] 7→ R, es decir
C = {f(x) : x ∈ [a, b]}. Supongamos que f(a) < f(b). El resultado anterior se
expresa también aśı: [f(a), f(b)] ⊂ C. Más aún, podemos decir que el conjunto
imagen C es también un intervalo cerrado y acotado. Que es un intervalo sigue
como consecuencia del resultado anterior: Cada vez que en C hay dos puntos
distintos también están en C todos los puntos intermedios.
Veamos que C es cerrado. Recordemos que un conjunto cerrado es aquél
que contiene a sus puntos de acumulación. Sea y un punto de acumulación de
C. Significa que existe una sucesión de puntos yn ∈ C que converge a y. Por
estar yn en C es de la forma yn = f(xn) para xn ∈ [a, b]. Veamos que la sucesión
{xn} tiene una subsucesión convergente. Si los valores numéricos de xn son en
número finito esto es evidente. Si el conjunto de valores numéricos xn es infinito
entonces, como está acotado, tiene un punto de acumulación, digamos c. De
aqúı existe una subsucesión xni
, xni
→ c. Como [a, b] es cerrado, c ∈ [a, b].
Como f es continua, f(xni
) → f(c), pero f(xni
) es subsucesión de f(xn) y
sabemos que toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente al
mismo ĺımite. Por lo tanto f(xni
) → y y de aqúı y = f(c), es decir y ∈ C.
La prueba de que C es acotado se hace con argumentos similares. Supon-
gamos que C no es acotado superiormente. Luego existe una sucesión {yn},
yn en C, yn → +∞. Sea xn ∈ [a, b] tal que f(xn) = yn. Como se probó
anteriormente, {xn} tiene una subsucesión convergente, xni
→ c ∈ [a, b]. Pero
f(xni
) = yni
→ +∞, por lo que f no seŕıa continua en c, contradicción que
proviene de suponer que C no es acotado.
En ambas partes de la demostración se ha usado el siguiente hecho:
Si {xn} es una sucesión acotada entonces tiene una subsucesión
convergente.
Este hecho es equivalente al siguiente principio:
Un conjunto acotado de infinitos puntos tiene al menos un punto
de acumulación.
Como la imagen de una función continua con dominio en un intervalo cer-
rado y acotado es también un intervalo cerrado y acotado tenemos que habrá
4 Funciones continuas 39
un valor máximo y un valor mı́nimo de la función. Los correspondientes puntos
del dominio donde se toman el valor máximo y mı́nimo de la función se lla-
man, respectivamente, máximos absolutos y mı́nimos absolutos de la función.
Hemos probado aśı el llamado
Teorema de Bolzano Weierstrass Toda función continua con dominio en
un intervalo cerrado y acotado tiene máximo y mı́nimo absolutos, es decir
puntos del dominio donde se toma, respectivamente, el valor máximo y el valor
mı́nimo de la función.
Definición Una función f se dice uniformemente continua en un intervalo A
si dado ε > 0, arbitrario, existe δ > 0, que depende de ε, tal que, si |x1−x2| <
δ, x1, x2 ∈ A, vale que |f(x1)− f(x2)| < ε.
Si f es uniformemente continua en A entonces es continua en A, es decir
en cada punto de A. El hecho rećıproco no es cierto en general:
Una función puede ser continua en A y no ser uniformemente continua en A.
No obstante, si A es un intervalo cerrado y acotado śı vale esta afirmación. Es
el llamado
Teorema de Heine Cantor Si f es continua en un intervalo cerrado y aco-
tado A, entonces es uniformemente continua en A.
La demostración de este Teorema se basa también en el principio de que
toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Los siguientes ejem-
plos muestran que los Teoremas de Bolzano Weierstrass y de Heine Cantor no
valen si f no es continua o si su dominio no es cerrado y acotado.
Ejemplos
1)
f : [−1, 1] 7→ R, f(x) =
{
1/x2 si x 6= 0
0 si x = 0.
El dominio es un intervalo cerrado y acotado pero f no es continua. No valen
ninguno de los dos Teoremas.
2)
f : (0, 1] 7→ R, f(x) = 1/x.
La función f es continua pero su dominio es un intervalo no cerrado. No valen
ninguno de los dos Teoremas.
5 Derivada y sus aplicaciones
Sea f una función definida en un intervalo A y sea a un punto interior a A. Se
define la derivada de f en c, que se simboliza f ′(c), al siguiente ĺımite, cuando
éste existe:
lim
h→0
f(c + h)− f(c)
h
.
