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A ct iv id ad es y p ro ye ct os p ar a la c la se d e M at em át ic as ¿Qué se enfría más rápido, una taza de café caliente a la que se le agrega leche fría y después se deja que se enfríe más, o una taza de café caliente que se deja enfriar primero y que al final se le agregue leche fría? Es una pregunta recurrente en cursos de Cálculo y en cursos de Ecuaciones Diferenciales. La Ley de Enfriamiento de Newton la responde y en este libro “Actividades y Proyectos para la clase de Matemáticas” es abordada de una manera que en salón de clase sea más atractiva y evidente para los alumnos. En cinco capítulos los autores de esta obra nos presentan diferentes activida- des didácticas sobre temas variados de la matemática escolar. Las actividades son resultado de proyectos de investigación y de la experiencia docente de los participantes y ya han sido probadas en aulas de clase. En el capítulo uno las actividades didácticas tienen como interés principal introducir a los alumnos en la actividad de modelar situaciones que sean cercanas a su vida diaria. El capítulo dos aborda temas del álgebra, materia que suele ser complicada para los alumnos de nivel medio, y es común que represente un serio obstáculo en su avance. Las transformaciones lineales son muy importantes en la matemática pues aparecen en muy diversos contextos y tienen una amplia gama de aplicacio- nes. Desarrollar este concepto basándose en el contexto geométrico puede tener como gran apoyo el uso de la visión, y las actividades del tercer capítulo permiten que el estudiante construya y desarrolle las ideas centrales de la transformación lineal. El capítulo cuatro tiene algunos retos para el alumno pues las actividades incluidas requerirán que los estudiantes apliquen conocimientos de cursos previos. La creatividad aparecerá cuando los estudiantes deban diseñar un foco y un plato para perro, y usarán lo aprendido en cursos anteriores para construir una chimenea hiperbólica. El capítulo final tiene dos experimen- tos que pueden realizarse dentro del aula de clase. Éstos permitirán que los alumnos obtengan leyes físicas de difícil comprensión. ACTIVIDADES Y PROYECTOS PARA LA CLASE DE MATEMÁTICAS forro.indd 1 9/10/2013 11:47:37 AM Actividades y proyectos.indd 2 10/9/2013 12:05:00 AM Actividades y proyectos para la clase de Matemáticas © Dr. Apolo Castañeda Alonso © Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza © Dra. Avenilde Romo Vázquez © M. C. Elvia Rosa Ruiz Ledezma © Dr. Fermín Acosta Magallanes © Ing. Héctor Hernández Guzmán © M. C. Jorge Luis Rosas Mendoza © M. C. Juan Gabriel Molina Zavaleta © M. N. E. E. Leticia del Rocío Pardo Mota © M. C. María del Consuelo Macias González © Dr. Mario Sánchez Aguilar D. R. © Editorial Lectorum, S. A. de C. V., 2013 Batalla de Casa Blanca Manzana 147 A Lote 1621 Col. Leyes de Reforma, 3a. Sección C. P. 09310, México, D. F. Tel. 5581 3202 www.lectorum.com.mx ventas@lectorum.com.mx Primera edición: noviembre de 2013 ISBN: 978-847-62-7059-2 Características tipográficas aseguradas conforme a la ley. Prohibida la reproducción parcial o total sin autorización escrita del editor. Impreso y encuadernado en México. Printed and bound in Mexico. actividades y proyectos para la clase de matemáticas Alejandro Miguel Rosas Mendoza Editor Actividades y proyectos.indd 1 10/9/2013 12:05:00 AM Actividades y proyectos.indd 2 10/9/2013 12:05:00 AM ÍNDICE Presentación 5 Autores 7 Resúmenes 9 Modelación 15 ¿Qué producto conviene comprar? 17 ¿Cómo varían el área y perímetro de un círculo? 19 Predicción del tipo de cambio 23 Buscando trayectorias 27 Álgebra 35 Una introducción a la factorización de expresiones algebraicas 37 El teorema del cambio de base en logaritmos 43 ¿Qué plan escoges? 49 La función racional 53 Álgebra lineal 57 Propiedades de la transformación lineal en contexto geométrico 59 La transformación lineal en contexto geométrico 63 La transformación lineal en contexto geométrico-algebraico 69 Cálculo 75 Focos para navidad 77 Chimeneas hiperbólicas 81 Platos de mascotas 85 Modelación en el aula 89 Dulces y el comportamiento logarítmico 91 Newton en un horno de microondas 95 Actividades y proyectos.indd 3 10/9/2013 12:05:00 AM Actividades y proyectos.indd 4 10/9/2013 12:05:00 AM 5 PRESENTACIÓN Algunas de las críticas que más frecuentemente se le hacen a la investi- gación son su lejanía con el aula de clases, también suele mencionarse que se realiza en situaciones alejadas de la realidad, en ambientes con- trolados muy diferentes a lo que sucede en un salón de clase y que se realiza con unos pocos alumnos seleccionados (muchas veces alumnos avanzados). Sin embargo, en el curso de algunas investigaciones se ha- cen diseños didácticos que se prueban en grupos escolares, se analizan los resultados y posteriormente se modifican de manera que se obtiene una actividad didáctica más depurada que la original. En un esfuerzo para cerrar la brecha entre las investigaciones y el aula de clases hemos realizado una selección de actividades didácticas en un amplio rango de temas y niveles educativos. A manera de apoyo para el profesor las actividades se presentan con una estructura que incluye el tema que aborda, el objetivo, los materiales necesarios para su aplicación, la duración en clases de una hora, sugerencias para la aplicación de la actividad, bibliografía mínima que da el soporte teóri- co así como algunos elementos que el profesor puede tomar en cuenta al momento de hacer la evaluación de las respuestas que generarán sus alumnos. Adicionalmente se han incluido sugerencias de modificación de cada actividad para que se le puedan hacer las adecuaciones necesarias para un nivel educativo diferente a aquél para el que fue diseñada. Consideramos que es difícil escribir actividades didácticas que sean adecuadas a cualquier nivel educativo y más tomando en cuenta los di- versos sistemas escolares y sus múltiples planes y programas de estudio. Es por esta razón que se ha incluido la mayor cantidad de elementos descriptores de cada actividad contenida en esta obra, en un intento de que el profesor tenga suficientes elementos para adecuarlas a su contexto escolar. En la estructura de cada actividad presentada en esta obra hemos planeado que, quien decida aplicarla en su curso, pueda tomar direc- tamente el contenido escrito entre los subtítulos “actividad” y “mate- riales necesarios” y usarla en su clase. La sección de “sugerencias para su aplicación” contiene comentarios que buscan facilitar el tra- Actividades y proyectos.indd 5 10/9/2013 12:05:01 AM 6 actividades y proyectos para la clase de matemáticas bajo en el salón. Algunas de esas sugerencias surgieron al observar las sesiones en que se aplicaron esas actividades a grupos de estudiantes y los problemas inesperados que surgieron en ese momento. Este libro contiene actividades en cinco áreas de la matemática: Modelación, Álgebra, Álgebra Lineal, Cálculo y Modelación en el aula. Todas las actividades cubren los niveles Básico, Medio, Medio Superior y Superior. Esperamos que las actividades contenidas en esta obra sirvan de apoyo para la creatividad e inventiva que los profesores aplican en sus aulas cada día que se presentan ante sus alumnos. Este libro de actividades didácticas inició como una pequeña aventura, la cual fue creciendo con la participación y el apoyo de los autores participantes. Deseamos que al final la aventura sea provechosa para todos. Alejandro Miguel Rosas Mendoza Editor México D.F., Agosto de 2013. Actividades y proyectos.indd 6 10/9/2013 12:05:01 AM 7 AUTORES Dr. Apolo Castañeda Alonso Profesor Investigador Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Instituto Politécnico Nacional Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza Profesor Investigador Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Instituto Politécnico Nacional Dra. Avenilde RomoVázquez Profesora Investigadora Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Instituto Politécnico Nacional M. C. Elvia Rosa Ruiz Ledezma Profesora Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos 11 “Wilfrido Massieu” Instituto Politécnico Nacional Dr. Fermín Acosta Magallanes Profesor Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional Ing. Héctor Hernández Guzmán Profesor Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli Profesor Facultad de Estudios Superiores de Cuautitlán M.C. Jorge Luis Rosas Mendoza Profesor Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Instituto Politécnico Nacional Actividades y proyectos.indd 7 10/9/2013 12:05:01 AM 8 actividades y proyectos para la clase de matemáticas M. C. Juan Gabriel Molina Zavaleta Profesor Investigador Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Instituto Politécnico Nacional M.N.E.E. Leticia del Rocío Pardo Mota Directora Centro de Atención Múltiple #8 Departamento de Educación Especial Secretaría de Educación de Veracruz M.C. María del Consuelo Macias González Profesora Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli Dr. Mario Sánchez Aguilar Profesor Investigador Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Instituto Politécnico Nacional Actividades y proyectos.indd 8 10/9/2013 12:05:01 AM 9 RESÚMENES Modelación Juan Gabriel Molina Zavaleta, Mario Sánchez Aguilar, Fermín Acosta Magallanes, Elvia Rosa Ruiz Ledezma, María del Consuelo Macias González y Avenilde Romo Vázquez ¿Qué producto conviene comprar? En esta actividad se plantea al estudiante una situación de la vida coti- diana en la que podría utilizar la operación división para resolverla o inclusive argumentos no matemáticos. ¿Cómo varían el área y perímetro de un círculo? El calcular las diferencias entre dos cantidades ha