Sistemas Ópticos: Lentes e Espelhos

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División de Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Energías Renovables 1 
Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
Programa de la asignatura: 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
Índice 
 
Presentación ____________________________________________________ 3 
Competencia específica ___________________________________________ 4 
Propósitos ______________________________________________________ 4 
2.1. Lentes delgadas ______________________________________________ 5 
2.1.1. Tipos de lentes........................................................................................ 5 
2.1.2. Parámetros ópticos de las lentes delgadas ............................................ 7 
2.1.3. Fórmula de Gauss para lentes delgadas ................................................ 9 
2.1.4. Formación de imágenes en lentes convergentes y lentes divergentes . 13 
2.2. Espejos esféricos ____________________________________________ 19 
2.2.1. Formación de imágenes en espejos esféricos ...................................... 19 
2.2.2. Aplicaciones de los espejos esféricos ................................................... 21 
2.3. Lentes de Fresnel ___________________________________________ 23 
2.3.1. Descripción de una lente de Fresnel ..................................................... 23 
2.3.2. Formación de imágenes en una lente de Fresnel ................................. 24 
2.3.3. Aplicaciones en tecnología solar........................................................... 26 
2.4. Sistemas de varias lentes _____________________________________ 30 
2.4.1. Distancia focal efectiva ......................................................................... 30 
2.4.2. Distancia focal posterior ........................................................................ 32 
Cierre de la unidad ______________________________________________ 33 
Para saber más _________________________________________________ 34 
Fuentes de consulta _____________________________________________ 35 
 
 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
Presentación 
 
 
 
Los espejos y las lentes son los dispositivos ópticos más sencillos, pero con mayor 
aplicación en una gran variedad de sistemas. Se pueden encontrar en aplicaciones 
cotidianas (como los espejos retrovisores de los autos, las lupas o los espejos que utilizan 
los dentistas) y en instrumentos para la educación e investigación (como los microscopios, 
telescopios, espectofotómetros, etc.). Una de las aplicaciones de mayor interés, que 
involucra dispositivos ópticos, se encuentra en los sistemas que generan energía 
utilizando la luz del sol, tanto en sistemas termosolares como en sistemas fotovoltaicos. 
Como estudiante de la Ingeniería en Energías Renovables, es fundamental conocer los 
principios básicos de funcionamiento de estos dispositivos ópticos. En la primera unidad, 
se analizaron los principios de la óptica geométrica con el objetivo de contar con una 
base sólida para la comprensión del tratamiento de la luz en las superficies reflectoras 
(espejos esféricos); en cambio, en esta unidad, bajo los mismos principios de la óptica, 
se estudiará el comportamiento de la luz cuando ésta incide sobre una superficie 
refractora; es decir, cuando la luz atraviesa una lente. 
 
Gran parte de esta unidad comprende las principales aplicaciones de los espejos y de las 
lentes en los sistemas de energías renovables (específicamente como captadores y 
concentradores de luz). El propósito que se persigue es conocer e identificar sistemas de 
concentración en plantas termosolares y en arreglos fotovoltaicos para que, en la 
siguiente unidad, se puedan analizar y diseñar sistemas ópticos completos en un arreglo 
termosolar o fotovoltaico. 
Edificios de espejo. Retomado de 
http://www.inessman.com/ 
http://www.inessman.com/
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
Competencia específica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad 2 
Analiza los sistemas ópticos compuestos para interpretar los 
fenómenos de la luz al incidir sobre captadores y concentradores 
solares mediante diferentes configuraciones de los sistemas 
ópticos simples. 
 
 
Propósitos 
 
 
 
 
 
 
1 Comprenderás los fenómenos de refacción que ocurren en lentes delgadas y 
sistemas de varias lentes. 
2 
Entenderás los fenómenos ópticos relacionados con sistemas de lentes 
facilitará el estudio de los concentradores solares, aplicados en sistemas de 
energías alternas. 
 
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Sistemas ópticos 
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2.1. Lentes delgadas 
 
Las lentes forman parte de los dispositivos ópticos con mayor aplicación comercial, 
industrial y de investigación. Se pueden encontrar en los anteojos que utilizan las 
personas para corregir algún defecto visual, en los proyectores de imágenes (desde los 
más sencillos hasta los más sofisticados), en una máquina fotocopiadora, en los 
telescopios, los microscopios y en una gran diversidad de aparatos utilizados en los 
laboratorios de educación o investigación. Una aplicación de gran interés para el análisis 
es la integración de lentes en sistemas fotovoltaicos para aumentar la concentración de la 
luz en las celdas solares. 
 
Una lente es un objeto de vidrio, mica o cualquier otro material óptico transparente 
limitado por dos superficies, de las cuales al menos una tiene forma esférica. La función 
de una lente es refractar los rayos de luz que la atraviesan. De acuerdo al tipo de lente, 
los haces de luz pueden converger o divergir dependiendo del grado de refracción que 
experimenten a causa de las características propias del material. 
 
En la óptica geométrica se distinguen dos tipos de lentes: 
 
 Lentes delgadas: son los dispositivos ópticos que refractan la luz y que tienen un 
espesor despreciable comparado con la distancia focal. 
 Lentes gruesas: dispositivos ópticos que tienen un espesor no despreciable 
comparado con su distancia focal y, por lo tanto, el tratamiento óptico difiere de las 
lentes delgadas. Algunas veces, a un sistema óptico compuesto por varias lentes 
delgadas se le considera como una lente gruesa si la separación entre las lentes 
es despreciable comparado con el espesor de las mismas. 
 
En la unidad anterior se analizó el tratamiento óptico para las superficies que reflejan la 
luz; por el contrario, esta unidad se enfocará en el análisis de los parámetros ópticos de 
las lentes delgadas, es decir, se examina qué trayectoria sigue la luz cuando se encuentra 
con un elemento óptico refractor. 
 
2.1.1. Tipos de lentes 
 
De acuerdo con su forma y su estructura geométrica, las lentes delgadas se clasifican en: 
 
 Lentes convergentes: son lentes más gruesas por el centro que por el borde. 
Cuando los rayos de luz inciden en una lente de este tipo, concentran en un sólo 
punto (convergen) todos los haces. También se les conoce como lentes positivas. 
 
