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Facultad de Música 
 
Región Xalapa 
 
 
Maestría en Música 
 
Estudio analítico de la música microtonal 
del siglo XX 
 
Tesis para obtener el grado de Maestro en Música 
 
Presenta: 
José Manuel Rivera Matus 
 
Director de Tesis: 
Dr. Gustavo Rafael Castro Ortigoza 
 
Asesora de Tesis: 
Dra. Diana Castro Ortigoza 
 
 Julio de 2022 
 
“Lis de Veracruz: Arte, Ciencia, Luz” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad Veracruzana 
 
Facultad de Música 
Región Xalapa 
 
Maestría en Música 
 
Estudio analítico de la música microtonal 
del siglo XX 
 
Tesis para obtener el grado de Maestro en Música 
 
Presenta: 
José Manuel Rivera Matus 
 
Director de Tesis: 
Dr. Gustavo Rafael Castro Ortigoza 
 
Asesora de Tesis: 
Dra. Diana Castro Ortigoza 
 
 
 
1 
 
Agradecimientos 
 
Expreso mi gratitud al Dr. Gustavo Rafael Castro Ortigoza por el apoyo brindado y por 
haberme compartido su conocimiento. A mi asesora Dra. Diana Castro Ortigoza cuya 
intervención me fue de gran ayuda en la realización de esta investigación. Al Dr. Robert 
Hasegawa por su amabilidad, disposición y la oportunidad de entrevistarlo. Al Mtro. Arturo 
Cuevas Guillaumin por sus sugerencias constructivas durante la planificación de esta 
investigación. Al Mtro. Jorge Caballero Ramírez por sus excelentes observaciones. A la 
Mtra. Lizette Chapa por su valiosa aportación. Al Dr. Randall Kohl por sus acertados 
comentarios. A la MCD Lorena López Lozada por brindar su valioso tiempo en la revisión. 
 
A la Universidad Veracruzana (UV) por haberme formado profesionalmente y a la Unidad 
de Estudios de Posgrado de la UV por toda la gestión para estudiar este posgrado. 
 
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por proporcionarme los medios 
necesarios para realizar satisfactoriamente el posgrado mediante el Programa Nacional de 
Posgrados de Calidad (PNPC) con Número de Referencia 003606. 
 
 
2 
 
Dedicatoria 
 
A mi madre Dinorah por el apoyo y cariño que siempre me ha concedido. 
 
A mis hermanos Luis y Alexandra por el soporte que me brindan. 
 
A Jesul por su paciencia, dedicación y sugerencias. 
 
 
3 
 
Índice 
 
 
Índice ...................................................................................................................................... 3 
Índice de tablas ....................................................................................................................... 7 
Índice de figuras ..................................................................................................................... 8 
Resumen ............................................................................................................................... 11 
Introducción .......................................................................................................................... 12 
Capítulo 1. Clasificación y antecedentes de la música microtonal....................................... 14 
1.1 Tipos de música microtonal. Taxonomías de Haas .................................................... 15 
1.2 Antecedentes históricos de la música microtonal ....................................................... 17 
1.2.1 El clavecín con 19 tonos de Gioseffo Zarlino ..................................................... 17 
1.2.2 Archicémbalo con 31 tonos de Nicola Vicentino ................................................ 20 
Capítulo 2. Sistemas de afinación y de temperamento igual ................................................ 23 
2.1 Fuentes históricas ....................................................................................................... 23 
2.2 Afinación pitagórica ................................................................................................... 26 
2.2.1 Escala diatónica pitagórica .................................................................................. 26 
2.2.2 Aproximación a la teoría musical griega ............................................................. 31 
2.2.3 Género diatónico.................................................................................................. 33 
2.2.4 Género cromático y enarmónico.......................................................................... 35 
2.2.5 Coma pitagórica ................................................................................................... 38 
2.3 Afinación justa ............................................................................................................ 40 
2.3.1 Origen de la afinación justa. Breve contexto histórico de las consonancias ....... 40 
2.3.2 Consideraciones históricas de la serie de los armónicos ..................................... 42 
2.3.3 Escala diatónica justa........................................................................................... 44 
2.3.4 Coma sintónica .................................................................................................... 47 
 