sido identificado por los autores como una herramienta de análisis que se utilizó durante la génesis del cálculo; esta noción de diferencia puede ser utilizada en la clase de matemáticas para estudiar la variación de magnitudes geométricas interrelacionadas. En esta actividad se expone un ejemplo de ello, en el cual se hace un análisis de la forma y la manera en que varía el área y el perímetro de un círculo cuando su radio cambia. Predicción del tipo de cambio En la actividad se plantea la pregunta de predecir el tipo de cambio del peso mexicano comparado con el dólar americano a partir de datos reales. Para realizar la predicción se propone ajustar los datos a una recta de regresión lineal de manera que puedan interpretarla como una función lineal y así generar su predicción. Además se plantea la reflexión sobre la posibilidad de aplicar la matemática como ciencia teórica en el llamado “mundo real”. Buscando trayectorias En esta secuencia se busca representar la trayectoria de un móvil mediante una función vectorial así como reconocer que ésta puede transformarse en una función de variable real. Dicha transforma- ción requiere que el estudiante reconozca que una función vectorial F, F:I ⊂ R → R2, de la forma F(t) = x(t)i +y(t)j donde x y y están en función del tiempo y son funciones paramétricas de y(x), definida a su vez sobre R o sobre I ⊂ R. Para pasar de F(t) a y(x) la técnica matemática, en los casos donde esto es posible, consiste en eliminar al parámetro t en una Actividades y proyectos.indd 9 10/9/2013 12:05:02 AM 10 actividades y proyectos para la clase de matemáticas de las funciones paramétricas y sustituirla en la otra. Determinar la justificación que sustenta esta técnica y más aún exponer las razones que motivan el paso de una función vectorial a una función real nos parece que no es natural ni evidente. Las tareas de esta secuencia se han diseñado para conseguirlo de manera gradual. Álgebra Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas Mendoza , Apolo Castañeda Alonso, Leticia del Rocío Pardo Mota, Elvia Rosa Ruiz Ledezma y Fermín Acosta Magallanes Una introducción a la factorización de expresiones algebraicas Esta secuencia pretende fomentar en los estudiantes una idea de fac- torización con base en la conservación de la equivalencia entre expre- siones matemáticas: aritméticas o algebraicas. El teorema del cambio de base en logaritmos En esta actividad se construye el teorema de cambio de base en loga- ritmos utilizando gráficas de funciones concretas. ¿Qué plan escoges? En esta actividad a los estudiantes se les presenta la posibilidad de adquirir un automóvil con diferentes planes de financiamiento. Para realizar su elección deben calcular cuál será el costo final del automóvil de modo que puedan elegir aquél que sea el más barato. Durante el desarrollo de la actividad se les solicita que calculen el interés total que sobre el precio de lista se paga durante el financiamiento. La función racional En esta actividad a los estudiantes se les presenta una tabla donde se concentran algunos puntos que pertenecen a una función racional propuesta con la idea de que el estudiante al introducir los valores en una pantalla de Excel observe el comportamiento numérico y gráfico de la función para llegar a la notación algebraica de la función. Además, se les proporcionan otras tablas para que analicen y relacionen con los comportamientos al infinito. Durante el desarrollo de la actividad se les solicita que lleguen a utilizar una adecuada notación matemática, con el fin de que se percaten de los conceptos asociados a las funciones racionales, como son el de infinito y el de límite, primero alrededor Actividades y proyectos.indd 10 10/9/2013 12:05:02 AM 11 de un valor en el dominio x = c y segundo cuando la variable indepen- diente x crece en valor absoluto hacia los infinitos positivo y negativo. La función racional que hace ciertos los puntos de la tabla no es única. Dado que se presenta un contexto numérico, el dominio no es explícito y en consecuencia se permiten discontinuidades de hueco. El estudian- te puede dar como resultado diversas funciones con las características mencionadas. Álgebra lineal Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas Mendoza y Héctor Hernández Guzmán Propiedades de la transformación lineal en contexto geométrico En esta actividad se introduce al estudiante al estudio de las dos pro- piedades que dan el carácter de lineal a una transformación en R2, esto en un contexto geométrico. La transformación lineal en contexto geométrico En esta actividad se introduce al estudiante al estudio de las trans- formaciones lineales en R2 un contexto geométrico, sin abordar las propiedades que le dan el carácter lineal a las transformaciones. La transformación lineal en contexto geométrico-algebraico Esta actividad involucra al estudiante en la construcción del modelo algebraico que representa transformaciones lineales en R2. La discu- sión de la linealidad no se aborda en esta actividad. cÁlculo Alejandro Miguel Rosas Mendoza y Leticia del Rocío Pardo Mota Focos para navidad En esta actividad los estudiantes deben diseñar un foco utilizando una función cualquiera elegida por ellos y que al rotar sobre el eje x genere el sólido de revolución del foco. Se proporciona un ejemplo de la forma en que se obtiene un foco modelo flama al girar la región alrededor del eje x. Como una manera de incluir elementos de la vida diaria los alum- nos también deberán realizar cálculos adicionales sobre el volumen del Actividades y proyectos.indd 11 10/9/2013 12:05:02 AM 12 actividades y proyectos para la clase de matemáticas cristal utilizado y su costo para proporcionar de manera aproximada el costo de producción del foco que diseñaron. Chimeneas hiperbólicas En esta actividad los estudiantes realizarán la aplicación de sus cono- cimientos sobre el cálculo de volúmenes utilizando cálculo integral. Basándose en la chimenea de una planta nuclearreal, los estudiantes deberán ajustar los valores que se les proporcionan para encontrar la ecuación de la hipérbola que al girar genera el hiperboloide que se utiliza como chimenea. Una vez que han calculado la ecuación encon- trarán el área superficial de la chimenea y su volumen mediante téc- nicas de cálculo integral. Finalmente utilizando el material que elijan construirán un modelo a escala 1cm:10m. Platos de mascotas En esta actividad los estudiantes deberán diseñar un plato para la co- mida de una mascota (perro o gato) para lo cual podrán utilizar la fun- ción que ellos elijan. Adicionalmente los estudiantes deben responder otras preguntas relacionadas con este ejercicio que les permita asociar temas no matemáticos a la solución de esta actividad. Modelación en el aula Alejandro Miguel Rosas Mendoza, Jorge Luis Rosas Mendoza y Leticia del Rocío Pardo Mota Dulces y el comportamiento logarítmico En esta actividad los estudiantes realizarán un experimento en el que se utilizarán dulces con dos caras posibles (una lisa y la otra con una “m”). Los alumnos arrojarán los dulces sobre una mesa y retirarán aquellos cuya letra “m” quede hacia arriba. Se repetirá esta acción hasta retirar todos o que sólo quede uno. Al graficar los alumnos observarán un comportamiento del tipo decaimiento. Newton en un horno de microondas En esta actividad los estudiantes trabajarán con tazas de agua a diferen- tes temperaturas iniciales de modo que puedan observar que entre más grande es la diferencia de temperatura de un objeto con la temperatura del medio es mayor la tasa de enfriamiento de ese objeto. Actividades y proyectos.indd 12 10/9/2013 12:05:02 AM Actividades y proyectos.indd 13 10/9/2013 12:05:02 AM Actividades y proyectos.indd 14 10/9/2013 12:05:02 AM 15 MODELACIÓN Juan Gabriel Molina Zavaleta, Mario Sánchez Aguilar, Fermín Acosta Magallanes, Elvia Rosa Ruiz Ledezma, María del Consuelo Macias González y Avenilde Romo Vázquez En este capítulo los autores nos presentan cuatro actividades didácticas cuya idea central es introducir a los alumnos en la actividad de modelar situaciones. La primera actividad aborda un problema que puede en- frentar un alumno al llegar a una tienda y tener que tomar la decisión de comprar o no una presentación específica de un producto. En la segunda actividad los alumnos enfrentarán dos diferentes formas de variación de variables a partir de un mismo objeto matemático: el círculo. “Cuando tenemos una fórmula la aplicamos y ya, pero cuando no hay fórmula, ¿qué se hace prof?” Es una pregunta recurrente en los alumnos que la tercera actividad se encamina a resolver. La última actividad del capítulo busca generar en los alumnos el concepto de función vectorial a partir de trabajar con un contexto adecuado. Actividades y proyectos.indd 15 10/9/2013 12:05:02 AM 16 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Actividades y proyectos.indd 16 10/9/2013 12:05:02 AM 17 modelación ¿Qué producto conviene coMprar? Juan Gabriel Molina Zavaleta y Mario Sánchez Aguilar Tema: Aritmética. Nivel educativo: Secundaria y bachillerato. Objetivos: Utilizar operaciones aritméticas para tomar decisiones sobre el costo de los productos y fomentar valores morales entre los estudiantes. Resumen de la actividad En esta actividad se plantea al estudiante una situación de la vida coti- diana en la que podría utilizar la operación división para resolverla o inclusive argumentos no matemáticos. Actividad En un centro comercial los frijoles de la marca “La Moreniux” se ofre- cen en dos presentaciones: 1. En lata, de 440 gramos a un precio de $11.10 pesos 2. En bolsa de plástico, de 430 gramos a un precio de $10.80 pesos Responda: ¿Qué presentación del producto conviene comprar? __________________________________ ¿Por qué? _____________________________________________ _____________________________________________ _______________________________________________ Materiales necesarios Lápiz, papel, calculadora básica. Actividades y proyectos.indd 17 10/9/2013 12:05:03 AM 18 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Duración 1 hora de clase. Sugerencias para la aplicación Esta actividad puede ser utilizada para trabajarse por equipos de hasta tres personas. El profesor podría plantear la pregunta a cada equipo y darles 15 minutos de tiempo para que trabajen en ella; posteriormen- te cada equipo expone su solución o su avance en la solución a la tarea. Después el profesor retoma la solución dada por alguno de los equipos (si es el caso) y la formaliza. Sugerencias para la evaluación El profesor podría evaluar los argumentos de la solución a la que llega- ron los estudiantes en cada tarea y la actitud de los estudiantes hacia la discusión de la solución. Respuesta Dividir el costo de cada presentación de los frijoles entre el número de gramos para determinar el valor del gramo en cada presentación del producto. El que resulte menor podría ser un candidato; sin embargo en esta actividad pueden aparecer argumentos no matemáticos, por ejemplo, una presentación del producto podría contaminar más que otra y dado que la diferencia real del precio es muy pequeña, entonces podría convenir comprar la que sale más cara por gramo porque con- taminaría menos (de esta manera se espera fomentar los valores entre los estudiantes). Bibliografía Aguilar, M. y Zavaleta, J.G. (2012). On the links between mathematics education and democracy: A literature review. Phytagoras, 33(2), 5-19. doi: http://dx.doi.org/10.4102/pythagoras.v33i2.164 Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente Esta actividad puede ser modificada utilizando otros productos o servicios que ofrecen las diferentes compañías en el país; por ejemplo: Comparando los paquetes de renta mensual que ofrezcan dos compa- ñías telefónicas ¿qué plan de renta mensual conviene contratar? Esta actividad se enriquece promoviendo que también se consideren los argumentos no matemáticos (como el impacto en el medio ambiente) para fomentar valores y actitudes entre los estudiantes. Actividades y proyectos.indd 18 10/9/2013 12:05:03 AM 19 modelación ¿cóMo varían el Área y períMetro de un círculo? Juan Gabriel Molina Zavaleta y Mario Sánchez Aguilar Tema: Introducción a la derivada. Nivel educativo: Medio Superior y Superior. Objetivo: Conocer el método de cálculo de diferencias. Resumen de la actividad El calcular las diferencias entre dos cantidades ha sido identificado por los autores como una herramienta de análisis que se utilizó durante la génesis del cálculo; esta noción de diferencia puede ser utilizada en la clase de matemáticas para estudiar la variación de magnitudes geométricas interrelacionadas. En esta actividad se expone un ejemplo de ello en el cual se hace un análisis de la forma y la manera en que varía el área y el perímetro de un círculo cuando su radio cambia. Actividad Considérese un círculo cuya longitud inicial del radio es igual a cero unidades y comienza a crecer de una unidad en una unidad. Círculo con radio de 4 unidades Tabla 1. Áreas y perímetros del círculo para distintos radios Responda: ¿Qué pasa con el área del círculo cuando el radio aumenta una unidad? ________________________________ ¿Qué pasa con el perímetro de la circunferencia cuando el radio au- menta una unidad? ___________________________ ¿Crecen de la misma manera el área y la circunferencia? _____________________________________ Actividades y proyectos.indd 19 10/9/2013 12:05:03 AM 20 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Para responder las anteriores preguntas sobre la tabla 1, considere las columnas marcadas con “B” y “C” y calcule las diferencias entre las filas 2, 3, 4, etc., de la manera siguiente: B3 – B2 = 9.43 y C3 – C2= 6.29. Diferencias del área: Diferencias del perímetro: B3 – B2= B4 – B3= B5 – B4= B6 – B5= B7 – B6= B8 – B7= B9 – B8= B10 – B9= B11– B10= C3 – C2= C4 – C3= C5 – C4= C6 – C5= C7 – C6= C8 – C7= C9 – C8= C10 – C9= C11 – C10= Siguiendo el razonamiento de la actividad anterior, calcule las segun- das diferencias; es decir las diferencias de las diferencias para el área y el perímetro. Por ejemplo para el caso de las áreas si B11-B10=59.69 y B10-B9=53.41 las segundas diferencias son las restas entre estas dos cantidades resultantes, 59.69-53.41=6.28. Observe qué ocurre con estas cantidades. Materiales necesarios Calculadora, lápiz, papel; también puede utilizarse un software de geometría dinámica como GeoGebra. Duración 1 hora de clase o un día de trabajo extra clase. Sugerencias para la aplicación La actividad se pude abordar por fases, considerando primero el caso de las áreas y después el perímetro. Las tres preguntas tienen la inten- ción de abrir la discusión con los estudiantes; la respuesta inmediata a las primeras dos preguntas que pueden proporcionar los pupilos es que en ambos casos el área o el perímetro aumentan; sin embargo responder a la tercer pregunta requiere calcular diferencias. La activi- dad puede ser utilizada para trabajar de manera individual como una introducción al estudio de la variación de cantidades en un contexto geométrico-aritmético; esto podría proporcionar una base sólida para la asimilación de este tipo de conocimientos. Actividades y proyectos.indd 20 10/9/2013 12:05:03 AM 21 modelación Respuestas Diferencias del área: B3 - B2 = 12.56637 - π = 9.42478 B4 - B3 = 28.27433 - 12.56637 = 15.70796 ፧ B11 - B10 = 314.15927 - 254.469 = 59.69026 Diferencias del perímetro: C3 - C2 = 12.56637 - 6.28319 = 6.28319 C4 - C3 = 18.849556 - 12.56637 = 6.28319 ፧ C11 - C10 = 62.83185 - 56.54867 = 6.28319 acerca de las segundas diferencias: El hecho de que los valores constantes, obtenidos durante el cálculo de las primeras diferencias para el caso de la circunferencia y de las segundas diferencias del área sean aproximadamente igual a 2π, se encuentra estrechamente ligado al concepto de derivada, ya que la idea de diferencia es la base de la estructura de dicho concepto matemático. En el caso que se está tratando al calcular las segundas diferencias de los valores del área se obtiene 6.28319 ≈ 2π; de manera similar al derivar con respecto a r dos veces la fórmula para calcular el área de un círculo A = πr2, se tiene que: A = πr2 A' = 2πr A" = 2π Sugerencias para la evaluación La calificación puede basarse en los cálculos correctos de las diferen- cias y verificar si los estudiantes advirtieron las diferencias en la forma en que varía el aumento de área con respecto al perímetro. Bibliografía Aguilar, M. (2006). Introducción a la derivada en un contexto tecnológico-va- riacional. Números, 64(1), 1-10. Obtenido de http://www.sinewton.org/nume- ros/numeros/64/ideas_02.pdf Newton, I. (1686). Philosophia Naturalis Principia Mathematica. Londini: Actividades y proyectos.indd 21 10/9/2013 12:05:04 AM 22 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Jussu Soc, Regiæ ac Typis J. Strater. Obtenido de http://www.gutenberg.org/ files/28233/28233-pdf.pdf Newton, I. (1711). Analysis per quantitum series, fluxiones, ac differentias: cum enumeratione linearum tertii ordinis. Londini: Ex officina Pærsoniana. Obtenido de http://www.wilbourhall.org/pdfs/newton/Analysis1711WH.pdf Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente Esta actividad puede ser modificada para resolver otras situaciones; ejemplo: A continuación se presentan tres tablas numéricas. A partir de las ta- blas se puede preguntar a los alumnos: Determina cuál de estas tablas corresponde a una función lineal, cuál a una función cuadrática y cuál a una función cúbica. x y -3 -78 -2 -57.75 -1 -40.5 0 -26.25 1 -15 2 -6.75 3 -1.5 Tabla 1 x y -3 624 -2 404.25 -1 243 0 131.25 1 60 2 20.25 3 3 Tabla 2 x y -3 -29.25 -2 96 -1 221.25 0 346.5 1 471.75 2 597 3 722.25 Tabla 3 Actividades y proyectos.indd 22 10/9/2013 12:05:04 AM 23 modelación predicción del tipo de caMbio Fermín Acosta Magallanes y Elvia Rosa Ruiz Ledezma Tema: Línea recta Nivel educativo: Medio Superior y Superior Objetivo: Conocer aplicaciones de la función lineal como instrumen- to predictivo. Se usa la recta de regresión lineal para mostrar aplica- ciones de la función lineal. Resumen de la actividad En la actividad se plantea la pregunta de predecir el tipo de cambio del peso mexicano comparado con el dólar americano a partir de datos reales. Para realizar la predicción se propone ajustar los datos a una recta de regresión lineal de manera que puedan interpretarla como una función lineal y así generar su predicción. Además se plantea la reflexión sobre la posibilidad de aplicar la matemática como ciencia teórica en el llamado “mundo real”. Actividad Al examinar el mundo real, los datos difícilmente se comportan de acuerdo a una regla matemática exacta, como los puntos sobre una rec- ta o parábola. Entonces es necesario usar aproximaciones. Para ajustar un conjunto de datos del mundo real por medio de una recta utilizamos el método de ajuste de mínimos cuadrados. Por ejemplo, si considera- mos cinco datos dados como parejas (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), (x5, y5) y suponemos que queremos encontrar la recta que mejor ajusta a los puntos (es decir, queremos encontrar la recta que “mejor” represente al grupo de puntos) dada por y = mx+b Utilizamos las siguientes fórmulas, considerando n = 5 en este ejemplo ,x x x x x x y y y y y yi i i i 1 2 3 4 5 1 5 1 2 3 4 5 1 5 = + + + + = + + + + = = / / y x y x y x y x y x y xi i i 1 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5= + + + + = / ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x