Séries e Sucessões Matemáticas

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I.T.INFORMÁTICA GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS
CÁLCULO INFINITESIMAL CURSO 2010-11
1. Sucesiones y series numéricas
1. Escribir una expresión para el n-ésimo término de la sucesión:
a) 1 +
1
2
, 1 +
3
4
, 1 +
7
8
, 1 +
15
16
, · · ·
b)
1
2 · 3
,
2
3 · 4
,
3
4 · 5
, · · ·
c) 1,
1
2
,
1
6
,
1
24
,
1
120
, · · ·
d) 1,
1
1 · 3
,
1
1 · 3 · 5
,
1
1 · 3 · 5 · 7
, · · ·
e) 2, −4, 6, −8, 10, . . .
f) 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, . . .
2. Determinar la convergencia o divergencia de la sucesión cuyo término n-ésimo se da. En caso de
convergencia, determinar el ĺımite.
a) an =
1
n3/2
b) an =
n− 1
n
− n
n− 1
c) an =
3n2 − n+ 4
2n2 + 1
d) an =
ln(n2)
n
e) an = cos
nπ
2
f) an =
n!
nn
g) an =
np
en
, (p > 0)
h) an =
n
2n+2
i) an = n
√
n
j) an =
1 + 2
√
2 + 3 3
√
3 + · · ·+ n n
√
n
n2
3. En el estudio de la procreación de conejos, Fibonacci (hacia 1175-1250) encontró la hoy famosa sucesión
que lleva su nombre, definida por recurrencia como
an+2 = an + an+1, a1 = 1, a2 = 1 .
a) Escribir sus 12 primeros términos.
b) Escribir los 10 primeros términos de la sucesión definida por
bn =
an+1
an
, para n ≥ 1.
Cálculo Infinitesimal – I.T.Informática Gestión Curso 2010-11 2
c) Usando la definición del apartado anterior, probar que
bn = 1 +
1
bn−1
d) Si lim bn = α usar los apartados anteriores para verificar que α = 1 + 1
α . Resolver esta ecuación
en α (α se conoce como la sección áurea).
4. a) Si (an) es una sucesión de números reales que tiene ĺımite, lim an = l (finito o infinito). Probar
que lim
a1 + a2 + . . .+ an
n
= l.
b) Hallar el valor del siguiente ĺımite: lim
ln(
√
2 · 3
√
3 · · · n
√
n)
n
.
5. a) Si (an) es una sucesión de números reales que tiene ĺımite, lim an = l (finito o infinito). Probar
que lim n
√
a1a2 · · · an = l (se supone an > 0).
b) Hallar el valor del siguiente ĺımite: lim
n
√
n!.
6. Verificar que la serie dada es divergente.
a)
∞∑
n=1
n√
n2 + 1
.
b)
∞∑
n=20
3
(
3
2
)n
.
c)
∞∑
n=0
1000(1, 055)n.
d)
∞∑
n=1
2n + 1
2n+1
.
e)
∞∑
n=1
n!
2n
.
7. Comprobar que las series siguientes son convergentes y calcular su suma.
a)
∞∑
n=0
(0, 9)n
b)
∞∑
n=1
(
−1
2
)n
.
c)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
. (Usar fracciones simples).
d)
∞∑
n=1
4
n(n+ 2)
.
e)
∞∑
n=1
1
(2n+ 1)(2n+ 3)
.
f)
∞∑
n=1
(
1
2n
− 1
3n
)
.
g)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
4n
.
Cálculo Infinitesimal – I.T.Informática Gestión Curso 2010-11 3
h)
∞∑
n=1
2n+ 3
2n
.
8. Expresar cada decimal periódico como una serie geométrica y escribir su suma en forma de cociente
de dos números enteros.
a) 0, 07575
b) 0, 21515
9. Hallar dos series divergente
∑
an y
∑
bn tales que
∑
(an + bn) sea convergente. Si
∑
an converge y∑
bn diverge, demostrar que
∑
(an + bn) diverge.
10. Usar el criterio de comparación directa para saber si la serie converge o no.
a)
∞∑
n=1
1
n2 + 1
.
b)
∞∑
n=0
1
3n + 1
.
c)
∞∑
n=2
lnn
n+ 1
.
d)
∞∑
n=0
1
n!
.
e)
∞∑
n=0
e−n2
.
f)
∞∑
n=1
4n
3n − 1
.
11. Usar el criterio de comparación en el ĺımite para determinar si la serie es convergente o divergente.
a)
∞∑
n=2
1√
n2 − 1
.
b)
∞∑
n=1
2n2 − 1
3n5 + 2n+ 1
.
c)
∞∑
n=1
1
n(n2 + 1)
.
d)
∞∑
n=1
nk−1
nk + 1
, k > 2.
e)
∞∑
n=1
tg
(
1
n
)
.
