Series de Potências e Funções Complexas

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111 Análisis matemático para Ingeniería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
 
CAPÍTULO 3 
Series complejas 
El interés fundamental que se persigue en este capítulo es la 
representación de las funciones complejas por medio de series de potencias, lo 
que se puede conseguir si las funciones tienen buenas propiedades de 
regularidad. Como se podrá comprobar en este capítulo y en los capítulos 
siguientes, tanto las series de potencias como las series de Laurent tienen una 
importancia especial en la teoría de funciones de variable compleja, pues, por 
una parte toda función holomorfa en un punto admite un desarrollo en serie de 
potencias en dicho punto, es decir, es analítica en dicho punto, y por otra parte 
los coeficientes de la serie juegan un papel fundamental dentro de la teoría de 
integración compleja, lo que permite utilizar los desarrollos en series de Laurent 
en un punto singular para el cálculo de integrales. 
 En las secciones 1 y 2 de este capítulo se estudian el comportamiento y 
las propiedades de las sucesiones y series de números complejos y las 
sucesiones y series de funciones complejas. Para ello es conveniente revisar 
los conocimientos sobre sucesiones y series reales, con el fin de adaptarlos al 
campo complejo. Las definiciones, teoremas y consecuencias que se verifican 
en el caso de series reales se mantienen, pues el campo complejo se comporta 
de manera similar a ℜ2, ya que una sucesión de números complejos {zn}n∈N es 
igual a {xn + i⋅yn}n∈N, con lo cual basta estudiar las dos sucesiones de números 
112 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
reales {xn}n∈N e {yn}n∈N para analizar el comportamiento de la sucesión 
compleja {zn}n∈N
Dentro de las series de funciones tienen un interés especial las series de 
potencias, y esta es la razón por la que se estudian de manera específica en la 
sección 3. Las series de potencias definen, dentro de su disco de 
convergencia, funciones complejas con muy buenas propiedades de 
regularidad. Esto motiva el que se las considere como un grupo especial de 
funciones, que se denominan funciones analíticas, y su estudio se desarrolla en 
la sección 4. 
. Se presentan las definiciones de sucesión de números 
complejos y de funciones complejas, límite de una sucesión, convergencia de 
sucesiones, sucesiones de Cauchy y convergencia absoluta, así como las 
consecuencias que se derivan del hecho de que el plano complejo C sea un 
espacio métrico completo. Una serie infinita se define como el límite de la 
sucesión de las sumas parciales asociadas a la serie. Se introduce el concepto 
de convergencia uniforme y se analiza el dominio de convergencia en el plano 
complejo. 
Sin embargo, muchas de las funciones que se utilizan habitualmente no 
se pueden expresar como series de potencias en determinados puntos, debido 
a que en esos puntos presentan singularidades. Se plantea entonces la 
posibilidad de extender el concepto de serie de potencias a una situación más 
general, es decir a la representación de una función a través de sumas infinitas 
de series de potencias positivas y negativas. Esto da lugar a la utilización de 
las series de Laurent o series dobles, que se estudian en la última sección de 
este capítulo. 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 113 
3.1. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS 
COMPLEJOS 
Las sucesiones y series de números complejos se comportan de la misma 
forma que las sucesiones y series de números reales. Así, una sucesión de 
números complejos es un conjunto ordenado de números complejos {cn}n∈N, y, 
dada la sucesión de números complejos {cn}n∈N
∑
+∞
=1k
kc
, la serie asociada se 
representa de la forma . 
Definición 3.1.1: 
 La sucesión de números complejos {cn}n∈N es convergente y tiene como 
límite c si para todo ε > 0 existe un número natural m tal que para todo n > m 
los términos cn
Es decir, 
 de la sucesión están a una distancia de c menor o igual que ε. 
∞→n
lím cn = c ≡ ∀ε > 0 existe m ∈ N tal que ∀n > m, |cn
Se comprueba fácilmente el siguiente resultado: 
 – c| < ε. 
Proposición 3.1.1: 
Si cn = an + ibn
∞→n
lím
 y c = a + ib se tiene: 
cn
∞→n
lím = c ⇔ an
∞→n
lím = a y bn
Basta entonces estudiar el comportamiento de las sucesiones de números 
reales {a
 = b. 
n}n∈N y {bn}n∈N para analizar la convergencia de {cn}n∈N
Las definiciones, propiedades y operaciones de las sucesiones reales se 
. 
114 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
pueden así extender de manera automática al campo complejo. 
Definición 3.1.2: 
Una sucesión de números complejos {cn}n∈N es una sucesión de Cauchy 
si para cada ε > 0 existe m ∈ N tal que ∀n1, n2 > m, |cn1 – cn2
Como en el caso real se verifica: 
| < ε. 
Proposición 3.1.2: 
Sea {cn}n∈N
{c
 una sucesión de números complejos, entonces: 
n}n∈N es una sucesión de Cauchy ⇔ {cn}n∈N
La convergencia de una serie de números complejos se define como el 
límite de la sucesión de las sumas parciales de la serie. 
 es convergente. 
Definición 3.1.3: 
Dada una sucesión de números complejos {cn}n∈N
∑
+∞
=1k
kc
, se dice que la serie 
asociada es convergente si la sucesión de las sumas parciales Sn 
∑
=
n
k
kc
1
= 
 converge. Es decir: 
∑
+∞
=1k
kc = 
∞→n
lím Sn ∑
+∞
=nk
kc ≡ ∀ε > 0 existe m ∈ N tal que ∀n > m, | | < ε. 
Si una serie compleja no es convergente, se dice que es divergente. 
Si una serie converge y 
∞→n
lím Sn
∑
+∞
=1k
kc
 = S, se dice que S es el valor de la suma 
de la serie: = S. 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 115 
En función de su conveniencia, se utilizará también la notación ∑
+∞
=0k
kc , en 
la que el primer término de la serie se denomina c0
Se comprueba fácilmente el siguiente resultado: 
. 
Proposición 3.1.3: 
Sea {cn}n∈N una sucesión de números complejos tales que cn = an + ibn
∑
+∞
=1k
kc
. 
Entonces: converge ⇔ ∑
+∞
=1k
ka y ∑
+∞
=1k
kb convergen. 
De la misma forma que en el caso de las sucesiones, basta estudiar el 
comportamiento de las series de números reales ∑
+∞
=1k
ka y ∑
+∞
=1k
kb para analizar la 
convergencia de la serie compleja ∑
+∞
=1k
kc . Se pueden utilizar entonces los 
criterios de convergencia de series reales para analizar la convergencia de las 
series complejas. 
De este hecho se deduce de manera inmediata el siguiente resultado: 
Corolario 3.1.4: 
Una condición necesaria (no suficiente) para que la serie ∑
+∞
=1k
kc sea 
convergente es que 
∞→n
lím cn
Definición 3.1.4: 
 = 0. 
La serie ∑
+∞
=1k
kc es absolutamente convergente si la serie real de sus 
116 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
módulos ∑
+∞
=1k
kc converge. 
Si la serie ∑
+∞
=1k
kc es absolutamente convergente, como |ak| ≤ |ck| y |bk| ≤ 
|ck
∑
+∞
=1k
ka
|, el criterio de comparación de series reales asegura la convergencia de las 
series reales y ∑
+∞
=1k
kb , y como consecuencia de ello la convergencia de 
las series ∑
+∞
=1k
ka , ∑
+∞
=1k
kb y ∑
+∞
=1k
kc . Se deduce entonces, igual que en el caso real, 
que la convergencia absoluta de una serie compleja implica la convergencia de 
la serie. 
Dada una serie compleja ∑
+∞
=1k
kc se tienen entonces tres series reales 
asociadas a ella: 
∑
+∞
=1k
k )cRe( , ∑
+∞
=1k
k )cIm( y ∑
+∞
=1k
kc . 
Basta revisar las propiedades, los teoremas y los criterios de 
convergencia de las series reales para estudiar automáticamente los de las 
series complejas. Son de especial utilidad los criterios de la raíz y del cociente, 
que se enuncian a continuación: 
Proposición 3.1.5: Criterio de la raíz 
Sea {cn
|c|suplim n n
n ∞→
}, n ∈ N, una sucesión de números complejos, y sea L = 
. Si L es menor que 1 la serie ∑
+∞
=1n
nc converge absolutamente, y 
© M. MOLERO;A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 117 
si L es mayor que 1 la serie diverge. 
Se observa que en el caso en el que L sea igual a 1, el criterio no afirma 
nada, por lo que suele denominar el caso dudoso. 
Proposición 3.1.6: Criterio del cociente 
Sea {cn
n
n
n c
clim 1+
∞→
}, n ∈ N una sucesión de números complejos, y sea L = 
. Si L es menor que 1 la serie ∑
+∞
=1n
nc converge absolutamente, y si L es mayor 
que 1 la serie diverge. 
Se observa que en el caso en el que L sea igual a 1, el criterio no afirma 
nada, por lo que suele denominar el caso dudoso. 
Es interesante recordar que ambos criterios están estrechamente ligados 
entre sí, ya que si existe 
n
n
n c
clim 1+
∞→
 entonces también existe |c|lim n n
n ∞→
 y 
ambos coinciden. 
 