xi i 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 5 = + + + + = / Actividades y proyectos.indd 23 10/9/2013 12:05:06 AM 24 actividades y proyectos para la clase de matemáticas ,S x x S y x y x 5 5xx i i i xy i i i i i i i i 2 1 5 2 1 5 0 5 0 5 1 5/ / / = - = - = = = = = ^ ^ ^h h h/ / Finalmente las fórmulas para obtener m y b son: m S S y b n y m x xy xy i n i i n i1 1/ / = = -= = Como ejemplo, considere el problema de predecir el tipo de cambio del peso mexicano frente al dólar americano para el día 13 de Mayo de 2013, dados los siguientes datos obtenidos de la página de internet del sat (Servicio de Administración Tributaria en México) Día Mayo (2013) 6 12.0851 7 12.1074 8 12.0733 9 12.0393 10 11.9807 Para mayor facilidad podemos ampliar la tabla a Número de dato Día (xi) Mayo (yi) xi 2 xi yi 1 6 12.0851 36 72.5106 2 7 12.1074 49 84.7518 3 8 12.0733 64 96.5864 4 9 12.0393 81 108.3537 5 10 11.9807 100 119.807 SUMA 40 60.2858 330 482.0095 xi i n 1= / yi i n 1= / xi i n 2 1= / y xi i i n 1= / De esta manera podemos aplicar las fórmulas y obtener , . , . , .S S m b10 0 2769 0 02769 12 27868xx xy= =- =- = Actividades y proyectos.indd 24 10/9/2013 12:05:08 AM 25 modelación De donde se obtiene . .y mx b x0 02769 12 27868= + =- + Y sustituyendo obtenemos nuestra predicción al sustituir x = 13 en la ecuación . . .y 0 02769 13 12 27868 11 91871)=- + = Ahora, formule un reporte en donde responda las siguientes preguntas: 1. Considere el día en que vive y consulte el tipo de cambio del peso mexicano frente al dólar americano. 2. Elija una cierta cantidad de datos (mínimo 5). En el ejemplo fue- ron cinco datos, pero podría cambiar la cantidad si así lo considera ¿Cuántos datos podría elegir como mínimo para ajustar una recta? ¿Cuántos datos podría elegir como máximo para ajustar una recta? 3. Ajuste sus datos usando el método de mínimos cuadrados. ¿Qué significado tiene la pendiente m? ¿Qué interpretación le puede dar a la ordenada al origen b? 4. Grafique los datos y la recta ajustada. ¿La recta ajustada “represen- ta” adecuadamente el conjunto de puntos? Justifique su respuesta. 5. Usando la función lineal obtenida encuentre un valor de tipo de cambio como valorfuturo. ¿Cuántas estimaciones considera que puede predecir en el futuro con base en sus datos? Si cambia la can- tidad de datos para hacer la predicción ¿Cambiaría su estimación para el tipo de cambio? 6. Probablemente tus datos no coinciden con los puntos sobre una recta. ¿Te parece válido que se ocupe la recta para representar los datos? Actividades y proyectos.indd 25 10/9/2013 12:05:08 AM 26 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Materiales necesarios Calculadora, lápiz, papel. Requiere buscar información por internet. Duración 1:30 hora de clase o un día de trabajo extraclase. Sugerencias para la aplicación Esta actividad se puede trabajar de manera individual o colaborativa. Como se requiere información que se puede obtener en Internet se puede dejar como actividad extraclase. En el nivel medio superior se sugiere que la actividad sea asignada como trabajo extraclase y cola- borativa para fomentar la discusión del grupo. Sugerencias para la evaluación Se puede evaluar como primer rubro el repetir el ejemplo con detalle en los cálculos. Se sugiere evaluar el nivel de argumentación de las respuestas y la exactitud de los cálculos sobre valores futuros. Bibliografía Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., y Ye, K. (2012). Probabilidad y estadís- tica para ingeniería y ciencias (9a. ed.). México: Pearson. Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente La actividad puede cambiarse a cualquier grupo de datos que se com- porten de manera aproximadamente lineal. Consideraciones sobre la calidad del ajuste se pueden obviar ya que el análisis en este sentido es cualitativo. Se puede trabajar en la clase con una computadora y pro- yector para encontrar la información y verificar las fórmulas y gráficas con cualquier hoja de cálculo, por ejemplo excel, o en algún labora- torio de cómputo. Se puede cerrar la actividad comentando sobre la necesidad de “ajustar” la teoría a la realidad, para encontrar las aplica- ciones que tanto nos piden los alumnos en clase. Es posible introducir el concepto de estadística para trabajar los datos y probabilidad para manejar errores. Actividades y proyectos.indd 26 10/9/2013 12:05:09 AM 27 modelación buscando trayectorias María del Consuelo Macias González y Avenilde Romo Vázquez Tema: Funciones vectoriales Nivel educativo: Primer año de universidad (los estudiantes deben saber calcular la primera y segunda derivada de una función) Objetivo: Esta secuencia se conforma por diferentes tareas con el ob- jetivo de que los estudiantes conozcan una aplicación de las funciones vectoriales: la representación de la trayectoria de un móvil. Para lo cual, se requieren los conceptos de vector posición, vector velocidad y vector aceleración. De esta manera, una trayectoria seguida por un móvil puede repre- sentarse como una sucesión de posiciones a través de los vectores posi- ción, los cuales tienen el mismo origen. La velocidad y la aceleración también son representadas vectorialmente (vector velocidad y vector aceleración). Resumen de la actividad En esta secuencia se busca representar la trayectoria de un móvil me- diante una función vectorial así como reconocer que ésta puede trans- formarse en una función de variable real. Dicha transformación requie- re que el estudiante reconozca que una función vectorial F, F: I ⊂ R→ R2, de la forma F(t) = x(t)i +y(t)j donde x y y están en función del tiempo y son funciones paramétricas de y(x), definida a su vez sobre R o sobre I ⊂ R. Para pasar de F(t) a y(x) la técnica matemática, en los casos donde esto es posible, consiste en eliminar al parámetro t en una de las funciones paramétricas y sustituirla en la otra. Determinar la justificación que sustenta esta técnica y más aún exponer las razones que motivan el paso de una función vectorial a una función real nos parece que no es natural ni evidente. Las tareas de esta secuencia se han diseñado para conseguirlo de manera gradual. Descripción La secuencia está compuesta de 5 tareas, propuestas en un contexto no matemático, en el cual un ingeniero llamado Pepito Creatividad debe analizar la trayectoria de diferentes móviles y ha sido diseñada utilizando el programa computacional Geogebra con el objetivo de poder graficar tanto las trayectorias como los vectores posición, velocidad y aceleración. Conocer Geogebra no es un requisito para los estudiantes que enfrenten la secuencia, para las actividades 1 y Actividades y proyectos.indd 27 10/9/2013 12:05:09 AM 28 actividades y proyectos para la clase de matemáticas 2 se ha relatado una guía de uso de las funciones del programa que son requeridas. Dichas guías son suficientes para desarrollar toda la secuencia. Actividad tarea 1 Pepito Creatividad es un ingeniero a quien se la ha solicitado encontrar la trayectoria de un móvil conocido como “luna”, las primeras informa- ciones que recibe le indican que “luna” pasa por los siguientes puntos: a, b, c, d, e, f y g; cuyas coordenadas son: a = (-3.93, 0.92), b = (-2.5, 3.93), c = (0, 6.75), d = (2.43, 6.49), e = (4.5, 3.94) y f = (6, 0.75) Con ayuda de geogebra, localiza en el plano XY las coordenadas an- teriores. Coloca aquí el plano con los puntos localizados (Figura 1): Figura 1 Actividades y proyectos.indd 28 10/9/2013 12:05:09 AM 29 modelación tarea 2 Para determinar la trayectoria del móvil “luna”, Pepito Creatividad de- cide trazar el vector posición para cada uno de los puntos. En la figura 2 se ha trazado el vector posición r0 correspondiente al punto a, cuyas coordenadas son (-3.93, 0.92). Figura. 2 Vector posición r0 Con ayuda de Geogebra traza los vectores posición r, para cada uno de los puntos localizados anteriormente, donde r0 estará asociado al punto a, r1 estará asociado al punto b, r2 al punto c y así sucesivamente. Figura 3 Vectores posición Actividades y proyectos.indd 29 10/9/2013 12:05:09 AM 30 actividades y proyectos para la clase de matemáticas tarea 3 El ingeniero recibe una nueva figura (Figura 3), donde se muestran más puntos por los cuales pasó el móvil “luna”. Figura 3. Puntos por donde pasa el móvil luna. a. Utilizando la Figura 3 traza el vector posición para cada uno de los puntos a, b, c, d, e y f. b. Al trazar los vectores posición de los puntos a, b, c, d, e y f (Figura 2) y de los puntos a, b, c, d, e y f (Figura 3). ¿Podrías generar una gráfica de la trayectoria que siguió “luna”? c. ¿Podrías decir con certeza que la trayectoria que encuentras en el inciso anterior es la que siguió el móvil luna? ¿Por qué sí? ¿Por qué no? d. Pepito está interesado en conocer las posiciones que ha seguido “luna” pero esta vez con respecto del tiempo. Consideremos que en esta trayectoria cada punto es de la forma P(x(t), y(t)) donde x(t)= 2t – 3. Para conocer las posiciones con respecto del tiempo completa la tabla, para los puntos en letras minúsculas consulta la figura 3: Figura 4 Gráfica de la trayectoria de “luna” Actividades y proyectos.indd 30 10/9/2013 12:05:09 AM 31 modelación Punto x(t) y(t) x(t) = 2t - 3 t A -3.93 0.92 a B -2.5 3.93 b C 0 6.75 c D 2.43 6.49 d E 4.5 3.94 e F 6.0 0.75 f e. Pepito quiere conocer cuáles son las posiciones que ocupó “luna” en los siguientes tiempos, t=-2, -1, 0.5, 2, 3, 4 y 5. Pepito sabe que la posición r(t) está dada por r(t)= x(t)i +y(t)j. Completa la siguiente tabla: t x(t)= 2t - 3 y(t) = 3 + 4t - t2 r(t)= x(t)i +y(t)j -2 -1 0.5 -2 4.75 -2i+4.75j 2 3 4 5 f. Pepito quiere conocer con qué velocidad se desplazó “luna” en los tiempos t = -2, -1, 0.5, 2, 3, 4 y 5. Conociendo la