La expresión sobre la que se toma ĺımite se llama cociente incremental de f
en c y es una función de h. Como c es un punto interior a A, el cociente
incremental está definido en un entorno reducido de 0, es decir es una función
de h definida en un entornoreducido de 0 y por lo tanto se puede en principio
tomar ĺımite para h → 0.
Ejemplos
1) f : A 7→ R, f función constante, o sea f(x) = M para todo x ∈ A.
Es
f(c + h)− f(c)
h
=
M −M
h
= 0
y por lo tanto f ′(c) = 0.
2) f : A 7→ R, f(x) = x.
Es
f(c + h)− f(c)
h
=
c + h− c
h
= 1
y por consiguiente f ′(c) = 1.
3) f : A 7→ R, f(x) = x2.
Es
f(c + h)− f(c)
h
=
(c + h)2 − c2
h
=
2ch + h2
h
= 2c + h.
Luego f ′(c) = limh→0(2c + h) = 2c.
4) f : A 7→ R, f(x) = ln x.
Es
f(c + h)− f(c)
h
=
ln(c + h)− ln c
h
= (1/h) ln
c + h
c
= ln(1 + h/c)1/h.
Cuando h → 0, 1/h →∞ y 1 + h/c → 1. Luego (1 + h/c)1/h → e1/c. De aqúı
sigue que ln(1 + h/c)1/h → 1/c y luego f ′(c) = 1/c.
40
5 Derivada y sus aplicaciones 41
Interpretación geométrica de la derivada
Si f ′(c) existe entonces también existe la recta tangente a la gráfica de la
función en c, y f ′(c) es la pendiente de esa recta tangente.
Si existe
lim
h→0+
f(c + h)− f(c)
h
entonces este ĺımite se llama derivada lateral por derecha en c y se denota
f ′(c+).
Análogamente se define
f ′(c−) = lim
h→0−
f(c + h)− f(c)
h
.
Si existen ambas derivadas laterales y sus valores coinciden, entonces existe
la derivada en el punto. En este caso f se dice derivable en el punto. Puede
ocurrir que ambas derivadas laterales existan, con valores distintos. Por ejem-
plo,
f : (−1, 1) 7→ R, f(x) = |x|.
Es
lim
h→0+
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0+
|h|
h
= 1,
lim
h→0−
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0−
|h|
h
= −1.
Puede darse que
lim
h→0+
f(c + h)− f(c)
h
= lim
h→0−
f(c + h)− f(c)
h
= +∞,
o bien que ambos ĺımites sean −∞. En este caso la función f no es derivable
en c aunque existe la recta tangente en c, que es una recta vertical. Por
ejemplo,
f : R 7→ R, f(x) = x1/3. Es
lim
h→0+
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0+
h1/3
h
= lim
h→0+
h−2/3 = +∞
y
lim
h→0−
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0−
h1/3
h
= lim
h→0−
h−2/3 = +∞.
Si ambas derivadas laterales dan ∞, con distinto signo en c, entonces c recibe
el nombre de punto cuspidal.
5 Derivada y sus aplicaciones 42
Ejemplo
f : R 7→ R, f(x) = x2/3. Es
lim
h→0+
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0+
h2/3
h
= lim
h→0+
h−1/3 = +∞,
lim
h→0−
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0−
h2/3
h
= lim
h→0−
h−1/3 = −∞.
Si las dos derivadas laterales existen con valor finito en c (no necesariamente
iguales) entonces la función es continua en c. En efecto,
limh→0+ [f(c + h)− f(c)] =
lim
h→0+
f(c + h)− f(c)
h
h = lim
h→0+
f(c + h)− f(c)
h
lim
h→0+
h = 0.
Vale lo análogo para limh→0− [f(c + h)− f(c)]. Luego
lim
h→0
[f(c + h)− f(c)] = 0,
es decir
lim
h→0
f(c + h) = f(c).
Si ponemos x = c+h, esto se escribe limx→c f(x) = f(c), que es la continuidad
de f en c.
Observar que en realidad para obtener la continuidad de f en c bastaŕıa
con que el cociente incremental estuviera acotado en un entorno reducido de
cero.
De esta manera la derivabilidad en un punto implica la continuidad en ese
punto. El hecho rećıproco no es cierto en general. Existen ejemplos de fun-
ciones continuas que no son derivables en ningún punto de su dominio.