Ejemplos resueltos 
Ejemplo 3.1.1: Estudiar la convergencia de la sucesión cn
in
in
−
+ = . 
La sucesión cn se puede expresar como cn
)in)(in(
)in(
+−
+ 2
 = = 
1
1
2
2
+
−
n
n + 
1
2
2 +n
ni . 
118 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
La sucesión de números reales an
1
1
2
2
+
−
n
n = es convergente y tiende a 1, y 
la sucesión bn
1
2
2 +n
n = también es convergente y tiende a 0. Por tanto la 
sucesión cn
∞→n
lím es convergente y cn
Ejemplo 3.1.2: Estudiar la convergencia de la sucesión c
 = 1. 
n n
n i)(
2
21 −+ = . 
La parte real es la sucesión de números reales an n2
1 = , que converge a 
0. Pero la parte imaginaria bn n
n)(
2
2− = es una sucesión de números reales que 
no converge porque los términos pares de la sucesión tienden a 1 mientras que 
los impares tienden a −1. Por tanto, la sucesión cn
Ejemplo 3.1.3: Demostrar que la serie geométrica 
 no converge. 
∑
+∞
=0k
kc = ∑
+∞
=0k
kc , 
definida para un número complejo c fijado previamente, es absolutamente 
convergente si |c| < 1, y es divergente si |c| ≥ 1. 
En efecto, si 
Sn = 1 + c + c2 + … + cn 
cS
, multiplicando esta expresión por c se tiene: 
n = c + c2 + … + cn+1
Restando ambas expresiones: 
. 
Sn (c − 1) = cn+1 − 1, y por tanto Sn c
c n
−
− +
1
1 1
 = . 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 119 
Si |c| < 1, al hacer tender n a infinito ∑
+∞
=0k
kc = 
∞→n
lím Sn
c−1
1 = . 
Sin embargo, si |c| ≥ 1, la sucesión Sn
∞→n
lím
 es divergente, puesto que en este 
caso cn
Ejemplo 3.1.4: Estudiar la convergencia de la serie 
 no tiende a cero. 
∑
∞
=1n
n
n
i 
La serie ∑
∞
=1n
n
n
i = i − 
2
1 − 
3
i + 
4
1 + 
5
i − … = (− 
2
1 + 
4
1 −
6
1 + …) + i(1 −
3
1 
+ 
5
1 − 
7
1 + …). Se tiene entonces que ∑
∞
=1n
n
n
i = ∑
∞
=
−
1 2
1
n
n
n
)( + i ∑
∞
=
+
−
−
1
1
12
1
n
n
n
)( . 
Las partes real e imaginaria de la serie son series reales alternadas 
monótonas decrecientes y por tanto convergen. La serie ∑
∞
=1n
n
n
i es entonces 
convergente. Sin embargo no es absolutamente convergente ya que la serie 
∑
∞
=1n
n
n
i = ∑
∞
=1
1
n n
 es la serie armónica, que diverge. 
Ejercicios 
3.1. Demostrar que la sucesión cn 3
1
n
n− = −1 + i converge a −1. 
3.2. Demostrar que la sucesión cn 2
1 = ( +
2
1 i)n
3.3. Demostrar que la sucesión c
 converge a 0. 
n
i
i
n
n
−
+
2
21 = converge a i. 
120 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
3.4. Estudiar la convergencia de las series: 
a) ∑
∞
=





 +
+
+
1
43
322
n
i
n
n
n
n 
b) ∑
∞
=0n
(
2
1 + 
2
1 i)n
 
 
3.2. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES 
COMPLEJAS 
Las sucesiones y series de funciones complejas se comportan también de 
la misma forma que las sucesiones y series de funciones reales. Dada una 
sucesión {fn(z)}n∈N de funciones complejas definidas en los puntos z de un 
conjunto G ⊆ C, los conceptos de convergencia puntual, absoluta y uniforme de 
la sucesión {fn(z)}n∈N ∑
+∞
=1n
n )z(f o de la serie asociada son análogos al caso de 
sucesiones de funciones reales, así como los teoremas que permiten transmitir 
las buenas propiedades de las funciones que forman la sucesión a la función 
límite. 
 
3.2.1. Sucesiones de funciones complejas 
Sean fn(z), n ∈ N, y f(z) funciones complejas definidas en un subconjunto 
G ⊆ C, sea z0 un punto de G y sea {fn(z)}n∈N la sucesión de funciones 
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complejas definida con las funciones fn
Definición 3.2.1: 
(z). 
La sucesión {fn(z)}n∈N converge en el punto z0 a f(z0) en G si la sucesión 
numérica {fn(z0)}n∈N converge a f(z0
∞→n
lím
). Es decir, 
 fn(z0) = f(z0) ≡ ∀ε > 0, ∃m ∈ N tal que ∀n > m, |fn(z0) − f(z0
Definición 3.2.2: 
)| < ε. 
La sucesión {fn(z)}n∈N converge puntualmente a la función f(z) en G si 
para cada z0 ∈ G la sucesión numérica {fn(z0)}n∈N converge a f(z0
Es decir, para cada z
). 
0 ∈ G y para cada ε > 0 existe m ∈ N tal que ∀n > m, 
|fn(z0) − f(z0
Definición 3.2.3: 
)| < ε. 
La sucesión {fn(z)}n∈N converge absolutamente a la función f(z) en G si 
para cada z0 ∈ G la sucesión numérica {fn(z0)}n∈N converge absolutamente a 
f(z0
Definición 3.2.4: 
). 
La sucesión {fn(z)}n∈N converge uniformemente a la función f(z) en G si 
para cada ε > 0 existe m ∈ N tal que para todo z ∈ G y todo n > m se verifica 
que |fn
Es importante resaltar que para que la convergencia de la sucesión en un 
conjunto G sea uniforme es preciso que para cada ε > 0 fijado exista un término 
m de la sucesión, independiente del punto z, a partir del cual la distancia entre 
(z) − f(z)| < ε. 
122 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
fn
 
(z) y f(z) sea menor ε, para todo z ∈ G. 
3.2.2. Series de funciones complejas. Definición y convergencia 
Los distintos tipos de convergencia de series se definen a través de la 
convergencia de las correspondientes sucesiones de sumas parciales 
asociadas. Sea {fn(z)}n∈N
Definición 3.2.5: 
 una sucesión de funciones complejas definidas en un 
conjunto G ⊆ C. 
La serie )z(f
n
n∑
+∞
=1
 converge en el punto z0
)z(f
n
n 0
1
∑
+∞
=
 ∈ G si la serie de números 
complejos converge. Es decir, si para cada ε > 0 existe m ∈ N tal que 
∀n > m, se verifica que | )z(f
nk
k 0∑
+∞
=
 | < ε. 
Definición 3.2.6: 
La serie )z(f
n
n∑
+∞
=1
 converge puntualmente en G si la serie )z(f
n
n 0
1
∑
+∞
=
 
converge para todo z0
Definición 3.2.7: 
 ∈ G. 
La serie )z(f
n
n∑
+∞
=1
 converge absolutamente en z0
|)z(f|
n
n 0
1
∑
+∞
=
 ∈ G (respectivamente 
en G) si la serie converge (resp. |)z(f|
n
n∑
+∞
=1
 converge en todo z ∈ G). 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 123 
Definición 3.2.8: 
La serie )z(f
n
n∑
+∞
=1
 converge uniformemente en G si para cada ε > 0 existe 
m ∈ N tal que para todo z ∈ G y ∀n > m, se verifica que | )z(f
nk
k∑
+∞
=
 | < ε. 
Es importante señalar que, igual que en el caso de las sucesiones, para 
que la convergencia de la serie en G sea uniforme, el valor m debe depender 
únicamente del ε elegido y no del punto z del dominio, como ocurría en la 
convergencia puntual. Tiene sentido, por tanto, hablar de convergencia 
uniforme en un conjunto (nunca en un punto). 
La relación entre los distintos tipos de convergencia que se acaban de 
definir es la misma que en el caso real. 
De la propia definición se deduce de manera inmediata que la 
convergencia absoluta implica la convergencia puntual. 
La convergencia uniforme de una serie en un conjunto implica también la 
convergencia puntual de la serie en el conjunto. 
Si una serie converge uniformemente en un conjunto G también converge 
uniformemente en cualquier subconjunto de G. 
 Por otra parte, es importante observar que, como en el caso real, la 
convergencia uniforme de una serie en un conjunto no implica necesariamente 
la convergencia absoluta de la serie en dicho conjunto. 
Los criterios de convergenciade series de funciones reales son válidos 
para el estudio de la convergencia de series de funciones complejas. De ellos 
cabe destacar el criterio de Weierstrass que se enuncia a continuación. 
124 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
Proposición 3.2.1: Criterio de la mayorante de Weierstrass. 
Sea ∑
+∞
=1n
n )z(f una serie de funciones complejas definidas en un 
subconjunto G del plano complejo, tales que para cada n ∈ N existe una 
constante Mn ℜ ∈ que verifica |fn(z)| ≤ Mn, ∑
∞
=1n
nM∀z ∈ G, y < ∞. Entonces 
∑
+∞
=1n
n )z(f converge absolutamente y uniformemente en G. 
El criterio de la mayorante de Weierstrass permite entonces asegurar la 
convergencia absoluta y uniforme de una serie de funciones a través de la 
convergencia absoluta de una serie numérica que la mayore, y será de gran 
utilidad en el estudio de la convergencia de las series de potencias. 
Por ejemplo, la serie ∑
∞
=1n
n
n
z converge uniformemente y absolutamente en 
el conjunto Ar
n
zn
 = {z; |z| ≤ r }, siempre que r sea un número real tal que 0 ≤ r <1, 
pues en este caso se tiene que ≤ rn = Mn ∑
∞
=1n
nr, y converge si r < 1. En 
consecuencia, la serie ∑
∞
=1n
n
n
z converge puntualmente en A1 = {z; |z| < 1} y 
converge además uniformemente y absolutamente en cualquier conjunto Ar
De la convergencia puntual de una serie 
 = 
{z; |z| ≤ r}, si r < 1. 
)z(f
n
n∑
+∞
=1
 en un conjunto G se 
deduce la existencia de una función f(z) definida en G tal que para cada z ∈ G 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 125 
f(z) = )z(f
n
n∑
+∞
=1
. 
Definición 3.2.9: 
Dada una serie )z(f
n
n∑
+∞
=1
 convergente en un conjunto G, se llama suma de 
la serie a la función f(z) que define la serie en los puntos de G. 
Así, la serie geométrica ∑
+∞
=0k
kz , que como se ha comprobado en el 
ejemplo 3.1.2. es convergente para todo valor de z tal que |z| < 1, define una 
función f(z) en el interior del disco unidad, B1
z−1
1
(0), que representa la suma de la 
serie y es precisamente , por lo que ∑
+∞
=0k
kz = 
z−1
1 , si |z| < 1. 
De la misma forma que en el caso de series de funciones reales, la 
obtención de la función que define una serie convergente no es en general una 
tarea fácil, pero sí lo es para algunos tipos especiales de series. Este es el 
caso anterior, en el que ∑
+∞
=0k
kz es una serie geométrica. 
 