trayectoria r(t) de un móvil, es posible realizar el cálculo de la velocidad de la siguien- te manera: v(t) = r'(t). Completa la siguiente tabla: Actividades y proyectos.indd 31 10/9/2013 12:05:10 AM 32 actividades y proyectos para la clase de matemáticas t r(t) v(t) -2 -1 0.5 2 3 4 5 tarea 4 Un móvil llamado “espejo humeante” tieneuna trayectoria descrita en un plano por r(t), con la siguiente forma r(t) = f(t)i + g(t)j = < f(t), g(t)>. Siendo f(t) y g(t) dos funciones paramétricas, es decir, están en función del tiempo. Para poder reconocer la expresión analítica de la función real (definida en r) de una curva dada por ecuaciones paramétricas, sería deseable eliminar el parámetro. En este caso, el parámetro es t, por lo que es necesario despejarlo en una ecuación y sustituirlo en la otra. a) Si x(t) = t2 + 2t y y(t) = t - 3 tomando en cuenta la información anterior, elimina el parámetro t. b) Con la ayuda de Geogebra realiza la gráfica de la función real de la trayectoria r(t) del móvil “espejo humeante”. Si la trayectoria del móvil “espejo humeante” esta descrita por: r(t) = (t2 + 2t)i+( t - 3)j Figura 6 Trayectoria r(t) del móvil “espejo humeante” Actividades y proyectos.indd 32 10/9/2013 12:05:10 AM 33 modelación c) Determina la posición de dicho móvil para los siguientes tiempos dados en segundos: Tiempo (t) -250 0 300 720 1200 r(t) Tabla 1. Posición del móvil espejo humeante d) ¿Podrías encontrar la posición del móvil para cualquier tiempo dado? e) ¿Por qué sí? O ¿Por qué no? Cuando se conoce la trayectoria r(t) de un móvil, es posible realizar el cálculo de la velocidad de la siguiente manera: v(t) = r'(t) f) Encuentra la velocidad para los siguientes tiempos: Tiempo (t) 0 250 300 720 1200 v(t) Tabla 2. Velocidad del móvil espejo humeante Cuando se conoce la trayectoria r(t) de un móvil, es posible realizar el cálculo de la aceleración de la siguiente manera: a(t) = v'(t) = r''(t) g) Encuentra la aceleración para los siguientes tiempos: Tiempo (t) 0 150 300 720 1200 a(t) Tabla 3. Aceleración del móvil espejo humeante h) Realiza una gráfica de la trayectoria que siguió el móvil “espejo humeante” y marca los vectores posición, los vectores velocidad y los vectores aceleración para t= 0, 150, 300, 720 y 1200. Materiales necesarios Para realizar esta actividad se requiere el programa computacional Geogebra, el cual puede descargarse gratuitamente en la red. Por lo tanto, se requiere computadoras o tabletas electrónicas. Actividades y proyectos.indd 33 10/9/2013 12:05:10 AM 34 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Duración Dos sesiones de dos horas. Sugerencias para la aplicación Se sugiere que esta secuencia sea resuelta por parejas de estudiantes en un laboratorio de cómputo. Se deja a consideración del profesor la decisión de mencionarles a los alumnos que la tabla del inciso (d) de la Tarea 3 se completa despejando “t” para cada punto en mayúsculas. Por ejemplo, “A” es x(t)= - 3.93 y x(t)= 2t – 3, entonces –3.93 = 2t – 3 por lo tanto t = 0.465 Sugerencias para la evaluación La Tarea 1 solicita sólo la ubicación de los puntos utilizando el pro- grama Geogebra, se considera que los estudiantes no tendrán ningún problema en resolverla. Las tareas 2 y 3, solicitan representar la tra- yectoria de un móvil a través de los vectores posición que tienen el mismo origen, dicha representación puede hacerse sin reconocer la función vectorial, pero si la relación posición con respecto del tiempo. Para completar las tablas los estudiantes tendrán que hacer cálculos simples basados en la sustitución de los valores de t en las expresiones algebraicas. Las tareas 4 y 5 implican reconocer la función vectorial y su paso a una función de variable real, estas son las tareas más complejas de la secuencia, los estudiantes deberán calcular la primera y segunda derivada de la función vectorial, para encontrar la velocidad y acelera- ción del móvil, las cuales deberán ser graficadas junto con los vectores posición. Los estudiantes que logren hacer esta última gráfica habrán concluido satisfactoriamente la secuencia. Bibliografía Macias, C. (2012). Uso de las nuevas tecnologías en la formación matemática de ingenieros (Tesis de maestría no publicada). cicata-ipn, México. Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente. La secuencia puede modificarse en las actividades 4 y 5 para tratar con mayor detalle el paso de la función vectorial a la función de variable real, agregando algunas tareas que permitan mostrar porque tratar al- gunos problemas con estos dos tipos de funciones resulta conveniente. Actividades y proyectos.indd 34 10/9/2013 12:05:10 AM 35 ÁLGEBRA Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas Mendoza , Apolo Castañeda Alonso, Leticia del Rocío Pardo Mota, Elvia Rosa Ruiz Ledezma y Fermín Acosta Magallanes El álgebra es la primera materia abstracta de matemáticas que enfren- tan los alumnos de nivel medio, y es común que represente un serio obstáculo en el avance escolar de los estudiantes. La primera actividad busca motivar el tema de factorización basándose en la conservación de la equivalencia. Combinando la graficación y el álgebra la segunda actividad aborda la construcción del útil teorema de cambio de base en logaritmos. En la tercera actividad los alumnos podrán argumentar qué plan de finan- ciamiento de un automóvil eligen y finalmente en la cuarta actividad generarán funciones racionales que cumplan con características (res- tricciones) específicas. Actividades y proyectos.indd 35 10/9/2013 12:05:10 AM Actividades y proyectos.indd 36 10/9/2013 12:05:10 AM 37 álgebra una introducción a la factorización de expresiones algebraicas Juan Gabriel Molina Zavaleta Tema: Factorización de expresiones algebraicas. Nivel educativo: Secundaria y bachillerato. Objetivo: Estudiar la descomposición en factores de expresiones alge- braicas. Resumen de la actividad Esta secuencia pretende fomentar en los estudiantes una idea de fac- torización con base en la conservación de la equivalencia entre expre- siones matemáticas: aritméticas o algebraicas. Actividad priMera parte: Un primer acercamiento a la factorización La factorización es una operación mediante la cual una expresión ma- temática se escribe de manera equivalente utilizando la multiplicación (o producto). Ejemplos: 6 = 2(3) o también 2(1+1+1), 6= (1+1+1)(2), 6= (4-1)(1+1) Recuerden que el paréntesis es utilizado en matemáticas para expresar una multiplicación. En los ejemplos anteriores el resultado de las ope- raciones planteadas siempre es 6. El 6 fue escrito de otra manera (de hecho de varias formas), pero no dejó de ser 6, ésta es la idea básica de la factorización: encontrar una representación equivalente de alguna expresión matemática utilizando la multiplicación. En cada ejemplo, las expresiones que se multiplican se llaman factores; así en la expre- sión 6= 2(1+1+1) los factores son: 2 y (1+1+1). Pregunta 1. ¿Cuántas formas de factorizar el 6 existen? Respuesta: Existen infinitas porque son infinitas las combinaciones de números para hacerlo. Actividades y proyectos.indd 37 10/9/2013 12:05:10 AM 38 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Pregunta 2. En matemáticas ¿para qué podría ser de utilidad la facto- rización? Respuesta: Existen muchas tareas que para ser resueltas requieren que se utilice la factorización: simplificar expresiones algebraicas, graficar funciones cuadráticas o polinomiales, resolver ecuaciones, etc. Por ejemplo, supongan que al resolver determinado problema les resulta 250 3500 , si desea simplificar la expresión se podría factorizar: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 250 3500 25 10 35 100 5 5 2 5 7 5 10 10 5 5 10 7 5 10 10 = = = ( ) ( )( ) 250 3500 5 7 10 5 7 5 2 14= = = Nota: En la expresión ( )( ) ( )( )( ) 5 5 10 7 5 10 10 las líneas sobre los factores indican que los factores se anulan entre sí; esto ocurre por la siguiente situación: Una propiedad usada aquí es que el orden de los factores no altera el producto. Ejercicios 1: Proponga una factorización para cada una de las expresiones: a)15; b)21; c)45; d) 9 4 ; e) 16 1 ; f) 64 1- ; g) 2 1 ; h) 9 4- ; segunda parte Factorizacionescon literales Es común que la factorización se aplique a expresiones que incluyen literales (o variables). Por ejemplo: 6x = 2x(3) o también 6x = 2x(1+1+1), 6x = (x+x+x)(2), 6x = (4x - x) (1+1) Otro ejemplo: 6x3 = 2x(3x2) o también, 6x3 = 2x(x2+x2+x2), 6x3 = (x2+x2+x2)(2x), 6x3 = (4x2 - x2) (x+x) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ( ) ) ( )( )( ( ) ) ( ) 5 5 2 5 7 5 10 10 5 5 10 10 5 7 10 1 1 5 7 10 5 7 10 = = = Actividades y proyectos.indd 38 10/9/2013 12:05:12 AM 39 álgebra Cada una de las expresiones anteriores son equivalentes a 6x3. Si es- tuviera involucrada otra literal la factorización se realizaría en forma semejante: 6x3z4 = (2xz)(3x2z3) En estos casos que se han involucrado literales se ha utilizado una propiedad de los exponentes: xnxm = xn+m Uno de los aspectos centrales de la factorización es conservar la equivalencia de la expresión factorizada. Ejercicios 2: Proponga una factorización para cada una de las expresiones: a)15x2z3; b)21x2y2r9; c)45ab; d) s q9 4 2 3 e) a 16 5 f) xy64 8 - ; g) x 1 2 ; h)x 9 4- tercera parte: El “corazón” de la factorización, la propiedad distributiva de los números reales respecto a la suma. La factorización también puede ser aplicada a expresiones que se están sumando; la expresión 20+12 puede ser factorizada como 4(5)+4(3), como ambas partes comparten el factor 4, se puede expresar que 4(5)+4(3)=4(5+3) y que es equivalente a 4(5+3) = 4(5)+4(3). A esta rela- ción se le llama propiedad distributiva de los números reales respecto a la suma, la cual se enuncia así: Si x,y,z son