12. a) Usar el criterio de comparación en el ĺımite con la serie armónica para demostrar que la serie∑
an (con an ≥ 0) diverge si limnan ̸= 0.
b) Probar que la serie
∞∑
n=1
sen(
1
n
) diverge. Ayuda: Usa el apartado anterior
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13. Probar que si P (n) y Q(n) son polinomios de grados respectivos j y k, la serie
∞∑
n=1
P (n)
Q(n)
converge si j < k − 1 y diverge si j ≥ k − 1.
14. Analizar si la serie dada es convergente o divergente, usando el criterio de series alternadas.
a)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
.
b)
∞∑
n=1
(−1)nn2
n2 + 1
.
c)
∞∑
n=1
(−1)n+1 ln(n+ 1)
n+ 1
.
d)
∞∑
n=1
sen
(2n+ 1)π
2
.
e)
∞∑
n=1
(−1)n
(2n)!
.
f)
∞∑
n=1
2(−1)n+1
en − e−n
.
15. Determinar si la serie dada es condicional o absolutamente convergente.
a)
∞∑
n=1
(−1)n+1
(n+ 1)2
.
b)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n+ 1
.
c)
∞∑
n=2
(−1)n
lnn
.
d)
∞∑
n=2
(−1)nn
n3 − 1
.
e)
∞∑
n=1
cosn
n2
.
f)
∞∑
n=1
sen[(2n− 1)π/2]
n
.
16. Demostrar que la serie armónica alternada generalizada
∞∑
n=1
(−1)n
(
1
np
)
converge si p > 0.
17. Probar que si
∑
|an| converge, entonces
∑
a2n converge. Utiliza la serie
∑ (−1)n
n3/4 para probar que el
rećıproco no es cierto.
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18. Identificar de qué tipo de serie se trata y, aplicando el criterio adecuado, determinar si la serie dada
es convergente o divergente.
a)
∞∑
n=1
n
2n
3n
.
b)
∞∑
n=1
(
n
2n+ 1
)n
.
c)
∞∑
n=1
n
2n
.
d)
∞∑
n=1
(−1)n+1(n+ 2)
n(n+ 1)
.
e)
∞∑
n=1
(
−2n
3n+ 1
)3n
.
f)
∞∑
n=1
n!
n3n
.
g)
∞∑
n=1
nn
n!
.
h)
∞∑
n=1
3n
(n+ 1)n
.
i)
∞∑
n=1
(−1)n+1n!
1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1)
.
j)
∞∑
n=0
e−n.
k)
∞∑
n=1
(−1)n3n−1
n!
.
l)
∞∑
n=1
cosn
n2
.
m)
∞∑
n=1
(−3)n
3 · 5 · 7 · · · (2n+ 1)
.
n)
∞∑
n=0
a(a+ 1)(a+ 2) · · · (a+ n+ 1)
b(b+ 1)(b+ 2) · · · (b+ n+ 1)
, a, b > 0.
19. Estudiar la convergencia de la serie siguiente y, en caso de ser convergente, aproximar su suma con
un error menor que ϵ
a)
∞∑
n=1
(−1)n+1
2n3 − 1
con ϵ = 0.001.
b)
∞∑
n=0
(−1)n
n!
con ϵ = 0.001.
c)
∞∑
n=1
1
2nn
con ϵ = 0.1.
d)
∞∑
n=1
1
n5
con ϵ = 0.001.
Cálculo Infinitesimal – I.T.Informática Gestión Curso 2010-11 6
e)
∞∑
n=1
3n
n!
con ϵ = 0.01.
20. a) Calcular el siguiente ĺımite: lim
2 + 22
√
2 + 33 3
√
3 + · · ·+ nn n
√
n
2n
.
b) Aproximar la suma de la serie convergente
∞∑
n=1
n
(2n+ 1)3n
con un error menor que 0.001.
21. a) Calcular el siguiente ĺımite en función del parámetro a : lim n
√
a, a ≥ 0.
b) Aproximar la suma de la serie convergente
∞∑
n=1
1
n!
con un error menor que 0.01.
22. a) Determinar si la serie
∞∑
n=0
an · n!
(n+ 1)(n+ 2) · · · (n+ n+ 1)
, a > 0 es convergente o divergente en
función del parámetro a.
b) Aproximar la suma de la serie convergente
∞∑
n=1
(−1)n+1
n4
con un error menor que 0.01.