3.2.3. Series de funciones complejas. Continuidad y 
derivabilidad 
La convergencia uniforme de una serie de funciones definidas en un 
subconjunto del plano complejo permite transmitir a la función límite muchas de 
las buenas propiedades de las funciones que definen la serie. Los teoremas 
126 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
que aseguran las condiciones que se precisan son los mismos que en el caso 
de series de funciones reales y se enuncian a continuación. 
Proposición 3.2.2: 
Si las funciones fn ∑
+∞
=1n
n )z(f(z) son continuas en G y la serie converge 
uniformemente en G a f(z), entonces f(z) es una función continua en G. 
La convergencia uniforme es suficiente para garantizar la continuidad de 
la función límite de una serie de funciones continuas. Más adelante, cuando se 
haya introducido el concepto de integración compleja, se podrá comprobar que 
la convergencia uniforme es también suficiente para asegurar la integrabilidad 
de la función límite de una serie de funciones integrables. 
Sin embargo, la continuidad uniforme no es una condición suficiente para 
garantizar la derivabilidad de la función límite de una serie de funciones fn
Proposición 3.2.3: 
(z) 
derivables. Se necesitan para ello condiciones adicionales, como señala la 
siguiente proposición, que también se enuncia sin demostración. 
Si las funciones fn ∑
+∞
=1n
n )z(f(z) son derivables en G, la serie converge en 
un punto z0 ∑
+∞
=
′
1n
n )z(f∈ G y la serie de las derivadas converge uniformemente 
en G, entonces la serie ∑
+∞
=1n
n )z(f converge uniformemente en G a una función 
derivable f(z) y se tiene que f’(z) = ∑
+∞
=
′
1n
n )z(f . 
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Ejemplos resueltos 
Ejemplo 3.2.1: Estudiar la convergencia de la serie 
0
∑
+∞
=n
n )z(f = 
n
n
n z
z −
∞
=
∑ 





+
− 2
1
1
0
 en el conjunto G ≡ {z = x + iy; x ≥ 0}. 
Si 
z
z
+
−
1
1 ≤ 1 se tiene que 
0
∑
+∞
=n
n |)z(f| ≤ ∑
∞
=
−
0
2
n
n , serie geométrica 
convergente, por lo que por el criterio de Weierstrass, si 
z
z
+
−
1
1 ≤ 1 la serie 
converge absoluta y uniformemente. 
Si z ∈ G, se tiene que 
2
1
1
z
z
+
− = 
22
22
1
1
y)x(
y)x(
++
+− ≤ 1 ⇒ 
z
z
+
−
1
1 ≤ 1 y por tanto 
la serie converge absoluta y uniformemente en G. 
 Ejemplo 3.2.2: Obtener la suma de la serie del ejemplo 3.2.1. 
Esta serie es una serie geométrica de razón 
)z(
z
+
−
12
1 y como 
)z(
z
+
−
12
1 = 
2
1 
z
z
+
−
1
1 ≤ 
2
1 < 1 si z ∈ G , la serie se puede sumar en G y se tiene 
 
0
∑
+∞
=n
n )z(f = 






+
−
−
)z(
z
12
11
1 = 
)z()z(
)z(
−−+
+
112
12 = 
z
)z(
31
12
+
+ . 
Este resultado se puede extender al subconjunto de puntos del plano 
complejo tales que 
)z(
z
+
−
12
1 < 1, es decir, al conjunto de puntos z = x + iy tal 
128 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
que (x − 1)2 + y2 < 4((x + 1)2 + y2) ⇒ 3 [ x2 + y2
3
10 + x +1] > 0 ⇒ 
⇒ (x + 
3
5 )2 + y2
9
16 − > 0. 
Se tiene entonces que la serie converge en el conjunto de puntos z tal 
que |z + 
3
5 | > 
3
4 , es decir, converge en el exterior del disco de centro el 
punto –
3
5 y de radio 
3
4 . 
Ejercicios 
3.5. Estudiar la convergencia de la serie 1
1
0
3
2
2 −−
−∞
=
∑ 





+
− n
n
n z
z en el 
conjunto G ≡ { z = x + iy; x ≥ 0} y si es posible calcular su suma. 
 
3.6. Estudiar el dominio de convergencia de las series 
a) 11
0
412 +−+
∞
=
−∑ nn
n
)z( . 
b) 
n
n z∑
∞
=






+0 2
2 
c) 11
0
421 +−+
∞
=
−∑ nn
n
)z( 
3.7. Demostrar que la serie ∑
∞
=1
2
n
nz
n
e converge en la región {z; Re z < 0}. 
 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 129 
3.3. SERIES DE POTENCIAS 
Dentro de las series de funciones tienen un interés especial las series de 
potencias. Como se verá a continuación, las series de potencias juegan un 
papel fundamental dentro de la teoría de funciones de variable compleja. 
 