números reales, entonces x(y+z) = xy + xz Un ejemplo usando literales: Factorizar la expresión 25x3 -10x, esto es igual a 5x(5x2) - 5x(2) = 5x(5x2-2); igual que en los casos anteriores existen infinidad de factorizaciones; otra factorización podría ser ( )x x x x25 10 10 2 5 13 2- = - ; usar una u otra factorización depende de la tarea que estemos resolviendo. Ejercicios 3: Proponga una factorización para cada una de las expresiones: a) x x3 2+ = b) x x3 2- = c) x x 1 1 3 2+ = d) x y x18 23 2 3- + = e) a b c abc a b c3 2 2 2 2- + = Actividades y proyectos.indd 39 10/9/2013 12:05:14 AM 40 actividades y proyectos para la clase de matemáticas En los ejemplos que se han venido utilizando en esta exposición se puede apreciar que la complejidad de las factorizaciones realizadas ha ido aumentando; si el estudiante domina las leyes de los exponentes, las leyes de los signos y operaciones como la multiplicación, podrá ir proponiendo factorizaciones más complejas. Materiales necesarios Cuaderno, lápiz, sacapuntas y goma de borrar. Duración 3 horas de clase, una por cada etapa. Sugerencias para la aplicación La actividad se pude abordar en tres clases de una hora y está pensada para ser expuesta por el profesor. Las preguntas planteadas tienen la intención de promover la discusión con los estudiantes. Respuestas Las respuestas pueden ser otras expresiones equivalentes a las que se sugieren a continuación. Ejercicios 1: a) ( )15 3 5= ; b) ( )21 7 3= ; c) ( )45 9 5= ; d) ( )( )9 4 3 2 3 2= ; e) 16 1 4 1 4 1 $= ; f) 64 1 32 1 2 1 $- =- ; g) 2 1 2 1 2 1 $= ; h) 9 4 3 2 3 2 $- =- ; Ejercicios 2: a)15x2z3 = 3(5)x2z3; b)21x2y2 r9 = 7 xzr(3xyr8) c) 45ab =9a(5b); d) s q sq sq9 4 3 2 3 2 2 3 2 $= ; e) a a a16 4 4 6 3 3 $= ; f) xy x y 64 8 8 2 8 4 $- =- ; g) x x x 1 1 1 2 $= ; h) ( )( )x x x9 4 9 2 9 2 = Ejercicios 3: a) ( )x x x x 13 2 2+ = + ; b) ( )x x x x 13 2 2- = - ; c) ( )x x x x 1 1 1 1 13 2 2+ = + d) ( )x y x x y18 2 2 1 93 2 3 3 2- + = - ; e) ( )a b c abc a b c abc a b abc13 2 2 2 2 2- + = - + Sugerencias para la evaluación La evaluación puede basarse en las factorizaciones correctas de los ejer- cicios y en la participación del estudiante en el transcurso de la clase. Actividades y proyectos.indd 40 10/9/2013 12:05:18 AM 41 álgebra Bibliografía Bernabé, A. (2012). Valores prácticos y epistémicos de la factorización de expresiones algebraicas (Tesis de maestría no publicada). cicata-ipn. México. Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente El profesor podría plantear factorizar expresiones algebraicas que se relacionen con los contenidos matemáticos que esté estudiando. Actividades y proyectos.indd 41 10/9/2013 12:05:18 AM Actividades y proyectos.indd 42 10/9/2013 12:05:18 AM 43 álgebra el teoreMa del caMbio de base en logaritMos Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas Mendoza y Apolo Castañeda Alonso Tema: Álgebra. Nivel educativo: Bachillerato y superior. Objetivos: Deducir el teorema del cambio de base en logaritmos: Para cualesquiera números reales positivos a, b y x, con a y b distintos de 1, se tiene que log log log x a x a b b = Resumen de la actividad En esta actividad se construye el teorema de cambio de base en loga- ritmos utilizando gráficas de funciones concretas. Actividad Considérese la función y1 = 5 graficándola: Figura 1. Gráfica de la función y1 = 5 Si se dibuja en el mismo plano a las funciones: y1 = 5 y y2 = 3 x se obtiene la grafica siguiente: Actividades y proyectos.indd 43 10/9/2013 12:05:18 AM 44 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Figura 2. Gráfica de las funciones y1=5 y y2=3 x Responda: ¿Al observar las gráficas de las funciones mostradas en la figura 2, se puede afirmar que para algún número real m, y2(m) = y1(m)? Es decir, ¿se intersectan y1 y y2? Respuesta: Sí, lo cual implica que 3m=5 (Ecuación 1) La ecuación 1 se resuelve aplicando la función inversa de y2, log3x, en ambos lados de la igualdad, por tanto: m=log35 A continuación se involucra una nueva función: y3=2 x, ésta se grafica junto con las funciones y1 y y2 : Figura 3. Gráfica de las funciones y1=5, y2=3 x y y3=2 x Responda: ¿Al observar las gráficas de las funciones mostradas en la figura 3, se puede afirmar que para algún número real n, y3(n)=y1(n)? Actividades y proyectos.indd 44 10/9/2013 12:05:19 AM 45 álgebra Respuesta: Sí; entre las funciones y1 y y3 ocurre una situación semejan- te a la que se dio entre las funciones y1 y y2: Para algún número real n, ( ) ( ) log y n y n n 2 5 5 n 3 1 2 . . = = = (Ecuación 2) Por tanto de las ecuaciones 1 y 2 se tiene que para ciertos números reales m y n: 3m=2n=5 3m=2n (Ecuación 3) Responda: ¿Existe algún número real q tal que 3q=2? Respuesta: Sí. Si graficamos la función constante y4=2, cortará a la función y2=3 x en algún valor q Figura 4. Gráfica de las funciones y4=2, y2=3 x Por tanto ocurre que 3q=2. Sustituyendo este valor en la Ecuación 3, se tiene: Actividades y proyectos.indd 45 10/9/2013 12:05:19 AM 46 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Para ciertos números reales m, n y q se cumple, 3m=(3q)n, y por las pro- piedades de los exponentes la expresión se reduce a: 3m=3nq De lo anterior se concluye que, m=nq (Ecuación 4) Por los desarrollos anteriores, se conoce el valor de m, n y q, (q=log32) Por tanto la ecuación 4 puede expresarse: log35= log2 5 log3 2 De donde se obtiene que: log log log 5 2 5 2 3 3 = (Ecuación 5) En la ecuación 5 se interpreta que el logaritmo con base dos de cinco es expresado como cociente de logaritmos con base tres: entonces se ha realizado un cambio de base. Lo que se ha construido es un caso particular del teorema del cambio de base de un logaritmo, el cual expresa: Para cualesquiera números reales positivos a, b y x, con a y b distintos de 1, log log log x a x a b b = Si b se elige igual al número e, la constante de Euler, la expresión ante- rior se expresa por convención: log ln lnx a x a = Donde ln se conoce como el logaritmo natural. Materiales necesarios Lápiz, papel, calculadora científica o graficadora. Actividades y proyectos.indd 46 10/9/2013 12:05:19 AM 47 álgebra Duración 1 hora de clase. Sugerencias para la aplicación Esta actividad está pensada paraser expuesta por el profesor; en el transcurso de la ponencia el profesor puede ir planteando las pregun- tas de la activad a los estudiantes para involucrarlos en la construcción de la expresión matemática. Sugerencias para la evaluación El profesor podría evaluar las participaciones de los estudiantes en el transcurso de su exposición del tema. Respuesta Por la modalidad de la actividad esta sección no es necesaria. Bibliografía Castañeda, A., Rosas, A., y Molina, G. (2010). El discurso matemático escolar de los logaritmos en libros de texto. Premisa, 12(44), 3-18. Molina, J.G., Castañeda, A. y Rosas, A. (2011). El teorema del cambio de base de logaritmos: Una nota de clase. Premisa, 13(50), 23-27. Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente Esta actividad puede ser enriquecida en clase abordando la discusión de las siguientes preguntas: ¿Qué ocurre si en la ecuación 5 se cambia el valor de la base 3 por algún otro valor? a. Si es positivo b. Si es negativo c. Si es cero d. Si es 1 ¿Cuál es la razón de que se excluyen los números negativos, el 0 y el 1 como bases? ¿Por qué razón al cambiar la base , con valores permitidos, la igualdad se conserva? Actividades y proyectos.indd 47 10/9/2013 12:05:19 AM Actividades y proyectos.indd 48 10/9/2013 12:05:20 AM 49 álgebra ¿Qué plan escoges? Alejandro M. Rosas Mendoza y Leticia del Rocío Pardo Mota Tema: Interés simple y compuesto Nivel educativo: Medio Superior y Superior Objetivo: Conocer aplicaciones de la función exponencial. Uso del interés simple y compuesto para calcular el costo final de un auto. Resumen de la actividad En esta actividad a los estudiantes se les presenta la posibilidad de adquirir un automóvil con diferentes planes de financiamiento. Para realizar su elección deben calcular cuál será el costo final del automóvil de modo que puedan elegir aquél que sea el más barato. Durante el desarrollo de la actividad se les solicita que calculen el interés total que sobre el precio de lista se paga durante el financiamiento. Actividad En esta práctica van a trabajar con la función exponencial aplicada a las finanzas, para lo cual van a necesitar conocer una fórmula que permite calcular las mensualidades que deben pagarse para cubrir una deuda. Amortización de una deuda: Si un préstamo de A pesos se amortiza en n años a una tasa de interés anual de r% (en decimal) capitalizada mensualmente, entonces las cuotas mensuales están dadas por ( ) M r A r 1 1 12 12 n12 = - + - Ahora deben resolver la siguiente situación: Una persona desea com- prar un automóvil modelo 2014, su precio es de $205,900. A modo de financiamiento se le presentan las siguientes opciones: Actividades y proyectos.indd 49 10/9/2013 12:05:20 AM 50 actividades y proyectos para la clase de matemáticas 1. Enganche de $35,000 y el resto en 36 mensualidades fijas de $5,649.20 2. Sin pago de enganche, al total se le agrega el 15.5% y se divide en 36 mensualidades fijas. Responda: a. ¿Qué mensualidad debe pagar en cada caso? b. ¿Cuál es el monto final que cubre en cada caso? c. ¿Qué porcentaje extra se paga en cada caso? d. ¿Qué plan le conviene más? 3. Utilice la fórmula de amortización de una deuda y calcule las men- sualidades y el monto final que se genera al financiar el monto de $205,900 con el 9.85% de interés anual a pagar en tres años en men- sualidades (En este caso no se paga enganche). Vuelva a responder las preguntas anteriores tomando en cuenta los tres planes. 