Sistemas Combinacionais

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Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-1 
TEMA 4. Diseño de Sistemas Combinacionales SSI. 
 
 
INDICE: 
 
• SISTEMAS COMBINACIONALES 
• METODOLOGÍA DE DISEÑO 
• MÉTODOS DE SIMPLIFICACIÓN 
o MAPAS DE KARNAUGH 
• EXPRESIÓN MÍNIMA EN FORMA DE SUMA DE 
PRODUCTOS 
• EXPRESIÓN MÍNIMA EN FORMA DE PRODUCTO DE 
SUMAS 
• EXPRESIÓN MÍNIMA PARA FUNCIONES 
INCOMPLETAS 
 
 
 
Maurice Karnaugh (1924-) 
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-2 
SISTEMAS COMBINACIONALES 
 
LOS SISTEMAS COMBINACIONALES SON AQUELLOS EN LOS QUE 
EN CADA INSTANTE, EL ESTADO LÓGICO DE SU SALIDA DEPENDEN 
ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE DE SUS ENTRADAS. 
 
 
UN SISTEMA COMBINACIONAL PUEDE TENER MÚLTIPLES 
SALIDAS. CADA SALIDA DEBE REPRESENTARSE POR UNA FUNCIÓN 
LÓGICA DIFERENTE. 
 
 
EL DISEÑO DE SISTEMAS COMBINACIONALES SE REALIZA 
MEDIANTE EL USO CIRCUITOS ELECTRÓNICOS: 
 
• SSI (SMALL SCALE OF INTEGRATION) QUE CONTIENEN UN 
NÚMERO PEQUEÑO DE PUERTAS BÁSICAS. 
 
• MSI (MEDIUM SCALE OF INTEGRATION) DÓNDE EL NÚMERO 
DE PUERTAS BÁSICAS PUEDE LLEGAR A 100. SON BLOQUES 
CONSTRUCTORES MÁS COMPLEJOS. 
 
• LSI (LARGE SCALE OF INTEGRATION ~1000). ALGUNOS 
SISTEMAS YA PROGRAMABLES. 
 
• VLSI (VERY LARGE SCALE OF INTEGRATION >1000). ALGUNOS 
PROCESAORES. 
 
• ULSI (ULTRA LARGE SCALE OF INTEGRATION >100000). 
ÚLTIMAS TECNOLOGÍAS. 
 
• ... 
 
 
• EL DISEÑO DE SISTEMAS COMBINACINALES SSI, SE 
REALIZA CON PUERTAS BÁSICAS.
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-3 
METODOLOGÍA DE DISEÑO 
1. EL DISEÑO SE REALIZA A PARTIR DEL PLANTEAMIENTO DE UN 
PROBLEMA. 
2. SE OBTIENE PRIMERO LA TABLA DE VERDAD DE CADA UNA DE 
LAS SALIDAS Y, OPCIONALMENTE, LAS EXPRESIONES 
CANÓNICAS. 
3. LUEGO SE PROCEDE A LA SIMPLIFICACIÓN PARA OBTENER UNA 
EXPRESIÓN BOOLEANA MÍNIMA PARA CADA FUNCIÓN. 
4. POR ÚLTIMO SE REALIZA EL DIAGRAMA LÓGICO Y EL CIRCUITO 
DE MÍNIMO TAMAÑO. 
Ejemplo: 
Para abrir una caja fuerte se dispone de tres llaves, la caja se abre si: 
• Están giradas A y B independientemente de si lo está C. 
• Cuando estando girada C, estén giradas A o B. 
 