3.3.1. Definición. Convergencia de una serie de potencias 
Definición 3.3.1. 
Se denomina serie de potencias alrededor del punto z0
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c
 a una serie de la 
forma , con cn
La serie geométrica 
 ∈ C. 
∑
+∞
=0n
nz y la serie ∑
∞
=1n
n
n
z que se han estudiado en 
secciones anteriores son ejemplos de series de potencias desarrolladas 
alrededor del punto z0 = 0, con unos coeficientes cn
n
1
 que valen respectivamente 
1 y . Ambas series convergen uniformemente en cualquier disco cerrado de 
centro 0 y radio r, con 0< r <1, y convergen puntualmente en el disco de radio 
uno, {z; |z| < 1}. 
El primer problema que se puede plantear es el estudio de la 
convergencia de una serie de potencias. La serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c converge 
siempre en el punto z = z0 y su valor es c0. Se trata de estudiar si además 
converge en otros puntos distintos de z0. 
130 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
Sea BR(z0) al disco abierto de centro z0 y radio R, es decir, el conjunto de 
números complejos z tales que |z − z0
La proposición que sigue aporta una información precisa sobre el 
comportamiento de una serie de potencias frente a la convergencia. 
| < R. 
Proposición 3.3.1: 
Si la serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c converge en un punto z1 ≠ z0
B
, entonces 
converge absolutamente y uniformemente encada disco cerrado r(z0), con r 
< |z1 − z0
Demostración: 
|. 
Como la serie numérica ∑
∞
=
−
0
01
n
n
n )zz(c converge, el término general de 
la sucesión {cn⋅(z1 – z0)n} tiende a cero y la sucesión está acotada. Sea M una 
cota de la sucesión, es decir, sea M tal que |cn (z1 – z0)n| ≤ M, para todo n, y 
sea r < |z1 − z0 B|. Se tiene entonces, para todo z ∈ r(z0
n
n )zz(c 0−
), 
 = n
n
n
n )zz(
)zz(
)zz(
c 01
01
0 −
−
−
 ≤ M n
n
)zz(
)zz(
01
0
−
−
 ≤ M
n
zz
r
01 −
= Mn
Al ser |z
. 
1 – z0 ∑
∞
=1n
| > r, la serie de números reales Mn
n
n zz
r∑
∞
= −1 01
 = M 
converge, ya que es una serie geométrica de razón menor que 1. Aplicando el 
criterio de Weierstrass se tiene entonces la convergencia absoluta y uniforme 
de la serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c en el disco B r(z0), r < |z1 – z0|. � 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 131 
Corolario 3.3.2: 
Si la serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c converge en un punto z1 ≠ z0, y no converge 
en otro punto z2, existe un número real R > 0 tal que la serie converge en 
BR(z0) y no converge en ningún número complejo z tal que |z – z0
Demostración: 
| > R. 
Basta tomar R = sup{s ∈ ℜ; ∃ z ∈ C, |z – z0 ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c| = s y 
converge}. El supremo de este conjunto existe siempre puesto que es un 
conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente por |z2 – z0
La proposición y el corolario anteriores permiten asegurar que si la serie 
de potencias 
|. � 
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c además de converger en z0 converge en algún 
otro punto z1, existe un disco centrado en z0, que contiene a z1, 
Definición 3.3.2: 
en cuyo 
interior la serie converge mientras que fuera de él la serie diverge. Es 
importante observar que este disco puede tener radio infinito, en cuyo caso la 
serie converge en todo el plano complejo. 
Se llama radio de convergencia de la serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c al número 
real R tal que la serie converge en el interior de BR(z0) y diverge si |z – z0
Si la serie sólo converge en el punto z
| > R. 
0 el radio de convergencia es 0. Por 
el contrario, si la serie converge en todo el plano complejo su radio de 
convergencia es infinito. En este caso, la proposición 3.3.1 asegura que la serie 
132 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
converge absolutamente en todo el plano complejo y converge uniformemente 
en cada disco Br(z0
Utilizando el criterio de la raíz se puede asegurar que 
), con 0 < r < ∞. 
R = 
n
n
n
|c|supiml
∞→
1 , 
con el convenio de que ∞=
0
1 y 01
=
∞
. 
La fórmula anterior permite calcular el radio de convergencia de una serie 
a partir de los coeficientes de la serie. Sin embargo, en la práctica suele ser 
más sencillo calcularlo directamente, estudiando la convergencia de la serie. 
Así, la serie geométrica ∑
+∞
=0n
nz converge si |z| < 1 y diverge si |z| > 1. 
Tiene por tanto radio de convergencia 1. 
Para estudiar el radio de convergencia de la serie ∑
∞
=1n
n
n
z se puede 
aplicar el criterio del cociente, con el que se obtiene: 
∞→n
lím
n/z
)n/(z
n
n 11 ++
 = 
∞→n
lím
1+n
zn
 =
La serie entonces converge si |z| < 1 y diverge si |z| > 1, por lo que su 
radio de convergencia es 1. 
 |z|. 
Mediante el criterio del cociente se calcula el radio de convergencia de la 
serie ∑
∞
=1
2
n
n
n
z y se obtiene que también es 1. 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 133 
Definición 3.3.3: 
Se llama disco de convergencia de la serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c al disco 
BR(z0
El radio de convergencia de una serie permite pues dividir al plano 
complejo en dos regiones: el disco de convergencia de la serie, en cuyos 
puntos la serie converge, y el exterior del disco, es decir, los puntos z del plano 
tales que |z – z
), donde R es el radio de convergencia de la serie. 
0
Las series 
| > R, donde la serie diverge. En los puntos de la frontera entre 
las dos regiones el comportamiento de la serie frente a la convergencia puede 
dar lugar a situaciones diferentes, como se puede apreciar en los ejemplos que 
se acaban de estudiar: 
∑
+∞
=0n
nz , ∑
∞
=1n
n
n
z y ∑
∞
=1
2
n
n
n
z tienen el mismo radio de 
convergencia, R = 1. Sin embargo, su comportamiento frente a la convergencia 
en los puntos z de la frontera, |z| = 1, es diferente en los tres casos, como se 
verá a continuación. 
La serie geométrica ∑
+∞
=0n
nz no converge en ningún punto de la 
circunferencia de centro 0 y radio 1, ya que para cada z0, |z0| = 1, z0
n no tiende 
a 0 al tender n a infinito. Lo que sucede es que para cada z0, |z0| = 1, con 
arg(z0) = k⋅π, si k es un número racional, los valores de z0
n se repiten a partir 
de un n suficientemente grande, con lo que la serie tiende a infinito. Y si k es un 
número irracional, los valores de z0
n no se repiten y van recorriendo puntos 
diferentes del círculo unidad sin aproximarse a ninguno. 
134 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
La serie ∑
∞
=1n
n
n
z se comporta de manera diferente en los puntos de la 
frontera. Si z = 1 la serie diverge, pues es la serie armónica. En cambio, la 
serie converge si z = –1 pues coincide con la serie armónica alternada. De 
hecho, se puede demostrar que converge en todos los puntos de la 
circunferencia unidad salvo en z = 1. 
Por último, la serie ∑
∞
=1
2
n
n
n
z converge absolutamente en todos los puntos 
de la circunferencia unidad, puesto que si |z| = 1 se tiene que ∑
∞
=1
2
n
n
n
z = ∑
∞
=1
2
1
n n
, que es convergente. 
Los ejemplos anteriores demuestran que la convergencia de una serie en 
los puntos de la frontera de su disco de convergencia es una cuestión delicada, 
que aquí sólo se va a tratar en casos puntuales en los que el estudio de la 
convergencia sea fácil de abordar. 
Ejemplos resueltos 
Ejemplo 3.3.1. Calcular el radio de convergencia de la serie ∑
+∞
=0n
nnz . 
Aplicando el criterio del cociente: 
∞→n
lím
n
n
nz
z)n( 11 ++
 =
∞→n
lím 
n
z)n( 1+
 =
Por tanto, la serie converge si |z| < 1 y diverge si |z| > 1, con lo cual su 
radio de convergencia es 1. 
 |z|. 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 135 
Ejemplo 3.3.2. Calcular el radio de convergencia de la serie ∑
∞
=1n
n
!n
z . 
El criterio del cociente en este caso 
∞→n
lím
n
n
z)!n(
z!n
1
1
+
+
 
∞→n
lím= 
1+n
z
 
Ejemplo 3.3.3. Calcular el radio de convergencia de la serie 
= 0 
para todo z. Esto quiere decir que la serie converge en todo el plano complejo y 
por tanto su radio de convergencia es infinito. 
∑
+∞
=
−+
0
11
n
nnn z))(( . 
El radio de convergencia de la serie es: 
R = n
n
n
|c|supiml
∞→
1 = 
n
nn
n
|))((|supiml 11
1
−+
∞→
 = 
))((supiml n
n
11
1
−+
∞→
 = 
2
1 . 
El estudio de la convergencia de esta serie también se puede hacer 
teniendo en cuenta que ∑
+∞
=
−+
0
11
n
nnn z))(( = ∑
+∞
=0
222
n
nn z ; aplicando el criterio 
del cociente: 
∞→n
lím
nn
)n()n(
z
z
22
1212
2
2 ++
 = 4 |z|2
2
1 < 1 si |z| < . 
Ejemplo 3.3.4. Calcular el radio de convergencia de la serie ∑
+∞
=0n
nz!n . 
El criterio del cociente de nuevo asegura que: 
∞→n
lím
n
n
z!n
z)!n( 11 ++
 
∞→n
lím= (n + 1)⋅z = ∞ 
136 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
sea cual sea el valor de z. Esto quiere decir que la serie diverge en todo el 
plano complejo salvo z = 0, y por tanto su radio de convergencia es 0. 
 
3.3.2. Funciones definidas por series de potencias 
Toda serie de potencias define en su disco de convergencia una función 
compleja. 
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c = f(z). 
Este es el caso de la serie geométrica ∑
+∞
=0n
nz , que define la función f(z) = 
z−1
1 para todo z tal que |z| < 1. 
 
Figura 3.3.1: Disco de centro el origen y radio 1. 
Las funciones definidascomo series de potencias se pueden sumar y 
multiplicar dentro de su radio de convergencia. 
Proposición 3.3.3: 
Dadas dos funciones f(z) y g(z), definidas como series de potencias tales 
1 0 
Figura 3.1: Disco de centro el origen y radio 1. 
 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 137 
que f(z) = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c , con un radio de convergencia R1,
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(d
 y g(z) = 
, con un radio de convergencia R2, 0 ≤ R1 ≤ R2
(f + g)(z) = 
, se tiene que: 
∑
∞
=
−+
0
0
n
n
nn )zz)(dc( 
(f·g)(z) = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(p , con pn ∑
=
−
n
j
jnj dc
0
 = , 
y ambas series tienen un radio de convergencia mayor o igual que R1
Las funciones definidas como series de potencias tienen muy buenas 
propiedades dentro del disco de convergencia. Ello es debido a que una serie 
de potencias converge absoluta y uniformemente en cualquier disco cerrado 
contenido en su disco de convergencia. Esto hace que la función f(z) herede 
las buenas propiedades de las sumas parciales S
. 
n de la serie, que son en 
realidad polinomios complejos, con lo cual Sn 
Definición 3.3.4: 
son funciones continuas y 
derivables cuantas veces se quiera. De esta forma se deduce de manera 
inmediata la continuidad de f(z) en su disco de convergencia. Para estudiar su 
derivabilidad se define en primer lugar la serie derivada. 
Dada la serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c definida en BR(z0
∑
∞
=
−−
0
1
0
n
n
n )zz(nc
), con radio de 
convergencia R, se llama serie derivada a la serie . 
La relación entre estas dos series se determina en las proposiciones que 
138 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
se presentan a continuación. 
Proposición 3.3.4: 
Las series ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c y ∑
∞
=
−−
0
1
0
n
n
n )zz(nc tienen el mismo radio de 
convergencia. 
Demostración: 
Sea R el radio de convergencia de la serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c . Para obtener 
el radio de convergencia de la serie derivada se calcula: 
∞→n
suplím 1−n n |nc| = 
∞→n
suplím ( ) 1−n
n
n n |nc| = 
∞→n
suplím n n |c| =
R
1
 . 
Por tanto, el radio de convergencia de la serie derivada es también R. � 
Proposición 3.3.5: 
Si f(z) = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c converge en BR(z0), f(z) es derivable en BR(z0
∑
∞
=
−−
0
1
0
n
n
n )zz(nc
) y 
f’(z) = para todo z de BR(z0
Demostración: 
). 
Es consecuencia inmediata de las proposiciones 3.2.3 y 3.3.4. 
Proposición 3.3.6: 
Si f(z) = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c converge en BR(z0), f(z) es infinitamente 
derivable en BR(z0). 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 139 
Demostración: 
Basta aplicar la proposición 3.3.5 a las sucesivas derivadas. 
Proposición 3.3.7: 
Si f(z) = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c converge en BR(z0), se tiene que cn !n
)z(f n(
0= , y 
la serie de potencias coincide con la serie de Taylor en el punto z0
f(z) = 
 de la función 
que define la serie: 
n
n
n(
)zz(
!n
)z(f
0
0
0 −∑
∞
=
. 
Demostración: 
En virtud de la proposición 3.3.5. se tiene que f’(z) = ∑
∞
=
−−
0
1
0
n
n
n )zz(nc 
con lo que f’(z0) = c1
Aplicando de nuevo la proposición a la serie derivada: 
. 
f’’(z) = ∑
∞
=
−−−
0
2
01
n
n
n )zz(c)n(n 
con lo que f’’(z0) = 2c2 y c2 = f’’(z0
 Repitiendo el proceso k veces se tiene: 
)/2. 
fk) ∑
∞
=
−−+−−
0
011
n
kn
n )zz(c)kn()n(n (z) = 
por lo que fk)(z0) = k!⋅ck y ck = fk)(z0)/k!, con lo cual la serie de potencias que 
define la función coincide necesariamente con la serie de Taylor de la función. 
� 
140 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
 Proposición 3.3.8: 
Si f(z) = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c es igual a cero en un entorno del punto z0
Demostración: 
, debe 
ser idénticamente nula en todo su dominio de convergencia. 
Si f(z) = 0 en un entorno de z0 todas las derivadas de f en z0
Es interesante observar que las condiciones de la proposición 3.3.8. se 
pueden debilitar de manera que basta que f(z) se anule en una sucesión de 
puntos z
 deben valer 
cero, y por tanto los coeficientes de la serie deben ser 0. Se tiene así que, 
aplicando la proposición 3.3.7, la serie es idénticamente nula en todo su 
dominio de convergencia. � 
n → z0
La proposición anterior permite demostrar de manera inmediata el 
principio de unicidad para las series de potencias. 
 para asegurar que la función tiene que ser idénticamente nula 
en todo su dominio de convergencia. 
Proposición 3.3.9: 
Si las series ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(a y ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(b tienen el mismo radio de 
convergencia R y coinciden en un conjunto de puntos {zn, z0}, con zn → z0 , 
entonces necesariamente an = bn
Las proposiciones anteriores confirman las buenas propiedades de las 
funciones que se pueden expresar como series de potencias, así como la 
estrecha relación que existe entre una serie y su serie derivada. Esta relación 
 para todo n, y las dos series coinciden en 
todo su disco de convergencia. 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 141 
permite utilizar de manera alternativa una serie o su serie derivada para 
estudiar la convergencia de la otra, o incluso para obtener su suma. 
 
