vdocuments mx_la-polarizacion-del-vac-o-en-electrodinamica-cu-antica-

Vista previa del material en texto

Máster Universitario en F́ısica y Matemáticas
Trabajo de Fin de Máster
La polarización del vaćıo en
electrodinámica cuántica
bidimensional
Facultad de Ciencias
Curso 2019/2020
Autora: Esperanza Maya Barbecho
Tutora: Marina de la Torre Mayado
Máster Universitario en F́ısica y Matemáticas
Trabajo de Fin de Máster
La polarización del vaćıo en
electrodinámica cuántica
bidimensional
Facultad de Ciencias
Curso 2019/2020
Autora: Esperanza Maya Barbecho
Tutora: Marina de la Torre Mayado
Resumen
La Electrodinámica Cuántica describe las interacciones del campo electromagnético con
los electrones y positrones en un marco regido por las leyes de la Relatividad Especial
y la Mecánica Cuántica. Durante los años ochenta del siglo XX aparecieron interesantes
investigaciones en Electrodinámica Cuántica en un espacio-tiempo de (2+1) dimensio-
nes, por un lado por razones puramente teóricas y por otro lado para intentar explicar
importantes experimentos realizados en el marco de la F́ısica de la Materia Condensada
como son: el Efecto Hall Cuántico [1], [2], la superconductividad de alta temperatura [3],
etc. En ambos casos, se trata de fenómenos cuánticos de muchos cuerpos que incluyen
interacciones de fermiones cargados con el campo electromagnético, y que se producen
esencialmente en dos dimensiones espaciales.
El objetivo general de este Trabajo de Fin de Máster es, conocida la Electrodinámica
Cuántica en el espacio-tiempo (3+1)-dimensional, estudiar el caso en (2+1) dimensiones
y analizar las diferencias y similitudes que hay entre ambas teoŕıas.
Se planteará aśı, en el caso de dos dimensiones espaciales, el estudio de procesos de
scattering al orden más bajo en teoŕıa de perturbaciones, tales como el scattering Møller
y el scattering Compton. A continuación, se abordará el estudio de las correcciones ra-
diativas a un lazo, donde aparecen divergencias ultravioletas e infrarrojas. El objetivo
particular del trabajo será el estudio del proceso de polarización del vaćıo y el análisis
de su importancia en el caso bidimensional, ya que de la regularización a un lazo apare-
ce la anomaĺıa en este tipo de teoŕıas de campos que está relacionada con el término de
Chern-Simons. Finalmente, se analizará la conexión entre este proceso en Electrodinámica
Cuántica Bidimensional y la conductividad Hall del Efecto Hall Cuántico.
PALABRAS CLAVE: Electrodinámica cuántica bidimensional, densidad Lagrangiana
de Chern-Simons, Scattering Møller, Scattering Compton, Polarización del vaćıo, Regula-
rización de Pauli-Villars, Renormalización, fórmula de Kubo, Efecto Hall Cuántico, factor
de llenado.
1
Abstract
Quantum Electrodynamics describes the interactions of the electromagnetic field with
electrons and positrons in a framework governed by the laws of Special Relativity and
Quantum Mechanics. During the eighties of the 20th century, interesting investigations
appeared in Quantum Electrodynamics in space-time of (2+1) dimensions, on the one
hand for purely theoretical reasons and on the other hand to try to explain important
experiments carried out within the framework of Physics of Condensed Matter such as
the Quantum Hall Effect [1], [2], the high-temperature superconductivity [3], etc. In both
cases, these many-body quantum phenomena include the interaction between charged
fermions and the electromagnetic field and they take place essentially in two spatial di-
mensions.
Starting from (3+1)-dimensional quantum electrodynamics, the general objective of this
Master’s Thesis is to study the (2+1) dimensional case and to analyze the differences and
similarities between both theories.
Thus, in the two-dimensional case, the study of scattering processes will be considered at
the lowest order in perturbation theory. In particular we will study the Møller scattering
and Compton scattering. Secondly, one loop radiative corrections will be addressed, where
ultraviolet and infrared divergences appear. A specific objective of this work is the study of
the vacuum polarization process and the analysis of its importance in the two-dimensional
case. The characteristic anomaly of this type of field theories, which is related to the
Chern-Simons term, we be calculated with one-loop regularization techniques. Finally,
the connection between this process in (2+1)-dimensional quantum electrodynamics and
the Hall conductivity in the quantum Hall effect will be analyzed.
KEYWORDS:Two-dimensional Quantum Electrodynamics, Chern-Simons Lagrangian
density, Møller Scattering, Compton Scattering, Vacuum Polarization, Pauli-Villars Re-
gularization, Renormalization, Kubo formula, Quantum Hall Effect, filling factor.
2
Índice general
1. Introducción 5
2. Electrodinámica cuántica en el plano 8
2.1. Densidad Lagrangiana de QED en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1. Densidad Lagrangiana de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Unidades y dimensiones en electrodinámica cuántica bidimensional . . . . . 13
2.3. Teoŕıa de perturbaciones y elemento de matriz en (2+1) dimensiones . . . 15
2.4. Reglas de Feynman en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Algunos procesos de scattering al orden más bajo 19
3.1. Longitud eficaz diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Suma en el esṕın y las polarizaciones en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . 21
3.3. Scattering Møller en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Scattering Compton en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Correcciones radiativas a un lazo. Polarización del vaćıo 34
4.1. Divergencias y renormalización. Grado superficial de divergencia . . . . . . 34
4.2. Correciones radiativas a un loop en QED2+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3. Polarización del vaćıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.1. Regularización de Pauli-Villars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.2. Renormalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4. Fórmula de Kubo y conductividad Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.1. El efecto Hall cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.2. Fórmula de Kubo relativista y polarización del vaćıo. . . . . . . . . 50
4.4.3. El factor de llenado: efecto Hall cuántico para ν =
1
2
. . . . . . . . . 54
5. Conclusiones 58
Bibliograf́ıa 60
A. Notación relativista en (2+1) dimensiones 64
3
ÍNDICE GENERAL
B. Matrices gamma en QED2+1 66
C. El campo de Dirac en (2+1) dimensiones 69
D. El campo electromagnético en (2+1) dimensiones 74
4
Caṕıtulo 1
Introducción
La equivalencia entre la enerǵıa y la masa que implica la relatividad especial da lugar a
que no sea posible formular una teoŕıa cuántica relativista completamente coherente para
un conjunto con un número definido de part́ıculas. Esta equivalencia permite por ejemplo,
para un proceso determinado, que una part́ıcula suficientemente energética pueda perder
parte de su enerǵıa y esta se materialice en nuevas part́ıculas. Este es el caso por ejemplo
de la emisión beta, donde un neutrón se transforma en un protón emitiéndose un electrón
y un antineutrino, o la desexcitación espontánea de un átomo a su estado fundamental,
emitiendo un fotón.
La mecánica cuántica ordinaria no incluye la posibilidad de creación y aniquilación de
part́ıculas, lo que implica, que junto con la cuantización de la radiación electromagnética
introducida por Einstein, sea necesario elaborar una nueva teoŕıa capaz de englobar todos
estos resultados.
En este contexto, surgen en 1927, a ráız del art́ıculo de Dirac [4], los fundamentos de una
teoŕıa cuántica de campos. Ésta proporciona una explicación a los fenómenos en los que
se absorben o emiten fotones, entre otros éxitos de la teoŕıa.
Para dar explicación agran parte de los procesos que se observan en la Naturaleza es
necesario además tener en cuenta la interacción entre campos. Si la interacción que se
considera es suficientemente débil, es posible utilizar la teoŕıa de perturbaciones, este el
caso de la interacción electromagnética y débil. Los cálculos por métodos perturbativos
suelen realizarse además empleando una herramienta muy eficaz en este ámbito, estos son
los diagramas de Feynman, [5], [6].
Sin embargo, al ir a órdenes más altos en teoŕıa de perturbaciones surge una dificultad
añadida, que es la aparición de divergencias. Para evitar estos problemas se introducen
en teoŕıa cuántica de campos la regularización y la renormalización.
5
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
El caso más estándar estudiado en electrodinámica cuántica, que denotamos QED (Quan-
tum Electrodynamics) por sus siglas en inglés, es aquel en el que se consideran (3+1)
dimensiones espacio-temporales y que escribimos como QED3+1. Sin embargo, la electro-
dinámica cuántica puede generalizarse a otras dimensiones a partir del mismo fundamento
teórico. En este contexto se desarrolla en este trabajo la electrodinámica cuántica en el
plano, QED2+1, [7], [8].
La descripción de la electrodinámica bidimensional resulta imprescindible para el estudio
de determinados procesos en el plano o en materiales que puedan considerarse bidimen-
sionales.
Cabe destacar de esta forma la conexión entre la electrodinámica cuántica bidimensional
y la conductividad Hall del efecto Hall cuántico.
El efecto Hall surge tras el estudio del comportamiento de una corriente en una lámina
de material conductor sometida a un campo magnético perpendicular al plano en el que
se sitúa [9]. En 1980, K. von Klitzing, G. Dorda y M. Pepper descubrieron el efecto Hall
cuántico entero [1], que se identifica como una manifestación macroscópica de un fenómeno
puramente cuántico. Este descubrimiento fue reconocido años más tarde con la concesión
del Premio Nobel de F́ısica a Klaus von Klitzing. La descripción del efecto Hall Cuántico en
términos de una teoŕıa cuántica de campos es adecuada, y aśı, la electrodinámica cuántica
en (2+1)-dimensiones proporciona un marco natural para este propósito. Recientemente
también se ha utilizado QED(2+1) en la descripción del efecto Hall cuántico no convencional
en el grafeno. [10].
En el desarrollo de este trabajo se sigue el siguiente esquema:
En primer lugar en el caṕıtulo 2 se describe la electrodinámica cuántica en el plano, expo-
niendo aśı la densidad Lagrangiana en QED2+1, las unidades y dimensiones adecuadas. Se
plantea la teoŕıa de perturbaciones y el elemento de matriz. Estos resultados se comparan
con los que conocemos para el caso de tres dimensiones espaciales. Del mismo modo se
detallan las reglas de Feynman para la electrodinámica cuántica en (2+1)-dimensiones.
Este caṕıtulo se ve complementado con los apéndices donde se expone la notación relati-
vista utilizada y la cuantización de los campos libres, que es necesaria para el desarrollo
del trabajo y además difiere del caso habitual con tres dimensiones espaciales.
En el caṕıtulo 3 se plantea el estudio de dos procesos de scattering al orden más bajo. Los
procesos considerados son el scattering Møller y el scattering Compton, para los cuales
obtendremos su longitud eficaz que analizaremos y compararemos con la sección eficaz,
habitual para (3+1)-dimensiones.
En el caṕıtulo 4 se aborda el estudio de las correcciones radiativas a un lazo, con especial
interés en la polarización del vaćıo. Se plantea la regularización de Pauli-Villars del tensor
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
de polarización para controlar las divergencias ultravioletas. Finalmente, se estudia la
conexión entre el tensor de polarización y la conductividad Hall.
Además se incluyen los Apéndices A, B, C y D, en los cuales respectivamente se in-
troduce la notación relativista empleada, las matrices gamma y los campos de Dirac y
electromagnético en electrodinámica cuántica en (2+1)-dimensiones.