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2. Series de potencias
23. Obtener el campo de convergencia de las series de potencias siguientes:
a)
∞∑
n=1
(−3)nxn
√
n+ 1
b)
∞∑
n=1
n(x+ 3)n
5n+1
24. Desarrollar en serie de potencias las siguientes funciones, calculando el radio y el intervalo de conver-
gencia, e indicar dónde el valor de la función coincide con el de la serie.
a) f(x) = (1 + ex)2 b) f(x) = (1 + x)e1+x c) f(x) = Chx
d) f(x) = Ch2 x e) f(x) =
1
(1− x2)
√
1− x2
f) f(x) = xe−x
g) f(x) =
√
x2 + 3x4 h) f(x) =
x10
1− x
i) f(x) =
4x
3 + x2
25. Usando la derivación y la integración término a término, desarrollar en serie de potencias las siguientes
funciones, justificando lo que se haga:
a) f(x) = arcsenx b) f(x) = arctg x
c) f(x) = ln
√
1 + x
1− x
d) f(x) = arctg
2x
2− x2
26. Utilizando los desarrollos en serie de potencias, calcular las integrales siguientes, con la cota de error
ε que se indica en cada caso:
a)
∫ 1
0
senx
x
, ε < 10−5 b)
∫ 1
0
1 + x
ex
, ε < 10−3 c)
∫ 1
0
e−x2
, ε < 10−4
27. Sumar las siguientes series:
a)
∞∑
n=1
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n)
· 1
2n+ 1
usando el desarrollo de arcsenx.
b)
∞∑
n=0
(2n+ 1)
2n
usando el desarrollo de f(x) =
1− x
(1 + x)2
28. Dada la serie de potencias
∞∑
n=1
(−1)n+1x
n
n
, hallar su campo de convergencia, aśı como el valor de la
suma de la serie en los extremos en que converja.
29. Desarrollar en serie de potencias y calcular el campo de convergencia de las funciones:
a) f(x) = arctg
1− 2x
1 + 2x
b) f(x) = x ln
√
1 + x2 − x+ arctg x
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30. Hallar los campos de convergencia y las sumas de las series siguientes:
a) 1 +
x2
4
+
x4
16
+
x6
64
+ · · · b) x+
x3
3 · 4
+
x5
5· 16
+
x7
7 · 64
+ · · ·
31. a) Desarrollar en serie de potencias la función f(x) = (1+2x) ln (1 + 2x)−2x hallando su campo
de convergencia.
b) A partir del desarrollo anterior, justificar la convergencia y calcular la suma de la serie numérica
siguiente:
∞∑
0
(−1)n
3n(n+ 1)(n+ 2)
32. Sea (an) la sucesión de término general an =
1
n ln(1 + n)
a) Probar que la serie
∞∑
1
an diverge. ¿Qué carácter tiene la serie
∞∑
1
(−1)nan ?
b) Hallar los campos de convergencia de las series de potencias:
∞∑
1
anx
n y
∞∑
1
(−3)nanx
2n
c) Estudiar el carácter de la serie
∞∑
1
1
2n ln(2 + n)
. y, si es posible, expresar el valor de su suma
en función de f(x) =
∞∑
1
anx
n.
33. a) Hallar el campo de convergencia y la suma de la serie de potencias:
S1(x) = 1 +
x
2
+
x2
3
+
x3
4
+ ....
b) Calcular la suma de la serie S2(x) =
∞∑
0
n
n+ 1
xn
c) Encontrar el valor de:
S =
2
3
· 1
2
+
3
4
· 1
22
+
4
5
· 1
23
+ · · ·
34. a) Desarrollar en serie de potencias la función f(x) = arctg
1 + x
1− x
, indicando dónde hay conver-
gencia puntual.
b) Utilizando el desarrollo anterior, sumar la serie
1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+ · · ·
35. Dada la serie de potencias:
S(x) =
x2
2
+
x3
2 · 3
+
x4
3 · 4
+ · · ·
se pide:
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a) Estudiar la convergencia puntual.
b) Hallar la suma S, cuando sea posible.
c) Es convergente la serie
1
2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ · · · ? En caso afirmativo, hallar su suma.
36. Dada la serie de potencias:
1− x3
4
+
x7
8
− x11
12
+ · · ·
se pide:
a) Calcular el radio de convergencia y el valor de la suma de la serie.
b) Indicar dónde hay convergencia puntual.
c) Estudiar el carácter de las series
S1 =
23
4
− 27
8
+
211
12
− 215
16
+ · · ·
S2 = 1− 1
334
+
1
378
− 1
31112
+ · · ·
y calcular su suma en caso de ser convergentes.
37. a) Calcular los desarrollos en series enteras de McLaurin de Shx y de Chx a partir del desarrollo
de ex. Calcular sus radios de convergencia.
b) Probar que la serie
∞∑
n=1
n2
(2n)!
es convergente y calcular su suma probando que
n2
(2n)!
puede
escribirse como
A
(2n)!
+
B
(2n− 1)!
+
C
(2n− 2)!
.
Ayuda: Recordar que Sh x =
ex − e−x
2
y Chx =
ex + e−x
2
.
38. Estudiar la convergencia puntual de la serie de funciones:
1
x
+
2
x2
+
3
x3
+ · · ·+ n
xn
+ · · ·
y sumarla cuando sea posible.
Utilizar el resultado obtenido para estudiar la convergencia y, en su caso, hallar la suma de la serie:
∞∑
n=1
(−1)nn
2n
3n
39. Probar que la serie ∑
n≥0
(−1)n
x2n+1
2n+ 1
converge en [−1, 1]. Obtener la función suma a la que converge, donde sea posible. Como aplicación
de lo anterior, obtener la suma de la serie numérica∑
n≥0
(−1)n
2n+ 1
40. Sea la serie de potencias S(x) =
∞∑
n=1
n2nxn.
