MATE2_U5

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UNIDAD
106 En marcha
5
Al terminar esta 
unidad lograré:
 -Diferenciar las 
secuencias aritméticas 
y las geométricas.
 -Resolver situaciones 
que involucran series y 
secuencias aritméticas 
y geométricas.
 -Establecer relaciones 
entre magnitudes que 
varían de forma directa 
o inversa.
 -Emplear los 
porcentajes para 
exponer situaciones 
reales.
 -Plantear situaciones 
que involucran a 
tres magnitudes 
relacionadas entre sí.
 -Utilizar la regla de 
tres compuesta para 
resolver ejercicios 
que involucren a 
tres magnitudes 
relacionadas.
SESIÓN 1
Paso 1
Leemos:
En casa de Matías hay una pareja de conejos, macho 
y hembra. Consideramos que los conejos empiezan a 
reproducirse a los dos meses de vida, procreando siempre 
un único par macho-hembra y, a partir de ese momento, 
cada uno de los meses siguientes un par más de iguales 
características, tal como se muestra en la Figura 1. 
Consideramos que no muere ninguno de los conejitos.
 - ¿Cuántos pares tendrá Matías al cabo de un año?
Actividad 1
ArmoníA de números
La serie de Fibonacci
1er mes
2o mes
3er mes
4o mes
5o mes
1 pareja
1 pareja
2 parejas
3 parejas
5 parejas
8 parejas
Figura 1 
UNIDAD5
107En marcha
Paso 2
Trazamos en cartulina un rectángulo cuyos lados midan 8 y 21, tal como se muestra en la 
Figura 2. 
 - Lo recortamos por las marcas que se muestran en la figura. 
 - Construimos con las piezas resultantes, un cuadrado cuyo lado mida 13.
Figura 2
Figura 3
 - Calculamos el área del rectángulo y el área del cuadrado.
 - Respondemos: ¿Son iguales las áreas?
La Figura 3 ilustra la secuencia 
de Fibonacci, la cual se repite 
en algunas situaciones de la 
Naturaleza.
 - Discutimos cómo esta figura 
tiene relación con la secuencia 
de Fibonacci.
¿Qué necesitamos saber? 
Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue uno de los 
matemáticos más importantes de la Edad Media en Europa. 
Una sucesión de números muy conocida y usada en matemáticas es justamente la sucesión de 
Fibonacci, que se construye de la siguiente manera:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765...
Vemos el video:
https://youtu.be/JsKZWbpSgcI
UNIDAD 5
108 Mochila de herramientas Taller de sucesiones nuMéricas
SESIÓN 2
TAller de sucesiones numéricAs
eL orden de Las cosas
Paso 1 
Leemos:
Es común que escuchemos frases como: 
Mi abuelo dice que ha visto una serie de lluvias intensas en estos 50 años. 
Fui parte de una sucesión de acontecimientos culturales importantes en mi comunidad. 
Pagué mi motocicleta al banco en una secuencia de cuotas. 
 - ¿Qué otras situaciones similares podemos simplificar en una frase?
Actividad 2
Determinamos si los siguientes eventos 
son naturales o convencionales:
 - La elaboración de tortillas
 - El crecimiento de un árbol de 
eucalipto
 - Los colores del semáforo
Construimos en el cuaderno el ciclo 
de vida del agua y establecemos a 
qué tipo de orden pertenece. 
Paso 3
Paso 2
Respondemos:
 - Determinamos el orden de los últimos 4 presidentes de Guatemala.
 - Nos organizamos en grupos de acuerdo con el mes de nacimiento.
 - Los números primos tienen un orden, ¿qué posición le corresponde al 97?
 - Ordenamos un proceso; ejemplo: Etapas en la metamorfosis de una mariposa.
Figura 1
¿Qué necesitamos saber? 
El orden natural surge de la misma Naturaleza, así por ejemplo: los días de la semana, 
los meses del año o el ciclo de vida de una rana (Ver Figura 1) tienen un orden natural. 
Por otro lado, cuando el orden surge por un convenio o por el establecimiento de una condición es 
un orden convencional, por ejemplo, el orden de la programación de la radio durante el día.
Rana adulta, termina
su ciclo, nuevamente pone 
huevos y se inicia un nuevo 
ciclo con sus descendentes.
Ciclo de vida de una rana
Renacuajo con 
cola, respira por las 
branquias externas, 
no tiene patas.
Renacuajo con cola 
y patas, respira por 
medio de branquias 
que tiene en su interior.
Huevos
Rana con cola. 
Tiene pulmones 
para respirar
UNIDAD5
109Taller de sucesiones numéricas mochila de herramientas
SESIÓN 2
Paso 4
Escribimos en el cuaderno las siguientes sucesiones:
Sucesión infinita de números pares es {2, 4, 6, 8 , 10 , 12 ,14 , 16 …}
donde a1 = 2, a2= 4, a3 = 6, a4 = 8 y an es el término n- ésimo.
Respondemos:
 - ¿Qué valor de n, le corresponde en este orden infinito a 180?
 - ¿Es posible encontrar el último término de esta sucesión?
Paso 5
Consideramos el conjunto de los números enteros positivos 
{1, 2, 3, 4, 5…n}, donde a1 es 5.
 - ¿Cuáles son los cuatro términos de esta sucesión? 
Dado que nos indican una condición, este orden 
convencional tiene cuatro términos a1, a2, a3, a4. 
 - Encontramos el valor de cada término. Utilizamos la 
expresión del Cuadro 1.
