Algebra-Intermedia 2-páginas-42

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616 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.3
Ejercicios de concepto/redacción
1. Considere la función logarítmica y � loga x.
a) ¿Qué restricciones hay sobre a?
b) ¿Cuál es el dominio de la función?
c) ¿Cuál es el rango de la función?
2. Escriba y � loga x en forma exponencial.
3. Si algunos puntos en la gráfica de la función exponencial,
son (0, 1), (1, 3),a -3, 
1
27
b , a -2, 
1
9
b , a -1, 
1
3
b ,f1x2 = ax
(2, 9) y (3, 27), liste algunos puntos de la gráfica de la función
logarítmica g(x) � loga x. Explique cómo determinó su res-
puesta.
4. Para la función logarítmica y � loga (x � 3), ¿qué debe cum-
plirse respecto de x? Explique.
5. Analice la relación entre las gráficas de y � ax y y � loga x
para a � 0 y a Z 1.
6. ¿Cuál es la intersección con el eje x de la gráfica de una
ecuación de la forma y � loga x?
Práctica de habilidades
Grafique las funciones logarítmicas.
7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
Grafique cada par de funciones en los mismos ejes.
15. 16. 17. 18.
Escriba cada ecuación en forma logarítmica.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. cb
= wan
= b
e-1>2
= 0.6065e2
= 7.3891101.0792
= 12
100.8451
= 732-1>5
=
1
2
81-1>4
=
1
3
16-1>2
=
1
4
8-1>3
=
1
2
5-4
=
1
625
641>3
= 4811>2
= 94-3
=
1
64
6-3
=
1
216
2-3
=
1
8
a1
3
b 4
=
1
81
a1
2
b 5
=
1
32
161>4
= 281>3
= 2
491>2
= 7161>2
= 426
= 64
32
= 935
= 24323
= 8
y = a1
2
bx
, y = log1>2 xy = 2x, y = log2 xy = a1
2
bx
, y = log2 xy = 2x, y = log1>2 x
y = log1>4 xy = log1>5 xy = log4 xy = log5 x
y = log1>3 xy = log1>2 xy = log3 xy = log2 x
Realice los cálculos Cambiar a la forma exponencial.
Responda Por lo tanto, un terremoto que mide 4 grados es 10,000 veces más intenso
respecto de la actividad sísmica más pequeña que se puede medir.
b)
Cambiar a la forma exponencial.
Como (10,000)(10) � 100,000, un terremoto que mide 5 es 10 veces más intenso que un
terremoto que mide 4.
� Ahora resuelva el ejercicio 113
 100,000 = I
 105
= I
 5 = log10 I
 10,000 = I
 104
= I
Sección 9.3 Funciones logarítmicas 617
Escriba cada ecuación en forma exponencial.
45. 46. 47.
48. 49. 50.
51. 52. 53.
54. 55. 56.
57. 58. 59.
60. 61. 62.
63. 64.
Escriba cada ecuación en forma exponencial; luego determine el valor desconocido.
65. 66. 67. 68. 3
69. 70. 71. 72.
73. 74. 75. 3 76.
Evalúe cada una de las siguientes expresiones.
77. 0 78. 79. 2 80. 3
81. 82. 83. 4 84. 5
85. 4 86. 87. 88.
89. 90. 91. 0 92. 0
93. 1 94. 1 95. 5 96. 7
Resolución de problemas
log2 128log4 1024log12 12log9 9
log15 1log9 1log14 
1
14
log8 
1
64
log5 
1
125
log3 
1
81
log13 169log4 256
log10 100,000log10 10,000log10 
1
1000
log10 
1
100
log10 1000log10 100log10 10log10 1
log9 
1
81
= yloga 
1
27
= -3log1>3 x = 4log1>2 x = 6
log8 
1
64
= ylog2 
1
16
= ylog2 x = 5log3 x = 3
loga 81 = 4loga 125 = 3log5 25 = ylog4 64 = y
logr c = -alogw s = -p
loge 30 = 3.4012loge 6.52 = 1.8749log10 8 = 0.9031
log10 0.62 = -0.2076log4 1024 = 5log6 216 = 3
log10 1000 = 3log10 
1
1000
= -3log10 
1
100
= -2
log9 
1
81
= -2log64 4 =
1
3
log49 7 =
1
2
log5 
1
625
= -4log5 
1
25
= -2log1>2 
1
64
= 6
log1>3 
1
27
= 3log5 125 = 3log2 8 = 3
97. Si f(x) � 5x, ¿cuál es el valor de f�1(x)?
98. Si f(x) � log6 x, ¿cuál es el valor de f�1(x)?
99. ¿Entre cuáles enteros debe estar log3 62? Explique.
