Modelamiento-fluido-dinamico-de-un-mezclador-estatico-Kenics-estudio-de-influencia-del-angulo

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UNIVERSIDAD DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS 
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA 
 
 
 
 
 
 
MODELAMIENTO FLUIDO DINÁMICO 
DE UN MEZCLADOR ESTÁTICO KENICS 
ESTUDIO DE INFLUENCIA DEL ANGULO DE TORSIÓN HELICOIDAL 
EN CALIDAD DE MEZCLA 
 
 
MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL MECÁNICO 
 
HANS ANTONIO DÍAZ ABURTO 
 
 
 
 
 
PROFESOR GUÍA 
ÁLVARO VALENCIA MUSALEM 
 
MIEMBROS DE LA COMISIÓN 
WILLIAMS CALDERÓN MUÑOZ 
JORGE ARANCIBIA BERRÍOS 
 
 
 
 
 
SANTIAGO DE CHILE 
2016
 
i 
 
 
 
 
MODELAMIENTO FLUIDO DINÁMICO 
DE UN MEZCLADOR ESTÁTICO KENICS 
ESTUDIO DE INFLUENCIA DEL ANGULO DE TORSIÓN HELICOIDAL 
EN CALIDAD DE MEZCLA 
 
El mezclador Kenics es un mezclador estático capaz de mezclar y homogenizar dos o más 
fluidos sin necesidad de utilizar elementos móviles. Consiste en un tubo cilíndrico o tubería en 
cuyo interior se encuentran una serie de placas fijas helicoidales que dividen (cortan) y cambian 
la dirección de los flujos entrantes (componentes) a mezclar, generando agitación y aumento de 
superficie entre interfaces a medida que se avanza en la dirección axial del tubo, favoreciendo la 
difusión y distribución de los componentes en toda la extensión del volumen de la mezcla; como 
resultado, se obtiene una mezcla homogénea a la salida de la tubería. 
La eficiencia del mezclador Kenics se relaciona con la capacidad que tiene de entregar una 
mezcla homogénea en el menor espacio posible y con la menor pérdida de carga (caída de 
presión). Entre los factores que determinan la eficiencia del mezclador Kenics se encuentran: 
parámetros hidráulicos, reología de fluidos y geometría; uno de los parámetros geométricos que 
influye en la calidad de la mezcla 
1
 es el ángulo de torsión de la hélice mezcladora. 
En este trabajo de título se investigó la influencia que tiene el ángulo de torsión de la hélice 
mezcladora en la calidad final del producto en el proceso industrial de mezcla de dos polímeros 
(HDPE y PP
2
); para ello, se realizó un modelamiento computacional utilizando el software 
ANSYS Polyflow, generando modelos de hélice con ángulos de torsión de 120°, 150° y 180°. El 
resultado de las simulaciones arrojó que el ángulo de torsión de 120° entrega la mejor calidad de 
mezcla con una caída de presión intermedia en relación a los ángulos de 150° y 180°. En 
conclusión, tal como indica la literatura al respecto, existe un ángulo óptimo y para este caso, 
corresponde a un ángulo de 120°. 
Para desarrollar este tema se contó con el apoyo de la consultora AED Ingeniería, quienes 
propusieron el tema de memoria y la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la 
Universidad de Chile. 
 
 
 
1
 La calidad de la mezcla se midió mediante el parámetro Escala de Segregación. 
2
 HDPE (High Density Polyethylene): Polietileno de alta densidad; PP: polipropileno. 
RESUMEN DE LA MEMORIA PARA OPTAR AL 
TÍTULO DE: Ingeniero Civil Mecánico 
POR: Hans Antonio Díaz Aburto 
FECHA: 21/03/2016 
PROFESOR GUÍA: Álvaro Valencia Musalem 
 
 
ii 
AGRADECIMIENTOS 
 
Aún Recuerdo ese caluroso fin de semestre de primavera, ya desde hace meses que venía 
pensando en abandonar la carrera, y ese examen de cinemática de mecanismos me hizo tomar la 
decisión final: ahora quería dedicarme a trabajar en lo que fuera con tal de salir adelante de 
una vez por todas. 
Llegué a mi humilde casa de madera, allá en Población José María Caro, con un fracaso más a 
mi haber y entre la bulla típica de viernes por la tarde comuniqué a mis padres la decisión de 
desertar. En ese momento, después de escuchar lo que dije, mi padre agachó la mirada y dijo: 
-Parece que es verdad… 
-¿Qué cosa? (Le dije Yo) 
-Que la gente pobre no puede salir adelante… 
Y esa frase me hizo pensar la noche entera y desperté, desde ese momento retomé el rumbo 
perdido, descubrí otra vez el motivo por el cual había entrado a estudiar a Beaucheff y volví a mi 
lucha, nuestra lucha esforzada y no se imaginan cuanto, este triunfo le pertenece a todos los que 
estuvieron y están conmigo: 
A mis padres Lucía y José por apoyarme siempre en mis decisiones, sin jamás obligarme a 
nada, recalcando siempre que uno, ante todo, debe vivir feliz, independientemente de lo que seas, 
de lo que hagas. 
A mi Nathaly por esperarme todo este tiempo y por ser mi motivo para seguir luchando y ser más 
fuerte cada día, por quererme y alegrarme la vida. 
A mi hermano Isaac por ser mi compañero de combate en esta lucha, mi brazo derecho. 
A mi familia Aburto, gracias por mantenerse unidos y ser tan revoltosos. 
A Javier Mujica, mi profesor de básica: Profesor, usted no nos enseñó casi nada de materia pero 
si mucho de la vida, de usted aprendí a ser autodidacta, a hacer mucho con poco. 
A Jorge Arancibia, por la oportunidad de trabajar en su empresa y creer en mis capacidades 
A mis compañeros de trabajo 
Al profesor Álvaro Valencia por su buena disposición en el desarrollo de esta memoria 
 
 
 
 
iii 
Tabla de Contenido 
 
1 Introducción ............................................................................................................................. 1 
1.1 Motivación ........................................................................................................................ 1 
1.2 Objetivo ............................................................................................................................ 2 
1.3 Objetivos Específicos ....................................................................................................... 2 
2 Antecedentes ............................................................................................................................ 3 
2.1 Generalidades .................................................................................................................... 3 
2.2 Mecanismos Generales de Mezclado ................................................................................ 4 
2.3 Escalas de Mezclado ......................................................................................................... 4 
2.4 Medidas de Mezclado ....................................................................................................... 5 
2.5 Regímenes de flujo ........................................................................................................... 6 
2.6 Mezclado en sistemas de Alta Viscosidad ........................................................................ 6 
2.6.1 Dispersión y Distribución de Partículas en sistemas de Alta Viscosidad.................. 7 
2.6.2 Corte y Elongación de Flujos de Alta Viscosidad ..................................................... 8 
2.7 Mezcladores Estáticos ....................................................................................................... 9 
2.7.1 Geometría mezclador Kenics KMS ......................................................................... 10 
2.7.2 Geometría de hélice mezcladora KENICS .............................................................. 10 
2.7.3 Ecuación de la hélice ............................................................................................... 12 
2.8 Marco Teórico ................................................................................................................. 13 
2.8.1 Fluido ....................................................................................................................... 13 
2.8.2 Conservación de la masa ......................................................................................... 14 
2.8.3 Ecuación de momentum .......................................................................................... 15 
2.8.4 Ecuación de Navier-Stokes ...................................................................................... 16 
2.8.5 Flujo Reptante (Stoke’s Flow) .................................................................................17 
2.8.6 Tasa de corte (Shear rate) ....................................................................................... 17 
2.9 Análisis Cinemático ........................................................................................................ 18 
2.9.1 Gradiente de Deformación....................................................................................... 19 
2.9.2 Tensores de Cauchy-Green ..................................................................................... 21 
2.9.3 Cálculo de Elongación para flujos 2D ..................................................................... 22 
2.9.4 Eficiencia de mezclado para Flujos 2D ................................................................... 22 
2.9.5 Parámetros cinemáticos para flujos 3D ................................................................... 24 
 
iv 
2.9.6 Análisis Estadístico ................................................................................................. 25 
2.9.7 Promedio y Desviación Estándar ............................................................................. 25 
2.9.8 Función de probabilidad acumulada (Función Distribución) .................................. 25 
2.9.9 Función densidad de probabilidad ........................................................................... 26 
2.9.10 Percentiles ................................................................................................................ 27 
2.9.11 Histogramas ............................................................................................................. 27 
2.9.12 Función de Auto-correlación ................................................................................... 28 
2.9.13 Escala de Segregación ............................................................................................. 32 
2.9.14 Intensidad de Segregación ....................................................................................... 32 
2.10 Influencia del ángulo de torsión en la calidad de la mezcla ........................................... 33 
3 Metodología ........................................................................................................................... 36 
3.1 Antecedentes del problema ............................................................................................. 36 
3.2 Enunciado del problema ................................................................................................. 40 
3.3 Simplificaciones al problema .......................................................................................... 42 
3.4 Metodología Computacional ........................................................................................... 43 
3.4.1 Selección de software .............................................................................................. 44 
3.4.2 Entrenamiento en CFD ............................................................................................ 45 
3.4.3 Modelamiento Mezclador Kenics (α=180°; L=230 mm) ........................................ 46 
3.4.4 Modelamiento Mezclador Kenics (α=180°; L=460 mm) ........................................ 47 
3.4.5 Modelamiento Mezclador Kenics para distintos ángulos de hélice ........................ 48 
3.4.6 Análisis de resultados .............................................................................................. 48 
3.5 Implementación en ANSYS ............................................................................................ 48 
3.5.1 Modelamiento Geométrico ...................................................................................... 48 
3.5.2 Mallado .................................................................................................................... 51 
3.5.3 Seteo datos de entrada en Polyflow (Setup) ............................................................ 57 
3.6 Análisis Cinemático ........................................................................................................ 63 
3.7 Configuración Tarea de Mezclado .................................................................................. 63 
3.7.1 Tipo de tarea de mezclado (A) ................................................................................ 65 
3.7.2 Definición dominio de flujo (B) .............................................................................. 65 
3.7.3 Definición de condiciones de borde (C) .................................................................. 65 
3.7.4 Definición del campo de velocidades (D) ............................................................... 65 
3.7.5 Generación de conjunto de partículas (E)................................................................ 66 
 