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a) Calcular el campo de convergencia de S(x).
b) Comprobar que su suma es S(x) =
2x
(1− 2x)2
en el intervalo de convergencia.
Ayuda: Usar el desarrollo 1
1−2x
=
∞∑
n=0
2nxn válido para x ∈
(
− 1
2
, 1
2
)
y derivar.
41. Sea la serie de potencias T (x) =
∞∑
n=0
anx
n, cuyos coeficientes verifican la recurrencia
an − 4an−1 + 4an−2 = 0, n ≥ 2
a1 = 2
a0 = 0
a) Deducir que (1− 2x)2T (x) = 2x para cualquier x en el campo de convergencia de T (x).
b) Calcular la función suma de la serie de potencias T (x).
c) Determinar la fórmula general del término an.
42. Sea la serie de potencias S(x) =
∞∑
n=0
anx
n tal que
an = (−1)n(2n+ 1)
a) Calcular su radio y campo de convergencia.
b) Calcular λ y µ que hace que los coeficientes an verifiquen la siguiente identidad
an + λan−1 + µan−2 = 0 siendo n ≥ 2
c) Considerar la serie de potencias que resulta del producto S(x)(1 + 2x+ x2) y comprobar que es
un polinomio de primer grado.
d) Deducir la expresión de la suma de la serie S(x) en el campo de convergencia. Calcular la suma
de la serie numérica
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
2n
.
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3. Series de Fourier
43. Obtener la serie de Fourier de las siguientes funciones, en los intervalos que se indican:
a) f(x) = x, −π ≤ x ≤ π b) f(x) =
 0 si − π ≤ x < 0
π si 0 ≤ x ≤ π
c) f(x) =

−π
2 si − π ≤ x < 0
π
2 si 0 ≤ x ≤ π
d) f(x) =

−π
2 − x
2 si − π ≤ x < 0
π
2 − x
2 si 0 ≤ x ≤ π
e) f(x) =
 0 si − π ≤ x < 0
senx si 0 ≤ x ≤ π
f) f(x) = |x|, π ≤ x ≤ π
44. Hallar la serie de Fourier de tipo coseno de f definida en [0, 1], por f(x) = x2 − x+ 1
6
45. a) Obtener la serie de Fourier de f(x) =
 0 si − π ≤ x < 0
x si 0 ≤ x < π
b) Calcular a partir de dicho desarrollo,
∞∑
1
1
(2n− 1)2
y
∞∑
1
1
n2
46. Obtener los desarrollos en serie de Fourier de f(x) = x
a) en (0, π), en senos.
b) en (0, π), en cosenos.
47. Desarrollar la función f(x) = cos x en serie de Fourier de senos en el intervalo (0, π).
48. Desarrollar en serie de Fourier f(x) =
 0 si − L ≤ x < L
2
1 si L
2 ≤ x < L
Obtener como consecuencia que,
π
4
=
∞∑
0
(−1)n
2n+ 1
49. Sea la función 2π-periódica definida por
f(x) =
 x+ π −π ≤ x < 0
π − x 0 ≤ x < π
a) Probar que es una función par y obtener su serie de Fourier.
b) Estudiar la convergencia de la serie y probar la igualdad
π2
8
= 1 +
1
32
+
1
52
+ . . .
50. Sea la función f(x) =
{
1 0 ≤ x ≤ 1
−1 −1 < x < 0
, extendida por periodicidad a todo IR.
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a) Hallar la serie de Fourier de esta función y comprobar que f(x) satisface las condiciones de
Dirichlet.
b) Haciendo uso de la serie de Fourier anterior, calcular la suma de la serie numérica
∞∑
n=1
(−1)n+1 4
(2n− 1)π
.
51. Sea S(f)(x) = 3 +
∞∑
n=1
1
n!
cosnx+ bn sennx, el desarrollo en serie de Fourier de una función f(x). Se
pide:
a) Calcular
∫ π
−π
f(x)dx.
b) Sabiendo que f es continua en π, calcular el valor numérico de f(π).
Si g : [−π, π) → R es una función satisfaciendo las condiciones de Dirichlet entonces se tiene que:
1
π
∫ π
−π
g(x)2dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
a2n + b2n , (1)
donde a0, y an, bn con n ≥ 1 son los coeficientes de Fourier de g.
c) Calcular la serie de Fourier de g(x) =
{
1 si − π < x < 0
−2 si 0 < x < π
d) Calcular la suma exacta de
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
usando la igualdad (1).