100. ¿Entre cuáles enteros debe estar log10 0.672? Explique.
101. ¿Entre cuáles enteros debe estar log10 425? Explique.
102. ¿Entre cuáles enteros debe estar log5 0.3256? Explique.
103. En el caso de x � 1, ¿qué valor aumenta más rápido confor-
me x se incrementa, 2x o log10 x? Explique.
104. En el caso de x � 1, ¿qué valor aumenta más rápido confor-
me x se incrementa, x o log10 x? Explique.
Cambie a la forma exponencial y despeje x. En la sección 9.4 analizaremos las reglas para resolver problemas como éstos.
105. 6 106. 9 107. 8 108. 5
Cambie a la forma logarítmica y despeje x. En la sección 9.4 analizaremos las reglas para resolver problemas como éstos.
109. 3 110. 5 111. 9 112. 2x = clogc 2x = blogb 9x = 6log6 5x = 10log10 3
x = loge e
5x = logb b
8x = log7 7
9x = log10 106
113. Terremoto Si la magnitud de un terremoto es de 7 grados
en la escala Richter, ¿cuántas veces es más intenso respecto
de la actividad sísmica más pequeña que puede medirse?
Utilice R � log10 I (vea el ejemplo 6).
114. Terremoto Si la magnitud de un terremoto es de 5 grados
en la escala Richter, ¿cuántas veces es más intenso respecto
de la actividad sísmica más pequeña que puede medirse?
Utilice R � log10 I.
115. Terremoto ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto
que mide 6 grados en la escala Richter que uno que mide 2?
116. Terremoto ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto
que mide 4 grados en la escala Richter que uno que mide 1?
117. Grafique y � log2 (x � 1).
118. Grafique y � log3 (x � 2).raphing answer sección.
9.4 Propiedades de los logaritmos
1 Utilizar la regla del producto
para logaritmos.
2 Utilizar la regla del cociente
para logaritmos.
3 Utilizar la regla de la
potencia para logaritmos.
4 Utilizar propiedades
adicionales de los
logaritmos.
1 Utilizar la regla del producto para logaritmos
Al determinar el logaritmo de una expresión, a ésta se le denomina argumento del
logaritmo. Por ejemplo, en log10 3, el 3 es el argumento; en log10 (2x � 4), el (2x � 4) es
el argumento. Cuando el argumento contiene una variable, suponemos que representa
un valor positivo. Recuerde que sólo existen logaritmos de números positivos.
Para poder realizar cálculos mediante logaritmos, primero hay que entender sus
propiedades. La primera de estas propiedades que estudiaremos es la regla del produc-
to para logaritmos.
Regla del producto para logaritmos
Para números reales positivos, x, y y a, a Z 1,
Propiedad 1loga xy = loga x + loga y
618 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
Ejercicios de repaso acumulativo
[5.4–5.7] Factorice.
119. 2x3
- 6x2
- 36x 120. x4
- 16 121. 40x2
+ 52x - 12 122. 6r2
 s2
+ rs - 1
Esta regla nos dice que el logaritmo del producto de dos factores es igual a la suma de
los logaritmos de los factores.
Para demostrar esta propiedad, determinemos loga x � m y loga y � n. Recuerde
que los logaritmos son exponentes. A continuación escribimos cada logaritmo en for-
ma exponencial.
loga x � m significa am � x
loga y � n significa an � y
Al sustituir y usar las reglas de los exponentes, vemos que 
Ahora podemos convertir xy � am�n a la forma logarítmica.
xy � am�n significa loga xy � m � n
Por último, al sustituir m por loga x y n por loga y, obtenemos
que es la propiedad 1.