Si f es una función derivable en todo punto interior a A entonces podemos
considerar la función derivada
f ′ : A 7→ R,
que asigna a cada x ∈ A el valor de la derivada de f en x, f ′(x).
Ejemplos
(1) f : R 7→ R, f(x) = x2. Función derivada: f ′(x) = 2x.
(2) f : (0,∞) 7→ R, f(x) = ln x. Función derivada: f ′(x) = 1/x.
5 Derivada y sus aplicaciones 43
Con el valor de la derivada de una función en un punto podemos construir
la recta tangente a la curva gráfica de la función en ese punto.
Ejemplo Determinar la recta tangente a la curva gráfica de la expresión f(x) =
x2 en el punto x = 1.
Tenemos que f(1) = 12 = 1, f ′(1) = 2(1) = 2. Luego la recta tangente es la
que pasa por el punto del plano (1,1) y tiene pendiente 2. La ecuación de esta
recta es y − 1 = 2(x− 1), o bien y = 2x− 1.
La llamada recta normal es en general aquélla que pasa por el punto
considerado y es perpendicular a la recta tangente. Luego su pendiente es
el opuesto del inverso de la pendiente de la recta tangente. En el ejemplo
anterior esta recta es (y − 1) = −1/2(x− 1), o bien y = −1/2x + 3/2.
0.5 1 1.5 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
Recta tangente y recta normal (en trazo discontinuo)
Sea f : A 7→ R, f derivable en todo punto interior a A. Sea a un número
fijo y consideremos la función
af : A 7→ R, (af)(x) = af(x).
Derivemos por definición esta función en un punto c del interior de A. Es
lim
h→0
af(c + h)− af(c)
h
= a lim
h→0
f(c + h)− f(c)
h
= af ′(c).
Sigue que (af)′(x) = af ′(x) para todo x ∈ A.
5 Derivada y sus aplicaciones 44
Sea g : A 7→ R, también derivable en todo punto interior a A. Calculemos
la derivada de la función suma
f + g : A 7→ R, (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Es
lim
h→0
f(c + h) + g(c + h)− f(c)− g(c)
h
=
lim
h→0
[
f(c + h)− f(c)
h
+
g(c + h)− g(c)
h
]
=
lim
h→0
f(c + h)− f(c)
h
+ lim
h→0
g(c + h)− g(c)
h
=
f ′(c) + g′(c).
Luego
(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)
para todo x perteneciente al interior de A. En resumen, la derivada de una
constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.
La derivada de una suma es la suma de las derivadas. Esta propiedad de la
derivada se expresa aśı:
La aplicación que asigna a una función su función derivada es lineal.
Más aún, la derivada de una combinación lineal de funciones es la combinación
lineal de las funciones derivadas:
(a1f1 + a2f2 + · · ·+ anfn)′ = a1f
′
1 + a2f
′
2 + · · ·+ anf ′n,
donde a1, a2, · · · , an, son constantes fijas, y f1, f2, · · · , fn, son funciones deri-
vables definidas en un mismo dominio.
Ahora vamos a calcular la derivada de una composición de funciones,
(f ◦ g)′(x), donde g : A 7→ R, f : B 7→ R.
Suponemos que la composición está bien definida, esto es g(A) ⊂ B. Tenemos
que
lim
h→0
f(g(c + h))− f(g(c))
h
= lim
h→0
[
f(g(c + h))− f(g(c))
g(c + h)− g(c)
g(c + h)− g(c)
h
]
.
5 Derivada y sus aplicaciones 45
Como f es derivable en g(c) y ϕ(h) := g(c + h) − g(c) → 0 cuando h → 0,
sigue que
lim
h→0
f(g(c) + ϕ(h))− f(g(c))
ϕ(h)
= f ′(g(c)).
Por otra parte
lim
h→0
g(c + h)− g(c)
h
= g′(c).
Finalmente, como el ĺımite de un producto es el producto de los ĺımites, se
obtiene que
(f ◦ g)′(c) = f ′(g(c))g′(c).
Observar que al dividir y multiplicar por g(c+h)− g(c) en la expresión inicial
debe suponerse que ϕ(h) = g(c+h)−g(c) 6= 0 para h pequeño, h 6= 0. Empero,
el resultado final es válido también en el caso ϕ(h) = 0. En efecto, si hay una
sucesión hn → 0 para la cual ϕ(hn) = 0, entonces, como g es derivable en c,
debe ser g′(c) = 0.