v 
3.7.6 Parámetros de seguimiento de partículas (traking) (F) ........................................... 67 
3.7.7 Selección de propiedades (G) .................................................................................. 67 
3.7.8 Almacenamiento de resultados (H) ......................................................................... 67 
3.7.9 Definición de análisis cinemático (I) ....................................................................... 68 
3.8 Lectura de resultados en Polystat ................................................................................... 70 
4 Resultados .............................................................................................................................. 73 
4.1 Cálculo de Campo de Velocidades ................................................................................. 73 
4.2 Análisis de convergencia ................................................................................................ 73 
4.3 Resultados RL-180-230 .................................................................................................. 74 
4.4 Resultados RL-180-460 .................................................................................................. 76 
4.5 Resultados RR-180-460 .................................................................................................. 77 
4.6 Resultados RL-120-460 .................................................................................................. 78 
4.7 Resultados RL-150-460 .................................................................................................. 79 
4.8 Resultados Análisis Cinemático ..................................................................................... 80 
4.8.1 Resultados RL-180-460 ........................................................................................... 80 
4.8.2 Estadísticas para RL-180-460 .................................................................................. 82 
4.8.3 Comparación de estadísticas según modelo ............................................................ 87 
5 Discusión y conclusiones ....................................................................................................... 91 
6 Bibliografía............................................................................................................................. 92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
Índice de Tablas 
Tabla 3.1-Parámetros de proceso para flujos de PP y HDPE. ....................................................... 40 
Tabla 3.2-Parámetros de operación para mezclado PP+HDPE 50-50%. ...................................... 41 
Tabla 3.3-Dimensiones mezclador estático Kenics KMS. ............................................................ 41 
Tabla 3.4-Parámetros de mezcla. ................................................................................................... 41 
Tabla 3.5-Resumen de parámetros mallado de modelos. .............................................................. 56 
Tabla 3.6-Condiciones de borde para mezclador Kenics. ............................................................. 61 
Tabla 4.1-Tabla resumen pérdidasde carga según modelo de mezclador. ................................... 80 
 
 
Índice de Figuras 
Figura 2.1-Intensidad y escala de segregación. ............................................................................... 6 
Figura 2.2-Interrelación entre Mecanismos de Mezcla Dispersivo y Distributivo.......................... 7 
Figura 2.3-Mezcla Laminar Distributiva y difusión entre dos fluidos miscibles. ........................... 8 
Figura 2.4-Mezcla Laminar Distributiva de dos fluidos inmiscibles con reologías similares . ...... 8 
Figura 2.5-Mezclador estático helicoidal Kenics (KMS) y mezclador Kenics con entramado. .... 9 
Figura 2.6-Mezclador estático Kenics tipo KMX realizando la homogenización de dos fluidos. .. 9 
Figura 2.7-Dimensiones generales de un mezclador estático Kenics KMS. ................................. 10 
Figura 2.8-Dimensiones generales de una hélice mezcladora de un mezclador Kenics KMS . .... 10 
Figura 2.9-Elemento de hélice con ángulo de torsión de 90° . ...................................................... 11 
Figura 2.10-Mezclador estático Kenics KMS con ángulo de torsión 180°. .................................. 11 
Figura 2.11-Configuraciones RL y RR para elementos de hélice de 180° . .................................. 12 
Figura 2.12-Gráfico de ecuación para hélice de 180° ................................................................... 13 
Figura 2.13-Volumen de control diferencial ................................................................................. 13 
Figura 2.14-Elemento diferencial de volumen y balance de momentum. ..................................... 15 
Figura 2.15-Esquema tasa de corte en un fluido. .......................................................................... 18 
Figura 2.16-Gradiente de deformación actuando en un elemento lineal de fluido........................ 19 
Figura 2.17-Representación de un cubo deformado . .................................................................... 20 
Figura 2.18-Gráfico de función de distribución de probabilidad para una cantidad escalar . ....... 26 
Figura 2.19- Gráfico de función densidad de probabilidad para una cantidad escalar ................. 26 
Figura 2.20-Gráfico de percentiles. ............................................................................................... 27 
Figura 2.21-Ejemplo de gráfico histograma .................................................................................. 28 
Figura 2.22-Esquema de fluidos mezclándose. ............................................................................. 28 
Figura 2.23-Proceso de mezclado en un instante de tiempo (t) cualquiera. .................................. 29 
Figura 2.24-Gráfico de función Auto-correlación de concentraciones ......................................... 30 
Figura 2.25-Pares de partículas separados a una distancia 𝒓 = 𝝃 ∗.. ............................................ 31 
Figura 2.26-Gráfico escala de segregación ................................................................................... 32 
Figura 2.27-Evolución de la intensidad de mezcla. ....................................................................... 33 
Figura 2.28-Dependencia de la calidad de mezcla y pérdida de carga de flujo principal en función 
del número de elementos helicoidales. .......................................................................................... 34 
 
vii 
Figura 2.29-Dependencia de la calidad de la mezcla con el ángulo de torsión de la hélice para 
configuraciones RR. ...................................................................................................................... 34 
Figura 2.30-Escala de segregación para distintas configuraciones de hélice. ............................... 35 
Figura 2.31-Funcionamiento de un mezclador Kenics RL-180. ................................................... 35 
Figura 3.1-Curva esfuerzo deformación para distintos porcentajes de PP y HDPE ..................... 36 
Figura 3.2-Propiedades mecánicas para aleaciones de PP+HDPE y PP+LDPE . ......................... 37 
Figura 3.3-Gráfico de Viscosidad en función de tasa de corte para distintas mezclas de 
PP+HDPE. ..................................................................................................................................... 38 
Figura 3.4-Fusión y Extrusión de polímeros. ................................................................................ 39 
Figura 3.5-Mezclador estático Kenics KMS.. ............................................................................... 39 
Figura 3.6-Diagrama esquemático del equipamiento utilizado para realizar la mezcla de PP y 
HDPE. ............................................................................................................................................ 40 
Figura 3.7-Dimensiones generales mezclador estático Kenics KMS. ........................................... 41 
Figura 3.8-Cálculo de patrones de flujo incorporando condición de borde periódica.. ................ 43 
Figura 3.9-Diagrama de flujo metodología de trabajo. ................................................................. 44 
Figura 3.10-Elemento de hélice α=180°; L=230 mm (1 periodo de mezcla) ................................ 47 
Figura 3.11-Ensamblaje de 2 elementos de hélice (2 periodos de mezclado), en donde α=180° . 47 
Figura 3.12-Modelo 3D Kenics KMS configuración RL-180°, L=230 mm. ................................ 48 
Figura 3.13-Modelo 3D Kenics KMS configuración RL-180°, L=460 mm. ................................ 49 
Figura 3.14- Modelo 3D Kenics KMS configuración RR-180°, L=460 mm. ............................... 49 
Figura 3.15-Modelo 3D Kenics KMS configuración RL-120°, L=460 mm. ................................ 50 
Figura 3.16-Modelo 3D Kenics KMS configuración RL-150°, L=460 mm. ................................ 50 
Figura 3.17-Mallado grueso (coarse) generado con ANSYS Meshing......................................... 51 
Figura 3.18-Vista frontal mallado grueso RL-180-230. ................................................................ 52 
Figura 3.19-Estadísticas de métricas para mallado grueso RL-180-230. ...................................... 52 
Figura 3.20-Mallado fino RL-180-230 con 100707 elementos tetraédricos. ................................ 53 
Figura 3.21- Vista frontal mallado fino RL-180-230. ................................................................... 53 
Figura 3.22- Estadísticas de métricas para mallado grueso RL-180-230. ..................................... 54 
Figura 3.23- Mallado fino RL-180-460 con 368373 elementos tetraédricos. ............................... 55 
Figura 3.24- Estadísticas de métricas para mallado fino RL-180-460. ......................................... 55 
Figura 3.25-Caras pertenecientes al dominio del flujo.. ................................................................ 56 
Figura 3.26-Ventana principal de ingreso de datos a Polyflow. .................................................... 57 
Figura 3.27-Creación de una nueva tarea F.E.M. en Polydata. ..................................................... 58 
Figura 3.28-Sub-tarea generada en Polydata con un tipo de flujo newtoniano isotérmico ........... 58 
Figura 3.29-Ventana para definición de parámetros de sub-tarea en flujo newtoniano ................ 59 
Figura 3.30-Dominio del flujo. ...................................................................................................... 59 
Figura 3.31-Secuencia de configuración de datos para propiedades del material. ........................ 60 
Figura 3.32-Cuadro de diálogo para configurar condiciones de borde. ........................................ 61 
Figura 3.33-Configuración de condiciones de borde en Polydata. ............................................... 62 
Figura 3.34-Generación de una tarea de mezclado a partir de la malla creada en la tarea F.E.M. 63 
Figura 3.35-Esquemade configuración tarea de mezclado (Mixing task). ................................... 64 
Figura 3.36-Lectura archivo de campo de velocidades en tarea de mezclado. ............................. 66 
file:///C:/Users/Hans%20Diaz/Desktop/U%20DE%20CHILE/PRIMAVERA%202015/ME6909-TRABAJO%20DE%20TITULO/INFORME%20AVANCE%20FINAL-100%25%20-%20F/EMPASTE/Informe%20Avance%20FINAL-100%20-F-FIFIFINAL.docx%23_Toc446417630
file:///C:/Users/Hans%20Diaz/Desktop/U%20DE%20CHILE/PRIMAVERA%202015/ME6909-TRABAJO%20DE%20TITULO/INFORME%20AVANCE%20FINAL-100%25%20-%20F/EMPASTE/Informe%20Avance%20FINAL-100%20-F-FIFIFINAL.docx%23_Toc446417632
file:///C:/Users/Hans%20Diaz/Desktop/U%20DE%20CHILE/PRIMAVERA%202015/ME6909-TRABAJO%20DE%20TITULO/INFORME%20AVANCE%20FINAL-100%25%20-%20F/EMPASTE/Informe%20Avance%20FINAL-100%20-F-FIFIFINAL.docx%23_Toc446417634
 