Ejemplos resueltos 
Ejemplo 3.3.5. Estudiar la convergencia de la serie ∑
+∞
=
−−
0
1
5n
n
n)iz(n
 y 
calcular su suma. 
La serie ∑
+∞
=
−−
0
1
5n
n
n)iz(n
 es la serie derivada de la serie ∑
+∞
=
−
0 5n
n
n)iz(
, que 
es una serie geométrica de razón 
5
iz − y, por tanto, la serie ∑
+∞
=
−
0 5n
n
n)iz(
 
converge si |z − i| < 5. Se puede entonces asegurar lo mismo para la serie 
derivada, con lo que el disco de convergencia de la serie ∑
+∞
=
−−
0
1
5n
n
n)iz(n
 es 
B5
Para obtener su suma se puede utilizar de nuevo la serie 
(i). 
∑
+∞
=
−
0 5n
n
n)iz(
, ya 
que al ser una serie geométrica se puede sumar fácilmente y coincide en B5
5
1
1
iz −
−
(i) 
con la función f(z) = = 
zi −+5
5 , por lo que obteniendo su derivada: 
142 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
∑
+∞
=
−−
0
1
5n
n
n)iz(n
 = f´(z) = 
25
5
)zi( −+
. 
Ejemplo 3.3.6. Estudiar la convergencia de la serie ∑
+∞
=0n
nnz utilizando su 
serie derivada y calcular su suma. 
Otra forma de resolver el problema es la siguiente. La serie ∑
+∞
=0n
nnz = z
∑
+∞
=
−
0
1
n
nnz . Como la serie ∑
+∞
=
−
0
1
n
nnz es la serie derivada de ∑
+∞
=0n
nz , se tiene 
que el radio de convergencia de ∑
+∞
=0n
nnz es el mismo que el de ∑
+∞
=0n
nz , y por 
tanto vale 1. 
La serie ∑
+∞
=0n
nnz se puede expresar como ∑
+∞
=
−
0
1
n
nnzz y como la serie 
∑
+∞
=
−
0
1
n
nnz es la serie derivada de ∑
+∞
=0n
nz = 
z−1
1 en el disco B1
∑
+∞
=
−
0
1
n
nnz
(0), se tiene que 
 = 
21
1
)z( −
. Por tanto ∑
+∞
=0n
nnz = 
21 )z(
z
−
, z ∈ B1
Ejemplo 3.3.7. Obtener una serie de potencias en el punto z = 0 que 
coincide con la función f(z) = 
(0). 
z21
3
−
 en algún disco del plano complejo y 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 143 
estudiar su dominio de convergencia. 
La función f(z) se puede considerar como tres veces la suma de los 
términos de una progresión geométrica de razón 2z, y por tanto: 
f(z) = 3 ∑
∞
=0
2
n
n)z( = 3∑
∞
=0
2
n
nn z , que converge si |2z| < 1, es decir si |z| < 
2
1 . 
Su dominio de convergencia es el disco )(B 0
2
1 . 
Ejemplo 3.3.8. Obtener una representación de la función f(z) = 
z
z
−
+
1
12 en 
serie de potencias alrededor del punto z = 0 y estudiar su dominio de 
convergencia. 
La función f(z) se puede expresar de la forma: 
f(z) = −2 + 
z−1
3 = −2 + 3∑
∞
=0n
nz = 1+ 3∑
∞
=1n
nz , que tiene como dominio de 
convergencia el disco B1
 
(0). 
Ejercicios 
3.8. Calcular el radio de convergencia de las series de potencias 
a) ∑
+∞=
− −
0
2
22
n
nn )iz( 
b) ∑
+∞
=
+
+02
3
n
n
n
n
)iz(
n
 
144 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
c) ∑
+∞
=
−
+
0
2
12
4n
n
nz
 
d) ∑
+∞
=
−
1
1
2n
nn
n
n
z!n 
e) ∑
+∞
=
−+
+0
2
2
1
n
n
n
)iz(
)i(
. 
3.9. Desarrollar en serie de potencias las siguientes funciones, 
calculando el radio de convergencia de la serie obtenida. 
a) 
21
3
)z( −
 
b) 
21
12
)z(
z
−
+ . 
3.10. Calcular, para los valores de z que sea posible, la suma de las 
series: 
a) ∑
+∞
=0n
n
n
z
 
b) ∑
+∞
=
+
+0
12
12n
n
n
z
. 
 
3.4. FUNCIONES ANALÍTICAS 
El hecho de que las funciones definidas como series de potencias tengan 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 145 
tan buenas propiedades motiva el que se las considere como un grupo especial 
de funciones, las funciones analíticas, que se estudian a continuación. 
 
3.4.1. Definición y propiedades 
Definición 3.4.1: 
La función f(z) es analítica en un punto z0
f(z) = 
 si f(z) se puede expresar de la 
forma: 
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c en BR(z0
Se dice también que f(z) es analítica en z
), con R > 0. 
0 si f(z) es desarrollable en serie 
de potencias en un entorno de z0
Se tiene entonces que f(z) es analítica en el punto z
. 
0 si la serie de Taylor 
de la función en z0 ∑
∞
=
−
0
0
0
n
n
n(
)zz(
!n
)z(f
, , tiene radio de convergencia R 
estrictamente mayor que cero. 
Así, la función f(z) = 
z−1
1 es analítica en el punto 0 porque f(z) = ∑
+∞
=0n
nz
en el disco |z| < 1. 
Definición 3.4.2: 
La función f(z) es analítica en un conjunto G si f(z) es analítica en cada 
uno de los puntos de G. 
Si una función es analítica se tiene el siguiente resultado que se enuncia 
146 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
sin demostración. 
Proposición 3.4.1: 
Si f(z) es analítica en un punto z0
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c
 es también analítica en todo el disco de 
convergencia de la serie. Es decir, si f(z) = en BR(z0), con R > 
0, f(z) es también analítica en todo el disco BR(z0
La proposición 3.4.1 permite asegurar que la función f(z) = 
). 
z−1
1 no sólo 
es analítica en el punto 0, sino que también es analítica en todo el disco |z| < 1. 
Se puede comprobar fácilmente que las funciones analíticas tienen las 
siguiente propiedades: 
1- La suma, el producto y la composición de funciones analíticas es una 
función analítica. 
2- Si f(z) es analítica en un conjunto G, f(z) es holomorfa en G. 
3- Si f(z) es analítica en todo el plano complejo f(z) es una función entera. 
 
