Escuela_de_Ingenieria_Civil_en_Obras_Civ

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Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles 
 
 
 
 
“ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLADORES 
SÍSMICOS MEDIANTE PROCEDIMIENTOS 
SIMPLIFICADOS.” 
 
 
 Tesis para optar al Título de 
Ingeniero Civil en Obras Civiles. 
 
 
 Profesor Patrocinante: 
 Sr. José Soto Miranda. 
 Ingeniero Civil. 
 M. Sc. Eng. Civil. 
 
 Profesor Informante: 
 Sr. Hernán Arnés Valencia 
 Ingeniero Civil 
 
 Profesor Informante: 
 Sr. Pablo Oyarzún Higuera. 
 Ingeniero Civil. 
 
 
MARCELO ANDRÉS SAAVEDRA QUEZADA. 
VALDIVIA - CHILE 
2005 
AGRADECIMIENTOS 
 
 En primer lugar quisiera agradecer a Dios, quien siempre ha estado conmigo en 
las diversas dificultades que se me presentaron durante el camino de mi formación 
profesional. 
 
 Agradecerle a mi familia quien me ha acompañado en todo momento, parte de 
este esfuerzo se lo debo a ellos. A mi padre Fernando por transmitirme su experiencia, 
a mi madre Eufemia por el amor y comprensión que me ha entregado y ha mis 
hermanos Héctor y Cecilia por todo el apoyo y ayuda que me brindaron. 
 
 Como olvidarme de mis amigos que siempre me apoyaron y acompañaron. 
También ha ellos le debo parte de este logro, en especial a Yerty. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INDICE 
Capítulo Página 
 Simbología 
 Resumen 
1. Introducción. 
2. Análisis de Edificios con Aisladores Sísmicos. 
 2.1. Antecedentes Generales. 
 2.2. Principios de Aislación Sísmica. 
 2.3. Teoría de Aislación Sísmica. 
 2.3.1 Teoría Lineal. 
 2.4. Modelos que Representan el Comportamiento Dinámico de la 
 Aislación Sísmica. 
 2.4.1 Modelo Lineal. 
 2.4.2 Modelo No Lineal. 
 2.4.2.1 Modelo Bilineal. 
 2.4.2.2 Modelo Histerético de Wen. 
 
3. Modelo Dinámico para Edificios con Aisladores Sísmico. 
3.1. Generalidades. 
3.2. Ecuaciones de Movimientos para Definir el Comportamiento 
 del Sistema. 
3.3. Ecuación de Movimiento del Aislador como Sistema Lineal. 
3.4. Ecuación de Movimiento del Aislador como Sistema No 
 Lineal. 
4. Métodos Aproximados para el Cálculo de Frecuencias y Modos de 
 Vibrar. 
4.1. Introducción. 
4.2. Métodos Aproximados. 
4.2.1. Método Aproximado de Rayleigh-Ritz. 
4.2.1.1 Método de Aproximación de Vectores Ritz 
Dependiente de Cargas Externas. 
4.2.2. Método Aproximado de Polinomios Ortogonales basado en 
 el método de Cruz y Chopra. 
4.2.3. Estimación de la Matriz de Rigidez de Edificios con Muros de 
 Corte. 
4.3. Estimador del Error. 
 
1
3
3
3
4
5
8
8
9
9
11
14
14
14
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18
 
20
20
20
21
22
25
27 
 28
5. Resolución del Sistema de Ecuaciones Diferenciales asociado al Modelo 
 Dinámico. 
5.1. Generalidades. 
 5.2. Respuesta de Modelos Dinámicos mediante el uso de Ecuación de 
 Estado. 
 5.2.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. 
 5.2.2 Conceptos de Ecuación Estado de un Sistema Dinámico. 
 5.2.3 Métodos Numéricos. 
 5.2.3.1 Método de Runge – Kutta de cuarto orden. 
 5.3. Solución del modelo Dinámico considerando el Aislador de 
 Comportamiento Lineal. 
 5.3.1 Obtención de la Ecuación de Estado para el Modelo 
 Matemático Edificio más Aislador. 
 5.4. Solución del Modelo Dinámico considerando el Aislador de 
 Comportamiento No Lineal. 
 5.4.1 Obtención de la Ecuación de Estado para el Modelo 
 Matemático Edificio más Aislador. 
 
6. Presentación y Metodología de Análisis de los Modelos Estructurales. 
 6.1. Características: 
 6.1.1 Estructuración. 
 6.1.2 Propiedades Mecánicas H.A. 
 6.1.3 Masa Sísmica. 
 6.1.4 Modelación y Análisis. 
 6.2. Modelos Estructurales: 
 6.2.1 Edificio Nº1. 
 6.2.1.1 Parámetros del Edificio. 
 6.2.1.2 Parámetros de los Aisladores Sísmicos. 
 6.2.2 Edificio Nº 2. 
 6.2.2.1 Parámetros del Edificio. 
 6.2.2.2 Parámetros de los Aisladores Sísmicos. 
 6.3. Metodología de Análisis. 
 6.3.1 Análisis de Modelos Estructurales con base Fija. 
 6.3.2 Análisis de modelos Estructurales con Aislación Basal. 
 6.3.2.1 Solicitaciones Sísmicas. 
 6.3.2.2 Tipo de Análisis. 
7. Presentación y Comparación de los Resultados. 
29
29
29
29
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33
34
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37
38
38
40
40
40
40
40
40
41
41
41
41
42
42
43
44
44
44
45
47
 7.1. Resultados Análisis Dinámico Edificio con Base Fija. 
 7.1.1 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº1. 
 7.1.2 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº2. 
 7.2. Resultados Análisis de Respuesta en el Tiempo Edificios con Base 
 Aislada. 
 7.2.1 Edificio Nº1. 
 7.2.2 Edificio Nº2. 
 7.3. Resultados Análisis de Respuesta en el Tiempo Edificios con Base 
 Aislada con Parámetros Dinámicos Aproximados.8. Comentarios y Conclusiones Finales del Estudio. 
 
 Bibliografía. 
 
Anexos 
 Anexo A Análisis Modelo dinámico de edificio de dos grados de libertad 
 con Aislación basal. 
 
 Anexo B Programas en lenguaje Matlab de Análisis de Modelo Dinámico 
 de Edificios con Base Fija mediante Métodos Aproximados. 
 
 Anexo C Programa en lenguaje Matlab de Método Simplificado de Análisis 
 de Edificios con Aisladores Sísmicos. 
 
 Anexo D Resultados análisis de respuesta en el tiempo Edificios con Base 
 Aislada considerando Parámetros Dinámicos Aproximados. 
 
 Anexo E Resultados Tabulados de Análisis de Respuesta en el Tiempo 
 Edificios con base aislada. 
49
49
49
 51
53
54
74
95
97
99
101
102
111
117
122
138
 
 
 
 
 
 
SIMBOLOGÍA 
bc : Amortiguamiento equivalente de la base aislada 
sc : Amortiguamiento del sistema 
bm : Masa de la base del edificio 
sm : Masa de sistema 
bu : Desplazamiento absoluto de la base aislada 
su : Desplazamiento absoluto del sistema 
bv : Desplazamiento relativo de la base aislada 
sv : Desplazamiento relativo del sistema 
bk : Rigidez de la base aislada 
sk : Rigidez del sistema 
χ : Cuociente de masa total 
bω : Frecuencia de la base del edificio 
sω : Frecuencia del sistema 
bq : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio 
q : Vector de desplazamiento de piso relativo a la base del edificio 
bm : Masa de la base del edificio 
m : Masa total del edificio 
M : Matriz de masa del edificio 
C : Matriz de amortiguamiento 
K : Matriz de rigidez del edificio 
r : Vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del suelo 
iφ : Modo de vibración 
iy : Amplitud modal 
iβ : Factor de amortiguamiento del edificio 
bβ : Factor de amortiguamiento de la base aislada 
iL : Factor de participación modal 
iM : Masa modal efectiva 
ik : Rigidez Inicial asociada a la reacción del aislador frente a cargas de baja 
magnitud 
fk : Rigidez post-fluencia asociada a la reacción del aislador frente a las 
cargas más altas del ciclo. 
 
 Qd : Fuerza correspondiente a deformación nula. 
yf : Carga de fluencia 
yδ : Desplazamiento de fluencia 
Z : Variable histerética 
A : Factor de escala general. 
α : Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal. 
β : Determinan la forma de la curva. 
γ : Determinan la forma de la curva. 
n : Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal. 
{ }ψ : Vectores Ritz 
 s : Vector de carga externa 
 jh : Altura del piso j sobre la base 
H : Altura total del edificio 
ρ : Razón de rigidez de la estructura 
δ : Parámetro que se ha correlacionado con el tipo de estructura y 
relacionado con la razón de rigidez de la estructura 
2H : Parámetro que se obtiene producto de aplicar la propiedad de 
ortogonalidad de los modos de vibrar. 
 ijα : Relación de flexibilidad donde se obtiene cada término de la matriz de 
flexibilidad 
F : Matriz de flexibilidad 
x : Variable dependiente 
 t : Variable independiente 
a : Extremo inicial del intervalo 
b : Extremo final del intervalo 
h t= ∆ : Tamaño de paso 
N : Numero de intervalos o de pasos 
nαα ,....,1 : Condiciones iniciales 
jw : Aproximaciones a jx 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMEN 
 
Se presenta un estudio donde se valida un procedimiento simplificado para el 
análisis de edificios con aisladores sísmicos, en el cual se considera la respuesta 
sísmica de edificios de varios pisos con aisladores sísmicos, con un grado de libertad 
por planta. Se analiza la respuesta del sistema asumiendo que el edificio tiene un 
comportamiento elástico lineal y que el aislador puede ser simulado por un modelo 
lineal y no lineal. 
 
En este procedimiento de análisis simplificado se debe estimar el modo 
fundamental de vibración y la frecuencia natural del edificio con base fija. Para efectos 
de validez del método simplificado se calculan estos parámetros dinámicos en forma 
exacta, pero además se estudia la influencia de ellos en el modelo con aislamiento 
basal considerando su cálculo mediante métodos aproximados. 
 