 
 
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 A su vez, las lentes convergentes se clasifican, dependiendo de su estructura geométrica, 
en: 
a) Biconvexas: las dos superficies refractoras son convexas. 
b) Plano convexas: contienen una superficie convexa y otra plana. 
c) Menisco convergente: la primera superficie refractora es convexa y la 
segunda es cóncava. 
 
En la siguiente figura se observan las diferentes geometrías de las lentes convergentes o 
convexas. Las lentes biconvexassuelen representarse con una doble flecha apuntando 
hacia afuera. 
 
 
Tipos de lentes convergentes y su representación: 1. Biconvexa 2. Plano convexa 3. Menisco 
convergente. 
Fuente: tomada de 
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/OptGeometrica/lentes/LentesDelga
das.htm 
 
 Lentes divergentes: son dispositivos ópticos más gruesos por los bordes que por 
el centro. Cuando los rayos de luz inciden en una lente divergente, se separaran 
después de refractarse (divergen). También se les conoce como lentes negativas 
debido a que la imagen que forman siempre será de menor tamaño que el objeto. 
 
Dependiendo de su estructura geométrica pueden ser: 
 
a) Bicóncavas: cuando las dos superficies esféricas son cóncavas. 
b) Plano cóncavas: una superficie es plana y la otra es cóncava 
c) Meniscos divergentes: una superficie es cóncava y la otra es convexa. 
 
A las lentes divergentes se les representa mediante una flecha doble apuntando hacia 
adentro, como se observa en la figura: 
 
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/OptGeometrica/lentes/LentesDelgadas.htm
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Tipos de lentes divergentes y su representación: 1. Bicóncava 2. Plano cóncava 3. Menisco 
divergente. 
Fuente: tomada de 
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/OptGeometrica/lentes/Len
tesDelgadas.htm 
 
 
2.1.2. Parámetros ópticos de las lentes delgadas 
 
Al igual que en los espejos, las lentes tienen determinados parámetros ópticos que 
facilitan la comprensión de la formación de imágenes cuando éstos refractan la luz. 
 
Las propiedades de convergencia o divergencia de las lentes esféricas dependen, en gran 
medida, de la concavidad (curvatura) de la superficie y de los índices de refracción de los 
medios que las rodean. Si n1 es el índice de refracción del medio y n2 es el índice de 
refracción de la lente y se cumple que n1<n2, entonces, las lentes convexas son 
convergentes al considerar que los rayos incidentes, al refractarse, convergen en un 
punto generando una imagen real. Aplicando la misma condición, una superficie refractora 
cóncava será divergente tomando en cuenta que los rayos refractados no coinciden en 
ningún punto, originando así una imagen virtual del objeto. Para el análisis de lentes 
delgadas en este curso, únicamente se considerará esta condición de n1<n2. 
 
Puntos focales y distancias focales 
 
A diferencia de los espejos esféricos, las lentes esféricas delgadas tienen dos distancias 
focales. Para el caso de una lente convergente, se define un primer foco como el punto en 
el cual convergen los rayos refractados que llegan a la lente en dirección paralela al eje 
óptico. Si un objeto se localizará en el infinito, su imagen se formaría en el primer foco. El 
segundo foco es el punto desde el cual divergen los rayos que se vuelven paralelos al eje 
óptico después de atravesar la superficie esférica. Si un objeto se coloca en el primer foco 
de esta lente, la imagen formada estará localizada en el infinito. En la figura se observan 
los dos puntos focales de una lente convergente. Ambos son reales debido a que pasan 
por allí rayos de luz reales. 
 
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/OptGeometrica/lentes/LentesDelgadas.htm
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Puntos focales (F) y distancias focales (f) de una lente convergente. 
Fuente: Óptica, Hecht, E. y Zajac A. (2004). 
 
Para una lente divergente, el primer foco es el punto sobre el eje óptico donde, 
aparentemente, surgirían todos los rayos que inciden de manera paralela al eje óptico. El 
segundo foco se refiere al punto en el que se concentrarían todos los rayos incidentes, 
que después de atravesar la superficie esférica se vuelven paralelos. Para la lente 
divergente, los dos focos son virtuales, puesto que por ninguno de ellos, realmente, 
inciden los haces de luz. 
 
Puntos focales (F) y distancias focales (f) de una lente convergente 
Fuente: Óptica, Hecht, E. y Zajac A. (2004). 
 
A diferencia de los espejos esféricos, la distancia focal 𝑓 en una lente no es equivalente a 
la mitad del radio de curvatura; en este caso, depende del índice de refracción del 
material de fabricación. 
 
Eje óptico 
En el caso de las lentes con dos superficies esféricas, el eje óptico es una línea 
imaginaria que pasa por el centro de curvatura de las dos superficies esféricas. Si la lente 
contiene una superficie plana, el eje óptico es una línea imaginaria que pasa por el centro 
de curvatura de la superficie esférica y, a su vez, es perpendicular a la superficie plana. 
Con estas definiciones se puede observar que el eje óptico pasa por la parte más gruesa 
de una lente convergente o por la parte más delgada de una lente divergente. 
 
 
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Eje óptico para todos los tipos de lentes delgadas. 
Fuente: tomado de http://www.gisiberica.com/lupas/lentes.htm 
 
Curvatura 
El radio de curvatura R es el radio de la esfera que se formaría con la sección de cada 
una de las superficies esféricas. Una lente con dos superficies esféricas tiene dos radios 
de curvatura como se indica en la figura. Por otra parte, el centro de curvatura C es el 
extremo del radio de curvatura que se encuentra sobre el eje óptico. 
 
 
Centro de curvatura y radios de curvatura de una lente esférica delgada. 
 
