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CLASE 6 (Energía M.A.S – M.A.A) Ing. Eduardo Baidal Bustamante OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Conocer la definición y características de la energía en el Movimiento Armónico Simple y Movimiento Armónico Amortiguado INTRODUCCIÓN Sobre un oscilador el comportamiento de la energía depende de la posición de la partícula. También se puede conocer la energía en función del tiempo. DEFINICIÓN La energía en el movimiento armónico simple es igual: 𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙−𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 ENERGÍA CINÉTICA La energía cinética en un movimiento armónico simple en un punto está asociada a la velocidad que el cuerpo tiene en dicho punto. Recuerda que la velocidad en un oscilador armónico es máxima en la posición de equilibrio y 0 en los extremos. La energía cinética Ec en un movimiento armónico simple varía de manera periódica entre un valor mínimo en los extremos y un valor máximo en la posición de equilibrio. Su valor puede venir expresado en función de la elongación x o en función del tiempo t. 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘 𝐴2 − 𝑥2 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑0 Energía en función de x Energía en función de t El valor máximo de la energía cinética es 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘 𝐴2 y valor mínimo es cero El valor de la energía será según su ubicación: 𝐸𝑐 = 𝑚á𝑥 𝐸𝑐 = 0 𝐸𝑐 = 0 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘 𝐴2 − 𝑥2 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑0 ENERGÍA CINÉTICA ENERGÍA CINÉTICA 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘 𝐴2 − 𝑥2 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑0 Energía en función de x Energía en función de t ENERGÍA POTENCIAL La fuerza recuperadora o elástica es una fuerza conservativa. El trabajo realizado por las fuerzas conservativas depende únicamente de los puntos inicial y final, y no del camino elegido. Por ello, las fuerzas conservativas dan lugar a la energía potencial. En este caso se trata de energía potencial elástica, al ser la fuerza responsable la fuerza recuperadora o elástica. La energía potencial Ep en un movimiento armónico simple varía de manera periódica entre un valor mínimo en la posición de equilibrio y un valor máximo en los extremos. Su valor puede venir expresado en función de la elongación x o en función del tiempo t. 𝐸𝑃 = 1 2 𝑘 𝐴2 𝐸𝑃 = 1 2 𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜑0 Energía en función de x Energía en función de t El valor máximo de la energía potencial es 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘 𝐴2 y valor mínimo es cero El valor de la energía será según su ubicación: 𝐸𝑝 = 0 𝐸𝑝 = 𝑚á𝑥 𝐸 = 𝑚á𝑥 𝐸𝑝 = 1 2 𝑘 𝐴2 − 𝑥2 𝐸𝑝 = 1 2 𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜑0 ENERGÍA POTENCIAL ENERGÍA POTENCIAL 𝐸𝑃 = 1 2 𝑘 𝑥2 𝐸𝑃 = 1 2 𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜑0 Energía en función de x Energía en función de t ENERGÍA MECÁNICA La energía mecánica de un oscilador armónico en un punto es la suma de la energía cinética y la energía potencial en dicho punto. El valor de la energía mecánica Em en un movimiento armónico simple permanece constante a lo largo del tiempo t y en cualquier punto x del movimiento. Viene expresada por: 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘 𝐴2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Determinar: 1. La frecuencia del oscilador 2. La constante de elasticidad del resorte 3. La energía potencial, cinética y mecánica a 0,5s de tiempo. 𝑥 = 0,1 cos 25. 𝑡 Un cuerpo oscila en el extremo de un resorte, cuya masa es de 200g y la ecuación de movimiento es de 𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 𝐴 = 0,1 𝑚 𝜔 = 25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜑0 = 0 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑓 = 𝜔 2𝜋 𝑓 = 25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 𝟑, 𝟗𝟖𝑯𝒛 𝜔 = 𝑘 𝑚 𝑘 = 𝜔 𝑚 𝑘 = 𝜔2𝑚 𝑘 = 25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 0,2𝑘𝑔 1𝑁 = 1𝑘𝑔 𝑚 𝑠2 𝑘 = 625 𝑟𝑎𝑑2 𝑠2 ∗ 0,2 𝑁𝑠2 𝑚 𝒌 = 𝟏𝟐𝟓 𝑵 𝒎 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Determinar: 1. La frecuencia del oscilador 2. La constante de elasticidad del resorte 3. La energía potencial, cinética y mecánica a 0,5s de tiempo. 