4 
 
2.4 Temperamento igual ................................................................................................... 48 
2.4.1 Ventajas e inconvenientes de las afinaciones y clasificación de los temperamentos
 ...................................................................................................................................... 48 
2.4.2 Antecedentes del temperamento igual moderno .................................................. 52 
2.4.3 Escala cromática en temperamento igual ............................................................ 54 
2.4.4 Función algorítmica cents .................................................................................... 55 
2.4.5 Comparación de los sistemas de afinación y el temperamento igual .................. 57 
Capítulo 3. Música microtonal en temperamento igual ........................................................ 60 
3.1 El revolucionario sonido 13 de Julián Carrillo ........................................................... 60 
3.1.1 El sistema general de escritura musical de Julián Carrillo .................................. 61 
3.2 Nueva teoría de la armonía de Alois Hába ................................................................. 64 
3.2.1 Notación, armonía y melodía del sistema en cuartos de tono ............................. 65 
3.3 La armonía de cuartos de tono de Ivan Wyschnegradsky .......................................... 68 
3.3.1 Notación, intervalos, ciclos, escalas y armonía de los cuartos de tono ............... 68 
3.4 Algunas impresiones del cuarto de tono de Charles Ives ........................................... 73 
3.4.1 El sistema de cuartos de tono de Charles Ives ..................................................... 74 
Capítulo 4. Música microtonal en afinación justa extendida................................................ 78 
4.1 Génesis de una música de Harry Partch ..................................................................... 78 
4.1.1 Conceptos monofónicos básicos, mapas tonales y construcción de escalas de Harry 
Partch ............................................................................................................................ 79 
4.2 Estructuras armónicas justas organizadas por procesos serialistas en Ben Johnston . 85 
4.2.1 Bases del sistema de notación justa extendida en la música de Ben Johnston .... 85 
4.3 El piano bien afinado de La Monte Young................................................................. 91 
4.3.1 Afinación justa extendida del piano bien afinado ............................................... 92 
Capítulo 5. Música espectral ................................................................................................ 95 
5.1 Música de una sola nota de Giacinto Scelsi ............................................................... 95 
 
5 
 
5.2 Conceptos de la música espectral ............................................................................... 97 
5.2.1Síntesis instrumental ............................................................................................ 98 
5.2.2 Armonicidad e inarmonicidad ............................................................................. 98 
5.2.3 Espectro subarmónico.......................................................................................... 98 
5.2.4 Espectro estirado y comprimido .......................................................................... 99 
5.2.5 Combinación de tonos ....................................................................................... 101 
5.2.6 Modulación de frecuencia ................................................................................. 101 
5.2.7 Interpolación ...................................................................................................... 101 
Capítulo 6. Aproximaciones desde el análisis musical....................................................... 102 
6.1 Aspectos generales del Preludio a Colón de Julián Carrillo .................................... 102 
6.2 Aspectos generales y particulares del Cuarteto de cuerdas núm. 2 op. 7 de Alois Hába
 ........................................................................................................................................ 106 
6.3 Aspectos generales, composing-out y centricidad en los Preludios núm. 1 y 2 op. 22 de 
Iván Wyschnegradsky..................................................................................................... 110 
6.3.1 Preludio núm. 1 op. 22 ...................................................................................... 110 
6.3.2 Preludio núm. 2 op. 22 ...................................................................................... 112 
6.4 Aspectos generales, representación del tono y centricidad en Tres Piezas en Cuartos 
de Tono para Dos Pianos. Primer movimiento: Largo de Charles Ives ........................ 114 
6.5 Aspectos serialistas en el Cuarteto de Cuerdas núm. 6 de Ben Johnston ................ 118 
6.6 Armonía en The Well Tuned Piano de La Monte Young ......................................... 123 
6.6.1 Aspectos generales de la estructura armónica ................................................... 124 
6.7 Dos piezas para guitarra de James Tenney ............................................................... 125 
6.7.1 Afinación y algunos aspectos generales de Septet............................................. 126 
6.7.2 Afinación y algunos aspectos generales de Spectrum 4 .................................... 129 
6.8 Cuatro piezas con una sola nota para orquesta de Giacinto Scelsi ........................... 132 
6.9 Conceptos de la música espectral en Gérard Grisey................................................. 135 
 
