Estructura de Estrellas Compactas

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Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas
Escuela Profesional de F́ısica
”Solución de la estructura de
estrellas compactas utilizando
correcciones relativistas”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
Licenciado en F́ısica
PRESENTA:
Valderrama Yengle, Edder Cristian
Vega Ubillus, Wilson Leonardo
DIRECTOR DE TESIS:
M.Sc. Rodriguez La barrera, wilson
Lambayeque, Perú Noviembre, 2015
”Solución de la estructura de
estrellas compactas utilizando
correcciones relativistas”
por
Valderrama Yengle, Edder Cristian
Vega Ubillus, Wilson Leonardo
Escuela profesional de F́ısica
Tesis presentada para obtener el grado de
Licenciado en F́ısica
en el
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
Lambayeque, Perú. Noviembre, 2015
No temas, porque yo estoy contigo
no desmayes, porque yo soy tu Dios que te esfuerzo
siempre te ayudaré, siempre te sustentaré
con la diestra de mi justicia.
Isáıas 41:10
Agradecimientos
Agradecemos en primer lugar a Dios por sus bendiciones y su gúıa la cual
nos permitió culminar nuestra carrera profesional.
A nuestros padres por todo el esfuerzo que hacen por darnos una profesión y hacer
de nosotros personas de bien, por sus sacrificios y paciencia durante todos estos años;
gracias a ustedes hemos llegado donde estamos.
A nuestros hermanos que con su ejemplo y cariños nos han enseñado a seguir nuestros
objetivos a pesar de cualquier dificultad.
A todas las personas que con sus palabras de ánimo nos apoyaron y nos dieron fuerza
para seguir adelante sin desmayar.
Agradecemos de manera especial a la Dra. Beatriz Barbuy del IAG USP quien con
su conocimiento y apoyo se pudo desarrollar este trabajo de tesis, al M.Sc Wilson
La Barrera Rodriguez quien confió en nosotros y accedió ser nuestro asesor de tesis.
A todos y cada uno de los mentores de nuestra escuela de F́ısica, que d́ıa a d́ıa nos
brindaron sus conocimientos y dieron lo mejor para formar grandes profesionales
capaces de afrontar los retos, presiones y dificultades que la vida presenta.
”Gracias por las sabias enseñanzas que nos dieron”
Cristian y Leonardo
iv
Índice general
Agradecimiento IV
Prólogo XI
Resumen XI
abstract XIV
I INTRODUCCIÓN 1
1. Introducción 2
1.1. Planteamiento y formulación del problema . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Objetivo de la Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Objetivo Espećıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Justificación e importancia de la Investigación . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Hipótesis de la Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Definición de términos y conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
v
II Marco Teórico 9
2. Marco Teórico 10
2.1. Antecedentes de la Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Base Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1. Evolución Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2. Enanas Blancas y Estrella de Neutrones . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3. Ecuaciones de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4. Ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.5. Presión de degeneración electrónica . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.6. Ĺımite de Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.7. Estrella de Neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.8. Degeneración Neutrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.9. Correcciones Relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.10. Ĺımite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff . . . . . . . . . . . . . 30
III Materiales y Métodos 33
3. Materiales 34
3.1. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Metodoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
IV Análisis y Resultados 36
4. Análisis y Resultados 37
vi
4.1. Solución de las ecuaciones de TOV con densidad constante . . . . . . 37
4.2. El radio de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3. Soluciones Numéricas para Estrellas Enanas Blancas . . . . . . . . . 42
4.4. Estructura de las Ecuaciones Adimensionales . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5. Integración Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6.1. Caso relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6.2. El caso no relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7. Resultados de la Integración Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.8. Soluciones Numéricas para Estrellas de Neutrones . . . . . . . . . . . 50
4.8.1. Interpretación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.9. Estructura Adimensional de las Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.10. Condiciones Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.10.1. El caso no Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.10.2. El Caso Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.11. Resultados Numéricos para estrellas de neutrones . . . . . . . . . . . 54
4.12. Pulsares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.13. Magnetares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
V Conclusiones y Sugerencias 62
5. Conclusiones y Sugerencias 63
A. Derivación de las ecuaciones de TOV 67
vii
B. Śımbolos y Definiciones 74
C. Programas hechos en Fortran 90 75
viii
Índice de figuras
2-1. Representa el nacimiento de una estrella desde una nube de gas y polvo
hasta el final de su vida que bien puede ser una enana blanca, estrellas de
neutrones o un agujero negro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2-2. La nebulosa del Cangrejo (también conocida como M1, NGC 1952,
Taurus A y Taurus X-1) es un resto de supernova de tipo plerión. Fue
observada por primera vez en el año 1054 (SN 1054), por astrónomos
chinos y árabes. La nebulosa fue observada en el año 1731 por John
Bevis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2-3. Relación masa radio de una enana blanca en ambos casos relativista y
no relativista. Como podemos observar la enana blanca en el caso no
relativista es siempre estable y no puede colapsar, mientras en el caso
relativista una enana blanca no puede existir por encima del ĺımite de
Chandrasekhar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2-4. Comparación entre una Enana Blanca y la tierra . . . . . . . . . . . . 16
2-5. Diagramas para la derivación de las ecuaciones de estructura Newto-
nianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ix
4-1. Presión de una estrella de neutrones de densidad constante como fun-
ción del radio, ecuación (4-16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4-2. Comparación entre el caso relativista (curva continua) y el caso rela-
tivista (curva punteada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4-3. Gráfica que muestra la presión adimensional como función del radio
de una enana blanca politropa para un gas de electrones relativista de
Fermi con una presión central p(0) = 10−16. . . . . . . . . . . . . . . 48
4-4. Gráfica que muestra la masa (en M�) como función del radio de una
enana blanca politropa para un gas de electrones relativista de Fermi
con una presión central p(0) = 10−16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4-5. Presión adimensional como función del radio para una enana blanca
politropa para un gas de electrones no relativista de Fermi con p(0) =
10−15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 49
4-6. Masa adimensional como función del radio para una enana blanca
politropa para un gas de electrones no relativista de Fermi con p(0) =
10−15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4-7. Gráfica que muestra la masa (M�) como función del radio de una
estrella de neutrones politropa para una gas de electrones relativistas
de Fermi, y una presión central p(0) = 10−5. . . . . . . . . . . . . . . 55
4-8. Gráfica que muestra la presión adimensional como función del radio
de una estrella de neutrones politropa para una gas de electrones re-
lativista de Fermi, y una presión p(0) = 10−14. . . . . . . . . . . . . . 55
4-9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
x
Índice de cuadros
4-1. Radio en km y Masa en M� para una enana blanca con un gas de
Fermi relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4-2. Radio en km y Masa en M� para una enana blanca con un gas de
Fermi no relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4-3. Radio en km y Masa en M� para una estrella de neutrones con un gas
de Fermi no relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
xi
”Solución de la estructura de
estrellas compactas utilizando
correcciones relativistas”
por
Valderrama Yengle, Edder Cristian
Vega Ubillus, Wilson Leonardo
Resumen
Las estrellas se forman en nubes de gas y polvo con una distribución no
uniforme de materia. Las estrellas compactas, como las enanas blancas y estrellas de
neutrones, están más allá de la fase de tener procesos de fusión en su interior.
La presión que resiste la contracción gravitatoria viene del principio de exclusión de
Pauli.
Debido a esto, podemos usar las ecuaciones de estado del gas de Fermi para
electrones y neutrones para las enanas blancas y estrellas de neutrones, respectiva-
mente.
Las estrellas compactas pueden ser aproximadas a una temperatura T = 0. En reali-
dad no es cero, pero es una buena aproximación, porque la enerǵıa del nivel de
enerǵıa más alto ocupado es de una magnitud mucho mayor que la enerǵıa térmi-
ca. De ah́ı que los fermiones están en el estado fundamental del sistema de muchas
part́ıculas. La densidad es entonces de la forma ρ = f(p), donde f(p) es una función
arbitraria de la presión. usamos 2 modelos diferentes:
ρ es una constante
ρ es un politropo
Una propiedad definida de estrellas compactas es su gran densidad. Las enanas blan-
cas tienen densidades del orden de ρ ∼ 1010kg/m3 mientras que las estrellas de
neutrones tienen ρ ∼ 1018kg/m3. La densidad de estrellas de neutrones demandan
el uso de la relatividad general. Debido a esto calculamos el radio y la masa usando
las ecuaciones de TOV las cuales incorporan la relatividad general.
Las medidas realizadas por la sonda Wilkinson Microwave Anisotropy Probe indica
que el universo consiste aproximadamente del 4 % de materia ordinaria, 23 % de ma-
teria oscura y el 73 % de enerǵıa oscura. La teoŕıa principal para la enerǵıa oscura
xii
es una constante cosmológica, una densidad de vaćıo homogénea en todo el univer-
so. Esta teoŕıa se puede incorporar a las ecuaciones de TOV. Hemos resuelto esta
forma de las ecuaciones de TOV tanto anaĺıtica (ρ constante) y numéricamente (ρ
politrópico).
xiii
”Solución de la estructura de
estrellas compactas utilizando
correcciones relativistas”
by
Valderrama Yengle, Edder Cristian
Vega Ubillus, Wilson Leonardo
Abstract
Stars are formed in gas and dust clouds with a non-uniform matter distribu-
tion. The compact stars, such as white dwarfs and neutron stars, are past the phase
of having fusion processes in their interior.
The pressure withstanding gravitational contraction comes from the Pauli exclusion
principle. Due to the high density, the electrons or neutrons are so tightly packed
that the degeneracy energy, a consequence of the fact that two fermions cannot be
in the same single-particle state, is the dominating term. Because of this, we can use
the Fermi gas equation of state for elec- trons and neutrons for white dwarfs and
neutron stars respectively.
The compact stars can be approximated by having a temperature T = 0. It isn’t
actually zero, but it is a good approximation, because the energy of the highest
occupied energy level is of a much larger magnitude than the thermal energy. Hence
the fermions are in the ground state of the many- particle system. The density is
then on the form ρ = f(p), where f(p) is an arbitrary function of the pressure. We
have used 2 different models:
ρ is a constant
ρ is a polytropic
A defining property of compact stars is their large densities. White dwarfs
have densities of the order ρ ∼ 1010kg/m3 , whereas neutron stars have ρ ∼ 1018kg/m3, i.e.
nuclear densities. The densities for neutron stars demand the use of general relativity.