Por último, se incluye la bibliograf́ıa empleada en el desarrollo de este trabajo de fin de
Máster.
7
Caṕıtulo 2
Electrodinámica cuántica en el
plano
La descripción de las interacciones a nivel cuántico entre las part́ıculas cargadas y el
campo electromagnético se realiza mediante la electrodinámica cuántica. En este caṕıtulo
se realiza una descripción de la densidad Lagrangiana que se emplea en esta teoŕıa, aśı
como de la acción en (2+1)-dimensiones. Se analizan además las unidades y dimensiones
en electrodinámica cuántica bidimensional en comparación al caso de (3+1) dimensiones
y se introduce la teoŕıa de perturbaciones. Por último, una vez expuesto el elemento de
matriz de la transición de un estado inicial al estado final, se introducen las reglas de
Feynman para la electrodinámica cuántica en (2+1) dimensiones [8], [11].
2.1. Densidad Lagrangiana de QED en (2+1) dimen-
siones
La densidad Lagrangiana para la electrodinámica cuántica bidimensional está formada, al
igual que en el caso tridimensional, por tres términos: materia, campo electromagnético
e interacciones. Es interesante además escribir la densidad Lagrangiana como:
L = L0 + LI , (2.1)
donde L0 se corresponde con los términos de la densidad Lagrangiana asociados a los
campos libres y LI a los de interacción.
La densidad Lagrangiana libre se describe de la siguiente forma:
8
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
L0 = N
[
cψ̄(x) (i~γµ∂µ −mc)ψ(x)− 1
4
Fµν(x)F µν(x)− ξ
2
(∂νA
ν)2
]
(2.2)
En la expresión que hemos dado es interesante diferenciar varios términos. El primero de
ellos se corresponde a la densidad Lagrangiana del campo libre de Dirac,
L0D = cψ̄(x) (i~γµ∂µ −mc)ψ(x) (2.3)
Donde ψ(x) y ψ̄(x) = ψ†(x)γ0 son los campos de Dirac que describen part́ıculas de esṕın
semientero
1
2
, m es la masa en reposo de la part́ıcula y ~ y c son respectivamente la
constante de Planck y la velocidad de la luz en el vaćıo.
La expresión de la densidad Lagrangiana correspondiente al término de Dirac en (2+1)
dimensiones es funcionalmente idéntico al caso en (3+1) dimensiones. Una descripción
más detallada del campo de Dirac en (2+1) dimensiones se proporciona en el apéndice
C.
Además se identifica la densidad Lagrangiana de Maxwell,
L0M = −1
4
Fµν(x)F µν(x)− ξ
2
(∂νA
ν)2 , (2.4)
en la cual Fµν es el tensor antisimétrico asociado al campo electromagnético, que se define
como:
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (2.5)
siendo Aµ(x) µ = 0, 1, 2 el potencial vector electromagnético.
Además, − ξ
2
(∂νA
ν)2 es el término de acoplamiento gauge, siendo ξ el parámetro de aco-
plamiento gauge. En el apéndice D puede encontrarse una descripción detallada del campo
electromagnético libre en (2+1) dimensiones.
Por último, la densidad Lagrangiana de interacción LI es:
LI = N
[
eψ̄(x)γµAµ(x)ψ(x)
]
≡ N
[
−1
c
jµ(x)Aµ(x)
]
. (2.6)
Donde se toma la carga del electrón como q = −e < 0, este término representa el acopla-
miento del campo magnético, Aµ(x), con la densidad de corriente conservada asociada al
campo de Dirac jµ(x) = −ecψ̄(x)γµψ(x).
9
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
Tanto en el término libre como en el término de interacción se ha tomado el producto
normal, escrito como N [ ]. Este producto indica que los operadores de creación deben
escribirse a la izquierda de los de destrucción, lo cual da lugar a que todos los valores
esperados de los observables en el vaćıo sean nulos.
Teniendo en cuenta la densidad Lagrangiana total, dada por la ecuación (2.1), es posible
obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange para los campos en interacción,
∂νF
νµ + ξ∂µ (∂νA
ν) =
1
c
jµ (2.7)
(
i~γµ∂µ +
e
c
γµAµ −mc
)
ψ = 0, (2.8)
donde (2.7) son las ecuaciones de Maxwell en presencia de fuentes externas y (2.8) es la
ecuación de Dirac acoplada alpotencial vector Aµ(x), que son invariantes gauge, como se
puede comprobar.
La acción integral para la electrodinámica cuántica en (2+1) dimensiones espacio-temporales
puede escribirse entonces como:
S =
∫
d3xN
[
cψ̄(x)
((
i~γµ∂µ +
e
c
Aµ(x)
)
−mc
)
ψ(x)− 1
4
Fµν(x)F µν(x)− ξ
2
(∂νA
ν)2
]
2.1.1. Densidad Lagrangiana de Chern-Simons
La f́ısica en dos dimensiones espaciales presenta muchas sorpresas interesantes. Esto es
debido a que el comportamiento de electrones y fotones (o de forma más general fermiones
y campos gauge) difiere del comportamiento estándar al que estamos acostumbrados en
la electrodinámica clásica y cuántica. En particular, existe un nuevo tipo de teoŕıa gauge,
completamente diferente de la teoŕıa de Maxwell, en (2+1)-dimensiones que se conoce
como teoŕıa de Chern-Simons. La teoŕıa de Chern-Simons es muy interesante tanto por
su novedad teórica como por su aplicación práctica para ciertos fenómenos de materia
condensada bidimensional, como el efecto Hall cuántico fraccionario.
Es conocido que en electrodinámica cuántica en (3+1)-dimensiones, el esṕın cumple las
reglas de conmutación del álgebra de Lie SU(2), según las cuales,
[Si, Sj] = iεijkSk i, j, k = 1, 2, 3. (2.9)
De esta forma, como resultado de cuantizar el momento angular en el espacio tridimen-
10
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
sional, se obtienen dos tipos de part́ıculas. El primero de ellos satisface la estad́ıstica
de Fermi-Dirac, tienen esṕın semientero y se denominan fermiones, el segundo por el
contrario satisface la estad́ıstica de Bose-Einstein, tienen esṕın entero y se denominan
bosones.
Sin embargo, en (2+1)-dimensiones el esṕın satisface un álgebra conmutativa, debido a
que sólo es posible encontrar un generador en el plano, el cual claramente conmuta consigo
mismo.
La definición de estad́ıstica cuántica en (3+1)-dimensiones se asigna a la fase que sur-
ge cuando en sistemas de muchas part́ıculas, dos de ellas son transportadas de forma
adiabática a las coordenadas de la otra [12]. Éste sin embargo, no es el caso de la elec-
trodinámica cuántica en (2+1)-dimensiones, en la que aparecen part́ıculas que pueden
generar cualquier fase al ser intercambiadas. Estas part́ıculas son conocidas como aniones
y violan paridad e inversión temporal [13], [14].
La descripción de estas part́ıculas resulta de gran importancia puesto que en el plano
al acoplar electrones y fotones aparecen términos de masa para los electrones que vio-
lan paridad e inversión temporal. Como consecuencia es necesario modificar la densidad
Lagrangiana introduciendo un término que se denomina de Chern-Simons [15],
LCS =
θ
4
εµνλA
µF νλ (2.10)
Donde θ es una constante con unidades de masa. Este resultado da lugar a que cuando se
considera el Lagrangiano L = LM +LCS los fotones tienen asociada una masa θ. Además
la acción que resulta de considerar la densidad Lagrangiana de Chern-Simons es:
SCS =
∫
d3xLCS, (2.11)
La densidad Lagrangiana de Chern-Simons a primera vista no parece invariante gauge
al incluir directamente el campo gauge Aµ en lugar del tensor electromagnético Fµν , sin
embargo, se puede comprobar que la acción de Chern-Simons, y por tanto, las ecuaciones
de Euler-Lagrange asociadas si son invariantes gauge.
El Lagrangiano de Chern-Simons (2.10) es de primer orden en las derivadas espacio-
temporales. Esto hace que la estructura canónica de esta teoŕıa sea significativamente
diferente del de la teoŕıa de Maxwell estándar. Por último, es muy interesante estudiar
el comportamiento de esta densidad Lagrangiana de Chern-Simons y del Lagrangiano de
Dirac para fermiones con masa en (2+1) bajo transformaciones discretas de simetŕıa en
el plano: Paridad, Inversión Temporal y Conjugación de Carga.
11
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
Comenzamos estudiando la simetŕıa de paridad, que en (3+1)-dimensiones consiste en in-
vertir las componentes espaciales del cuadrivector xµ. Sin embargo, en (2+1)-dimensiones
el significado de invertir las componentes espaciales del trivector xµ es distinto, dado que
se correspondeŕıa con una rotación de ángulo π en el plano. Por tanto, la trasformación
de paridad en (2+1)-dimensiones consiste en invertir un único eje espacial. En definitiva,
bajo una transformación de paridad,
(t, x, y) −→ (t,−x, y), (2.12)
se tiene que:
ψ̄ψP → −ψ̄ψ, (2.13)
Ya que el campo de Dirac se transforma de la siguiente manera:
ψ(t, x, y) = ηPγ
1ψ(t,−x, y), (2.14)
donde ηP es una fase constante tal que |ηP | = 1.
De forma que ni la densidad Lagrangiana de Dirac ni la de Chern-Simons permanecen in-
variantes, teniendo en cuenta que el campo gauge bajo paridad se transforma como:
(A0, A1, A2) −→ (A0,−A1, A2). (2.15)
La conjugación de carga y la inversión temporal mantienen la estructura del espacio
tridimensional. En (2+1)-dimensiones se puede comprobar que la conjugación de carga
da lugar a:
ψC = ηCγ
2ψ̄T , (2.16)
tal que |ηC | = 1 y T indica la transpuesta.
El resultado es que tanto la densidad Lagrangiana de Dirac como la de Chern-Simons
permanecen invariantes bajo conjugación de carga.
Por último, bajo una inversión temporal, T , se verifica,
(t, x, y) −→ (−t, x, y), (2.17)
12
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
que conduce a:
ψ̄ψT → −ψ̄ψ. (2.18)
Ya que ψ(t, x, y) = ηTγ
1ψ(−t, x, y) donde ηT es una fase constante, y el campo gauge se
transforma bajo inversión temporal, (A0, A1, A2) −→ (A0,−A1,−A2).
El resultado es que ninguna de las densidades Lagrangianas es invariante bajo inversión
temporal.
Sin embargo, ambas densidades Lagrangianas son invariantes bajo la transformación con-
junta PT y por tanto bajo CPT .
Es interesante observar que tanto la densidad Lagrangiana para fermiones con masa no
nula como la densidad Lagrangiana de Chern-Simons tienen las mismas propiedades de
transformación bajo las simetŕıas discretas de P , C y T , como veremos este resultado será
relevante cuando estudiemos las correcciones radiativas para QED en (2+1)-dimensiones.
[11].
2.2. Unidades y dimensiones en electrodinámica cuánti-
ca bidimensional
En este trabajo se ha usado el Sistema Internacional para el desarrollo de los apartados
anteriores. Sin embargo, el uso de unidades naturales da lugar a cálculos y expresiones
más sencillas, lo cual supone una gran ventaja.