TABLA DE VERDAD: 
 
C B A F(C,B,A) 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
 
EXPRESIÓN CANÓNICA F(C,B,A) = C’BA + CB’A + CBA’ + CBA 
F(C,B,A) = m3 + m5 + m6 +m7 = Σ m(3,5,6,7) 
 
 
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-4 
MÉTODOS DE SIMPLIFICACIÓN (I) 
CRITERIOS: 
1. MENOR NÚMERO DE TÉRMINOS EN LA FUNCIÓN (QUE 
EQUIVALEN A PUERTAS LÓGICAS) 
2. MENOR NÚMERO DE VARIABLES EN CADA TÉRMINO (QUE 
EQUIVALEN A ENTRADAS DE LAS DIVERSAS PUERTAS) 
3. MENOR VALOR ASOCIADO: 
Nº_TÉRMINOS+Nº_VARIABLES–Nº_TÉRMINOS_CON_UN_SOLO_LITERAL-1 
 
MÉTODOS: 
� SIMPLIFICACIÓN ALGEBRAICA, APLICANDO DIRECTAMENTE 
EL ÁLGEBRA DE BOOLE. 
� ES ÚTIL PARA FUNCIONES CON POCAS VARIABLES. 
� EJEMPLO: 
F(C,B,A)= C’BA + CB’A + CBA’ + CBA 
 
 
F(C,B,A)= BA + CA + CB 
 
� SIMPLIFICACIÓN TABULAR, MEDIANTE TABLAS Y MAPAS QUE 
REPRESENTAN LA TABLA DE VERDAD. 
� ÚTIL PARA FUNCIONES CON HASTA CINCO O SEIS 
VARIABLES. EL MÉTODO MÁS USUAL ES EL MAPA DE 
KARNAUGH. 
� SERÁ EL ÚNICO QUE SE APLIQUE EN ESTA ASIGNATURA. Y SE 
EXPLICARÁ A CONTINUACIÓN. 
 
� SIMPLIFICACIÓN NUMÉRICA DE QUINE-McCLUSKEY, QUE 
PERMITE ESCOGER DE TODAS LAS SIMPLIFICACIONES POSIBLES 
DE UNA FUNCIÓN, LA QUE PUEDA SER IMPLEMENTADA CON EL 
MENOR NÚMERO DE ELEMENTOS. 
� SE USA PARA FUNCIONES CON MUCHAS VARIABLES Y/O 
MULTISALIDAS. 
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-5 
MÉTODOS DE SIMPLIFICACIÓN (II) 
MAPAS DE KARNAUGH 
ES UN DIAGRAMA DE CUADROS O CELDAS DÓNDE CADA UNA DE 
ELLAS REPRESENTA UNA LÍNEA DE LA TABLA DE VERDAD DE LA 
FUNCIÓN, O SEA, UN MINTÉRMINO O UN MAXTÉRMINO. 
 
 
 D C B A F AB 
(0) 0 0 0 0 CD 00 01 11 10 
(1) 0 0 0 1 00 (0) (2) (3) (1) 
(2) 0 0 1 0 01 (8) (10) (11) (9) 
(3) 0 0 1 1 11 (12) (14) (15) (13) 
(4) 0 1 0 0 10 (4) (6) (7) (5) 
 • • • • 
LA PRINCIPAL CARACTERÍSTICA DEL MAPA ES QUE LAS CELDAS 
ADYACENTES FÍSICAMENTE, CORRESPONDEN A TÉRMINOS 
ADYACENTES LÓGICAMENTE, O SEA, LA DIFERENCIA ENTRE UNA 
CELDA Y LAS ADYACENTES ES EL CAMBIO EN UNA Y SOLO UNA DE 
LAS VARIABLES. 
 