 Una vez establecidas las ecuaciones de equilibrio dinámico al modelo estructural 
(Edificio + Aislador), donde se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales 
acopladas, el cual representa el comportamiento dinámico del modelo en estudio. Se 
procede a solucionar este sistema, por lo cual, se utiliza los conceptos de ecuación de 
estado y la aplicación de métodos de aproximación numérica mediante un algoritmo 
computacional que se desarrolla en la herramienta de cálculo MATLAB, así en 
definitiva, se obtiene la respuesta de la estructura en el tiempo para un registro sísmico 
de aceleración. 
 
El análisis sísmico se realiza sobre 2 tipologías de edificios estructuradas en 
base a muros de corte de 4 y 10 pisos de altura. Se obtienen las respuestas dinámicas 
(amplitudes modales, desplazamiento de la base y de todos los niveles) de las 
estructuras planteadas para 5 registros sísmicos. Se compara esta respuesta 
aproximada con la obtenida por el programa ETABS Nonlinear. 
 
 El modelo se validó, debido a que las diferencias de los resultados entre ambos 
programas no son significativas, esto es porque no se pierde el orden de magnitud en 
relación a los resultados exactos. Por lo tanto, es factible usar este procedimiento 
simplificado de análisis de edificios con aisladores sísmicos para etapas de prediseño 
donde se controlan y verifican los resultados exactos. 
 
 
SUMMARY 
 
 A study is presented where a simplified procedure is proved for the analysis of 
seismic isolator building, where the seismic response of building is considered which 
contains a large amount of stories with bases seismic isolators, with a grade of freedom 
in each floor plant. It’s analyzed the response of the system assuming that the building 
has a lineal elastic behaviour and that the isolator can be simulated through a lineal and 
nonlinear method. 
 
 In this procedure of simplified analysis the fundamental mode of vibration must be 
estimated and the natural frequency of the permanent base building, to the effects of the 
simplified method’s validity, are calculated these dynamic parameters in a precise way, 
besides is studied the influence of them in the model with basal isolation considering its 
calculus through approximate methods. 
 
 Established once the dynamic balance equations to the structural model 
(building+isolator), where a system of differential couples equations are obtained, which 
represents the dynamic behaviour of the model in this study. It is conducted to solute 
this system, using the concepts of state equation and the application of approximation 
methods, through a computational algorithm that is developed in the calculus tools 
MATLAB, that way, the response of the time structure is obtained for a seismic registry 
of acceleration. 
 
 The seismic analysis it is made based on 2 typologies of de building structures on 
a base on 4 and 10 stories high. It’s obtained the dynamic responses (nodular 
amplitudes, movement on the base and all levels) of the planedstructures for 5 seismic 
registries. It’s compared this approximate response with the exact one obtained by the 
program ETABS Nonlinear. 
 
 The model is proved, produced to that, of the results the difference between both 
program are not meaningful, these is because the magnitude order is not disturbed in 
relation with the exact results. Thereby, it is feasible to use these simplified procedure of 
analysis of seismic isolator building for the stages of pre design where is controlled and 
verified the precise results. 
 
 
 
 1
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN 
 
 
1.1 PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA 
 
La complejidad de los problemas a los que se enfrenta un ingeniero en relación a 
infraestructura civil y sobre todo a la consideración de acciones provenientes de 
desastres naturales como los sismos, hace que muchas veces la única vía de estudio 
sea la simulación computacional. Existe en la actualidad un gran número de programas 
computacionales que ayudan a realizar esas simulaciones; sin embargo, se trata 
principalmente de programas de producción que implican un manejo exhaustivo y a 
veces dificultoso del proceso de modelación y análisis, especialmente para el 
profesional que no cuenta con mucha experiencia, por lo cual existe incertidumbre al 
momento de analizar la gran cantidad de información que entregan. Esto nos lleva a 
pensar que existe la posibilidad de solucionar esta problemática mediante un modelo 
teórico confiable, que debe estar apoyado fuertemente por los conceptos físicos del 
problema y que además sea simple en su ejecución. Es decir, que a través del 
ingreso de pocos datos, pero muy seleccionados, resultantes de la obligación de 
simplificar y "conceptualizar" el análisis del edificio, se resuelva en forma rápida y 
aproximada la problemática sísmica. 
 Por lo anterior, el análisis simplificado es de fundamental importancia en etapas 
preliminares del diseño, como punto de partida del análisis detallado y como referencia 
para la interpretación global de dicho análisis. Una gran discordancia entre resultados 
del calculo aproximado y del “exacto” que no pueda justificarse, suele ser el síntoma 
que permite detectar errores, por lo mismo, es importante contar con métodos simples 
y eficientes que permitan conocer en forma fácil la respuesta que tendrá un edificio 
frente a solicitaciones sísmicas. 
 Entonces ante la necesidad de contar con herramientas asequibles a los 
ingenieros, se plantea y desarrolla un procedimiento simplificado de análisis de 
edificios con aisladores sísmicos. El procedimiento simplificado, considera que el 
edificio de cortante de varios pisos aislado en la base, con un grado de libertad por 
planta y que se encuentra solicitado por una aceleración basal, responde como una 
estructura prácticamente rígida, registrándose los máximos desplazamientos en la 
base del edificio. Por lo tanto, como una aproximación adecuada y asumiendo que el 
edificio tiene un comportamiento elástico lineal, el edificio vibra en el primer modo (i=1) 
y el aislador puede ser simulado por un modelo lineal (NAEIM y KELLY, 1999) y no 
lineal (WEN, 1976). 
 2
En el procedimiento de análisis simplificado se debe estimar el modo 
fundamental de vibración y la frecuencia natural del edificio con base fija. Para efectos 
de validar nuestro método simplificado se calcularán estos parámetros dinámicos en 
forma exacta, pero además se estudia la influencia de ellos en el modelo con aislación 
basal considerando su cálculo mediante métodos aproximados. Como los que se 
proponen en los trabajos realizados por E. Cruz y A. Chopra (CRUZ y CHOPRA,1985). 
los cuales plantean aproximaciones polinómicas de los modos de vibrar de edificios de 
base fija y el método de Rayleigh-Ritz (CHOPRA, A. 2001) que permite encontrar 
algunos modos de vibrar de edificios de un gran numero de grados de libertad, 
realizando una reducción de estos grados, para luego resolver el problema de valores 
característicos ya conocido, pero de un orden muy inferior. 
Posteriormente se establecen las ecuaciones de equilibrio dinámico al modelo 
estructural (Edificio + Aislador), donde se obtendrá un sistema de ecuaciones 
diferenciales acopladas para los dos casos de comportamiento del aislador (lineal y no 
lineal) las cuales representarán el comportamiento dinámico del sistema en estudio. 
Para solucionar este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se utilizarán los 
conceptos de ecuación de estado y la aplicación de métodos de aproximación numérica 
mediante un algoritmo computacional que se desarrollará en la herramienta de cálculo 
MATLAB, así, en definitiva, se obtendrá la respuesta aproximada de la estructura en el 
tiempo para un registro sísmico de aceleración. 
 
1.2 OBJETIVO 
 Por lo anterior, el objetivo principal de esta memoria de titulo es validar un 
procedimiento simplificado de análisis sísmico de estructuras con aislación sísmica 
basal de comportamiento lineal y no lineal. Los buenos resultados que se obtengan 
permitirán realizar un buen prediseño y verificar el comportamiento de este tipo de 
estructuras, con el fin obtener diseños más eficientes y seguros. 
 
1.3 METODOLOGÍA 
Se realizará un análisis sísmico plano sobre 2 tipologías de edificios 
estructuradas en base a muros de corte de 4 y 10 pisos de altura. Se obtendrán las 
respuestas dinámicas (amplitudes modales, desplazamiento de la base y de todo los 
niveles) de las estructuras planteadas para 5 registros sísmicos. 
Luego de obtenida la respuesta sísmica correspondiente, se procederá a validar 
este procedimiento realizando una comparación de los resultados obtenidos con los 
resultados proporcionados por el programa ETABS Nonlinear. 
 3
CAPÍTULO II: ANÁLISIS DE EDIFIC IOS CON AISLADORES SÍSMICOS. 
 
 
 
2.1 ANTECEDENTES GENERALES 
 
 El aislamiento sísmico es una técnica de diseño sismorresistente que consiste 
en introducir un elemento de apoyo de alta flexibilidad o baja resistencia que 
independiza a la estructura del movimiento que se propaga por el suelo donde ésta se 
funda. Los aisladores reducen notablemente la rigidez del sistema estructural, haciendo 
que el periodo fundamental de la estructura aislada sea mucho mayor que el de la 
misma estructura con base fija. 
 Numerosos estudios teóricos, análisis numéricos y ensayos de laboratorio 
demuestran el excelente comportamiento que puede lograr este sistema de la 
protección de estructuras sometidas a eventos sísmicos moderados y severos. 
Entonces, es Importante destacar que el análisis dinámico de estos sistemas juega un 
rol fundamental en la evolución del desempeño deseado por el diseñador. 
 
En este capitulo se presentan las bases fundamentales para el estudio del 
comportamiento sísmico de estructuras con aislación basal de comportamiento lineal y 
no lineal. 
 
 
2.2 PRINCIPIOS DE LA AISLACIÓN SÍSMICA 
 
Los principios en los cuales se basa el funcionamiento de la aislación sísmica 
son dos: En primer lugar, la flexibilización del sistema estructural o alargamiento del 
período, y en segundo lugar, el aumento del amortiguamiento. 
 
La flexibilización o alargamiento del período fundamental de la estructura se logra 
a través de la introducción de un piso blando entre el suelo de fundación y la 
superestructura. Intuitivamente se reconoce que la rigidez lateral de este piso blando es 
mucho menor que la rigidez lateral de la superestructura, el sistema tenderá a 
deformarse sólo en la interfase de aislación, trasmitiendo bajos esfuerzos cortantes a la 
superestructura la que sufre un movimiento de bloque rígido, por ende sin deformación 
ni daño durante la respuesta sísmica. Por este motivo, el aislamiento de base es más 
recomendable en estructuras rígidas sobre terrenos firmes. 
 
 El aumento del amortiguamiento viene dado principalmente porel sistema de 
aislación utilizado. Este aumento de amortiguamiento busca reducir la demanda de 
deformaciones sobre el sistema de aislación y la superestructura sin producir un 
aumento sobre las aceleraciones de esta última (DE LA LLERA, 1998). 
 