Es interesante recordar que en el Sistema Internacional las cantidades se expresan en
función de dimensiones fundamentales, que son masa (M), longitud, (L), y tiempo, (T).
Esto es diferente en el caso de tomar unidades naturales, en las cuales las dimensiones
fundamentales son masa, (M), acción (A) y velocidad, (V). Además se escoge ~ como
unidad de acción y c como la unidad de velocidad. Esto permite transformar expresiones
del Sistema Internacional al sistema de unidades naturales u. n. imponiendo ~ = c = 1,
además en el sistema u.n se pueden expresar todas las dimensiones en función de la masa,
puesto que L = T = M−1.
A continuación, se analizan las dimensiones de los campos libres además de las cantidades
que aparecen en la acción S en la electrodinámica cuántica en (d+ 1) dimensiones.
En general, la acción integral se escribe como:
S =
∫
dd+1L, (2.19)
13
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
donde en la expresión anterior L es la densidad Lagrangiana empleada en las ecuaciones
(2.1), (2.2) y (2.6). Las dimensiones de los campos se obtienen a partir del término cinético,
quedando de esta forma fijadas las dimensiones de las constantes de acoplamiento. Los
resultados que se obtienen pueden resumirse en la siguiente tabla,
Cantidad S. I. u.n.
Acción S ML2T−1 1
Densidad Lagrangiana L ML2−dT−2 Md+1
Campo Electromagnético Aµ(x) M
1
2 L2− d
2 T−1 M
d−1
2
Campos de Dirac ψ(x) y ψ̄(x) L−
d
2 M
d
2
Carga eléctrica e M
1
2 L
d
2 T−1 M
3−d
2
Masa del electrón m M M
(2.20)
Una vez realizado elanálisis anterior, es interesante estudiar como afecta el uso de unidades
naturales a la constante de estructura fina en electrodinámica cuántica bidimensional.
Para ello comenzamos recordando que en el caso tridimensional, es decir, en el que d = 3,
la carga del electrón al cuadrado tiene dimensiones [e2] = ML3T−2 = [~c], dado que la
fuerza de Coulomb es proporcional a
e2
r2
. La constante de estructura fina en dicho caso es
en el sistema S. I.
α =
e2
4π~c
, (2.21)
que en unidades naturales queda reducida a:
α =
e2
4π
, (2.22)
A partir de estos resultados es interesante observar que la constante de estructura fina en
el caso tridimensional se trata de una constante sin dimensiones, dado que e2 es adimen-
sional, lo que implica que es un buen parámetro para el tratamiento de la electrodinámica
cuántica en teoŕıa de perturbaciones.
El análisis realizado para la constante de estructura fina en el espacio tridimensional, puede
llevarse a cabo en un espacio de dos dimensiones, sin embargo, los resultados obtenidos
son diferentes.
El motivo principal de las diferencias nombradas es que en el plano, es decir, para d = 2
la carga eléctrica no es adimensional, puesto que [e2] = ML2T−2 en el S. I. y [e2] = M en
u. n., ya que la fuerza de Coulomb en el plano es proporcional a
e2
r
.
Para definir la constante de estructura fina en (2+1) dimensiones se tiene en cuenta que
14
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
en el plano, el producto de e2 por la longitud Compton es adimensional en unidades
naturales, es decir,
[
e2 ~
mc
]
= ML3T−2 en S. I., y
[
e2 1
m
]
= 1 en unidades naturales, aśı
es adecuado escribir:
α =
e2
4πmc2
, (2.23)
en S. I. mientras que en unidades naturales:
α =
e2
4πm
, (2.24)
Por tanto, la constante de estructura fina en electrodinámica cuántica bidimensional es
inversamente proporcional a la masa m.
Se realiza a continuación una comparación con distintos sistemas de unidades empleados
en electromagnetismo, con el objetivo de aclarar el resultado obtenido. En las expresiones
anteriores se ha tomado el sistema racionalizado de Lorentz-Heaviside, caracterizado por
los factores 4π que en lugar de aparecer en las ecuaciones de Maxwell aparecen en las
ecuaciones de la fuerza, además la constante dieléctrica del vaćıo se toma igual a uno.
En las unidades racionalizadas del S. I. la constante de estructura fina queda definida
como,
α =
e2
4πε0~c
(d = 3) ó α =
e2
4πa0mc2
(d = 2) (2.25)
Donde se define a0 = ε0
~
mc
, es decir, la permitividad del vaćıo por la longitud Compton,
que es la longitud fundamental del sistema. En dicho caso,
α =
e2
4πε0~c
≡ e2
4πa0mc2
≈ 1
137,04
, (2.26)
como vemos las cargas racionalizadas
e2
ε0
y
e2
a0
tienen diferentes dimensiones.
2.3. Teoŕıa de perturbaciones y elemento de matriz
en (2+1) dimensiones
Si se considera el hamiltoniano del sistema de estudio, H, se puede estudiar por separado
el hamiltoniano libre, que se escribe como H0 y el hamiltoniano de interacción, HI .
Si se consideran los resultados anteriores, en los que se ha obtenido que la constante
15
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
de acoplamiento α es suficientemente pequeña α ≈ 1
137,04
, es adecuado considerar un
tratamiento perturbativo del hamiltoniano de interacción.
En la imagen de interacción, la expansión de la matriz S es:
S =
∞∑
n=0
(−i)n
n!
∫
· · ·
∫
d3x1d
3x2 · · · d3xnT {HI (x1)HI (x2) · · ·HI (xn)} . (2.27)
Donde T {} indica que se ha tomado el producto ordenado temporalmente y HI es la
densidad hamiltoniana de interacción, cuya expresión es,
HI(x) = −LI(x) = −eN
[
ψ̄(x)γµAµ(x)ψ(x)
]
, (2.28)
proporcionando aśı la información necesaria para construir el vértice básico de la teoŕıa.
Para la transición del estado inicial, |i〉, al estado final, |f〉, |i〉 → |f〉, el elemento de
matriz S viene dado por:
〈f |S|i〉 = δfi +
[
(2π)3δ(3) (Pf − Pi)
∏
ext.
( m
AE
)1/2∏
ext.
(
1
2Aω
)1/2
]
M (2.29)
Donde los trimomentos totales de los estados inicial y final se escriben como Pi y Pf , A
representa el área de un cuadrado que es grande pero finita, A = L2, E y ω son las enerǵıas
que corresponden a cada uno de los fermiones y fotones externos respectivamente, y M
es la denominada amplitud de Feynman tal que:
M =
∞∑
n=1
M(n), (2.30)
donde la contribución al n-ésimo orden en teoŕıa de perturbaciones, para cada diagrama
topológicamente diferente se obtiene a partir de las reglas de Feynman [16].
2.4. Reglas de Feynman en (2+1) dimensiones
En el electrodinámica cuántica en (2+1) dimensiones las reglas de Feymann son las si-
guientes [17], [16],
1. Se asigna a cada vértice un factor ieγµ.
2. A cada ĺınea interna del fotón de tri-momento k y masa nula, k2 = 0, se asigna el
16
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
propagador del fotón ,
iD′′′F (k) = i
[
−gµν
k2 + iε
+
ξ − 1
ξ
kµkν
(k2 + iε)2
]
, (2.31)
3. A cada ĺınea fermiónica interna de tri-momento p se le asigna el propagador del
fermión:
iSF (p) = i
1
γµpµ −m+ iε
(2.32)
4. Por cada ĺınea externa de:
Electrón inicial: us(~p)
Electrón final: ūs(~p)
Positrón inicial: v̄s(~p)
Positrón final: vs(~p)
Fotón inicial y final: εαr (~k), respectivamente:
Los electrones y positrones, iniciales y finales, tienen asociado un espinor de dos
componentes, sin embargo, en el caso bidimensional no hay libertad de esṕın, lo que
implica tanto r como s toman el valor 1 siempre.
5. Las matrices gamma asociadas a los vértices y las funciones SF , que provienen de
las ĺıneas internas asociadas a la propagación de fermiones, son matrices 2× 2.
6. Por cada loop de fermiones se asigna un (-1) y se toma la traza.
17
CAPÍTULO 2. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA EN EL PLANO
7. Para cada trimomento q no definido mediante la conservación de enerǵıa-momento
aparece un factor:
1
(2π)3
∫
d3q (2.33)
8. Se añade un factor δp = ±1 según sea par o impar respectivamente el número de
intercambios fermiónicos para tomar orden normal.
18
Caṕıtulo 3
Algunos procesos de scattering al
orden más bajo
En el caṕıtulo anterior se han obtenido las reglas de Feynman para calcular el elemen-
to de matriz Sfi en cualquier proceso de colisión en electrodinámica cuántica. En este
caṕıtulo, a partir de dichos resultados, se calcula la longitud eficaz diferencial para el caso
bidimensional y se aplica a los casos particulares del scattering Møller y del scattering
Compton. Los resultados se compararán con los obtenidos para los mismos procesos en
(3+1)-dimensiones.
3.1. Longitud eficaz diferencial
Comenzamos considerando un proceso de scattering en el cual dos part́ıculas iniciales, que
pueden ser fotones o leptones, con trimomento pi = (Ei, ~pi) para i = 1, 2 colisionan y dan
lugar a N part́ıculas finales con momentos p′f = (E ′f , ~p
′
f ) para f = 1, ..., N . Suponemos
además que las part́ıculas iniciales y finales están en estados de polarización definida. De
esta forma es posible escribir la ecuación (2.29) como:
Sfi =δfi + (2π)3δ(3)
(∑
p′f −
∑
pi
)∏
i
(
1
2AEi
)1/2
×
∏
f
(
1
2AE ′f
)1/2∏
l
(2ml)
1/2M.
(3.1)
DondeM es la amplitud de Feymann para el proceso y el ı́ndice l indica todos los leptones
externos.
En el caso de estudiar el caso de T y A finitos, el resultado (3.1) permanece igual reem-
19
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
plazando
(2π)3δ(3)
(∑
p′f −
∑
pi
)
= δTA
(∑
p′f −
∑
pi
)
. (3.2)
Para obtener la longitud eficaz, es útil considerar T y A finitos, de manera que la proba-
bilidad de transición por unidad de tiempo,
w =
|Sfi|2
T
, (3.3)
involucra un factor
[
δTA
(∑
p′f −
∑
pi
)]2
= TA(2π)3δ(3)
(∑
p′f −
∑
pi
)
. (3.4)
De esta forma se escribe la ecuación (3.3) como:
w = A(2π)3δ(3)
(∑
p′f −
∑
pi
)(∏
i
1
2AEi
)(∏
f
1
2AE ′f
)(∏
l
(2ml)
)
|M|2. (3.5)
Este resultado proporciona la probabilidad de transición a un determinado estado final.Para generalizar el resultado a un grupo de estados finales cuyos momentos se encuentren
en el intervalo (~p′f , ~p
′
f + d~p′f ) con f = 1, . . . , N, es necesario multiplicar w por el número
de estos estados, es decir,
∏
f
Ad2~p′f
(2π)2
. (3.6)
La longitud eficaz diferencial se define como la probabilidad de transición del estado inicial
al final por unidad de tiempo, por unidad de flujo incidente y por centro de scattering
para los estados finales en el intervalo (~p′f , ~p
′
f + d~p′f ). En el caso que se estudia el flujo
incidente es vrel/A, siendo vrel la velocidad relativa de las part́ıculas que colisionan. Por
tanto, la longitud eficaz diferencial puede expresarse como:
dλ = w
A
vrel
∏
f
Ad2~p′f
(2π)2
= (2π)3δ(3)
(∑
p′f −
∑
pi
) 1
4E1E2vrel
(∏
l
(2ml)
)(∏
f
d2~p′f
(2π)22E ′f
)
|M|2,
(3.7)
20
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
donde se ha considerado además el ĺımite temporal tendiendo a infinito, T → ∞, y un
área infinita, A→∞.