6 
 
6.9.1 Síntesis instrumental, armonicidad e inarmonicidad en Partiels ...................... 135 
6.9.2 Espectro subarmónico en Modulations.............................................................. 138 
6.9.3 Espectro estirado y comprimido en Vortex Temporum ..................................... 140 
6.10 Conceptos de la música espectral en Tristan Murail .............................................. 142 
6.10.1 Combinación de tonos en Ether ...................................................................... 142 
6.10.2 Modulación de frecuencia e interpolación en Gondwana ............................... 142 
Conclusiones ....................................................................................................................... 145 
Anexos ................................................................................................................................ 149 
1. Glosario ...................................................................................................................... 149 
2. Entrevista al Dr. Robert Hasegawa............................................................................. 152 
Referencias ......................................................................................................................... 174 
 
 
 
7 
 
Índice de tablas 
 
Tabla 1. Algunos tratados históricos sobre la afinación y el temperamento ........................ 25 
Tabla 2. Escala diatónica pitagórica ..................................................................................... 31 
Tabla 3. Escala diatónica justa ............................................................................................. 47 
Tabla 4. Ventajas y desventajas de las afinaciones .............................................................. 51 
Tabla 5. Escala cromática en temperamento igual ............................................................... 55 
Tabla 6. Comparaciones de las escalas diatónicas en AP, AJ y TI ...................................... 57 
Tabla 7. Comparación de las clases de intervalos de las escalas diatónicas en AP, AJ y TI 59 
Tabla 8. Intervalos disponibles en 24-TET con los nombres propuestos por Hába ............. 66 
Tabla 9. Intervalos disponibles en 24-TET con los nombres propuestos por Wyschnegradsky
 .............................................................................................................................................. 69 
Tabla 10. Escala diatónica justa de do mayor ...................................................................... 87 
Tabla 11. Notación de Johnston ........................................................................................... 88 
Tabla 12. Escala de 12 tonos de Young ............................................................................... 94 
Tabla 13. Forma del Cuarteto de Cuerdas núm. 2 de Alois Hába ..................................... 107 
Tabla 14. Forma del Preludio núm. 1 op. 22 de Ivan Wyschnegradsky ............................ 111 
Tabla 15. Forma del Preludio núm. 2 op. 22 de Ivan Wyschnegradsky ............................ 112 
Tabla 16. Forma del Largo de las Tres Piezas en Cuartos de Tono para Dos Pianos de 
Charles Ives ........................................................................................................................ 114 
Tabla 17. Hexacorde do otonal ........................................................................................... 119 
Tabla 18. Hexacorde do utonal ........................................................................................... 119 
Tabla 19. Serie dodecafónica en el Cuarteto de Cuerdas núm. 6 de Ben Johnston ........... 119 
Tabla 20. Matriz 12x12 del Cuarteto de Cuerdas núm. 6 de Ben Johnston ....................... 121 
Tabla 21. Secciones del Cuarteto de Cuerdas núm. 6 de Ben Johnston ............................ 122 
Tabla 22. Estructura de The Well-Tuned Piano de La Monte Young ................................ 124 
Tabla 23. Afinación y tonos disponibles en la guitarra para Spectrum 4 ........................... 132 
Tabla 24. Tonos de suma y de diferencia calculados con la ecuación para modulación de 
frecuencia............................................................................................................................ 143 
 
 
 