viii 
Figura 3.37-Zona de generación de partículas en mezclador Kenics. ........................................... 66 
Figura 3.38-Zonas de generación de partículas a la entrada del mezclador Kenics. ..................... 68 
Figura 3.39-Partículas de la zona A y B distribuidas por efecto del flujo. .................................... 69 
Figura 3.40-Inicializalización de herramienta Polystat. ................................................................ 70 
Figura 3.41-Ventana de inicio Polystat. ........................................................................................ 70 
Figura 3.42-Busqueda y carga de archivo de estadísticas en Polystat. ......................................... 71 
Figura 3.43-Proceso de lectura de archivo de resultados y estadísticas en Polystat. .................... 71 
Figura 4.1-Test de convergencia para modelo RL-180-230. ......................................................... 73 
Figura 4.2-Representación gráfica test de convergencia velocidad máxima................................. 74 
Figura 4.3-Resultados RL-180-230: Velocidad, Tasa de corte y Presión. .................................... 75 
Figura 4.4-Resultados RL-180-460: Velocidad, Tasa de corte y Presión. .................................... 76 
Figura 4.5-Resultados RR-180-460: Velocidad, Tasa de corte y Presión. .................................... 77 
Figura 4.6- Resultados RL-120-460: Velocidad, Tasa de corte y Presión. ................................... 78 
Figura 4.7-Resultados RL-150-460: Velocidad, Tasa de corte y Presión. .................................... 79 
Figura 4.8-Mezclador RL-180-460 mostrando la trayectoria seguida por una partícula desde la 
entrada hasta la salida del mezclador. ........................................................................................... 80 
Figura 4.9-Proceso de mezclado utilizando 1000 partículas.. ....................................................... 81 
Figura 4.10-Slices 2D en función del avance en el eje z.. ............................................................. 82 
Figura 4.11-Función de auto-correlación calculada en distintas slices. ........................................ 82 
Figura 4.12-Función de autocorrelación para slice 40 (salida del mezclador). ............................. 83 
Figura 4.13-Escala de segregación RL-180-460 calculada a lo largo del eje z. ............................ 84 
Figura 4.14-Densidad de probabilidad para tasa de deformación λ. ............................................. 85 
Figura 4.15-Función probabilidad acumulada para tasa de deformación λ. .................................. 86 
Figura 4.16-Comparación de escalas de segregación modelos RR-180-460 y RL-180-460......... 87 
Figura 4.17-Comparación de escala de segregación para distintos modelos. ............................... 88 
Figura 4.18-Densidad de probabilidad en configuraciones RR y RL 180-460. ............................ 89 
Figura 4.19-Comparación función de densidad múltiples configuraciones. ................................. 89 
 
1 
1 Introducción 
1.1 Motivación 
Los procesos de mezcla son altamente requeridos en la industria en general y para una gran 
variedad de propósitos, es así como se utilizan para homogenización de materiales, dispersión de 
gases, transferencia de calor, etc. Ejemplos de industrias que utilizan estos procesos son las de 
polímeros, alimentos, farmacéutica, minera, etc, donde se deben mezclar fluidos de alta 
viscosidad y de propiedades complejas. 
La mayoría de los equipos de mezclado poseen elementos móviles para realizar el proceso, sin 
embargo, existen dispositivos de mezcla que no requieren de elementos agitadores o motorizados, 
a éstos se les denomina mezcladores estáticos. Estos dispositivos consisten generalmente en un 
tubo cilíndrico por donde ingresan los fluidos que se desean mezclar (componentes), dentro del 
mezclador existen elementos o placas fijas que dividen el flujo de mezcla y al mismo tiempo 
cambian su dirección, provocando un movimiento de componentes radiales y axiales que 
promueven y facilitan la mezcla de manera rápida, sencilla y en un espacio reducido. Los factores 
que determinan la eficiencia y eficacia del mezclador son variados, entre ellos se encuentran: 
geometría, reología de fluidos, parámetros hidráulicos, etc. La eficiencia de un mezclador estático 
se relaciona con la capacidad que tiene de entregar una mezcla homogénea en el menor espacio 
posible y con la menor caída de presión. 
A pesar de que las operaciones de mezclado son de uso frecuente, el manejo de ellas se hace 
altamente empírico debido a que hasta el momento no existe una disciplina o línea de 
investigación formal que se dedique a estudiar la tecnología de mezclado, además, los equipos 
que permiten realizar este proceso son frecuentemente adquiridos directamente de fabricantes 
extranjeros, los cuales entregan manuales de operación que contienen información general del 
equipo, luego, no es posible entender en profundidad el proceso ni su funcionamiento, generando 
incertidumbre acerca del equipo y de las posibilidades y/o ventajas que puede ofrecer, incluso 
podría presentarse la interrogante, al momento de adquirir un mezclador estático, de si el equipo 
es el indicado para la aplicación que se le está dando. Tener un conocimiento acabado de las 
operaciones de mezclado puede llevar a tener importantes mejoras en la operación de los equipos 
y en la calidad del producto final. 
Lo expuesto anteriormente motiva a entender el funcionamiento de estos dispositivos y las 
variables que intervienen en el proceso. En este trabajo de título se estudió el proceso de 
mezclado en un mezclador estático tipo Kenics, el cual posee en su interior elementos 
helicoidales fijos, los cuales son los responsables del proceso de mezcla. En particular se estudió 
la influencia que tiene el ángulo de torsión de la hélice mezcladora sobre la calidad de la mezcla 
final, fijando el resto de los parámetros de interés (régimen de flujo, diámetros, longitudes, 
fluidos, etc.). 
Se realizó el modelamiento computacional del mezclador para distintos ángulos de torsión 
utilizando ANSYS Polyflow, el resultado de las simulaciones arrojó que existe un ángulo de 
 
2 
torsión de hélice, que entrega la mejor calidad de mezcla, corroborándose de esta forma la teoría 
de que efectivamente el ángulo de torsión influye en la calidad de la mezcla. 
 
1.2 Objetivo 
Estudiar la influencia que tiene el ángulo de torsión de la hélice de un mezclador Kenics en la 
calidad de la mezcla final. 
 
1.3 Objetivos Específicos 
Los objetivos específicos son: 
 Recopilar un conjunto de ecuaciones que permita caracterizar la mezcla y su calidad. 
 
 Recopilar antecedentes teóricos y empíricos (curvas, tablas, ecuaciones) sobre el mezclador 
Kenics, que muestren la influencia que tiene el ángulo de torsión de la hélice sobre la calidad 
de la mezcla y las pérdidas de carga del flujo. 
 
 Buscar un problema de aplicación industrial del mezclador Kenics, con sus respectivos datos 
de entrada, los cuales servirán como puntode partida para generar el modelo computacional. 
 
 Obtener resultados que entreguen la calidad de la mezcla y pérdidas de carga para 
configuraciones de ángulos de torsión de 120°, 150° y 180°. 
 
 Verificar la relación que existe entre la calidad de mezcla y el ángulo de torsión de la hélice. 
 
 Encontrar un ángulo de torsión que entregue la mejor calidad de mezcla, generando pérdidas 
de carga aceptables en relación al resto de las configuraciones de ángulo de torsión. 
 
 
 
 
 
 
3 
2 Antecedentes 
2.1 Generalidades 
Mezclar se puede definir como una operación durante la cual se efectúa una combinación 
uniforme de dos o más componentes. Su objeto es alcanzar una distribución uniforme de los 
componentes mediante un flujo, el cual se genera normalmente por procedimientos mecánicos. 
Las mezclas se clasifican en homogéneas y heterogéneas. Las mezclas homogéneas están 
formadas por una sola fase, es decir, no se pueden distinguir las partes. La mezcla heterogénea 
es la que está formada por 2 o más sustancias puras, de modo que alguno de sus componentes se 
pueden distinguir a simple vista o por otros medios. 
Los procesos de mezclado se utilizan ampliamente en la industria donde se procesan fluidos de 
alta viscosidad, tales como la industria de alimentos, de polímeros, de pintura, etc.; dependiendo 
de las características del proceso, existen distintos equipos mezcladores, los cuales pueden ser de 
tipo batch (procesado por lotes) o continuos. Estos dispositivos pueden variar su diseño de 
acuerdo al tipo de elemento generador de mezcla (agitadores, tornillos, hélices, entramados, etc). 
Las características generales de estos tipos de mezcladores se describen brevemente a 
continuación. 
Mezcladores tipo Batch: La mezcla de las especies se realiza al mismo tiempo o bien en una 
secuencia predeterminada hasta que se obtiene el producto final, el cual es retirado por lotes a la 
salida de cada mezclador. Ejemplos de este tipo de mezcladores son el estanque de mezcla con 
agitadores motorizados (Stirring Tank), amasadoras tales como el mezclador Brabender 
farinograph y mezclador Banbury. Las mezclas extraídas se miden en [kg/batch]. 
Mezcladores Continuos: La mezcla de especies se realiza de manera continua en un solo equipo, 
sin interrupciones. Ejemplo de este tipo de mezcladores son los equipos de extrusión con tornillo 
(Twin Screw Extruder) y mezcladores estáticos, por ejemplo, el mezclador estático Kenics KMS y 
KMX. Las mezclas extraídas se miden en unidades de flujo másico o volumétrico, por ejemplo, 
en [kg/h]. 
El desempeño de los mezcladores se mide realizando comparaciones entre parámetros tales como 
la eficiencia y eficacia de mezclado, un buen equipo de mezclado debe ser capaz de: 
 Entregar una mezcla homogénea. 
 Si se considera un proceso que involucra una reacción química, el equipo mezclador debe 
ser capaz de generar una gran cantidad de superficie entre interfaces por unidad de 
volumen, con el fin de facilitar y acelerar la reacción química, transferencia de calor y 
transferencia de masa entre las fases que se están mezclando [1]. 
 