Como se muestra en la figura 2.2-1, el hecho de implementar aisladores 
sísmicos en la base hace ventajoso el comportamiento de la estructura debido a que 
evita los efectos más dañinos que se pueden producir en la estructura a causa de los 
esfuerzos resultantes de los desplazamientos relativos entre pisos. 
 
 
 
Figura 2.2-1 Comportamiento de una estructura de base fija y otra con base aislada. 
 
 
2.3 TEORÍA DE LA AISLACIÓN SÍSMICA 
 
 4
Según los estudios realizados por Molinares y Barbad (BOZZO, 1996), la teoría 
lineal de aislación basal (NAEIM y KELLY, 1999) se puede utilizar como una 
herramienta efectiva al momento de analizar edificios con aisladores sísmicos, sobre 
todo en etapas de prediseño, debido a los supuestos que considera y que simplifican el 
problema. Entonces, para efectos de validar esta teoría lineal mediante el uso de un 
procedimiento simplificado, se considera el estudio de un modelo de un edificio de un 
piso con aisladores sísmicos de comportamiento lineal y no lineal. La idea es obtener 
la respuesta del sistema en tiempo discreto ante una solicitación sísmica. Por lo 
anterior, en esta sección se presentan las ecuaciones a solucionar que representan a 
la teoría lineal de aislación basal. 
2.3.1 Teoría Lineal 
 
La teoría lineal se representa mediante un modelo estructural de dos grados de 
libertad tal como se muestra en la figura 2.3.1-1. Donde representa a la masa de 
superestructura del edificio y a la masa de la base del edificio. La rigidez y el 
amortiguamiento de la estructura están representadas por , y la rigidez y el 
amortiguamiento del aislador por , (NAEIM y KELLY, 1999). 
sm
bm
sk sc
bk bc
 
Figura 2.3.1-1 Esquema de un sistema con aislación basal de dos grados de libertad 
 
Los desplazamientos absolutos de las dos masas son y , pero es 
conveniente usar desplazamientos relativos, los cuales quedan definidos por: 
su bu
 
gbb uuv −= bss uuv −= 
 
donde es el movimiento del suelo. Luego en términos de estos desplazamientos las 
ecuaciones de equilibrio dinámico del modelo de dos grados de libertad son: 
gu
 
• Para la masa “ ”: sm
 0)(
.... =−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+ bssbssss uukuucum
 
.. .. . ..
s b ss s s s s sm v m v c v k v m u+ + + = − g
g
 (2. 3. 1-1) 
• Para la masa “ ”: bm
 
.. .. .
s b bs b b b bm u m u c v k v+ + + = 0
 (2. 3. 1-2) ( ) .. .. . ..
( )b s bs b s b b b s bm m v m v c v k v m m u+ + + + = − +
 5
Las ecuaciones de equilibrio dinámico en forma matricial: 
 
 (2. 3. 1-3) g
ss
s
s
b
s
b
s
b
s
b
s
b
ss
s u
mm
mM
v
v
k
k
v
v
c
c
v
v
mm
mM ..
.
.
..
..
0
1
0
0
0
0
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Donde: 
 b sM m m= + 
Se asume los siguientes órdenes de magnitud de los parámetros estructurales: 
 
 1) < , pero del mismo orden de magnitud bm sm
 2) 
s
s
s m
k=ω >> 
M
kb
b =ω 
 3) Se define 
s
bω
ωε = y se asume que es del orden de magnitud de 10-2
4) 
b
b
b M
c
ωβ
2
= y s
S
s
c
m
β ω=
2
 son del mismo orden de magnitud de ε 
Donde: 
s s
s b
m m
m m M
χ = =+ Cuociente de masa total (2. 3. 1-4) 
 
M
kb
b =ω 
s
s
s m
k=ω Frecuencias nominales (2. 3. 1-5) 
b
b
b M
c
ωβ
2
= s
S
s
c
m
β ω=
2
 Factores de amortiguamiento (2. 3. 1-6) 
 
En términos de estas expresiones, en definitiva las ecuaciones de movimiento son: 
 
.. .. . ..
22b bb b b bsv v v v uχ ω β ω g+ + + = − (2. 3.1-7a) 
gsssssbs uvvvv
..
2
.....
2 −=+++ ωβω (2. 3.1-7b) 
 
La solución de este sistema de ecuaciones se obtiene realizando un análisis 
modal suponiendo un problema de vibraciones libres sin amortiguamiento. 
 
La ecuación característica para la frecuencia es: 
 
4 2 2 2 2 2(1 ) ( ) 0s b b sχ ω ω ω ω ω ω− − + + = (2. 3.1-8) 
 6
Cuya solución es: 
( ) ( ) 1
2 22 2 2 2 2 2
1
1
4
2 1 b s b s b sω ω ω ω ω γω ωχ 2⎧ ⎫⎡ ⎤= + − − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦− ⎩ ⎭ 
 ( ) ( ) 1
2 22 2 2 2 2 2
2
1
4
2 1 b s b s b sω ω ω ω ω γω ωχ 2⎧ ⎫⎡ ⎤= + + − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦− ⎩ ⎭ (2. 3.1-9) 
 
El primer orden en ε (aplicando La formula del binomio) se tiene que: 
( )2 2
1 1bω ω χ= − ε (2
2
2 1
1
sω )ω χεχ= +− (2. 3.1-10) 
y sus formas modales respectivas 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧= εφ 11 ( )2
1
1
1 1
φ χ εχ
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬− − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
 (2. 3.1-11) 
Las expresiones para los desplazamientos originales en coordenadas modales son: 
2
2
1
1 bbb qqv φφ += (2. 3.1-12) 2
2
1
1 sss qqv φφ +=
 
Donde , son los desplazamientos dependientes del tiempo, si la excitación 
del movimiento de la base, , es conocida, luego las componentes nodales según 
Kelly (NAEIM y KELLY, 1999): 
)(1 tq )(2 tq
)(
..
tu g
 
( ) 1 1
..
1
1 0
1
sin( )
t
g
L
q u t e ω β τ
1 dτ ω τ τω −= −∫ (2. 3. 1-13a) 
( ) 2 2
..
2
2 0
2
sin( )
t
g
L
q u t e ω β τ
2 dτ ω τ τω −= − −∫ (2. 3. 1-13b) 
Remplazando las componentes , y los modos de vibrar en (2.3.1-12), se 
obtiene la respuesta relativas y del sistema de dos grados de libertad en tiempo 
continuo para una excitación . 
)(1 tq )(2 tq
bv sv
)(
..
tu g
 
La respuesta aproximada en el tiempo de este modelo dinámico mediante un 
procedimiento numérico simplificado se obtiene realizando un análisis en tiempo 
discreto aplicando los conceptos de ecuación de estado. Para ejemplificar este tipo de 
análisis, en anexo A se presenta la respuesta del modelo de un edificio de un piso con 
aisladores sísmicos de comportamiento lineal y no lineal mediante un análisis plano, 
frente a una excitación de tipo sinusoidal. )(
..
tu g
 7
2.4 MODELOS QUE REPRESENTAN EL COMPORTAMIEN TO DINÁMICO DE LA 
AISLACIÓN SÍSMICA 
 
 Los aisladores sísmicos requieren, en general de dispositivos que limiten los 
desplazamientos máximos horizontales dentro de límites aceptables de diseño. Por este 
motivo los dispositivos de comportamiento lineal concentran los limites de 
deformaciones en que en que incurren mediante el amortiguamiento que proporcionan 
y los dispositivos de comportamiento no lineal los controlan mediante las condiciones 
de no linealidad, además del alto amortiguamiento que proporcionan. No existe 
limiten claramente definidos de estos desplazamientos aunque se consideran 
aceptables entre 5-40 cm. para sismos severos y hasta el doble de dichos valores para 
sismos extremos. 
 
2.4.1 Modelo Lineal 
La fuerza f ejercida por el aislador en la base del edificio, se puede representar 
por un amortiguamiento y un coeficiente de rigidez , este sistema lineal 
equivalente permite una solución numérica simple del problema, debido a la fácil 
modelación matemática del amortiguamiento. (BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; DE LA 
LLERA, 1998). 
bc bk
bbbb qkqcf += .
 (2.4.1-1) 
. 
kb
Mb
qb
 
kb
cb Mb
qb
 
Figura 2.4.1-1 Modelos dinámicos lineales 
Los dispositivos de aislación sísmica que generalmente incursionan en el rango 
lineal son los elastómeros de neopreno reforzado de alto y bajo amortiguamiento figura 
2.4.1-2. 
 8
Placas de acero
para conexión
Placas de gomaalternadas con
placas de acero
 
Placas de acero
para conexión
Placas de goma
alternadas con
placas de acero
con aditivos
 
Figura 2.4.1-2 Esquema de aisladores elastómericos de bajo y alto amortiguamiento 
2.4.2 Modelo No Lineal 
 
El incremento del período fundamental de un edificio lejos del período 
predominante de un sismo no garantiza plenamente la protección de la estructura 
debido a una posible resonancia con otras frecuencias naturales más altas. Además, 
diversos terremotos no muestran un período predominante claramente definido y varios 
picos espectrales pueden inducir amplificaciones dinámicas. Por estos motivos se 
necesitan elastómeros con alto amortiguamiento los cuales disipen energía (BOZZO, 
1996). Un sistema que considerablemente incrementa el amortiguamiento de las 
conexiones es el elastómero reforzado con núcleo de plomo Figura 2.4.2-1: 
 
para conexión
Placas de acero
alternadas con
placas de acero
Placas de goma
Cilindro de plomo 
Figura 2.4.2-1 Esquema de aislador elastómero reforzado con núcleo de plomo 
 
En lo referente a los modelos dinámicos que representan el comportamiento no 
lineal de este dispositivo, existen dos que son utilizados para representar este tipo de 
comportamiento Figura 2.4.2-2: 
cb
kb
Mb
qb
 
Figura 2.4.2-2 Modelo dinámico No lineal 
 
 
2.4.2.1 Modelo Bilineal 
 
 El modelo Bilineal que representa el dispositivo de elastómero con núcleo de 
plomo, debido a que posee una relación constitutiva fuerza-deformación, producto de 
que la goma, que es lineal, trabaja en paralelo con el plomo que tiene un 
comportamiento elastoplástico. (DE LA LLERA, 1998). 
 