2.1.3. Fórmula de Gauss para lentes delgadas 
 
Para analizar lo que sucede con los rayos luminosos que inciden sobre las lentes 
delgadas después de refractarse, es necesario utilizar la aproximación de rayos 
paraxiales. Esta aproximación es útil en el análisis de los sistemas ópticos de espejos y 
lentes. La aproximación paraxial supone que los rayos de luz siguen una trayectoria 
formando ángulos pequeños con respecto al eje óptico. En la aproximación paraxial de 
primer orden, el coseno del ángulo formado entre el eje óptico y el haz incidente se 
aproxima a uno, así como el seno y la tangente se aproxima al mismo ángulo; en 
radianes: 
 
 sen 
 tan 
1cos  
 
Eje óptico 
C1 C2 
Eje óptico 
http://www.gisiberica.com/lupas/lentes.htm
 
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 Existe una ecuación que relaciona la posición del objeto y de la imagen que se forma en 
una lente delgada a partir de las características propias de las superficies refractoras. Si 
se considera, para el análisis óptico de las lentes, que la luz viaja de izquierda a derecha, 
entonces, todas las distancias medidas de izquierda a derecha se consideran positivas y 
todas las longitudes medidas de derecha a izquierda serán de naturaleza negativa. 
Con el objetivo de determinar las relaciones entre las distancias de la imagen y el objeto 
en una lente delgada (formada por dos superficies refractoras), se examina primero una 
sola superficie. 
 
Fórmula de Gauss para una superficie refractora 
 
Con las consideraciones anteriores y de acuerdo con la siguiente figura, se aplica la ley 
de los senos a los triángulos OPC y CPI y se obtiene: 
 sen
R
sen
Rp



)( 1
(1) 
 sen
R
sen
Rq


2
(2) 
 
Parámetros geométricos de una superficie esférica refractora. 
 
En donde: 
 sen
R
Rp
sen
1 (3) 
 sen
R
Rq
sen

2 (4) 
 
Recordando la ley de Snell para la refracción entre la superficie refractora y el aire: 
2211  sennsenn  . 
Sustituyendo esta relación en la ecuación anterior se obtiene la siguiente expresión: 
p q 
R 
O I 
V K C 
 
P n1 n2 

h 
 
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 sen
R
Rq
nsen
R
Rp
n



21 (5) 
 
La aproximación paraxial permite hacer las siguientes suposiciones: 
 tansen 
 tansen 
 
Si ahora se supone que K, que es el pie de la perpendicular trazada desde el punto P 
hasta el eje óptico con altura h, es igual al vértice de la superficie de acuerdo con los 
triángulos rectángulos formados por OKP eI KP, se tiene: 
p
h
sen   tan (6) 
 
Lo que implica (sustituyendo 
p
h
sen 
q
h
sen  en las ecuaciones): 
q
h
R
Rq
n
p
h
R
Rp
n



21
(7) 
 
Simplificando algebraicamente: 
R
nn
q
n
p
n 1221 
 (8) 
 
La expresión anterior es la fórmula de Gauss para superficies refractoras esféricas. Si en 
el diagrama anterior, p corresponde al foco 1 y q corresponde al foco 2, entonces: 
Cuando  qfp ,1
 y cuando  pfq ,2
 
Lo anterior implica que: 
12
1
1
nn
Rn
f

 (9) 
12
2
2
nn
Rn
f

 (10) 
Por lo tanto, también se cumple la siguiente relación: 
2
1
2
1
n
n
f
f
 (11) 
Esta expresión indica que las distancias focales son directamente proporcionales a los 
índices de refracción de los medios separados por la lente esférica. 
 
Fórmula de Gauss para lentes delgadas 
 
Los efectos de una lente delgada sobre los rayos luminosos que inciden sobre ella se 
analizan con el mismo tratamiento que para una sola superficie refractora. Se utiliza la 
aproximación de rayos paraxiales y se supone que la lente es lo suficientemente delgada 
 
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 para que las distancias del objeto y la imagen puedan medirse tomando como referencia 
el eje óptico y el centro de curvatura. 
 
Con las relaciones que ya se tienen para una sola superficie se obtiene la ubicación de la 
imagen I’ producida por la primera superficie refractora ecuación (8): 
1
1221
' R
nn
q
n
p
n 
 (12) 
 
 
Parámetros geométricos de una lente delgada para la obtención de la fórmula de Gauss. 
 
Del diagrama anterior, se obtienen las siguientes distancias: 
pOV 1 
111 RCV  
222 RCV  
'1 qIV  
qIV 2
 
xVV 21 
''2 pIV  
C centro de la lente. 
 
Se puede observar que la imagen I’ funciona ahora como objeto fuente de la segunda 
superficie refractora, con una distancia igual a ''1 qIV  . Suponiendo que la luz recorre la 
lente de izquierda a derecha, la distancia de derecha a izquierda de I´a V1 es negativa; por 
lo tanto, I’ es una fuente virtual para la segunda superficie y p’ también es negativa para la 
segunda superficie. Con estas consideraciones, las relaciones entre objeto e imagen, para 
la segunda superficie refractora, se escriben: 
2
2332
' R
nn
q
n
p
n 
 (13) 
Sumando las ecuaciones (12) y (13) y considerando que '21 IVIV  se obtiene la siguiente 
expresión: 
n1 n2 n3 
C C1 C2 O I I’ V2 V1 
 
 
R1 
R2 
p 
q 
q’ 
p’ 
 
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2
23
1
1231
R
nn
R
nn
q
n
p
n 


 (14) 
La expresión anterior es la fórmula de Gauss para lentes delgadas en su forma general. 
Si el medio que rodea a la lente es aire 131  nn y el índice de refracción de la lente se 
representa como n, entonces, la expresión anterior se simplifica a: 
 









21
11
)1(
11
RR
n
qp (15) 
Cuando la lente está rodeada por un solo medio, como sucede en la mayoría de los 
casos, las distancias focales son iguales, 21 ff  y se expresa únicamente una distancia 
focal f de la lente generada por cualquiera de las condiciones: si q entonces, pf  
y si p qf  
Con cualquier condición se obtiene: 









21
11
)1(
1
RR
n
f (16) 
La expresión anterior se conoce como fórmula del constructor de lentes, debido a que 
seleccionando un índice de refracción adecuado, n, y adaptando las superficies esféricas 
a un respectivo radio de curvatura, se puede construir una lente con una distancia focal 
predeterminada. 
El inverso de la distancia focal es una magnitud importante de las lentes esféricas: 
P
f

1
 (17) 
P es la potencia de una lente y es positiva para las lentes convergentes y negativa para 
las lentes divergentes. Su unidad de medida es la dioptría equivalente al inverso de los 
metros. 
Si se combinan las ecuaciones (15) y (16), se obtiene la siguiente expresión: 
fqp
111
 (18) 
La ecuación anterior es similar a la que se obtuvo en el tratamiento para los espejos 
esféricos. 
 
