Aberração Esférica em Espelhos e Lentes

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Eje
C
Plano
focal
F
▲ FIGURA 8.10 Aberración esférica
de un espejo De acuerdo con la
aproximación para ángulos 
pequeños, los rayos paralelos al eje
del espejo, y cercanos a él, convergen
en el foco. Sin embargo, cuando los
rayos paralelos no están cerca del eje,
se reflejan y convergen frente al foco.
Este efecto se llama aberración esférica
y produce imágenes borrosas.
222 CAPÍTULO 8 Espejos y lentes
a) Lente biconvexa (convergente) b) Lente bicóncava (divergente)
Eje principal
R1
R2 R2R1
N FIGURA 8.11 Lentes esféricas
Las lentes esféricas tienen sus 
superficies definidas por dos 
esferas; las superficies pueden 
ser convexas o cóncavas. Lentes 
a) biconvexas y b) bicóncavas. 
Si R1 � R2, una lente tiene 
simetría esférica.
b) Razonamiento cuantitativo y solución. Los datos son la distancia al objeto y la distancia
focal. La posición y las características de la imagen se determinan con las ecuaciones del
espejo.
Dado: Encuentre: y las características de la imagen
Note que la distancia focal es negativa en un espejo convexo (véase la tabla 8.2). Con la
ecuación 8.3, se tiene
de manera que
Entonces
Así, la imagen es virtual (di es negativa), derecha (M es positivo) y su tamaño (altura) es
0.43 veces el del objeto. Como f es negativa, la imagen de un objeto real siempre es virtual
si el espejo es divergente (o convexo). (¿Podría probar esto utilizando ya sea un diagra-
ma de rayos o la ecuación del espejo?)
Ejercicio de refuerzo. Como se hizo notar, un espejo divergente siempre forma una ima-
gen virtual de un objeto real. ¿Qué hay de las demás características de la imagen: su
orientación y su aumento? ¿Es posible establecer conclusiones generales acerca de ellas?
Aberraciones en los espejos esféricos
Desde el punto de vista técnico, las descripciones que se han dado de las características
de la imagen en los espejos esféricos sólo son ciertas para objetos que estén cerca del eje
óptico, esto es, sólo para ángulos pequeños de incidencia y de reflexión. Si no se cum-
plen estas condiciones, las imágenes serán borrosas, es decir, estarán desenfocadas (o
fuera de foco), o distorsionadas, porque no todos los rayos van a converger en el mismo
plano. Como se observa en la >figura 8.10, los rayos paralelos incidentes lejos del eje óp-
tico no convergen en el foco. Cuanto más lejano está el rayo incidente del eje, más lejos
del foco estará el rayo reflejado. Este efecto se conoce como aberración esférica.
La aberración esférica no sucede en un espejo parabólico. (Como indica su nombre, el
espejo parabólico tiene la forma de una parábola.) Todos los rayos incidentes paralelos al eje
óptico de ese espejo tienen un foco común. Por esta razón se usan espejos parabólicos en
la mayoría de los telescopios astronómicos, como se verá en el capítulo 9. Sin embargo,
es más difícil fabricar esos espejos que los esféricos, por lo que son más costosos.
8.3 Lentes
OBJETIVOS: a) Diferenciar entre lentes convergentes y divergentes, b) describir las
imágenes que producen y sus características y c) determinar las ubi-
caciones y las características de las imágenes mediante diagramas
de rayos y ecuaciones para lentes delgadas.
La palabra lente proviene de la palabra latina lentil, que significa lenteja; la forma de esta
leguminosa es similar a la de una lente común. Una lente óptica se fabrica con un material
transparente (el más común es el vidrio, aunque a veces se utiliza plástico o cristal). Una
o ambas superficies tienen contorno esférico. Las lentes esféricas biconvexas (con ambas
superficies convexas) y las bicóncavas (ambas superficies cóncavas) se ven en la ▼figura
8.11. Las lentes forman imágenes al refractar la luz que pasa por ellas.
M = - 
di
do
= - 
1-8.6 cm2
20 cm
= +0.43
di = - 
60 cm
7
= -8.6 cm
1
20 cm
+
1
di
=
1
-15 cm
 f = -15 cm
di , M do = 20 cm
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Plano-
cóncava
Menisco
cóncava
Bicóncava
Plano-
convexa
Menisco
convexa
Biconvexa
Lentes divergentes
Lentes convergentes
▲ FIGURA 8.14 Formas de lentes
Las formas de las lentes varían 
mucho, y normalmente se clasifican
como convergentes y divergentes.