8 
 
Índice de figuras 
 
Figura 1. Clavecín con 19 tonos por octava. ........................................................................ 19 
Figura 2. División del tono en el temperamento mesotónico usado en el clavecín de Zarlino.
 .............................................................................................................................................. 20 
Figura 3. Representación del doble teclado en el archicémbalo de Vicentino. .................... 21 
Figura 4. Adición de dos quintas justas 3/2 a partir del tono C para derivar el intervalo de 
novena mayor 9/4 en el lenguaje de proporciones. .............................................................. 27 
Figura 5. Adición de dos segundas mayores 9/8 a partir del tono C para derivar el intervalo 
de tercera mayor 81/64 en el lenguaje de proporciones....................................................... 29 
Figura 6. Sýstema ametábolon. Conjunto del sýstema teleion (hýpaton, méson, diezeugménon 
y hyperbolaíon) y del sýstema metábolon (hýpaton, méson y synemménon). ...................... 32 
Figura 7. Estructura del tetracordio hyperbolaíon en género diatónico. .............................. 35 
Figura 8. Estructura del tetracordio hyperbolaíon en género cromático. ............................. 37 
Figura 9. Estructura del tetracordio hyperbolaíon en género enarmónico. .......................... 38 
Figura 10. Coma pitagórica a través del ciclo de quintas justas. .......................................... 39 
Figura 11. Primeros doce parciales de la serie armónica de la fundamental C. ................... 43 
Figura 12. Representación de la vibración de una cuerda hasta su quinto parcial. .............. 44 
Figura 13. División del monocordio de Ramos de Pareja en Musica Practica. ................... 45 
Figura 14. Coma sintónica a través de la comparación de cuatro intervalos de quinta contra 
una diecisieteava mayor 81/16. ............................................................................................ 48 
Figura 15. Sistema general de escritura musical de Julián Carrillo...................................... 62 
Figura 16. Adaptación de la notación de Carrillo en 48 tonos iguales por octava a la notación 
estándar. ................................................................................................................................ 63 
Figura 17. Notación de Alois Hába en cuartos de tono y la notación estándar de cuartos de 
tono. ...................................................................................................................................... 65 
Figura 18. Transiciones entre el sistema de cuartos de tono y el sistema de medios tonos. 66 
Figura 19. Notación temprana de Wyschnegradsky y la notación estándar de cuartos de tono.
 .............................................................................................................................................. 68 
Figura 20. Comparación de la escala de do mayor y do cromática diatonizada (C-DC). .... 70 
Figura 21. Ciclo de quintas menores. ................................................................................... 71 
 
9 
 
Figura 22. Comparación de los heptacordes de las escalas de do cromática diatonizada y fa¼ 
sostenido cromática diatonizada. .......................................................................................... 72 
Figura 23. Acordes “pequeño” y “largo” de tónica en la escala de fa¼ sostenido cromática 
diatonizada. ........................................................................................................................... 73 
Figura 24. Primer acorde básico de Charles Ives. ................................................................ 74 
Figura 25. Segundo acorde básico de Charles Ives. ............................................................. 75 
Figura 26. Tercer acorde básico de Charles Ives. ................................................................. 76 
Figura 27. Tonalidad de diamante en límite-5. ..................................................................... 82 
Figura 28. Tonalidad de diamante en límite-11. ................................................................... 84 
Figura 29. Modelo del mapa tonal de la afinación justa extendida en límite-7. ................... 91 
Figura 30. Mapa tonal de los 12 tonos de The Well-Tuned Piano en notación de Johnston.93 
Figura 31. Mapa tonal de los 12 tonos de The Well-Tuned Piano en notación de Young. .. 94 
Figura 32. Comparación del espectro armónico de si bemol y el espectro de si bemol del 
piano. .................................................................................................................................. 100 
Figura 33. Aspectos generales del Preludio a Colón de Julián Carrillo............................. 103 
Figura 34. Compases 1 al 3 del Preludio a Colón de Julián Carrillo. ................................ 105 
Figura 35. Compases 26 y 27 del Preludio a Colón de Julián Carrillo. ............................. 105 
Figura 36. Tema A del Cuarteto de Cuerdas núm. 2 op. 7 de Alois Hába en notación estándar.
 ............................................................................................................................................ 107 
 Figura 37. Tema B del Cuarteto de Cuerdas núm. 2 op. 7 de Alois Hába en notación estándar.
 ............................................................................................................................................ 108 
Figura 38. Compases 1 al 3 del Cuarteto de Cuerdas núm. 2 op. 7 de Alois Hába. .......... 108 
Figura 39. Transposiciones de la forma prima (0, 3, 7) en los primeros compases del Cuarteto 
de Cuerdas núm. 2 op. 7 de Alois Hába. ............................................................................ 109 
Figura 40. Comienzo del Allegro moderato del Cuarteto de Cuerdas núm. 2 op. 7 de Alois 
Hába. ................................................................................................................................... 109 
Figura 41. Primeros tres compases del Preludio núm. 1 op. 22 de Ivan Wyschnegradsky.
 ............................................................................................................................................ 111 
Figura 42. Composing-out del acorde “pequeño” de do en el Preludio núm. 1 de Ivan 
Wyschnegradsky. ................................................................................................................ 112 
Figura 43. Bajo ostinato del Preludio núm. 2 en fa¼ sostenido cromática diatonizada. ... 113 
 