52. a) Suma la serie
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
usando el desarrollo de f(x) =
1
1 + x2
.
b) Partiendo del desarrollo en serie de Fourier de f(x) = x2 en [−π, π], obtener:
∞∑
1
1
n2
y
∞∑
1
(−1)n
1
n2
53. a) Suma la serie
∞∑
n=1
n
2n
usando la serie
∞∑
n=1
n · xn−1
2n
.
b) Demostrar que
π
2
− x =
∞∑
n=1
1
n
sen(2nx), para 0 < x < π.
54. a) Suma la serie
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)(
√
3)2n+1
usando el desarrollo de f(x) =
1
1 + x2
.
b) Obtener la serie de Fourier de la función
f(x) =

−π
4 si − π < x < 0
0 si x = −π, 0, π
π
4 si 0 < x < π
Usando la condición de Dirichlet, justificar hacia qué función converge la serie anterior.
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55. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
f(x) =
{
x si x ∈ [−π
2 , π
2 ]
0 si x ∈ [−π, −π
2 ) ∪ (π2 , π]
¿A qué valor converge la serie para x = π
2 ?. ¿Coincide con el valor de f(π2 )?. Si hay otros puntos en
los que ocurra la misma situación determı́nalos y razona la respuesta.
Usando el desarrollo anterior, obtener la suma de la serie numérica
∞∑
n=1
1
(2n− 1))2
.
56. Sea la función f : IR → IR definida por f(x) = cos
x
2
y extendida periódicamente fuera del intervalo
−π < x < π.
a) Comprobar que esta función satisface las condiciones de Dirichlet y obtener su serie de Fourier.
Ayuda: Hacer uso de la propiedad cos(mx) cos(nx) = cos(m+ n)x+ cos(m− n)x
b) Hallar la suma exacta de la serie numérica
∞∑
n=1
1
4n2 − 1
57. Dada la función
g(x) =
{
0 −5 < x < 0
3 0 < x < 5
a) Calcular la serie de Fourier de g(t) =
{
0 −π < t < 0
3 0 < t < π
.
b) Calcular la serie de Fourier de g(x), sustituyendo t por
πx
5
en la serie de Fourierobtenida en el
apartado anterior.
c) ¿Cómo debe definirse g(x) en x = −5, x = 0 y x = 5 para que la serie de Fourier converja a g(x)
para −5 ≤ x ≤ 5?
58. Sea la función f : R → R definida por
f(x) =

1 −π ≤ x < −1
1
2 x = −1
0 −1 < x < 1
1
2 x = 1
1 1 < x ≤ π
y extendida periódicamente fuera del intervalo [−π, π]. Se pide:
a) Obtener la serie de Fourier de f(x) y estudiar su convergencia puntual.
b) Calcular la suma exacta de la serie numérica
∞∑
n=1
sen 2n
n
. Ayuda: sen 2a = 2sen a cos a.
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4. Introducción a las ecuaciones diferenciales: EDOs de primer orden
59. Verifica si las funciones que se dan son solución de la ecuación diferencial indicada en cada apartado:
Ecuación Soluciones
a) xy′ − 2y = x3ex y1(x) = x2 y2(x) = x2(2 + ex)
b) y′′ + 2y′ − 3y = 0 y1(x) = e−3x y2(x) = ex
c) y + xy′ = x4(y′)2 y1(x) = c2 + c
x y2(x) = 2ln(x)
60. Determina el valor de k para que y = ekx sea solución de la ecuación diferencial y′′ + y′ − 6y = 0.
61. Se sabe que y = Asen bx es una solución de la ecuación diferencial y′′+16y = 0. Encontrar los valores
de b.
62. Comprueba que las funciones y1(x) = e2x e y2(x) = e3x son soluciones de la ecuación diferencial
y′′ − 5y′ + 6y = 0. ¿Es y(x) = c1e
2x + c2e
3x solución de dicha ecuación diferencial, para cualquier
valor real de las constantes c1 y c2?
63. Demuestra que y = c1x + c2x
2 es la solución general de x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0 , y halla la solución
particular para la cual y(1) = 3, y′(1) = 5.
64. Halla la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales que satisfacen la condición inicial
indicada.
(a) y(x+ 1) + y′ = 0 y(−2) = 1. (d) y2 dx− x2 dy = 0 y(1) = 2.
(b)
dy
dx
+
1 + y3
xy2
= 0 y(1) = 2. (e) y′ = x ex
2
y(0) = 1.
(c) y′ sen y = x2 y(1) = 0. (f) y ln y dx− x dy = 0 y(2) = e.
65. La cantidad de radio que se desintegra es proporcional a la cantidad total de radio presente en un
instante cualquiera t. Si la mitad de una cierta cantidad de radio desapareciera en 1590 años. ¿Qué
fracción se desintegrará durante el primer siglo?. ¿Y durante el décimo siglo?
66. Supongamos que el ritmo propagación de un rumor(velocidad de propagación del rumor) es propor-
cional a la cantidad de personas que lo conocen en cada momento. Se sabe que hab́ıa 100 personas
que conoćıan el rumor tras el segundo d́ıa y 300 tras el cuarto. Estimar cuantas personas conocerán
el rumor pasados 10 d́ıas.