En general, una lente convergente
es más gruesa en su centro que en 
la periferia, mientras que una lente
divergente es más delgada en el
centro que en la periferia.
Lente bicóncava (divergente)
Lente divergente
F
▲ FIGURA 8.13 Lente divergente
Los rayos paralelos al eje de una
lente bicóncava o divergente parecen
emanar de un foco en el lado de 
incidencia de la lente.
F
Lente convergente
a) Lente biconvexa (convergente) b)
> FIGURA 8.12 Lentes convergen-
tes a) En una lente biconvexa 
delgada, los rayos paralelos al eje
convergen en el foco F. b) Una lente
de aumento (lente convergente)
puede enfocar los rayos de Sol 
en un punto, y los resultados 
son incendiarios. ¡Nunca intente 
esto en el hogar!
8.3 Lentes 223
Una lente biconvexa es una lente convergente: los rayos de luz incidentes parale-
los al eje de la lente convergen en un foco (F) en el lado opuesto de la lente (▲ figura
8.12a). Este hecho constituye una forma de determinar experimentalmente la distan-
cia focal de una lente convergente. Quizá usted haya enfocado los rayos del Sol con
una lupa (una lente biconvexa o convergente) y habrá atestiguado la concentración de
la energía radiante que se obtiene (figura 8.12b). 
Por otra parte, una lente bicóncava es una lente divergente: los rayos de luz inci-
dentes y paralelos salen de ésta como si emanaran de un foco que estuviera en el lado de
incidencia de la lente (Nfigura 8.13). 
Hay varios tipos de lentes convergentes y divergentes (Nfigura 8.14). Las lentes
menisco son las que más se usan en los anteojos. En general, una lente convergente 
es más gruesa en su centro que en su periferia, y una divergente es más delgada en su
centro que en su periferia. Esta explicación se limitará a las lentes biconvexas y bicón-
cavas, de simetría esférica, en las que ambas superficies tienen el mismo radio de cur-
vatura.
Cuando la luz pasa por el interior de una lente, se refracta y se desplaza en senti-
do lateral (ejemplo 7.4, figura 7.11). Si una lente es gruesa, este desplazamiento po-
dría ser bastante considerable, lo que complicaría el análisis de las características de la
lente. Este problema no se presenta con lentes delgadas, para las que el desplazamien-
to refringente (es decir, causado por la refracción) de la luz transmitida es insignifican-
te. Nuestra descripción se limitará a las lentes delgadas. Una lente delgada es aquella
cuyo grosor se supone insignificante en comparación con la distancia focal.
Al igual que un espejo esférico, una lente de caras esféricas tiene, para cada superfi-
cie, un centro de curvatura (C), un radio de curvatura (R), un foco (F) y una distancia
focal ( f ). Los focos están a distancias iguales a ambos lados de una lente delgada. Sin
embargo, para una lente esférica, la distancia focal no está relacionada simplemente
con R mediante f � R/2, como sucede con los espejos esféricos. Como la distancia fo-
cal también depende del índice de refracción de la lente, por lo general sólo se especi-
fica la distancia focal y no su radio de curvatura. Esto se analizará en el apartado 8.4.
Las reglas generales para trazar diagramas de rayos con lentes son similares a las que
se utilizan para los espejos esféricos, pero se necesitan algunas modificaciones, porque la
luz pasa a través de la lente. Las caras opuestas de una lente, en general, se distinguen con
los nombres de lado del objeto y lado de la imagen. El lado del objeto es la cara frente a la cual
está el objeto, y el lado de la imagen es el lado contrario de la lente (donde se formaría una
imagen real). Los tres rayos de un punto de un objeto se trazan como sigue (véase la sec-
ción Aprender dibujando para el ejemplo 8.5 en la p. 225):
1. Un rayo paralelo es, como su nombre lo indica, paralelo al eje óptico de la lente en la
incidencia y, después de la refracción, a) pasa por el foco del lado de la imagen en
una lente convergente, o bien, b) pareceemanar del foco en el lado del objeto de una
lente divergente.
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224 CAPÍTULO 8 Espejos y lentes
2. Un rayo central o principal es el que pasa por el centro de la lente, y no se desvía
porque ésta es “delgada”.