10 
 
Figura 44. Ciclo de quintas menores de fa¼ sostenido cromática diatonizada. ................. 113 
Figura 45. Compases 1 al 4 del Largo de las Tres Piezas en Cuartos de Tono para Dos Pianos 
de Charles Ives. .................................................................................................................. 115 
Figura 46. Serie de los armónicos de do, parciales del 1 al 32. .......................................... 116 
Figura 47. Representación del tono de los acordes aumentados del Largo de las Tres Piezas 
en Cuartos de Tono para dos Pianos de Charles Ives. ....................................................... 116 
Figura 48. Compases 18-23 del Largo de las Tres Piezas en Cuartos de Tono para Dos 
Pianos de Charles Ives. ...................................................................................................... 117 
Figura 49. Primer y segundo acorde de Ives con sus respectivas fundamentales. ............. 118 
Figura 50. Acorde de apertura y acorde mágico en The Well-Tuned Piano. ...................... 124 
Figura 51. Comparación de los primeros dieciséis armónicos de A con los primeros cinco de 
E. ......................................................................................................................................... 127 
Figura 52. Relación entre el ritmo y los parciales de la fundamental A en Septet, c. 107-108.
 ............................................................................................................................................ 128 
Figura 53. Espectro armónico del tono F. .......................................................................... 131 
Figura 54. Comparación de la notación estándar de cuartos de tono con la notación de Scelsi.
 ............................................................................................................................................ 133 
Figura 55. Comparación de la serie armónica y subarmónica de Ab. ................................ 135 
Figura 56. Análisis espectral del tono E3 del trombón. ...................................................... 136 
Figura 57. Síntesis instrumental a partir de la fundamental E2. .........................................137 
Figura 58. Progresión desde la armonicidad a la inarmonicidad en Partiels. .................... 138 
Figura 59. Subarmonicidad en Modulations de Gerard Grisey. ......................................... 139 
Figura 60. Espectro estirado y comprimido de Grisey a partir del tono Bb. ...................... 141 
Figura 61. Combinación de tonos en Ether. ....................................................................... 142 
Figura 62. Modulación de frecuencia en Gondwana. ......................................................... 143 
Figura 63. Interpolación en Gondwana. ............................................................................. 144 
 
 
11 
 
Resumen 
 
El término “microtonal” sugiere el uso de intervalos más pequeños que el semitono de la 
escala diatónica o cromática de la música occidental. En principio, su historia se remonta a 
la Antigua Grecia, pero es en el siglo XX cuando surge este término debido a las prácticas 
alternativas que se desarrollaron ampliamente en este periodo. El objetivo principal de esta 
investigación consiste en identificar técnicas y elementos de construcción que conforman a 
la música microtonal para facilitar su correcta interpretación a través de la revisión de obras 
seleccionadas del siglo XX considerando aspectos e instrumentos teóricos. 
Esta investigación ha sido desarrollada en el periodo 2020–2022 y se ubica en el 
Análisis Musical y Análisis Histórico, Áreas de Interés que desarrolla el Cuerpo Académico 
(CA) Consolidado en Investigación Musical integrado en la Facultad de Música de la 
Universidad Veracruzana (UV). En el documento se incorporan aspectos teóricos de la 
afinación y del temperamento, puesto que estos sustentan a las obras microtonales 
seleccionadas. Además, se aplican herramientas teóricas que permiten la explicación y 
comprensión de las obras en cuestión a través del análisis de partituras. También, se 
entrevistó al Dr. Robert Hasegawa, especialista en los siguientes temas: música microtonal, 
teoría transformacional, historia de la teoría musical, teoría post-tonal, entre otros. 
Los resultados se reflejan en la exposición de un panorama teórico general acerca de 
la afinación y la música microtonal del siglo XX y en las aproximaciones desde el análisis 
de algunas de las obras microtonales representativas de este periodo. 
Se concluye que los compositores microtonales utilizaron Sistemas de Afinación y 
Temperamento Extendidos para la realización de su obra. Además, ellos se clasifican en tres 
categorías: los que utilizan la división de la octava en partes iguales, los de afinación justa 
extendida y los espectralistas. Por otro lado, las obras analizadas, en este caso, preservan el 
uso de centros tonales como base para su construcción. No obstante, cada obra se construye 
con diferentes herramientas de tal forma que conlleva sus características propias y únicas, 
aunque estas pertenezcan a la misma clasificación o categoría. 
 