Due to this, we have calculated radii and masses using the TOV-equations which in-
corporates general relativity.
Measurements conducted by the Wilkinson Microwave Anisotropy Probe
indicate that the universe consists of approximately 4 % ordinary matter, 23 % dark
xiv
matter and 73 % dark energy. The leading theory for the dark energy is a cosmological
constant, a homogenous vacuum density throughout the universe. This theory can
be incorporated into the TOV-equations. We have solved this form of the TOV-
equations both analytically (ρ is constant) and numerically (ρ is polytropic).
xv
Parte I
INTRODUCCIÓN
1
Caṕıtulo 1
Introducción
Las enanas blancas, estrellas de neutrones son los remanentes de estrellas
que han llegado al final de su vida activa. Una estrella nace cuando una nube de
gas intermolecular se contrae y forma una esfera en la cual en su centro tiene una
temperatura y una presión muy alta lo que permite que la estrella fusione hidrógeno.
La estrella permanece en esta fase la mayor parte de su vida activa y solo en el último
diez por ciento de su vida activa sus condiciones cambian drásticamente. Cuando el
hidrógeno en el centro se termina, la producción de enerǵıa por fusión de hidrógeno
termina, causando que el equilibrio térmico de la estrella se perturbe, y el núcleo
de la estrella se contraiga, Esto causa que la temperatura y la presión en el núcleo
aumente hasta que se vuelva lo suficientemente alta para la fusión de helio inicie y
alcanza un nuevo equilibrio térmico. Mientras tanto se forma una capa de combus-
tión de hidrógeno alrededor del núcleo y la capa externa de la estrella se expande a
dimensiones gigantescas. Después que el combustible helio en el núcleo se termine,
los procesos se repiten y durante los estados subsecuentes elementos más pesados y
2
más pesados se fusionan hasta que se forma un núcleo de hierro que ya no es capaz
de producir enerǵıa por fusión.
En 1930, Tolman, Opppeheiner y Volkoff, fueron los primeros en resolver
las ecuaciones de campo de Einstein para estrellas relativistas, estática, y esferica-
mente simétricas. Tomando como antecedente este resultado, la ecuación de Tolman-
Oppeheiner-Volkoff, y empleando una ecuación de estado apropiada, es posible cal-
cular numéricamente la presión dentro de una estrellas compacta como una función
de su radio, con la ecuación de estado otras cantidades como la densidad de enerǵıa
y la densidad numérica pueden ser obtenidas. Por otra parte, conociendo la presión
en función del radio nos permite encontrar el radio de la estrella e incluso su masa.
Dentro de la estrella la presión tiene que ser positiva para soportar la materia y no
colapsar hacia su centro, sin embargo la presión en la superficie tiene que ser cero,
si no fuera cero la estrella se expandiŕıa. Utilizando esta condición, el radio se puede
obtener de la solución de la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff. En consecuen-
cia, la masa es un subproducto de los cálculos anteriores. Si uno realiza estos cálculos
para varios parámetros,se encuentra que hay un ĺımite de masa. Este ĺımite de masa
depende fuertemente de las ecuaciones de estado (EoS) utilizadas, para este trabajo
utilizamos ecuaciones de estado politrópicas ya que son las que mejor se ajustan para
nuestros propósitos. El modelo es similar a un gas ideal degenerado de Fermi. Este
trabajo tiene como objetivo solucionar las ecuaciones de Tolman-Oppeheiner-Volkoff
utilizando la ecuación de estado pilotrópica y agregando las correcciones relativistas
para luego contrastar dichos resultados numéricos con resultados teóricos. Esté tra-
3
bajo comienza con un breve estudio de la evolución estelar, en el caṕıtulo de análisis
y resultados se da solución a las ecuaciones de estructura tanto para enanas blancas
y estrellas de neutrones utilizando las respectivas correcciones relativistas que son
importantes para cuerpos supermasivos.
1.1. Planteamiento y formulación del problema
Las estrellas compactas-sean estrellas de neutrones o enanas blancas son las
cenizas de las estrellas normales. Una u otra es el destino reservado para los núcleos
de las estrellas normales después de una larga vida de millones a billones de años.
Después de formados, esos exóticos objetos permanecen prácticamente inmutables.
Las estrellas de neutrones son las menores y las más densas (M ∼ 1, 5M�
y R ∼ 10km) estrellas conocidas y están asociadas a dos grandes clases de objetos
astrof́ısicos identificadas:
Pulsares: estrellas que giran rápidamente (nebulosa del Cangrejo y Vela).
Fuentes compactas de rayos X: estrellas de neutrones en una órbita cerrada en
un sistema binario como una estrella común.
Muchos elementos son necesarios para describir esas estrellas.
En primer lugar, la Relatividad general (RG) es absolutamente adecuada para la des-
cripción macroscópica de esos objetos y de esa teoŕıa, es posible deducir la ecuación
de equilibrio hidrostático (estructura) para ellos, las ecuaciones de TOV (Tolman-
Oppenheimer-Volkoff). Esas ecuaciones son las análogas relativistas de las ecuaciones
de estructura de las estrellas comunes, descrita en el contesto de f́ısica Newtoniana.
4
Por otro lado, de qué esta hecha una estrella de Neutrones? Cuáles son
los tipos de part́ıculas y interacciones existentes en su interior? Existen muchas
posibilidades y ese es un grande desaf́ıo para las teoŕıa de campo relativista.
Aunque sea posible obtener grande volumen de información acerca de la
estructura de las estrellas compactas e de la ecuación de estado en cuanto a su
nacimiento, y de su dinámica en estados posteriores, aqúı se estudia un aspecto más
teórico relacionado con la estructura estática en el esquema de la teoŕıa gravitación
de Einstein.
1.2. Objetivo de la Investigación
1.2.1. Objetivo General
Solucionar las ecuaciones de estructura de estrellas compactas, utilizando
correcciones relativistas.
1.2.2. Objetivo Espećıfico
Solucionar las ecuaciones de estructura de forma anaĺıtica para una densidad
constante.
Desarrollar un programa en fortran que permita solucionar de forma numérica
las ecuaciones de estructura.
Analizar y comprar los resultados obtenido anaĺıticamente y numéricamente.
5
1.3. Justificación e importancia de la Investiga-
ción
Las estrellas compactas son objetos astrof́ısicos fascinantes, dentro de los
muchos motivos para estudiarlos se destaca que son los objetos cuya materia está en
su estado más denso en la naturaleza, siendo, por eso, el mejor laboratorio para la
f́ısica de part́ıculas en el universo, actualmente es imposible alcanzar tales densidades
y temperaturas en laboratorio, se cree que todos los elementos qúımicos se forman en
los progenitores de estrellas compactas, después expulsados por las nebulosas plane-
tarias y explosiones de supernovas. Además de eso, en el propio proceso de explosión
de supernova, hay nucleośıntesis adicional, y también la teoŕıa actual dice que es
posible que haya, en el interior de esas estrellas, tipos exóticos o más fundamentales
de materia que conocemos. Es un gran desaf́ıo para las teoŕıas f́ısicas el estudio de
esos objetos. Hay muchas esperanzas en conocer mejor los constituyentes del átomo.
O mejor de la materia misma, independiente en el estado en que se encuentra.
1.4. Hipótesis de la Investigación
Solucionando las ecuaciones de estructura Newtoniana para el caso de enanas
blancas y las ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para estrellas de neutrones
y utilizando las ecuaciones de estado politropicas, se podrá obtener los parámetros
macroscópicos de las estrellas compactas (masa, radio, presión).
6
1.5. Definición de términos y conceptos
Proceso triple-alfa: El proceso triple alfa es el proceso por el cual tres
núcleos de helio (part́ıculas alfa) se transforman en un núcleo de carbono.
Esta reacción nuclear de fusión sólo ocurre a velocidades apreciables a tempe-
raturas por encima de 100 000 000 kelvin y en núcleos estelares con una gran
abundancia de helio. Por tanto, este proceso sólo es posible en las estrellas más
viejas, donde el helio producido por las cadenas protón-protón y el ciclo CNO
se ha acumulado en el núcleo. Cuando todo el hidrógeno presente se ha con-
sumido, el núcleo se colapsa hasta que se alcanzan las temperaturas necesarias
para iniciar la fusión de helio.
Degeneración electrónica Estado de degeneración que tiene lugar cuando la
densidad de la materia es tan grande, que los electrones no pueden empaque-
tarse más. La degeneración electrónica es la que mantiene a las enanas blancas
en contra del colapso.
Estrellas compactas: En astronomı́a, el término estrella compacta se utiliza
para referirse colectivamente a las enanas blancas, estrellas de neutrones, otras
exóticas estrellas densas, y los agujeros negros. Las estrellas son más compactas
en el punto final de la evolución estelar y por lo tanto se denominan restos este-
lares; la forma del remanente depende principalmente de la masa de la estrella
cuando se formó. Estos objetos son todos pequeños para su masa. El término
estrella compacta se utiliza a menudo cuando no se conoce la naturaleza exac-
ta de la estrella, pero la evidencia sugiere que es muy masiva y tiene un radio
7
pequeño, lo que implica una de las posibilidades mencionadas anteriormente.
Supernova: Una supernova (del lat́ın nova, ((nueva))) es una explosión estelar
que puede manifestarse de forma muy notable, incluso a simple vista, en lugares
de la esfera celeste donde antes no se hab́ıa detectado nada en particular. Por
esta razón, a eventos de esta naturaleza se los llamó inicialmente stellae novae
(estrellas nuevas) o simplemente novae. Con el tiempo se hizo la distinción
entre fenómenos aparentemente similares pero de luminosidad intŕınseca muy
diferente; los menos luminosos continuaron llamándose novae (novas), en tanto
que a los más luminosos se les agregó el prefijo ”super”.
Nebulosa Planetaria: Una nebulosa planetaria es creada cuando una estrella
expele sus capas más externas después de que se le ha acabado el combustible
que hab́ıa estado quemando. Estas capas más externas de gas se expanden
hacia el espacio, formando una nebulosa que tiene frecuentemente la forma
de un anillo o burbuja. Aproximadamente hace 200 años, William Herschel
llamó a estas nubes esféricas nebulosas planetarias porque eran redondas como
los planetas. En el centro de una nebulosa planetaria, puede aún ser visto el
remanente brillante de la estrella de la cual la nebulosa se formó.