𝑥 = 0,1 cos 25. 𝑡 Un cuerpo oscila en el extremo de un resorte, cuya masa es de 200g y la ecuación de movimiento es de 𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 𝐴 = 0,1 𝑚 𝜔 = 25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜑0 = 0 𝐸𝑝 = 1 2 125 𝑁 𝑚 (0,1𝑚)2𝑐𝑜𝑠2 (25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 )(0,5𝑠) + 0 𝐸𝑝 = 0,625𝑐𝑜𝑠 2 356,2° = 0,622𝐽 360° ∗ 12,5𝑟𝑎𝑑 2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 716,2° 716,2° − 360° = 356,2° 𝐸𝑃 = 1 2 𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜑0 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Determinar: 1. La frecuencia del oscilador 2. La constante de elasticidad del resorte 3. La energía potencial, cinética y mecánica a 0,5s de tiempo. 𝑥 = 0,1 cos 25. 𝑡 Un cuerpo oscila en el extremo de un resorte, cuya masa es de 200g y la ecuación de movimiento es de 𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 𝐴 = 0,1 𝑚 𝜔 = 25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜑0 = 0 𝐸𝑐 = 1 2 125 𝑁 𝑚 (0,1𝑚)2𝑠𝑖𝑛2 (25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 )(0,5𝑠) + 0 𝐸𝑐 = 0,625𝑠𝑖𝑛 2 356,2° = 2,74𝑥10−3𝐽 360° ∗ 12,5𝑟𝑎𝑑 2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 716,2° 716,2° − 360° = 356,2° 𝐸𝑐 = 1 2 𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑0 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Determinar: 1. La frecuencia del oscilador 2. La constante de elasticidad del resorte 3. La energía potencial, cinética y mecánica a 0,5s de tiempo. 𝑥 = 0,1 cos 25. 𝑡 Un cuerpo oscila en el extremo de un resorte, cuya masa es de 200g y la ecuación de movimiento es de 𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 𝐴 = 0,1 𝑚 𝜔 = 25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜑0 = 0 𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 0,622 + 2,74𝑥10 −3 = 0,62474J MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE De esta ecuación podemos determinar que t se expresa en segundos y x esta en metros. Cuando t=0 se encuentra en la posición de equilibrio con una velocidad de -5m/s. Considerando que la energía total del sistema es 5J. Calcula el ángulo de fase ⱷ y la masa del cuerpo. 𝑥 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑0 Un cuerpo está sometido a un MAS mediante un resorte, la ecuación de movimiento del sistema es: Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio, su posición x es igual a cero 𝑥 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑0 0 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜔(0) + 𝜑0 0 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜑0 𝜑0 = sin −10 𝜑01 = 0° 𝜑02 = 180° 𝑣 = 0,5𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 −5 = 1 2 𝜔 cos 𝜔(0) + 𝜑0 −10 = 𝜔 cos 0° Cuando 𝜑0 = 0° −10 = 𝜔(1) 𝜔 = −10 −10 = 𝜔 cos 180° Cuando 𝜑0 = 180° −10 = 𝜔(−1) 𝜔 = 10 correcto MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE De esta ecuación podemos determinar que t se expresa en segundos y x esta en metros. Cuando t=0 se encuentra en la posición de equilibrio con una velocidad de -5m/s. Considerando que la energía total del sistema es 5J. Calcula el ángulo de fase ⱷ y la masa del cuerpo. 𝑥 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑0 Un cuerpo está sometido a un MAS mediante un resorte, la ecuación de movimiento del sistema es: 𝐸𝑇 = 𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘 𝐴2 + 0 5 = 1 2 𝑘 1 2 2 5 = 1 2 𝑘 1 4 𝑘 = 40 𝑁 𝑚 MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO La energía mecánica de un oscilador armónico amortiguado decrece con el tiempo debido al rozamiento del amortiguador 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘𝐴2 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑡 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘 𝐴0𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑡 2 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘𝐴0 