 - Establecemos si la sucesión es finita o infinita.
Paso 6
La Figura 1 muestra el ciclo de vida de 
una mosca.
Establecemos si:
 - es un orden natural o convencional.
 - es una sucesión finita o infinita.
Discutimos el tiempo de reproducción.
 - Escribimos una serie numérica 
ordenada que explique esta 
situación.
continúa
Paso 3
¿Qué necesitamos saber? 
Un sistema ordenado o conjunto ordenado en los que es importante el orden en la que aparecen 
sus n elementos se llama: sucesión infinita o sucesión finita, según si esta tiene 
un límite o no lo tiene.
abrimos brecha:
Figura 1
cuadro 1
an= a n-1+2
Es el término n-ésimo 
que debo determinar
Este el término precedente, 
es decir en la sucesión
Ciclo de vida de una mosca
1. La mosca pone 
huevos en cualquier 
parte, sobre todo donde 
hay desechos, frutas, 
animales o basura.
2. El huevo dura en ese 
estado dependiendo de 
la temperatura.
3. El huevo pasa 
a estado de larva 
o gusano.
5. Dentro de la 
pupa el insecto 
comienza a 
desarrollar alas, 
patas así como 
otras estructuras, 
formándose así; la 
mosca adulta.
3 días
2 días
2 días
4. La larva o gusano 
pasa a estado de 
pupa o capullo, en 
el quinto o sexto día.
UNIDAD 5
110 Mochila de herramientas Taller de sucesiones nuMéricas
SESIÓN 3
aPrendo a Formar sucesiones.
Paso 1 
Leemos:
La Figura 1 muestra la sucesión 
finita de 6 términos consecutivos.
 - ¿Cuál es la expresión que 
representa esta secuencia?
Actividad 3
Paso 2
La Figura 2 ilustra dos secuencias en crecimiento.
 - Determinamos cuál es la forma n –ésima que sigue en cada caso.
Completamos las siguientes tablas en el cuaderno.
Encontramos los primeros cuatro términos de una sucesión cuyo término 
enésimo es:
y
Figura 2
Tabla 1
Figura 1
+4 +4 +4 +4 +4
5 9 13 17 21 25
expresión a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
n (n+1)
2
(n+1)2
n (n+1)
2
(n+1)2
Números triangulares Números cuadrangulares
an
n – 1
2n
=an
1
2n
=
UNIDAD5
111Taller de sucesiones numéricas mochila de herramientas
¿Qué necesitamos saber? 
Leemos la información del Cuadro 1:
sucesiones Las hay de diFerenTes TiPos.
Actividad 4
SESIÓN 4
Paso 6
Quique ha dibujado la secuencia de 
números pentagonales (Figura 2) que 
cumplen con la expresión:
Figura 2
Figura 1
Paso 3
Paso 4
Encontramos los primeros cuatro términos de las sucesiones siguientes y decidimos 
qué tipo de sucesión infinita es:
Paso 5 
Escribimos una sucesión numérica para 
el arreglo que se observa en la Figura 1.
 - Comentamos la solución con los 
compañeros.
cuadro 1
Sucesión infinita Características Ejemplos
Creciente
Cualquier término de la sucesión es mayor que 
el término inmediatamente anterior.
2,4,6,8,10,...
Decreciente
Cualquier término de la sucesión es menor que 
el término inmediatamente anterior.
5, 3, 1, -1, -3, -5,...
Oscilante
Los signos de los términos de la sucesión son 
alternados. La sucesión no es creciente ni 
decreciente.
3, -6, 9, -12, 15, 
-18,...
Constante
Todos los términos de la sucesión tienen el 
mismo valor.
5, 5, 5, 5, 5,...
Sucesiones finitas y sucesiones infinitas
Una sucesión es finita si contiene limitado el número de términos, y es infinita si el número de 
términoes ilimitado.
b. an
1
n
=a. an = 2 1. c. an = (–1)n n.
1 5 12 22
an
n (3n – 1)
2
=
 - Comprobamos que a4 está 
ilustrado correctamente.
UNIDAD 5
112 Mochila de herramientas Taller de sucesiones nuMéricas
SESIÓN 5
ubicamos eL n-ésimo Término.
Paso 1 
Observo la secuencia creciente de la Figura 1 y determino:
 - ¿Qué valor tienen a4 y a5 en la secuencia?
 - ¿Cuál es la expresión que determina el crecimiento 
del n-ésimo término?
Paso 2
Completo la Tabla 1 en el cuaderno; sigo la siguiente condición:
 - Los términos de la primera secuencia los escribo en fracción o decimal
 - Los términos de la segunda secuencia los escribo como fracciones mixtas.
Paso 3
Leemos:
Actividad 5
Figura 1
Respondemos: 
 - ¿De cuánto en cuánto estas secuencias crecen o decrecen?
Tabla 1
Figura 1
a1= a2= a3= a4= a5= a6=
a1= a2= a3= a4= a5= a6=
2 + 2n
4
an=
n
4
3an= +
¿Qué necesitamos saber? 
Observo la serie: 5, 9, 13, 17 ¿Cuál es el quinto término? Si respondo 21, es porque 
me doy cuenta de que cada término, después del primero, puede obtenerse a partir del 
precedente, al sumársele 4. 