2.1.4. Formación de imágenes en lentes convergentes y lentes 
divergentes 
 
De manera gráfica, siguiendo unos sencillos pasos, se puede conocer la posición y la 
altura de la imagen formada a partir de la ubicación del objeto en lentes esféricas. Para 
 
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 construir las imágenes de esta manera, se deben tomar en cuenta las siguientes 
consideraciones bajo la aproximación paraxial: 
 
a. Un haz de luz que pasa por el centro de la lente no presenta ninguna desviación 
en su trayectoria. 
b. Los rayos que inciden sobre la superficie refractora de manera paralela al eje 
óptico, al refractarse, pasan por el segundo foco de la lente si éste es real, o su 
propagación pasa por el segundo foco de la lente si éste es virtual. 
c. Un rayo, que en su trayectoria coincida con el primer foco, se refracta 
paralelamente al eje óptico. 
d. Si la lente es convergente, el foco se encuentra en el lado contrario al de 
incidencia de los rayos que convergen sobre él. 
e. Si la lente es divergente, el foco se encuentra en el lado de incidencia de los 
rayos, por lo que estos divergen. 
 
Para calcular la posición y altura de la imagen que se forma por una lente delgada, se 
toma un punto sobre la altura del objeto y se trazan tres rayos a través de las lentes, 
siguiendo las consideraciones anteriores. 
 
1. Se traza un rayo paralelo al eje óptico que al refractarse pasa por el segundo foco 
de la lente (púrpura). 
2. El segundo rayo que se traza debe pasar por el centro de la lente y no sufre 
ninguna desviación (rojo). 
3. El tercer rayo pasa por el primer foco de la lente y al refractarse sale de manera 
paralela al eje (verde). 
 
El punto donde estos tres rayos se interceptan es donde se forma la imagen; su tamaño 
es igual a la distancia que existe desde ese punto al eje óptico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formación de una imagen en una lente por medio del trazado de rayos. 
 
En la siguiente figura se ilustran algunos casos de formación de imágenes en lentes, 
siguiendo los criterios anteriores. 
 
 Caso I: si el objeto está situado entre 2F1 y el infinito, la imagen se encontrará 
entre F2 y 2F2 y será real, invertida, y de menor tamaño. 
F1 
F2 
O 
Objeto 
Imagen 
 
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  Caso II: si el objeto está situado en 2F1, la imagen estará en 2F2 y será igual, 
invertida y real. 
 Caso III: si el objeto se encuentra entre 2F1 y F1, la imagen estará situada 
después de 2F2 y será real, invertida y de mayor tamaño. 
 Caso IV: si el objeto se sitúa en el primer foco, F1, la imagen no se forma, porque 
los rayos nunca se intersectan (se formaría en el infinito). 
 Caso V: si elobjeto se encuentra exactamente entre el primer foco F1 y el vértice 
de la lente, la imagen estará entre F1 y el infinito; en este caso, será virtual 
(formada por las prolongaciones de los rayos), derecha y de mayor tamaño que el 
objeto. Esta es la única situación en la que se puede obtener una imagen virtual 
con una lente convergente. 
 Caso VI: si la lente es divergente, las imágenes siempre serán invertidas y de 
menor tamaño que el objeto, independientemente de la posición de éste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O F1 
F2 
O 
F2 
F1 2F1 
2F2 
2F1 
2F2 
2F1 F1 O 
F2 2F2 
Caso I 
Caso II 
Caso III 
 
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Obtención de imágenes para lentes delgadas cóncavas y convexas. 
Fuente: tomado de http://fresno.pntic.mec.es/msap0005/2eso/Tema_06/Tema_06_lentes.html 
 
Con este procedimiento de trazado de rayos, se puede visualizar la imagen de cualquier 
objeto frente a una superficie refractora y determinar si la imagen formada es real o 
virtual. Una lente convergente forma una imagen real e invertida siempre que se cumpla 
con la condición: fp  . En el caso contrario fp  , la imagen será virtual y derecha. En 
una lente divergente, las imágenes obtenidas serán siempre virtuales y derechas 
independientemente de la posición del objeto. 
 
2F1 F1 O 
F2 2F2 
F1 O 
F2 
F1 
F2 
O 2F1 
2F2 
F1 2F1 O 
F2 2F2 
Caso IV 
Caso V 
Caso VI 
Caso VI 
http://fresno.pntic.mec.es/msap0005/2eso/Tema_06/Tema_06_lentes.html
 
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 Magnificación de una lente delgada 
 
La amplificación lateral de una lente se refiere a la razón que existe entre la altura de la 
imagen formada con respecto a la altura de lente: 
o
i
d
d
H
H
m 
' (19) 
 
Donde H es la altura del objeto y H’ es la altura de la imagen. La misma relación se 
cumple para distancia de la imagen entre la distancia del objeto, de manera negativa al 
considerar que la distancia de la imagen es negativa. La misma relación se cumple para 
las distancias entre imagen y objeto, pero con signo negativo al considerar que la 
distancia de la imagen a la lente es negativa. 
 