La velocidad relativa vrel viene dada por vrel =
∣∣∣∣ ~p1
E1
− ~p2
E2
∣∣∣∣, que es interesante particulari-
zar para el sistema centro de masas (CoM) y para el sistema laboratorio (Lab), aśı:
vrel =
|~p1|
E1
+
|~p2|
E2
= |~p1|
E1 + E2
E1E2
, (3.8)
en el sistema centro de masas, en el cual se tiene que ~p1 = −~p2. Además,
vrel =
|~p1|
E1
, (3.9)
en el sistema laboratorio, en el cual se considera que la part́ıcula objetivo, en este caso la
part́ıcula 2, se encuentra en reposo, ~p2 = 0.
Se considera el caso más habitual en electrodinámica cuántica, en el que se tienen dos
part́ıculas en el estado inicial y también dos part́ıculas en el estado final, de tal forma que
integrando la ecuación (3.7) en ~p2 y |~p1|, se obtiene para la longitud eficaz diferencial la
expresión:
(
dλ
dθ′1
)
=
1
32πE1E2E ′1E
′
2vrel
|~p′1|(
∂(E′1+E′2)
∂|~p′1|
)∏
l
(2ml) |M|2 (3.10)
Luego es posible obtener fácilmente la expresión anterior para el sistema centro de ma-
sas:
(
dλ
dθ′1
)
CoM
=
1
32π (E1 + E2)2
1
|~p1|
∏
l
(2ml) |M|2 (3.11)
3.2. Suma en el esṕın y las polarizaciones en (2+1)
dimensiones
En electrodinámica cuántica en (3+1) dimensiones, para obtener la correspondiente sec-
ción eficaz no polarizada, es necesario promediar |M|2 sobre todos los estados de polariza-
ción o de esṕın, según se consideren fermiones o fotones, iniciales y sumar éste sobre todos
los estados de polarización o de esṕın finales. Por el contrario, en electrodinámica cuántica
en (2+1) dimensiones no hay grados de libertad de esṕın para el fermión y únicamente
hay una polarización transversal para el fotón. En consecuencia, la longitud eficaz está
21
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
siempre polarizada y no es necesario promediar y sumar sobre los estados de polarización
como en (3+1)-dimensiones. Sin embargo, el módulo al cuadrado de la amplitud de Feyn-
man |M|2 se puede expresar en función de las trazas de las matrices gamma y se puede
simplificar utilizando la invariancia gauge del campo electromagnético.
En particular, en los siguientes apartados se tratan los procesos de scattering Møller y
scattering Compton, se considera en primer lugar una amplitud de Feyman de la for-
ma:
M = ū (~p′) Γu(~p), (3.12)
además, se define Γ̃ como:
Γ̃ ≡ γ0Γ†γ0, (3.13)
donde el operador Γ es una matriz 2× 2 formada por matrices γ.
Por tanto, es posible escribir |M|2 como:
|M |2 = ūα(~p)Γαβuβ(~p)ūσ(~p)Γ̃σρuρ(~p). (3.14)
Si se introduce a continuación el proyector de enerǵıa positiva,
Λ+
αβ(~p) =
(
/p+m
2m
)
αβ
= uα(~p)ūβ(~p), (3.15)
es adecuado escribir:
|M|2 = Λ+
ρα(~p′)ΓαβΛ+
βσ(~p)Γ̃σρ = Tr
[
γµp′µ +m
2m
Γ
γνpν +m
2m
Γ̃
]
(3.16)
En el caso de considerar amplitudes de Feynman con espinores de antipart́ıcula, el proceso
es análogo empleando proyectores de enerǵıa negativa.
Λ−αβ(~p) = −
(
/p−m
2m
)
αβ
= −vα(~p)v̄β(~p), (3.17)
Por otra parte, para cualquier proceso que involucre fotones externos, la amplitud de
Feynman, M, es:
22
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
M = εαr1
(
~k1
)
εβr2
(
~k2
)
. . .Mαβ...
(
~k1, ~k2, . . .
)
, (3.18)
con un vector de polarización ε(~k) para cada fotón externo y el tensor de amplitud
Mαβ(~k1, ~k2 . . .) independiente de dichos estados de polarización.
La invarianza de (3.18) bajo transformaciones gauge implica que debe verificarse,
kα1Mαβ...
(
~k1, ~k2, . . .
)
= kβ2Mαβ...
(
~k1, ~k2, . . .
)
= · · · = 0. (3.19)
La expresión anterior resulta de utilidad en el siguiente caso, en el cual se considera un
proceso con un único fotón externo, aśı:
M = εα1 (~k)Mα(~k), (3.20)
junto a la ecuación (3.19), que en esta ocasión queda reducida a
kαMa(~k) = 0. (3.21)
Considerando además la relación:
εα1 (~k)εβ1 (~k) = −gαβ − 1
(kn)2
[
kαkβ − (kn)
(
kαnβ + kβnα
)]
, (3.22)
se obtiene
|M|2 = εα1 (~k)Mα(~k)εβ1 (~k)M∗
β(~k) = −Mα(~k)M∗
α(~k). (3.23)
3.3. Scattering Møller en (2+1) dimensiones
En el scattering Møller se tienen dos electrones en el estado inicial y dos en el estado final,
que puede representarse mediante la transición:
|i〉 = c† (~p2) c† (~p1) |0〉 −→ |f〉 = c† (~p′2) c† (~p′1) |0〉, (3.24)
donde el elemento de matriz al orden más bajo en teoŕıa de perturbaciones es:
23
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
Figura 3.1: Contribuciones de Ma y Mb al scattering Møller [16].
〈f |S(2)(e−e− −→ e−e−) |i〉 =
=
[
(2π)3δ(3) (p′1 + p′2 − p1 − p2)
∏
ext
(
m
AE~p
)1/2
]
(Ma +Mb)
(3.25)
En la expresión anterior A corresponde al área finita considerada para normalizar las
soluciones de part́ıcula libre de la ecuación de Dirac en el plano. Además, Ma y Mb son
las amplitudes de Feynman para los dos diagramas topológicamente diferentes, como se
representa en la figura 3.1.
Las amplitudes de Feynman en el caso estudiado son:
Ma = −e2u(~p′1)γαu(~p1)iDFαβ(k = p2 − p′2)u(~p′2)γβu(~p2)
Mb = e2u(~p′2)γαu(~p1)iDFαβ(k = p2 − p′1)u(~p′1)γβu(~p2).
(3.26)
Ambas amplitudes difieren en un signo al igual que en (3+1) dimensiones dado que se
trata del intercambio de part́ıculas fermiónicas de esṕın
1
2
. En las expresiones anteriores
además p1 y p2 son los trimomentos de los electrones iniciales, p′1 y p′2 los de los electrones
finales y DFαβ(k) es el propagador del fotón en el gauge de Feymann, que se escribe en
cada caso como:
24
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
DFαβ(k = p2 − p′2) =
−gαβ
(p2 − p′2)2
DFαβ(k = p2 − p′1) =
−gαβ
(p2 − p′1)2
.
(3.27)
Recordemos que la longitud eficaz diferencial en el sistema centro de masas es según la
ecuación (3.11):
(
dλ
dθ1
)
CoM
=
1
32π(E1 + E2)2
· 1
|~p1|
∏
l
(2ml)|M|2, (3.28)
donde |M|2 puede calcularse ahora como:
|M|2 = Xaa +Xbb +Xab +Xba =
=MaM∗
a +MbM∗
b +MaM∗
b +MbM∗
a.
(3.29)
Cada uno de estos términos puede obtenerse como:
Xaa =
e4
(2m)4(p2 − p′2)4
Tr
[
(/p
′
2
+m)γβ(/p1
+m)γα
]
Tr
[
(/p
′
1
+m)γβ(/p2
+m)γα
]
Xab =
−e4
(2m)4(p2 − p′2)2(p2 − p′1)
Tr
[
(/p
′
1
+m)γβ(/p1
+m)γα(/p
′
2
+m)γβ(/p1
+m)γα
]
,
(3.30)
mientras que Xbb y Xba pueden obtenerse a partir de Xaa y Xab respectivamente intercam-
biando p′1 ←→ p′2. Es importante señalar que el uso de las identidades de contracción de
las matrices de gamma, las cuales se exponen en el Apéndice B, simplifica notablemente
el cálculo de las trazas, de esta forma se obtienen:
Xaa =
e4
16m4(p2 − p′2)4
[2(p1p2)(p′1p
′
2)− (p1p
′
1)(p2p
′
2) + 2(p1p
′
2)(p2p
′
1)+
+ 2m2((p2p
′
1) + (p1p
′
2)− 3(p′1p
′
2)− 3(p1p2))−m2((p1p
′
2) + (p2p
′
2)) + 3m4],
(3.31)
Xab =
−e4
16m4(p2 − p′2)2(p2 − p′1)2
[−10(p1p2)(p′1p
′
2) + 2(p1p
′
1)(p2p
′
2) + 2(p2p
′
1)(p1p
′
2)
+ 2m2((p1p
′
1) + (p2p
′
1) + (p1p
′
2) + (p2p
′
2) + 5(p′1p
′
2) + 5(p1p2))− 6m4−
− 6im(εµσνp′1µp1νp
′
2σ + εµτνp′1µp1νp2τ + εµτσp′1µp
′
2σp2τ + εντσp1νp
′
2σp2τ )].
(3.32)
25
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
Figura3.2: Cinemática del proceso 2e− −→ 2e− en el sistema centro de masas [16].
Un resultado interesante que difiere de lo obtenido en (3+1) dimensiones es que aparecen
términos proporcionales al tensor totalmente antisimétrico como consecuencia de que
la traza de un número impar de matrices gamma en (2+1) dimensiones es distinta de
cero.
Además, recordando que Xab = X∗ba, es interesante escribir,
Xab +Xba =
−e4
16m4(p2 − p′2)2(p2 − p′1)2
[−20(p1p2)(p′1p
′
2) + 4(p1p
′
1)(p2p
′
2) + 4(p2p
′
1)(p1p
′
2)
+ 4m2((p1p
′
1) + (p2p
′
1) + (p1p
′
2) + (p2p
′
2) + 5(p′1p
′
2) + 5(p1p2))− 12m4].