La evaluación del flujo y los subsecuentes parámetros de mezcla pueden ser medidos mediante 
técnicas de visualización tales como análisis de toma de muestras, Velocimetría de imágenes de 
partículas (PIV), Anemometría de Efecto Doppler (LDA) o simple inspección visual por parte del 
operador que controla el proceso, sin embargo, si se desea realizar una optimización de los 
 
4 
procesos o diseño de dispositivos de mezcla, no es práctico utilizar estas técnicas, mucho menos 
si se pretende realizar el proceso a escala industrial, ya que estas técnicas son de tipo “ensayo y 
error” y realizarlas reiteradamente significa quitar continuidad al proceso derivando en grandes 
pérdidas de tiempo e incertidumbre acerca de la homogeneidad y/o calidad del producto final. 
Las simulaciones computacionales de procesos de mezclado han probado ser alternativas viables, 
no invasivas y de bajo costo al momento de optimizar el diseño de geometrías complejas de 
mezcladores a través del análisis de los campos de velocidades y parámetros de mezclado. La 
gran mayoría de las investigaciones relacionadas con simulaciones numéricas de procesos de 
mezclado se han realizado bajo régimen de flujo permanente, partiendo por simulaciones de 
geometrías 2D hasta flujos más complejos y reales en 3D [1]. 
 
2.2 Mecanismos Generales de Mezclado 
Existen distintos mecanismos para generar una mezcla, los cuales pueden actuar de manera 
individual o combinada, a continuación se definen estos mecanismos, para ello se ilustrará el 
proceso de mezcla suponiendo que existe una sustancia “B” que se dispersa en un medio continuo 
“A”. 
 Dispersión es el acto de separar localmente las partículas de la sustancia “B” en el medio 
“A”. 
 Difusión molecular corresponde a un fenómeno de transferencia de masa, en donde las 
moléculas de “A” se dispersan en el medio “B” debido al movimiento relativo entre 
moléculas causado por la existencia de un gradiente de concentración, la Difusión 
Molecular es caracterizada por un Coeficiente de Difusión (DAB). 
 Convección o Difusión Convectiva se refiere al transporte y distribución experimentados 
por partículas de “B” debida al campo de velocidad generado por el movimiento del flujo 
“A”. 
2.3 Escalas de Mezclado 
Los mecanismos de mezclado actúan según la escala física a la cual se esté analizando el proceso, 
es así como se pueden distinguir las siguientes escalas de mezclado [2]: 
 Macro-mezclado corresponde a la escala donde la dispersión es promovida por el 
movimiento del flujo, a este nivel de escala actúa el mecanismo de Difusión Convectiva. 
 
 Meso-mezclado corresponde al mezclado en una escala más pequeña que la escala de 
Macro-mezclado pero mayor que la escala microscópica, a este nivel, las fuerzas viscosas 
cobran importancia en el proceso de mezcla. 
 
 
5 
 Micro-mezclado es la menor escala posible donde se presenta movimiento de partículas 
(Escala de Kolmogorov) y donde actúan los mecanismos de Difusión molecular (Escala de 
Batchelor). 
 
2.4 Medidas de Mezclado 
Se han propuesto una serie de métricas para medir la calidad de una mezcla, sin embargo, se hará 
referencia a las métricas relacionadas con el nivel de segregación que experimentan los 
componentes presentes en un proceso de mezclado, nuevamente, se utilizará el esquema de una 
sustancia “A” dispersándose en un flujo “B”. A continuación se define la Escala de segregación e 
Intensidad de Segregación, ambos parámetros fueron propuestos por Dankwertz en el año 1950. 
[2]: 
 Escala de segregación es una medida del proceso de “ruptura de un flujo” a gran escala 
causado por la Difusión Convectiva o Difusión de remolinos en el caso de flujo turbulento 
(eddy difusivity), sin considerar los efectos de la Difusión Molecular. Esta medida es 
además un indicador de la cantidad de generación de superficie entre interfaces; a medida 
que la escala de segregación decrece, aumenta la cantidad total de superficie entre 
interfaces, favoreciendo de este modo la difusión molecular entre de la sustancia “B” en 
“A”. Este concepto es fundamental para el desarrollo de esta investigación, por lo tanto se 
revisará en mayor profundidad en el siguiente capítulo. 
 
 Intensidad de Segregación es una medida de la diferencia de concentración entre la 
sustancia pura “B” y la sustancia pura “A”. La reducción de este parámetro puede ocurrir 
con o sin turbulencia, sin embargo, la turbulencia puede ayudar a aumentar y acelerar la 
difusión molecular mediante la reducción de la escala de segregación, contribuyendo de 
este modo a reducir la intensidad de segregación. Cuando la difusión ha reducido la 
intensidad de segregación a cero, se considera que el sistema ha alcanzado una mezcla 
perfecta o que “A” y “B” han formado una mezcla homogénea.La siguiente figura muestra un esquema de los conceptos descritos anteriormente. 
 
6 
 
Figura 2.1-Intensidad y escala de segregación: (a) Reducción en la escala de segregación; (b) reducción en la 
intensidad de la escala de segregación; (c) reducción simultanea de intensidad y escala de segregación [2]. 
 
2.5 Regímenes de flujo 
Para el caso de circulación en tuberías de flujos con alta viscosidad, los regímenes de flujo 
experimentados pueden ser de tipo laminar (Re<2000) o de tipo “flujo reptante” o también 
denominado flujo de Stokes (Re<<1). Estos conceptos son fundamentales para el desarrollo de 
este trabajo y serán profundizados en el siguiente capítulo. 
 
2.6 Mezclado en sistemas de Alta Viscosidad 
El mezclado de fluidos viscosos se utiliza en muchas aplicaciones donde la viscosidad es 
suficientemente elevada (mayor a 10 Pa·s; viscosidad del agua= 0,001 Pa·s) y los efectos 
turbulentos son inexistentes. El mezclado en sistema de alta viscosidad puede llegar a ser una 
tarea de alta complejidad ya que, en este caso, no existen remolinos (eddies) producto de la 
turbulencia que ayuden a distribuir espacialmente los componentes de la mezcla. 
La mayoría de los fluidos viscosos son No-Newtonianos; muchos de ellos son fluidos visco-
elásticos, es decir, fluidos que se comportan como sólidos o como fluidos dependiendo de las 
condiciones de velocidad y/o temperatura, cabe destacar que en los fluidos No-Newtonianos, la 
viscosidad también es una propiedad variable; como ejemplo se tienen los polímeros fundidos, 
pinturas, pastas, etc. 
 
7 
2.6.1 Dispersión y Distribución de Partículas en sistemas de Alta Viscosidad 
Para evaluar la eficiencia y calidad de los procesos de mezclado, se realiza un análisis cinemático 
de las trayectorias seguidas por las partículas que constituyen los componentes de la mezcla 
(dentro del contexto de las simulaciones numéricas), donde los mecanismos de mezclado se 
caracterizan por ser “Dispersivos” y “No dispersivos” (Distributivo) [3]. Cabe destacar que el 
análisis cinemático de partículas en problemas de mezclado es factible realizarlo para flujos 
laminares o de números de Reynolds cercanos a cero debido a las bajas velocidades de las 
trayectorias en comparación a las trayectorias caóticas de un flujo turbulento, por lo tanto, es una 
técnica apropiada para ser aplicada en problemas de flujo de altas viscosidades y/o bajas 
velocidades, por ejemplo, en la mezcla y flujo de polímeros fundidos. 
La mezcla de flujos de alta viscosidad puede ser posible solamente mediante acción mecánica o 
induciendo esfuerzos de corte dentro del fluido. Si se considera un medio continuo y viscoso 
fluyendo y se desea mezclar, por ejemplo, con sólidos con una naturaleza cohesiva (tales como 
aglomerados) o bien con fluidos inmiscibles (burbujas, gotas con tensión superficial), se requiere 
la aplicación intensiva de esfuerzos para lograr la disminución de tamaño de las partículas. Para 
lograr la reducción de tamaño de las partículas y la distribución espacial de estas, se deben 
satisfacer los siguientes pasos en la operación de mezclado: 
El Mezclado Dispersivo se define como la ruptura de aglomerados o “bultos” hasta alcanzar un 
tamaño deseado de partícula sólida o de gota (en caso de fluidos inmiscibles). De esta manera, el 
mezclado dispersivo es una consecuencia de la aplicación de esfuerzos sobre la mezcla. 
Mezclado Distributivo es el mecanismo que provee uniformidad espacial para los componentes 
presentes en la mezcla. 
En general, las operaciones de mezclado para fluidos viscosos requieren una combinación de 
ambos mecanismos; mezclado dispersivo para la ruptura de aglomerados y mezclado distributivo 
para distribuir las partículas resultantes de la ruptura de las fases, en todo el dominio del flujo de 
mezcla. La relación entre los mecanismos Dispersivo y Distributivo se muestra en la Figura 2.2. 
La dispersión de partículas puede ser interpretada también como la erosión continua o ruptura 
violenta de un conglomerado de partículas después de superar cierto esfuerzo crítico necesario 
para destruir la cohesión que existe entre las partículas. 
 
Figura 2.2-Interrelación entre Mecanismos de Mezcla Dispersivo y Distributivo [2]. 
 
8 
2.6.2 Corte y Elongación de Flujos de Alta Viscosidad 
La mezcla convectiva puede ser alcanzada imponiendo deformación en el sistema mediante un 
flujo laminar, el cual puede ser producto de la aplicación de esfuerzos de corte, elongación 
(stretching), amasado (squeezing/kneading) y plegado (folding). El flujo laminar puede generar 
Dispersión y Distribución de los componentes de una mezcla, es por esta razón que uno de los 
aspectos críticos de un flujo laminar viscoso, es que tenga la capacidad de reorientar los 
componentes dispersados. 
Para fluidos miscibles (sin existir tensión inter-facial) en régimen laminar, un componente “A” 
puede ser disuelto en una matriz fluida “B”, generando elongación y plegado que incluso puede 
llegar a generar una estructura de láminas finas o capas delgadas antes de que los mecanismos de 
difusión molecular comiencen a actuar (Figura 2.3). 
 
Figura 2.3-Mezcla Laminar Distributiva y difusión entre dos fluidos miscibles (sin tensión entre interfaces y 
baja difusividad) [2]. 
Para fluidos inmiscibles, la tensión superficial actuará como una barrera para la distribución de 
las partículas ya dispersadas. Considérese fluidos A y B inmiscibles, si las propiedades reológicas 
y las concentraciones de A y B son similares, la mezcla podría llegar a ser continua, tal como se 
muestra en la Figura 2.4. 
 
Figura 2.4-Mezcla Laminar Distributiva de dos fluidos inmiscibles con reologías similares (“s” corresponde al 
espesor de lámina de la estructura laminar generada en la distribución de los componentes. [2]. 
 