Ejemplos de la propiedad 1
La propiedad 1, la regla del producto, puede extenderse a tres o más factores, por ejem-
plo, loga xyz � loga x � loga y � loga z.
2 Utilizar la regla del cociente para logaritmos
Analicemos ahora la regla del cociente para logaritmos, a la que haremos referencia
como propiedad 2.
 log8 x
2
= log8 1x # x2 = log8 x + log8 x o 2 log8 x
 log4 3z = log4 3 + log4 z
 log3 16 # 72 = log3 6 + log3 7
loga xy = loga x + loga y
xy = am # an
= am + n
Regla del cociente para logaritmos
Para números reales positivos x, y y a, a Z 1,
Propiedad 2loga 
x
y
= loga x - loga y
Sección 9.4 Propiedades de los logaritmos 619
Esta regla nos dice que el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre los lo-
garitmos del numerador y del denominador.
Ejemplos de la propiedad 2
3 Utilizar la regla de la potencia para logaritmos
La siguiente propiedad que analizaremos es la regla de la potencia para logaritmos.
 log5 
z
z + 2
= log5 z - log5 1z + 22
 log6 
x
3
= log6 x - log6 3
 log3 
19
4
= log3 19 - log3 4
Regla de la potencia para logaritmos
Si x y a son números reales positivos, a Z 1, y n es cualquier número real, entonces
Propiedad 3loga x
n
= n loga x
Esta regla nos dice que el logaritmo de un número elevado a una potencia es igual al
exponentemultiplicado por el logaritmo del número.
Ejemplos de la propiedad 3
Las propiedades 2 y 3 pueden demostrarse de una forma análoga a la que se expli-
có respecto de la propiedad 1 (vea los ejercicios 79 y 80 de la página 623).
EJEMPLO 1 � Utilice las propiedades 1 a 3 para desarrollar.
a) b) c)
Solución
a) Regla del cociente.
b) Regla del producto.
c) Regla de la potencia.
� Ahora resuelva el ejercicio 11
A menudo tendremos que utilizar dos o más de estas propiedades en el mismo
problema.
EJEMPLO 2 � Desarrolle.
a) b)
c) d) log5 
[x1x + 42]3
8
log5 a4 - a
3
b 2
log5 
14 - a22
3
log10 41x + 223
log10 12221>5 =
1
5
 log10 22
log4 164 # 1802 = log4 64 + log4 180
log8 
29
43
= log8 29 - log8 43
log10 12221>5log4 164 # 1802log8 
29
43
 log815 z + 3 = log8 1z + 321>5 =
1
5
 log8 1z + 32
 log5112 = log5 11221>2 =
1
2
 log5 12
 log3 x
2
= 2 log3 x
 log2 4
3
= 3 log2 4
620 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
Solución
a) Regla del producto.
Regla de la potencia.
b) Regla del cociente.
Regla de la potencia.
c) Regla de la potencia.
Regla del cociente.
Propiedad distributiva.
d) Regla del cociente.
Regla de la potencia.
Regla del producto.
Propiedad distributiva.
� Ahora resuelva el ejercicio 21
S u g e r e n c i a ú t i l
En el ejemplo 2b), cuando desarrollamos primero usamos la regla del cociente.
En el ejemplo 2c), cuando desarrollamos primero usamos la regla de la po-
tencia. ¿Nota la diferencia entre ambos problemas? En sólo el numerador
del argumento está elevado al cuadrado; por lo tanto, primero utilizamos la regla del cocien-
te. En todo el argumento está elevado al cuadrado, de modo que primero
usamos la regla de la potencia.
EJEMPLO 3 � Escriba cada una de las siguientes expresiones como el logaritmo
de una sola expresión.
a)
b)
Solución
a) Regla de la potencia.
Regla del cociente.
b)
Regla de la potencia.
Regla del producto.
Regla del cociente.