3.4.2. Desarrollos en serie de funciones 
Se presentan a continuación a modo de ejemplo los desarrollos de Taylor 
en z = 0 de algunas de las funciones mas usuales, que coinciden con los 
correspondientes desarrollos en ℜ. 
La función exponencial f(z) = ez es una función analítica en todo el plano 
complejo, puesto que ez ∑
∞
=0n
n
!n
z = , que tiene radio de convergencia infinito y 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 147 
por tanto converge en todo C. 
 Las funciones trigonométricas sen z y cos z son también funciones 
analíticas en C, pues se pueden desarrollar en serie potencias positivas 
alrededor de z = 0 de la forma: 
sen z = ∑
∞
=
+
+
−
0
12
12
1
n
nn
)!n(
z)( , cos z = ∑
∞
=
−
0
2
2
1
n
nn
)!n(
z)( . 
Ambos desarrollos tienen radio de convergencia infinito y por tanto 
convergen en todo C. 
Las funciones hiperbólicas senh z y cosh z tienen desarrollos en serie 
de potencias positivas alrededor de z = 0 de la forma: 
senh z = ∑
∞
=
+
+0
12
12n
n
)!n(
z , cosh z = ∑
∞
=0
2
2n
n
)!n(
z , 
que tienen también radio de convergencia infinito y por tanto convergen en todo 
C. 
La función exponencial, el seno, el coseno, el seno hiperbólico y el 
coseno hiperbólico son funciones analíticas en todo el plano complejo C, es 
decir, son funciones enteras. 
Por último, la función logaritmo se puede también expresar de la forma: 
Log (1 + z) = ∑
∞
=
+
+
−
0
1
1
1
n
nn
n
z)( , 
que tiene radio de convergencia 1. 
La función Log (1 + z), Arg z ∈ (−π, π], no puede ser analítica en todo el 
plano complejo C porque no es continua en el semieje {z: z ∈ ℜ, z ≤ −1}. Sin 
148 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
embargo, los resultados de la siguiente sección permiten demostrar que es 
analítica en los restantes puntos del plano complejo, es decir, en todo el plano 
salvo los puntos z = a, siendo a un número real tal que a ∈ (−∞,−1]. 
 
3.4.3. Prolongación analítica 
 La proposición 3.4.1. asegura que una función f(z) definida como una 
serie de potencias, f(z) = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c , es analítica en todo el disco BR(z0
z−1
1
), 
y permite asegurar que la función f(z) = es analítica en todo el disco |z| < 
1. Pero la función f(z) = 
z−1
1 es un cociente de polinomios, y por tanto es 
indefinidamente derivable en todos los puntos del plano complejo salvo en z = 
1, y por tanto es razonable pensar que se pueda extender el dominio del plano 
en el que se pueda asegurar que f(z) es analítica. Este proceso se conoce 
como prolongación analítica. 
La cuestión que se plantea es la siguiente: 
Dada la serie ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c convergente en BR(z0) y dado z1 ∈ BR(z0
∑
∞
=
−
0
1
n
n
n )zz(d
), 
¿existe una serie , con radio de convergencia R1 tal que si z ∈ 
BR(z0 )z(BR 11
) ∩ las series coinciden? 
La respuesta la da la siguiente proposición que se enuncia sin 
demostración. 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 149 
Proposición 3.4.2: 
Dada f(z) = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c con radio de convergencia R > 0, y dado un 
punto z1 ∈ BR(z0 ∑
∞
=
−
0
1
1
n
n
n(
)zz(
!n
)z(f), la serie tiene radio de convergencia R1 
≥ R − |z1− z0 ∑
∞
=
−
0
1
1
n
n
n(
)zz(
!n
)z(f| > 0 , y define una función g(z) = tal que g(z) 
= f(z) si z ∈ BR(z0 )z(BR 11
) ∩ . 
A continuación se propone un ejemplo que ilustra la proposición anterior: 
La serie ∑
∞
=
+
0
12n
n
nz tiene radio de convergencia R = 2 y define en el disco B2
2
1
(0) 
la función f(z) = ∑
∞
=02n
n
nz = 
2
1
2
1
1
z
−
 = 
z−2
1 . 
Las derivadas sucesivas de f(z) son: f’(z) = 
22
1
)z( −
, f’’(z) = 
32
2
)z( −
, ..., 
fn)
12 +− n)z(
!n(z) = . 
Sea ahora z1 = −1 ∈ B2 ∑
∞
=
+
−
0
11
n
n
n(
)z(
!n
)(f(0). La serie = ∑
∞
=
+
+
0
13
1
n
n
n)z( 
tiene radio de convergencia R1 = 3 y define entonces en B3(−1) la función g(z), 
que coincide con f(z) en B2(0) ∩ B3 ∑
∞
=
+
+
0
13
1
n
n
n)z((−1) puesto que g(z) = = 
3
1
3
11
1
+
−
z = 
z−2
1 = f(z). La función g(z) se denomina prolongación analítica de 
150 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
f(z) en B3(−1) \ B2
Si se repite el proceso en otro punto diferente que pertenezca al disco 
B
(0). 
2(0), por ejemplo, en z2 ∑
∞
=
−
0n
n
n(
)iz(
!n
)i(f = i, la serie = ∑
∞
=
+−
−
0
12n
n
n
)i(
)iz( tiene 
radio de convergencia R2 5= y define en el disco )(B i5 una función h(z) 
que también coincide con f(z) en B2 )(B i5(0) ∩ . 
Las funciones g(z) = ∑
∞
=
+
+
0
13
1
n
n
n)z( y h(z) = ∑
∞
=
+−
−
0
12n
n
n
)i(
)iz( son 
prolongaciones analíticas de f(z) en sus respectivos dominios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2: Prolongación analítica 
A través del ejemplo que se acaba de presentar se puede observar que 
en general se puede prolongar analíticamente una función desde un punto z* 
C r 
(0, 2) 
(-1, 3) 
(i, 5 ) 
1 2 3 
i 
-1 0 -4 -3 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 151 
en un disco de radio igual a la distancia de z* al punto más próximo a z* en el 
que la función tenga una singularidad, es decir, un punto donde la función no 
es derivable(el concepto de singularidad se estudia con más detenimiento en 
el capítulo 5). En el ejemplo anterior, la función f(z) = 
z−2
1 tiene una 
singularidad en el punto z = 2, por lo que al hacer un desarrollo de Taylor de la 
función en el punto z1 = −1 se ha obtenido un radio de convergencia R1 = 3, 
que es precisamente la distancia entre los puntos −1 y 2, y en el caso de z2 = i 
el radio de convergencia es R2 5 = , que coincide con la distancia entre los 
puntos i y 2. 
Ejemplos resueltos 
Ejemplo 3.4.1. Estudiar si la función f(z) = 
1
32
−
+
z
z es analítica en el punto 
z =−1. 
La función f(z) = 
1
32
−
+
z
z = 2 + 
1
5
−z
 = 2 − 
)z( 12
5
+−
 = 2 − 
2
11
2
5
+
−
z
 = 
= 2 − 
2
5 ∑
∞
=





 +
0 2
1
n
nz , es, por tanto, desarrollable en serie de potencias 
alrededor de z = −1 con un radio de convergencia R = 2 > 0, ya que el 
desarrollo es válido en el disco |z + 1| < 2. 
Ejemplo 3.4.2. Obtener una prolongación analítica del disco |z + 1| < 2 
para la función f(z) = 
1
32
−
+
z
z , de manera que en la nueva región esté contenido 
el punto z = 1 + i. 
152 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
Para prolongar analíticamente la función de manera que el punto z = 1 + i 
esté contenido en la nueva región, basta tomar un punto adecuado del disco |z 
+ 1| < 2, tal que su distancia al punto 1 + i sea menor que su distancia al punto 
donde está la singularidad mas próxima de la función. Así, por ejemplo, el 
punto z = i está a distancia 1 de z = 1 + i, y a distancia 2 de la singularidad 
mas próxima de la función, que está en el punto z = 1. Se tiene entonces: 
f(z) = 
1
32
−
+
z
z = 2 + 
1
5
−z
 = 2 − 
)iz(i −−−1
5 = 2 − 
i
iz
i
−
−
−
−
1
1
1
5
 = 
= 2 −
i−1
5 ∑
∞
=






−
−
0 1n
n
i
iz , que converge si |z − i| < |1 − i| = 2 . 
Ejercicios 
3.11. Obtener los desarrollos en serie de potencias alrededor de z = 0 
de las funciones 
a) f(z) = sen(2z) 
b) f(z) = cos(z2
c) f(z) = z
) 
3⋅sen(z2
d) f(z) =
) +1 
32
2
−z
z 
e) f(z) = 
22
3
+
−
z
zz . 
3.12. Obtener los desarrollos en serie de potencias alrededor de z = 1 
de las funciones: 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 153 
a) f(z) =
32
2
−z
z 
b) f(z) = 
22
2
+
+
z
zz . 
c) f(z) =
3−z
z 
d) f(z) = 
2
2
+
+
z
zz . 
3.13. Estudiar si la función f(z) = 
z
senz si z ≠ 0, f(0) = 0, es analítica en C. 
3.14. Estudiar si la función f(z) = 
2
1
z
zcos − si z ≠ 0, f(0) = −
2
1 , es analítica 
en C. 
3.15. Estudiar si la función f(z) = 
z
ez 1− si z ≠ 0, f(0) = 1, es analítica en C. 
 
 
3.5. SERIES DE LAURENT 
Cabe plantearse ahora la posibilidad de desarrollar una función en serie 
de potencias en un entorno de una singularidad. Naturalmente el problema no 
puede resolverse sin introducir algunos conceptos, puesto que las series del 
tipo Taylor dan lugar a funciones holomorfas. El problema se soluciona 
utilizando las series de potencias inversas. 
 