67. Según la Ley de Newton, la velocidad a que se enfŕıa una sustancia al aire libre es proporcional a la
diferencia entre la temperatura de dicha sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire es 30, y la
sustancia se enfŕıa de 100 a 70 en 15 minutos, hallar el instante en que su temperatura es de 40.
68. Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a)
dy
dx
+
1
x
y = 3x (b) y′ + y =
1
1 + e2x
(c) (2y − x3)dx = xdy
(d) (1 + x2)
dy
dx
+ 2xy = cotg x (e)xy′ + 2y = sen x (f) dy = (x2e2x + 2y)dx
(Ayuda:
∫
cotgxdx = ln(senx) + C)
69. Hallar la solución particular de las ecuaciones siguientes, que pasan por el punto indicado:
a)
dy
dx
= 6x3 − 2y
x
(1, 2)
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b) y′ + 2xy = 4x (0, 1)
c) y′ + 2y = e−x (0, 0.75)
70. Integrar mediante desarrollos en series de potencias:
a) y′ = y b) y′ − 2xy = 0
71. Resolver, mediante desarrollos en series de potencias, la solución particular de (1 + x)y′ = py sujeta
a la condición y(0) = 1.
72. Examen 25-1-00. Dada la ecuación diferencial (1 + x)y′ = py, donde p es una constante real
cualquiera. Se pide:
(a) Comprobar que la serie de potencias
1 + p x+
p(p− 1)
2!
x2 + . . .+
p(p− 1) . . . (p− n+ 1)
n!
xn + . . .
es la solución particular, válida en el intervalo (−1, 1), de la ecuación de (1 + x)y′ = py sujeta a
la condición y(0) = 1.
(b) Hallar, razonadamente (sin usar la tabla), la suma de la serie de potencias del apartado anterior.
73. Examen 14-02-01. A partir de la serie de potencias f(x) =
∞∑
n=2
anx
n (se supone a0 = a1 = 0 ) y
con radio de convergencia R finito, definamos la serie
g(x) =
∞∑
n=2
1
n− 1
anx
n. (2)
a) Hallar el radio de convergencia de g(x).
b) Comprobar que g(x) satisface la ecuación diferencial g′(x)− g(x)
x
=
1
x
f(x).
c) Suponiendo que f(x) =
x2
1− x
, resolver la ecuación diferencial anterior y calcular la solución
particular que pasa por (−1, log 2).
d) Demostrar que el desarrollo (2), cuando an = 1 para todo n ≥ 2, coincide con el desarrollo en
serie de potencias de la solución obtenida en el apartado c) en un determinado intervalo.
Ayuda: log(1 + x) =
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
xn para todo x ∈ (−1, 1].
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5. Métodos numéricos de resolución de EDOs de primer orden
74. Examen 11-2-04.Consideremos el problema de valores iniciales
y′ − 1
2 + x2
= 0, y(0) = 0
aplicar el método de Heun con paso h = 1, en el intervalo [0, 1], para aproximar el valor de la solución
en x = 1. Justificar, previamente, que este P.V.I posee solución única para x ∈ [0, 1].
75. Dado el P.V.I
y′(1 + x)− 1 = 0, y(0) = 0
a) Justifica que este problema tiene solución única en el intervalo [0, 1].
b) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Euler con paso h = 0.5.
c) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Heun con paso h = 0.5.
d) Encuentra el valor exacto de la solución en x = 1.
76. Consideremos el P.V.I
y′ +
x2
x+ 1
y = x ex, y(0) = 1.
a) Justifica que este problema tiene solución única en el intervalo [0, 1].
b) Estima el valor de y(1) utilizando el método de Euler con paso h = 1
2 y el método de Heun con
paso h = 1.
77. Utiliza un paso del método de Heun para aproximar en x = 2 la solución de la ecuación
y′ +
1
2x
y =
x2
2
− 1
que pasa por el punto P (1, 2), justificando previamente que este problema posee solución única en el
intervalo que nos interesa.
78. Consideremos el P.V.I
xy′ − y = 0, y(1) = 1.
Justifica que este problema tiene solución única en el intervalo [1, 2] y aplica el método de Heun en
dicho intervalo, tomando h =
1
2
, para aproximar el valor de la solución, y(x), en x = 2.
79. Dada la ecuación diferencial xy′ = y − 1:
a) Encuentra su solución general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solución de la ecuación dada.
c) Resuelve el P.V.I. xy′ = y − 1 con y = −1 cuando x = 2.
d) Justifica que el problema anterior tiene solución única para x perteneciente al intervalo [2, 3].
e) Encuentra el valor exacto de la solución en x = 3.
f) Aproxima el valor de la solución en x = 3 utilizando el método de Euler con paso h = 1.
g) Aproxima el valor de la solución en x = 3 utilizando el método de Heun con paso h = 1.
80. Dada la ecuación diferencial y′ − y(x+ 2) = 0:
a) Encuentra su solución general.