8
Parte II
Marco Teórico
9
Caṕıtulo 2
Marco Teórico
2.1. Antecedentes de la Investigación
Subrahmanyan Chandrasekhar, Fue un f́ısico teórico, astrof́ısico y ma-
temático indio, En 1930, Chandrasekhar ingresó en el Trinity College de la Univer-
sidad de Cambridge, Inglaterra. Por aquel entonces leyó uno de los libros de Arthur
Eddington, The Internal Constitution of Stars, que le influyóprofundamente. En
dicho libro, Eddington sosteńıa que las estrellas acababan sus vidas transformadas
en objetos pequeños del tamaño de la Tierra y conocidos como enanas blancas, tras
agotar sus fuentes de enerǵıa. Chandrasekhar incluyó en sus cálculos efectos de tipo
cuántico y relativistas, concluyendo que tan sólo las estrellas de baja masa pod́ıan
terminar sus vidas tal y como Eddington hab́ıa planteado. Sus cálculos más elabora-
dos mostraban que para estrellas de masa superior a 1,4 la masa de nuestro propio
Sol, estas, en ausencia de una fuente interna de calor, se colapsaŕıan por debajo del
tamaño terrestre. Este ĺımite se conoce como ĺımite de Chandrasekhar. Sus descu-
10
brimientos apuntaban a la formación de estrellas de neutrones y agujeros negros.
Tolman-Oppenheimer-Volkoff, El ĺımite fue calculado por Julius Robert
Oppenheimer y George Michael Volkoff en 1939, usando trabajo anterior de Richard
Chace Tolman. Oppenheimer y Volkoff adoptaron que los neutrones en una estrella
de neutrones formaba un gas de Fermi degenerado fŕıo. Esto lleva a una masa ĺımite
de aproximadamente 0.7 veces la masa solar.1 2 Estimaciones modernas predicen
una masa ĺımite de entre 1.5 a 3.0 masas solares. La incertidumbre en los valores
refleja el hecho de que las ecuaciones de estado para materia extremadamente densa
no son bien conocidas.
En 1967 Joselyn Bell, Una estudiante de graduación, junto con su asesor
de tesis, Anthony Hewish, descubrieron el primer pulsar, un objeto en el espacio
exterior que emite pulsos muy regulares de enerǵıa de radio.
Esta forma de radiación muy particular se le atribuyó a una forma de vida inteligen-
te. Luego se aceptó que el púlsar era debido a la emisión de radio de una estrella de
neutrones que gira rápidamente dotado de un campo magnético muy fuerte. En la
actualidad han sido catalogado mas de 1000 púlsares, son por śı mismos bastantes
interesantes, pero tal vez más es la estructura de la estrella subyacente.
Irina Sagert, Desarrollaron un trabajo de licenciatura en donde su obje-
tivo principal fue establecer las ecuaciones de estado para una enana blanca y una
estrella de neutrones calculando la relación masa radio para una masa máxima co-
11
rrespondiente.
2.2. Base Teórica
2.2.1. Evolución Estelar
La evolución estelar es el proceso por el cual una estrella cambia durante su
tiempo de vida.
Dependiendo de la masa de la estrella, este rango es de unos pocos millones de años
para las más masivas a trillones de años para las menos masivas.
La teoŕıa sobre formación estelar establece que las estrellas se forman a partir de
nubes de gas en el espacio donde la densidad de materia es ligeramente más alta
que en sus alrededores. La atracción gravitacional en estas formaciones de nubes
desiguales causan que la materia se junte en esferas. Si estas esferas consisten en
una cantidad suficientemente grande de materia, esto hace posible que la atracción
gravitacional libere enerǵıa suficiente, de forma que la temperatura se incremente y,
de esa manera, comience el proceso de fusión en sus núcleos. La fusión del hidrógeno
en helio en la cadena protón-protón conduce a que la enerǵıa sea liberada. Después
la concentración de helio se vuelve tan grande que interfiere con esta cadena, la fu-
sión cesa, y la estrella pierde en su exterior la presión causada por la radiación de la
fusión.
La estrella empieza a colapsar, la enerǵıa gravitacional se libera, y su tamaño au-
menta. La estrella ahora es una gigante roja. Este proceso de formación se ilustra en
(Figura 2-1).
12
Figura 2-1: Representa el nacimiento de una estrella desde una nube de gas y polvo hasta
el final de su vida que bien puede ser una enana blanca, estrellas de neutrones o un agujero
negro.
La combustión del hidrógeno es seguida por la fusión de núcleos más pesados,
es decir, el proceso triple-alfa donde el ox́ıgeno se produce. Para las estrellas con
masa pequeña, la inestabilidad producida por el proceso triple-alfa enfriará las capas
externas de la estrella, y se producirá la enerǵıa cinética suficiente para ser expulsadas
como nebulosas planetarias. El remanente es una enana blanca (ver Figura 2-2), que
es un núcleo denso principalmente a base de electrones, protones y neutrones. Los
neutrones y los protones están ligados principalmente en los núcleos de carbono,
nitrógeno y ox́ıgeno, formando una estructura de red con una nube de electrones
alrededor del núcleo. Veamos algunas caracteŕısticas de estos objetos.
13
Figura 2-2: La nebulosa del Cangrejo (también conocida como M1, NGC 1952, Taurus
A y Taurus X-1) es un resto de supernova de tipo plerión. Fue observada por primera
vez en el año 1054 (SN 1054), por astrónomos chinos y árabes. La nebulosa fue
observada en el año 1731 por John Bevis.
2.2.2. Enanas Blancas y Estrella de Neutrones
El estudio de las enanas blancas se inició en 1850 con el descubrimiento
de la estrellas secundaria de Sirius, llamada Sirius B. Se observó ser una estrella
10000 veces menos luminosa que Sirius A, con una masa de 0.98 masas solares.
Su Temperatura, siendo del orden de 10,000K, su radio debeŕıa ser extremadamente
pequeño. Como estrellas con esa temperatura externa son blancas, ese tipo de estrella
pasó a ser llamada estrella enana blanca. Las enanas blancas son, por tanto, de masa
comparable a la del sol, cuyo tamaño apenas ligeramente mayor que el de la tierra. La
figura (2-4) muestra el tamaño de la enana blanca 40 Eridanus B con el de la tierra.
Luego se constató que el material en el interior de una blanca era muy denso para
comportarse como un gas ideal. En vez de eso, el gas estaba degenerado. En estrellas
14
normales, un aumento de masa llevaŕıa al aumento de su tamaño, aumentando por
tanto su diámetro. Para enanas blancas es todo lo contrario las de masa mayor tienen
radios menores. por tanto, hay un ĺımite superior para la masa de una enana blanca,
para el cual su radio tiende a cero. Este ĺımite es llamado ĺımite de Chandrasekhar,
en honor al astrof́ısico Indu Subrahmanyan Chandrasekhar en la figura (2-5) vemos
la relación masa radio de las enanas blancas.
Figura 2-3: Relación masa radio de una enana blanca en ambos casos relativista y
no relativista. Como podemos observar la enana blanca en el caso no relativista es
siempre estable y no puede colapsar, mientras en el caso relativista una enana blanca
no puede existir por encima del ĺımite de Chandrasekhar.
Esa relación masa-radio de una enana blanca implica que hay un ĺımite
máximo para la masa de una estrella de este tipo. Las enanas blancas son bastantes
comunes, siendo encontradas en sistemas binarios y en aglomerados. Como son restos
de generaciones de estrellas formados en el pasado, su número crece dentro de la
galaxia a medida en que pasa el tiempo. Por ser muy poco luminosas, es muy dif́ıcil
detectarlas excepto para las más próximas.
15
Una enana blanca es una estrella que ya agotó su combustible nuclear. No posee, por
tanto una fuente de enerǵıa nuclear que la mantenga luminosa por mucho tiempo.
Figura 2-4: Comparación entre una Enana Blanca y la tierra
2.2.3. Ecuaciones de estructura
Existen dos fuerzas sobre una estrella, una de ellas es la gravitación y la
segunda surge de la presión (presión térmica para estrellas normales y presión de
degeneración para estrellas enanas blancas y estrellas de neutrones). La condición de
equilibrio es que estas fuerzas estén en equilibrio.
Figura 2-5: Diagramas para la derivación de las ecuaciones de estructura Newtonianas
16
Consideremos un elemento de volumen ciĺındrico a la distancia r desde el
centro de la estrella figura (2-5). Su volumen es dV = dAdr, donde dA es su área
base y dr es su altura; su masa es dm = ρdAdr, donde ρ = ρ(r) es la densidad de
masa en el radio r. Si la masa dentro del radio r es M(r), la fuerza gravitacionalsobre el elemento de volumen será:
dFg = −Gdm.M(r)
r2
= −GM(r)ρ(r)
r2
dAdr (2-1)
donde G es la constante gravitacional. El signo menos en esta expresión significa que
la fuerza está dirigida hacia el centro de la estrella, Si la presión en la superficie más
baja del elemento de volumen es P y en su superficie superior P +dP , la fuerza neta
de la presión actuando sobre el elemento es:
dFp = PdA− (P + dP )dA (2-2)
dFp = −dPdA (2-3)
Debido que la presión disminuye hacia afuera, dP será negativo y la fuerza dFp
positiva. La condición de equilibrio establece que la fuerza total que actúa sobre el
elemento de volumen debe ser cero, entonces:
dFg + dFp = 0
−GM(r)ρ(r)
r2
dAdr − dPdA = 0
17
ó
dP (r)
dr
= −Gρ(r)M(r)
r2
(2-4)
Esta es la ecuación de equilibrio hidrostático.
Ahora, veamos cual es la masa dentro de un radio dado. Consideremos un cascarón
esférico de espesor dr a una distancia r desde el centro (fig 2-5). Su masa es.
dM(r) = ρ(r)4πr2dr (2-5)
proporcionándonos la ecuación de continuidad de la masa
dM(r)
dr
= ρ(r)4πr2 (2-6)
La densidad de masa se puede escribir en términos de la densidad de enerǵıa ε, aśı:
4πr2dP (r) = −GM(r)dM(r)
r2
(2-7)
dM(r) =
4πr2ε(r)
c2
dr (2-8)
Ambas expresiones muestran la ecuación de estructura básica para una estrella en
general.