Este es un ejemplo de sucesión aritmética (Ver Figura 1). En general, una sucesión 
aritmética: a1 , a2, a3, a4…,an, …se llama sucesión aritmética cuando existe una constante 
d llamada diferencia común. 
an = a1 + (n - 1)d
Fórmula de la sucesión aritmética
Primer
término
Número 
de términos
Último
término
Último
término
UNIDAD5
113Taller de sucesiones numéricas mochila de herramientas
SESIÓN 5
Paso 4
Leemos: 
Alfredo juega con las fichas de dominó y ha logrado armar con 6 fichas, una secuencia 
aritmética. Su estrategia fue: sumar los puntos en cada ficha para obtener los términos 
consecutivos con una diferencia común. (Ver Figura 2) 
 - ¿Cuál es la diferencia de la secuencia aritmética?
 - Escribo la secuencia en el cuaderno y su fórmula. (Me guío por del Paso 3)
Paso 5
Resuelvo:
 - ¿Cuál es el décimo término de la sucesión aritmética {3 , 5 ,7 …}?
 - Reviso el ejemplo del Cuadro 1 y evalúo el procedimiento seguido.
Paso 6
Argumento en cada caso si la sucesión es una secuencia aritmética. En caso de serlo, 
la expreso mediante su término general.
a. En la granja de Rodrigo hay 5 cerdos. Cada cerdo come 18 libras de alimento al día. Rodrigo 
tiene 100 libras de alimento en la granja. ¿Cuánto en libras, le van quedando por día?
b. La doctora López ha estudiado que una célula se reproduce por bipartición cada 6 horas. 
 ¿Cuántas células habrá al paso de 48 horas?
Resuelvo:
 - ¿Cuál es el décimo octavo término de una sucesión aritmética cuyo primer 
término es 3 y la diferencia es 5?
Figura 2
cuadro 1
datos:
an : ?
a1 : 3
n : 10
d : 2
Fórmula:
an = a1 + (n – 1) d
sustitución y resultado:
an = 3 + (10 – 1) x2
an = 3 + (9) x2
an = 3 + 18
an = 21
UNIDAD 5
114 Mochila de herramientas Taller de sucesiones nuMéricas
Paso 2
Indico cuál de las siguientes sucesiones es aritmética y explico por qué:
Paso 3
Leo:
Paso 4
Resuelvo empleando las expresiones anteriores (Paso 3):
 - Encuentro la diferencia de una secuencia donde - 4 es el décimo término 
y el primer término es – 1.
 - En una secuencia, el décimo quinto (15o) término es 20 y la razón 2/7, 
¿Cuál es el primer término?
Paso 5
Cada uno de nosotros nos enumeramos iniciando con 1 hasta el último de la clase.
Los que tomaron número par resolverán la siguiente situación:
 - ¿Cuántos términos tiene la secuencia: 5, 5 1/3…18?
Los que tomaron número impar resolverán la siguiente situación:
 - El primer término de una secuencia es 5 1/5, el segundo término 6 
y el último término 18. ¿Cuál es el número de términos?
Comparto en clase los resultados.
Paso 6
Leo: 
Alfredo es un dentista que cobró Q 20.00 por arreglar la primera pieza dental de Doña 
Marta y Q 5 1/2 más por cada pieza adicional. Al final, arregló 5 piezas dentales.
 - Construyo la secuencia aritmética
 - Explico quién toma el valor de a1, d y n.
SESIÓN 6
PrácTica de sucesiones ariTméTicas
Actividad 6
Paso 1 
Leo: 
El primero y décimo término de una sucesión aritmética son 3 y 30, respectivamente. 
 - ¿Qué valor tiene el quincuagésimo (50o) término de la secuencia?
 - Comento con mis compañeros qué estrategia seguir.
c. - 4 , -1, 2 , 5d. 2, 4 , 8, 16 …b. 3, 5, 7 ,9 …a. 1, 2, 3 , 5 …
¿Qué necesitamos saber? 
En una secuencia aritmética puedo determinar: el primer término (a1), la diferencia 
común (d) y el número de términos. Las siguientes expresiones son útiles en una secuencia 
aritmética:
a1 = an – (n – 1)d d = 
an – a1
n – 1
d = 
an – a1 + d
d
UNIDAD5
115Taller de sucesiones numéricas mochila de herramientas
SESIÓN 7
suma de sucesiones ariTméTicas
Actividad 7
Paso 1 
Leemos y resolvemos:
Santiago es un ciclista que se prepara para participar en la Vuelta a Guatemala a celebrarse 
en octubre. En su entrenamiento, recorre 50 km el primer día y en cada día posterior 5 1/2 
más de lo que recorrió el día anterior. 
 - ¿Cuánto habrá recorrido en una semana?
Paso 2 
Encontramos cuánto suman los términos de las siguientes secuencias aritméticas:
Paso 4 
Respondemos: 
 - ¿Cuántos números impares hay del 51 al 99?
Demostramos que la suma de todos los números impares del 51 al 99 es 1875.
Paso 5 
Analizamos la situación ilustrada en la Figura 1 y luego resolvemos:
Marcos está en el techo de un edificio y deja caer una piedra 
libremente. En el primer segundo recorre 16 pies, en el segundo 
recorre 48 pies y en el tercer segundo 80 pies. La piedra tarda 6 
segundos en llegar al suelo, 
 - ¿De qué altura dejó caer la piedra Marcos?
Paso 6 
Sebastián necesita saber cuánto dinero ha depositado en el banco en 5 años. Recuerda que 
en enero del primer año, depositó Q 35.00 y en cada mes posterior depositó Q 5.00 más que 
el anterior. Sebastián es una persona muy disciplinada en sus asuntos económicos.