154 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
3.5.1. Series de Laurent. Definición y convergencia 
Muchas de las funciones que se utilizan habitualmente no se pueden 
expresar como series de potencias en las proximidades de determinados 
puntos, debido a que en esos puntos presentan singularidades, pero si se 
pueden, en cambio, expresar como sumas de potencias positivas y negativas. 
Las siguientes funciones son ejemplo de ello: 
1. f(z) = 
z
)z( 21+ = z + 2 + 
z
1 . 
2. g(z) = 
)z(z −1
1
2
 = 2
1
z z−1
1 = 2
1
z
(1 + z + z2 
2
1
z
+ ...) = + 
z
1 + 1 + z + z2 
3. h(z) = exp
+ ... 






z
1 = ∑
∞
=0n !n
1
nz
1 = 1 + 
z
1 + 
22
1
z
+ ... + 
!n
1
nz
1 + ... 
Las funciones anteriores son ejemplos de funciones que se pueden 
expresar como sumas, finitas o infinitas, de potencias positivas y negativas de 
z. Pero es fundamental saber para qué valores de z las sumas anteriores 
representan a las correspondientes funciones, o, lo que es igual, obtener el 
dominio de convergencia de las series que las definen. Las series de potencias 
positivas y negativas se denominan series de Laurent o series dobles. 
Definición 3.5.1: 
Se llama serie de Laurent, o serie doble, a una serie definida de la 
forma 
∑
∞
−∞=
−
n
n
n )zz(c 0 = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c + ∑
∞
=
−
− −
1
0
n
n
n )zz(c . 
Una serie de Laurent se puede expresar entonces como la suma de dos 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 155 
series. La primera de ellas es una serie de potencias positivas y se llama parte 
analítica de la serie. La segunda está formada por los sumandos con potencias 
negativas y se conoce como la parte principal de la serie. 
Un ejemplo es la serie ∑
∞
−∞=n
|n|
nz
2
, que representa a la suma de las series 
∑
∞
−∞=n
|n|
nz
2
 = ∑
∞
=02n
n
nz + ∑
∞
=12
1
n
nn z
. 
Definición 3.5.2: 
La serie de Laurent ∑
∞
−∞=
−
n
n
n )zz(c 0 converge si convergen la parte 
analítica y la parte principal de la serie. Si éstas convergen, el valor de la serie 
de Laurent es la suma de los valores de las dos series. 
∑
∞
−∞=
−
n
n
n )zz(c 0 = ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c + ∑
∞
=
−
− −
1
0
n
n
n )zz(c . 
Para investigar la convergencia de la serie de Laurent ∑
∞
−∞=
−
n
n
n )zz(c 0 
se estudia por separado la convergencia de la parte analítica y la parte principal 
de la serie; el dominio de convergencia de la serie es entonces la intersección 
de las dos regiones de convergencia. 
La parte analítica ∑
∞
=
−
0
0
n
n
n )zz(c es una serie de potencias y por tanto 
converge en el disco BR(z0
La parte principal es una serie de la forma: 
), siendo R el radio de convergencia de la serie de 
potencias. 
156 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
∑
∞
=
−
−1 0
1
n
nn
)zz(
c = ∑
∞
=
−
− −
1
0
n
n
n )zz(c . 
Si se aplica el criterio del cociente para estudiar su convergencia, 
n
n
)n(
)n(
)zz(c
)zz(c
−
−
+−
+−
−
−
0
1
01 = 
n
)n(
c
c
−
+− 1
)zz( 0
1
−
 < 1 si |z − z0
n
)n(
c
c
−
+− 1| > = 
R1, es decir, la parte principal de la serie de Laurent converge si |z − z0| > R1
Se puede decir entonces que la serie doble converge si R
. 
1 < |z − z 0| < R, 
siempre que R1
El dominio de convergencia de una serie doble es, por tanto, una corona 
circular con centro el punto z
 < R. 
0 y radios R1 
Se demostrará más adelante, en el capítulo 5, que el comportamiento de 
una serie de Laurent en su dominio de convergencia es muy bueno, pues se 
puede asegurar la convergencia uniforme de la serie sobre conjuntos 
compactos contenidos en la corona circular que define su dominio de 
convergencia. 
y R. 
Si R es infinito, el dominio de convergencia de la serie doble es el exterior 
del círculo de centro z0 y radio R1
Si R
. 
1 = 0, el dominio de convergencia de la serie es lo que se denomina 
un disco pinchado: el interior del círculo de centro z0 y radio R salvo el punto 
z0, B’R(z0
Si R es infinito y además R
). 
1 = 0, el dominio de convergencia de la serie 
se extiende a todo el plano complejo excepto el punto z0, C \ {z0}. 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 157 
Así, por ejemplo, la serie ∑
∞
−∞=n
|n|
nz
2
 converge en la corona circular 
2
1 < |z| 
< 2, pues la parte analítica ∑
∞
=02n
n
nz tiene radio de convergencia R = 2, y la parte 
principal ∑
∞
=12
1
n
nn z
es una serie geométrica de razón |2z|-1 y por tanto converge 
si |2z|-1
2
1 > 1, es decir, si |z| > . 
Para obtener la función que define la serie ∑
∞
−∞=n
|n|
nz
2
 se estudian su parte 
analítica y su parte principal. 
La parte analítica representa a la función ∑
∞
=02n
n
nz = 
2
1
1
z
−
 = 
z−2
2 si |z| < 
2. La parte principal representa a la función ∑
∞
=1 2
1
n
nnz
 = 
z2
11
1
−
 =12
2
−z
z si |z| > 
2
1 . Por tanto, si 
2
1 < |z| <2 , la serie de Laurent ∑
∞
−∞=n
|n|
nz
2
 define la función: 
f(z) = ∑
∞
−∞=n
|n|
nz
2
 = 
z−2
2 + 
12
2
−z
z = 
)z)(z(
zz
122
282 2
−−
−+− . 
 
3.5.2. Representación de funciones en serie de Laurent 
En esta sección se aborda el problema inverso: dada una función 
previamente fijada, obtener una representación de la función en serie de 
158 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
Laurent alrededor de un punto. 
Para una mayor facilidad de comprensión se toma una función concreta y 
se estudian para dicha función distintas posibilidades. 
 Sea f(z) = 
)z)(z( 32
1
−−
. Esta función es indefinidamente derivable en 
todo el plano complejo salvo los puntos z = 2 y z = 3. Se presentan a 
continuación desarrollos en serie de Laurent de f(z) en los puntos z = 0, z = 2 y 
z = 3. 
1.- Desarrollo en serie de Laurent de f(z) en z = 0. 
Si se quiere obtener en primer lugar un desarrollo en serie doble 
alrededor de z = 0, se puede dividir el plano complejo en tres regiones distintas, 
delimitadas por circunferencias con centro en z = 0, de manera que en el 
interior de cada una de ellas la función no tenga singularidades: 
A = {z; |z| < 2}, B = {z; 2 < |z| < 3} y C = {z; |z| > 3}. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3: Regiones A, B y C del desarrollo en series de Laurent en z = 0. 
Si z está en el conjunto A, 
A B 
C 
0 
3 2 
Figura 3.3: Regiones A, B y C del desarrollo en serie de Laurent en z = 0. 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 159 
f(z) = 
)z)(z( 32
1
−−
 = 
3
1
−z
 − 
2
1
−z
 = 
3
1
3
1
z
−
− + 
2
1
2
1
z
−
 = 
= −
3
1 (1 + 
3
z + 2
2
3
z + ...) + 
2
1 (1 + 
2
z + 
2
2
2
z + …) = n
n
nn
z∑
∞
=
++ 





−
0
11 3
1
2
1 . 
Se tiene entonces que es una serie de potencias positivas de z que 
coincide con la función f(z) siempre que z pertenezca al conjunto A, y f es por 
tanto una función analítica en A 
Si z está en el conjunto B, se tiene que 2 < |z| < 3, y 
 f(z) = 
)z)(z( 32
1
−−
 = 
3
1
−z
 − 
2
1
−z
 = 
3
1
3
1
z
−
− − 
z
z
21
1
−
 = 
= −
3
1 (1 + 
3
z + 2
2
3
z + …) − 
z
1 (1 + 
z
2 + 
2
22
z
 + …) = − ∑
∞
=
+
0
13n
n
nz −∑
∞
=
−
1
12
n
n
n
z
. 
La función f(z) se puede representar como una serie doble alrededor de z 
= 0, y la representación es válida en el conjunto B. 
Finalmente, si z está en el conjunto C, es decir, |z| > 3, 
f(z) = 
)z)(z( 32
1
−−
 = 
3
1
−z
 − 
2
1
−z
 = 
z
z
31
1
−
 − 
z
z
21
1
−
 = 
= 
z
1 (1 + 
z
3 + 
2
23
z
 + …) − 
z
1 (1 + 
z
2 + 
2
22
z
 + …) = ∑
∞
=
+
−
0
1
23
n
n
nn
z
. 
La función f(z) se puede representar como una serie de Laurent alrededor 
de z = 0 cuya parte analítica es cero, es decir, sólo tiene parte principal, y la 
160 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
representación es válida en el conjunto C. 
2.- Desarrollo en serie de Laurent de f(z) en z = 2. 
Para obtener un desarrollo en serie doble de f(z) en z = 2, se divide el 
plano complejo en dos regiones distintas, delimitadas por circunferencias con 
centro en z = 2, de manera que en el interior de cada una de ellas la función no 
tenga singularidades: 
A* = {z; 0 < |z − 2| < 1} y B* = {z; |z − 2| > 1}. 
 