Se tiene que resolver las dos ecuaciones diferenciales acopladas. Notar que mien-
tras dm/dr es positivo, dp/dr siempre es negativo. Empezando con ciertos valores
positivos para m y p en una pequeña región central de la estrella, la masa incremen-
tará mientras la presión decrecerá eventualmente llegando a cero. Si proponemos
m(r = 0) = 0 y, además hay que especificar alguna presión inicial p(r = 0) = p0
18
con el fin de resolver las ecuaciones (2-8) y (2-6). El comportamiento de m y p como
función del radio será importante para nuestros cálculos numéricos.
2.2.4. Ecuaciones de estado
La ecuación de estado es la manera por la cual las propiedades de la materia
densa entran en la ecuaciones de estructura estelar. por tanto, es la ecuación de estado
que relaciona la microf́ısica de los constituyentes de esas estrellas con la macrof́ısica
relativistas de ellas.
La distribución de fermiones como un gas ideal en equilibrio en dependencia de su
enerǵıa es descrito por la estad́ıstica de Fermi-Dirac:
f(E) =
1
exp[(E − µ)/kBT ] + 1
(2-9)
Donde E es la enerǵıa, µ es el potencial qúımico, kB es la constante de Boltzmann
y T es la temperatura. En teoŕıa cinética, encontramos la siguiente correlación entre
la función de distribución f y la densidad numérica ni = dNi/dV en espacio de fase
para una cierta especie de part́ıcula i:
dni
d3k
=
g
(2π~)3
f (2-10)
Donde (2π~)3 es el volumen unidad de una celda en el espacio de fase y g es el número
de estados para una part́ıcula con un valor dado de momentum k. Para electrones,
19
g es igual 2. La densidad numérica para la especie i es dada por:
∫
dni =
∫
g
(2π~)3
fd3k (2-11)
Para fermiones degenerados, la temperatura puede ajustarse a cero (µ−mec
2 � kBT
y en consecuencia µ/kBT tiende al infinito. Para ser añadido al sistema, una part́ıcula
debe tener una enerǵıa igual a la enerǵıa de Fermi del sistema como todos los otros
niveles de enerǵıa ya están llenos. Esta descripción coincide exactamente con la
definición del potencial qúımico, por lo que puede establecer aqúı µ = Ef . Con todas
estas asunciones, podemos escribir la función de distribución como:
f(E) =

1 para E 6 Ef
0 para E > Ef
(2-12)
Si ignoramos todas las interacciones electrostática, podemos escribir para la densidad
numérica del gas de electrones degenerados:
ne =
∫ Kf
0
2
(2π~)3
d3k =
8π
(2π~)3
∫ kf
0
k2dk =
K3
F
3π2~3
(2-13)
Como la estrella está eléctricamente neutra, cada electrón está neutralizado por un
protón, si asumimos que una enana blanca está predominantemente constituida de
12C o 16O entonces A/Z = 2. la masa del protón y el neutrón son mayores que
la masa del electrón, cuando calculamos la densidad de masa en la enana blanca
podemos despreciar la masa de los electrones y solo nos concentraremos en la masa
20
de los nucleones mN . la densidad de masa en términos de mn es:
ρ = n.mN .
A
Z
(2-14)
Donde n = ne. Con está ecuación y la dependencia de la densidad numérica de kf ,
encontramos:
kF = ~(
3π2ρ
mN
Z
A
)1/3 (2-15)
Como el momento de los nucleones es despreciable comparado a su masa residual, los
nucleones no dan una contribución significante a la presión a temperatura cero. Por
otro lado, los electrones se comportan como una gas degenerado y tienen grandes
velocidades lo cual da la contribución dominante a la presión. La densidad de enerǵıa
puede ser dividida en dos componentes, un término viene de los nucleones y el otro
viene de los electrones, mientras tanto la contribución de nucleones es dominante.
La densidad de enerǵıa completa puede ser como:
ε = nmN
A
Z
c2 + εelec(kF ) (2-16)
Donde εele(kF ) es la densidad de enerǵıa de electrones, con la enerǵıa del electrón
E(k) =
√
k2c2 +m2
ec
4 (2-17)
21
Podemos escribir εele en la siguiente forma:
εele(kF ) =
8π
(2π~)3
∫ kF
0
E(k)k2dk
=
8π
(2π~)3
∫ kF
0
(k2c2 +m2
ec
4)1/2k2dk
= ε0
∫ kF /meC
0
(u2 + 1)1/2u2du
=
ε0
8
[(2x3 + x)(1 + x2)1/2− sinh−1(x)]
(2-18)
Con:
ε0 =
m4
ec
5
π2~3
(2-19)
y
x = kF/mec (2-20)
El factor ε0 tiene la dimensión de densidad de enerǵıa (dina.cm−2). La presión de un
sistema con una distribución isotrópica de momento es dada por:
p =
1
3
8π
(2π~)3
∫ kF
0
kvk2dk (2-21)
Donde la velocidad v = kv2/E y el factor 1/3 viene de la isotroṕıa, para electrones
tenemos:
p(kF ) =
1
3
8π
(2π~)3
∫ kF
0
k2c2
E(k)
k2dk
=
ε0
24
[(2x3 − 3x)(1 + x2)1/2 + 3sinh−1(x)]
(2-22)
La densidad de enerǵıa es dominada por la densidad de masa de nucleones mientras
los electrones contribuyen mas a la presión.
22
Queremos llegar a una ecuación de la forma p = p(ε). Consideremos dos casos extre-
mos: x� 1 y x� 1, kF � mec y kF � mec, respectivamente. En el primer caso, la
enerǵıa cinética es mucho mas pequeña que la masa residual de los electrones que es
el caso no relativista. Considerando la ecuación para la presión para kF � mec, se
encuentra que
p(kF ) =
ε0
3
∫ kF /mec
0
(u2 + 1)−1/2u4du
≈ ε0
3
∫ kF /mec
0
u4du =
~2
15π2me
(
3π2ρZ
mNA
)5/3
(2-23)
Donde ε = ρ.c2, se llega a la siguiente ecuación de estado (EoS) en el ĺımite no
relativista:
p ≈ Kno−relε
5/3 (2-24)
Para el caso relativista (kF � me, obtenemos.
p(ε) ≈ Krelε
4/3 (2-25)
La relación es de la forma:
p = Kεγ (2-26)
Es llamada ecuación de estado de un poĺıtropo. Con las dos EoS para el caso relati-
vista y para el caso no relativista.
23
2.2.5. Presión de degeneración electrónica
Para estimar la presión de degeneración electrónica combinamos dos ideas
fundamentales de la mecánica cuántica:
El principio de exclusión de Pauli, establece que no puede haber dos fermiones
con todos sus números cuánticos idénticos dentro del mismo estado cuántico.
Principio de incertidumbre de Heisemberg en la forma de ∆x∆px ≈ ~
Cuando hacemos la suposición poco realista de que todos los electrones tienen la
misma cantidad de movimiento p:
P ≈ 1
3
nepv (2-27)
En un gas de electrones completamente degenerado, los electrones se empaquetan
tan firmemente como sea posible, y para una densidad numérica uniforme ne, la
separación entre los electrones vecinos es cerca de n
− 1
3
e . mientras tanto, para satisfacer
el principio de exclusión de Pauli, la incertidumbre en su posición no puede ser tan
grande que su separación f́ısica. Dado ∆x ≈ n
− 1
3
e para el caso ĺımite de degeneración
completa, podemos usar la relación de incertidumbre de Heisemberg para estimar el
momentum de un electrón en la dirección en el eje x:
px ≈ ∆px ≈
~
∆x
≈ ~n
1
3
e (2-28)
Mientras tanto, en un gas tridimensional cada direcciónes igualmente probable,
implica que: < px >
2=< py >
2=< pz >
2, el cual es sólo una representación de la
24
equipartición de la enerǵıa entre todas las direcciones de coordenadas.
tenemos que el número de electrones por unidad de volumen:
ne = (
Z
A
)
ρ
mH
(2-29)
donde Z y A son el número de protones y nucleones respectivamente en el núcleo de
la enana blanca, y mH es la masa de un átomo de hidrógeno.
Combinando las ecuaciones 2-28 y 2-29 obtenemos:
p ≈
√
3~[(
Z
A
)
ρ
mH
]
1
3 (2-30)
y para electrones no relativistas, la velocidad es:
v =
p
me
≈
√
3~
me
[(
Z
A
)
ρ
mH
] 1
3
(2-31)
Combinando las ecuaciones la presión resulta:
P ≈ ~2
me
[(
Z
A
)
ρ
mH
] 5
3
(2-32)
Para un gas de electrones no relativista la presión P:
P =
(3π2)
2
3
5
~2
me
[(
Z
A
)
ρ
mH
] 5
3
(2-33)
Para apreciar el efecto de la relatividad en la estabilidad de una enana blanca,
recordar que la ecuación previa (la cual es valida solamente para ρ < 109Kg/m3) es
25
de un politropo de la forma P = Kρ5/3, donde K es una constante. Esto significa
que la enana blanca es dinámicamente estable. Si sufre una pequeña perturbación,
volverá a su estructura de equilibrio en lugar de colapsar. Sin embargo, en el ĺımite
relativista extremo, la velocidad de electrones v = c se debe utilizar, en lugar de
2-31, para encontrar la presión de degeneración:
P =
(3π2)
1
3
4
~c
[(
Z
A
)
ρ
mH
] 4
3
(2-34)
En este caso nos encontramos en una situación de inestabilidad dinámica: un cambio
pequeño del equilibrio hará que la enana blanca se colapse cuando la presión de
degeneración cae. Cuando la enana blanca no es estable el núcleo colapsa mediante
una supernova.
2.2.6. Ĺımite de Chandrasekhar
La masa de Chandrasekhar es la masa máxima que una estrella puede so-
portar sin colapsar debido a las fuerzas gravitacionales, y que es soportada por la
presión de degeneración electrónica.