3. Un rayo focal es el que a) pasa por el foco del lado del objeto en una lente conver-
gente, o bien, b) parece pasar a través del foco en el lado de la imagen de una lente
divergente y, después de la refracción, es paralelo al eje óptico de la lente.
Como en el caso de los espejos esféricos, sólo se necesitan dos rayos para determi-
nar la imagen; aquí se usarán el paralelo y el central. (También, como en el caso de los
espejos, se aconseja incluir el tercer rayo, el rayo focal, como comprobación en los dia-
gramas.)
Ejemplo 8.5 ■ Aprender dibujando: diagrama de rayos para lentes
Un objeto se coloca a 30 cm frente a una lente biconvexa delgada de 20 cm de distancia fo-
cal. a) Utilice un diagrama de rayos para ubicar la imagen. b) Describa las características
de la imagen.
Razonamiento. Recuerde los pasos que se siguieron en el diagrama de rayos anterior.
Solución.
Dado: Encuentre: a) la ubicación de la imagen 
(con un diagrama de rayos)
b) las características de la imagen
a) Como se pide hacer un diagrama de rayos (véase la sección Aprender dibujando, que
acompaña a este ejemplo) para ubicar la imagen, lo primero que hay que hacer es definir
una escala para el dibujo. En este ejemplo se utiliza una escala de 1 cm en el dibujo para
representar 10 cm en la realidad. De esa forma, el objeto estaría a 3.00 cm frente a la lente
en nuestro dibujo.
Primero se trazarán el eje óptico, la lente, el objeto (una vela encendida) y los focos
(F). Se traza una línea vertical punteada en el centro de la lente porque, para simplificar, la
refracción de los rayos se ilustra como si sucediera en el centro de cada lente. En realidad,
sucede en las superficies aire-vidrio y vidrio-aire de cada lente.
Se siguen los pasos 1 a 4 de la sección Aprender dibujando:
1. El primer rayo que se traza es el paralelo ( en la figura). Desde la punta de la llama
se traza un rayo horizontal (paralelo al eje óptico). Después de pasar por la lente, pasa por
el foco F en el lado de la imagen.
2. A continuación se traza el rayo central ( en la figura). Desde la punta de la llama se
traza un rayo que pase por el centro de la lente. Ese rayo pasará sin desviarse por la len-
te delgada en el lado de la imagen.
3. Se observa con claridad que estos dos rayos se cruzan en el lado de la imagen. El pun-
to de intersección es el punto de la imagen de la punta de la llama. A partir de ahí, se tra-
za el resto de la imagen avanzando hacia el eje óptico.
4. Sólo se necesitan dos rayos para ubicar la imagen. Sin embargo, si se quiere trazar el
tercer rayo, en este caso el rayo focal ( en la figura), éste debe pasar por el mismo pun-
to de la imagen en el que se intersecan los otros dos rayos (si el diagrama se traza con cui-
dado). El rayo de la punta de la llama, que pasa por el foco F en el lado del objeto, saldrá
paralelo al eje óptico en el lado de la imagen.
b) De acuerdo con el diagrama de rayos que se trazó en el inciso a se observa con clari-
dad que la imagen es real (porque los rayos se cruzan en el lado de la imagen). En conse-
cuencia, se podría captar la imagen real en una pantalla (por ejemplo, en un trozo de
papel) colocada a la distancia di de la lente convergente. Además, la imagen es invertida
(la imagen de la vela apunta hacia abajo) y es mayor que el objeto.
En este caso, do � 30 cm y f � 20 cm, por lo que 2f � do � f. Si se usan los diagramas
de rayos correspondientes, se podrá demostrar que para do entre estos límites, la imagen
siempre es real, aumentada e invertida. Por cierto, el proyector de filminas del salón de
clase usa este arreglo en particular.
Ejercicio de refuerzo. En este ejemplo, ¿cómo se vería la imagen si el objeto estuviera a
10 cm frente a la lente? Ubique la imagen de forma gráfica y describa sus características.