 
Celda (10) 
1010 
DC’BA’ 
Celda (8) 
1000 
DC’B’A’ 
Celda (2) 
0010 
D’C’BA’ 
Celda (11) 
1011 
DC’BA 
Celda (14) 
1110 
DCBA’ 
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-6 
EXPRESIÓN MÍNIMA EN FORMA DE SUMA DE 
PRODUCTOS 
1. MARCAMOS EN EL MAPA UN 1 EN CADA MINTÉRMINO QUE 
REPRESENTA LA FUNCIÓN. 
2. MEDIANTE RECTÁNGULOS HACEMOS AGRUPACIONES DE 1s 
ADYACENTES. ESTOS RECTÁNGULOS PUEDEN CONTENER UN 
NÚMERO DE 1s CORRESPONDIENTE A POTENCIAS DE 2, O SEA, 
1, 2, 4, 8,... . 
3. SE DEBEN ESCOGER EL MENOR NÚMERO DE RECTÁNGULOS 
PERO QUE CONTENGAN EL MAYOR NÚMERO DE 1s, DE 
MANERA QUE TODOS LOS 1s QUEDEN CUBIERTOS. 
4. PARA OBTENER LA EXPRESIÓN, CADA RECTÁNGULO 
REPRESENTA UN PRODUCTO. LA VARIABLE QUE CAMBIE DE 
VALOR DENTRO DEL RECTÁGULO QUEDA ELIMINADA. EL 
PRODUCTO SE OBTIENE ASIGNANDO LA VARIABLE 
VERDADERA AL 1 Y LA NEGADA AL 0. 
La agrupación de las celdas 10 y 14, eliminaría la variable C y 
el producto resultante sería DBA’. 
5. LA EXPRESIÓN MÍNIMA ES LA SUMA DE LOS PRODUCTOS 
RESULTANTES DE CADA RECTÁNGULO. 
EJEMPLO: 
 Simplificar la función F(D,C,B,A) = Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14). 
 
 AB 
 CD 00 01 11 10 
 00 1 (0) 1 (2) (3) 1 (1) 
 
 01 1 (8) (10) (11) 1 (9) 
 
 11 1 (12) 1 (14) (15) 1 (13) 
 
 10 1 (4) 1 (6) (7) 1 (5) 
 
 
Hemos formado 3 rectángulos: 
� {(0),(8),(12),(4),(1),(9),(13),(5)} � B’ 
� {(0),(2),(4),(6)} � D’A’ 
� {(12),(14),(4),(6)} � CA’ 
POR TANTO � F = D’A’ + CA’ + B’ 
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-7 
EXPRESIÓN MÍNIMA EN FORMA DE PRODUCTO DE 
SUMAS 
1. MARCAMOS EN EL MAPA UN 0 EN CADA MAXTÉRMINO QUE 
REPRESENTA LA FUNCIÓN. 
2. MEDIANTE RECTÁNGULOS HACEMOS AGRUPACIONES DE 0s 
ADYACENTES. ESTOS RECTÁNGULOS PUEDEN CONTENER UN 
NÚMERO DE 0s CORRESPONDIENTE A POTENCIAS DE 2, O SEA, 
1, 2, 4, 8,... . 
3. SE DEBEN ESCOGER EL MENOR NÚMERO DE RECTÁNGULOS 
PERO QUE CONTENGAN EL MAYOR NÚMERO DE 0s, DE 
MANERA QUE TODOS LOS 0s QUEDEN CUBIERTOS. 
4. PARA OBTENER LA EXPRESIÓN, CADA RECTÁNGULO 
REPRESENTA UNA SUMA. LA VARIABLE QUE CAMBIE DE 
VALOR DENTRO DEL RECTÁGULO QUEDA ELIMINADA. LA 
SUMA SE OBTINE ASIGNANDO LA VARIABLE VERDADERA AL 
0 Y LA NEGADA AL 1. 
La agrupación de las celdas 10 y 14, eliminaría la variable C y 
la suma resultante sería (D’+B’+A). 
5. LA EXPRESIÓN MÍNIMA ES EL PRODUCTO DE LAS SUMAS 
RESULTANTES DE CADA RECTÁNGULO. 
EJEMPLO: 
 Simplificar la misma función F(D,C,B,A) = ΠM(3,7,10,11,15). 
 