Este ĺımite equivale a aproximadamente 1.44 masas solares, y es la masa máxima
posible en una enana blanca. Si ésta superase el ĺımite de Chandrasekhar, se colap-
saŕıa para convertirse en una estrella de neutrones. De forma similar, también existe
un ĺımite a la masa que las estrellas de neutrones pueden soportar. En este caso, son
los neutrones quienes están degenerados y pueden soportar una masa del orden de
26
tres masas solares. Este es el ĺımite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff.
M = 1,4312(
2
η
)2M� (2-35)
2.2.7. Estrella de Neutrones
Dos años antes que James Chadwick descubriera el neutrón 1932, un astróno-
mo Alemán Walter Baade (1893-1960) y el astrof́ısico sueco Fritz Zwicky (1898-1974)
del observatorio Monte Wilson, propusieron la existencia de la estrella de neutrones.
Estos dos astrónomos, quienes también introdujeron el término supernova, sugirieron
que ”la supernova representa la transición de una estrella ordinaria en una estrella
de neutrones, que en sus etapas finales consisten de neutrones muy compactados.
Es dif́ıcil calcular como es el interior de una estrella neutrones, ya que en ella se
aplica una f́ısica de condiciones extremas, no reproducible en nuestros laboratorios.
Modelos sugieren que los neutrones comprimidos en una configuración tan densa
forman un ”mar superfluido”.
El interior de una estrella de neutrones consiste de un núcleo grande formado bási-
camente por neutrones y un pequeño número de protones superconductores. Nue-
vamente, la baja temperatura , los protones superconductores, combinados con alta
velocidad de rotación de la estrella, producen un efecto dinamo, semejante al res-
ponsable por el campo magnético de la tierra. Alrededor del núcleo se encuentra un
manto de neutrones, seguido de una capa de núcleos de hierro y electrones libres.
27
2.2.8. Degeneración Neutrónica
Debido a que una estrella de neutrones se forma cuando el núcleo degenerado
de una estrella vieja supergigante se acerca al ĺımite de Chandrasekhar y colapsa,
tomamos MCh para una estrella de neutrones de masa t́ıpica, a 1,4M� la estrella de
neutrones podŕıa consistir de 1,4M�
mn
≈ 1057 neutrones, en efecto, un gran núcleo con
un número de masa de A ≈ 1057 que se manifiesta junto con la gravedad y soportada
por la presión de degeneración de neutrones. Como los electrones, neutrones son
fermiones y están sujetos al principio de exclusión de Pauli. La relación masa radio
para una estrella de neutrones esta dada por:
Rn ≈
(18π)
2
3
10
~2
GM
1/3
n
(
1
mH
) 8
3
(2-36)
Para Mn = 1,4M�, el valor del radio es 4400m. este resultado es pequeño por un
factor de 3. Es decir el radio actual de una estrellas de neutrones de 1,4M� está com-
prendido entre 10 y 15 km. Como se verá, hay muchas incertidumbres que intervienen
en la construcción de un modelo estrella de neutrones.
Este remanente estelar incréıblemente compacto tendŕıa una densidad media de
6,67x1017Kg/m3, mayor que la densidad t́ıpica de un núcleo atómico que es 2,3x1017Kg/m3.
En cierto sentido, los neutrones en una estrella de neutrones se deben estar ”tocan-
do” el uno con el otro.
La fuerza de la gravedad en una estrella de neutrones es extremadamente grande.
Para una estrella de neutrones de 1,4M� con un radio de 10Km, g = 1,86x1012m/s2,
cerca de 200 billones de veces mas fuerte que la aceleración de la gravedad en la su-
28
perficie terrestre. Si un objeto se deja caer desde una altura de un metro llegaŕıa a
la superficie de la estrella con una velocidad de unos 500000Km/h.
Otro echo extremadamente importante es el uso inadecuado de la mecánica New-
toniana para describir la estrella de neutrones que pueden demostrarse mediante el
cálculo de la velocidad de escape en la superficie:
vesc =
√
2GMn
Rn
= 1,93x108m/s = 0,643c (2-37)
Claramente, los efectos de la relatividad será incluido para una descripción cuidadosa
de una estrella de neutrones. Esto aplica no sólo a la teoŕıa de la relatividad especial
de Einstein, sino también su teoŕıa general de la relatividad. Sin embargo, vamos
a utilizar dos fórmulas relativistas y la f́ısica newtoniana más familiar para llegar a
una conclusión correcta cualitativa acerca de las estrellas de neutrones.
2.2.9. Correcciones Relativistas
Si la estrella está muy compactas, se tiene que tomar en cuenta los efectos
de la relatividad general, como la curvatura del espacio tiempo, estos efectos serán
importantes cuando el factor 2GM/c2R se aproxima a la unidad, describiremos una
estrella compacta usando las ecuaciones de Einstein:
Gµν = −8πG
t4
Tµν (2-38)
29
Para una esfera de fluido ideal isotrópica relativista estática en equilibrio hidrostático
se llega a la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)
dp
dr
= −Gε(r)m(r)
c2r2
[1 +
p(r)
ε(r)
][1 +
4πr3p(r)
m(r)c2
][1− 2Gm(r)
c2r
]−1 (2-39)
Está ecuación es similar a la ecuación diferencial para la presión, ecuación
(2-5), pero tiene tres factores de corrección, los tres factores de correcciones son más
grandes que 1, es decir fortalecen el término de la gravedad Newtoniana. La ecuación
de TOV también contienen el factor 2GM/c2R que determina si uno tiene que tomar
en cuenta la relatividad general o no. El radio cŕıtico correspondiente:
R =
2GM
c2
(2-40)
Es el denominado radio de Schwarzschild. Para una estrella con una masa de 1M�, se
obtiene R ≈ 3 por lo tanto los efectos de la relatividad general son muy importantes
para una estrella de neutrones ya que ellas tienen una radio de 10km. Las correcciones
son pequeñas para enanas blancas con radio de R(M = 1M�) ≈ 104 − 103km.
2.2.10. Ĺımite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
El ĺımite Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) es un ĺımite superior para la
masa de estrellas compuestas de materia neutrónica degenerada (estrellas de neutro-
nes). Es análogo al ĺımite de Chandrasekhar para una estrella enana blanca.
El ĺımite fue calculado por Julius Robert Oppenheimer y George Michael
Volkoff en 1939, usandotrabajo anterior de Richard Chace Tolman. Oppenheimer y
30
Volkoff adoptaron que los neutrones en una estrella de neutrones formaba un gas de
Fermi degenerado fŕıo. Esto lleva a una masa ĺımite de aproximadamente 0.7 veces
la masa solar. Estimaciones modernas predicen una masa ĺımite de entre 1.5 a 3.0
masas solares. La incertidumbre en los valores refleja el hecho de que las ecuaciones
de estado para materia extremadamente densa no son bien conocidas.
En una estrella de neutrones más ligera que el ĺımite, el peso de la estrella es
soportado por interacciones repulsivas de corta distancia neutrón-neutrón mediadas
por la fuerza fuerte y también la presión causada por la degeneración de neutrones.
Si una estrella de neutrones es más pesada que el ĺımite, colapsará a una forma aún
más densa, pudiendo formar un agujero negro, o cambiar su composición y sostenerse
mediante algún otro mecanismo (por ejemplo, por la presión de la degeneración de
quarks y convertirse en una estrella de quarks).
A causa de que las propiedades de otras formas hipotéticas de materia de-
generada sean aún menos conocidas que las de materia neutrón-degenerada, muchos
astrof́ısicos adoptan, en la ausencia de evidencias de lo contrario, que una estrella de
neutrones por encima del ĺımite colapsa directamente en un agujero negro.
Los agujeros negros formados por el colapso de estrellas individuales tienen
una masa en un intervalo de 1.5-3.0 (Ĺımite TOV) a 10 masas solares.
Un agujero negro formado por el colapso de una estrella individual debe te-
ner una masa que sobrepase el ĺımite Tolman-Oppenheimer-Volkoff. La teoŕıa predice
esto a causa de la pérdida de masa durante la evolución estelar. Un agujero negro
formado de una estrella aislada debe tener masa no mayor que aproximadamente 10
masas solares. Observacionalmente, a causa de sus grandes masas, relativa fragilidad
31
y espectro de rayos X, un número de objetos masivos binarios de rayos X son pro-
puestos como agujeros negros estelares. Estos candidatos a agujeros negros se estima
que tienen entre 3 y 20 masas solares.
32
Parte III
Materiales y Métodos
33
Caṕıtulo 3
Materiales
3.1. Materiales
Medios de almacenamiento: dispositivo USB.
Materiales de oficina: papel, tinta para impresiones.
Equipos
Equipo de cómputo: computadora HP, con procesador Intel Core Duo, disco
duro de 500 Gb.
Programas informáticos
Fortran 90
Latex
Gnuplot
office
34
3.2. Metodoloǵıa
La resolución de las ecuaciones de estructura son obtenidas a partir de méto-
dos numéricos padrón. Para la simulación de las estrellas tanto para enanas blancas
como estrellas de neutrones se utilizo el método de Runge Kutta de 4a orden pa-
ra obtener mayor precisión en la integración de sistemas de ecuaciones diferenciales
acopladas. El método de Runge-Kutta es mostrado a seguir:
yn+1 = yn +
h
6
(k1 + 2K2 + 2K3 + k4) (3-1)
k1 = f(tn, yn) (3-2)
k2 = f(tn +
h
2
, yn +
h
2
k1) (3-3)
k3 = f(tn +
h
2
, yn +
h
2
k2) (3-4)
k4 = f(tn + h, yn + hk3) (3-5)
Donde h es el paso de integración.
En el tratamiento relativista, las ecuaciones relevantes son las ecuaciones de Tolman-
Oppenheiner-Volkoff(TOV). Esas ecuaciones introducen las correcciones relativistas
a las ecuaciones de estructura para un correcto modelage de los objetos masivos y
compactos.
35
Parte IV
Análisis y Resultados
36
Caṕıtulo 4
Análisis y Resultados
4.1. Solución de las ecuaciones de TOV con den-
sidad constante
En esta sección se dio solución a las ecuaciones de estructura de forma
anaĺıtica considerando la densidad de materia constante cabe resaltar que este es
un caso ideal debido que la densidad de materia no es constante ya que es la única
manera de poder resolver de forma anaĺıtica las ecuaciones de estructura, para luego
contrastar los resultados anaĺıticos con los numéricos.