Calculamos, cuánto dinero tiene ahorrado Sebastián en 5 años, empleando las expresiones de 
suma de una sucesión aritmética.
Paso 3 
Leemos:
a. 1, 4 , 7 ,10, 13 , 16… b. Los 8 primeros términos de 15 , 19 , 23 …
¿Qué necesitamos saber? 
La suma de los términos de una sucesión aritmética recibe el nombre de serie aritmética. 
Para encontrar la suma de los primeros n términos de una serie aritmética empleamos las 
siguientes expresiones:
 - Comentamos cuál es la diferencia entre ambas expresiones.
Figura 1
Sn = 2a1 + (n – 1) dn
2
Sn = (a1 + an)
n
2
altura
A
B
UNIDAD 5
116 Mochila de herramientas Taller de sucesiones nuMéricas
SESIÓN 8
sucesiones geoméTricas
Paso 1 
Analizamos la siguiente secuencia: 2, -4, 8, -16 e indicamos: 
 - ¿Cuáles son el quinto y sexto término?
Paso 2 
Copiamos en el cuaderno las siguientes secuencias y encontramos los términos 
que faltan. 
 - Multiplicamos por el número antecesor que se indica, para completar el cuadro.
Paso 3 
Leemos:
Actividad 8
Figura 1
Indicamos qué tipo de secuencia es: creciente, decreciente, oscilante o continua.
Respondemos cuál es la razón en este caso:
 - ¿Cuántas veces debemos multiplicar 
la razón para obtener el 6o término?
 - Revisamos el siguiente procedimiento 
para obtener el 6o término:
¿Qué necesitamos saber? 
Una sucesión geométrica es aquella donde cada término es multiplicado por una constante 
llamada: razón común. Por ejemplo, la secuencia: 5, 25,125, 625… 
crece con rapidez porque la razón común es 5.
La expresión de sucesión geométrica es:
a1 a2 a3 a4 = a3 x - 3 a5 = a4 x -3 a6= a5 x -3
-1 3 -9
a1 a2 a3 a4 = a3 x 1/2 a5 = a4 x 1/2 a6= a5 x 1/2
2 1 1/2
an = a1 · r n-1
5 x 5 = 25
25 x 5 = 125
125 x 5 = 625
625 x 5 = 3125
1 x 4 = 
4 x 4 = 
16 x 4 = 
64 x 4 = 
an = a1 · r n-1= 4 · (4) 6-1= 4 · (4)5 = 4 · (1024) = 4096
Completamos la escalera de la Figura 1. Trabajamos en el cuaderno hasta completar 
6 términos.
UNIDAD5
117Taller de sucesiones numéricas mochila de herramientas
Paso 4 
Resolvemos y compartimos nuestros resultados:- Hallar el 5o término de 2, 6 18…
 - ¿Cuál es el 6o término 16, -4, 1…?
 - Encontramos la razón geométrica de: 3/4, -1/2, 1/3 . . .
abrimos brecha:
Paso 5 
Seleccionamos de las siguientes secuencias, cuál es geométrica:
 
 - Encontramos el 7o término en las sucesiones geométricas.
 - Encontramos la suma de los primeros 7 términos en las sucesiones geométricas.
Paso 6 
Leemos: 
Un día el Rey de un lugar muy poderoso recibió del 
sabio del reino un tablero de ajedrez con 64 casillas 
y le enseñó a jugar. 
El rey agradecido dijo al sabio que pidiera lo que 
él quisiera ya que él se lo concedería. 
El sabio respondió: Manda que me entreguen un grano 
de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, por 
la segunda casilla dos granos, por la tercera casilla 4 
granos, por la quinta 16, por la sexta 32…
–¡Unos simples granos de trigo! Tu deseo es concedido 
– respondió el rey. 
Respondemos:
 - ¿Cuál es la razón de esta secuencia 
geométrica?
 - ¿Cuántos granos de trigo debe entregar el rey 
al sabio al completar las dos primeras filas del 
ajedrez?
 - ¿Puede el rey cumplir el deseo del sabio? 
Expliquemos.
SESIÓN 9
PrácTica de sucesiones geoméTricas
Actividad 9
Veo el video en YouTube: 
Para qué sirve la potenciación. 
https://youtu.be/tttdXguM3LQ 
La leyenda del tablero de 
Ajedrez
¿Qué necesitamos saber? 
Para sumar secuencias geométricas finitas 
se debe utilizar la siguiente expresión: 
Por ejemplo, en la secuencia: 4, 16, 64, 256,1024…
¿Cuánto suman estos 5 términos?
a. 2, -4, 8… b. 7, 6.5, 6,… c. -11, -16, -21… d. 12, 4, 1 1/3… 
Sn = 
an – ran
1 – r
r = 1 Sn = = = 1364 
an – ran
1 – r
4 – (4 · 1024)
1 – 4
Tablero de ajedrez 
UNIDAD 5
118 Mochila de herramientas Taller de aplicación y reforzaMienTo ariTMéTico 
SESIÓN 10
TAller de AplicAción 
y reforzAmienTo AriTméTico 
PorcenTajes
Paso 1 
Leemos:
Julia tiene 4 bolsas y en cada una hay 25 dulces de los cuales un 20% son de 
cardamomo. Ver cómo se ilustra en la Figura 1.
Respondemos:
 - ¿Qué fracción de dulces de cardamomo hay en cada bolsa?
 - ¿Cuántos dulces de cardamomo hay en total en las 5 bolsas?