4. Responda: ¿Por qué si se aplica la tasa más baja de las tres opciones en el último caso se obtiene ese monto final? Si no realiza los cálcu- los correspondientes, ¿cuál plan escogería? Materiales necesarios Calculadora, lápiz, papel Duración 1 hora de clase o un día de trabajo extraclase. Sugerencias para la aplicación Esta actividad puede ser utilzada para trabajar de manera individual pues permite conocer y aplicar conceptos de interés simple y compues- to. Puede verse también como una actividad de aplicación de la fun- ción exponencial. Respuestas opción 1: Mensualidad $6,649.20, costo total: $238,371.20, i=15.77% opción 2: Mensualidad $6,605.96, costo total: $237,814.50, i=15.50% opción 3: Mensualidad $6,629.32, costo total: $238,655.63, i=15.91% Sugerencias para la evaluación Esta actividad requiere que los alumnos calculen correctamente los porcentajes y mensualidades de manera exacta. Las respuestas a la pregunta ¿qué plan te conviene más? Pueden estar basadas en consi- deraciones personales como presupuesto inicial (fondos para dar el Actividades y proyectos.indd 50 10/9/2013 12:05:20 AM 51 álgebra enganche) y presupuesto mensual (para pagar las mensualidades) por lo que la decisión de los alumnos en la posición del comprador del auto posiblemente no sea la opción de menor costo total. La calificación puede basarse en el cumplimiento de la fecha de entrega, los cálculos correctos de las mensualidades, los costos totales calculados y la justi- ficación completa de su elección. Bibliografía Harshbarger, R. y Reynolds, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales (7ma. ed.). México: Mc Graw Hill. Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente. Esta actividad puede ser modificada de acuerdo al contexto escolar de los estudiantes. En vez de un automóvil puede utilizarse el costo de una motocicleta, una bicicleta, etc. Para el caso de alumnos de primaria y secundaria podría intentarse utilizar el costo de una tableta electrónica, una computadora portátil o un teléfono inteligente. También se sustituiría el cálculo de la amor- tización por una combinación de intereses como: 15% primer año, 10% segundo año y 5% tercer año. Actividades y proyectos.indd 51 10/9/2013 12:05:20 AM Actividades y proyectos.indd 52 10/9/2013 12:05:20 AM 53 álgebra la función racional Elvia Rosa Ruiz Ledezma y Fermín Acosta Magallanes Tema: La función racional. Nivel educativo: Medio Superior. Objetivo: Conocer el comportamiento numérico de las funciones ra- cionales, intentando establecer la relación con su gráfica y su expre- sión algebraica. Resumen de la actividad En esta actividad a los estudiantes se les presenta una tabla donde se concentran algunos puntos que pertenecen a una función racional propuesta con la idea de que el estudiante al introducir los valores en una pantalla de Excel observe el comportamiento numérico y gráfico de la función para llegar a la notación algebraica de la función. Además, se les proporcionan otras tablas para que analicen y relacionen con los comportamientos al infinito. Durante el desarrollo de la actividad se les solicita que lleguen a utilizar una adecuada notación matemática, con el fin de que se percaten de los conceptos asociados a las funciones racionales, como son el de infinito y el de límite, primero alrededor de un valor en el dominio y segundo cuando la variable independiente x crece en valor absoluto hacia los infinitos positivo y negativo. La fun- ción racional que hace ciertos los puntos de la tabla no es única. Dado que se presenta un contexto numérico, el dominio no es explícito y en consecuencia se permiten discontinuidades de hueco. El estudiante puede dar como resultado diversas funciones con las características mencionadas. Actividad 1. Introduce los valores de x y y de la siguiente tabla en una hoja de Excel y posteriormente grafícalos. Tabla 1 x y -7 0.7 -6 0.66667 -5 0.625 -4 0.57143 -3 0.5 -2 0.4 Actividades y proyectos.indd 53 10/9/2013 12:05:20 AM 54 actividades y proyectos para la clase de matemáticas x y -1 0.25 0 0 1 -0.5 2 -2.0 4 4.0 5 2.5 6 2.0 7 1.75 8 1.6 2. Copia en este espacio lo que estás viendo en la pantalla. Como puedes darte cuenta en la tabla 1 omitimos dar a xel valor de 3, por lo que a continuación se te proporcionan otras dos tablas para que encuentres el valor de la ordenada cuando la abscisa se acerca al valor de 3. Tabla 2 Tabla 3 x y 3.1 31 3.01 301 3.001 3001 3.0001 30001 x y 2.9 -29 2.99 -299 2.999 -2999 2.9999 -29999 3. Responde: a. En la tabla 2 ¿qué sucede con la variable y cuando la variable x se está acercando al valor 3 con valores que son mayores que 3? _______________________________________ b. En la tabla 3 ¿qué sucede con la variable y cuando la variable x Actividades y proyectos.indd 54 10/9/2013 12:05:21 AM 55 álgebra se está acercando al valor 3, con valores que son menores que 3? ______________________________________ c. Sugerido por las tablas, concluye ¿qué valor le asignarás a la ordena- da (variable y) para el valor ? ______________________________ d. Completa la siguiente expresión matemática. ( )lim f x x 3 = " - ( )lim f x x 3 = " + e. ¿Qué valores te sugiere la tabla 1 para responder los siguientes límites? ( )lim f x x = "3 ( )lim f x x = " 3- 4. Escribe una expresión matemática de la función racional que contie- ne los valores dados en la tabla 1 (Para escribir la expresión algebrai- ca que hace ciertos los puntos que se te proporcionaron en la tabla 1 debes tener en cuenta los límites que se te solicitaron anteriormente y comprobar que es correcta la expresión sustituyendo los valores de x en la expresión que le asignaste). Materiales necesarios Computadora, calculadora, lápiz, papel Duración 1 hora de clase o un día de trabajo extraclase. Sugerencias para la aplicación Esta actividad puede ser utilizada para trabajar de manera individual ya sea con una graficadora, computadora o calculadora, lápiz y papel. Durante la etapa de diseño se consideró que el estudiante pudiera apli- car conceptos de infinito y límite en el tema de funciones racionales por lo que se requiere que el alumno ya haya estudiado el tema de límites o se encuentre estudiándolo. Actividades y proyectos.indd 55 10/9/2013 12:05:21 AM 56 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Respuestas 1. - Utilizando la tabla 2 se observa que f(x) se está acercando a +∞ 2. - Utilizando la tabla 3 se observa que f(x) se está acercando a - ∞ 3. - Utilizando la tabla 1 se observa que f(x) se está acercando a 1 4. - Una de las expresiones algebraicas que hacen ciertos los valores de la tabla 1 es ( )f x x x 3= - . La solución es única salvo factores comunes en el numerador y denominador. Sugerencias para la evaluación Esta actividad requiere que los alumnos interpreten correctamente los datos contenidos en las tablas para responder los límites, que conoz- can como obtener un límite cuando x tiende a una constante y tiende al infinito. La calificación puede basarse en la entrega de la actividad y las res- puestas que tan cercanas fueron a las correctas, observando que tanto el estudiante interpretó los valores numéricos. Bibliografía Thomas, G. (2005). Cálculo una variable (11ra.ed.). México: Pearson Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente. Esta actividad puede ser modificada de acuerdo al nivel escolar de los estudiantes del medio superior o superior, alternativamente como una aplicación del estudio del tema de límites en un contexto gráfico y algebraico. Actividades y proyectos.indd 56 10/9/2013 12:05:21 AM 57 ÁLGEBRA LINEAL Juan Gabriel Molina Zavaleta, Alejandro M. Rosas Mendoza y Héctor Hernández Guzmán Las transformaciones lineales son muy importantes en la matemática pues aparecen en muy diversos contextos y tienen una amplia gama de aplicaciones. Desarrollar este concepto basándose en el contexto geométrico puede tener como gran apoyo el uso de la visión. Las tres actividades contenidas en este capítulo permiten que el estudiante utilice referentes visuales que les permitan construir y desarrollar las ideas centrales de la transformación lineal. Actividades y proyectos.indd 57 10/9/2013 12:05:21 AM Actividades y proyectos.indd 58 10/9/2013 12:05:22 AM 59 álgebra lineal propiedades de la transforMación lineal en contexto geoMétrico Juan Gabriel Molina Zavaleta y Alejandro M. Rosas Mendoza Tema: La linealidad en una transformación en R2. Nivel educativo: Superior. Objetivo: Estudiar las dos propiedades de la transformación lineal en contexto geométrico. Resumen de la actividad En esta actividad se introduce al estudiante al estudio de las dos pro- piedades que dan el carácter de lineal a una transformación en R2, esto en un contexto geométrico. Actividad Una transformación (o mapeo) T es lineal si: 1. ( ) ( ) ( )T u v T u T v+ = + , para toda u y v en el dominio de T, y 2. T(cu) = cT(u), para toda u y todos los escalares c. (Lay, 2001, p.70) responda para cada caso: ¿Es posible que exista una transformación lineal que convierta los vec- tores de la Figura 1 en los vectores de la Figura 2? ¿Por qué? 1.) Figura 1 Figura 2 Actividades y proyectos.indd 59 10/9/2013 12:05:23 AM 60 actividades y proyectos para la clase de matemáticas 2). Figura 1 Figura 2 3). Figura 1 Figura 2 Materiales necesarios Lápiz, papel, compás. Duración 2 horas de clase o un día de trabajo extra clase. Sugerencias para la aplicación Esta actividad puede ser utilizada para trabajarse por equipos de hasta tres personas. El profesor podría plantear la primer pregunta a cada equipo y darles 15 minutos de tiempo para que trabajen en ella; poste- riormente cada equipo expone su solución o su avance en la solución a la tarea. Después el profesor expone la manera de resolver la tarea o redondea la solución dada por alguno de los equipos (si es el caso) y luego les encarga que resuelvan