� Ahora resuelva el ejercicio 39
 = log7 
1x + 121x + 422
1x - 523
 = log7 1x + 121x + 422 - log7 1x - 523
 = log7 1x + 12 + log7 1x + 422 - log7 1x - 523
 log7 1x + 12 + 2 log7 1x + 42 - 3 log7 1x - 52
 = log8 
1z + 223
z
 3 log8 1z + 22 - log8 z = log8 1z + 223 - log8 z
log7 1x + 12 + 2 log7 1x + 42 - 3 log7 1x - 52
3 log8 1z + 22 - log8 z
log5 a4 - a
3
b 2
,
log5 
14 - a22
3
,
log5 a4 - a
3
b 2
,
log5 
14 - a22
3
,
 = 3 log5 x + 3 log5 1x + 42 - log5 8
 = 3[log5 x + log5 1x + 42] - log5 8
 = 3 log5 x1x + 42 - log5 8
 log5 
[x1x + 42]3
8
= log5 [x1x + 42]3
- log5 8
 = 2 log5 14 - a2 - 2 log5 3
 = 2[log5 14 - a2 - log5 3]
 log5 a4 - a
3
b 2
= 2 log5 a4 - a
3
b
 = 2 log5 14 - a2 - log5 3
 log5 
14 - a22
3
= log5 14 - a22 - log5 3
 = log10 4 + 3 log10 1x + 22
 log10 41x + 223 = log10 4 + log10 1x + 223
Sección 9.4 Propiedades de los logaritmos 621
4 Utilizar propiedades adicionales de los logaritmos
Las últimas propiedades que analizaremos en esta sección se utilizarán para resolver
ecuaciones en la sección 9.6.
Cómo evitar errores comunes
LAS REGLAS CORRECTAS SON
Observe que:
loga 
x
y
Z
loga x
loga y
 loga 1x - y2 Z loga x - loga y
loga xy Z 1loga x21loga y2 loga 1x + y2 Z loga x + loga y
 loga 
x
y
= loga x - loga y
 loga xy = loga x + loga y
Propiedades adicionales de los logaritmos
Si a � 0 y a Z 1, entonces
Propiedad 4
Propiedad 5 y aloga x
= x 1x 7 02
 loga a
x
= x
Ejemplos de la propiedad 4 Ejemplos de la propiedad 5
EJEMPLO 4 � Evalúe. a) b)
Solución
a) log5 25 puede escribirse como log5 52 y, de acuerdo con la propiedad 4,
b) puede escribirse como De acuerdo con la propiedad 5,
� Ahora resuelva el ejercicio 55
116 log4 9
= 4log4 9
= 9
4log4 9.116 log4 9
log5 25 = log5 5
2
= 2
116 log4 9log5 25
 5log5 x
= x 1x 7 02 log9 9
x
= x
 3log3 7
= 7 log6 6
5
= 5
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.4
Ejercicios de concepto/redacción
1. Explique la regla del producto para logaritmos.
2. Explique la regla del cociente para logaritmos.
3. Explique la regla de la potencia para logaritmos.
4. Explique por qué fue necesario indicar que x y y son núme-
ros reales positivos cuando analizamos las reglas del produc-
to y del cociente.
5. ¿Es verdadera la afirmación loga (xyz) � loga x � loga y �
loga z? Explique.
6. ¿Es verdadera la afirmación logb (x � y � z) � logb x � logb
y � logb z? Explique.
Práctica de habilidades
Utilice las propiedades 1 a 3 para desarrollar.
7. 8.
9. 10.
11. 12. log5 141 # 92log2 
27
11
log9 x1x + 22log8 71x + 32
log5 14 # 72log4 13 # 102
622 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
Escriba como logaritmo de una sola expresión.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
Determine el valor escribiendo cada argumento mediante los números 2 y/o 5 y usando los valores y 
47. 1 48. 49.
50. 51. 52.
Evalúe (vea el ejemplo 4).
53. 54. 55. 56.
57. 58. 59. 60.