(3.33)
Si nos situamos en el sistema centro de masas, tal como se representa en la figura 3.2, los
factores cinemáticos son:
p1p
′
1 = p2p
′
2 = E2 − p2 cos θ
p1p
′
2 = p2p
′
1 = E2 + p2 cos θ
p1p2p
′
1p
′
2 = E2 + p2,
(3.34)
donde p = |~p| = |~p′|, ~p · ~p′ = p2 cos θ y E2 = p2 + m2, de manera que es posible escribir
también,
(p2 − p′2)2 = −4p2 sin2 θ/2
(p2 − p′1)2 = −4p2 cos2 θ/2
(3.35)
26
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
El resultado de emplear estos factores cinemáticos se muestra en las siguientes expresio-
nes,
Xaa =
e4
16m4p4 sin4 θ/2
[
p4(1 + cos2 θ/2)2 + 2m2p2(3 cos2 θ/2− 1) +m4
]
Xbb =
e4
16m4p4 cos4 θ/2
[
p4(1 + sin2 θ/2)2 + 2m2p2(3 sin2 θ/2− 1) +m4
]
Xab +Xba =
−e4
8m4p4 sin θ/2 cos2 θ/2
[
−p4(cos2 θ/2 sin2 θ/2 + 2) +m2p2 +m4
]
(3.36)
De manera que la longitud eficaz diferencial en el sistema de referencia centro de masas
puede obtenerse de:
(
dλ
dθ′1
)
CoM
=
1
32π (E1 + E2)2
1
|~p1|
∏
l
(2ml) |M|2, (3.37)
que en el caso tratado puede escribirse como:
(
dλ
dθ′1
)
CoM
=
m4
8πpE2
|M|2. (3.38)
Si se introduce además la constante de estructura fina en el plano, α =
e2
4πm
, la longitud
eficaz diferencial para el scattering Møller es finalmente:
(
dλ
dθ′1
)
=
α2m2π
8E2p5
[
p4(1 + cos2 θ/2)2 + 2m2p2(3 cos2 θ/2− 1) +m4
sin4 θ/2
+
p4(1 + sin2 θ/2)2 + 2m2p2(3 sin2 θ/2− 1) +m4
cos4 θ/2
+
2(p4(sin2 θ/2 cos2 θ/2 + 2)−m2p2 −m4)
sin2 θ/2 cos2 θ/2
] (3.39)
Si se realiza un análisis dimensional se obtiene que
[
dλ
dθ
]
= M−1 = L en el sistema de
unidades naturales. Es decir, el resultado es una longitud eficaz en lugar de una sección
eficaz como seŕıa el caso de (3+1)-dimensiones.
Además, resulta interesante estudiar los ĺımites ultrarelativista y no relativista que se
derivan de la expresión anterior.
Para obtener el ĺımite ultrarelativista, UR., se aproxima E ' p y se desprecian los térmi-
nos proporcionales a la masa en el corchete a partir de m2. El resultado obtenido es el
27
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
siguiente:
(
dλ
dθ′1
)
CoM,UR
∼=
α2m2π
(2E)3
[
(1 + cos2 θ/2)2
sin4 θ/2
+
(1 + sin2 θ/2)2
cos4 θ/2
+
2(sin2 θ/2 cos2 θ/2 + 2)
sin2 θ/2 cos2 θ/2
]
(3.40)
Además el ĺımite no relativista, N.R., puede calcularse aproximando E ' m y empleando
β =
p
m
� 1, dando lugar al siguiente resultado:
(
dλ
dθ′1
)
CoM,NR
∼=
α2π
8mβ5
[
1
sin4 θ/2
+
1
cos4 θ/2
− 2
sin2 θ/2 cos2 θ/2
]
, (3.41)
Los resultados obtenidos pueden compararse además con los que se derivan del estudio
de este proceso de scattering en QED en (3+1) dimensiones, en dicho caso se tiene que
[18]:
(
dσ
dΩ
)
CoM
=
α2 (2E2 −m2)
2
4E2(E2 −m2)2
[
4
sin4 θ/2
− 3
sin2 θ/2
+
(E2 −m2)
2
(2E2 −m2)2
(
1 +
4
sin2 θ
)]
.
(3.42)
El ĺımite ultrarelativista es ahora, tomando de forma equivalente al caso en (2+1) dimen-
siones E ' p:
(
dσ
dΩ
)
CoM,UR.
≈ α2
4E2
(
1
sin4 θ/2
+
1
cos4 θ/2
+ 1
)
, (3.43)
mientras que en ĺımite no relativista el resultado es:
(
dσ
dΩ
)
CoM,N.R.
≈
( α
m
)2 1
16β4
(
1
sin4 θ/2
+
1
cos4 θ/2
− 1
sin2 θ/2 cos2 θ/2
)
(3.44)
Con β de forma similar al análisis anterior en (2+1) dimensiones es la velocidad de uno
de los electrones en unidades de c.
Aśı, se comprueba que entre el scattering Møller en (2+1) dimensiones y en (3+1) dimen-
siones hay diferencias, sin embargo, la estructura general de los resultados es similar.
En la aproximación no relativista, para ambos casos, los dos últimos términos tienen su
origen en el intercambio de electrones y fueron obtenidos por Mott [19], por el contrario el
primer término representa el resultado obtenido para el scattering Rutherford, que se trata
de la colisión elástica de part́ıculas con carga cuya interacción es Coulombiana [20].
28
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
Otra similaridad entre la longitud y la sección eficaz es que no distingue entre scattering
hacia delante, en el cual θ > π/2 y scattering hacia detrás, en el que θ < π/2.
Por último, en el caso del ĺımite ultrarrelativista, el comportamiento de la longitud efi-
caz diferencial y la sección eficaz diferencial dependiendo de la enerǵıa es similar, sin
embargo, para enerǵıas cada vez mayores la longitud eficaz diferencial decae más rápido
que la sección eficaz, dado que sus dependencias en enerǵıa son respectivamente 1/E3 y
1/E2.
3.4. Scattering Compton en (2+1) dimensiones
En el scattering Compton se tienen un electrón y un fotón en el estado inicial y final:
|i〉 = c†(~p)b†(~k)|0〉 −→ |f〉 = c† (~p′) b†(
−→
k ′)|0〉, (3.45)
donde el elemento de matriz a orden más bajo en teoŕıa de perturbaciones es:
〈f |S(2)(e−γ −→ e−γ) |i〉 =
(2π)3δ(3) (p′ + k′ − p− k)
∏
ext
(
m
AE~p
)1/2∏
ext
(
1
2Aω~k
)1/2
(Ma +Mb)
(3.46)
Donde al igual que en el caso anterior, A es el área grande pero finita empleada para
normalizar las soluciones de part́ıcula libre de la ecuación de Dirac en el plano. Ma
y Mb nuevamente corresponden a las amplitudes de Feynman, dado que el scattering
Compton presenta dos contribuciones a la amplitud total, representadas por los diagramas
de Feynman de la figura 3.3.
Las amplitudes de Feynman para este proceso pueden escribirse como:
Ma = −e2ū(−→p ′)γαεα(
−→
k ′)iSF (p+ k)γβεβ(~k)u(~p)
Mb = −e2ū(
−→
p′ )γαεα(~k)iSF (p− k′) γβεβ(
−→
k′ )u(~p),
(3.47)
donde SF es el propagador del fermión, que en cada caso es:
SF (p+ k) =
/p+ /k +m
(p+ k)2 −m2
SF (p− k) =
/p− /k −m
(p− k)2 −m2
(3.48)
29
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
Figura 3.3: Contribuciones de Ma y Mb al scattering Compton [16].
Figura 3.4: Scattering Compton en el sistema laboratorio [21].
Si se considera el caso en el que el fotón incide sobre la part́ıcula en reposo en el sistema
laboratorio, tal como se muestra en la figura 3.4, se tiene que p = (m, 0, 0) y empleando
la conservación del trimomento se verifica ~p′ = ~k − ~k′. Además es interesante comprobar
que la velocidad relativa en este caso es igual a la unidad, puesto que se considera vrel =
|~k|/ω = 1.
Otro resultado que es interesante obtener a partir de la ley de conservación enerǵıa-
momento es el cambio de enerǵıa del fotón además de la enerǵıa de retroceso del electrón,
los cuales, teniendo en cuenta que θ es el ángulo de scattering son:
ω′ =
mω
m+ ω(1− cos θ)
(3.49)
y
E ′ =
√
m2 + ω2 + ω′2 − 2ωω′ cos θ. (3.50)
Una consecuencia de estos resultados, es que el valor obtenido no difiere de los resultados
que se obtienen en el caso de QED en (3+1) dimensiones, como puede comprobarse en
30
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
[16].
El siguiente paso es obtener la longitud eficaz diferencial para este caso en particular.
Para ello se emplea el resultado obtenido anteriormente, ecuación (3.10),
(
dλ
dθ
)
Lab
=
1
32πE1E2E ′1E
′
2vrel
|~p′1|(
∂(E′1+E′2)
∂|~p′1|
)∏
l
(2ml) |M|2, (3.51)
de forma que en el sistema laboratorio se obtiene:
(
dλ
dθ
)
Lab
=
1
8πω
(
ω′
ω
)
|M|2, (3.52)
donde |M|2 se desarrolla como:
|M|2 = Xaa +Xbb +Xab +Xba =
=MaM∗
a +MbM∗
b +MaM∗
b +MbM∗
a.
(3.53)
Cada uno de los términos en (3.53) se calcula como:
Xaa =
e4
16m2(pk)2
Tr
[
γβ (γµ(p+ k)µ +m) γα (γνpν +m) γα (γρ(p+ k)ρ +m) γβ
(
γλp′λ +m
)]
,
(3.54)
Xab =
−e4
16m2(pk) (pk′)
Tr
[
γβ (γµ(p+ k)µ +m) γα (γνpν+m) γβ(γρ (p− k′)ρ +m) γα
(
γλp′λ +m
)]
,
(3.55)
mientras que Xbb y Xba pueden obtenerse a partir de las expresiones anteriores intercam-
biando k ←→ −k′ y ε ←→ −ε′. Si se desarrollan cada una de las trazas, el resultado
es:
Xaa = e4
4m2(pk)2
[4m4 + 4m2(pk) + (pk) (pk′)]
Xab = − e4
4m2(pk)(pk′)
[
4m4 + 2m2 (pk − pk′)− (pk) (pk′) + i6mεµνλpµkνk
′
λ
]
,
(3.56)
donde nuevamente se puede calcular recordando que Xab = X∗ba :
31
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
Xab +Xba =
e4
2m2(pk) (pk′)
[
4m4 + 2m2 (pk − pk′)− (pk) (pk′)
]
(3.57)
Por último, para escribir la longitud eficaz diferencial para el scattering Compton, utili-
zaremos el sistema laboratorio, en el que pk = mω y pk′ = mω′, con lo cual el resultado
es:
(
dλ
dθ
)
Lab
=
α2π
2ω
(
ω′
ω
){
ω
ω′
+
ω′
ω
+ 4 cos2 θ − 2
}
. (3.58)
Donde se ha utilizado la constante de estructura fina definida en (2.24).
Es interesante además escribir tanto la longitud eficaz como la sección eficaz diferencial
del caso en (3+1)-dimensiones en función de un parámetro γ que se define como γ = ω/m,
y es la razón entre la frecuencia del fotón incidente y la masa en reposo del positrón [17],
de esta forma se obtiene:
(
dλ
dθ
)
Lab
=
lT
4πγ
1
(1 + γ(1− cos θ))
[
1
(1 + γ(1− cos θ))
+ γ(1− cos θ) + 4 cos2 θ − 1
]
,
(3.59)
donde además se emplea la constante, con dimensiones de longitud, lT = (2π2α)r0, donde
r0 =
α
m
. La sección eficaz diferencial es, empleando estas definiciones:
(
dσ
dΩ
)
Lab
=
r2
0
2
1
(1 + γ(1− cos θ))2
[
1
(1 + γ(1− cos θ))
+ γ(1− cos θ) + cos2 θ
]
. (3.60)
A continuación, para ambos resultados, puede obtenerse el ĺımite no relativista, en el cual
ω << m y ω′ ≈ ω, o de forma equivalente γ << 1:
(
dσ
dΩ
)
Lab,N.R.