➂
➁
➀
 f = 20 cm
 do = 30 cm
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8.3 Lentes 225
APRENDER DIBUJANDO Diagrama de rayos para lentes 
(véase el ejemplo 8.5)
2
1Objeto
Imagen real
F F
do di
2
1Objeto
F F
do
1Objeto
F F
do
2
1Objeto
Imagen real
F F
do di
3
1
2
3
4
Rayo paralelo
Rayo central
Ubicación de 
la imagen
También se 
traza el rayo 
focal para verificar
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226 CAPÍTULO 8 Espejos y lentes
Lente convexa
F
do = 2f
Real invertida
y del mismo 
en el tamaño
Real, 
invertida, 
reducida
Virtual, 
derecha, 
aumen-
tada
Lente
(do > 2f ) (2f > do > f )
do = f
Imagen 
en el 
infinito
2F
(do < f )
Real, 
invertida, 
aumentada
N FIGURA 8.16 Lente convergente
Para una lente convexa o conver-
gente, el objeto se puede ubicar en
una de las tres regiones definidas
por el foco (F) y el doble de la 
distancia focal (2 f ) , o en uno de
esos dos puntos. Cuando do � 2f, la 
imagen es real, invertida y reducida
(figura 8.15a). Cuando 2f � do � f, 
la imagen también es real e invertida,
pero aumentada, como se ve en los
diagramas de rayos del ejemplo 
8.5. Cuando do � f, la imagen es 
virtual, derecha y aumentada 
(figura 8.15b).
F
b) Lente convexa, do < f
F
Objeto
2
Imagen (virtual, 
derecha y 
aumentada)
di
a) Lente convexa, do > 2f
Objeto
1
2
3
F
F
dido
1
do
Imagen (real, invertida 
y reducida)
▲ FIGURA 8.15 Diagramas de rayos para lentes a) Una lente convergente biconvexa 
forma un objeto real cuando do � 2f. La imagen es real, invertida y reducida. b) Diagrama de
rayos para una lente divergente con do � f. La imagen es virtual, derecha y aumentada. Se
muestran los ejemplos prácticos de ambos casos. (Véase el pliego a color al final del libro.)
La ▲ figura 8.15 muestra otros diagramas de rayos, con distintas distancias al ob-
jeto, para una lente convergente; también se ven sus aplicaciones en la vida real. La
imagen de un objeto es real cuando se forma o se proyecta en el lado opuesto de la len-
te al que está el objeto (véase la figura 8.15a) y es virtual cuando se forma del mismo
lado de la lente en el que está el objeto (véase la figura 8.15b).
Se podrían definir regiones de distancia del objeto para una lente convergente de
forma semejante a como se hizo con un espejo convergente en la figura 8.7a. En este
caso, una distancia al objeto do � 2f para una lente convergente tiene importancia simi-
lar a la de do � R � 2f para un espejo convergente (▼ figura 8.16).
El diagrama de rayos para una lente divergente se describirá dentro de poco. Al
igual que los espejos divergentes, las lentes divergentes sólo pueden formar imágenes
virtuales.
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8.3 Lentes 227
Convención de signos para lentes delgadas
Distancia focal ( )
Lentes convergentes (también llamadas lentes positivas) es positiva
Lentes divergentes (también llamadas lentes negativas) es negativa
Distancia al objeto
El objeto está frente a la lente (objeto real) es positiva
El objeto está atrás de la lente (objeto virtual)* es negativa
Distancia a la imagen (di) y tipo de imagen
La imagen se forma en el lado de la imagen de es positiva
la lente: el lado opuesto al del objeto (imagen real)
La imagen se forma en el lado del objeto de la lente es negativa
el mismo lado donde está el objeto (imagen virtual)
Orientación de la imagen (M)
La imagen está derecha con respecto al objeto M es positivo
La imagen está invertida con respecto al objeto M es negativo
*En una combinación de dos (o más) lentes, la imagen que forma la primera lente se considera como
el objeto de la segunda lente (y así sucesivamente). Si esta imagen-objeto está atrás de la segunda
lente, se llama objeto virtual, y se considera que la distancia al objeto es negativa (�).
di
di
do
do
(do)
f
f
f
TABLA 8.3
Las distancias a la imagen y las características de una lente también se pueden de-
terminar de forma analítica. Las ecuaciones para lentes delgadas son idénticas a las de
los espejos esféricos. La ecuación de lentes delgadas es
ecuación de lentesdelgadas (8.5)
Al igual que en el caso de los espejos esféricos, existe una forma alternativa a la
ecuación de lentes delgadas
(8.5a)
que es una forma fácil y rápida de encontrar di.
El factor de amplificación, al igual que en el caso de los espejos esféricos, se deter-
mina mediante
(8.6)
Las convenciones de signos para estas ecuaciones de lentes delgadas se presentan
en la tabla 8.3.