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b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solución de la ecuación dada.
c) Resuelve el P.V.I. y′ − y(x+ 2) = 0 con y = 1
2 cuando x = 0.
d) Justifica que el problema anterior tiene solución única para x perteneciente al intervalo [0, 1].
e) Encuentra el valor exacto de la solución en x = 1.
f) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Euler con paso h = 1.
g) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Heun con paso h = 1.
81. Dada la ecuación diferencial
y′
e−x3 = 5x2:
a) Encuentra su solución general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solución de la ecuación dada.
c) Resuelve el P.V.I.
y′
e−x3 = 5x2 con y = 1 cuando x = 0.
d) Justifica que el problema anterior tiene solución única para x perteneciente al intervalo [0, 1].
e) Encuentra el valor exacto de la solución en x = 1.
f) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Euler con pasoh = 1.
g) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Heun con paso h = 1.
82. Dada la ecuación diferencial
dy
dx
+
1 + 2x2
x
y = 0:
a) Encuentra su solución general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solución de la ecuación dada.
c) Resuelve el P.V.I.
dy
dx
+
1 + 2x2
x
y = 0 con y = e cuando x = 1.
d) Justifica que el problema anterior tiene solución única para x perteneciente al intervalo [1,
3
2
].
e) Encuentra el valor exacto de la solución en x =
3
2
.
f) Aproxima el valor de la solución en x =
3
2
utilizando el método de Euler con paso h =
1
2
.
g) Aproxima el valor de la solución en x =
3
2
utilizando el método de Heun con paso h =
1
2
.
83. Dada la ecuación diferencial y′ + y =
1
1 + e2x
:
a) Encuentra su solución general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solución de la ecuación dada.
c) Resuelve el P.V.I. y′ + y =
1
1 + e2x
con y = 4 cuando x = 0.
d) Justifica que el problema anterior tiene solución única para x perteneciente al intervalo [0, 1].
e) Encuentra el valor exacto de la solución en x = 1.
f) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Euler con paso h = 1.
g) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Heun con paso h = 1.
84. Dada la ecuación diferencial y′sen x+ ycos x = xsen x:
a) Encuentra su solución general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solución de la ecuación dada.
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c) Resuelve el P.V.I. y′sen x+ ycos x = xsen x con y = 2 cuando x =
π
2
.
d) Justifica que el problema anterior tiene solución única para x perteneciente al intervalo [
π
2
,
3π
4
].
e) Encuentra el valor exacto de la solución en x =
3π
4
.
f) Aproxima el valor de la solución en x =
3π
4
utilizando el método de Euler con paso h =
π
4
.
g) Aproxima el valor de la solución en x =
3π
4
utilizando el método de Heun con paso h =
π
4
.
85. Dada la ecuación diferencial x dy = (y − 2xy − x2) dx:
a) Encuentra su solución general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solución de la ecuación dada.
c) Resuelve el P.V.I. x dy = (y − 2xy − x2) dx con y = −1
2
cuando x = 1.
d) Justifica que el problema anterior tiene solución única para x perteneciente al intervalo [1, 2].
e) Encuentra el valor exacto de la solución en x = 2.
f) Aproxima el valor de la solución en x = 2 utilizando el método de Euler con paso h = 1.
g) Aproxima el valor de la solución en x = 2 utilizando el método de Heun con paso h = 1.
86. Dada la ecuación diferencial dy = (6xex
2
+ 2xy) dx:
a) Encuentra su solución general.
b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solución de la ecuación dada.
c) Resuelve el P.V.I. dy = (6xex
2
+ 2xy) dx con y = 5 cuando x = 0.
d) Justifica que el problema anterior tiene solución única para x perteneciente al intervalo [0, 1].
e) Encuentra el valor exacto de la solución en x = 1.
f) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Euler con paso h = 1.
g) Aproxima el valor de la solución en x = 1 utilizando el método de Heun con paso h = 1.
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6. EDOs de segundo orden
87. Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones homogéneas:
(a) y′′ − 2y′ + 2y = 0 (b) 3y′′ − 8y′ + 4y = 0 (c) y′′ + 2y′ + y = 0
(d) y′′ − y′ − 6y = 0 (e) 3y′′ + 4y′ = 0 (f) 2y′′ + 2y′ + y = 0
88. Halla la solución del problema con valor inicial dado:
a) y′′ + y′ − 2y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 1
b) y′′ − 2y′ + 5y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 0
c) y′′ + 6y′ + 9y = 0 y(0) = 0 y′(0) = 2
89. Obtén la solución del problema de valores iniciales
y′′ +
1
α2
y = x2, y(0) = −2α4 + 1, y′(0) = 0,
siendo α ̸= 0.