=
r2
0
2
(
1 + cos2 θ
)
, (3.61)
(
dλ
dθ
)
Lab,N.R.
=
2πα2
ω
cos2 θ ≡ lT
πγ
cos2 θ. (3.62)
La ecuación (3.61) es conocida como la fórmula de Thomson. De forma análoga se de
denomina a la ecuación (3.62) como fórmula de Thomson en el plano. Sin embargo, la
ecuación (3.62) a diferencia de la ecuación de Thomson estándar, depende de la enerǵıa
del fotón incidente y diverge cuando γ −→ 0.
32
CAPÍTULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MÁS BAJO
De forma común a la longitud eficaz diferencial y a la sección eficaz diferencial se tiene
que no es posible diferenciar entre scattering Compton hacia delante o hacia atrás debido
a la simetŕıa de ambas ecuaciones.
Otra aproximación de interés es la ultrarrelativista, en la cual ω >> m. Si ω(1−cos θ) <<
m, en este régimen a ángulos de scattering muy pequeños, ω ≈ ω′ y se obtiene:
(
dλ
dθ
)
Lab,UR.
≈ lT
πγ
cos2 θ, (3.63)
(
dσ
dΩ
)
Lab,UR.
≈ r2
0
2
(
1 + cos2 θ
)
, (3.64)
En este caso, se comprueba que la longitud eficaz diferencial y la sección eficaz diferencial
satisfacen las mismas fórmulas de Thomson que en el caso no relativista. Si por el contrario
se considera que ω(1 − cos θ) >> m, es decir, se tienen en cuenta ángulos de scattering
muy grandes en el ĺımite ultrarrelativista, el resultado es:
(
dλ
dθ
)
Lab,UR.
≈ lT
2πγ
(3.65)
(
dσ
dΩ
)
Lab,UR.
≈ r2
0
2
1
γ(1− cos θ)
. (3.66)
Con el resultado de una longitud eficaz diferencial independiente del ángulo de scatte-
ring.
33
Caṕıtulo 4
Correcciones radiativas a un lazo.
Polarización del vaćıo
4.1. Divergencias y renormalización. Grado superfi-
cial de divergencia
La aparición de divergencias ultravioletas es uno de los problemas que surgen al realizar
cálculos a un lazo en electrodinámica cuántica tanto en (3+1) cómo e otras dimensiones
espacio-temporales. En este contexto, el grado superficial de divergencia permite deter-
minar si un diagrama es divergente ultravioleta y cuál es el grado superficial de dicha
divergencia de una forma sencilla [22].
En primer lugar comenzaremos introduciendo la siguiente notación para caracterizar un
diagrama en QED, Consideraremos un espacio-tiempo genérico de D = d + 1 dimensio-
nes:
Ne = número de ĺıneas externas de electrón.
Nγ = número de ĺıneas externas de fotón.
Pe = número de propagadores del electrón.
Pγ = número de propagadores del fotón.
V = número de vértices.
L = número de loops.
Se considera una teoŕıa general en la cual el Lagrangiano de interacción es de la for-
ma:
34
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Lint = N [ψ̄γµψAµ] (4.1)
La amplitud para un diagrama genérico en QED para D dimensiones puede escribirse
como:
iM ∼
∫
dDl1 . . . d
DlL
(k2
1 . . . k
2
Pγ
)(/p1
−m) . . . (/pPe
−m)
(4.2)
De forma que el grado superficial de divergencia puede definirse como:
Ds ≡ (Potencias del numerador)−(Potencias del denominador) = DL−Pe−2Pγ, (4.3)
que es posible reescribir en términos del número de ĺıneas externas y vértices. Para ello,
el número de loops en un diagrama se escribe como:
L = Pe + Pγ − V + 1, (4.4)
ya que cada propagador nos da una integral en los momentos y cada vértice una conser-
vación de la enerǵıa y momento, además de la conservación del D-momento total.
Otro aspecto a señalar es, teniendo en cuenta la expresión de la densidad Lagrangiana de
interacción empleada, como se expresa el número de vértices en función del número de
ĺıneas externas y de propagadores. De esta forma,
V = 2Pγ +Nγ =
1
2
(2Pe +Ne) (4.5)
Luego el grado superficial de divergencia puede hallarse como:
Ds ≡ DL− Pe − 2Pγ = D +
(
D − 4
2
)
V −
(
D − 2
2
)
Nγ −
(
D − 1
2
)
Ne. (4.6)
Es fácil comprobar que en un espacio-tiempo tetradimensional, la expresión para el grado
superficial de divergencia no depende del número de vértices, dado que la expresión final
para D = 4 es:
Ds = 4− (Nγ +
3
2
Ne). (4.7)
35
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Sin embargo, para un espacio tiempo tridimensional, que es el que estudiamos en este
trabajo, el grado superficial de divergencia es:
Ds = 3− V
2
− (
Nγ
2
+Ne), (4.8)
es decir, la divergencia disminuye con el número de vértices y sólo hay un número finito
de divergencias.
Es interesante identificar que diagramas son primitivamente divergentes en electrodinámi-
ca cuántica bidimensional y compararlos con el caso más estándar de la electrodinámica
en el que se tienen tres dimensiones espaciales, por tanto, buscando aquellos diagramas
que satisfacen Ds ≥ 0, puede encontrarse la siguiente clasificación que puede verse en la
tabla 4.1.
Comparación de divergencias ultravioletas
Diagrama (Ne, Nγ, V ) Ds en QED2+1 Ds en QED3+1
Autoenerǵıa del fotón (0, 2, 2) 1 2
Autoenerǵıa del electrón (2, 0, 2) 0 1
Corrección al vértice (2, 1, 3) -1 0
Tabla 4.1: Comparación de divergencias ultravioletas en QED2+1 y QED3+1.
Además el diagrama con tres fotones externos resulta convergente en ambos casos me-
diante el teorema de Furry y el scattering luz-luz, que es convergente en QED3+1 por
invariancia gauge, es directamente convergente en QED2+1 ya que Ds = (−1) en ese
caso.
Se comprueba aśı que el grado superficial de divergencias ultravioleta disminuye en una
unidad al pasar de QED3+1 a QED2+1.
De forma análoga, para dimensiones espaciales mayores a tres los diagramas con más
vértices tienen un mayor grado superficial de divergencia, de forma que cualquier amplitud
es divergente a un orden suficientemente alto en teoŕıa de perturbaciones.
Teniendo esto en cuenta puede realizarse la siguiente clasificación:
Teoŕıas súper-renormalizables: sólo hay un número finito de diagramas de Feynman
divergentes.
Teoŕıas renormalizables: sólo hay un número finito de amplitudes divergentes, sin
36
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
embargo, aparecen diagramas divergentes en todos los órdenes de teoŕıa de pertur-
baciones.
Teoŕıas no renormalizables: todas las amplitudes son divergentes a un orden sufi-
cientemente alto en teoŕıa de perturbaciones.Por tanto, la electrodinámica cuántica bidimensional es una teoŕıa súper-renormalizable,
con un número finito de diagramas divergentes, en comparación con QED3+1, que es una
teoŕıa renormalizable.
A diferencia de las divergencias ultravioletas que como hemos visto disminuyen al pa-
sar de (3+1)-dimensiones a (2+1)-dimensiones, las divergencias infrarrojas, que aparecen
cuando los momentos que se integran son muy pequeños y están asociados a la presen-
cia de part́ıculas de masa nula, como es el fotón en (3+1)-dimensiones [23], aumentan al
disminuir la dimensión espacial en la que planteamos la teoŕıa de campos que describe
la interacción entre los fermiones cargados y los fotones. Sin embargo, como veremos en
(2+1)-dimensiones si los fermiones tienen masa en reposo no nula esto induce la aparición
del término de Chern-Simons en la acción que proporciona una masa al fotón que controla
las divergencias infrarrojas.
4.2. Correciones radiativas a un loop en QED2+1
Los procesos que se han considerado hasta ahora han sido al orden más bajo en teoŕıa
de perturbaciones. Para tratar órdenes mayores es necesario tener en cuenta correcciones
que se conocen como correcciones radiativas. Los términos que hay que tratar involucran
en muchas ocasiones integrales divergentes que deben tratarse de manera adecuada, este
tratamiento implica tres pasos:
Regularizar: se modifica la teoŕıa con el objetivo de que sea finita y esté bien
definida a todos los órdenes de la teoŕıa de perturbaciones.
Renormalizar: la masa y la carga del electrón o positrón que aparecen en la teoŕıa
son las del electrón o positrón desnudo, que no son conocidas. Por este motivo es
necesario encontrar la relación entre dichas propiedades y las del electrón o positrón
f́ısico o vestido con la interacción.
Volver de la teoŕıa regularizada a QED2+1: los infinitos originales de la teoŕıa
aparecen ahora únicamente en las relaciones entre las propiedades del electrón des-
nudo y el f́ısico. Estas relaciones son inobservables. Por el contrario, las predicciones
observables de la teoŕıa, expresadas en función de la carga y la masa que se puede
medir de las part́ıculas, son finitas.
Aunque nos restringiremos a cálculos a un loop, los pasos indicados se realizan en todos
37
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Figura 4.1: Correcciones radiativas a las ĺıneas del fotón (a) y del fermión (b) y al vértice
básico (c) [16].
los órdenes en teoŕıa de perturbaciones, de manera que las correcciones pueden calcularse
con una precisión muy alta. Las correcciones radiativas a un loop a primer orden en la
constante de estructura fina pueden hallarse al sumar todas las contribuciones que se
obtienen al realizar las sustituciones que se muestran en la figura 4.1.
4.3. Polarización del vaćıo
Una vez descritas las correcciones radiativas a un loop en QED2+1, nos centraremos en
el estudio concreto de la polarización del vaćıo en mayor profundidad. Las correcciones
debidas a la autoenerǵıa del fotón están asociadas al cambio representado en la figura
4.2.
Figura 4.2: Corrección radiativa a la ĺınea del fotón [16].
38
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
De esta forma, teniendo en cuenta la sustitución anterior, el propagador del fotón se
modifica como:
iDFαβ(k)→ iDFαβ(k) + iDFαµ(k)ie2
0Πµν(k)iDFνβ(k), (4.9)
donde para determinar ie0Πµν , tendremos en cuenta el diagrama de la figura 4.1 (b). De
esta forma utilizando las reglas de Feynman para QED2+1, detalladas en el caṕıtulo 2 del
trabajo, se escribe:
M(2) = εµ(~k)ie2
0Πµν(k)εν(~k), (4.10)
para la cual,
ie0Πµν(k) = −(ie0)2
(2π)3
Tr
[∫
d3pγµiSF (p+ k)γνiSF (p)
]
, (4.11)
que teniendo en cuenta la expresión del propagador del fotón se escribe como:
ie2
0Πµν(k) = − e2
0
(2π)3
∫
d3p
Tr
[
γµ
(
/p+ /k +m
)
γν
(
/p+m
)]
[(p+ k)2 −m2 + iε|] p2 −m2 + iε|
. (4.12)
Como hab́ıamos determinado con el grado superficial de divergencia la integral que apa-
rece en ie0Πµν diverge linealmente para valores grandes de p. Es necesario, por tanto,
regularizar y a continuación renormalizar.