 
9 
2.7 Mezcladores Estáticos 
Los mezcladores estáticos son ampliamente utilizados para conseguir la homogeneización de 
gases, líquidos y materiales viscosos sin el uso de piezas mecánicas móviles. En su forma más 
simple, los materiales pasan a través de una estructura geométrica fija que repetidamente divide 
el flujo de material en numerosas partes. Un mezclador estático generalmente está acoplado 
concéntricamente a una cañería y tiene una forma que permite una instalación fácil. 
Un mezclador estático ofrece muchas ventajas, entre otras: 
 
 No requieren un suministro de energía separado tales como bombas o sopladores, ya que 
los materiales a ser mezclados proporcionan toda la energía requerida. 
 La caída de presión es pequeña. 
 Requieren poco mantenimiento debido a que no utilizan partes móviles. 
 Requieren un costo de inversión y operacional muy bajo. 
 Son compactos y requieren un pequeño espacio. 
 
Las siguientes figuras muestran ejemplos de mezcladores estáticos. La Figura 2.5 muestra un 
mezclador realizando la homogenización de dos fluidos. 
 
 
Figura 2.5-Mezclador estático helicoidal Kenics (KMS) y mezclador Kenics con entramado en “X” (KMX) 
[4]. 
 
 
Figura 2.6-Mezclador estático Kenics tipo KMX realizando la homogenización de dos fluidos [4]. 
 
 
10 
2.7.1 Geometría mezclador Kenics KMS 
La siguiente figura muestra las dimensiones generales de un mezclador estático Kenics KMS con 
inyector. 
 
Figura 2.7-Dimensiones generales de un mezclador estático Kenics KMS [4]. 
dónde: 
D1: Diámetro externo de unión flangeada con tubería. 
D2: Distancia entre perforaciones para pernos. 
D: Diámetro interno, por lo general es igual al diámetro de la tubería principal a la cual se acopla 
L: Largo total. 
X, Y: Coordenadas ubicación de inyector. 
e: espesor. 
 El elemento interno corresponde a la hélice mezcladora. 
 
2.7.2 Geometría de hélice mezcladora KENICS 
La hélice mezcladora se caracteriza por las siguientes dimensiones: 
 
 
Figura 2.8-Dimensiones generales de una hélice mezcladora de un mezclador Kenics KMS [2].Dónde: 
 
D: Diámetro de hélice (coincide con el diámetro interno de la tubería principal) 
L: Largo de un elemento de hélice 
 
11 
α: Ángulo de torsión de hélice 
 
Normalmente el largo de un elemento de hélice es de 1,5 veces el diámetro, sin embargo esta 
relación puede cambiar según consideraciones de diseño. 
Para entender el concepto de ángulo de torsión de hélice, se debe observar la siguiente figura, la 
cual corresponde a un elemento de hélice con un ángulo de torsión de 90°. 
 
 
Figura 2.9-Elemento de hélice con ángulo de torsión de 90° [5]. 
 
La flecha azul indica el sentido de circulación del flujo principal, la flecha roja inferior indica la 
sección transversal de la hélice en el borde de ataque y la flecha roja superior indica la 
orientación de la sección transversal en el borde de fuga, tal como se aprecia en la figura, la 
sección transversal se mantiene con una forma y centro de giro constante, solamente cambia su 
orientación desde 0° hasta 90°, cuando se tiene este caso se dice que el ángulo de torsión de la 
hélice es de 90°. Los elementos helicoidales de los mezcladores estáticos Kenics KMS 
típicamente comercializados tienen un ángulo de torsión de 180°, tal como se muestra en la 
siguiente figura. 
 
 
 Figura 2.10-Mezclador estático Kenics KMS con ángulo de torsión 180° [5]. 
 
12 
 
Dentro de los mezcladores estáticos Kenics KMS existen dos configuraciones posibles para 
ubicar consecutivamente los elementos de hélice: Configuración RR (Right-Right) y 
configuración RL (Right-left). En la configuración RR los elementos de hélice son puestos de 
manera tal que se mantiene el sentido de giro, en cambio en la RL, se invierte el sentido de giro 
para cada elemento de manera alternada. La siguiente figura muestra estas configuraciones para 
hélices de 180°. 
 
 
Figura 2.11-Configuraciones RL y RR para elementos de hélice de 180° [5]. 
 
2.7.3 Ecuación de la hélice 
La ecuación de la hélice en coordenadas cilíndricas está dada por: 
𝑍(𝜃) =
2𝜃
𝜋
(
𝑟
𝐷
) { 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)
0 ≤ 𝑟 ≤
𝐷
2
 (2.1) 
donde 
0 ≤ 𝑍(𝜃) ≤ 𝐿 
Por otro lado, el largo 𝐿 del elemento de hélice está dado por: 
𝐿 = 𝑘𝐷 (2.2) 
donde 
𝑘 > 0 
 
Generalmente 𝑘 = 1,5 
 
Con el fin de verificar las ecuaciones, se graficó la función de hélice utilizando el programa 
WINPLOT para D=2, una relación L/D=1,5 (𝑘 = 1,5), 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, obteniéndose un elemento de 
hélice de 180°, tal como muestra la siguiente figura. 
 
 
 
13 
 
Figura 2.12-Gráfico de ecuación para hélice de 180° 
 
De esta manera se tiene un modelo paramétrico de la hélice, el cual será de gran utilidad para el 
modelamiento fluido-dinámico que se realizará posteriormente. 
 
2.8 Marco Teórico 
A continuación se presenta el conjunto de ecuaciones que permite caracterizar el flujo y la mezcla 
de manera cuantitativa. 
2.8.1 Fluido 
Las siguientes ecuaciones fueron extraídas del texto Fluids Mechanics de Frank M. White (2013). 
La siguiente figura muestra un volumen de control diferencial para un fluido de densidad ρ y 
lados dx, dy y dz sobre el cual se desarrollan las ecuaciones de movimiento. 
 
Figura 2.13-Volumen de control diferencial, mostrando la entrada y salida de masa por las caras dy-dz [6] 
 
 
14 
2.8.2 Conservación de la masa 
La ecuación de conservación de masa corresponde a un balance de materia, el cual puede ser 
escrito de la siguiente manera: 
𝜕𝑚
𝜕𝑡
= �̇�𝑖𝑛 − �̇�𝑜𝑢𝑡 (2.3) 
 
Al desarrollar la ecuación de conservación de masa en un volumen de control diferencial (Figura 
2.13) se escribe de la siguiente manera: 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑢) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝜌𝑣) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝜌𝑤) = 0 (2.4) 
 
Donde 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 corresponden a las componentes de velocidad del flujo, luego, incorporando el 
operador 
∇= 𝒊
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝒋
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝒌
𝜕
𝜕𝑥
 
luego, la ecuación queda en su forma compacta: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇(𝜌�⃗⃗� ) = 0 (2.5) 
 
La ecuación anterior se denomina Ecuación de Continuidad y se aplica para todo tipo de fluido y 
régimen de flujo. En el caso especial de un flujo incompresible y permanente, la ecuación de 
continuidad se reduce a la siguiente ecuación: 
∇(�⃗⃗� ) = 0 (2.6) 
Equivalente a: 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0 (2.7) 
 
 
15 
2.8.3 Ecuación de momentum 
Aplicando la segunda ley de Newton, la suma de todas las fuerzas externas ejercidas sobre un 
volumen de control es igual a la tasa de cambio de momentum de la sustancia en dicho volumen de 
control, luego: 
𝜕𝑝 
𝜕𝑡
= ∑𝐹 𝑒𝑥𝑡 (2.8) 
 
donde 𝑝 representa la cantidad de momentum y 𝐹 𝑒𝑥𝑡 las fuerzas externas. 
Al realizar el balance fuerzas y de momentum sobre un elemento de volumen diferencial, en la 
dirección x (ver Figura 2.14), se obtiene la siguiente ecuación: 
𝑑𝐹 𝑥 = [
𝜕
𝜕𝑥
(𝜎𝑥𝑥) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝜎𝑦𝑥) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝜎𝑧𝑥)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (2.9) 
 
 
 
 
Figura 2.14-Elemento diferencial de volumen y balance de momentum [6]. 
Repitiendo el mismo análisis para las otras direcciones se tiene: 
𝑑𝐹 𝑥
𝑑𝑉
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑥
(𝜏𝑥𝑥) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝜏𝑦𝑥) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝜏𝑥𝑧) (2.10) 
 
16 
 
𝑑𝐹 𝑦
𝑑𝑉
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑥
(𝜏𝑥𝑦) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝜏𝑦𝑦) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝜏𝑧𝑦) (2.11) 
 
𝑑𝐹 𝑧
𝑑𝑉
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
𝜕
𝜕𝑥
(𝜏𝑥𝑧) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝜏𝑦𝑧) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝜏𝑧𝑧) (2.12) 
 
Luego, incorporando las fuerzas gravitacionales se obtiene: 
 
𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
= 𝜌 (
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
) (2.13) 
 
𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
= 𝜌 (
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
) (2.14) 
 
𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
= 𝜌 (
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
) (2.15) 
 
2.8.4 Ecuación de Navier-Stokes 
Incorporando el concepto de viscosidad se pueden escribir las siguientes igualdades: 
 
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
 (2.16) 
 
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇 (
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
) (2.17) 
 
𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 = 𝜇 (
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
) (2.18) 
 
 
17 
𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = 𝜇 (
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
) (2.19) 
 
Al reemplazar las igualdades (3.14),(3.15), (3.16) y (3.17) en las ecuaciones (3.11), (3.12) y 
(3.13) se tienen las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo Newtoniano de viscosidad constante 
𝜇. 
 
𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 (
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
) = 𝜌
𝑑𝑢
𝑑𝑡
 (2.20) 
 
𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇 (
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
) = 𝜌
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 (2.21) 
 
𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 (
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
) = 𝜌
𝑑𝑤
𝑑𝑡
 (2.22) 
 
2.8.5 Flujo Reptante (Stoke’s Flow) 
El flujo reptante corresponde a una condición especial experimentada por fluidos de alta 
viscosidad y/o baja velocidad de flujo, en términos de la ecuación de Navier-Stokes, no se 
considera el término de inercia ni el término transiente [7]. La ecuación de Navier-Stokes se 
puede escribir como 
𝑅𝑒 (
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑣∇𝑣) = −𝛻𝑃 + 𝛻2𝑣 (2.23) 
 
Al ser 𝑅𝑒 ≪ 1 el término de la izquierda desaparece, luego, la ecuación que representa el flujo de 
Stokes está dada por: 
−𝛻𝑃 + 𝛻2𝑣 = 0 (2.24) 
 
2.8.6 Tasa de corte (Shear rate) 
La mayoría de los gráficos de viscosidad están en función de la tasa de corte o shear rate la cual 
se define de la siguiente manera 
 
 
18 
𝜏 =
∆𝑉
𝑑
 (2.25) 
 
Donde ∆𝑉 representa la difencia de velocidad en un espesor 𝑑 de fluido. La siguiente figura 
muestra un esquema asociado al concepto de tasa de corte. 
 
 
Figura 2.15-Esquema tasa de corte en un fluido [6]. 
2.9 Análisis Cinemático 
Una primera manera de medir la calidad de una mezcla es cuantificando lacapacidad que tiene el 
flujo para deformar materia y generar superficies entre interfaces. En la teoría que se presenta a 
continuación no considera fuerzas inter-faciales causadas por la tensión superficial: la interface es 
pasiva y se realiza la suposición de que no existe ruptura de material (formación de burbujas). 
Para flujos 2D, la interface entre fluidos corresponde a una línea; calcular la cantidad de 
superficie generada entre interfaces, en un proceso de mezclado, es una tarea 
computacionalmente imposible, debido al crecimiento exponencial de este parámetro. En la 
práctica, la técnica para estimar la evolución del crecimiento de la superficie entre interfaces 
consiste en estudiar la variación experimentada por un conjunto de vectores fijos infinitesimales 
“adheridos” a un gran número de partículas distribuidas en todo el dominio del fluido. A medida 
que las partículas se van moviendo en el fluido, los vectores adheridos a cada partícula varían su 
largo, orientación y dirección. La deformación (stretching) y la tasa de deformación (rate of 
stretching) de estos vectores tienen propiedades muy interesantes, las cuales varían según 
ubicación en el dominio del flujo y eventualmente con el tiempo. 
Luego de realizar el análisis cinemático, se realiza un tratamiento estadístico a los resultados para 
tener una visión global del proceso. Con el método estadístico, se puede tener una evaluación 
objetiva y cuantitativa del proceso de mezclado. Por ejemplo, se pueden encontrar zonas en el 
dominio del flujo donde el mezclado es “deficiente” o de mala calidad (baja deformación de 
elementos de fluido). Para flujos 3D, se generaliza el concepto de interface: la interface ya no es 
una línea sino una superficie y con esto, el análisis cinemático consiste en calcular la 
deformación que experimenta un conjunto de superficies infinitesimales adheridas a cada 
partícula del conjunto de partículas en estudio. 
 
 
19 
2.9.1 Gradiente de Deformación 
El operador gradiente es uno de los conceptos fundamentales en la mecánica de medios continuos 
y en términos simples mide la variación espacial de una función, en este caso, la función de 
deformación. 
Considérese un elemento lineal de fluido perteneciente al dominio Ω0, el cual posee una longitud 
inicial 𝒅𝑿 y una posición inicial 𝑿 en relación a un sistema de referencia fijo. Este elemento se 
transforma en un elemento de longitud 𝒅𝒙 y posición 𝒙 después que el dominio ha sufrido una 
deformación, que lo transforma en Ω. Por otro lado, se supondrá que existe una función 𝝌 que es 
la responsable de esta transformación, luego, combinando estos elementos, se define el gradiente 
de 𝝌 mediante la siguiente ecuación. La Figura 2.16 muestra un esquema de esta situación. 
𝑑𝑥 = 𝜒(𝑋 + 𝑑𝑋) − 𝜒(𝑋) 
=(Grad 𝜒) 𝑑𝑋 
(2.26) 
 
 
Figura 2.16-Gradiente de deformación actuando en un elemento lineal de fluido [8]. 
Sin embargo, por simplicidad, se designa la función 𝝌 por 𝒙, luego, el valor de 𝒙 está dado en 
función de 𝑋 y el tiempo por: 
𝒙 = 𝒙(𝑿, 𝒕) (2.27) 
 
Por lo tanto, el gradiente de deformación está dado por la siguiente ecuación: 
 
𝐹 =
𝜕𝑥
𝜕𝑋
= 𝐺𝑟𝑎𝑑 𝑥; 𝐹𝑖𝐽 =
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑋𝐽
 (2.28) 
En donde 𝐹𝑖𝐽 corresponde a las componentes del gradiente, según las dimensiones que tenga el 
problema, equivalentemente, se puede escribir: 
 
 
20 
𝑑𝑥 = 𝐹𝑑𝑋, 𝑑𝑥𝑖 = 𝐹𝑖𝐽𝑑𝑋𝐽 (2.29) 
 
Para aclarar estas definiciones, a continuación se muestra un breve ejemplo de aplicación. 
Considérese un cubo de material fluido de lado unitario, ilustrado con línea punteada en la Figura 
2.17. Este es deformado y se transforma en un prisma, la función 𝝌 que representa esta 
deformación está dada por: 
𝑥 = 𝜒(𝑋) = −6𝑋2𝑒1 +
1
2
𝑋1𝑒2 +
1
3
𝑋3𝑒3 (2.30) 
 
 
Figura 2.17-Representación de un cubo deformado [8]. 
En la ecuación anterior (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) representan una base de vectores unitarios ortogonales que 
equivalen a las direcciones (𝑖, 𝑗, 𝑘). Luego, el gradiente de deformación está dado por el siguiente 
tensor: 
 
𝐹 =
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑋𝐽
= [
0 −6 0
1/2 0 0
0 0 1/3
] (2.31) 
 
Una vez conocido el gradiente de deformación, se puede conocer la posición de cualquier 
elemento. Por ejemplo, al tomar un elemento lineal 𝑑𝑋 = [𝑑𝑎, 0,0]𝑇 y aplicar el gradiente 𝐹 , este 
se transforma en 𝑑𝑥 = [0, 𝑑𝑎/2,0]𝑇. 
Una de las propiedades fundamentales del gradiente de deformación está dada por: 
𝐹𝐹−1 = 𝐹−1𝐹 = 𝐼 (2.32) 
 
21 
Es decir, tiene la propiedad de ser reversible, lo cual se traduce en que al aplicar una deformación 
a un elemento de fluido, este puede volver a su forma y posición original aplicando una 
transformación inversa. 
Por otro lado, otra propiedad del gradiente de deformación está dada por la siguiente ecuación: 
 
𝐺𝑟𝑎𝑑(𝑥 + 𝑐) = 𝐺𝑟𝑎𝑑(𝑥) (2.33) 
 
En donde el c corresponde a un vector constante que no altera la deformación del elemento de 
fluido, luego, con esta propiedad, se puede decir que el Gradiente no muestra información acerca 
de posibles traslaciones, ya que al derivar, los valores constantes desaparecen. Si el elemento de 
fluido solo sufre una traslación entonces 𝐹 = 𝐼, y 𝑥 = 𝑋 + 𝑐; si no existe ningún tipo de 
movimiento entonces 𝐹 = 𝐼, y 𝑥 = 𝑋. Si el elemento de fluido sufre una rotación sin traslación 
entonces 𝐹 = 𝑅, donde: 
𝑅 = [
𝑠𝑒𝑛(Ɵ) 0 cos (Ɵ)
0 1 0
cos (Ɵ) 0 −𝑠𝑒𝑛(Ɵ)
] (2.34) 
 
2.9.2 Tensores de Cauchy-Green 
Debido a la limitación que presenta el gradiente de deformación de no poder descomponerse 
como una traslación y una rotación es que aparece los tensores “izquierdo” y “derecho” de 
Cauchy-Green (left & right Cauchy-Green strain tensors, respectivamente). Para efectos de este 
trabajo, solo importa el tensor “derecho”, el cual entrega el vector de traslación para los 
elementos de un flujo evolucionando en el tiempo. 
Considérese dos elementos lineales de fluido 𝒅𝑿(𝟏) y 𝒅𝑿(𝟐) los cuales son transformados en 
𝒅𝒙(𝟏) y 𝒅𝒙(𝟐) respectivamente, luego, haciendo un manejo algebraico se tiene: 
 
𝑑𝑥(1) ∙ 𝑑𝑥
(2)
= (𝐹𝑑𝑋(1)) ∙ (𝐹𝑑𝑋(2)) (2.35) 
= 𝑑𝑋(1)(𝐹𝑇𝐹)𝑑𝑋(2) 
= 𝑑𝑋(1)𝐶𝑑𝑋(2) 
Donde ( ∙ ) corresponde al producto punto entre vectores. Con esto, se define el Tensor “derecho” 
de Cauchy-Green como: 
𝐶 = 𝐹𝑇𝐹, 𝐶𝐼𝐽 = 𝐹𝑘𝐼𝐹𝑘𝐽 =
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑋𝐼
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑋𝐽
 ( 2.36) 
 
22 
 
Luego, los tensores de traslación (𝑼) y rotación (𝑹) se definen de la siguiente manera: 
𝑈 = √𝐶 (2.37) 
𝑅𝑇𝑅 = 𝐼 (2.38) 
 
Además, el tensor de rotación debe satisfacer la condición 𝐝𝐞𝐭𝐑 = 𝟏. 
 
2.9.3 Cálculo de Elongación para flujos 2D 
La deformación (o tasa de deformación) λ se define como el cociente entre la longitud del 
elemento deformado y la longitud del elemento en su condición inicial (sin deformar). La manera 
de calcular la tasa de deformación es realizando un manejo algebraico, utilizando las ecuaciones 
para deducir el tensor de Cauchy-Green e imponiendo 𝒅𝑿(𝟏) = 𝒅𝑿(𝟐) = 𝒅𝑿 y 𝒅𝒙(𝟏) = 𝒅𝒙(𝟐) =
𝒅𝒙, con esto se tiene: 
 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑋 𝐶 𝑑𝑋 (2.39) 
|𝑑𝑥|2 = |𝜆 ∙ 𝑑𝑋|2 
𝜆 =
|𝑑𝑥|
|𝑑𝑋|
 (2.40) 
 
En función de los resultados anteriores, se dice que un elemento de fluido es alargado, 
comprimido o permanece invariante de acuerdo a λ>1, λ<1 o λ=1 respectivamente. 
 