90. Halla la solución general de:
(a) y′′ + 9y = 2x2 + 4x+ 7 (b) y′′ + 2y′ + 10y = 3x2 (c) y′′ + 4y′ + 5y = 3e−2x
(d) y′′ + 4y′ + 13y = 0 (e) y′′ + y′ = x+ 2 (f) y′′ − y = ex + 2e2x
91. Demuestra que si y1 e y2 son dos soluciones de la ecuación no homogénea y′′+P (x)y′+Q(x)y = R(x),
entonces y = y1 + y2 nunca es una solución de esta ecuación. Aśı mismo, demuestra que si y1 e y2 son
soluciones respectivamente de las ecuaciones
y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = R1(x) e y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = R2(x)
y = y1 + y2 es siempre solución de y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = R1(x) + R2(x). Esto se conoce como
principio de superposición. Utiliza este principio para hallar la solución general de:
a) y′′ + 4y = 4 cos 2x+ 6 cosx+ 8x2 − 4x
b) y′′ + 9y = 2sen3x+ 4senx− 26e−2x + 27x3
92. Examen 25-1-00. Dada la ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes y′′ + py′ + qy = 0.
Se pide:
(a) Calcular los coeficientes p y q de la ecuación anterior sabiendo que una solución particular de la
misma es e2x, y que las ráıces de su ecuación caracteŕıstica son reales e iguales.
(b) En las condiciones del apartado anterior, obtener la solución particular de la ecuación que sat-
isfaga las condiciones iniciales siguientes y(0) = 0, y′(0) = 2.
93. a) Hallar la familia de curvas f(x) que son solución de la ED y′′ − y′ = 0 y además verifican
lim
x→−∞
f(x) = 2 .
¿Qué comportamiento tienen dichas curvas cuando x tiende a +∞?.
b) Calcular la solución general de y′′−y′ = x2 usando el método de los coeficientes indeterminados.
Cálculo Infinitesimal – I.T.Informática Gestión Curso 2010-11 20
c) Resolver el problema de valores iniciales:
y′′ − y′ = x2, y(0) = 0, y′(0) = 0
94. Examen 27-9-02 Hallar la solución general de la e.d.o y′′ − 4y′ + 3y = 10e−2x y analizar su compor-
tamiento cuando cuando x → 0.
95. Hallar la solución general de (1 + x2)y′′ + 2xy′ − 2y = 0 en términos de series de potencias en x. ¿Se
puede expresar esta solución mediante funciones elementales?.
96. La ecuación de Hermite es y′′ − 2xy′ + 2py = 0, donde p es una constante.
a) Demostrar que su solución general es y(x) = a0y1(x) + a1y2(x), donde:
y1(x) = 1− 2p
2!
x2 +
22p(p− 2)
4!
x4 − 23p(p− 2)(p− 4)
6!
x6 + . . .
y2(x) = x− 2(p− 1)
3!
x3 +
22(p− 1)(p− 3)
5!
x5 − 23(p− 1)(p− 3)(p− 5)
7!
x7 + . . .
b) ¿Donde son convergentes estas series?
c) Obtener los desarrollos limitados de Hermite para p = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
97. Sea k una constante real k > 0. Se define la sucesión (un) por las relaciones u0 = 0, u1 = 1 y
kun+2 − (1 + k2)un+1 + kun = 0, para todo n ≥ 0. Se considera la serie de potencias
S(x) =
∞∑
0
un
n!
xn.
a) Probar que S(x) satisface la ecuación diferencial de segundo orden
kS′′(x)− (1 + k2)S′(x) + kS(x) = 0,
con S(0) = 0 y S′(0) = 1.
b) Resolver la ecuación diferencial del apartado anterior para todo valor de k.
c) Deducir del apartado anterior el valor del término general un en el caso k = 1.
98. Examen 29-1-03. Dada la serie de potencias f(x) =
∞∑
n=2
bn x
n donde b0 = b1 = 0, para n ≥ 2, bn =
(n− 1)2n.
a) Calcular su campo de convergencia y su función suma.
b) Calcular el radio de convergencia de la serie
F (x) =
∞∑
n=2
((n+ 1)(n+ 2)bn+2 − (n− 1)(n+ 2)bn)x
n
c) Encontrar una función que sea solución de
(1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 2b2 + 6b3x+ F (x) (3)
Ayuda: Usa desarrollos en series de potencias. El punto x0 = 0 es un punto ordinario para (3).
d) Hallar la solución general de la ecuación homogénea asociada a (3), sabiendo que y = x es una
solución de esta ecuación homogénea.
Ayuda:
4x2 − 2
x(1− x2)
= −
2
x
+
2x
1− x2
,
1
x2(1− x2)
=
1
x2
+
1/2
1− x
+
1/2
1 + x
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e) Hallar la solución general de (3).
f) Teniendo en cuenta que x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación homogénea asociada a (3),
resolver mediante desarrollos en series de potencias el problema de valores iniciales:
(1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0. (4)
Obtener el radio de convergencia de dicha serie solución o dar, justificadamente, una cota inferiorsignificativa del mismo.
g) Calcular la suma de la serie de potencias que es solución de (4).