4.3.1. Regularización de Pauli-Villars
Una vez se comprueba que la expresión (4.12) tiene una divergencia ultravioleta, es necesa-
rio introducir un método de regularización. El método que utilizaremos en este apartado se
conoce como método de Pauli-Villars y se caracteriza por mantener la invarianza Lorentz
y la invarianza gauge de la teoŕıa [24], [25].
Para obtener el tensor de polarización regularizado comenzamos teniendo en cuenta una
densidad Lagrangiana en la que se incluyen dos contribuciones correspondientes a elec-
trones ficticios, pesados, de masas M1 y M2:
LR = −1
4
FµνF
µν + ψ̄ [iγµ (∂µ − ie0Aµ)−m]ψ − ξ
2
(∂µA
µ)(∂νA
ν)
− C1ψ̄1 [iγµ (∂µ − ie0Aµ)−M1]ψ1 − C2ψ̄2 [iγµ (∂µ − ie0Aµ)−M2]ψ2.
(4.13)
En consecuencia el tensor de polarización regularizado puede expresarse como:
39
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Πµν
R ≡ Πµν(k,m)−
2∑
j=1
CjΠ
µν(k,Mj), (4.14)
donde para asegurar que la integración en k sea convergente, las constantes Ci se esco-
gen:
C1 + C2 = 1
C1M
2
1 + C2M
2
2 = m2.
(4.15)
En definitiva, la integral que debemos calcular es:
ie2
0Πµν
R (k) = − e2
0
(2π)3
∫
d3p
[
Tr
[
γµ
(
/p+ /k +m
)
γν
(
/p+m
)]
[(p+ k)2 −m2 + iε|] p2 −m2 + iε|
− términos reguladores
]
,
(4.16)
en ella los términos reguladores corresponden a la misma expresión intercambiando m
por M1 y M2- Además utilizando las relaciones entre matrices gamma y el cálculo de las
trazas en (2+1)-dimensiones desarrolladas en el apéndice B, la traza puede reescribirse
como:
Tr
[
γµ
(
/p+ /k +m
)
γν
(
/p+m
)]
=
= (pµ + kµ)pν + (pν + kν)pµ − (p2 + kp−m2)gµν + imεµναkα.
(4.17)
A continuación, utilizaremos la representación paramétrica de Feynman, de forma que la
ecuación (4.16) es ahora:
ie2
0Πµν
R (k) =− 2e2
0
∫ 1
0
dx
∫
d3p
(2π)3
[
(pµ + kµ)pν + (pν + kν)pµ − (p2 + kp−m2)gµν + imεµναkα
(p2 + (k2 + 2kp)x−m2)2 −
−términos reguladores] .
(4.18)
Es posible además introducir el cambio de variable q = p+kx, aśı eliminando los términos
en q que originan integrales impares, se obtiene:
40
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
ie2
0Πµν
R (k) =
−2e2
0
(2π)3
∫ 1
0
dx
∫
d3q[
− q2
3
gµν − 2kµkνx(1− x) + k2x(1− x)gµν +m2gµν + imεµναkα
(q2 + k2x(1− x)−m2)2
−términos reguladores]
(4.19)
Para calcular la integral en el momento q, se puede realizar una rotación al espacio
Eucĺıdeo conocida como rotación de Wick, en la cual q0 = iq0. De esta manera la ecuación
(4.19), donde hemos pasado a coordenadas polares en el espacio tridimensional Eucĺıdeo,
se escribe como:
ie2
0Πµν
R (k) =
−ie2
0
π2
∫ 1
0
dx
∫ ∞
0
q2dq[
q2
3
gµν + x(1− x) (−2kµkν + k2gµν) +m2gµν + imεµναkα
(−q2 + k2x(1− x)−m2)2
−términos reguladores] .
(4.20)
De forma general se pueden encontrar dos tipos de integrales a resolver:
La primera de ellas es:
∫ Λ
0
q4dq
(q2 + a2)2 = Λ +
a2
2
Λ
(Λ2 + a2)
− 3a
2
arctan
Λ
a
, (4.21)
donde a2 = m2 − x(1 − x)k2. Además se comprueba que aparece una divergencia lineal
para la teoŕıa cuando tomamos el ĺımite Λ −→∞. La segunda integral a resolver es:
∫ Λ
0
q2dq
(q2 + a2)2 = −1
2
Λ
(Λ2 + a2)
+
1
2a
arctan
Λ
a
(4.22)
donde podemos ver que en el ĺımite Λ −→∞ no aparece ninguna divergencia
Los resultados que se han obtenido en el caso tridimensional pueden compararse con los
que se obtendŕıan en cuatro dimensiones. Aśı, en este último caso aparecen dos diver-
gencias, una cuadrática y una logaŕıtmica [24], mientras que en tres dimensiones sólo
aparece una divergencia lineal. Por tanto, se comprueba que las divergencias ultravioletas
caracteŕısticas de estas teoŕıas han disminuido en una unidad.
Sustituyendo los resultados anteriores en la ecuación (4.20) y teniendo en cuentaque
los coeficientes Cj satisfacen las condiciones (4.15) de forma que es posible eliminar la
41
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
divergencia lineal, se tiene la integral:
ie2
0Πµν
R (k) =
−ie2
0
4π
∫ 1
0
dx
[
2x(1− x) (k2gµν − kµkν) + imεµναkα
(m2 − k2x(1− x))1/2
−
−términos reguladores] .
(4.23)
Realizando la integración en x, el tensor de polarización regularizado es:
Πµν
R = (kµkν − gµνk2)ΠPV
R (k2) + iεµναkαΠ̃PV
R (k2), (4.24)
donde
ΠPV
R
(
k2
)
= − 1
12πM
+
1
2π
[
(k2 + 4m2)
8k3
ln
(
2|m|+ k
2|m| − k
)
− |m|
2k2
]
(4.25)
Π̃PV
R
(
k2
)
=
im
8πM
− m
4π
[
1
k
ln
(
2|m|+ k
2|m| − k
)]
(4.26)
Donde se ha tenido en cuenta que M2
1 y M2
2 son mucho mayores que m2, lo que permite
simplicar la expresión obtenida y se ha definido
1
M
=
C1
M1
+
C2
M2
. De esta forma se tiene
el tensor de polarización del vaćıo regularizado.
Si tenemos en cuenta el ĺımite M � m las expresiones (4.25) y (4.26) pueden escribirse
de forma independiente del parámetro de regulación,
ΠPV
R
(
k2
)
=
m
2π
[
(k2 + 4m2)
8k3
ln
(
2|m|+ k
2|m| − k
)
− |m|
2k2
]
, (4.27)
Π̃PV
R
(
k2
)
= −m
4π
[
1
k
ln
(
2|m|+ k
2|m| − k
)]
. (4.28)
Es interesante observar teniendo en cuenta el resultado (4.24) que aparece un término
anómalo, asociado al tensor totalmente antisimétrico, εµνα, debido a que viola paridad
en el espacio tiempo tridimensional. Este resultado está relacionado con el término de
Chern-Simons, que induce una masa topológica al fotón.
4.3.2. Renormalización
Las divergencias ultravioletas que aparecen en la teoŕıa al ir a órdenes superiores en teoŕıa
de perturbaciones pueden eliminarse por medio del proceso de renormalización.
42
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Para llevar a cabo este proceso, en este trabajo, utilizaremos un método iterativo mediante
el cual se añaden términos adicionales, conocidos como contratérminos de renormalización,
a la densidad Lagrangiana inicial.
De esta forma, para plantear la renormalización del campo electromagnético, se considera
la siguiente densidad Lagrangiana:
L = −1
4
F µνFµν −
ξ
2
(∂µA
µ)(∂νA
ν). (4.29)
Para hallar los contratérminos necesarios, el campo y el parámetro gauge renormalizados
son respectivamente:
AµR ≡ Z
−1/2
3 Aµ, ξR ≡ Z3ξ (4.30)
Por tanto, la densidad Lagrangiana resultante es:
L = L0 + Lcont
= −1
4
F µν
R FRµν −
ξR
2
(∂µA
µ
R)(∂νA
ν
R)− 1
4
(Z3 − 1)F µν
R FRµν
(4.31)
De esta forma puede encontrarse ie2Πµν
ct como la suma del vértice correspondiente a la
densidad Lagrangiana de contratérminos, Lcont y el término asignado a los diagramas en
loop, que se denomina como ie2Πµν ,
e2
0Πµν
ct (k) =
(
Z−1
3 − 1
) (
−k2gµν + kµkν
)
+ e2
0Πµν(k). (4.32)
Siendo e0 = Z−1
3 e la carga renormalizada.
Además el propagador del fotón completo viene dado por la siguiente suma,
iDµν
F (k) = iD
(0)µν
F (k) + iD
(0)
Fµλ
(k)ie2
0Πλα(k)iD
(0)
Fαν
(k) + . . . , (4.33)
de forma que, teniendo en cuenta que representa una serie armónica, puede obtenerse el
propagador del fotón completo:
iDµν
F (k) =
[(
iD
(0)µν
F (k)
)−1
− ie2
0Πµν(k)
]−1
, (4.34)
Donde Πµν(k) es el tensor de polarización, que en función de las cantidades encontradas
en la sección anterior para el proceso de regularización de Pauli-Villars tiene la siguiente
43
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
forma:
Πµν(k2) = (kµkν − gµνk2)ΠPV
R (k2) + iεµναkαΠ̃PV
R (k2). (4.35)
Además ΠPV
R (k2) y Π̃PV
R (k2) vienen dados por las ecuaciones (4.25) y (4.26) respectiva-
mente.
Entonces, teniendo en cuenta la expresión para el propagador del fotón libre,
iD
(0)
Fαβ
(k) = −i
[
gαβ
k2 + iε
+
1− ξ
ξ
kαkβ
(k2 + iε)2
]
, (4.36)
se sustituye el tensor de polarización en el propagador total, dando como resultado:
ie2
0D
µν
F (k) = −ie2
0
{
gµνk2 − (1− ξ) kµkν − e2
0
[(
−k2gµν + kµkν
)
ΠPV
R (k2) + iεµνλkλΠ̃
PV
R (k2)
]}−1
.
(4.37)
A continuación puede usarse la ecuación (4.32), si denotamos Πµν
ct (k2) = (−k2gµν +
kµkν)Πct(k
2), lo que conduce a
e2
0ΠPV
R (k2) = Z−1
3 − 1 + e2
0Πct(k
2). (4.38)
La constante de renormalización Z3 puede hallarse además como:
Z−1
3 = 1− e2
0gµν
∂Πµν
∂k2
∣∣∣∣∣
k2=0
= 1− e2
0
12π|m|
(4.39)
Por otro lado, Π̃PV
R (k2) puede escribirse como la suma de dos contribuciones, es decir,
Π̃PV
R (k2) = Π̃PV
R (0) + Π̃ct(k
2), (4.40)
donde la expresión de Π̃PV
R (0) puede hallarse y se obtiene como resultado:
Π̃PV
R (0) =
−m
4π|m|
(4.41)
El siguiente paso es introducir la carga y el parámetro gauge renormalizados, es decir,
sustituir
44
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
e2 = e2
0Z3
ξR = Z3ξ
(4.42)
en la ecuación (4.35). El resultado es,
iDµν
F (k) =− i
{
k2gµν
(
1− e2Πct(k
2)
)
+ kµkν
(
ξR − 1 + e2Πct(k
2)
)
− 2iεµνλkλe
2
(
Π̃PV
R (0) + Π̃ct(k
2)
)}−1 (4.43)
En este resultado puede comprobarse que aparece un término anómalo que es proporcional
a εµνλkλ e introduce una masa topológica al fotón [26].