 9
La figura 2.4.2.1-1 muestra una relación constitutiva medida en un aislador con 
corazón de plomo en que se observa claramente el comportamiento bilineal. (DE LA 
LLERA, 1998). Esta relación Bilineal es tradicionalmente representada por la expresión: 
 
δfd kQF += 
F y
Q d
F
δ
K f
K i
 
Figura 2.4.2.1-1 Grafico F v/s δ modelo bilineal aislador 
 
Donde: 
ik = Rigidez Inicial asociada a la reacción del aislador frente a cargas de baja magnitud 
fk = Una rigidez post-fluencia asociada a la reacción del aislador frente a las cargas 
más altas del ciclo. 
Qd = fuerza correspondiente a deformación nula. 
yf = Una carga de fluencia, con su correspondiente desplazamiento de fluencia yδ . 
 
La curva de histéresis aproximada de la figura 2.4.2.1-2 representa a un modelo 
bilineal. 
ki
keff
F
δ
Qd kf
D
D
 
 
Figura 2.4.2.1-2 Curva de histéresis modelo bilineal 
 10
 
2.4.2.2 Modelo Hi sterético de Wen 
 
El modelo histerético de Wen (BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; WEN,1976) se 
utiliza para una representación más precisa de un aislador de comportamiento no 
lineal en el cual se descompone la reacción elástoplastica en una componente 
directamente proporcional al desplazamiento y otra dependiente de la variable Z , 
donde la fuerza de restauración f : 
 
( )1i b if k q k Zα α= + − (2.4.2.2-1) 
 
donde if kk=α es un parámetro que indica el grado de no linealidad del sistema (por 
ejemplo α = 1 representa un sistema lineal) y Z es un parámetro histerético que 
satisface a la ecuación diferencial no lineal de primer orden (BOZZO, 1996; 
ORDOÑEZ, 1996; WEN,1976): 
 
.
.. . 1n n
b b bz Aq q z q z zβ γ⋅ −⎛ ⎞⎜= − +⎜⎝ ⎠
⎟⎟ (2.4.2.2-2) 
 
Los parámetros A,α , β ,γ , n que aparecen en la Ec. 2.4.2.2-2 son números 
adimensionales que regulan cada una de las características del comportamiento del 
modelo y que en definitiva, representan los diferentes tipos de reacciones no lineales 
(BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; PELDOZA, 2002; WEN, 1976): 
 
 A : Factor de escala general. 
 α : Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal. 
 β , γ : Determinan la forma de la curva. 
 : Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal. n
 
La influencia que tienen los parámetros β , γ en la variable Z se puede 
visualizar al trazar la gráfica de dicha variable versus el desplazamiento, con una 
solicitación externa de tipo periódica (sinusoidal a través del tiempo) que afecta a un 
oscilador de un grado de libertad, en el cual se incluye la fuerza restauradora 
representada por el modelo de Wen. (ORDOÑEZ, 1996; PELDOZA, 2002). 
 
 11
A modo de ejemplo en la figura 2.4.2.2-1 se puede visualizar el comportamiento 
histeretico que representan los parámetros 5.0=β y 5.0=γ . 
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
z
β=0.5,γ=0.5
 
Figura 2.4.2.2-1 Curva histerética de Z versus x con 5.0=β y 5.0=γ 
 
Con relación al parámetro n ∈ [ [+∞,1 este controla la suavidad de las curvas 
entre la zona inicial y la de influencia, entre más alto sea el valor utilizado, más dura es 
la curva de transición y mas cercano a 1 es el valor de Z , como se observa en la 
figura 2.4.2.2-2 (ORDÓÑEZ, 1996; WEN, 1976). Dado lo anterior, para eliminar 
completamente la porción curva, se entiende que +∞→n y que esto representa al 
modelo bilinial, aunque en la práctica se ha observado que solo es suficiente tomar 
valores del orden >20 (COMPUTER AND STRUCTURES .CSI, 1997). n
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6
 X
 Z
n=1
n=2
n=5
n=50
 
Figura 2.4.2.2-2 Comportamiento de la variable z con 1=A , 6.0=α , 5.0== γβ , y 
distintos valores de . n
 12
Con respecto a los valores más comunes de los parámetros utilizados para la 
modelación de aisladores. los autores recomiendan 1=A (BOZZO, 1996; CSl, 1997; 
ORDÓÑEZ, 1996). En relación a los parámetros β y γ , BOZZO (1996) propone 
β = -0.54 y γ = 1.4. Para la mayoría de los autores el valor más representativo para 
estimar la curva de transición es n = 1 aunque en los programas SAP2000 Nonlinear y 
ETABS Nonlinear se utiliza una variante bidireccional del modelo, la cual fue propuesta 
por PARK el I. (1986). y que es equivalente a la fórmula de Wen pero con n = 2 (CSI, 
1997; PELDOZA, 2002). 
 
Los Programas SAP2000 Nonlinear y ETABS Nonlinear tienen incorporado el 
modelo de Wen como elemento no lineal mediante las siguientes relaciones de 
equivalencia: 
La relación no lineal fuerza-deformación o fuerza restauradora es: 
 
(1 )i yf rk d r f z= + − (2.4.2.2-3) 
donde : 
 : rigidez Inicial ik
d : deformación 
yf : fuerza de fluencia 
r : radio de fluencia 
z : variable histeretica donde 1 1z− ≤ ≤ ,el valor inicial de z es cero y z se desarrolla 
según el siguiente ecuación diferencial: 
 
( ).
.
.
1
e
i
y
d zk
z
f
d
⎧ −⎪= ⎨⎪⎩
 
.
.
0
0
dz
dz
>
<
 (2.4.2.2-4) 
Donde: 
 : es el parámetro de transición de la fase elástica a la inelástica ( igual a ) e n
 
 La ecuación (2.4.2.2-4) es equivalente al modelo de Wen para , 1=A 5.0=β y 
5.0=γ (Figura 2.4.2.2-1). 
 13
CAPÍTULO III: MODELO DINÁMICO PA RA EDIFICIOS CON AISLADORES 
SÍSMICOS 
 
3.1 GENERALIDADES 
 
El Propósito de esta sección es dar a conocer el modelo matemático que se 
utilizará para estudiar el comportamiento dinámico de edificios con aisladores sísmicos, 
el cual se basa en la extensión de la teoría lineal para edificios de base aislada. Se 
presentarán las ecuaciones dinámicas para los dos modelos que se utilizan en nuestro 
estudio; edificio con aisladores de comportamiento lineal y edificio con aisladores de 
comportamiento no lineal. Los modelos en estudio consideran un análisis plano del 
edificio. 
 
 
3.2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA DEFINIR EL CO MPORTAMIENTO DEL 
SISTEMA. 
 
 
 Se considera en esta sección el estudio de la respuesta sísmica de un edificio de 
cortante de varios pisos aislado en la base, con un grado de libertad por planta, y que 
se encuentra solicitado porun registro de aceleración como se indica en la Fig.3.2-1. Se 
analiza la respuesta numérica de un edificio con sistema de aislamiento en su base, 
considerando que la estructura tiene un comportamiento elástico lineal y que el aislador 
puede ser simulado usando un modelo lineal y uno no lineal (NAEIM y KELLY,1999). 
 
mi
Fundación
Base
Aislador
mb
m1
ug
qb
mn
qi
üg
 
 
Fig.3.2-1 Diagrama edificio aislado en la base y del modelo dinámico de la estructura 
 
 14
Para el modelo indicado se tiene: 
 
gu : Excitación ó movimiento de terreno 
bq : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio 
q : Vector de desplazamiento de piso relativo a la base del edificio 
bm : Masa de la base del edificio 
 
La ecuación de movimiento del edificio con respecto a la base es: 
.. .
( g bu q
⋅⋅ ⋅⋅= − +Mq+Cq+Kq Mr ) (3.2-1) 
en que 
 : Matriz de masa M
 : Matriz de amortiguamiento C
 : Matriz de rigidez K
r : Vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del suelo. Para 
edificios de cortante, { }nx
=r
1
1 
 
Premultiplicando la ecuación (3.2-1) por , se puede encontrar que la 
fuerza de disipación y elástica ejercida por el edificio sobre la base es: 
( .... )=tr 111 1
 
. .
( ( )g bu q
⋅⋅ ⋅⋅= − + +t t t t
r Cq+r Kq r Mr r Mq
.
) (3.2-2) 
 
luego la ecuación del movimiento para la base del edificio es: 
 
 
.. .. .. .. ..
( ) ( )g gb b bm u q u q f+ + + + + =t
r M q r r 0 (3.2-3) 
 
en que es la fuerza ejercida por el aislador a la base del edificio de masa (NAEIM 
y KELLY, 1999). La expresión que define esta fuerza depende del tipo de aislador 
usado, existiendo diferentes sistemas con sus respectivos modelos matemáticos 
(sección 2.4). 
f bm
Si se supone que la no linealidad se concentra sólo a nivel del aislador, la 
solución general de la ecuación (3.2-1) usando superposición modal es: 
j
i i
i
yφ
=
= ∑q
1
 (3.2-4) 
 
 15
en que 
 iφ : Modo de vibración 
 : Amplitud modal iy
 j : Número de modos considerados en el análisis 
 
luego la ecuación modal es 
 (3.2-5) )(2
....
2
...
bgiiiiiii quLyyy +−=++ ωβω
 
en que iω : es la frecuencia natural y está dada por: 
i i iφ ω =M
2 φK (3.2-6) 
 iβ : Coeficiente de amortiguamiento 
 : Factor de participación modal y está dado por: iL
 
t
i
i t
i i
L
φ
φ φ= Mr
M
 t
i iM iφ φ= M (3.2-7) 
Donde: 
iM : Masa Modal efectiva: 
Finalmente la ecuación del movimiento para la base del edificio se obtiene al 
reemplazar (3.2-4) en (3.2-3), esto es: 
 
.. .. .. .. ..
( ) ( )g gb ib i bm u q y u q fφ+ + + + +∑tr M r r 0= (3.2-8) 
 
3.3 ECUACION DE MOVIMIENTO DEL AISLADOR COMO SISTEMA LINEAL 
 
 En la sección 2.4.1 se mencionan las cualidades del modelo y una de las más 
importantes es que este sistema permite obtener una solución numérica aproximada y 
simple para los aisladores que se utilicen en la base del edificio. 
cb qb
kb
 
Fig. 3.3-1 Modelo dinámico lineal de los aisladores de la base del edificio 
 16
En este modelo la expresión de la fuerza debido al amortiguamiento y rigidez del de la 
base aislada es: 
 (3.3-1) bbbb qkqcf += .
 
en que 
 : Amortiguamiento equivalente de la base aislada bc
 : Rigidez equivalente de la base aislada bk
 : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio bq
 
Luego la ecuación del movimiento para la base del edificio debido a una aceleración 
horizontal es: 
 17
b b
.. .. .. .. .. .
( ) ( )g gb i bb i b bm u q y u q c q k qφ+ + + + + + =∑t
r M r r 0 (3.3-2) 
 
Desarrollando las ecuaciones (3.2-5) y (3.3-2) se llega al siguiente sistema de 
ecuaciones. 
 