2𝑒 −𝑡 𝜏 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘𝐴0 2𝑒 −𝑡 𝜏 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒 −𝑡 𝜏 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒 −2𝛾𝑡 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 𝜏 = 1 2𝛾 𝛾 = 𝑏 2𝑚 Tiempo de extinción o constante de tiempo Factor de amortiguamiento 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘𝐴0 2𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 Movimiento Armónico Amortiguado El siguiente sistema armónico tiene en un extremo un objeto de 0,375kg. El resorte presenta una constante de elasticidad de 100 N/m. El medio de amortiguamiento tiene una constante de 0,100 kg/s. a) ¿Cuánto tarda la amplitud en reducirse a la mitad? b) ¿Cuánto tiempo transcurre para que la energía mecánica se reduzca a la mitad de su valor inicial? Ecuación de Amplitud de un sistema Amortiguado 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑡 𝑚 = 0,375𝑘𝑔 𝑘 = 100𝑁/𝑚 𝑏 = 0,100𝑘𝑔/𝑠 0,5𝐴0 = 𝐴0𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑡 0,5 = 𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑡 ln0,5 = − 𝑏𝑡 2𝑚 𝑡 = 2𝑚 ln0,5 −𝑏 𝑡 = 2(0,375) ln0,5 −(0,100) = 𝟓, 𝟐𝒔 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘 𝐴2 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒 − 𝑏 2𝑚𝑡 𝐸𝑀 = 12 𝑘𝐴0 2𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 0,5𝐸0 = 𝐸0𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 0,5 = 𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 ln 0,5 = − 𝑏𝑡 𝑚 𝑡 = 𝑚 ln0,5 −𝑏 𝑡 = (0,375) ln0,5 −(0,100) 𝒕 = 𝟐, 𝟔𝒔 MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO Una esfera con una masa de 10,6 kg se suspende del extremo de un resorte, cuya constante de elasticidad es de 2,05x104N/m. El sistema se ve afectado por una fuerza amortiguadora presente por la resistencia del aire con una constante de amortiguamiento de 3Kg/s. a) Calcular la frecuencia de oscilación amortiguada b) ¿En qué porcentaje se disminuye la amplitud después de cada oscilación? c) Después de que tiempo la energía del sistema decae al 5% de su valor inicial 𝑘 = 2,05𝑥104𝑁/𝑚 𝑏 = 3𝑘𝑔/𝑠 𝑚 = 10,6𝑘𝑔 𝜔0 = 𝑘 𝑚 𝜔′ = 𝜔02 − 𝑏 2𝑚 2 𝜔 ′ = 𝑘 𝑚 − 𝑏 2𝑚 2 𝜔′ = 2,05𝑥104 10,6 − 3 2(10,6) 2 𝜔′ = 1933,962 − 0,0200 𝜔 ′ = 43,97𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔′ = 2𝜋𝑓′ 𝑓′ = 𝜔′ 2𝜋 𝑓 ′ = 43,97𝑟𝑎𝑑/𝑠 2𝜋 = 𝟕𝑯𝒛 MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO Una esfera con una masa de 10,6 kg se suspende del extremo de un resorte, cuya constante de elasticidad es de 2,05x104N/m. El sistema se ve afectado por una fuerza amortiguadora presente por la resistencia del aire con una constante de amortiguamiento de 3Kg/s. a) Calcular la frecuencia de oscilación amortiguada b) ¿En qué porcentaje se disminuye la amplitud después de cada oscilación? c) Después de que tiempo la energía del sistema decae al 5% de su valor inicial 𝑘 = 2,05𝑥104𝑁/𝑚 𝑏 = 3𝑘𝑔/𝑠 𝑚 = 10,6𝑘𝑔 𝐴0 𝐴𝑓 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑡 Tiempo = periodo 𝑡 = 1 𝑓′ 𝑡 = 1 7 = 0,1428𝑠 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒 − 3 2 10,6 (0,1428) 𝐴 𝑡 = 𝐴00,98 𝐴 𝑡 = 98%𝐴0 Ha disminuido en 2% MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO Una esfera con una masa de 10,6 kg se suspende del extremo de un resorte, cuya constante de elasticidad es de 2,05x104N/m. El sistema se ve afectado por una fuerza amortiguadora presente por la resistencia del aire con una constante de amortiguamiento de 3Kg/s. a) Calcular la frecuencia de oscilación amortiguada b) ¿En qué porcentaje se disminuye la amplitud después de cada oscilación? c) Después de que tiempo la energía del sistema decae al 5% de su valor inicial 𝑘 = 2,05𝑥104𝑁/𝑚 𝑏 = 3𝑘𝑔/𝑠 𝑚 = 10,6𝑘𝑔 𝐴0 𝐴𝑓 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘 𝐴2 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒 − 𝑏 2𝑚 𝑡 𝐸𝑀 = 1 2 𝑘𝐴0 2𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 0,05𝐸0 = 𝐸0𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 0,05 = 𝑒 −𝑏𝑡 𝑚 ln 0,05 = − 𝑏𝑡 𝑚 𝑡 = 𝑚 ln0,05 −𝑏 𝑡 = (10,6) ln0,05 −(3) 𝑡 = 10,58𝑠
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