la siguiente tarea, y así hasta cumplir con las tres tareas. Sugerencias para la evaluación Dado que la tarea tiene un grado medio de complejidad, el profesor podría evaluar el porcentaje de la solución a la que llegaron los estu- diantes en cada tarea y la actitud de los estudiantes hacia la discusión de las soluciones a cada tarea. Actividades y proyectos.indd 60 10/9/2013 12:05:23 AM 61 álgebra lineal Respuestas La solución al caso 1: No podría existir tal transformación lineal; en la figura 1 se muestran dos vectores linealmente dependientes y en la figura 2, dos vectores linealmente independientes. Observemos la figura 1, B = kA, para al- gún escalar k, entonces se debería cumplir T(B) = T(kA) = kT(A), es decir T(A) y T(B) en un principio deberían ser linealmente dependientes y no lo son. La solución al caso 2: Sí podría existir una transformación lineal, en la figura 1 y 2 se mues- tran vectores dependientes linealmente, se observa gráficamente que T(B) = T(kA) = kT(A), para algún escalar k; también se observa que po- dría ocurrir que T(A+B) =T(A) + T(B). La solución al caso 3: Sí podría existir la transformación lineal; correspondería con una transformación de “trasquilado”. Bibliografía Hernández, H. (2013). Diseño de una secuencia didáctica para el estudio de la trans- formación lineal en R2 (Tesis de maestría no publicada). cicata-ipn. México. Lay, D. (2001). Algebra lineal y sus aplicaciones. México: Printece Hall. Molina, J.G. y Oktaç, A. (2007). Concepciones de la transformación lineal en contexto geométrico. Relime, 10(2), 241-274. Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente. Esta actividad puede ser modificada utilizando otros casos con más vectores; también se podrían solicitar las fórmulas de las transforma- ciones que representan las transformaciones lineales. Actividades y proyectos.indd 61 10/9/2013 12:05:24 AM Actividades y proyectos.indd 62 10/9/2013 12:05:24 AM 63 álgebra lineal la transforMaciónlineal en contexto geoMétrico Juan Gabriel Molina Zavaleta, Héctor Hernández Guzmán y Alejandro M. Rosas Mendoza Tema: Transformaciones lineales geométricas. Nivel educativo: Superior. Objetivo: Estudiar transformaciones lineales geométricas. Resumen de la actividad En esta actividad se introduce al estudiante al estudio de las trans- formaciones lineales en R2 un contexto geométrico, sin abordar las propiedades que le dan el carácter lineal a las transformaciones. Actividad Observen el triángulo de la figura 1 en el plano xy: Figura 1 respondan: Tarea 1. Si se mueven el eje x y el eje y como en la figura 2, ¿cómo queda dibu- jado el triángulo de la figura 1? Figura 2 Actividades y proyectos.indd 63 10/9/2013 12:05:24 AM 64 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Notas: El sistema de ejes xy en gris representa la posición original (la mostrada en la figura 1) y el sistema de ejes x’y’ representan la posición de cómo quedó el plano xy al moverse y es allí donde se debe mostrar cómo queda dibujado el triángulo. Tarea 2. Si se mueven el eje x y el eje y como en la figura 3, ¿cómo queda dibu- jado el triángulo de la figura 1? Figura 3 Tarea 3. Observen el vector de la figura 4: Figura 4 Tarea 4. Si se mueven el eje x y el eje y como en la figura 5, ¿cómo queda dibu- jado el vector de la figura 4? Figura 5 Actividades y proyectos.indd 64 10/9/2013 12:05:25 AM 65 álgebra lineal Nota: En este caso el sistema de ejes x’y’ representa la posición final del sistema de ejes xy después de moverse. Materiales necesarios Lápiz, papel, compás. Duración 2 horas de clase o un día de trabajo extra clase. Sugerencias para la aplicación Esta actividad puede ser utilizada para trabajarse por equipos de tres personas o individualmente. El profesor podría plantear la primer pre- gunta a cada equipo y darles 15 minutos tiempo para que trabajen en ella; posteriormente cada equipo expone su solución o su avance en las solución a la tarea. Después el profesor expone la manera de resol- ver la tarea o redondea la solución dada por alguno de los equipos (si es el caso) y luego les encarga que resuelvan la siguiente tarea, y así hasta cumplir con las tres tareas. Sugerencias para la evaluación Dado que la tarea es compleja, el profesor podría evaluar el porcentaje de la solución a la que llegaron los estudiantes a cada tarea y la actitud de los estudiantes hacia la discusión de las soluciones a cada tarea. Respuestas TAREA 1: La solución a la tarea 1 es la siguiente: Que los estudiantes ubiquen en los ejes x e y a las unidades de los puntos que definen al triángulo, figura T1-1. Figura T1-1 Figura T1-2 Actividades y proyectos.indd 65 10/9/2013 12:05:26 AM 66 actividades y proyectos para la clase de matemáticas En la figura T1-1 se utilizan rectas paralelas a los ejes para ubicar las unidades x e y en sus respectivos ejes. Posteriormente deberán ubicar estas unidades x e y en los ejes primos y determinar la posición de cada punto. En la figura T1-2 se muestra que se emplea un círculo con centro en el origen y radio x para determinar la posición de x en el eje primo, es decir x'; se procede de forma seme- jante para ubicar la componente y en el eje y'. Los estudiantes podrán utilizar cualquier objeto que les permita hacer tal tarea, puede ser una regla, un pedazo de papel, etc. Posteriormente con rectas paralelas a los ejes primos deberán determinar la posición de cada punto del triángulo y trazarlo, figuras T1-3 y T1-4. Figura T1-3 Figura T1-4 TAREAS 2 y 3: La solución a las tareas 2 y 3 se realiza con el mismo método; las res- puestas son: Tarea 2 Tarea 3 Actividades y proyectos.indd 66 10/9/2013 12:05:27 AM 67 álgebra lineal Bibliografía Hernández, H. (2013). Diseño de una secuencia didáctica para el estudio de la trans- formación lineal en R2 (Tesis de maestría no publicada). cicata-ipn. México. Molina, J.G. y Oktaç, A. (2007). Concepciones de la transformación lineal en contexto geométrico. Relime, 10(2), 241-274. Sugerencias de modificación para temas afines o nivel educativo diferente Esta actividad puede ser modificada utilizando otros movimientos de los ejes; cambiando figuras a ser transformadas. Por ejemplo se puede utilizar el dibujo de una letra del alfabeto y solicitar a los estudiantes el movimiento de ejes que se requeriría para transformar tal letra en cursiva. Actividades y proyectos.indd 67 10/9/2013 12:05:27 AM Actividades y proyectos.indd 68 10/9/2013 12:05:27 AM 69 álgebra lineal la transforMación lineal en contexto geoMétrico-algebraico Juan Gabriel Molina Zavaleta, Héctor Hernández Guzmán y Alejandro M. Rosas Mendoza Tema: La forma algebraica de la transformación lineal en R2: T y x b d a c y x bx dy ax cy = = + +8 8 8 ;B B B E Donde y x` j es un vector en R2 y a, b, c y d son números reales. bx dy ax cy + +c mes el vector transformado, la imagen del vector y x` j bajo la transformación T. Nivel educativo: Superior. Objetivo: Construir la expresión algebraica de la transformación li- neal en R2. Resumen de la actividad Esta actividad involucra al estudiante en la construcción del modelo algebraico que representa transformaciones lineales en R2. La discu- sión de la linealidad no se aborda en esta actividad. Actividad Tarea 1. Se han movido el eje x y el eje y de tal manera que el vector (4, 7) se ha dibujado como el vector C, ver la figura 1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto (x'1 ,y'1) en el plano xy ? Se sabe que el ángulo entre el eje x y el eje x' es de 45º. Figura 1 Actividades y proyectos.indd 69 10/9/2013 12:05:28 AM 70 actividades y proyectos para la clase de matemáticas Tarea 2. Continuando con el caso anterior. ¿Cuáles son las coordenadas del punto (x’2 ,y’2) en el plano xy? Se sabe que el ángulo entre el eje x y el eje y’ es de 60º. Figura 2 Tarea 3. Continuando con el mismo caso. ¿Cuáles son las coordenadas del vec- tor C en el plano xy? Materiales necesarios Lápiz, papel, compás, goma de borrar. Duración 2 horas de clase o un día de trabajo extra clase. Sugerencias para la aplicación Esta actividad puede ser utilizada para trabajarse por equipos de hasta tres personas o individualmente. El profesor podría plantear la pri- mer pregunta a cada equipo y darles 15 minutos de tiempo para que trabajen en ella; posteriormente cada equipo expone su solución o su avance en las solución a la tarea. Después el profesor expone la manera de resolver la tarea o redondea la solución dada por alguno de los equipos (si es el caso) y luego les encarga que resuelvan la si- guiente tarea, y así hasta cumplir con las tres tareas. Es muy posible que esta tarea requiera intervenciones del profesor para recordar a los estudiantes cómo determinar los lados de un triángulo rectángulo conociendo uno de sus lados y también la definición de las funciones trigonométricas seno y coseno. Sugerencias para la evaluación Dado que la tarea tiene un grado medio de complejidad el profesor podría evaluar el porcentaje de la solución a la que llegaron los estu- diantes en cada tarea y su actitud hacia la discusión de las soluciones. Actividades y proyectos.indd 70 10/9/2013 12:05:28 AM 71 álgebra lineal Respuestas Tarea 1: Puede ser semejante a la siguiente: 1. Deben determinar que el valor de la componente x del vector (4,7); es 4. Se emplea una circunferencia para ubicar el valor de x en el eje x’ (pues en el eje x' la componente x también es 4). Ver la figura T1-1. Figura T1-1 Figura T1-2 2. Luego deberán ubicar al punto (x’, y’) respecto al plano xy, para ello podrían construir un triángulo rectángulo como se muestra en la figura T1-2. En otras palabras, expresar el punto en términos de las coordenadas (x, y). 3. Finalmente en la solución numérica del problema el estudiante
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