A continuación vamos a usar este último resultado, junto con la expresión
conocida de la derivada del logaritmo neperiano, para obtener derivadas de
otras funciones, aśı como la derivada del producto y cociente de dos funciones.
Comencemos por calcular la derivada del producto de dos funciones derivables,
f y g. Consideremos la composición ln(fg)(x). De acuerdo con la regla de la
derivada de una composición de funciones tenemos que
[ln(fg)(x)]′ =
1
(fg)(x)
(fg)′(x).
Por otra parte
ln(fg)(x) = ln f(x) + ln g(x)
y luego
[ln(fg)(x)]′ = [ln f(x)]′ + [ln g(x)]′ =
1
f(x)
f ′(x) +
1
g(x)
g′(x).
Igualando ambos resultados se obtiene
(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
La derivada de un cociente se trata de forma análoga. Por un lado tenemos
que
[ln(f(x)/g(x)]′ =
g(x)
f(x)
(
f(x)
g(x)
)′
.
5 Derivada y sus aplicaciones 46
Por otro lado [ln(f(x)/g(x))]′ =
[ln f(x)− ln g(x)]′ = [ln f(x)]′ − [ln g(x)]′ =
f ′(x)
f(x)
− g′(x)
g(x)
.
Igualando ambos resultados se obtiene
(
f(x)
g(x)
)′
=
f ′(x)
g(x)
− f(x)
g2(x)
g′(x) =
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
g2(x)
.
Derivadas de las funciones potencial y expo-
nencial
Consideremos la función
fp : (0,∞) 7→ (0,∞), fp(x) = xp, p ∈ R.
Tomando logaritmo neperiano queda ln fp(x) = p ln x, y derivando,
f ′p(x)/fp(x) = p/x.
Por lo tanto
f ′p(x) = pfp(x)/x= pxp−1.
Observar que para p ≥ 1 la función potencial se puede definir en x = 0, fp(0) =
0. Derivando directamente en el punto x = 0 se obtiene que la fórmula anterior
es válida también en este punto: f ′1(0) = 1, f ′p(0) = 0 si p > 1. Sea ahora la
función
f : R 7→ (0,∞), f(x) = ax, a > 0.
Tenemos que ln f(x) = x ln a, y luego f ′(x)/f(x) = ln a,
f ′(x) = ln af(x) = (ln a)ax.
En particular, si a = e queda (ex)′ = ex.
Derivada de las funciones circulares
La derivada de la función
f : R 7→ [−1, 1], f(x) = senx,
5 Derivada y sus aplicaciones 47
se calcula directamente por la definición:
f ′(x) = lim
h→0
sen (x + h)− senh
h
.
Usando que sen (x + h) = senx cos h + senh cos x, el cociente incremental se
escribe
cos x
senh
h
+
senx[cos h− 1]
h
.
Por otra parte cos h− 1 = −2sen 2(h/2). Al tomar ĺımite para h → 0 queda
lim
h→0
senh
h
= 1,
lim
h→0
−2sen 2(h/2)
h
= lim
h→0
−sen (h/2)
h/2
sen (h/2) = 0.
Luego
(senx)′ = cos x.
La derivada de la función f(x) : R 7→ [−1, 1], f(x) = cos x, se obtiene
rápidamente de la anterior observando que cos x = sen (π/2− x). Luego
(cos x)′ = cos(π/2− x)(−1) = −senx.
(tan x)′ =
(senx
cos x
)
=
cos2 x + sen 2x
cos2 x
=
1
cos2 x
.
(cot x)′ =
−1
sen 2x
.
Derivada de una función inversa
Sea f : A 7→ A una función biyectiva derivable, con función inversa derivable.
Como f(f−1(x)) = x, tenemos que (f ◦ f−1)′ = 1. Aplicando la fórmula de la
derivada de una composición de funciones, queda
f ′(f−1(x))(f−1(x))′ = 1,
y por lo tanto
(f−1(x))′ =
1
f ′(f−1(x))
.
Ejemplo Sea
f : [−π/2, π/2] 7→ [−1, 1], f(x) = senx.
Es
f−1 : [−1, 1] 7→ [−π/2, π/2], f−1(x) = arcsenx.
5 Derivada y sus aplicaciones 48
Luego
(arcsenx)′ =
1
cos(arcsenx)
.
Sea α = arcsenx. Tenemos que cos2 α = 1 − sen 2α, con −π/2 ≤ α ≤ π/2.