Usando la ecuación (2-39).
dp
dr
= −G(ε+ p)(mc2 + 4πr3p)
c2r(c2r − 2Gm)
(4-1)
37
Donde ε = ρc2 (densidad de enerǵıa). Utilizando la ecuación de continuidad de la
masa ecuación.(2-6) e integrando:
∫ m
0
dm
′
= 4πρ
∫ r
0
r
′2dr
′
(4-2)
Resolviendo la integral:
m(r) =
4
3
πρr3 (4-3)
De la ecuación 4-1 y reemplazando la masa:
dp
dr
= −4Gπ
3c4
r
(ρc2 + p)(ρc2 + 3p)
1− 8πGρr′2
3c2
(4-4)
Se sabe que la presión en el centro de la estrella es máxima y en la superficie tiende
a cero, aplicando dichas condiciones en los ĺımites de integración.
∫ p
pc
dp
′
(ρc2 + p′)(ρc2 + 3p′)
= −4πG
3c4
∫ r
0
r
′
dr
′
1− 8πGρr′2
3c2
(4-5)
Desarrollando el lado derecho de la ecuación (4-5):
−4πG
3c4
∫ r
0
r
′
dr
′
1− 8πGρr′2
3c2
=
1
4c2ρ
∫ 1− 8πGρr
′2
3c2
1
du
′
u′
(4-6)
Se realizo la sustitución u
′
= 1− 8πGρr
′2
3c2
. Resolviendo la integral resulta:
1
4c2ρ
∫ 1− 8πGρr
′2
3c2
1
du
′
u′
=
1
4c2ρ
lnu|
1− 8πGρr
′2
3c2
1 (4-7)
=
1
4ρ
lnu(1− 8πGρr
′2
3c2
) (4-8)
38
El lado izquierdo de la ecuación (4-5) desarrollando en fracciones parciales :
∫ p
pc
dp
′
(ρc2 + p′)(ρc2 + 3p′)
=
∫ p
pc
[− 1
2ρc2(ρc2 + p)
+
3
2ρc2(ρc2 + 3p)
]dp
′
(4-9)
= − 1
2ρc2
ln(
ρc2 + 3p
ρc2 + p
)|ppc (4-10)
=
1
2ρc2
[ln(
3p+ ρc2
p+ ρc2
)− ln(
3pc + ρc2
pc + ρc2
)] (4-11)
Combinando la ecuación (4-8) y (4-11):
1
2ρc2
[ln(
3p+ ρc2
p+ ρc2
)− ln(
3pc + ρc2
pc + ρc2
)] =
1
4ρc2
ln(1− 8πρG
3c2
r2) (4-12)
3p+ ρc2
p+ ρc2
pc + ρc2
3pc + ρc2
=
√
1− 8πρG
3c2
r2 (4-13)
ρc2 + 3p
ρc2 + p
=
ρc2 + 3pc
ρc2 + pc
√
1− 2mG
rc2
(4-14)
Para encontrar el radio de la estrella se utilizó la condición que nos dice que podemos
encontrar el radio de la estrella con la condición que la presión se anule, para p(R) =
0. Encontramos una relación la cual relaciona la masa y la densidad de enerǵıa de la
estrella insertando las condiciones de frontera p = 0 y r = R en la ecuación (4-11),
obtenemos:
R2 =
3c2
8πρG
[1− (
pc + ρc2
3pc + ρc2
)2] (4-15)
Sustituimos en la ecuación (4-6) nos permite eliminar la presión central pc:
p = ρc2
√
1− 2GMr2
c2R3 −
√
1− 2GM
c2R
3
√
1− 2GM
c2R
−
√
1− 2GMr2
c2R3
(4-16)
39
Donde M = 4πR3ρ/3 es la masa de la estrella.
Para una densidad constante ρ, presión central pc y masa M la relación M/R incre-
mente de forma monótoma, cuando el radio incrementa. Esto fue anticipado, por lo
tanto cuando más materia tiene una estrella se requiere una gran presión para ser
contrabalanceada. La presión central tiende al infinito si:
Rmax = (9/4)GMmax (4-17)
Cuando consideramos ρ = 1017kg.m−3, como un ejemplo para una densidad del
orden de la densidad de saturación, se encuentra resultados Rmax = 21km y Mmax =
4,1031kg.
Figura 4-1: Presión de una estrella de neutrones de densidad constante como función
del radio, ecuación (4-16)
40
 0⋅10
0
 5⋅10
33
 1⋅10
34
 2⋅10
34
 2⋅10
34
 2⋅10
34
 3⋅10
34
 4⋅10
34
 4⋅10
34
 5⋅10
34
 0⋅10
0
 1⋅10
3
 2⋅10
3
 3⋅10
3
 4⋅10
3
 5⋅10
3
 6⋅10
3
 7⋅10
3
 8⋅10
3
 9⋅10
3
 1⋅10
4
P
re
s
ió
n
 (
P
a
)
Radio (m)
Presión Vs Radio
Figura 4-2: Comparación entre el caso relativista (curva continua) y el caso relativista
(curva punteada)
4.2. El radio de Schwarzschild
Insertamos M = 4πρR3
3
en la ecuación (4-15):
(ρc2 + 3pc)
2(1− 2MG
Rc2
) = (ρc2 + pc)
2 (4-18)
Desarrollando está ecuación:
2p2
c(4−
9MG
Rc2
) + pc(4ρc
2 − 12MρG
R
)− 2MGρ2c2
R
= 0 (4-19)
y resolviendo para pc nos da como resultado
pc =
−4ρ(c2 + 3MG
Rc2
)±
√
[4ρ(c2 − 3MG
R
)]2 + 16MGρ2c2
R
(4− 9MG
Rc2
)
4(4− 9MG
Rc2
)
(4-20)
41
Para obtener un valor real de pc la expresión dentro de la ráız de la ecuación (4-20)
debe ser positiva, de otra manera la presión central seŕıa compleja, y la ecuación
(4-20) no tendŕıa sentido. Para encontrar el valor donde esto pase, calculamos el
ĺımite donde [4ρ(c2 − 3MG
R
)]2 + 16MGρ2c2
R
(4− 9MG
Rc2
)→0 :
[4ρ(c2 − 3MG
R
)]2 +
16MGρ2c2
R
(4− 9MG
Rc2
) = 0 (4-21)
c2 − 2MG
R
= 0 (4-22)
R =
2MG
c2
(4-23)
Este es el llamado radio de Schwarzschild,y este define el horizonte de eventos de
un agujeros negro, de una región esférica con este radio, ninguna información puede
escapar, salvo en procesos cuánticos donde se tiene la radiación de Hawking.
4.3. Soluciones Numéricas para Estrellas Enanas
Blancas
Para solucionar las ecuaciones de estructura empleamos la teoŕıa newtoniana
del equilibrio hidrostático para luego integrar y hallar las propiedades macroscópicas
tales como su masa y radio de las estrellas compactas.
42
4.4. Estructura de las Ecuaciones Adimensionales
Debido al orden de grandeza de los parámetros estelares es conveniente para
el cálculo numérico reescribir las ecuaciones de estructura en forma adimensional.
dP (r)
dr
= −αP (r)ΓM(r)
r2
dM(r)
dr
= βr2P (r)Γ
donde:
P = ε0P , ε = ε0ε, m(r) = M(r)M�, Γ = 1/γ
Las condiciones de frontera estaŕıan ahora dadas por P (r = 0) = 1 y M(r = 0) =
0, donde las cantidades P (r), ε(r), M(r) son adimensionales, el valor del radio r
está medido en Km, además M� es la masa del sol.
donde:
α =
R0
(Kεγ−1
0 )
1
γ
β =
4πε0
M�c2(Kεγ−1
0 )
1
γ
(4-24)
Donde α está en kilómetros y β esta en Km−3.
La densidad de enerǵıa ε(r):
ε(r) = ρ(r)c2 (4-25)
Se puede observar que está ecuación es equivalente a la ecuación de Einstein E = mc2,
entonces en está ecuación aparece la relatividad especial.
Donde se define R0 = GM�/c
2 = 1, 47km.
43
Se consideró para este propósito una estrella politrópica entonces la ecuación de
estado se puede escribir en forma adimensional:
p = Kεγ (4-26)
donde
K = Kεγ−1
0 (4-27)
K y K depende del régimen donde se está trabajando (relativista o no relativista).
Krel =
~c
12π2
(
3π2Z
AmNc2
)
4
3 (4-28)
Knorel =
~2
15π2me
(
3π2Z
AmNc2
)
5
3 (4-29)
Donde Z es el número de protones y mN es la masa de los nucleones. La constante
γ = 4/3 en el caso relativista, y γ = 5/3 en el caso no relativista.
4.5. Integración Numérica
La integración de las ecuaciones de estructura para las enanas blancas se
desarrollan para una ecuación de estado (EdE) de forma politrópica debido que esta
ecuación es la que mejor se ajusta para nuestros propósitos, con la condición de fron-
tera P (r = 0) = 1 (o equivalente a P = Pc) para un valor apropiado de la presión
central Pc.
La integración numérica comienza desde el centro de la estrella y termina en el radio
de la estrella definido como el punto donde la presión tiende a cero.
44
Para la integración numérica de las ecuaciones de estructura de las enanas blancas se
empleo el método de Runge Kutta de cuarto orden con un tamaño de paso adaptati-
vo, el valor de r en el centro será igual a 0,00001 para evitar la división entre cero, el
programa que soluciona numéricamente estas ecuaciones se muestra en el apéndice.
4.6. Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales depende del régimen donde se trabaje (relativista
y no relativista).
4.6.1. Caso relativista
En este caso se encuentran las estrellas enanas blancas de mayor masa, ya
que para una estrella masiva se necesita una mayor presión de degeneración para que
pueda soportar el colapso gravitacional esto provoca que los electrones degenerados
se muevan a muy altas velocidades (relativistas).
Los valores de las constantes para este caso son los siguientes: α = R0 = 1,47Km,
ε0 = 4, 17M�c
2/km3, β = 52, 46km−3.
El valor de la presión central P (0) debe encontrarse en el régimen relativista, P ∼
10−15.
Los resultados numéricos se muestran en la tabla (4-1).