Palabras clave: Música microtonal, Análisis musical, Análisis histórico, Teoría musical, 
Afinación y Temperamento. 
 
12 
 
Introducción 
 
El siglo XX se caracterizó por diversas teorías y prácticas alternativas a los modelos 
tradicionales que las preceden. La “música microtonal” surgió como una de estas alternativas 
y se distingue por el uso de afinaciones y temperamentos alternos al temperamento igual de 
12 tonos. El uso de este último ha prevalecido sobre los demás desde finales del siglo XIX. 
En general, los términos “música microtonal”, “microtonalismo” y “microtonalidad” 
hacen referencia a la práctica donde se utiliza por lo menos un intervalo más pequeño que el 
semitono de las escalas diatónica y cromática de la música occidental europea. En este género 
se asignó un nombre a los siete tonos de la escala diatónica. Asimismo, a estos tonos se les 
agregaron signos con el fin de expresar los cinco tonos restantes de la escala cromática. En 
consecuencia, en la música microtonal se suelen necesitar más signos para así expresar los 
tonos que no se encuentran en dichas escalas. 
Existen múltiples investigaciones y teorías realizadas por compositores y teóricos 
especializados en música microtonal. Algunos compositores que han escrito al respecto son: 
Charles Ives (1874–1954), Julián Carrillo (1875–1965), Alois Hába (1893–1973), Iván 
Wyschnegradsky (1893–1979), Harry Partch (1901–1974), Giacinto Scelsi (1905–1988), 
Ben Johnston (1926–2019), James Tenney (1934–2006), La Monte Young (n. 1935), Gérard 
Grisey (1946–1998), Tristan Murail (n. 1947), Georg Friedrich Haas (n. 1953) y Marc Sabat 
(n. 1965). Por otro lado, entre los teóricos que han creado herramientas para explicar esta 
música se encuentran: Robert Hasegawa, Miles Skinner, Brian Bridge y Andrew Blake. 
Referente a la escritura técnica, este documento se basa en el lenguaje algebraico de 
David Lewin para realizar operaciones de intervalos con base en el lenguaje de proporciones 
y la teoría de clases de tonos. Por ello, en este estudio se utiliza el nombre de las notas 
musicales en inglés (ej. C, C#, D, Eb,…, A# y B). No obstante, se mantiene el criterio 
propuesto en Musikeon para aquellos casos en los que no se usa el lenguaje en cuestión y/o 
se mencionan escalas o estructuras armónicas (ej. escala de do mayor, acorde de la menor, fa 
sostenido aumentado, entre otros). 
Referente a los análisis, se utilizan gráficas, mapas tonales y herramientas analíticas 
relacionadas con la teoría post-tonal. Cabe mencionar que, los cálculos de frecuencias de los 
sistemas de afinación y temperamento que se tratan en esta investigación se revisaron a través 
del software Scala en su versión 2.38 para Windows. 
 
13 
 
En relación con la música microtonal, se realizó una entrevista al Dr. Robert 
Hasegawa acerca del tema por medio de la plataforma Zoom. Él completó su doctorado en 
Harvard University con la disertación Just Intervals and Tone Representation in 
Contemporary Music. Esta aborda la psicología de la percepción auditiva y cómo es que esta 
informa el análisis musical de compositores como: Claude Debussy, La Monte Young, 
Gerard Grisey, Arnold Schönberg, entre otros. 
En lo que respecta al documento, este se encuentra organizado con base en las 
categorías de División de la Octava en Partes Iguales y Afinación Justa de Haas (2003) y 
Acordes por Proporción Armónica y Música Espectral de Haas (2007), de la siguiente 
manera: Capítulo 1 Clasificación y antecedentes de la música microtonal, Capítulo 2 
Sistemas de afinación y de temperamento igual, Capítulo 3 Música microtonal en 
temperamento igual, Capítulo 4 Música microtonal en afinación justa extendida, Capítulo 5 
Música espectral, Capítulo 6 Aproximaciones desde el análisis musical, Conclusiones, 
Referencias y Anexos. 
Del capítulo 1 al 5 se refleja la exposición de un panorama general acerca de la 
afinación, el temperamento igual y la música microtonal del siglo XX. Esto aporta un marco 
teórico para desarrollar el tema en cuestión de manera concreta, sin desviar la atención del 
lector en discusiones paralelas y afianzando el contexto pertinente al discurso. Después, el 
Capítulo 6 contiene las aproximaciones desde el análisis de 15 obras examinadas. Para esto 
último, se utilizan como referencia las investigaciones de Skinner, Battan, Blake, Boatwright, 
Perison, Elster, Gann, Ahn, Reish, Rose y Hasegawa. Cabe destacar que, los análisis que aquí 
se presentan tienen el propósito de contribuir y enriquecer la comprensión de la música 
microtonal desde la escucha analítica a través del análisis visual y la representación gráfica 
del estudio analítico. 
 