2.9.4 Eficiencia de mezclado para Flujos 2D 
Una mezcla con buena calidad requiere un elevado valor para 𝜆 a través del tiempo y el espacio. 
Una medida de la evaluación local de la eficiencia del mezclador está dada por la Eficiencia de 
mezclado 𝒆𝝀, fórmula extraída desde el manual [9] y definida en detalle en [8]. 
 
𝑒𝜆(𝑋, 𝑡) =
�̇� / 𝜆
𝐷
 (2.41) 
 
Donde 𝐷 equivale a: 
 
23 
𝐷 = √𝑡𝑟(𝑫𝟐) (2.42) 
 
Se debe recordar que la traza (tr) de una matriz está dada por la suma de sus elementos 
diagonales. Además,el tensor 𝑫 corresponde al tensor de deformación, el cual se define como: 
 
𝑫 =
1
2
(𝐿 + 𝐿𝑇) (2.43) 
 
Donde 𝐿 corresponde al gradiente de velocidad, el cual se define como: 
𝐿𝑖𝑗 =
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
 (2.44) 
 
El valor de 𝑒𝜆 posee valores dentro del intervalo [-1,1]. Por otro lado se debe aclarar que 𝑒𝜆 es un 
valor que se calcula para una partícula a la cual se realiza un análisis cinemático a lo largo de la 
trayectoria que recorren el dominio del fluido. Una medida de la eficiencia promediada en el 
tiempo hasta un instante 𝑡 está dada por: 
〈𝑒𝜆〉(𝑋, 𝑡) =
1
𝑡
∫ 𝑒𝜆(𝑋, 𝑡′)𝑑𝑡′
𝑡
0
 (2.45) 
 
Sin embargo, existe otra manera de calcular este parámetro a través de: 
 
〈𝑒𝜆〉2(𝑋, 𝑡) =
∫ (�̇� / 𝜆)𝑑𝑡′
𝑡
0
∫ 𝐷
𝑡
0
𝑑𝑡′
=
ln (𝜆)
∫ 𝐷
𝑡
0
𝑑𝑡′
 (2.46) 
 
La interpretación física de la ecuación (2.41) es la siguiente: para una partícula material, en el 
instante 𝑡, 〈𝑒𝜆〉2 corresponde a cociente entre la elongación final obtenida hasta el instante 𝑡, y la 
disipación mecánica total hasta el instante 𝑡. 
Eventualmente, se define la Eficiencia global considerando todos los puntos materiales a los 
cuales se les realiza análisis cinemático en su trayectoria, por lo tanto, se define la eficiencia 
global como: 
 
24 
< 〈𝑒𝜆〉 > (𝑡) =
∫ ln(𝜆)
𝛺0
∫ ∫ 𝐷𝑑𝑡′𝑑𝛺
𝑡
0𝛺0
 (2.47) 
 
Este coeficiente global de eficiencia corresponde al cociente entre la salida, es decir, la cantidad 
total de elongación que han experimentado las partículas materiales del flujo, sobre la entrada que 
se le ha entregado al sistema o “energía” de entrada (la disipación mecánica total hasta el instante 
de tiempo 𝑡. 
 
2.9.5 Parámetros cinemáticos para flujos 3D 
Los parámetros cinemáticos para flujos 3D se calculan siguiendo el mismo razonamiento que 
para flujos 2D, con la diferencia que en vez de tratar con un elemento lineal de fluido, se realiza 
el análisis para elementos diferenciales de superficie. Las fórmulas que se muestran a 
continuación fueron extraídas desde el manual [9], la definición rigurosa y detallada se pueden 
encontrar en [8]. 
Considérese un dominio en su condición inicial Ω0 y un elemento diferencial de superficie 𝑑𝐴, 
ubicado en una posición 𝑋 y orientado según un vector normal �̂�. A medida que transcurre el 
tiempo, esta superficie se deforma transformándose en 𝑑𝑎 en el instante 𝑡, orientado según un 
vector normal �̂�. La tasa de deformación 𝜂 se define como: 
𝜂 = 𝜂(𝑋, �̂�, 𝑡) =
𝑑𝑎
𝑑𝐴
 (2.48) 
 
Si el fluido es incompresible, 𝜂 y �̂� se pueden escribir como sigue: 
 
𝜂 = √�̂�𝑡 (𝐶−1)�̂� (2.49) 
 
�̂� =
(𝐹−1)𝑡�̂�
𝜂
 (2.50) 
 
Análogamente al caso en 2D, una buena calidad de mezcla requiere valores elevados para 𝜂 a 
través del tiempo y el espacio, luego, la eficiencia local de mezclado está dada por: 
𝑒𝜆(𝑋, �̂�, 𝑡) =
�̇� / 𝜂
𝐷
 (2.51) 
 
25 
 
La eficiencia promedio en el tiempo y la eficiencia global se definen respectivamente, tal como 
sigue: 
〈𝑒𝜂〉2(𝑋, �̂�, 𝑡) =
∫ (�̇� / 𝜂)𝑑𝑡′
𝑡
0
∫ 𝐷
𝑡
0
𝑑𝑡′
=
ln (𝜂)
∫ 𝐷
𝑡
0
𝑑𝑡′
 (2.52) 
 
< 〈𝑒𝜂〉2(�̂�, 𝑡) >=
∫ (�̇� / 𝜂)𝑑𝑡′
𝑡
0
∫ 𝐷
𝑡
0
𝑑𝑡′
=
ln (𝜂)
∫ 𝐷
𝑡
0
𝑑𝑡′
 (2.53) 
 
2.9.6 Análisis Estadístico 
Considérese un conjunto de 𝑁 partículas, a las cuales se les asocia un solo vector perteneciente a 
un conjunto de vectores 𝑀, con orientaciones aleatorias. Mientras se realiza un seguimiento 
(tracking) del conjunto de partículas, se calculan los valores de 𝜆, 𝑒𝜆 y 〈𝑒𝜆〉. Cuando el número 
de partículas es suficientemente grande (del orden de 1.000 partículas), la representación de 
partículas y los resultados del tratamiento estadístico son más precisos y confiables. 
2.9.7 Promedio y Desviación Estándar 
Para un parámetro cinemático y escalar α, se puede calcular la evolución temporal del promedio y 
la desviación estándar a través de las siguientes ecuaciones: 
α(t)̅̅ ̅̅ ̅ =
∑ α𝑖
𝑁
𝑖=1 (𝑡)
𝑁
 (2.54) 
 
𝜎α
2 =
∑ (α𝑖
𝑁
𝑖=1 (𝑡) − α(t)̅̅ ̅̅ ̅ )2
𝑁
 (2.55) 
 
2.9.8 Función de probabilidad acumulada (Función Distribución) 
Se define la función de distribución de probabilidad 𝐹α asociada a una magnitud escalar α como: 
𝐹α(𝛽, 𝑡) = 𝑃(𝛼(𝑡) ≤ 𝛽) (2.56) 
 
Donde el término a la derecha de la igualdad, corresponde a la probabilidad de que la cantidad 
escalar 𝛼 medida en el instante 𝑡, tenga un valor menor o igual a 𝛽. La siguiente figura muestra 
 
26 
un gráfico donde se representa la evolución de la función de distribución del escalar 𝛼, para 3 
tiempos diferentes. 
 
 
Figura 2.18-Gráfico de función de distribución de probabilidad para una cantidad escalar 𝜶(𝒕) [9]. 
 
2.9.9 Función densidad de probabilidad 
Basándose en la función de distribución 𝐹α de la cantidad escalar 𝛼, se define la función de 
densidad de probabilidad como: 
𝑓α(𝛽, 𝑡) =
𝜕𝐹α
𝜕𝛼
 (2.57) 
 
La función 𝑓α(𝛽, 𝑡) es la frecuencia con la cual se puede encontrar un valor de 𝛼 en el rango 
(𝛽 − 𝛥𝛼; 𝛽 + 𝛥𝛼). La siguiente figura muestra un gráfico donde se representa la evolución de la 
función de densidad de probabilidad del escalar 𝛼, para 3 tiempos diferentes. 
 
 
Figura 2.19- Gráfico de función densidad de probabilidad para una cantidad escalar 𝜶(𝒕) [9]. 
 
27 
2.9.10 Percentiles 
Un parámetro útil y sencillo para estudiar el progreso del proceso de mezcla es el percentil. Para 
un escalar 𝛼, se define 𝛼𝑝(𝑡) tal que: 
𝐹α(𝛼𝑝, 𝑡) = 𝑝 (2.58) 
El parámetro 𝛼𝑝(𝑡) indica que en el instante t, 𝑝% de las partículas adquieren un valor de 𝛼 
menor o igual que 𝛼𝑝(𝑡), tal como se muestra en la siguiente figura: 
 
 
Figura 2.20-Gráfico de percentiles [9]. 
 
Con los percentiles, se puede estudiar la evolución del proceso de mezcla para una fracción 
específica de la población de partículas en estudio; es interesante, por ejemplo, saber la longitud 
de deformación alcanzada por 5 o 10% de la población de partículas que ha experimentado la 
menor tasa de deformación. Los percentiles pueden ayudar a encontrar fácilmente defectos 
locales en el dominio de mezclado. 
 
2.9.11 Histogramas 
Otra manera de representar la frecuencia de partículas que pueden alcanzar valores de 𝛼 es 
definir histogramas: para ellos se debe especificar un conjunto de intervalos para 𝛼, luego obtener 
el porcentaje de la población de partículas que posee un valor determinado de 𝛼 que se encuentre 
contenido en cada intervalo. 
 
 
28 
 
Figura 2.21-Ejemplo de gráfico histograma [9] 
 
Tal como se puede observar en la figura anterior, p% de la población de partículas tiene un valor 
de 𝛼 comprendido entre 𝛼1 𝑦 𝛼2 en el instante t. 
 