Resolución de problemas
1
2
 log6 13 65113 272log3 52 log9 19log3 27
log8 641232log
8 7log3 35log5 10
loga 13 5loga 25loga 
1
8
loga 0.4loga 2.5loga 10
loga 5 = 0.6990.loga 2 = 0.3010
2 log7 1m - 42 + 3 log7 1m + 32 - [5 log7 2 + 3 log7 1m - 22]4 log6 3 - [2 log6 1x + 32 + 4 log6 x]
5 log6 1x + 32 - [2 log6 17x + 12 + 3 log6 x]2 log9 4 +
1
3
 log9 1r - 62 -
1
2
 log9 r
6 log7 1a + 32 + 2 log7 1a - 12 -
1
2
 log7 a
1
2
 [log5 1x - 82 - log5 x]
2 log5 t + 5 log5 1t - 62 + log5 13t + 72log2 n + log2 1n + 42 - log2 1n - 32
1
2
 [log6 1r - 12 - log6 r]41log5 p - log5 32
3 log8 y + 2 log8 1y - 922 log9 z - log9 1z - 22
log5 1a + 12 - log5 1a + 102log10 x + log10 1x + 32
1
3
 log8 76 log4 2
log7 17 - log7 3log2 9 - log2 5
log3 4 + log3 11log5 2 + log5 8
log5 
1a 13 b14 c
log10 
9m
8n
log10a z
6
b 2
log8 
y1y + 42
y3
log7 x
21x - 132log3 
d6
1a - 824
log9 1x - 623 x2log4 A a3
a + 2
log8 b
31b - 22log4 1r + 725
log9 1214267 log6 xlog6 x
7
log5 3
8log10 
1x
x - 9
61. Para x � 0 y y � 0, ¿se cumple
62. Lea el ejercicio 61. De acuerdo con la regla del cociente,
¿Podemos concluir por lo tanto que
loga x - loga y = loga x + loga 
1
y
?
loga x - loga y.loga 
x
y
=
loga y
-1
= loga x + loga 
1
y
?
loga 
x
y
= loga xy-1
= loga x + 63. Utilice la regla del producto para demostrar que
64. a) Explique por qué
b) Desarrolle de forma correcta .loga 
3
xy
loga 
3
xy
Z loga 3 - loga x + loga y
loga 
x
y
= loga x + loga 
1
y
Examen de mitad de capítulo 623
65. Exprese loga(x2 � 4) � loga(x � 2) como un solo logaritmo y
simplifique.
66. Exprese loga(x � 3) � loga(x2 � 5x � 24) como un solo loga-
ritmo y simplifique.
67. ¿Es loga(x2 � 8x � 16) � 2 loga(x � 4)? Explique.
68. ¿Es loga(4x2 � 20x � 25) � 2 loga(2x � 5)? Explique.
Si determine el valor de las siguientes expresiones.
69. 70.
71. 72.
Si y determine:
73. 74. log10 ax
y
blog10 xy
log10 y = 0.2000,log10 x = 0.5000
log10 x
11log10 14 x
log10 13 xlog10 x
2
log10 x = 0.4320,
75. Usando la información dada en las instrucciones para los ejer-
cicios 73 y 74, ¿es posible determinar log10(x � y)? Explique.
76. ¿Son iguales las gráficas de y � logb x2 y y � 2 logb x? Expli-
que su respuesta analizando los dominios de cada ecuación.
Utilice las propiedades 1 a 3 para desarrollar.
77.
78.
79. Demuestre la regla del cociente para logaritmos.
80. Demuestre la regla de la potencia para logaritmos.
log3 B 1a2
+ b221c22
1a - b21b + c21c + d2R
2
log2 
14 xy13 a15 a - b
Actividad en grupo
En grupo, analicen y respondan el ejercicio 81.
81. Consideren en donde x � 0 y y � 0.
a) Miembro 1: Desarrolle la expresión mediante la regla del
cociente.
b) Miembro 2: Desarrolle la expresión mediante la regla del
producto.
loga 
2x4
 y2xy3
, c) Miembro 3: Simplifique primero y luego desarro-
lle el logaritmo resultante.
d) Comprueben cada uno el trabajo de los demás y asegú-
rense de que todas las respuestas sean correctas. ¿Estas
expresiones pueden simplificarse por los tres métodos?
2x4
 y2xy3
,
Ejercicios de repaso acumulativo[2.5] 82. Resuelva la desigualdad e indi-
que la solución en
a) notación constructiva de conjuntos.
b) notación de intervalos.
[5.7] 83. a) Escriba una expresión para determinar el área
sombreada de la figura.
b) Escriba la expresión de la parte a) en forma facto-
rizada.
c
c
a
c
c
c c
c c
a
x - 4
2
-
2x - 5
5
7 3 [6.4] 84. Despeje x en .