Actividad 10
Paso 2
Leemos: 
En un estadio de futbol los aficionados llegan y se sientan en las butacas disponibles, 
tal como se observa en la Figura 2. 
Figura 2
Figura 3
 - ¿Qué número representa el 100%?
 - Escribimos una fracción que 
determine la cantidad de 
aficionados sentados en la 
última fila.
 - ¿Qué porcentaje de aficionados 
se sienta en primera fila?
Leemos:
Juan lleva un control de las personas que han ido a comprar a su abarrotería a lo 
largo del año. De cada 100 personas que entran a la tienda, 45 no compran nada, 
15 compran solo un artículo y el resto se lleva más de uno. 
 - Formamos tres grupos como se observa en la Figura 3 y expresamos cada cantidad 
como porcentajes.
Figura 1
25 caramelos 50 caramelos 75 caramelos 100 caramelos
45 no compran nada
____________%
15 compran un artículo
____________%
El resto de 100 se lleva más 
de un artículo____________%
UNIDAD5
119Taller de aplicación y reforzamienTo ariTméTico mochila de herramientas
Paso 3
Leemos:
SESIÓN 10
abrimos brecha:
Analizamos la Figura 4; interpretamos y expresamos nuestros comentarios al respecto 
de la cantidad de agua dulce en el mundo. 
Leemos y resolvemos:
Según estudios realizados por las autoridades de nuestro país, en el año 2012, Guatemala 
consumía aproximadamente 9600 millones de metros cúbicos de agua de los cuales el 41% 
corresponde a riego, 46% a hidroelectricidad, consumo humano 9% y otros usos 4%.
 - Calculamos la cantidad en millones de metros cúbicos que consumió cada sector mencionado.
¿Qué necesitamos saber? 
El Día Mundial del Agua se celebra el 22 de marzo de cada año. Al analizar la superficie del planeta, (ver 
Figura 4), sencillamente se puede estimar que un 70% está cubierto de agua, y el restante 30% es masa 
continental. El agua dulce representa tan solo una ínfima parte de la masa total. 
Figura 4
¿Qué necesitamos saber? 
Las noticias nos hablan en términos porcentuales, del aumento de los precios de la canasta básica,
del aumento de la población o nos enteramos de una venta especial que tiene el 25 % de descuento 
en sus productos.
Por ejemplo: Un teléfono celular que tiene un precio de N= Q 400.00 y tiene un r % = 20 % de 
descuento: 20% significa: 20 partes de 100, en fracción decimal 20/100. Por cada Q 100 descontarán 
Q 20.00. Es decir que el teléfono celular tiene un descuento de Q 80.00. 
continúa
Paso 2
Tierra
70%
Agua
30%
Porcentaje de agua y tierra 
firme en la superficie de 
la Tierra
Agua dulce
3%
Agua marina
97%
Total agua del Planeta Total agua dulce
Hielo
79%
Aguas 
subterráneas
20%
Agua dulce
superficial
1%
descuento = · (N)= · Q 400.00 = Q 80.00 
r
100
20
100
UNIDAD 5
120 Mochila de herramientas Taller de aplicación y reforzaMienTo ariTMéTico 
Figura 1
Tabla 1
Paso 4
Leemos: 
Alberto ha decidido hacer un descuento en 
algunos de los productos que vende en su 
negocio. La Figura 1 muestra el descuento 
ofrecido en cada artículo si se compra por 
docena.
 - Completamos la Tabla 1 para conocer 
el precio de cada artículo y el costo por 
docena.
SESIÓN 11
PorcenTajes y ProPorcionaLidad direcTa 
Actividad 11
Tabla 2
 - Explicamos: ¿El peso de un bebé se duplica o triplica con la edad?
La Tabla 2 que se muestra a continuación corresponde al peso de un bebé en 8 meses. 
Leemos: 
abrimos brecha:
¿Qué necesitamos saber? 
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una también lo hace 
la otra en la misma proporción, también puede suceder que al decrecer la primera entonces, 
la segunda también decrece en la misma proporción.
Ejemplo: La moto de Julio consume 2 galones en 100 km, 4 galones en 200 km, 
6 galones en 300 km.
Precio descuento Precio por unidad Precio por docena
Botas Q 45.00
Mochila Q 50.00
Gorro Q 24.00
Edad en (meses) 1 2 4 8
Peso (libras) 8 9.5 12.4 15.5
20%
8%
25%
UNIDAD5
121Taller de aplicación y reforzamienTo ariTméTico mochila de herramientas
Paso 5
Discutimos si las siguientes relaciones son directamente proporcionales:
a. La edad de una persona y su estatura.
b. La distancia y el tiempo empleado en recorrer la carretera de Zacapa a Petén.
c. El precio de la entrada al estadio municipal y la cantidad de personas que ingresan.
d. La estatura y el peso de una persona.
e. El precio de una libra de pollo y el dinero que pagamos.
Paso 6
Resolvemos: Lorenzo vende discos compactos a 15 quetzales cada uno. 
 - Elaboramos una tabla de equivalencias con el número de discos y el precio. 
 - Respondemos: ¿Cuántos discos se pueden comprar con 165 quetzales?
SESIÓN 11
continúa
Paso 4
Analizamos estos ejemplos:
b. A doble número de sacos, doble cantidad de libras 
de papa, a triple número de sacos, triple cantidad de 
libras de papa... Podemos decir que el peso de las 
papas es proporcional al número de sacos.
c. A doble número de páginas doble grosor, a triple 
número de páginas, triple grosor... Podemos decir 
 que el número de páginas es proporcional al grosor.