 (3.3-3) giiiiiiibi uLyyyqL
..
2
.....
2 −=+++ ωβω
 gbbbbbbi
b
ii uqqqy
mm
ML ..
2
.....
2 −=++++∑ ωωβ (3.3-4) 
 
en que 
 
b
b
b mm
k
+=ω 
b
b
bb mm
c
+=ωβ2 .... nm m m m= = + + +t
r Mr 1 2 (3.3-5) 
donde: 
 bω : Frecuencia fundamental de la base aislada 
 bβ : Factor de amortiguamiento de la base aislada 
 : Masa total del edificio m
 
Según la teoría lineal de aislamiento de base, se concluye en general que el edificio 
responde como una estructura prácticamente rígida, registrándose los máximos 
desplazamientos en la base del edificio. Por lo tanto, como una aproximación 
adecuada se puede asumir que el edificio vibra en el primer modo, obteniéndose las 
siguientes expresiones (para el modo i=1)(NAEIM y KELLY,1999): 
 (3.3-6) gb uLyyyqL
..
11
2
11
.
111
....
1 2 −=+++ ωβω
gbbbbbb
b
uqqqy
mm
ML ..
2
...
1
..
11 2 −=++++ ωωβ (3.3-7) 
 
Luego al resolver las ecuaciones acopladas (3.3-6) y (3.3-7), se obtienen las amplitudes 
modales y el desplazamiento de la base (NAEIM y KELLY,1999). )(1 ty bq
 
3.4 ECUACION DE MOVIMIENTO DEL AISLADOR COMO SIST EMA NO LINEAL 
 
Dentro de los modelos no lineales presentados en la sección 2.4.1 para 
considerar fuerzas restitutivas no lineales que se presentan en el sistema, se ha elegido 
incluir el modelo histerético de Wen. Dicha elección se debe a que con esta ecuación 
es posible simular variadas respuestas elastoplásticas como así también bilineales o 
lineales (BOZZO, 1996; ORDÓÑEZ, 1996; WEN, 1976; PELDOZA, 2002). 
 18
 
El modelo dinámico con sus componentes se indica en la figura 3.4-1 
Z
kb
cb
qb
 
Figura 3.4.1 Modelo dinámico no lineal para los aisladores de la base del edificio 
 
En este modelo dinámico no lineal la relación que representa al sistema está 
dada por la expresión: 
 
( ) )(1 tZkqkf bbb αα −+= (3.4-1) 
 
en que es la componente histerética dada por la ecuación no lineal de primer 
orden. 
)(tZ
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +−= −⋅ .
1
...
ZZqZqqAZ
n
b
n
bb γβ (3.4-2) 
 
 
en que 
 : Rigidez equivalente de la base aislada bk
 : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio bq
bc : Amortiguamiento equivalente de la base aislada 
 
 nA ,,,, γβα son parámetros adimensionales de la ecuación de Wen: 
 
 : Factor de escala general A
α : Razón de proporción entre la fuerza lineal y la no lineal, factor de 
endurecimiento 
γβ , : Determinan la forma de la curva. 
n : Número entero que controla la suavidad de la transición de la fase lineal a la 
fase inelástica 
 
 
Luego la ecuación del movimiento para la base del edificio debido a una aceleración 
horizontal es: 
 
( ).. .. .. .. .. .
( ) ( ) ( )g gb i b b bb i b bm u q y u q c q k q k Z tφ α α+ + + + + + + − =∑t
r M r r 1 b 0 (3.4-3) 
 
Asumiendo que la estructura vibra en el primer modo, se obtienen finalmente las 
siguientes expresiones para el sistema dinámico: 
 
gb uLyyyqL
..
11
2
11
.
111
....
1 2 −=+++ ωβω (3.4-4) 
( ) ....
1
1122
...
12 g
b
bbbbbbb uy
mm
ML
Zqqq −=++−+++ ωααωωβ (3.4-5) 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +−= −⋅ .
1
...
ZZqZqqAZ
n
b
n
bb γβ (3.4-6) 
 
Para α = 1 tenemos el modelo lineal planteado con anterioridad 
 
 
 
 
 19
CAPÍTULO IV: MÉTODOS APROXIMADOS PARA EL CÁLCULO DE FRECUENCIA 
Y MODO DE VIBRAR FUNDAMENTAL 
 
4.1 INTRODUCCIÓN 
 
En el modelo de análisis dinámico de edificios con aisladores sísmicos se 
plantea, en definitiva, un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas que se debe 
solucionar, el cual considerala frecuencia y modo fundamental de vibrar del modelo con 
base fija. Debido a la necesidad de contar con estos parámetros dinámicos y de 
estudiar la influencia de éstos en las ecuaciones del modelo, se utilizan métodos 
aproximados. Aunque la validez del modelo se obtiene con los parámetros dinámicos 
exactos. 
 
4.2 MÉTODOS APROXIMADOS 
 
El análisis sísmico de edificios mediante el método de superposición modal 
requiere la obtención de los modos normales de vibrar a partir del problema de valores 
propios 
 φ ω=K M
2 φ (4.2-1) 
 
La dificultad que se presenta al resolver esta ecuación para sistemas 
estructurales de gran envergadura es la cantidad de operaciones numéricas 
involucradas, lo que hace computacionalmente costoso determinar los valores y 
vectores propios. 
 
Los métodos aproximados son particularmente útiles para un modelo 
determinado de estructuras que presentan ciertas características propias. De acuerdo a 
estas características que simplifican el trabajo, se pueden obtener resultados más 
eficientes y no tan engorrosos al momento de interpretar el comportamiento dinámico 
de la estructura. 
 
 El edificio debe cumplir con las siguientes características: 
 
• que toda la masa de la estructura esté concentrada al nivel de los pisos. 
• que la deformación de la estructura sea independiente de las fuerzas axiales 
presentes en las columnas. 
 
 20
La primera condición transforma el problema de un sistema con un número 
infinito de grados de libertad (debido a la masa uniformemente distribuida), a un 
sistema que tiene solamente tantos grados de libertad como números de masa 
concentradas a nivel de los pisos. La segunda condición establece que las vigas en los 
pisos permanezcan horizontales durante el movimiento de la estructura. 
 
4.2.1 Método Aproximado de Rayleigh-Ritz 
 
 El método de Rayleigh-Ritz es un método aproximado para obtener frecuencias 
modales y algunas formas modales de estructuras, el cual es aplicable a sistemas de 
un gran número de grados de libertad. Esta es una extensión del método Rayleigh 
sugerido por W. Ritz en 1909. Originalmente desarrollado para sistemas elásticos con 
masa distribuida (CHOPRA, 2001). Este método consiste en reducir artificialmente el 
número de grados de libertad. Se pueden elegir unas pocas configuraciones 
deformadas o vectores Ritz, { }ψ , de la estructura que representen las posibilidades más 
significativas de deformarse del sistema. Para que el método sea ventajoso deben 
satisfacer las condiciones de apoyo. Formando una matriz con estas formas como 
columnas, [ ]ψ , análogamente a la matriz modal, se puede efectuar la transformación. 
 
{ } [ ]{ }u ψ= B (4.2.1-1) 
 
y calcular los valores máximos de las energías potenciales y cinemática durante la 
vibración libre, similarmente a los métodos para sistemas de un grado de libertad : 
 
 { } [ ] [ ][ ]{ } { } { }^
max
1 1
. .
2 2
TT T
E P B K B B K Bψ ψ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 { } [ ] [ ][ ]{ } { } { }^
2 2
max
1 1
. .
2 2
TT
E C w Z M B B M Bψ ψ ω ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦
T
=
 (4.2.1 -2) 
 
Igualando estas cantidades y aplicando el principio de Rayleigh que establece que el 
valor de la frecuencia es estacionario para pequeñas variaciones de las coordenadas 
modales, , entorno a los valores normales, resulta un problema de valores 
característicos similar a (4.2.-1) pero de un orden inferior: 
{ }Z
 
{ } { }^ ^
K M Bω⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2 0 (4.2.1-3) 
 21
 Resolviendo este problema se obtienen los valores de las coordenadas modales 
{ }n
B asociadas a los modos normales correspondientes a cada frecuencia, nω . 
{ } [ ]{ }n n
Bφ ψ= (4.2.1-4) 
 
 De esta manera, se obtiene una estimación aproximada de un número reducido 
de formas modales, pero resolviendo un problema de valores característicos mucho 
menor. Vale la pena notar que si la matriz de masa original era diagonal, esta propiedad 
no se conserva en la reducción de tamaño del problema (RUIZ, 1974). 
 