45
4.6.2. El caso no relativista
En este caso se ubican las enanas blancas de menor masa debido a eso la
presión de degeneración es menor por consecuencia los electrones ya no son relati-
vistas.
La masa de las enanas blancas en este caso es menor y su radio es mayor que las
relativistas debido a eso la densidad es mucho menor.
El ı́ndice politrópico γ = 5/3, α = 0,05km, ε0 = 0,0139M�c
2/km3, β = 0,00592km−3.
El valor de la presión central P (0) ≤ 10−15 para este caso, los resultados se muestran
en la tabla (4-2).
4.7. Resultados de la Integración Numérica
Para el caso relativista, obtenemos los valores en la tabla (4-1) para el ra-
dio y la masa de la estrella. En la tabla 4-1 se muestran los resultados para una
Cuadro 4-1: Radio en km y Masa en M� para una enana blanca con un gas de Fermi
relativista
Presión Central Radio Masa
P (0) R(Km) M(M�)
10−14 4962 1.24693455
10−15 8824 1.24693455
10−16 15691 1.24693455
estrella de neutrones tanto relativistas como no relativistas, se puede observar que
los efectos de la relatividad son pequeños, las estrellas de neutrones de mayor masa
tienen los radios mas pequeños como es de esperarse debido a una mayor atracción
gravitacional que trata de contraer a la estrella.
46
La masa t́ıpica de una estrella de neutrones es aproximadamente 1,4M� claramen-
te superior a los valores obtenidos de masa, y por lo tanto es de esperarse que los
efectos de la relatividad general sean mucho mas grandes para este tipo de estrellas
masivas, debemos tener en cuenta que la presión central que se tomó para nuestros
casos se escogió arbitrariamente en los diferentes reǵımenes (Relativista, no relati-
vista). Se puede observar en los valores obtenidos que para diferentes radios la masa
de la estrella es la misma, resulta ser la masa máxima que puede tener una enana
blanca (Ĺımite de Chandrasakher). Si la masa de una estrella sobrepasa ese ĺımite la
presión de degeneración electrónica no es capaz de soportar su propio peso entonces
colapsaŕıa y explotaŕıa como una supernova.
El ĺımite de Chadrasakher es aproximadamente 1,44M� en nuestros resultados ob-
tenemos el valor de 1,2469M� hay una diferencia de 0,1931M� debido que no se
tomó en cuenta correcciones relativistas y tampoco interacciones electromagnéticas
y nucleares. En la figura (4-3)la presión adimensional p(r) llega ser más pequeña en
alrededor de 3000km antes de que se haga cero en 6000km. Entonces, esta estrella
tiene una atmósfera muy alta.
Para el caso no relativista, los valores obtenidos se muestran en la tabla (4-2) para
el radio y la masa de la estrella.
Cuadro 4-2: Radio en km y Masa en M� para una enana blanca con un gas de Fermi
no relativista
Presión Central Radio Masa
p(0) R(Km) M(M�)
10−15 10650 0.394245
10−16 13400 0.197591
10−17 16850 0.099029
47
Figura 4-3: Gráfica que muestra la presión adimensional como función del radio de
una enana blanca politropa para un gas de electrones relativista de Fermi con una
presión central p(0) = 10−16.
Figura 4-4: Gráfica que muestra la masa (en M�) como función del radio de una
enana blanca politropa para un gas de electrones relativista de Fermi con una presión
central p(0) = 10−16.
En la tabla 4-2 se puede observar que hay una diferencia entre los valores
48
de masa para los dos reǵımenes, se tomo diferentes valores de la presión central y
se observa que en el caso no relativista existe una dependencia de la presión central
también se puede observar que las enanas blancas son menos masivas que su contra
parte como indica la teoŕıa. La figura (4-5) muestra la presión adimensional como
una función del radio para una enana blanca.
Figura 4-5: Presión adimensional como función del radio para una enana blanca
politropa para un gas de electrones no relativista de Fermi con p(0) = 10−15.
En la figura (4-5) se puede observar que la presión adimensional decrece
conforme el radio aumenta pero alrededor de los 10000km la presión adimensional
se atenúa de forma rápida hasta llegar a cero alrededor de 10615km eso se debe que
en este régimen la estrella tiene una atmósfera pequeña ya que son menos masivas
que las relativistas y su radio es mas pequeños que estas y como es de esperarse su
densidad es menor que en el régimen relativista.
49
Figura 4-6: Masa adimensional como función del radio para una enana blanca poli-
tropa para un gas de electrones no relativista de Fermi con p(0) =10−15.
4.8. Soluciones Numéricas para Estrellas de Neu-
trones
Para encontrar las propiedades macroscópica de las estrellas de neutrones
tales como su masa y su radio, se integró numéricamente las ecuaciones de estructura
Newtonianas o las ecuaciones de TOV, en las ecuaciones de TOV se introduce las
correcciones relativistas debido que estos cuerpos son supermasivos y relativamente
pequeños. Los tres factores adimensionales en la ecuación de TOV que representan
dichas contribuciones se muestran en la siguiente ecuación.
dp
dr
= −Gε(r)M(r)
c2r2
[1 +
p(r)
ε(r)
][1 +
4πr3p(r)
M(r)c2
][1− 2GM(r)
c2r
]−1 (4-30)
50
4.8.1. Interpretación
La interpretación f́ısica de la ecuación (4-30) es muy sencilla. Expresa el
balance entre la fuerza que actúa sobre una coraza de materia debido a la presión
del material desde adentro y el peso de la materia que actúa sobre esta desde afuera.
La presión de la materia en el borde interno de la coraza es P (r) y el borde externo
P (r) + dP (r). El lado izquierdo de la ecuación es la fuerza neta hacia afuera que
actúa sobre la superficie de la coraza debida a la diferencia de presión dP (r), y el
primer factor sobre el lado derecho es la fuerza gravitacional newtoniana, atractiva,
actuando sobre la coraza por la masa en el interior de ésta. Los tres factores restantes
son las correcciones exactas por la Relatividad General. Aśı, esta ecuación representa
el balance en cada r entre la presión interna que soporta el material en contra de la
atracción gravitacional de la masa en el interior de r.
La ecuación contiene también el factor 2GM/c2R el cual determina si se deben te-
ner en cuenta los efectos de la Relatividad General o no. El correspondiente radio
cŕıtico R = 2GM/c2 es el aśı llamado radio de Schwarzschild descrito anteriormente.
Para una estrella de más de 1M�, obtenemos R≈3km. Por lo tanto los efectos de la
Relatividad General llegan a ser importantes para estrella de neutrones que tienen
radio alrededor de 10km.
La elección de la ecuación de estado estará basada en el modelo del gas de Fermi
para neutrones en lugar de usar electrones. este modelo no es realista por dos ra-
zones. En primer lugar, se desprecian importantes contribuciones a la densidad de
enerǵıa causada por la interacción nucleón-nucleón. En segundo lugar, una estrella
de neutrones no solo contiene neutrones, si no también una fracción de protones y
51
electrones, los cuales provocan que los neutrones decaigan en protones y electrones
mediante la interacción débil.
4.9. Estructura Adimensional de las Ecuaciones
Para obtener las ecuaciones de estructura adimensional se procedió de ma-
nera similar a lo realizado en las enanas blancas se realiza un cambio ya que en
las enanas blancas la presión de degeneración lo realizan los electrones en este caso
es causada por los neutrones degenerados, cambiamos me por mn, utilizamos las
definiciones de variables adimensionales para la masa, presión y densidad de enerǵıa.
M(r) = M�M(r), p = ε0p, ε = ε0ε (4-31)
Reemplazamos las variables adimensionales en la ecuación de TOV:
dp
dr
= −αp(r)
1
γM(r)
r2
[1 +K
− 1
γ p(r)][1 + δr3 p(r)
M(r)
][1− 2R0M(r)
r
]−1 (4-32)
Donde
δ =
2π
M�c2
[
1
K
(
R0
α
)γ]
1
γ−1 (4-33)
52
4.10. Condiciones Iniciales
4.10.1. El caso no Relativista
Para este caso la presión central P ∼ 10−4 y tenderá a cero en la superficie
de la estrella.
La integración numérica comienza desde el centro de la estrella y termina en el
radio de la estrella donde la presión tendera cero, para este caso el ı́ndice politrópico
γ = 5/3, entonces Knor adquiere la siguiente forma:
Knorel =
~2
15π2mn
(
3π2Z
Amnc2
)
5
3 (4-34)
Cuando escogemos un valor apropiado de α = 1km, el factor de escala ε0 está dado
por ε0 = 1, 603x1037J/m3, y β = 0, 7636km−3.
El programa que desarrolla estas ecuaciones está en el apéndice, los valores obtenidos
se encuentran en la tabla (4-3).
4.10.2. El Caso Relativista
Para este caso la presión central debe ser mayor que 10−4 ya que este caso
las estrellas tienen mayor masa que las no relativistas.
El ı́ndice politrópico en este caso es γ = 1 donde K = K = 1/3, los valores de
ε0 = 1, 603x1037J/m3. En este caso α = 3R0 = 4, 428km y β = 3, 374km−3.
La integración numérica comienza desde la presión central P (0) hasta el radio de la
estrella donde la presión tiende a cero.
53
4.11. Resultados Numéricos para estrellas de neu-
trones
Cuadro 4-3: Radio en km y Masa en M� para una estrella de neutrones con un gas
de Fermi no relativista
Presión Radio Masa Radio Masa
Central (Newton) (Newton) (GR) (GR)
p(0) R(Km) M(M�) R(km) M(M�)
10−4 16.606 0.77463 15.313 0.63632
10−5 20.906 0.38824 20.225 0.35830
10−6 26.319 0.19458 25.971 0.18840
Los efectos de la relatividad son pequeños, pero incrementan cuando la pre-
sión central aumenta, como es de esperar. Las estrellas de neutrones menos masivas
tienen los radios más grandes como en el caso de las enanas blancas, porque la
atracción gravitacional es menor entonces la estrella se extiende a radios grandes.
Como se muestra en la tabla (4-3), el radio aumenta cuando la presión
central disminuye. Para la masa podemos observar que disminuye cuando la presión
central es menor.Sin embargo, estos valores no son los esperados para una estrella
de neutrones.