[7.7] 85. Multiplique (3i � 4)(2i � 5).
[8.4] 86. Despeje a en .a - 61a = 7
15
x
+
9x - 7
x + 2
= 9
Examen de mitad de capítulo: 9.1-9.4
Para determinar su comprensión del material que se ha abordado hasta este momento, resuelva este pequeño examen. Las respuestas,
y la sección en donde se trató el material por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repase el material de las preguntas que
respondió de forma incorrecta.
1. a) Explique cómo determinar 
b) Si f(x) � 3x � 3 y g(x) � 2x � 5, determine 1f � g21x2.
1f � g21x2. 2. Sea f(x) � x2 � 5 y determine
a) b)
c) d) 1g � f21321g � f21x2
1f � g21321f � g21x2
g1x2 =
6
x
;
1 Determinar logaritmos
comunes de potencias de 10.
2 Determinar logaritmos
comunes.
3 Determinar antilogaritmos.
1 Determinar logaritmos comunes de potencias de 10
Las propiedades que analizamos en la sección 9.4 pueden usarse con cualquier base vá-
lida (un número real mayor que 0 y distinto de 1). Sin embargo, como estamos acos-
tumbrados a trabajar con la base 10, muchas veces utilizaremos dicha base al realizar
cálculos con logaritmos. Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos comunes.
Cuando trabajemos con logaritmos comunes no es necesario indicar la base; por lo
tanto, log x significa log10 x.
A continuación se escriben las propiedades de los logaritmos en términos de loga-
ritmos comunes. Para números reales positivos x y y y cualquier número real n.
1.
2.
3.
Los logaritmos de casi todos los números son números irracionales. Incluso los
valores dados por calculadoras por lo regular sólo son aproximaciones a los números
reales. Aunque trabajemos con aproximaciones al evaluar casi todos los logaritmos, por
lo general escribimos el logaritmo con un signo igual. Así, en lugar de escribir log
6 L 0.77815, escribiremos log 6 � 0.77815. Los valores que damos para los logaritmos
son precisos, al menos hasta cuatro decimales.
En el capítulo 1 aprendimos que 1 puede expresarse como 100, y que 10 puede ex-
presarse como 101. De acuerdo con esto, ya que 5 está entre 1 y 10, entonces también
debe estar entre 100 y 101.
 100
6 5 6 101
 1 6 5 6 10
log xn
= n log x
log 
x
y
= log x - log y
log xy = log x + log y
624 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
3. a) Explique lo que significa que una función sea uno a uno
(o inyectiva).
b) ¿La función representada mediante la gráfica siguiente
es uno a uno? Explique.
En los ejercicios del 4 al 6, para cada función, a) determine si es
una función uno a uno; b) si es una función uno a uno, determine
su función inversa.
4.
5.
6.
7. Sea m(x) � �2x � 4. Determine m�1(x) y luego, en los mis-
mos ejes, grafique m(x) y m�1(x).
Grafique cada función exponencial.
8. 9. y = 3-xy = 2x
k1x2 = 1x - 4, x Ú 4
p1x2 =
1
3
 x - 5
{1-3, 22, 12, 32, 15, 12, 16, 82}
y
x
10. Grafique la función logarítmica y � log2 x.
11. Bacterias El número de bacterias en una placa de Petri es
N(t) � 5(2)t, donde t es el número de horas a partir que se
colocaron 5 bacterias en la placa. ¿Cuántas bacterias hay en
la placa
a) al cabo de una hora?
b) 6 horas después?
12. Escriba en forma logarítmica 272/3 � 9.
13. Escriba en forma exponencial.
14. Evalúe log5 125.
15. Resuelva la ecuación para x.
16. Resuelva la ecuación logx 64 � 3 para x.
Utilice las propiedades 1 a 3 para escribir como una suma o
diferencia de logaritmos.
17.
18.
Escriba como un solo logaritmo.
19.
20.
1
2
 [log7 1x + 22 - log7 x]
3 log2 x + log2 1x + 72 - 4 log2 1x + 12
log5 
7m1n
log9 x
21x - 52
log1>4 
1
16
= x
log2 
1
64
= -6
9.5 Logaritmos comunes
<<
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