Igual que cuando se trabaja con espejos, resulta útil trazar un diagrama de rayos
antes de resolver un problema de lentes de forma analítica.
Ejemplo 8.6 ■ Tres imágenes: comportamiento 
de una lente convergente
Una lente biconvexa tiene 12 cm de distancia focal. Para un objeto que esté a a) 60 cm, 
b) 15 cm y c) 8.0 cm de la lente, ¿dónde se forma la imagen y cuáles son sus características?
Razonamiento. Con la distancia focal ( f ) y las distancias al objeto (do) se aplica la ecuación
8.5 para determinar las distancias a la imagen (di), y la ecuación 8.6 para definir las carac-
terísticas de esta última. Se trazan los rayos para todos esos casos, con el fin de tener una idea
de las características de la imagen. Los diagramas deberían concordar con los cálculos.
Solución.
Dado: Encuentre: di y las características de la 
imagen para los tres casos
 c) do = 8.0 cm
 b) do = 15 cm
 a) do = 60 cm
 f = 12 cm
M = - 
di
do
di =
do f
do - f
1
do
+
1
di
=
1
f
(continúa en la siguiente página)
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228 CAPÍTULO 8 Espejos y lentes
a) La distancia al objeto es mayor que el doble de la distancia focal (do � 2 f ) . Con la
ecuación 8.5,
o
Entonces
La imagen es real (di es positiva), invertida (M es negativo) y de la cuarta parte del tama-
ño del objeto (|M| � 0.25). Este arreglo se usa en las cámaras, cuando la distancia al ob-
jeto es mayor que 2f (do � 2 f ) .
b) Aquí, 2f � do � f. Se aplica la ecuación 8.5,
Entonces
La imagen es real (di es positiva), invertida (M es negativo) y tiene cuatro veces el tamaño
del objeto (|M| � 4.0). Éste es el caso del proyector de filminas y del proyector de diapo-
sitivas (2f � do � f ) .
c) Para este caso, do � f. Se usa la forma alternativa (ecuación 23.5a),
Entonces
La imagen es virtual (di es negativa), es derecha (M es positivo) y tiene tres veces el tama-
ño del objeto (|M| � 3.0). Es el caso de un microscopio simple y el de una lupa (do � f ) .
Como podrá darse cuenta, las lentes convergentes son versátiles. Dependiendo de la
distancia al objeto (relativa a la longitud focal), la lente puede utilizarse como una cáma-
ra, un proyector o una lente de aumento.
Ejercicio de refuerzo. Si la distancia de una lente convexa a un objeto se hace variar, 
¿a qué distancia deja la imagen real de reducirse para comenzar a aumentar?
Ejemplo conceptual 8.7 ■ ¿Media imagen?
Una lente convergente forma una imagen en una pantalla, como se ilustra en la Nfigura
8.17a. Después, se cubre la mitad inferior de la lente, como se ve en la figura 8.17b. El
resultado será que a) sólo la mitad superior de la imagen original se verá en la pantalla;
b) sólo la mitad inferior de la imagen original se verá en la pantalla o c) se verá la imagen
completa.
Razonamiento y respuesta. En principio, tal vez usted imagine que al cubrir la mitad de
la lente se elimina la mitad de la imagen. Sin embargo, los rayos de cada punto del objeto
pasan por todas las partes de la lente. Por consiguiente, la mitad superior de la lente puede
formar una imagen total (al igual que la mitad inferior), de manera que la respuesta co-
rrecta es c.
Esta conclusión se confirma trazando un rayo central en la figura 8.17b. Usted tam-
bién podría aplicar el método científico y realizar la prueba, sobre todo si usa anteojos.
Cubra la mitad inferior de los anteojos, y verá que todavía puede leer a través de la par-
te superior (a menos que use bifocales).
Ejercicio de refuerzo. ¿Qué propiedad de la imagen podría afectarse al bloquear la mitad
de una lente? Explique por qué.