El suceso del método de Rayleigh-Ritz depende de cómo una buena 
combinación lineal de los vectores, puede aproximar los modos naturales de vibración. 
Así es importante que los vectores Ritz sean seleccionados juiciosamente (CHOPRA, 
2001). Para estructuras que son complejas existe una vía para la selección de 
vectores Ritz el cual se basa en un procedimiento iterativo que presentamos a 
continuación: 
 
4.2.1.1 Método de aproximación de Vectores Ritz dependiente de cargas externas 
 
Se desea determinar los vectores Ritz apropiados para el análisis de una 
estructura sujeta a fuerzas dinámicas externas: 
 
( )p t=p(t) s (4.2.1.1-1) 
 
La distribución espacial de las fuerzas definidas por el vector no varia con el 
tiempo, y la dependencia del tiempo de todas las fuerzas es dada por la misma función 
escalar . Usando el vector s , se presenta un procedimiento para generar una 
secuencia de los vectores ortonormales de Ritz. 
s
)(tp
 
El primer vector de Ritz 1ψ se define como los desplazamientos estáticos debido a las 
fuerzas aplicadas . Se determina solucionando: s
=
1
ky s (4.2.1.1-2) 
 
El vector 
1
y es normalizado con respecto a la masa total; como: 
( )1 1 2ψ = 1
T
1 1
y
y My
 (4.2.1.1-3) 
 22
El segundo vector de Ritz 2ψ se determina de los desplazamientos estáticos debido 
a las fuerzas aplicadas dadas por la distribución de la fuerza de inercia asociada al 
primer vector de Ritz 
2y
1ψ . El vector 
2
y se obtiene de: 
1ψ
2
κy = M (4.2.1.1-4) 
 
El vector 
2
y en general contiene un componente del vector anterior, 1ψ . Puede por lo 
tanto ser expresada como: 
 
^
2 12 1aψ ψ= +
2
y (4.2.1.1-5) 
 
Donde 2
^ψ es un vector que no contiene el vector anterior y 112ψa es el componente 
del vector anterior presente en 
2
y . El vector 2
^ψ es ortogonal y por lo tanto linealmente 
independiente de, 1ψ . El coeficiente es determinado premultiplicando ambos lados 
la Eq.(4.2.1.1-5) Por para obtener: 
12a
1
Tψ M
( )^
1 2 1 12 1 12
T T Ty aψ ψ ψ ψ ψ= +M M M 
 
Observe que por definición de 
^
1 2 0Tψ ψ =M 2
^ψ , y 1 1 1Tψ ψ =M de Eq. (4.2.1.1-3) 
Así: 
 (4.2.1.1-6) 12 1
T
na ψ= My
El vector 2
^ψ es determinado por: 
^
2 12 1aψ ψ= −
2
y (4.2.1.1-7) 
 
Donde se obtiene de Eq. (4.2.1.1-6). Finalmente, se normaliza el vector 12a 2
^ψ de 
modo que sea ortonormal con respecto a la masa, obtenemos el segundo vector Ritz: 
^
2
2 1 2
^ ^
22
T
ψψ
ψ ψ
= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠M
 (4.2.1.1-8) 
Generalizando este procedimiento a la obtención de n vectores de Ritz, la 
secuencia de vectores jψψψ ,,........., 21 es mutuamente ortonormal con respecto a la 
masa y por lo tanto satisface el requisito independencia lineal del método de Rayleigh - 
Ritz. 
 23
El procedimiento de ortogonalización de las Eqs. (4.2.1.1-6) y (4.2.1.1-7) debe 
formarse teóricamente con la ortogonalización con respecto a la masa del nuevo vector 
con respecto a todos los vectores anteriores, la puesta en práctica real en la 
computadora de este método puede ser dificultada por los problemas de la perdida de 
ortogonalización debido a los errores numéricos de redondeo. 
 
Para superar estas dificultades, el procedimiento se modifica de la siguiente 
manera: 
Después del calcular de Ec. (4.2.1.1-6), un vector mejoradoina n
^ψ se calculade 
Ec. (4.2.1.1-7), que es usado en vez de 
n
y en Ec. (4.2.1.1-6) para calcular el siguiente 
. Incluyendo esta modificación, el procedimiento para generar vectores Ritz 
dependientes de cargas se resume en la tabla (4.2.1.1-1) (CHOPRA, A. 2001). 
ina
 
TABLA 4.2.1.1-1 Generación vectores Ritz dependientes de cargas externas 
________________________________________________________________ 
1.-Determinación del primer vector, 1ψ 
a) Se obtiene resolviendo 1y =
1
ky s . 
b) Normalizando 
1
y : ( )1
1 1 2
1 1
T
y
y y
ψ =
M
 
2.-Determinación de los vectores adicionales, nψ , .,......,3,2 jn = 
a) Se obtiene resolviendo: ny 1nψ −=
n
ky M 
b) Ortogonalizando 
n
y con respecto a los vectores 121 ,,........., −nψψψ anteriores, 
repitiendo los pasos siguientes para .1,......,2,1 −= ni : 
• T
in ia ψ=
n
My 
• 
^
n in iaψ ψ= −ny 
• 
^
nψ=
n
y 
c) Normalizando n
^ψ : 
^
1 2
^ ^
n
n
T
nn
ψψ
ψ ψ
= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠M
 
________________________________________________________________ 
 
 
 24
4.2.2 Método Aproximado de Polinomio s Ortogonales Basado en el Método de 
Cruz y Chopra. 
 
E. Cruz y A. Chopra proponen un método para aproximar los modos 
fundamentales de vibrar de estructuras mediante un análisis plano del edificio (CRUZ y 
CHOPRA,1985). Éste se basa en los parámetros globales de la estructura y consiste en 
obtener los modos mediante polinomios de aproximación, los cuales presentan el 
problema de que no son ortogonales con respecto a la matriz de masa y de rigidez. 
Esta falencia del método planteado por Cruz y Chopra se soluciona en estudios 
posteriores obteniendo como resultado expresiones que tienen esta característica 
propia de los vectores que forman la matriz de modos de vibrar en la solución de un 
problema dinámico (GUTIÉRREZ, 1998). 
 
 Se considera un primer modo aproximado como: 
 
 
δ
φ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
H
h j
j1 j = 1, 2, 3,……n (4.2.2-1) 
 Donde: 
 
 : es la altura del piso j sobre la base jh
 H : es la altura total del edificio. 
 
 δ es un parámetro que se ha correlacionado con el tipo de estructura y 
relacionado con la razón de rigidez de la estructura ρ que es un parámetro global 
definido por Newmark y que esta dado por: 
 
 ∑
∑=
columnas
cc
vigas
bb
LEI
LEI
/
/
ρ (4.2.2-2) 
 
y que representa una razón de rigideces viga-columna. Newmark, y también Cruz y 
Chopra definen este parámetro en la mitad de la altura del edificio, pero también se 
puede extender a todo el edificio. En el método de Cruz y Chopra, se calcula este 
parámetro a través de regresiones con el modo exacto de 5 casos de edificios 
modelados como marcos planos con diferentes razones de rigidez y distintas alturas 
(CRUZ y CHOPRA,1985; GUTIÉRREZ, 1998). (figura 4.2.2-1). 
 25
Caso 1
1
2
3
5
4
Caso 2
Ic=I
mj=m
Estructuras Uniformes
1
2
20
19
18
Ib=4 Iρ
 
 Caso3 Caso 4 Caso 5 
Nivel jm bI cI jm bI cI jm bI cI 
5 
4 
3 
2 
1 
m 
 m
m 
m 
m 
Iρ2 
Iρ3 
Iρ4 
Iρ5 
Iρ6 
I5.0 
I75.0 
I 
I25.1 
I5.1 
m5.0 
m75.0
m 
m25.1
m5.1 
Iρ2 
 Iρ3 
 Iρ4 
 Iρ5 
 Iρ6 
I5.0 
I75.0 
I 
I25.1 
I5.1 
m3.0 
m3.0 
m3.0 
m 
m 
Iρ2.1 
Iρ2.1 
Iρ2.1 
Iρ4 
Iρ4 
I3.0
I3.0
I3.0
I 
I 
Figura 4.2.2-1 Definición de los casos según Cruz y Chopra 
 
De este modo es posible determinar el parámetro δ mediante la siguiente tabla: 
 
 Tabla N° 1: Valor de δ según tipo de estructura y ρ según Cruz y Chopra 
Caso 0=ρ 05.0=ρ 125.0=ρ 5.0=ρ 2=ρ ∞=ρ 
1 
2 
3 
4 
5 
1.745 
1.814 
1.848 
1.815 
1.950 
1.379 
1.188 
1.585 
1.507 
1.699 
1.232 
1.092 
1.455 
1.360 
1.590 
1.034 
0.982 
1.277 
1.162 
1.425 
0.892 
0.911 
1.155 
1.028 
1.299 
0.798 
0.864 
1.078 
0.942 
1.215 
 
Se considera un segundo modo de vibrar de la forma: 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
2 1
H
h
H
h jj
jφ (4.2.2-3) 
que depende del parámetro . Como se espera que sea un modo de vibrar debe 
cumplir: 
2H
1 2 0tφ φ =M (4.2.2-4) 
 26
Dado que el modelo utilizado para el edificio es de masas concentradas en los 
pisos, la matriz de masas es una matriz diagonal que tiene la masa concentrada del 
piso en cada elemento de la diagonal, por lo que es una matriz fácil de calcular. es 
la masa concentrada del piso 
M
jm
j . De este modo la matriz M queda definida por: 
 M = (4.2.2-5) 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
n
j
m
m
m
00
0
0
001
K
O
M
MO
K
 Remplazando en la ecuación (4.2.2-4) las ecuaciones (4.2.2-1) y (4.2.2-3) se 
obtiene: 
 01
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑
H
h
H
h
H
h
m jjj
j
j
δ
 (4.2.2-6) 
 De esta ecuación se despeja el parámetro : 2H
 ∑
∑
=
+
+
== n
j
jj
j
n
j
j
hm
hm
H
1
1
2
1
2 δ
δ
 (4.2.2-7) 
 Este parámetro sólo depende de δ y no de H que es la altura del edificio. 
 