Por tanto, dado que se conoce el desplazamiento del polo del propagador libre, la masa
en reposo no nula del fotón f́ısico en el plano, conocida como masa topológica, es:
θR = −e2Π̃PV
R (0) =
e2m
4π|m|
(4.44)
De esta forma, la densidad Lagrangiana para el campo electromagnético en el plano se
ve modificada por un término de masa para el fotón que se corresponde con la densidad
Lagrangiana de tipo Chern-Simons (Caṕıtulo 2),
L = −1
4
F µνFµν −
ξ
2
(∂µA
µ) (∂νA
ν) +
θR
4
εµνλFµνAλ. (4.45)
Por otro lado, la densidad Lagrangiana de contratérminos no cambia su expresión ya que
el nuevo término no introduce ningún contratérmino adicional, es decir,
Lcont = −1
4
(Z3 − 1)F µνFµν (4.46)
Es interesante además notar que aunque sólo se han tenido en cuenta correcciones radiati-
vas a un loop, el origen topológico de la masa inducida da lugar a que no haya correcciones
si se consideran más loops. De esta forma, los cálculos a dos loops realizados en [27] y [28]
no obtienen corrección alguna. La demostración de este resultado para todos los loops fue
dada por Coleman y Hill en [29].
45
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
4.4. Fórmula de Kubo y conductividad Hall
El efecto Hall cuántico es uno de los fenómenos más destacados de la f́ısica de la materia
condensada, dado que se trata una manifestación macroscópica de la mecánica cuántica.
En esta sección se hace una descripción del efecto Hall como posible forma de aplicación
de los resultados anteriores para la polarización del vaćıo en electrodinámica cuántica
bidimensional.
Desde el descubrimiento del efecto Hall cuántico entero y fraccionario han sido muchos
los trabajos publicados sobre este fenómeno, tanto a nivel experimental [30], [31], [32],
[33] como teórico [26], [34], [35]. En este trabajo tratamos de relacionar aspectos de la
teoŕıa cuántica de campos bidimensional con resultados de materia condensada (Efecto
Hall Cuántico) a través de la conexión entre la fórmula de Kubo y la polarización del
vaćıo [36].
De esta forma, en primer lugar se describen brevemente las caracteŕısticas del efecto Hall
cuántico entero y fraccionario. Posteriormente se introduce la fórmula de Kubo, que se
trata de una ecuación que permite expresar la respuesta lineal de un observable debido
a una perturbación que depende del tiempo [37]. Esta fórmula puede relaccionarse con
el tensor de conductividad, que está conectado con la polarización del vaćıo en electro-
dinámica cuántica bidimensional. Por último se calcula el factor de llenado y se interpreta
el resultado obtenido.
4.4.1. El efecto Hall cuántico
El efecto Hall clásico fue descubierto en 1879 por Edwin Hall [9] y se trata de una conse-
cuencia del movimiento de part́ıculas cargadas en presencia de un campo magnético.El efecto Hall clásico puede observarse colocando una fina lámina metálica, que considera-
remos de espesor δ, en presencia de un campo magnético constante y uniforme perpendi-
cular a la lámina metálica, es decir, en la dirección z. Como resultado el movimiento de los
electrones son órbitas circulares restringidas al plano. Si además se aplica una corriente en
la dirección x, los electrones se ven acelerados y las trayectorias pasan a ser helicoidales.
El resultado es la acumulación de carga en uno de los lados de la lámina, dando lugar a
la aparición de un voltaje, conocido como voltaje Hall, VH .
Si consideramos campos magnéticos y eléctricos constantes, y nos limitamos al plano
perpendicular al campo magnético, el tensor de resistividad es:
ρ =
(
ρ0
B
nec
− B
nec
ρ0
)
(4.47)
46
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Figura 4.3: Resistividad frente al campo magnético para el efecto Hall clásico [38].
De forma que si se representa la resistividad longitudinal y transversal frente al campo
magnético se obtiene ( ver Figura 4.3).
La resistencia Hall puede hallarse además a partir del tensor de resistividad, teniendo en
cuenta que δ es la anchura de la lámina y que se define ρH = ρxy:
RH =
ρH
δ
=
B
necδ
. (4.48)
El efecto Hall cuántico sin embargo no fue descubierto hasta 1980. Esto es debido a
la dificultad experimental para alcanzar las condiciones bajo las cuales se observa este
efecto. Además es posible diferenciar entre dos tipos de efecto Hall cuántico. Estos son el
efecto Hall cuántico entero y el fraccionario. Para observar ambos es necesario tener un
gas bidimensional de electrones, aśı como temperaturas muy bajas ( por debajo de los
15K para el efecto Hall cuántico entero y por debajo de los 40mK para el fraccionario) y
campos magnéticos muy intensos (del orden de los 15T para el efecto Hall cuántico entero
y de 40T para el fraccionario).
Los primeros experimentos realizados sobre el efecto Hall cuántico fueron llevados a ca-
bo por von Klitzing y sus colaboradores en 1980 [1]. Para realizar dichos experimentos
emplearon como hemos comentado anteriormente, un gas bidimensional de electrones,
temperaturas por debajo de los 2K, campos magnéticos del orden de 15T además de
campos eléctricos poco intensos para producir la corriente en la muestra.
El resultado a esperar, es de acuerdo a la ecuación (4.48), que la resistividad Hall vaŕıe
linealmente con el campo magnético como se observa en la figura 4.3, sin embargo, expe-
rimentalmente aparecen una serie de mesetas en las que la resistividad Hall es constante e
47
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Figura 4.4: Resistividad Hall y resistividad longitudinal a temperatura constante en el
efecto Hall cuántico Entero [38].
independiente de las caracteŕısticas del experimento. Además la resistividad longitudinal,
es nula en los intervalos que corresponden a las mesetas, como puede apreciarse en la
figura 4.4. Esto es lo que se conoce como efecto Hall cuántico entero.
En dichos intervalos el tensor de conductividad es el siguiente:
σ =
(
0 −ν e2
h
ν e
2
h
0
)
, ν = 1, 2, · · · (4.49)
siendo q = e,−e > 0 la carga del electrón, h la constante de Planck y ν se conoce como
factor de llenado.
La resistencia Hall puede hallarse además teniendo en cuenta que se considera un gas
bidimensional de electrones (δ −→ 0) y por tanto coincide con la resistividad. Este valor
puede medirse con una precisión mayor a 10−8:
RH ≡ ρH =
h
νe2
, ν = 1, 2, 3, · · · (4.50)
Este resultado es además muy importante porque no depende de la geometŕıa ni de las
caracteŕısticas del material, es decir, la resistividad Hall que se calcula coincide con lo que
se mide.
El efecto Hall cuántico fraccionario fue observado más tarde, en 1982, por D.C. Tsui, H.L.
48
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Figura 4.5: Resistividad Hall y resistividad longitudinal en el efecto Hall cuántico fraccio-
nario [35].
Störmer y A.C. Gossard [2]. Para observar este efecto realizaron el experimento empleando
heteroestructuras de alta calidad, es decir, materiales con muy pocas impurezas. Además
la muestra fue sometida a temperaturas muy bajas, de aproximadamente 40mK, y a
campos magnéticos muy intensos, del orden de 40T. Esto, como veremos más adelante,
es debido a que el desorden juega un papel fundamental en la observación del efecto Hall
cuántico entero, no siendo aśı para el efecto Hall fraccionario.
El resultado obtenido fue una meseta para
σHh
e2
=
1
3
junto a un mı́nimo en la conductivi-
dad longitudinal, aunque estudios posteriores demostraron la presencia de mesetas para
diferentes fracciones de
σHh
e2
=
p
q
, siendo p y q enteros primos entre śı y q impar. Es decir,
el factor de llenado que se obtiene ahora es ν =
p
q
.
Además la precisión en la medida de la conductividad Hall sobre las mesetas es bastante
menor en el caso del efecto Hall cuántico fraccionario (10−5).
Es interesante observar que el orden en el que aparecen las mesetas a medida que se dis-
minuye la temperatura presenta además una jerarqúıa, dado que las mesetas más estables
son aquellas con denominador pequeño. Una representación gráfica de estos resultados
puede verse en la figura 4.5.
Para interpretar los resultados obtenidos resulta de utilidad comparar la expresión de la
resistividad Hall clásica con la determinada experimentalmente en el Efecto Hall Cuántico,
aśı:
49
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
ρH =
B
nec
≡ h
νe2
=⇒ ν =
n(
eB
hc
) , (4.51)
donde ν es un entero para el Efecto Hall Cuántico Entero y un número fraccionario de
denominador impar para el Efecto Hall Cuántico Fraccionario.
Estos resultados pueden explicarse empleando la mecánica cuántica, ya que el espectro
de una part́ıcula cargada en presencia de un campo magnético viene dada por los niveles
de Landau.
La densidad de estados posibles para cada nivel de Landau, por unidad de área y de esṕın
es:
nB =
eB
hc
, (4.52)
con lo cual el factor de llenado es:
ν =
n
nB
. (4.53)
Sin embargo esto sólo explica el valor obtenido para la resistividad en el centro de la
meseta.
Para explicar la aparición de mesetas en el efecto Hall cuántico entero debemos tener en
cuenta que el espectro del sistema presenta dos tipos de estados, como se muestra en la
figura 4.6, estos son los estados localizados y los estados extensos. En los estados extensos
los electrones se mueven con total libertad, mientras que en los estados localizados los
electrones están ligados a las impurezas, dando lugar a que para un rango de valores de
campo magnético la resistividad no vaŕıe, apareciendo aśı las mesetas [39].
Cuando se reduce el desorden las mesetas del efecto Hall cuántico entero son menos
notables y aparecen para valores fraccionarios del factor de llenado. Para explicar este
efecto, a diferencia del efecto Hall cuántico entero, en el cual se consideran electrones
libres, es necesario considerar las interacciones entre electrones, dando lugar a un problema
mucho más dif́ıcil de resolver [41], [42], [43].
4.4.2. Fórmula de Kubo relativista y polarización del vaćıo.
Para obtener el factor de llenado en el efecto Hall cuántico el observable a estudiar es el
tensor de conductividad σµν . Comenzamos suponiendo un material al cual se le aplica un
campo eléctrico externo, dando lugar a corrientes inducidas que generan a su vez campos
eléctricos internos. En este apartado se sigue la referencia [44].
50
CAPÍTULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIÓN
DEL VACÍO
Figura 4.6: Origen de las mesetas para el efecto Hall cuántico entero [40].
El hamiltoniano del sistema puede descomponerse en el hamiltoniano en equilibrio, que
denominamos H0 y en el hamiltoniano perturbado H ′(t), de forma que el campo eléctrico