54
Figura 4-7: Gráfica que muestra la masa (M�) como función del radio de una estrella
de neutrones politropa para una gas de electrones relativistas de Fermi, y una presión
central p(0) = 10−5.
Figura 4-8: Gráfica que muestra la presión adimensional como función del radio de
una estrella de neutrones politropa para una gas de electrones relativista de Fermi,
y una presión p(0) = 10−14.
55
4.12. Pulsares
Muchas propiedades de las estrellas de neutrones fueron anticipadas antes
de que ellas fueran observadas. Por ejemplo, una estrella de neutrones rota muy rápi-
damente, por lo tanto la disminución del radio seŕıa tan grande que la conservación
del momento angular garantizaŕıa la formación de una estrella de neutrones que gira
rápidamente.
Figura 4-9:
Si asumimos que el núcleo progenitor es caracteŕıstico de una enana blanca
compuesto enteramente por hierro, obtenemos una relación del radio
Rnucleo
Re.n
≈ mn
me
(
Z
A
) 5
3
= 512 (4-35)
donde Z/A = 26/56 para el hierro, ahora aplicamos la conservación del momento
angular para el núcleo colapsado (lo cual se asume aqúı por simplicidad que no hay
56
perdida de masa). Tratando a cada estrella como una esfera con un momento de
inercia de la forma I = CMR2, tenemos1
Iiωi = Ifωf
CMiR
2
iωi = CMfR
2
fωf
ω = ωi
(
Ri
Rf
)2
(4-36)
En término del periodo de rotación T ,
Tf = Ti
(
Rf
Ri
)2
(4-37)
Para el caso especifico de un núcleo de hierro colapsando para una estrella de neu-
trones
Tneu ≈ 3,8x10−6Tnucleo (4-38)
La pregunta es que tan rápido el núcleo progenitor puede estar rotando es dif́ıcil
responder. Cuando una estrella evoluciona, la contracción del núcleo no es completa-
mente aislada de la envoltura que lo rodea, por lo que no se puede utilizar el enfoque
simple para la conservación del momento angular descrito anteriormente. De todos
modos ahora sabemos que las estrellas de neutrones giran muy rápidamente cuando
se forman, con peŕıodos de rotación del orden de unos pocos milisegundos.
En 1967 los investigadores británicos, el f́ısico Anthony Hewish director del proyecto
1La constante C es determinada por la distribución de masa dentro de la estrella. por ejemplo
C = 2
5 para una esfera uniforme. Asumimos que el núcleo progenitor y la estrella de neutrones
tienen el mismo valor de C.
57
y la posgraduada Jocelyn Bell, hab́ıan terminado la construcción del radiotelesco-
pio de tipo tendido, para el departamento de Radioastronomı́a de la Universidad de
Cambridge (Reino Unido) para la búsqueda de radiofuentes brillantes en el cielo (en
cualquierbanda de radio). Esta joven irlandesa de 24 años, Jocelyn Bell, preparaba
su doctorado en f́ısica y seŕıa la encargada de auscultar y seleccionar correctamen-
te cualquier señal de procedencia cósmica, sus análisis les llevaŕıa a descubrir los
llamados Púlsares: la peculiar manifestación de estrellas de neutrones que por su
densidad y rápida rotación proyectan por sus polos magnéticos haces de radiación
electromagnética. Pasados unos años la comunidad cient́ıfica reconoció la tenacidad
mostrada por Jocelyn en el descubrimiento de los púlsares. El Premio Nobel por
este nuevo descubrimiento en la evolución estelar sólo fue concedido al director del
proyecto, Anthony Hewish, en 1974. A pesar de todo, ya desde 1912 con la astróno-
ma Henrietta Leavitt y más tarde con Vera Rubin quedó enterrada la tan arrogante
frase: ((La mujer nunca levantará cabeza en la ciencia de las estrellas)), atribuida al
f́ısico Robert Oppenheimer (1904-1967). La astrónoma Vera Rubin fue quien en 1951
expuso sus trabajos sobre las peculiares y divergentes velocidad que algunas galaxias
manifestaban independientemente al flujo expansivo de Hubble. La ley de Hubble no
era sacrosanta. La tasa de densidad galáctica (supercúmulos de galaxias) es deter-
minante en el movimiento propio de las galaxias sometidas al tirón gravitatorio que
ejercen estos supercúmulos.
Caracteŕısticas de los Pulsares:
La mayoŕıa de los pulsares tienen promedios comprendidos entre 0,25 y 2s. con
un tiempo promedio entre pulso y pulso de 0,795s. El pulsar con el peŕıodo
58
más largo conocido es PSR 1841-0456 con T = 11.8s y PSR J1748-2446ad es
el más rápido T = 0.00139s.
Los pulsares tienen extremadamente bien definido sus periodos de pulso y seŕıan
relojes excepcionalmente precisos. Por ejemplo, el peŕıodo de PSR 1937-214 se
ha determinado que es P = 0,001 557 806 448 872 75 s una medición que se
opone a la exactitud de los mejores relojes atómicos. Tales determinaciones
precisas son posibles debido a la enorme cantidad de mediciones de púlsares
que se puede hacer, teniendo en cuenta sus peŕıodos muy cortos.
En 1968 los cient́ıficos descubrieron un pulsar asociado a los remanentes de supernova
en la constelación de Vela y Cangrejo por lo que concluyeron que los pulsares son
estrellas de neutrones que giran rápidamente. Además, el pulsar PSR 0531-21 en la
constelación del cangrejo tiene un peŕıodo de pulso muy corto de sólo 0.0333s. La
enana blanca no podŕıa girar 30 veces por segundo sin antes desintegrarse.
4.13. Magnetares
Otra de las propiedades de las estrellas de neutrones es que estas podŕıan
tener un campo magnético extremadamente fuerte. La çongelación”de las ĺıneas de
campo magnético en un fluido o gas conductor implica que el flujo magnético a
través de una enana blanca se conserva, ya que se colapsa para formar una estrella
de neutrones. El flujo de un campo magnético a través de una superficie S es definida
como la integral de superficie
Φ =
∫
S
B.dS (4-39)
59
Donde B es el vector de campo magnético. En temperaturas aproximadas, si ignora-
mos la geometŕıa del campo magnético, esto significa que el producto de la intensidad
del campo magnético y el área de la superficie de la estrella se mantiene constante.
Entonces:
Bi4πR
2
i = Bf4πR
2
f (4-40)
Con el objetivo de utilizar la ecuación 4-40 para estimar el campo magnético de una
estrellas de neutrones, primero debemos saber que la intensidad del campo magnético
es para el núcleo de hierro de una estrella de pre-supernova. Aunque esto no esta
del todo claro podemos usar el mayor campo magnético observado para una enana
blanca B ≈ 5x104T como un caso extremo, lo cual es grande en comparación con un
campo magnético de una enana blanca 10T y muy grande con el campo magnético
del sol de alrededor 2x10−4T .
Entonces el campo magnético para una estrella de neutrones podŕıa ser:
Bn ≈ Beb
(
Reb
Rn
)2
= 1,3x1010T (4-41)
Esto muestra que las estrellas de neutrones podŕıan estar formadas con un campo
magnético extremadamente fuerte, aunque los valores mas pequeños como 108T o
menos son las t́ıpicas.
Las estrellas de neutrones con un campo magnético (1011T ) son llamados magne-
tares.
Los campos magnéticos de los magnetares son de varios ordenes de magnitud mayor
que los pulsares t́ıpicos y también tienen periodos de rotación relativamente lentos
60
de 5 a 8 segundos.
Desde el descubrimiento de las Magnetares han existido dos hipótesis para la ex-
plicación de los intensos campos magnéticos en estos objetos. En una de ellas, los
requisitos previos para el nacimiento de una Magnetar seŕıan una rotación rápi-
da y un campo magnético intenso antes de la explosión de una supernova. Dadas
estas condiciones, el efecto dinamo convertiŕıa la enerǵıa mecánica en enerǵıa elec-
tromagnética mediante la convección de materia nuclear en los primeros segundos de
vida de la EN, amplificando el campo magnético. La otra hipótesis es la del campo
magnético fósil: el campo magnético seŕıa generado a través de la conservación de
flujo magnético, suponiendo que dicho campo es un remanente de la aglomeración
de gas y polvo estelar que da origen a la formación de la estrella.
61
Parte V
Conclusiones y Sugerencias
62
Caṕıtulo 5
Conclusiones y Sugerencias
En este trabajo estudiamos estrellas compactas mediante las soluciones de
las ecuaciones estructura y las ecuaciones de TOV a partir de una ecuación de estado
para una gas de fermiones en los ĺımites no relativistas y relativistas. En el ĺımite
Newtoniano, pudimos establecer la masa de 1,24693M� y el radio t́ıpico de 15700km
para una enana blanca.
Considerando correcciones proveniente de la RG, resolvimos la ecuación de TOV
para estrellas de neutrones con masas de 0,716283M� y radios de 13,38km.
Los modelos usados para encontrar las soluciones anaĺıticas no son muy rea-
listas ya que hemos usado una densidad constante, es decir la densidad no depende
de la presión. Para obtener un modelo mas realista, fue elegido la forma politropa
con dependencia de presión, ya que tiene una base sólida en la mecánica estad́ıstica.
La ecuación politrópa fue usada junto con la teoŕıa de la mecánica cuántica
63
(gas de Fermi) para encontrar una expresión para la ecuación de estado para la ma-
teria en estrellas compactas. La ecuación resultante incorpora la relatividad especial.
Esta ecuación de estado nos proporciona los resultados para la masa y el radio de
estrellas con diferentes presiones centrales (densidades centrales) usando la teoŕıa
clásica del equilibrio hidrostático y los resultados más precisos de la relatividad de
las ecuaciones de TOV.
Los efectos de la relatividad general fueron significantes, especialmente para
estrellas de neutrones debido a que su campo gravitacional es mas fuerte que el de
las enanas blancas.
Para perfeccionar el modelo aún más, se deberá tomar en cuenta otras co-
rrecciones como por ejemplo la interacción electromagnética la interacción entre los
nucleones para que sea un modelo más realista, aun con esto no se puede conseguir
un modelo realista ya que se desconoce la forma de materia que se encuentra en esas
estrellas incluso se habla de materia extraña o materia de quarks,
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Bibliograf́ıa
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