Haciendo referencia a la siguiente figura, en donde se ha trazado la imagen producida por 
un objeto cuando se tiene una lente delgada, existen una serie de semejanzas entre 
varias parejas de triángulos formados en el trazado de rayos: 
 
 
Parámetros geométricos de una lente delgada para la obtención de la amplificación lateral. 
Fuente: Óptica, Hecht, E. y Zajac A. (2004). 
 
pAC  , qCD  , fCF 1
 
fCF 2 , 
12 xAF  , 
22 xDF  
0GCAB ; IDECH  
Rp
Rq
H
H



'
 
 
Tomando en cuenta la semejanza de los triángulos ABF1 y F1CH, se cumple la siguiente 
relación: 
 
1x
f
d
d
m
o
i  (20) 
 Y para la pareja de triángulos semejantes GCF2 y F2DE la siguiente relación es válida: 
x1 x2 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
f
x
d
d
m
o
i 2 (21) 
Combinando las ecuaciones (20) y (21), se llega a la siguiente relación: 
2
21. fxx  (22) 
La ecuación anterior denominada fórmula de Newton es de especial interés porque se 
puede conocer la distancia de la imagen con respecto al segundo foco, si se conoce la 
distancia focal de la lente. Por lo tanto, la fórmula de Newton es una equivalencia de la 
fórmula de Gauss. 
 
 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
2.2. Espejos esféricos 
 
En la Unidad 1 estudiaste con detalle el fenómeno de reflexión de la luz, analizando lo que 
sucede en los espejos esféricos. Los espejos y las lentes son los dispositivos ópticos más 
utilizados en los sistemas de concentración solar, tanto para aplicaciones fototémicas, así 
como para aplicaciones fotovoltaicas. Debido a la importancia que tienen en sistemas de 
energías alternas, en esta sección se hará un repaso sobre la formación de las imágenes 
en los espejos esféricos y se describirán algunas aplicaciones específicas. 
 
2.2.1. Formación de imágenes en espejos esféricos 
 
La construcción de imágenes para espejos esféricos es muy sencilla cuando se sigue la 
metodología del trazado de los rayos principales descritos en el Tema 1.3. Formación de 
imágenes en superficies esféricas de la Unidad 1. Trazando un rayo paralelo que se 
refleje en la superficie y un rayo que pase por el foco del espejo (y se refleje de forma 
paralela) se puede obtener las siguientes imágenes, dependiendo de la ubicación del 
objeto: 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
Formación de imágenes en espejos esféricos para distintas posiciones del objeto. 
Fuente: tomada de http://acacia.pntic.mec.es/jruiz27/lentespejoss/espejos.htm 
 
http://acacia.pntic.mec.es/jruiz27/lentespejoss/espejos.htm
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 a) Una imagen real, invertida y del mismo tamaño que el objeto cuando éste se sitúa 
en el centro de curvatura de la lente. 
b) Si el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foco del espejo, 
entonces la imagen resultante tendrá un mayor tamaño, su posición será invertida 
y su ubicación será a la izquierda del centro de curvatura. 
c) Cuando el objeto se posiciona en el foco de la lente, se concluye que la imagen 
estará formada en el infinito, debido a que los rayos reflejados nunca llegan a 
interceptarse. 
d) Una imagen virtual se obtiene cuando el objeto se encuentra situado hacia la 
derecha del foco del espejo. La imagen además será de mayor tamaño que el 
objeto y no invertida. 
 
Para un espejo convexo, se obtendrá siempre una imagen virtual derecha y de menor 
tamaño que el objeto. 
 
 
2.2.2. Aplicaciones de los espejos esféricos 
 
Los espejos esféricos tienen una diversidad de aplicaciones en la vida diaria, en la 
industria, en la investigación y en sistemas generadores de energías renovables. A 
continuación se mencionan algunas aplicaciones de los espejos esféricos. 
 
Espejos retrovisores 
Los espejos retrovisores de los automóviles son espejos convexos; por esta razón, la 
imagen que aparece es de menor tamaño que el objeto que la produce. El campo de 
visión de estos espejos es muy grande, lo que implica que reflejan un área de imagen 
muy amplia. Aunque, a simple vista, el espejo retrovisor parezca un dispositivo plano, en 
realidad tiene la forma de un cilindro parabólico con una curvatura muy pequeña, como se 
observa en la figura: 
 
Forma geométrica de un espejo retrovisor. 
 Fuente: tomada de 
http://errantesengris.wordpress.com/2010/12/11/como-funcionan-los-espejos-retrovisores/ 
 
 
 
http://errantesengris.wordpress.com/2010/12/11/como-funcionan-los-espejos-retrovisores/
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
Telescopio Newtoniano: 
 
Diagrama de un telescopio newtoniano. 
 
El telescopio reflector, también conocido como telescopio newtoniano en honor a su 
inventor, Isaac Newton, utiliza un espejo cóncavo para enfocar la luz reflejada en un sólo 
punto. La cantidad de luz que puede concentrar un espejo esférico depende de su 
apertura. En el este tipo de telescopios, la luz que incide en el espejo cóncavo se refleja 
en un espejo plano que se ha colocado en el foco del espejo esférico. El espejo plano se 
inclina aproximadamente 45°, con el objetivo de reflejar nuevamentela luz hacia un plano 
donde se formará la imagen. Para amplificar la imagen formada, de manera que pueda 
ser visible para los observadores, se coloca una lente positiva en el punto de observación. 
 
Concentradores solares 
 
Un concentrador solar es un dispositivo óptico compuesto, principalmente, por espejos 
que focalizan la radiación solar incidente en un área muy pequeña. Existen diversos tipos 
de colectores solares, atendiendo a la forma geométrica de la superficie reflejante; si ésta 
es un espejo cóncavo, entonces el concentrador solar es de tipo parabólico. En muchas 
aplicaciones, se utiliza un sistema de seguimiento para enfocar, directamente, la 
trayectoria del sol durante todo el día. En la figura siguiente, se ilustra el esquema de un 
colector solar parabólico con sistema de seguimiento. 
 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
Esquema de un concentrador solar parabólico con sistema de seguimiento. 
 
En la unidad 3, se realizará un análisis más detallado de los concentradores solares. Sus 
principales aplicaciones se encontrarán en sistemas para calentar agua, cocinas solares, 
calefacción doméstica y plantas termosolares. 
 
2.3. Lentes de Fresnel 
 
Si el radio de curvatura de una lente plano cóncava es muy corto, comparado con su 
diámetro, la lente es muy gruesa en el centro; por el contrario, si la lente es plano 
convexa, con la misma condición de radio de curvatura, entonces tendrá las orillas 
demasiado gruesas en comparación con su centro. En ambos casos se hace referencia a 
una lente gruesa con distancias focales cortas; sin embargo, para aplicaciones prácticas, 
resulta más sencillo analizar un sistema de lentes delgadas. 
 