Leemos:
Dos magnitudes son proporcionales si podemos pasar de una magnitud a la otra multiplicando 
o dividiendo por el mismo número.
1 m de tela vale Q 11.00
4 m de tela valen Q 44.00
1 saco pesa 20 libras
3 sacos pesan 60 libras
100 páginas miden 0.5 cm de grosor
500 páginas miden 2.5 cm de grosor
a. A doble número de metros de tela doble precio de la 
tela, a triple número de metros, triple precio... 
 Podemos decir que el precio de la tela es proporcional 
a su longitud.
 El precio de la tela y su longitud son magnitudes 
proporcionales.
UNIDAD 5
122 Mochila de herramientas Taller de aplicación y reforzaMienTo ariTMéTico 
SESIÓN 12
regLa de Tres simPLe
Paso 1 
Leemos:
En la comunidad donde vive Karla hay 3500 habitantes listos para votar en las próximas 
elecciones para elegir alcalde.Llega a votar solo el 35% de los habitantes.
 - ¿Cuántos habitantes llegaron a votar?
Paso 2 
Leemos:
En Antigua Guatemala, Don Antonio es un alfarero muy famoso. Fabrica 20 piezas 
de barro de la misma forma en 5 horas en un día. 
 - ¿Cuántas piezas puede fabricar en 48 horas y cuántos días se tardará?
 - Resolvemos en el cuaderno completando una tabla como la siguiente:
Actividad 12
Calculamos aproximadamente la cantidad de piezas de barro y la cantidad de días
que tarda Don Antonio, según los datos.
Analizamos la siguiente situación:
Todos los rectángulo de la Figura 1 tienen un área de 24 cm2 y hay una relación entre 
la altura y la base.
Explicamos si esta relación de las magnitudes: altura y base, son directamente 
proporcionales o inversamente proporcionales.
Período de horas 5 10 15 ...
Días 1 2 3 ...
Piezas de barro 20 40 60 ...
Figura 1
12
 c
m
6 
cm
4 
cm
2 cm
4 cm
6 cm
UNIDAD5
123Taller de aplicación y reforzamienTo ariTméTico mochila de herramientas
Paso 3
Leemos:
Paso 4
Nos numeramos del 1 al 3, según el número que nos corresponde es la situación 
que resolveremos a continuación.
¿Qué necesitamos saber? 
Los problemas en los que las magnitudes mantienen una relación proporcional directa o inversa se 
resuelven mediante la regla de tres simple. Las figuras siguientes ilustran esta situación.
Resolvemos cada una de las siguientes situaciones:
Figura 1 Figura 2
SESIÓN 12
Regla de tres simple
Directa
Un vendedor de 
tomate vende 12 libras 
de tomate a Q 36.00 
¿A qué precio venderá 
5 libras de tomate?
Planteamiento
kilos precio
12 36
5 ?
Regla de tres simple
Inversa
Una moto tarda 2 horas 
en recorrer un camino 
a 10 km/hr 
¿Cuánto tardará en 
realizar ese mismo 
recorrido en 20 km/hr?
Planteamiento
km/hr horas
10 2
20 ?
situación 3:
En una fábrica de papel se tiene el dato que para producir 
1 tonelada de papel son necesarias dos toneladas de 
madera. Si reciclamos 360 1/4 toneladas de papel, para 
evitar usar madera, ¿cuántas toneladas de madera se 
dejan de utilizar?
situación 1:
El depósito de la Figura 1, extrae agua de un pozo por 
medio de una bomba sumergible. Las 3/5 partes de la 
capacidad del depósito son de 12,000 litros. 
¿Cuál es la capacidad total del depósito?
situación 2:
Una máquina produce tela a nivel industrial (Ver Figura 2). 
El jefe encargado de la máquina sabe que las 8 máquinas 
disponibles producen 5000 metros de tela en una semana. 
¿Cuántos metros de tela producen solo 3 máquinas 
en el mismo tiempo?
Figura 1
Figura 2
UNIDAD 5
124 Mochila de herramientas Taller de aplicación y reforzaMienTo ariTMéTico 
continúa
Paso 4
abrimos brecha:
Analizamos las siguientes situaciones:
En el tanque municipal de agua hay nueve chorros abiertos durante 10 horas diarias 
que han consumido una cantidad de agua por valor de Q. 200.00 según el Alcalde 
del lugar. Determinamos el precio del vertido de 15 chorros abiertos 12 horas durante 
los mismos días.
¿Qué necesitamos saber? 
Cuando la cantidad de magnitudes que aparece en un problema es mayor que dos, se aplica 
la regla de tres compuesta. Estos problemas son equivalentes a varios problemas de regla de 
tres simple encadenados. De acuerdo con las magnitudes, encontramos varios casos.
Respondemos:
A más chorros, más quetzales, por lo tanto la relación es ¿directa o inversa?
A más horas, más quetzales, por lo tanto la relación es ¿directa o inversa?
Leemos y analizamos la solución:
5 albañiles emplean 6 horas diarias para construir un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 
4 albañiles trabajando 7 horas diarias?
Observamos que:
Establecemos el siguiente esquema:
9 chorros 10 horas Q 200 
15 chorros 12 horas x Q
por lo tanto
por lo tanto:
Operamos:
dado que la 
relación es inversa: 
por lo tanto
A menos obreros, más días Inversa.
A más horas, menos días Inversa.