Esta misma formulación se utiliza para encontrar los modos superiores, agregándose 
parámetros según el modo que se trate. 
 Luego de obtener los modos se deben calcular las frecuencias y los periodos de 
vibrar, en este caso se puede utilizar el cuociente de Rayleigh: 
 
2 1 1
1
1 1
t
t
φ φω φ φ= K
M
 (4.2.2-8) 
 
4.2.3 Estimación de la Matr iz de Rigidez de Edificios con Muros de Corte 
 
 Para resolver el problema dinámico de edificios mediante métodos aproximados 
como es el caso de los métodos de vectores Ritz (Ec. 4.2.1-3) y de Cruz y 
Chopra (Ec. 4.2.2-8) planteados en la sección 4.2.1 y 4.2.2, se necesita la matriz de 
rigidez lateral del edificio. Para estructuras compuestas por muros existen relaciones 
de flexibilidad producto de análisis estáticos, las cuales se representan mediante la 
matriz donde La matriz de rigidez se obtiene de . F K
-1
K = F
 27
 Para la figura 4.2.3-1 se obtiene cada término ijα de la matriz mediante la 
siguiente relación de flexibilidad: 
F
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
jii
jij
ij hh
L
h
h
EI
hh
23
1
2
22α con ij hh ≤ (4.2.3-1) 
 
L
hi
hj
 
 
Figura 4.2.3-1 Muro de n grados de Libertad 
 
4.3 ESTIMADOR DEL ERROR 
 
El error que utilizaremos para comparar los modos aproximados planteados en 
la sección 4.2 con el modo exacto será: 
 
( ) 1́
2
2
1
1
2
2
1
n
ik ik
i
k
n
ik
i
x
E
φ
φ
=
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
∑
1,2,3k = (4.3-1) 
 
Está expresión corresponde al cuociente de la norma euclediana del vector 
error y el modo fundamental exacto . Pero, como se han normalizado todos lo modos 
la norma euclediana del modo fundamental exacto será siempre igual a la unidad. De 
este modo el error queda definido por: 
 
( ) 1
2
2
1
n
k ik ik
i
E xφ
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 1,2,3k = (4.3-2) 
 
 
 28
CAPÍTULO V: RESOLUCIÓN DEL SISTEM A DE ECUACIONES DIFERENCIALES 
ASOCIADO AL MODELO DINÁMICO 
 
5.1 GENERALIDADES 
 
 En este capítulo se presentan los principales conceptos que aparecen en el 
análisis dinámico, utilizando la representación del modelo mediante una ecuación 
estado. 
 Luego de plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que representa este 
modelo dinámico a ecuación de estado, el problema radica en la solución de esta 
ecuación estado que en definitiva es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer 
orden, para lo cual existen métodos analíticos, pero muchas veces resulta ineludible 
recurrir a métodos numéricos, debido a la complejidad de alcanzar una solución exacta 
ya la idea de plantear una solución simple del problema. 
 
5.2 RESPUESTA DE MODELOS DINÁMI COS MEDIANTE EL USO DE ECUACIÓN 
ESTADO 
5.2.1 Sistemas de Ecu aciones Diferenciales 
 
En primer lugar, se debe transformar el sistema de ecuaciones diferenciales de 
orden superior a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden para aplicar el 
concepto de ecuación de estado, es decir: 
 
Considérese una ecuación diferencial de un sistema de ecuaciones diferenciales 
de orden superior: 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
−
1
1
2
2
,......,,,,
n
n
n
n
dx
xd
dx
xd
dt
dx
xtf
dx
xd
 para x ∈ [ (5.1.2-1) ]ba,
 
 
Esta ecuación diferencial ordinaria involucra a la función x y a las n primeras 
derivadas, puesto que la derivada n-ésima depende, según una función conocida x y 
las n – 1 primeras derivadas. 
 
Para que la ecuación anterior tenga una solución única son necesarias n 
condiciones adicionales sobre la función incógnita. Como sabemos, estas condiciones 
adicionales se llaman condiciones iniciales si están dadas en un mismo punto del 
intervalo [ ]. ba,
 29
Un caso habitual de condiciones iniciales es aquel en que la función x y las n - 1 
primeras derivadas tengan valores prescritos conocidos α0, α1, α2,.........,αn-1 en el extremo 
a del intervalo: 
 
n
n
dt
xd
dt
axd
dt
adx
ax αααα ==== −1
3
2
21 ..;;.........
)(
;
)(
;)( (5.1.2-2) 
 
Entonces, si se complementa la ecuación diferencial ordinaria con las 
condiciones iniciales anteriores, se obtiene un problema de valor inicial. Partiendo de la 
información que se tiene de la función x en el punto at = debemos integrar la 
ecuación diferencial ordinaria para hallar la evolución de la función y en todo el 
intervalo [ ]. ba,
 
Por otro lado, sabemos que una ecuación diferencial ordinaria de orden n puede 
ser transformada en un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer 
orden con n funciones incógnitas. Es decir, que podemos reducir el orden de las 
derivadas a costa de aumentar el número de incógnitas. 
 
En nuestro caso, esta transformación es necesaria puesto que las técnicas 
numéricas que aplicaremos están diseñadas para resolver problemas de primer orden. 
 
La idea básica de la transformación es tratar explícitamente como funciones 
incógnita a las n – 1 primeras derivadas de la función x (CHAPRA y CANALE,1988). 
 
Esto puede expresarse como: 
 
1
1
2
2
2
3 2
1
.
n
n
n n
x x
dxdx
x
dt dt
dxd x
x
dt dt
dxd x
x
dt dt
−
≡
≡ =
≡ =
≡ =
 (5.1.2-3) 
 
Con la ayuda de las ecuaciones anteriores la ecuación diferencial ordinaria 
original puede escribirse como: 
 
( )1 2 3
d
, , , ,......,
d
n
n
x
f t x x x x
t
= para x ∈ [ ]ba, (5.1.2-4) 
 
 30
Queda claro que, en definitiva, solo hemos hecho un cambio de notación. Si 
tomamos esta última ecuación y la combinamos con las (5.2.1-3) se obtiene: 
 
( )
1
2
2
2
3 2
1
1 2 3
: 
, , , ,......,
n
n
n n
n
n
dx dx
x
dt dt
dx d x
x
dt dt
dx d x
x
dt dt
dx
f t x x x x
dt
−
⎤= ≡ ⎥⎥⎥= ≡ ⎥⎥⎥⎥⎥= ≡ ⎥⎥= ⎥⎦
 con 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 0
2 1
2
1
3 22
-1
1-1
 
:
 
n
n nn
x a x a
dx
x a a
dt
d x
x a a
dt
d x
x a a
dt
α
α
α
α −
= = ⎤⎥⎥= = ⎥⎥⎥= = ⎥⎥⎥⎥= = ⎥⎦
 (5.1.2-5) 
 
Luego de realizada la transformación en todas las ecuaciones del sistema de 
EDO de orden superior, en definitiva, se obtiene un sistema EDO de primer orden y que 
representa el problema de valor inicial siguiente: 
 
 
),....,,,(
.
.
),...,,,(
),...,,,(
21
212
2
211
1
nn
n
n
n
xxxtf
dt
dx
xxxtf
dt
dx
xxxtf
dt
dx
=
=
=
 con 
non
o
o
tx
tx
tx
α
α
α
=
=
=
)(
.
.
.
)(
)(
22
11
 (5.1.2-6) 
 
La solución del sistema (5.1.2-6) son funciones derivables , , …, 
tales que cuando , , ,…, se sustituyen en , 
 y el resultado es igual a la derivada , ,…., , 
respectivamente (MATHEWS y KURTIS, 1999), es decir : 
)(1 tx )(2 tx )(txn
t )(1 tx )(2 tx )(txn ),...,,,( 211 nxxxtf
),....,,,( 212 nxxxtf ),....,,,( 21 nn xxxtf
.
1x
.
2x
.
nx
 
 con 
),....,,,(
.
.
),...,,,(
),...,,,(
21
.
212
.
2
211
.
1
nnn
n
n
xxxtfx
xxxtfx
xxxtfx
=
=
=
non
o
o
tx
tx
tx
α
α
α
=
=
=
)(
.
.
.
)(
)(
22
11
 (5.1.2-7) 
 
 
 
 31
5.2.2 Conceptos de Ecuación Es tado de un Sistema Dinámico 
 
Definiciones: 
 
a) Variables de estado: es el conjunto de variables que determinan el estado de un 
sistema . ( )nxxx ,......,, 21
 
b) Vector de estado: vector de “n” componentes son las variables de estado 
 
c) Espacio de Estado: espacio n dimensional cuyos ejes coordenados representan los 
valores numéricos de las variables de estado . nxxx ,....,, 21
 
 Los modelos en espacio (figura 5.2.2-1) de estado describen el comportamiento 
del sistema para cualquier conocidos el vector de estado ( condiciones 
iniciales) en el instante inicial (
ott ≥ n
ott = ) y la entrada (solicitación sísmica) al sistema para 
. La salida se representa por las variables de estado. ott ≥
 
Figura 5.2.2-1 
 
El comportamiento ó estado se describe por un conjunto de ecuaciones 
diferenciales de primer orden como lo expresa la ecuación (5.1.2-7), escritas en función 
de variables de estado. 
n
 
.
( ) ( ( ),........., ( ); ( ); )i i nx t f x t x t u t t= 1 (5.2.2-1) ni ....1=
 
 Estas ecuaciones diferenciales se pueden representar en notación compacta 
dando la siguiente ecuación diferencial vectorial del sistema. 
 
.
( ) ( ( ), ( ), )X t f X t u t t= (5.2.2-2) 
 
.
( ) ( ) ( )X t FX t Gu t= + (5.2.2-3) 
 
 
 32
Donde: 
 33
)( 1 2 ....=t
nX x x x = vector de estado del sistema ó variables de estado (nx1) 
F = matriz cuadrada del sistema de orden (nxn) 
G = matriz de influencia del input de orden (nx1) 
( )u t = función escalar en el tiempo que representa la señal de entrada 
t = variable independiente (tiempo) 
 
El problema (5.2.2-2), en el cual se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales 
y se conoce el valor inicial de la solución, se denomina "problema de Cauchy" o 
"problema del valor inicial". Lo que se busca, entonces, es una solución ( )=w w t que 
satisfaga la condición inicial ( ) α=o ow t . 
 
En los problemas lineales y estacionarios siempre es posible encontrar una 
expresión analítica para la solución de (5.2.2-2). Desafortunadamente no ocurre lo 
mismo en el caso no-lineal, donde la mayor parte de las veces es imposible hallar la 
solución de (5.2.2-2) por métodos analíticos y debe recurrirse a métodos numéricos. 
Sin embargo, aún en el caso lineal, es de interés disponer de métodos que permitan 
computar de manera rápida y eficiente la solución de (5.2.2-2), principalmente en 
problemas de gran magnitud. 
5.2.3 Métodos Numéricos 
 
Los métodos numéricos para el estudio del comportamiento de sistemas 
dinámicos han cobrado fuerza en los últimos años por varias razones. Probablemente la 
más importante, es que puede accederse a computadoras altamente eficientes a un 
costo cada vez más bajo, lo que permite su uso para la resolución de problemas 
altamente complejos. 
 