2.9.12 Función de Auto-correlación 
Para explicar este concepto, supóngase que se desea mezclar dos fluidos A y B: ambos fluidos 
ocupan en t=0 dos regiones separadas del dominio 𝛺0, a su vez 𝛺𝑡 representa el dominio cuando 
ha transcurrido un tiempo t desde que ha empezado el proceso de mezclado (Figura 2.22). 
 
 
Figura 2.22-Esquema de fluidos mezclándose [9]. 
 
Se designará por 𝐶(𝑋, 𝑡) a la concentración del fluido A en el proceso de mezclado. Cabe aclarar 
que no se considerarán fenómenos de difusión entre las interfaces de A y B, por lo tanto el valor 
de 𝐶(𝑋, 𝑡)=0 cuando se mide la concentración en alguna posición 𝑋 donde exista fluido de tipo B 
y 𝐶(𝑋, 𝑡)=1 cuando se mide la concentración en alguna posición 𝑋 donde exista fluido de tipo A, 
esto implica que la concentración asociada a cada partícula del dominio 𝛺0 (situación inicial), no 
cambiará a lo largo de la trayectoria de cada partícula, en el proceso de mezclado, es decir, para 
cada partícula en estudio se satisface que la variación temporal de su concentración es cero 
[�̇�(𝑋, 𝑡)=0]. 
 
29 
La definición dada anteriormente para la concentración, permite introducir el concepto de Escala 
de Segregación [10] y [11]. Para un instante 𝑡 considérese unconjunto de 𝑀 pares de partículas 
separados por una distancia 𝑟. Dado el instante de tiempo 𝑡, para el 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 par, se denotará 
por 𝑐′𝑗 y 𝑐′′𝑗 las concentraciones para cada punto perteneciente al par, las cuales pueden adoptar 
el valor 0 o 1. Además 𝑐̅ y 𝜎𝑐 indican respectivamente, la concentración promedio y desviación 
estándar sobre todas las partículas involucradas en el proceso. La Figura 2.23 explica 
gráficamente el concepto de “par de partículas”. 
Habiendo definido el concepto de “par de partículas”, se define la función auto-correlación de 
concentraciones como: 
𝑅(𝑟, 𝑡) =
∑ (𝑐′
𝑗 − 𝑐̅)(𝑐′′𝑗 − 𝑐̅) 𝑀
𝑗=1
𝑀𝜎𝑐
2
 (2.59) 
 
 
Figura 2.23-Proceso de mezclado en un instante de tiempo (t) cualquiera; explicación concepto par de 
partículas. Las partículas de color blanco indican una concentración igual a cero (Fluido B); las partículas de 
color negro, indican una concentración igual a uno (Fluido A). 
 
 
30 
Esta función entrega la probabilidad de encontrar un par de partículas al azar, separadas a una 
distancia relativa 𝑟 y con la misma concentración. 
 
Figura 2.24-Gráfico de función Auto-correlación de concentraciones [9] 
 
La figura anterior muestra un gráfico típico para la función de auto-correlación, la cual está en 
función de la distancia 𝑟 a la cual están separados cada par de partículas. La cantidad total de 
pares de partículas (𝑀) que se pueden formar con (𝑁) partículas, está dado por el número 
combinatorio que expresa la cantidad de pares distintos que se pueden formar con 𝑁 partículas: 
 
𝑀 = (
𝑁
2
) =
𝑁!
2! (𝑁 − 2)!
=
𝑁(𝑁 − 1)
2
 (2.60) 
 
La función 𝑅(𝑟, 𝑡) posee valores pertenecientes al intervalo real [−1,1], los cuales se interpretan 
según como sigue: 
 
 Cuando 𝑟 = 0 se tiene que 𝑅(𝑟, 𝑡) = 1. Esto significa, teóricamente, de que existe una 
probabilidad de 100% de encontrar un par de partículas con la misma concentración 
separadas a una distancia igual a cero, lo cual en la realidad es físicamente imposible; si se 
consideran dos partículas “i” y “j”, por más cercanas que se encuentren, siempre se 
cumplirá 𝑟 > 0. La única partícula separada a una distancia 𝑟 = 0 de “i” es “i”, por lo 
tanto 𝑅(𝑟 = 0, 𝑡)=1 corresponde al caso teórico donde se considera la partícula “i” como la 
partícula vecina más cercana a sí misma. 
 
 
31 
 Cuando 0 < 𝑟 < 𝜉 , la función es decreciente y se observa que 0 < 𝑅(𝑟, 𝑡) < 1. Esto 
significa que, al sacar muestras al azar de pares de partículas, es mucho más probable 
encontrar pares de partículas con la misma concentración separadas a distancias 
relativamente cortas que encontrarlas separadas a distancias muy largas. Esta función posee 
un “cero” o valor de distancia característico r=ξ donde, teóricamente, es imposible 
encontrar un par de partículas separadas a esa distancia. 
 
 Durante el proceso de mezclado, podría darse que 𝑅(𝑟, 𝑡) = −1, implicando la existencia 
de un 𝑟 = 𝜉∗ tal que cumpla la condición. En términos físicos, esta condición se traduce 
en que el 100% de las partículas que se encuentran separadas a una distancia 𝑟 = 𝜉∗, tienen 
concentraciones distintas. La Figura 2.25 muestra una explicación gráfica de esta situación. 
 
 Cuando 𝜉 < 𝑟 < 𝜉∗ , se observa que la función de auto-correlación varía en el intervalo 
−1 < 𝑅(𝑟, 𝑡) < 0. Esto significa que, al sacar muestras al azar de pares de partículas, es 
mucho más probable encontrar pares de partículas con diferentes concentraciones separadas 
a distancias relativamente largas (cercanas a 𝑟 = 𝜉∗) que encontrarlas separadas a 
distancias más cortas (cercanas a 𝑟 = 𝜉). 
 
 
Figura 2.25-Pares de partículas separados a una distancia 𝒓 = 𝝃∗. En la imagen se observa como 12 pares de 
partículas cumplen la condición de estar separados a la distancia indicada y además tener concentraciones 
distintas. 
 
32 
2.9.13 Escala de Segregación 
Se define la escala de segregación mediante la siguiente función: 
 
 
𝑆(𝑡) = ∫ 𝑅(𝑟, 𝑡) 𝑑𝑟
𝜉
0
 (2.61) 
 
 
Es decir, la escala de segregación correponde al área bajo la curva de la función 𝑅(𝑟, 𝑡) entre 0 y 
𝜉. 
 
Figura 2.26-Gráfico escala de segregación [9]. 
 
Para entender esta función se debe pensar en que cada distancia de separación de partículas, 
desde la mínima (r=0) hasta la máxima (r= 𝜉), es ponderada por su probabilidad o por su 
frecuencia relativa, por lo tanto, la escala de segregación puede ser interpretada físicamente como 
un promedio ponderado de distancias entre partículas, que representa el tamaño promedio de un 
elemento de fluido que ha sido deformado producto de una operación de mezclado. 
 
2.9.14 Intensidad de Segregación 
Es una medida cuantitativa que permite medir la calidad de la mezcla y por tanto la eficiencia de 
los mezcladores, este parámetro también es conocido como Covarianza de concentración (COV) 
fue propuesto por los investigadores Alloca y Streiff (1980). Para entender este parámetro es 
necesario partir por imaginar que el mezclador está en operación, la figura siguiente muestra la 
sección transversal del mezclador Kenics KMS para distintas zonas aguas abajo, para realizar la 
 
33 
medición de la intensidad de segregación, es necesario dividir la sección generando una grilla con 
N celdas. 
 
Figura 2.27-Evolución de la intensidad de mezcla tras el paso del flujo principal a través de los primeros 
cuatro elementos helicoidales en un mezclador KMS RL-180. 
 
 Luego, la intensidad de segregación se mide de acuerdo a la siguiente fórmula: 
𝐼 = 
1
𝑐̅(1 − 𝑐̅)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
1
𝐹
∑(𝑐𝑖 − 𝑐̅)2
𝑁
𝑖=1
𝑓𝑖 (2.62) 
Donde 
𝑐̅ = 
1
𝐹
∑𝑐𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑓𝑖 , 𝐹 = 
1
𝐹
∑𝑓𝑖
𝑁
𝑖=1
 
 
Donde fi es el caudal de flujo que atraviesa la celda i, F es el flujo total a través del mezclador y 
ci la concentración en la celda i. Si I=1 es porque no se ha producido la mezcla (se distinguen 
fácilmente las fases blanca y negra), en cambio sí I=0 se tiene una mezcla perfecta entre color 
negro y blanco (color gris). 
A menudo, el proceso indicará cual es un coeficiente de variación aceptable. Por ejemplo, en un 
proceso de mezcla industrial típico, un aditivo se puede considerar un buen mezclado con un 
I=5%, mientras que en un uso más crítico tal como la adición del color, el producto puede 
requerir un I=0.5% [2]. 
 
 
2.10 Influencia del ángulo de torsión en la calidad de la mezcla 
Existe una fuerte influencia entre el ángulo de torsión de los elementos de hélice y la calidad final 
de la mezcla considerando una cantidad fija de elementos, es decir, el ángulo afecta la eficiencia 
del proceso de mezcla, además también influye en la pérdida de carga que experimenta el flujo 
principal [5], los siguientes gráficos muestran estos resultados. 
 
34 
 
 
Figura 2.28-Dependencia de la calidad de mezcla y pérdida de carga de flujo principal en función del número 
de elementos helicoidales y para distintos ángulos de torsión de hélice en un mezclador en configuración RL 
[5]. 
 
 
 Figura 2.29-Dependencia de la calidad de la mezcla con el ángulo de torsión de la hélice para 
configuraciones RR [5]. 
 
Tal como se observa en los gráficos anteriores, se establece una tendencia hacia un ángulo 
óptimo de aproximadamente 150°. 
Con relación a la escala de segregación, el siguiente gráfico muestra la variación de este 
parámetro en función del número de elementos de hélice. 
 
 
35 
 
Figura 2.30-Escala de segregación para distintas configuraciones de hélice [5]. 
 
 
Figura 2.31-Funcionamiento de un mezclador Kenics RL-180 [5]. 
 
 
 
 
 
 
36 
3 Metodología 
3.1 Antecedentes del problema 
A continuación se presentará una aplicación del mezclador estático Kenics KMS, para ello se 
planteará un problema real de la industria de polímeros relacionado con la fabricación de un 
material compuesto entre