Como α ≥ 0 para estos valores de α, sigue que cos α = +
√
1− sen 2α, pero
senα = sen (arcsenx) = x. Luego
(arcsenx)′ =
1
+
√
1− x2
.
Como arcsen x + arccos x = π/2, sigue que (arcsenx)′ + (arccos x)′ = 0 y
por consiguiente
(arccos x)′ =
1
−√1− x2
.
De una forma similar se obtiene que
(arctan x)′ =
1
1 + x2
,
(arccotx)′ =
−1
1 + x2
.
Las derivadas de las funciones hiperbólicas y sus inversas son las siguientes:
(shx)′ = chx,
(chx)′ = shx,
(tghx)′ =
1
ch2 x
,
(arg shx)′ =
1√
x2 + 1
,
(arg chx)′ =
1√
x2 − 1
,
(arg tghx)′ =
1
1− x2
.
Si la función derivada f ′(x) es también derivable, su función derivada (f ′(x))′ es
la llamada derivada segunda de f , que se simboliza f ′′(x). Si f ′′(x) es derivable
entonces su función derivada f ′′′(x) es la derivada tercera de f . De esta manera
se obtienen las derivadas sucesivas de f , mientras éstas sean derivables.
5 Derivada y sus aplicaciones 49
5.1 Variación de las funciones
Cuando una función es derivable, su derivadas sucesivas permiten conocer su
comportamiento, en cuanto a crecimiento, extremos, concavidad, etcétera.
Si en un punto a interior al dominio de una función derivable f es
f ′(a) > 0 entonces f es estrictamente creciente en a.
Si f ′(a) < 0 entonces f es estrictamente decreciente en a.
Esto sigue como consecuencia directa de la definición de derivada y propiedades
del ĺımite.
Si f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0) en todo punto x interior a un intervalo
entonces f es estrictamente creciente (estrictamente decreciente)
en ese intervalo.
Ejemplos
1)
f : (0,∞) 7→ R, f(x) = ln x.
Es
f ′(x) = 1/x para todo x ∈ (0,∞).
Luego la función logaŕıtmica es estrictamente creciente en todo su dominio.
2)
f : (0,∞) 7→ (0,∞), f(x) = 1/x.
Es
f ′(x) = −1/x2, que es negativo para todo x ∈ (0,∞).
Luego esta función es estrictamente decreciente en todo su dominio.
Si f está definida en un intervalo y a es un punto interior a ese
intervalo entonces se dice que a es un mı́nimo relativo de f si existe
un entorno (a− δ, a + δ) contenido en el intervalo, tal que
f(x) ≥ f(a) si a− δ < x < a + δ.
El punto a es un máximo relativo de f si f(x) ≤ f(a) para x en
ese entorno.
5 Derivada y sus aplicaciones 50
Los máximos y mı́nimos relativos se llaman en general extremos relativos y se
dicen estrictos si las desigualdades anteriores valen estrictamente.
Si f es derivable en a y a es un extremo relativo de f entonces f ′(a) = 0, ya
que en a, f no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente. Esta
es una condición necesaria pero no suficiente para la existencia de un extremo
relativo. Por ejemplo, si f(x) = x3, f ′(0) = 0, pero f es estrictamente creciente
en 0.
Si f es derivable en un entorno reducido de a,
(a− δ) ∪ (a + δ),
entonces una condición suficiente para que a sea un mı́nimo relativo
estricto es que
f ′(x) < 0 si x ∈ (a− δ, a) y f ′(x) > 0 si x ∈ (a, a + δ).
Análogamente,
si f ′(x) > 0 para x ∈ (a − δ, a) y f ′(x) < 0 para x ∈ (a, a + δ)
entonces a es un máximo relativo estricto.
Ejemplos
1)
f : [−1, 1] 7→ R, f(x) = |x|.
f no es derivable en 0 pero f ′(x) = 1 > 0 si x ∈ (0, 1) y f ′(x) = −1 < 0 si
x ∈ (−1, 0).
Luego 0 es mı́nimo relativo estricto.
2)
f : [−1, 1] 7→ R, f(x) = 1− |x|.
f ′(x) = −1 < 0 si x ∈ (0, 1) y f ′(x) = 1 > 0 si x ∈ (−1, 0). Luego 0 es máximo
relativo estricto. En ninguno de los dos ejemplos la función es derivable en 0.
De todo esto sigue que para analizar el crecimiento y la existencia de
extremos relativos de una función derivable se debe estudiar el signo de su
derivada.