 AB 
 CD 00 01 11 10 
 00 (0) (2) 0 (3) (1) 
 
 01 (8) 0 (10) 0 (11) (9) 
 
 11 (12) (14) 0 (15) (13) 
 
 10 (4) (6) 0 (7) (5) 
 
 
Hemos formado 2 rectángulos: 
� {(3),(11),(15),(7)} � (B’ + A’) 
� {(10),(11)} � (D’ + C + B’) 
POR TANTO � F = (D’ + C + B’) (B’ + A’) 
Se puede comprobar que es la misma función 
F = (D’+C+B’)(B’+A’) = D’B’+D’A’+CB’+CA’+B’+B’A = B’+D’A’+CA’ 
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-8 
EXPRESIÓN MÍNIMA PARA FUNCIONES INCOMPLETAS 
 
1. PARA FUNCIONES INCOMPLETAS, AQUELLAS QUE NO ESTÁN 
DEFINIDAS PARA ALGUNAS COMBINACIONES DE LAS 
VARIABLES DE ENTRADA, MARCAMOS EN EL MAPA DE 
KARNAUGH UNA X EN EL LUGAR CORRESPONDIENTE A LA 
INESPECIFICACIÓN. 
2. ESTAS X PODEMOS CONSIDERARLAS 0s Ó 1s Y PROCEDER 
COMO EN LOS CASOS ANTERIORES. 
3. SOLO ES NECESARIO CUBRIR TODOS LOS 0s Ó TODOS LOS 1s, 
LAS INESPECIFICACIONES SÓLO DEBEN COGERSE PARA QUE 
EL RECTÁNGULO CONTENGA UN NÚMERO MAYOR DE 
TÉRMINOS. 
 
EJEMPLO: 
 Simplificar la función F(D,C,B,A) = Σm(0,2,12,14) + Φ (5,6,7,8,9,10). 
 
 AB 
 CD 00 01 11 10 
 00 1 (0) 1 (2) (3) (1) 
 
 01 X (8) X (10) (11) X (9) 
 
 11 1 (12) 1 (14) (15) (13) 
 
 10 (4) X (6) X (7) X (5)Hemos formado 2 rectángulos: 
� {(0),(2),(8),(10)} � C’A’ 
� {(8),(10),(12),(14)} � DA’ 
 
POR TANTO � F = DA’ + C’A’ 
 
COMO SE VE, HEMOS TRATADO LAS INESPECIFICACIONES (8) Y (10) 
COMO 1s Y EL RESTO COMO 0s. 
 
 
 
Fundamentos de los Computadores. Sistemas Combinacionales T4-9 
MÁS MAPAS: 
� PARA FUNCIONES DE 2 Y 3 VARIABLES: 
F(B,A) F(C,B,A) 
 
 A A AB 
 B 0 1 BC 0 1 C 00 01 11 10 
 0 (0) (1) 00 (0) (1) 0 (0) (2) (3) (1) 
 1 (2) (3) 01 (4) (5) 1 (4) (6) (7) (5) 
 11 (6) (7) 
 10 (2) (3) 
 
 
� PARA FUNCIONES DE 5 VARIABLES: F(E,D,C,B,A) 
 E=0 E=1 
 AB AB 
 CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 
 00 (0) (2) (3) (1) 00 (16) (18) (19) (17) 
 01 (8) (10) (11) (9) 01 (24) (26) (27) (25) 
 11 (12) (14) (15) (13) 11 (28) (30) (31) (29) 
 10 (4) (6) (7) (5) 10 (20) (22) (23) (21) 
 
EJEMPLO DE SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES CON 5 VARIABLES: 
F(E,D,C,B,A) = Σm(0,2,3,6,7,9,11,13,15,16,25,27,29,31) 
 E=0 E=1 
 AB AB 
 CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 
 00 1 (0) 1 (2) 1 (3) (1) 
 00 1 (16) (18) (19) (17) 
 
 01 (8) (10) 1 (11) 1 (9) 
 01 (24) (26) 1 (27) 1 (25) 
 
 11 (12) (14) 1 (15) 1 (13) 
 11 (28) (30) 1 (31) 1 (29) 
 
 10 (4) 1 (6) 1 (7) (5) 
 10 (20) (22) (23) (21) 
 
 
Hemos formado 3 rectángulos: 
� {(0),(16)} � D’C’B’A’ 
� {(2),(3),(6),(7)} � E’D’B 
� {(11),(9),(15),(13),(27),(25),(31),(29)} � DA 
POR TANTO � F = DA + E’D’B + D’C’B’A’