M = - 
di
do
= - 
1-24 cm2
8.0 cm
= +3.0
di =
do f
do - f
=
18.0 cm2112 cm2
8.0 cm - 12 cm
= -24 cm
di = 60 cm y M = - 
di
do
= - 
60 cm
15 cm
= -4.0
1
di
=
1
12 cm
-
1
15 cm
=
5
60 cm
-
4
60 cm
=
1
60 cm
di = 15 cm y M = - 
di
do
= - 
15 cm
60 cm
= - 0.25
 
1
di
=
1
f
-
1
do
=
1
12 cm
-
1
60 cm
=
5
60 cm
-
1
60 cm
=
4
60 cm
=
1
15 cm
 
1
do
+
1
di
=
1
f
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8.3 Lentes 229
 a) b)
?
Pantalla Pantalla
▲ FIGURA 23.17 ¿Media lente, media imagen? a) Una lente convergente forma una imagen en una panta-
lla. b) Se cubre la mitad inferior de la lente. ¿Qué le pasa a la imagen? Véase el Ejemplo conceptual 8.7.
�
�i
�o
2
Imagen (virtual,
derecha y 
reducida)
Objeto
3
1
�
▲ FIGURA 8.18 Lente divergente
Diagrama de rayos de una lente 
divergente. En este caso la imagen
es virtual, derecha y menor que el
objeto y se encuentra frente a la 
lente. Véase el Ejemplo integrado 
8.8.
Ejemplo integrado 8.8 ■ Tiempo de cambio: comportamiento 
de una lente divergente
Un objeto está a 24 cm frente a una lente divergente cuya distancia focal es de �15 cm. 
a) Utilice un diagrama de rayos para determinar si la imagen es 1) real y aumentada, 
2) virtual y reducida 3) real y derecha o 4) derecha y aumentada. b) Determine la ubica-
ción y características de la imagen con las ecuaciones para lentes delgadas.
a) Razonamiento conceptual. (Véase las convenciones de signos en la tabla 8.3.) De nue-
vo se adoptará una escala en que 1 cm (en el dibujo de la Nfigura 8.18) represente 10 cm.
De esta forma, el objeto estará a 2.4 cm frente a la lente en el dibujo. Se traza el eje óptico, la
lente, el objeto (en este caso, una vela encendida), el foco (F) y una línea vertical punteada
que pase por el centro de la lente.
El rayo paralelo comienza en la punta de la llama, viaja paralelo al eje óptico, di-
verge después de refractarse en la lente y parece proceder de F en el lado del objeto. El
rayo central se origina en la punta de la llama y pasa por el centro de la lente, sin cam-
biar de dirección. Se ve con claridad que esos dos rayos, después de refractarse, divergen
y no se intersecan. Sin embargo, parece que provienen del frente de la lente (lado del ob-
jeto), y esa intersección aparente es el punto de imagen de la punta de la llama. También
se traza el rayo focal , para comprobar que esos rayos parecen provenir del mismo pun-
to de imagen. Parece que el rayo focal pasa por el foco del lado de la imagen y va parale-
lo al eje óptico, después de refractarse en la lente.
Esta imagen es virtual (¿por qué?), derecha y menor que el objeto, de manera que la res-
puesta correcta es la 2: virtual y reducida. Midiendo en el diagrama (y teniendo en cuenta la
escala que se usa) se ve que (imagen virtual), y que 
b) Razonamiento cuantitativo y solución.
Dado: Encuentre: a) di, M y las características 
f � �15 cm (lente divergente) de la imagen
Note que la distancia focal es negativa para una lente divergente (véase la tabla 8.3). De
acuerdo con la ecuación 8.5, 
y así
Entonces
Así, la imagen es virtual (di es negativa), derecha (M es positivo) y tiene 0.38 veces el tama-
ño (la altura) del objeto. Como f es negativa para una lente divergente, di siempre es negati-
va para cualquier valor positivo de do, así que la imagen de un objeto real siempre es virtual.
Ejercicio de refuerzo. Una lente divergente forma siempre una imagen virtual de un ob-
jeto real. ¿Qué afirmaciones generales se pueden formular acerca de la orientación y del
aumento de la imagen?
Una clase especial de lente que tal vez usted conoce se describe la sección A fondo
8.2 (lentes de Fresnel) en la p. 230.
M = - 
di
do
= - 
1-9.2 cm2
24 cm
= +0.38
di = - 
120 cm
13
= -9.2 cm
1
24 cm
+
1
di
=
1
-15 cm
 o 1
di
=
1
-15 cm
-
1
24 cm
= - 
13
120 cm
 do = 24 cm
M =
hi
ho
L
0.5 cm
1.4 cm
= +0.4.di L -9 cm
➂
➁
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