Ejemplo
f : R 7→ R, f(x) = 3x4 − 4x3.
5 Derivada y sus aplicaciones 51
Es f ′(x) = 12x2(x − 1), f ′(0) = 0, f ′(1) = 0. La función derivada se anula
sólo en 0 y en 1, y por lo tanto estos puntos son los únicos candidatos a ser
extremos relativos. Vemos que f ′(x) < 0 para x ∈ (−1, 1) \ {0}, luego 0 no es
extremo relativo, sino que alĺı f es estrictamente decreciente. Por otra parte,
f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 1) y f ′(x) > 0 para x ∈ (1,∞). Luego 1 es mı́nimo
relativo estricto. Por consiguiente esta función es estrictamente decreciente en
(−∞, 1) y estrictamente creciente en (1,∞), siendo por lo tanto 1 un mı́nimo
estricto relativo y absoluto.
Mediante la derivada segunda se estudia la concavidad de la curva gráfica
de una función f . Observar que la existencia de f ′′(a) implica la existencia de
f ′(x) para todo x en un entorno de a. Como f ′′(x) es la derivada primera de
f ′(x), sigue que el análisis que se hizo para f y f ′ vale análogamente para f ′ y
f ′′. Aśı, si f ′′(a) > 0 entonces f ′ es estrictamente creciente en a y si f ′′(a) < 0
entonces f ′ es estrictamente decreciente en a. En particular, si f ′(a) = 0 y
f ′′(a) > 0 entonces, al ser f ′(x) estrictamente creciente en a, pasa de negativa
a positiva en a y por lo tanto a es un mı́nimo relativo de f . Análogamente, si
f ′(a) = 0 y f ′′(a) < 0 entonces a es un máximo relativo de f .
Si f ′′(a) = 0 entonces f ′ no es estrictamente creciente ni estrictamente
decreciente en a. Quiere decir que si a es un extremo relativo de f ′ y existe
f ′′(a) entonces necesariamente debe ser f ′′(a) = 0.
Si f ′′(x) cambia de signo en un entorno de a entonces a es un extremo rela-
tivo de f ′. Los extremos relativos de f ′ son los llamados puntos de inflexión
de f . En ellos se produce por lo tanto un cambio de concavidad de f . Aśı
como el cambio de signo de f ′ en a indica la presencia de un extremo relativo
de f , un cambio de signo de f ′′ en a indica que a es punto de inflexión de f ,
aunque f ′′(a) no exista.
Ejemplo
f : [−1, 1] 7→ R, f(x) = x2 sigx.
Es
f ′ : [−1, 1] 7→ R, f ′(x) = |2x|,
f ′′ : [−1, 1] \ {0} 7→ R, f ′′(x) = 2 si x > 0, f ′′(x) = −2 si x < 0.
0 es punto de inflexión de f aunque f ′′ no es derivable en 0. El origen es
mı́nimo relativo (y absoluto) de f ′.
5 Derivada y sus aplicaciones 52
Cuando existen f ′′(a) y f ′′′(a), y f ′′(a) = 0, f ′′(a) 6= 0, entonces a es un
punto de inflexión de f . Consideremos otra vez el siguiente
Ejemplo
f : R 7→ R, f(x) = 3x4 − 4x3.
Tenemos que f ′(x) = 12x2(x− 1), f ′′(x) = 12x(3x− 2).
f ′ se anula sólamente en 0 y en 1. Luegoéstos son los únicos puntos que pueden
ser extremos relativos de f . Vemos que en un entorno de 0, f ′(x) ≤ 0 y luego, al
no cambiar de signo f ′ en el punto 0, el origen no es extremo relativo de f sino
que la función es alĺı estrictamente decreciente. En cambio, f ′ cambia de signo
en un entorno de 1, pasando de negativa a positiva. Por lo tanto 1 es mı́nimo
relativo (y también absoluto en este caso). f es estrictamente decreciente en
(−∞, 1) y estrictamente creciente en (1,∞). f ′′ se anula en 0 y 2/3, sólamente.
Vemos que f ′′(x) < 0 en (0,2/3) y f ′′(x) > 0 en (−∞, 0) ∪ (2/3,∞). Luego
tiene concavidad negativa en el primer intervalo y concavidad positiva en los
dos últimos intervalos, siendo por lo tanto 0 y 2/3 puntos de inflexión de f .