2.3.1. Descripción de una lente de Fresnel 
 
Para aplicaciones específicas donde se requiere de una distancia focal corta o de una 
amplificación muy grande, el diseño de lentes deriva en dispositivos pesados, con mayor 
material y, por ende, más costosos. Con el propósito de hacerlas más delgadas, Agustín 
Fresnel construyó unas lentes que llevan su nombre; en ellas, se disminuye el espesor 
recortando la lente esférica y reduciéndola a una serie de anillos concéntricos de forma 
escalonada, como se observa en la siguiente figura: 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
Lente de Fresnel, construida a partir de una lente normal. La zona roja indica el área que debe ser removida 
para que finalmente la lente sea de menor espesor. 
Fuente: tomada de http://camera-wiki.org/wiki/Fresnel_lens 
 
En algunos casos, las superficies curvas se reemplazan por superficies planas, 
cambiando el ángulo en cada sección. En esta situación, la lente puede ser considerada 
como un conjunto de prismas dispuestos en forma circular, con los prismas mayores en 
los bordes de la lente y en el centro una superficie cóncava, convexa o plana. 
 
Las partes curvas de la lente de Fresnel se reemplazan por partes planas y quedan pequeños prismas. 
Fuente: http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/op/07-04/OP0704_S52_S55.pdf 
 
La reducción en el espesor de la lente y, por lo tanto, en la cantidad del material utilizado 
tiene beneficios económicos a expensas de la reducción de la calidad en la imagen de la 
lente. Por esta razón, en aplicaciones en donde se requiere nitidez en la imagen obtenida, 
como en la fotografía, se prefiere el uso de lentes convencionales, aunque tengan mayor 
volumen. 
 
2.3.2. Formación de imágenes en una lente de Fresnel 
 
Los parámetros ópticos que definen una lente de Fresnel son: la distancia focal efectiva y 
la apertura #.La definición de distancia focal depende de la forma geométrica de la lente. 
http://camera-wiki.org/wiki/Fresnel_lens
http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/op/07-04/OP0704_S52_S55.pdf
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 En las lentes esféricas delgadas, una distancia focal es la longitud que existe desde el 
vértice de la lente hasta el punto sobre el eje óptico, donde los rayos refractados que 
inciden paralelamente convergen en un punto. Para una lente que tiene una superficie 
plana de un lado y una superficie triangular (parte de un prisma) del otro lado, la distancia 
focal efectiva es la distancia que existe desde el foco de la lente (antes de recortarla para 
transformarla en lente de Fresnel) hasta la superficie del prisma. 
 
La apertura se define como la razón que existe entre la distancia focal y el diámetro de la 
lente. Este mismo término a veces se utiliza como “velocidad de la lente”, debido a que 
una lente con una apertura menor concentrará la luz más rápido que una lente del mismo 
diámetro y una distancia focal mayor, como se observa en la figura. 
 
La relación entre la distancia focal y el diámetro es menor en la lente de la izquierda que en la lente de la 
derecha; por lo tanto, la lente de la derecha se considera como una lente “rápida”. 
Fuente: tomada de http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/op/07-04/OP0704_S52_S55.pdf 
 
Amplificación lateral de una lente de Fresnel 
 
Asumiendo que se conocen las distancias del objeto a la lente (do), se puede utilizar la 
ecuación de Newton para las lentes delgadas. Si se desea una imagen amplificada (m) 
del objeto, la lente se debe diseñar de manera que su distancia focal cumpla con la 
siguiente relación: 
 








m
d
f i
1
1
(23) 
 
 
Donde di es la distancia de la lente al objeto y m es la amplificación. 
 
Otro parámetro importante tiene que ver con que el tamaño de la lente es la distancia 
necesaria para que la imagen formada sea distinguible. Es necesario elegir un tamaño 
adecuado para que la medida de la imagen formada tenga un ángulo visible. Para esto se 
necesitan dos variables más: l que es la distancia del objeto al observador y la altura de la 
http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/op/07-04/OP0704_S52_S55.pdf
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 imagen formada H’. Conociendo estos parámetros, el diámetro de la lente debe cumplir 
con la siguiente relación: 
 











o
o
dI
md
mH
1
'
 (24) 
 
Donde 
las ecuaciones (20) y (23), l es la distancia desde el observador, o el objetivo, hasta la 
imagen y do es la distancia que existe entre la lente y el objeto. En la siguiente figura se 
aprecia la relación geométrica que existe entre todos los parámetros anteriores. 
 
 
Parámetros geométricos de una lente de Fresnel. 
Fuente: tomada de http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/op/07-04/OP0704_S52_S55.pdf 
 
2.3.3. Aplicaciones en tecnología solar 
 
Un sistema óptico, que tiene como función principal la convergencia de la luz de un área 
relativamente muy grande a un punto o una región más pequeña, se denomina 
concentrador o captador óptico. Las lentes de Fresnel tienen una aplicación considerable 
en concentradores ópticos, porque su diseño permite concentrar la mayor porción de luz, 
reduciendo la cantidad de material en la lente. 
 
Si la luz que se requiere concentrar es la del sol, en este caso, el dispositivo se especifica 
como concentrador o captador solar. Un colector solar es un dispositivo diseñado para 
captar la energía irradiada por el sol y convertirla en energía térmica, dependiendo de la 
aplicación. Los colectores solares se dividen en dos grandes grupos: de baja temperatura, 
con aplicación principal en sistemas domésticos de calefacción, y los colectores de alta 
temperatura, que son sistemas más complejos que integran espejos y lentes. 
 