Una segunda razón, es que los métodos numéricos son en muchos casos la 
única alternativa posible para la resolución de los frecuentes problemas no lineales 
muchas veces intratables analíticamente debido a la gran complejidad que presentan. 
Por otra parte, los problemas lineales continúan creciendo en magnitud,requiriendo un 
mayor esfuerzo para su solución. Discutiremos aquí la solución de los sistemas de 
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO's) o ecuaciones de estado (EE) a través de la 
aplicación de métodos numéricos. 
 
 
Podemos encontrar una solución numérica del sistema EDO o EE (5.2.2-2) para 
un sistema 2x2 en un intervalo dado ≤ ≤a t b considerando los diferenciales: 
 
1 1 2( ( ), ( ), )=dx f x t x t t dt y 2 1 2( ( ), ( ), )=dx f x t x t t dt (5.2.3-1) 
 
 El método de Euler para resolver este problema es fácil de formular: 
Sustituyendo en (5.2.3-1) los diferenciales por incrementos ( )1 11 1,+ += − = −k k kdt t t dx x x k y 
 obtenemos: ( ) 22 1+= − kkdx x x
( ) ( )1 1 1 2 11 1 ( , , ) ++ − ≈k k k k kk − kx x f x x t t t (5.2.3-2) 
( ) ( )2 2 1 2 12 1 ( , , ) ++ − ≈ −k k k k kk kx x f x x t t t 
 
representando la variable continua de tiempo a través de una secuencia de 
puntos discretos . Estos puntos se encuentran usualmente espaciados a 
intervalos iguales . 
t
, 1,2,.......,=kt k n
h
Dividiendo el intervalo en N subintervalos de anchura ( )h b a N= − y usando en 
(5.2.3-2) los puntos como nodos, obtenemos las fórmulas recursivas del 
método de Euler 
1+ = +k kt t h
h
)k
 
1+ = +k kt t 
 ( ) (1 1 21 1 , ,+ = +k k kkx x hf t x x (5.2.3-3) 
 ( ) ( )2 1 22 1 , ,+ = +k k kk kx x hf t x x para 0,1,....... 1k N= − 
 
Para conseguir un grado de precisión razonable para sistemas de ecuaciones 
lineales y no lineales y de mayor dimensión, es necesario utilizar métodos orden mayor 
como los de Runge-Kutta (MATHEWS y KURTIS, 1999). 
5.2.3.1 Método de Runge – Kutta de Cuarto Orden 
 
De las infinitas versiones de los métodos de Runge – Kutta el de cuarto orden es 
el más utilizado. Partiendo de la ecuación general y haciendo n = 4 tenemos: 
 
( ) hkakakakaxx 44332211i1i ⋅⋅+⋅+⋅+⋅+=+ (5.2.3.1-1) 
 
 
 34
Como resultado de un desarrollo algebraico usando la serie de Taylor se llega a 
un número de ecuaciones inferior a la cantidad de incógnitas por lo que deben 
especificarse con antelación los valores de algunas de ellas con el fin de establecer 
todos los parámetros restantes. 
 
La forma de uso más común, de todas las infinitas posibilidades, es la que se 
denomina método de Runge – Kutta clásico de cuarto orden (CHAPRA y CANALE, 
1988). La expresión resultante es: 
 
 
( hkkkkxx 22 
6
1
 4321i1i ⋅+⋅+⋅+⋅+=+ ) (5.2.3.1-2) 
 
 
Donde: ( )
( )hkxhtfk
hkxhtfk
hkxhtfk
xtfk
⋅++=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅+=
=
3ii4
2ii3
1ii2
ii1
,
2
1
,
2
1
2
1
,
2
1
,
 (5.2.3.1-3 a-d) 
 
 
Observe que el método RK de cuarto orden se puede aplicar a sistemas de ecuaciones 
diferenciales de tal manera que (BURDEN R.; J. D. FAIRES. 1998): 
 ( ) 22 
6
 4,,3,2,11 jjjjjj kkkk
h
xx +⋅+⋅+⋅+=+ con nj ,....,2,1= 
 
( )
( )nnjj
n
njj
n
njj
njj
kxkxkxhtfk
k
x
k
xkx
h
tfk
k
x
k
x
k
x
h
tfk
xxxtfk
,32,3213,1,4
,22,2
21,21,3
,12,1
2
1,1
1,2
21,1
,....,,,
2
,....,
2
,
2
1
,
2
2
,....,
2
,
2
,
2
,....,,,
++++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⋅++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++++=
=
 
 
 
 
 
 35
y cuyo algoritmo es: 
 
Para aproximar la solución del sistema de n-ésimo orden de los problemas de valor 
inicial de primer orden (BURDEN R.; J. D. FAIRES. 1998): 
 
 con ( ) ,,,...,,, 21
.
btaxxxtfx njj ≤≤= jj ax α=)( 
 
para en números uniformemente espaciados en el intervalo nj ,.....,2,1= ( 1N + ) [ ]ba, : 
ENTRADA extremos ; número de ecuaciones n; entero ; condiciones iniciales ba, N
nαα ,....,1 . 
SALIDA aproximaciones a en los jw )(tx j ( 1N )+ valores de . t
Paso 1 Tome ; ( ) /h b a N= − at = 
Paso 2 tome nj ,.....,2,1=
Paso 3 SALIDA ).,....,,,( 21 nwwwt
Paso 4 Para haga pasos 5-11. 1,2,.....,i = N
 Paso 5 Para tome nj ,....,2,1=
 ( )njj wwwthfk ,....,,, 21,1 =
 Paso 6 Para tome nj ,....,2,1=
 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++++=
2
,....,
2
,
2
,
2
,12,1
2
1,1
1,2
n
njj
k
w
k
w
k
w
h
thfk 
 Paso 7 Para tome nj ,....,2,1=
 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++++=
2
,....,
2
,
2
,
2
,22,2
2
1,2
1,3
n
njj
k
w
k
w
k
w
h
thfk 
 Paso 8 Para tome nj ,....,2,1=
 ( )nnjj kwkwkwhthfk ,32,321,31,4 ,....,,, ++++= 
 Paso 9 Para tome nj ,....,2,1=
 ( )jjjjjj kkkkww ,4,3,2,11 22
6
1 ++++=+ 
 Paso 10 Tome ihat +=
 Paso 11 SALIDA ).,....,,,( 21 nwwwt
 Paso 12 PARE. 
 
 
 36
5.3 SOLUCIÓN DEL MODELO DINÁMI CO CONSIDERANDO EL AISLADOR DE 
COMPORTAMIENTO LINEAL 
 
5.3.1 Obtención de la ecuación de estado para el modelo matemático edificio más 
aislador. 
 
De las ecuaciones (3.3-6) y (3.3-7) se obtienen las ecuaciones de equilibrio dinámico 
del modelo en el rango lineal: 
 
gb uLyyyqL
..
11
2
11
.
111
....
1 2 −=+++ ωβω (5.3.1 -1) 
gbbbbbb
b
uqqqy
mm
ML ..
2
...
1
..
11 2 −=++++ ωωβ (5.3.1 -2) 
 
Considerando el siguiente cambio de variables: 
 
 ⇒ , bqx =1
.
1
.
bqx = .
1
.
2 bqxx == ⇒ ..
2
.
bqx =
 ⇒ , 13 yx = .
13
.
yx = .
13
.
4 yxx == ⇒ ..
14
.
yx =
 
Realizamos la reducción a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden de 
4 ecuaciones y 4 incógnitas. 
 
21
.
xx = (5.3.1 -3) 
2 21 1 1 1
1 2 1 3 1 1 4. ..
2 2
1 1
2 2
1
b b b
b b
g
b
L M L M
x x x x
m m m m
x u
L M
m m
ω ω β ω ω β− − + ++ += −
− +
 (5.3.1-4) 
43
.
xx = (5.3.1-5) 
b
bbb
mm
ML
xxxLxL
x
+−
−−+=
1
2
1
4113
2
12111
2
4
.
1
22 βωωβωω
 (5.3.1-6) 
 
Cuyas condiciones Iniciales: 
ob aqax α== )()(1 con t 1
.
2 )()( α== aqax b [ ]ba,∈ (5.3.1-7) 
213 )()( α== ayax 3
.
14 )()( α== ayax
 37
Por lo tanto la ecuación de estado en forma matricial: 
 
2
1 1
.
1
1
.
2 21 1 1 1 ..
1 1 12 2
2.
31 1 2
3 1 1
. 4
4
2
1 1 1 1 1
0 1 0 0
0
2 2 11
0
1
0 0 0 1 0
2 2
b
b b b
b b g
b
b
b b b
L M
m mx
x
L M L M
x x
m m m m u
xL M
x L M
m m x
m mx
L L
ω ω β ω ω β
ω ω β ω ω β
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎧ ⎫ +⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ += −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ −⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭+⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 (5.3.1-8) 
 
En definitiva, La ecuación (5.3.1-8) es la ecuación de estado del modelo dinámico 
que representa el comportamiento de un edificio con aisladores sísmicos lineales. La 
solución o respuesta del sistema en el tiempo una entrada a definir, se obtiene 
mediante un algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB en donde se 
aplica el método numérico de Runge-Kutta de cuarto orden. 
 
5.4 SOLUCIÓN DEL MODELO DINÁMIC O CONSIDERANDO EL AISLADOR DE 
COMPORTAMIENTO NO LINEAL 
 
5.4.1 Obtención de la ecuación de estado para el modelo matemático edificio más 
aislador. 
 
Las ecuaciones de equilibrio dinámico del sistema obtenidas de (3.4-4), (3.4-5), 
(3.4-6) son: 
 
.. .. . ..
2
1 1 1 1 11 12 1 gbL q y y y L uω β ω+ + + = − (5.4.1-1) 
( ).. . .. ..
2 2 1 1
12 1b b b b b b b
b
L M
q q q Z y
m m
β ω αω α ω+ + + − + =+ gu− (5.4.1-2) 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +−= −⋅ .
1
...
ZZqZqqAZ
n
b
n
bb γβ (5.4.1-3) 
 
Considerando el siguiente cambio de variables: 
bqx =1 ⇒ , ⇒ 
.
1
.
bqx = .
1
.
2 bqux == ..
2
.
bqx =
13 yx = ⇒ , ⇒ 
.
13
.
yx = .
13
.
4 yxx == ..
14
.
yx =
Zx =5 ⇒ 
.
5
.
Zx =
 38
Realizamos la reducción a un sistema de ecuaciones diferenciales