5.2 Representación paramétrica
Sea f : [a, b] 7→ R. La gráfica de f puede representarse mediante una curva en
el plano. Esta curva también puede representarse a través de un “parámetro”
t, que toma valores en un intervalo [ta, tb], de la forma siguiente
x = α(t)
y = β(t),
de manera que un punto cualquiera de la curva se corresponde con un único
valor de t en [ta, tb]. El punto extremo (a, f(a)) se corresponde con ta, es decir
a = α(ta)
f(a) = β(ta)
y el otro punto extremo (b, f(b)) se corresponde con tb,
b = α(tb)
f(b) = β(tb).
De esta manera la función α : [ta, tb] 7→ [a, b] tiene función inversa
α−1 : [a, b] 7→ [ta, tb].
5 Derivada y sus aplicaciones 53
Dada una función en forma expĺıcita existe una representación paramétrica
trivial, a saber la que resulta de considerar a la misma variable independiente
x como parámetro t:
x = x
y = f(x),
donde x ∈ [a, b].
Pero por supuesto existen otras representaciones paramétricas no triviales.
Ejemplo
x = sen t
y = cos t,
t ∈ [−π/2, π/2].
Como x2 + y2 = 1, esta curva es una semicircunferencia superior de radio 1,
correspondiente a la gráfica de la función
f : [−1, 1] 7→ R, f(x) = +
√
1− x2.
Supongamos ahora que f es derivable. Encontraremos la expresión de f ′
en términos de las funciones x = α(t), y = β(t). Tenemos que y = f(x) =
f(α(t)) = β(t). Luego β′(t) = f ′(α(t))α′(t) = f ′(x)α′(t). Por lo tanto
f ′(x) =
β′(t)
α′(t)
,
donde x y t están relacionados mediante x = α(t). En el ejemplo anterior
f ′(x) =
−sen t
cos t
= − tan t,
donde x = sen t.
5.3 Teoremas del valor medio
Teorema de Rolle Sea f : [a, b] 7→ R, f continua en [a, b] y derivable en
(a, b), f(a) = f(b) = 0. Entonces existe un punto c ∈ (a, b) donde f ′(c) = 0.
Demostración: Si f ≡ 0 entonces f ′ ≡ 0 en (a, b) y el teorema es trivial.
Por lo tanto supongamos que f no es idénticamente nula en [a, b]. Como f
5 Derivada y sus aplicaciones 54
es continua, por el Teorema de Bolzano Weierstrass existen un máximo y un
mı́nimo absolutos de f en [a, b]. Como los valores máximo y mı́nimo de f no
pueden ser simultáneamente nulos, sigue que f debe tener un extremo absoluto
c en (a, b) y por lo tanto c es también extremo relativo. Luego f ′(c) = 0.
Teorema de Lagrange Sea f : [a, b] 7→ R continua en [a, b] y derivable en
(a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a)
b− a
= f ′(c).
Demostración. La recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) tiene por
ecuación
y =
f(b)− f(a)
b− a
(x− a) + f(a).
Consideremos la función g : [a, b] 7→ R,
g(x) = f(x)− f(b)− f(a)
b− a
(x− a)− f(a).
g es continua en [a, b] y derivable en [a, b]. Además g(a) = g(b) = 0. Luego
por el Teorema de Rolle existe c ∈ (a, b) tal que g′(c) = 0. Pero
g′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)
b− a
.
De aqúı la tesis del teorema sigue inmediatamente.
Interpretación geométrica del Teorema de Lagrange
Una importante consecuencia del teorema de Lagrange es la siguiente:
Si f : [a, b] 7→ R tiene derivada nula en todo c ∈ (a, b) entonces f
es necesariamente una función constante.
5 Derivada y sus aplicaciones 55
En efecto, si en algún x ∈ (a, b) fuera f(x) 6= f(a) entonces existiŕıa c ∈ (a, x)
donde f ′(c) =
f(x)−f(a)
x−a
6= 0.
Ahora veamos una generalización del teorema de Lagrange. Volviendo a
la representación paramétrica, puede decirse que ésta permite describir curvas
en el plano que no son necesariamente gráficas de una función. Por ejemplo,
la circunferencia completa se describe mediante
x = sen t
y = cos t,
t ∈ [−π/2, 3π/2].
En general, unas ecuaciones
x = α(t)
y = β(t),
t ∈ [ta, tb] pueden describir, por ejemplo, una curva como ésta,
donde se indica el punto inicial, que también es el punto final y de paso inter-
medio, y donde las puntas de flecha indican el sentido de recorrido a medida
que aumentan los valores del parámetro t. En este caso, ni α(t) ni β(t) son
funciones biyectivas, aunque śı son continuas y más aún, derivables, si la curva
es “suave”, esto es, con recta tangente en todo punto interior de ella.