 
H 
H’ 
do 
di 
http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/op/07-04/OP0704_S52_S55.pdfDivisión de Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Energías Renovables 27 
Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
Concentradores solares con lentes de Fresnel 
 
Las lentes de Fresnel se utilizan frecuentemente como concentradores solares, debido a 
que ofrecen una alta eficiencia de conversión, utilizando la mínima cantidad de material y 
reduciendo el costo. Aunque su aplicación como concentradores solares comenzó desde 
el año de 1960, las investigaciones para mejorar su diseño siguen en marcha. Los 
concentradores solares que utilizan lentes de Fresnel se agrupan en dos categorías 
principales: sistemas con lentes de Fresnel formadores de imágenes y sistemas no 
formadores de imágenes (óptica anidólica). En esta unidad y en la anterior, todos los 
componentes ópticos que se han descrito se utilizan como sistemas formadores de 
imágenes. La óptica anidólica, que trata sobre los sistemas ópticos que no llegan a formar 
imágenes, se analizará con detalle en la siguiente unidad. 
 
En sistemas fotovoltaicos 
 
Un sistema de energía solar fotovoltaica con concentración utiliza lentes de Fresnel para 
concentrar la luz de 250 a 1000 veces. Por esta razón, la eficiencia de un sistema de 
energía solar fotovoltaica con concentración puede llegar hasta un 43% sin que se vea 
afectado el rendimiento del sistema por el aumento de temperatura. Inicialmente, las 
celdas que se utilizaron con concentración solar fueron las celdas de Arsenuro de Galio 
(GaAs), las cuales tienen, principalmente, aplicaciones espaciales. Una celda de GaAs 
tiene una eficiencia del 37% en diseño normal y elevan su eficiencia hasta un 47% cuando 
se implementan lentes de Fresnel en las celdas individuales. La siguiente figura ilustra el 
diseño de arreglo geométrico para una celda solar con concentración mediante lentes de 
Fresnel. Se observa que la celda solar debe situarse a una distancia equivalente a la 
longitud focal de la lente de Fresnel, y que el espacio entre cada celda debe ser la mitad 
de la apertura de la lente. De esta manera, se consigue que toda la luz captada por la 
lente de Fresnel se concentre en un sólo punto, que en este caso equivale a una celda 
individual. 
 
Arreglo geométrico de una celda solar con concentración obtenida a través de las lentes de Fresnel. 
Fuente: tomada de http://www.greenrhinoenergy.com/solar/technologies/pv_concentration.php 
 
En tu asignatura Diseño de sistemas fotovoltaicos, has analizado los componentes 
principales de un módulo solar simple. El módulo fotovoltaico con concentración contiene 
http://www.greenrhinoenergy.com/solar/technologies/pv_concentration.php
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 una serie de lentes concentradoras de Fresnel, dispuestas en la parte superior, arriba de 
cada celda. Un módulo con concentración de tipo Fresnel tiene el mismo número de 
lentes que de celdas individuales. Además de la celda solar y la lente de Fresnel, el 
módulo fotovoltaico contiene algunos elementos ópticos secundarios como espejos 
parabólicos y capas antireflejantes, que trabajan en conjunto para capturar la mayor 
cantidad posible de la radiación solar incidente. Cuando los rayos solares inciden sobre el 
módulo fotovoltaico, llegan a las lentes de Fresnel antes de incidir sobre las celdas. En 
este caso, la celda solar recibe una radiación aumentada en potencia luminosa, debido a 
una mayor superficie de radiación por efecto de la lente concentradora. El arreglo 
fotovoltaico, en conjunto con lentes de Fresnel, se ilustra en la siguiente figura: 
 
 
Un arreglo fotovoltaico con concentración solar. En la parte superior, se observa con detalle cada lente 
cubriendo las celdas individuales. 
Fuente: tomada de http://arquitecturaregenerada.blogspot.mx/2011/09/nuevos-paneles-solares-energia-
solar.html 
 
La cantidad de concentración depende del diseño de la lente. Existen sistemas 
fotovoltaicos que concentran hasta 650 soles; es decir, aumentan la radiación incidente 
hasta 650 veces sin afectar el funcionamiento del sistema por el aumento de temperaturas 
y sin sobrepasar el límite termodinámico. En la siguiente figura, se aprecia la estructura de 
una celda con lentes de Fresnel y un arreglo fotovoltaico con concentración solar. 
 
En destilación solar 
 
La destilación solar es el proceso de purificación de agua utilizando la energía proveniente 
del sol para eliminar sales minerales, hongos, bacterias y otros contaminantes. 
Lentes de Fresnel 
 
Celdas solares 
Arreglo 
fotovoltaico 
http://arquitecturaregenerada.blogspot.mx/2011/09/nuevos-paneles-solares-energia-solar.html
http://arquitecturaregenerada.blogspot.mx/2011/09/nuevos-paneles-solares-energia-solar.html
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
Destilador solar de dos aguas con cubierta de Fresnel. 
 Fuente: tomada de 
http://www.cubasolar.cu/biblioteca/Energia/Energia56/HTML/articulo02.htm 
 
En un destilador solar, se utilizan lentes de Fresnel como un captador solar de alta 
temperatura, el cual concentra la radiación solar en puntos estratégicos situados sobre la 
lámina frontal del evaporador. El agua se calienta cuando recorre la lámina situada en los 
focos de las lentes hasta alcanzar su temperatura de ebullición y convertirse en vapor de 
agua para después condensarse nuevamente y salir como agua purificada. 
 
Plantas solares térmicas 
 
Las plantas solares térmicas son sistemas de potencia que colectan la energía solar y la 
convierten en calor para después convertirla en electricidad y, en algunas ocasiones, 
cuentan con un sistema de almacenamiento térmico o respaldo de energía basado en 
combustibles convencionales. 
 
La generación de energía eléctrica a partir de plantas termosolares requiere del uso de 
concentradores solares. La función de los concentradores solares en estos sistemas es 
recibir la energía solar y concentrarla en áreas menores para después transferirla en 
forma de calor hacia algún fluido de trabajo, que generalmente es un aceite térmico o 
agua. El fluido le transfiere calor a un intercambiador de calor para producir vapor de 
agua. El uso de concentradores de tipo Fresnel permite alcanzar temperaturas 
suficientemente altas para producir vapor, como el que se utiliza en las turbinas 
convencionales de generación eléctrica. En la siguiente figura, se observa una planta 
termosolar con concentradores solares de Fresnel: 
 
Placa cubierta con lentes de Fresnel 
http://www.cubasolar.cu/biblioteca/Energia/Energia56/HTML/articulo02.htm
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
 
Planta termosolar con concentración lineal Fresnel en Almería España. 
 