5 obreros 6 horas 2 días
4 obreros 7 horas x días
Figura 1
SESIÓN 13
regLa de Tres comPuesTa
Actividad 13
9
15
10
12
200
x
· = 90
180
200
x
=
180 ·200
90
Q400=x =
5
4
6
7
2
x
· = 30
28
2
x
= 28
30
2
x
1
7
= x = 2
UNIDAD5
125Taller de aplicación y reforzamienTo ariTméTico mochila de herramientas
Paso 5
Resolvemos en el cuaderno las siguientes situaciones.
 - Exponemos en un cartel los resultados obtenidos.
Paso 6
Leemos:
Fernando tiene una fábrica para empacar café. En la fábrica, 5 máquinas son capaces 
de empacar 7,200 paquetes de café en 6 horas. Luego, cada paquete se vende en las tiendas 
a Q 1.50. Ahora, Fernando ha pensado en comprar 2 máquinas adicionales. 
 - El Recuadro 2 resume la información.
Respodemos: 
 - ¿Cuántos paquetes de café podrá producir con 7 máquinas en 8 horas?
 - ¿Qué cantidad de dinero adicional ingresará a la fábrica de Fernando 
como resultado de la compra de las dos máquinas adicionales?
Exponemos nuestro resultado en un cartel.
SESIÓN 13
recuadro 1
Regla de tres compuesta
Directa
Tres carpinteros pueden 
fabricar 10 sillas en 5 horas. 
¿Cuántas sillas fabrican 
5 carpinteros si trabajn 6 
horas cada uno?
obreros horas piezas
3 5 18
5 6 ?
Regla de tres compuesta
Inversa
Tres bombas de agua 
trabajando 4 horas diarias, 
son capaces de llenar la 
pileta del parque central en 
2 días ¿Cuánto tardarán en 
llenar 2 bombas trabajando 
12 horas diarias?
bombas hr/día días
3 4 2
2 12 ?
recuadro 2
máquinas horas Paquetes
5 6 7200
1 1
7 8
7200 = 240
5 · 6
Sabemos que
1 máquina en 
1 hora envasa
7 máquina en 
8 horas envasan
UNIDAD 5
126 Mesa de Trabajo proyecTo
SESIÓN 14
proyecto 5 
salud integral: prevención y valor nutricional
fase i: preparación
Presentación 30 minutos
¿en qué consiste este proyecto? 
En la realización de actividades para prevenir enfermedades y promocionar 
hábitos saludables a través de la ejercitación, recreación y una alimentación 
nutritiva.
¿cuál es el propósito de este proyecto?
Promocionar los beneficios que conlleva la prevención de enfermedades, 
con el fin de procurar una vida saludable y armónica a través de la práctica 
de buenas costumbres.
¿Qué necesito para construir este proyecto? 
FODA (FT 27) específico del área de salud
Material elaborado por la comisión de salud, en la unidad 4. 
(Plan de trabajo por comisión)
con mi comunidad
nivel aula: Vcc
generosidad 
Compartir o dar por sobre el 
propio interés de la utilidad.
equidad
Vivir con moderación. Actuar 
de forma justa y ecuánime. 
consenso
Es llegar a un acuerdo entre 
dos o más personas.
bienestar 
Calidad de vida que posee 
una persona o comunidad. 
 
condiciones que 
determinan una efectiva 
promoción de la salud:
 - Convivencia solidaria 
y participativa
 - Entornos saludables 
(higiénicos) y motivadores 
(optimistas) 
 - Conciencia ecológica 
(uso racional de los 
recursos)
 - Decisiones y acciones 
orientadas para el 
beneficio de la propia 
salud física, mental 
y social 
 - Estilo de vida y hábitos 
saludables 
 - Capacidad para 
reponerse ante el fracaso 
 - Alimentación 
balanceada
 - Ejercitación física 
 - Optimización del tiempo 
libre 
 - Vivir con integridad
Paso 1 90 minutos
identificar la fuente de información y de apoyo
Investigamos acerca del plan de trabajo por comisión.
Analizamos el FODA específico al área de salud
Revisamos el cronograma de proyectos trabajado y presentado 
en el proyecto No. 4
Paso 2 90 minutos
elaboración de carteles o afiches (FT13).
Para ello, considero las siguientes preguntas: 
 - ¿Qué es la salud para mí? 
 - ¿Cómo puedo fomentar una vida saludable? 
Leo la información que aparece en el cintillo.
Elaboro uno o más carteles que ilustren las respuestas anteriores y argumento 
mi explicación. 
exposición de la información
Ver anexo organizadores gráficos para exposición y elaborar cartel.
Con los carteles que elaboré, expongo y argumento mis ideas.
Coloco el o los carteles en un lugar visible del salón de clases.
Actividad 14
UNIDAD5
127Mesa de TrabajoproyecTo
SESIÓN 15
con mi comunidad
nivel aula: Vcc
ruta de la salud
Con la orientación del facilitador realizo mi ruta de la salud. 
Paso 4 180 minutos 
elaboración de una guía. 
 
asignación de temas 
 - Para realizar la investigación, se asignarán con ayuda del facilitador, 
los temas a equipos de cinco integrantes.
 - Es necesario realizar entrevistas (FT 1), búsquedas documentales (FT 22) 
o por internet. 
Presentación de productos
 - Mediante recursos electrónicos, organizadores gráficos, carteles, diapositivas 
en papel, y/o tiras informativas (FT 29), elaboración de trifoliares (FT 14), 
periódico escolar, boletines, otros.
 - Una actividad didáctica relacionada con el tema o subtema asignado: 
charla, conferencia, taller (FT 5), entre otros.