Si las derivadas α′(t), β′(t) no se anulan ni se hacen infinito simultánea-
mente, entonces el teorema de Lagrange sigue valiendo en este caso. Se lo
conoce como Teorema de Cauchy. Si la curva se puede partir en una cantidad
finita de sectores, donde en cada sector sea la gráfica de una función uniforme,
entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto t ∈ (ta, tb)
viene dada por β′(t)/α′(t). Por otra parte, los puntos extremos de la curva
5 Derivada y sus aplicaciones 56
son (α(ta), β(ta)) y (α(tb), β(tb)). Luego la pendiente de la cuerda que une esos
puntos es
β(tb)− β(ta)
α(tb)− α(ta)
.
Teorema de Cauchy Si α : [ta, tb] 7→ R, β : [ta, tb] 7→ R, son dos funciones
continuas, y derivables en (ta, tb), tales que sus derivadas no se anulan ni se
hacen infinito simultáneamente, entonces existe t0 ∈ (ta, tb) tal que
β(tb)− β(ta)
α(tb)− α(ta)
=
β′(t0)
α′(t0)
.
5.4 Ĺımites indeterminados
Cuando calculamos el ĺımite de un cociente f(x)/g(x) para x → a puede
darse que limx→a f(x) = 0 y limx→a g(x) = 0, en cuyo caso el ĺımite queda
indeterminado. Si f y g son derivables en a entonces también son continuas
en a y por lo tanto
lim
x→a
f(x) = f(a) = 0, lim
x→a
g(x) = g(a) = 0
y
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
, g′(a) = lim
x→a
g(x)− g(a)
x− a
.
Si además g′(a) 6= 0 entonces
f ′(a)
g′(a)
=
limx→a
f(x)−f(a)
x−a
limx→a
g(x)−g(a)
x−a
.
Por lo tanto el ĺımite ha quedado determinado.
Ejemplo
lim
x→0
senx
x
.
Ambas funciones son derivables en 0 y además g′(x) ≡ 1 6= 0. Luego ese ĺımite
es cos 0
1
= 1.
Si g′(a) = 0, esta regla no puede aplicarse. No obstante limx→a
f(x)
g(x)
puede
existir lo mismo. La siguiente regla es consecuencia del Teorema de Cauchy.
Si existe limx→a
f ′(x)
g′(x)
entonces este ĺımite es igual a limx→a
f(x)
g(x)
.
5 Derivada y sus aplicaciones 57
En efecto,
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
g(x)−g(a)
x−a
= lim
x→a
f ′(zx)
g′(zx)
.
Esta última igualdad es válida por el Teorema de Cauchy, pues
lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
g(x)−g(a)
x−a
= lim
x→a
f(x)− f(a)
g(x)− g(a)
= lim
x→a
f ′(zx)
g′(zx)
,
donde zx es un punto intermedio entre a y x y por lo tanto zx → a cuando
x → a. Como estamos suponiendo que limx→a
f ′(x)
g′(x)
existe, sigue que
lim
x→a
f ′(zx)
g′(zx)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
.
Puede ocurrir que también este último ĺımite quede indeterminado. En este
caso la regla puede reiterarse, suponiendo que existe limx→a
f ′′(x)
g′′(x)
.
Ejemplo
lim
x→0
x− senx
x3
= lim
x→0
1− cos x
3x2
= lim
x→0
senx
6x
=
cos 0
6
=
1
6
.
La aplicación de la regla se justifica yendo “de atrás hacia adelante” . Como
la derivada de la función y = 6x es 6 6= 0, la primera de las reglas enunciadas
dice que
lim
x→0
senx
6x
=
1
6
.
La segunda de las reglas enunciadas permite decir ahora que: Como
lim
x→0
senx
6x
existe, sigue que
lim
x→0
1− cos x
3x2
= lim
x→0
senx
6x
.
Como
lim
x→0
1− cos x
3x2
existe, sigue que
lim
x→0
1− cos x
3x2
= lim
x→0
x− senx
x3
.
Si limx→∞
f(x)
g(x)
queda indeterminado en la forma 0
0
entonces, haciendo el
cambio de variables x = 1/u, se tiene
lim
x→∞
f(x)