Otras aplicaciones comunes de las lentes de Fresnel se encuentran en los cocedores 
solares y en la iluminación de interiores a partir de luz natural. 
 
 
2.4. Sistemas de varias lentes 
 
En las secciones anteriores se describió la formación de una imagen cuando un objeto es 
refractado únicamente por una lente delgada. Sin embargo, en las aplicaciones prácticas, 
los sistemas que requieren de estos componentes ópticos, generalmente, contienen más 
de una lente. Por ejemplo, los instrumentos ópticos más utilizados en la industria, la 
educación y la investigación (como los microscopios, telescopios, refractómetros y 
sistemas de concentración solar) utilizan, por lo menos, tres tipos diferentes de lentes en 
su diseño. Debido a la diversidad de sus aplicaciones, es importante analizar qué ocurre 
con los rayos difractados después de incidir sobre un sistema de varias lentes para la 
formación o la amplificación de una imagen. 
 
2.4.1. Distancia focal efectivaEn un sistema de varias lentes, además de las distancias focales para cada sistema 
individual, existen dos parámetros que definen la relación que existe entre el objeto y la 
imagen formada por el sistema de lentes. A estos parámetros se les conoce como 
distancia focal efectiva y distancia focal posterior. El siguiente análisis se realiza tomando 
en cuenta que la distancia (d), que existe entre los dos centros ópticos de las lentes, es 
despreciable, comparada con sus longitudes focales. 
Para comprender lo anterior, considera al siguiente sistema conformado por dos lentes 
convergentes, tal como se presenta en la figura: 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
Relaciones geométricas para un sistema formado por dos lentes convergentes. 
 
En este sistema se cumple con la ecuación de Gauss para la primera lente: 
111
111
fdd oi
 y 
111
111
oi dfd
 (25) 
La ecuación de Gauss para la segunda lente: 
222
111
fdd oi
 ( 
222
111
oi dfd
 (26) 
Por otra parte, la imagen para la primera lente se convierte en objeto para la segunda: di1 
≈-d02; por lo tanto, se sustituye do2 en la ecuación anterior por el valor de di1 de la 
ecuación tres para llegar a la siguiente expresión: 







1112
1111
oi dfdf
 
2121
1111
io ddff
 
La combinación del primer objeto y la segunda imagen da como resultado la distancia 
focal efectiva del sistema de dos lentes: 
21
111
fffefec
 
21
21
ff
ff
fefec

 
 
di1 do1 do2 di2 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 2.4.2. Distancia focal posterior 
 
La distancia focal posterior toma en cuenta la distancia de separación que existe entre las 
dos lentes: 
 
21
111
fdff pos


 
 
Este parámetro se utiliza, únicamente, cuando la separación entre las dos lentes no es 
despreciable, comparado con las distancias focales individuales. 
 
 
 
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Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
Cierre de la unidad 
 
En esta unidad, se analizó, de manera detallada, el tratamiento de la luz cuando incide 
sobre una superficie refractora, específicamente sobre lentes delgadas. Las lentes son 
dispositivos ópticos que refractan la luz que inciden sobre ellas, siguiendo las leyes de la 
óptica geométrica (en este caso, la ley de Snell). Dependiendo de la estructura y la forma 
geométrica, las lentes pueden ser convergentes o divergentes. 
 
Las lentes convergentes, conocidas también como lentes positivas, enfocan la luz que 
incide sobre ellas en un sólo punto, llamado foco. Las imágenes que forman este tipo de 
lentes dependen de la posición del objeto y pueden ser reales o virtuales. 
 
Las lentes divergentes, nombradas también lentes negativas, dispersan toda la luz que 
incide sobre ellas. El foco de una lente divergente se refiere a un punto sobre el eje 
óptico, en el cual, surgirían todos los rayos que inciden de manera paralela al eje óptico. 
 
Después de analizar los parámetros ópticos de las lentes, aprendiste que existe una 
relación entre la posición del objeto y la imagen, conocida como fórmula de Gauss. 
 
Con la fórmula de Gauss y con un procedimiento gráfico, es posible conocer las 
características de la imagen producida por una lente delgada, siguiendo unos sencillos 
pasos sobre la trayectoria de los rayos de luz. 
 
En las dos primeras unidades, has entendido los principios básicos de la óptica 
geométrica que permiten determinar el funcionamiento de las lentes y los espejos. Con el 
conocimiento adquirido, podrás comprender cómo funcionan los concentradores solares 
que se utilizan en los sistemas fotovoltaicos y fototérmicos; pero este tema se abordará 
en la siguiente unidad. 
 
 
División de Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Energías Renovables 34 
Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
Para saber más 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este libro podrás encontrar información adicional 
sobre la historia, teoría y aplicaciones de los 
concentradores solares. 
 
García-Badell, J. J. (1983). Cálculo de la energía solar 
(No. 40). Editorial IGME. 
En este libro podrás encontrar información adicional 
sobre la historia, teoría y aplicaciones de los 
concentradores solares. 
 
Meinel, A.B. & Meinel, M.P. (1982). Aplicaciones de la 
energía solar. España. Editorial Reverté. 
 
División de Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Energías Renovables 35 
Sistemas ópticos 
Sistemas ópticos U2 
 
 
Fuentes de consulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Álvarez, F.B. (2011). Sistemas Ópticos para concentración, captación y guiado de 
radiación solar. Tesis doctoral no publicada. Universidad Computlense de Madrid. 
 
2. Chemisana, V.D. (2009). Diseño y caracterización de un concentrador térmico – 
fotovoltaico cuasiestacionario para integración arquitectónica. Tesis doctoral no 
publicada. Universidad de Lleida. 
 
3. Hecht, E. y Zajac, A. (2004). Óptica. Buenos Aires: Addison-Wesley 
Iberoamericana. 
 
4. Malacara, D. A. & Malacara, D. (2004). Óptica básica. México: Fondo de cultura 
económica. 
 
5. Mejías, P.M. y Martínez Herrero, R. (1999). Óptica Geométrica. España: Síntesis 
editores.