 - La información se presentará y/o socializará, según lo estime el facilitador.
Paso 5 30 minutos 
diario de clase
Realizo un análisis acerca de la situación actual de la salud en nuestra 
comunidad.
Presento públicamente estrategias de solución, con rutas de acción priorizadas 
para el cuidado y promoción de la salud en nuestra familia.
Solicito al facilitador los instrumentos para auto, heteroevaluación 
o coevaluación de mi proceso formativo.
Mi ruta de salud 
movilidad articular
 - Es la que determina 
el tipo y el grado de 
movimiento que puede 
realizar cada una de las 
articulaciones.
 - Elasticidad muscular, 
es la propiedad que 
poseen los músculos 
de estirarse hasta una 
determinada posición 
y volver a su posición 
inicial.
dieta saludable 
Es un signo de una buena 
disciplina nutricional, 
que sugiere el consumo 
adecuado de los alimentos 
necesarios para el buen 
funcionamiento de nuestro 
organismo.Paso 3 180 minutos 
determinación de consensos 
Con el análisis FODA específico al área de salud y la orientación del facilitador, 
la comisión encargada dirige la actividad.
Se delimitan temas que se investigarán y que tengan relación con las 
condiciones de vida y bienestar familiar. 
 - Dieta saludable y nutrición balanceada. 
 - Prevención de adicciones y enfermedades.
 - Propuestas para mejorar los servicios básicos en nuestra vida familiar.
 - Vida en armonía con la Naturaleza (medio ambiente). 
 - Acciones para la prevención de accidentes.
 - Acciones ante desastres (evacuación y protección)
 - Crecimiento y desarrollo humano, entre otros. 
Sitios Web sugeridos
 
medicina tradicional 
en guatemala 
http://wikiguate.com.gt/
medicina-maya/
http://www.who.int/social_
determinants/resources/
csdh_media/mayan_
medicine_2007_es.pdf
guías didácticas 
prevención de 
desastres y riesgos
http://www.conred.
gob.gt/www/index.
php?option=com_conte
nt&view=article&id=498
2&Itemid=884
Actividad 15
UNIDAD 5
128 Evaluación - Unidad 5-
SESIÓN 16
evAluAción de cierre de lA unidAd 
VaLoro mi aPrendizaje.
Problema 1 
Leemos el texto:
Karla y Alberto colocan una pelota sobre un plano inclinado, tal como se muestra en la 
Figura 1. Luego, la pelota rueda sobre el plano y observan que recorre dos centímetros 
durante el primer segundo. Siguen con el experimento y registran que la pelota en cada 
segundo posterior recorre 3.5 centímetros más que en el segundo inmediato anterior. 
 - Completamos la Tabla 1 para los primeros seis segundos de recorrido de la pelota.
Problema 2 
Leemos el texto:
Manuel trabaja en una empresa que se dedica a la construcción de postes 
de concreto para el alumbrado eléctrico. A su comunidad llevaron una serie 
de postes y los colocaron en 10 hileras, tal como se muestra en la Figura 2.
Respondemos:
 - ¿Cuáles son los primeros 3 términos de esta secuencia?
 - ¿Qué valor tiene el término a10, es decir el de la última hilera?
 - ¿Cuánto suman todos los postes de esta serie aritmética?
Actividad 16
Utilizamos la expresión de serie 
aritmética para responder a la 
siguiente pregunta:
 - ¿Qué distancia habrá recorrido 
durante los primeros seis 
segundos?
Tiempo 1 2 3 4 5 6
distancia 2
Figura 1
2 cm
(2 + 3.5) cm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3ra. hilera
2da. hilera
1ra. hilera
Figura 2
UNIDAD5
129Evaluación - Unidad 5-
SESIÓN 16
Problema 3
Leemos y analizamos:
Nicolás trabaja en el Programa MOSCAMED que es la institución oficial encargada del 
control y erradicación de la mosca del Mediterráneo. Nicolás estudia el caso una mosca 
capaz de reproducirse una sola vez en su vida, teniendo exactamente dos crías; a su vez, 
las crías también pueden reproducirse únicamente una vez en su vida teniendo dos crías, 
y así sucesivamente. El Cuadro 1 representa esta secuencia. Consideramos que a1 = 2.
 recuerdo analizar y registrar mis progresos.
90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro
76-89: Lo logré. Color verde claro
60-75: Puedo mejorar. Color amarillo
0-59: En proceso. Color rojo
Problema 4
Leemos y analizamos:
La alcaldesa ha contratado 9 empleados para que trabajen 8 horas diarias pintando el edificio 
municipal en 12 días. Ahora, la alcaldesa ha tenido que contratar más empleados para que 
no demoren en pintar el edificio, pero estos han decidido que solo trabajan 6 horas diarias. 
La Figura 3 plantea esta situación.
Respondemos 
 - ¿Cuántos días demorarán? 
 - Explicamos cuántos días adelantó el trabajo de pintura la decisión de la alcaldesa.
Figura 3
Respondemos:
 - Este tipo de secuencia es ¿aritmética o 
geométrica?
 - Si se reproducen cada semana, 
calculamos el valor de a11 de la 
secuencia.
 - ¿Cuántos insectos habrá al cabo de 
las 11 semanas, suponiendo que 
ninguno hubiese muerto?
cuadro 1
semana 0 semana 1 semana 2
1
1
1
1
1
1
1
1 2 4+ +
Número de 
empleados
9
18
Número de 
días
12
x
Número de 
horas
8
6