Figura 3.4: Regiones A* y B* del desarrollo en serie de Laurent en z = 2. 
Si z está en el conjunto A*, entonces 0 < |z − 2| < 1, y 
 f(z) = 
)z)(z( 32
1
−−
 = 
2
1
−z 12
1
−−z
 = 
2
1
−z )z( 21
1
−−
− = 
= −
2
1
−z ∑
∞
=
−
0
2
n
n)z( = −
2
1
−z
 − ∑
∞
=
−
0
2
n
n)z( . 
La representación en serie de Laurent de f(z) está formada por una serie 
de potencias positivas como parte analítica y un único término como parte 
principal, y coincide con la función siempre que z pertenezca al conjunto A*. 
Si z está en el conjunto B*, entonces |z − 2| > 1, y 
A* 
2 1 3 
B* 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 161 
 f(z) = 
)z)(z( 32
1
−−
 = 
2
1
−z
 
2
11
2
1
−
−
−
z
z = 
 
22
1
)z( −
∑
∞
= −1 2
1
n
n)z(
= ∑
∞
=
+−1
22
1
n
n)z(
. 
La función f(z) se puede representar como una serie doble alrededor de z 
= 2, cuya parte analítica es cero, y la representación es válida en el conjunto 
B*. 
3.- Desarrollo en serie de Laurent de f(z) en z = 3. 
Para obtener un desarrollo en serie doble de f(z) en z = 3, se divide 
también el plano complejo en dos regiones, delimitadas por circunferencias con 
centro en z = 3, de manera que en el interior de cada una de ellas la función no 
tenga singularidades: 
A** = {z; 0 < |z − 3| < 1} y B** = {z; |z − 3| > 1}. 
 
Figura 3.5: Regiones A** y B** del desarrollo en serie de Laurent en z = 3 
Si z está en el conjunto A**, entonces 0 < |z − 3| < 1, y 
 f(z) = 
)z)(z( 32
1
−−
 = 
3
1
−z )z( 31
1
−+
 = 
3
1
−z ∑
∞
=
−−
0
31
n
nn )z()( = 
A** 
3 1 2 
B** 
162 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
= 
3
1
−z
 + ∑
∞
=
+ −−
0
1 31
n
nn )z()( . 
Entonces f(z) tiene una representación en serie de Laurent formada por 
una serie de potencias positivas como parte analítica y un único término como 
parte principal, y coincide con la función siempre que z pertenezca al conjunto 
A**. 
Si z está en el conjunto B**, entonces |z − 3| > 1, y 
 f(z) = 
)z)(z( 32
1
−−
= 
3
1
−z
3
11
3
1
−
+
−
z
z = 23
1
)z( −
∑
∞
= −
−
0 3
1
n
n
n
)z(
)( = ∑
∞
=
+−
−
0
23
1
n
n
n
)z(
)( . 
La función f(z) se puede representar como una serie doble alrededor de z 
= 3, cuya parte analítica es cero, y la representación es válida en el conjunto 
B**. 
 
Ejercicios 
3.16. Representar en serie de Laurent alrededor de z = 0 la función f(z) 
=
)z(z 1
5
−
 de manera que la representación sea válida en los 
siguientes dominios: 
a) 0 < |z| < 1, 
b) |z| > 1. 
3.17. Representar la función f(z) = 
)z)(z(
z
41
15
+−
− en suma de potencias 
positivas y negativas de z + 4, calculando la corona circular de 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 163 
convergencia de la serie. 
3.18. Representar la función f(z) = 
)z)(z(
z
41
15
+−
− en suma de potencias 
positivas y/o negativas de z, en todas las regiones posibles, 
determinando en cada caso el dominio de convergencia. 
 
3.6. EJERCICIOS 
3.19. Demostrar la proposición 3.1.1. 
3.20. Demostrar que la sucesión cn
n
1 = 2 + + 3
2
3
1
n
n− i converge a 2. 
3.21. Demostrar que la sucesión cn
i
i
n
n
+
+
2
21 = converge a i. 
3.22. Estudiar la convergencia de la serie ∑
∞
=
+
1
22
1
n
n
n
n)(
)i( . 
3.23. Estudiar la convergencia de la serie ∑
∞
=
+
−
1
12
1
n
n
n)iz( cuando z toma los 
valores a) z = 1, b) z = i, c) z = −1 y d) z = 1 + i. 
3.24. Estudiar los dominios de convergencia de las series siguientes y si es 
posible calcular su suma. 
a) ∑
∞
=
+
−
1
12
1
n
n
n)iz( 
b) 
n
n z
z∑
∞
=






+1 1
 
164 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
c) ∑
∞
= +0
21
1
n
n)z(
 
d) ∑
+∞
=
+− −−
1
111
n
nnn )zz()( 
3.25. Demostrar que la serie ∑
∞
=0
2
n
zine!n converge en la región {z; Im z > 0}. 
3.26. Demostrar que la serie ∑
∞
=
+−−1
222
2
11n
nn
n
)z)(z(
z converge 
absolutamente en el disco abierto de centro 0 y radio 1, y calcular su 
suma. 
3.27. Calcular el radio de convergencia de las series de potencias: 
a) ∑
+∞
=0
2
n
nz 
b) ∑
+∞
=
+
+
0 2
3
n
n
n
)iz(n
 
c) ∑
+∞
=0
2
4n
n
nz
 
d) ∑
+∞
=1n
n
n
n
z!n . 
3.28. Calcular el radio de convergencia de las series de potencias: 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 165 
a) ∑
+∞
=0
2
n
nz!n 
b) ∑
+∞
=1
22n
n
n
n
z 
c) ∑
+∞
=0
2
n
!nn z 
d) ∑
+∞
=
−+
0
2
4
1
n
n
n
)iz( .3.29. Calcular el radio de convergencia de la serie que resulta de sumar 
las series: 
( ) 1
1
0
412 +−
+∞
=
∑ − n
n
n
z y 
n
n z∑
∞
=






+0 2
2 . 
3.30. Desarrollar en serie de potencias las siguientes funciones, calculando 
el radio de convergencia de la serie obtenida. 
a) 
21 z
z
−
 
b) 
652 +− zz
z . 
3.31. Calcular, para los valores de z que sea posible, la suma de las 
series: 
a) ∑
+∞
=
−
0
1
n
nn
n
z)(
 
166 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
b) ∑
+∞
=
−
1
12
n
nz)n(n . 
3.32. Sabiendo que la serie ∑
+∞
=1n
n
nzc tiene radio de convergencia R, 
calcular el radio de convergencia de las series: 
a) ∑
+∞
=1n
np
n znc 
b) ∑
+∞
=1n
n
n z|c| 
c) ∑
+∞
=1
2
n
n
n zc . 
3.33. Obtener los desarrollos en serie de potencias alrededor de z = 0 de 
las funciones: 
a) f(z) = cos
2
z 
b) f(z) = sen(z2
c) f(z)= z
) 
2⋅cos(z3
3.34. Obtener los desarrollos en serie de potencias alrededor de z = 0 de 
las funciones: 
) − 2z. 
a) f(z) =
2
2
1 z
z
−
 
© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Series complejas 167 
b) f(z) = 
21
1
)z( −
 
c) f(z) = Log (z+2). 
3.35. Estudiar si la función f(z) = 
z
senz si z ≠ 0, f(0) = 1, es analítica en C. 
3.36. Estudiar si la función f(z) = 3z
zsenz − si z ≠ 0, f(0) = 1/6, es analítica en C. 
3.37. Estudiar si la función f(z) = 
2
2 1
z
zcos − si z ≠ 0, f(0) = −1, es analítica en C. 
3.38. Estudiar si la función f(z) = 
z
ez 1− si z ≠ 0, f(0) = 5, es analítica en C. 
3.39. Estudiar si la función f(z) = 2
1
2
z
ez − si z ≠ 0, f(0) = 1, es analítica en C. 
3.40. Obtener la serie de Laurent de la función f(z) = 
32)z(
ez
−
en potencias de z 
− 2. 
3.41. Obtener una representación en potencias negativas de z de la función f(z) 
= 
z−1
1 y calcular el dominio de convergencia de la serie. 
3.42. Representar en serie de Laurent alrededor de z = 0 la función f(z) =
)z)(z( 31
2
−+
 de manera que la representación sea válida en los 
siguientes dominios: 
a) |z| < 1, b) 1 < |z| < 3, c) |z| > 3. 
3.43. Representar la función f(z) = 
)z)(z(
z
31
32
−+
+ en suma de potencias 
168 Capítulo 3º: Variable Compleja © M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 
positivas y negativas de z − 3, calculando la corona circular de 
convergencia de la serie. 
	CAPÍTULO 3
	Series complejas
	3.1. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS COMPLEJOS
	Ejemplos resueltos
	Ejercicios
	3.2. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES COMPLEJAS
	3.2.1. Sucesiones de funciones complejas
	3.2.2. Series de funciones complejas. Definición y convergencia
	3.2.3. Series de funciones complejas. Continuidad y derivabilidad
	Ejemplos resueltos
	Ejercicios
	3.3. SERIES DE POTENCIAS
	3.3.1. Definición. Convergencia de una serie de potencias
	Ejemplos resueltos
	3.3.2. Funciones definidas por series de potencias
	Ejemplos resueltos
	Ejercicios
	3.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
	3.4.1. Definición y propiedades
	3.4.2. Desarrollos en serie de funciones
	3.4.3. Prolongación analítica
	Ejemplos resueltos
	Ejercicios
	3.5. SERIES DE LAURENT
	3.5.1. Series de Laurent. Definición y convergencia
	3.5.2. Representación de funciones en serie de Laurent
	Ejercicios
	3.6. Ejercicios
	A
	B
	C