 
14 
 
Capítulo 1. Clasificación y antecedentes de la música microtonal 
 
Los términos “música microtonal”, “microtonalismo” y “microtonalidad” se refieren a 
aquella música que utiliza intervalos más pequeños que el semitono de la escala cromática 
en temperamento igual de 12 tonoso algún otro sistema relacionado a este.1 Asimismo, el 
término “microtono” se utiliza para diferenciar a los intervalos menores que el semitono de 
dicha escala. Cabe mencionar que, este último fue acuñado en 1911 por Maud MacCarthy 
(1882–1967), ya que el término “cuarto de tono” se utilizaba de forma indiscriminada en el 
contexto de la música india.2 Por lo anterior, es posible inferir que antes de 1911 no se 
empleaba el término en cuestión u otro derivado de este. No obstante, el concepto microtonal 
tiene implicaciones desde el desarrollo de los sistemas de afinación y temperamento 
históricos. 
El siglo XX fue una época de rápidos cambios en la tecnología, la sociedad y las artes. 
En lo que respecta a la música, los compositores de este siglo se vieron forzados a competir 
con los compositores del pasado por un espacio en las salas de concierto con el fin de ejecutar 
sus obras. Esto los llevó a aportar un estilo y perspectiva únicos que equilibrasen la tradición 
con los nuevos elementos. 
Por consiguiente, algunos compositores del siglo XX reexaminaron sus supuestos 
básicos acerca de la música y crearon obras con resultados distintos. Así, la música 
microtonal resultó de la reexaminación sonora con base en los principios de los sistemas de 
afinación y temperamento. Para esto, los compositores microtonales se enfocaron en el 
estudio del sonido a través de la partición de la cuerda y desde sus cualidades intrínsecas. 
Esto resultó en nuevos sistemas de afinación y de organización de los tonos, los cuales suelen 
contar con un número mayor a los 12 tonos habituales de la tradición europea. 
La manipulación de los nuevos tonos e intervalos, es decir, de aquellos que no se 
encuentran en la música con 12 tonos, requirió que los compositores microtonales elaboraran 
sus propias teorías con el fin de justificar su propuesta y, por lo tanto, su música. Esto 
conllevó a la revisión de factores como: afinación y temperamento, notación musical, 
 
1 Bridges, B. (2012). Towards a Perceptually – Grounded Theory of Microtonality: Issues in Sonority, Scale 
Construction and Auditory Perception and Cognition. [Tesis para obtener el título de doctor en 
filosofía, National University of Ireland], 21. 
2 Mann, Maud. (1911). Some Indian Conceptions of Music. Proceedings of the Musical Association. Vol. 38, 
1. DOI:10.1093/jrma/38.1.41., 41-65, 58. 
 
15 
 
construcción o modificación de instrumentos musicales, reglas de armonía y contrapunto, 
fundamentos teóricos y organización tonal. 
 
1.1 Tipos de música microtonal. Taxonomías de Haas 
Debido a la gran variedad de música que se etiqueta como microtonal, el compositor austriaco 
Georg Friedrich Haas (n. 1953) realizó dos taxonomías para distinguir las distintas 
aproximaciones teóricas y prácticas que se relacionan con esta etiqueta. 
En la primera taxonomía, realizada en el 2003, Haas organizó a los diferentes tipos 
de música microtonal de la siguiente manera:3 
1. División de la octava en partes iguales 
2. Proporciones armónicas/Afinación justa 
3. Klangspaltung 
4. Microtonalidad aleatoria 
 
Posteriormente, en 2007, Haas realizó una segunda taxonomía4 para la música 
microtonal que se desarrolló a partir de 1980. Esta segunda clasificación es la siguiente:5 
1. Escalas: 
a. Escalas no europeas 
b. División de la octava en partes iguales 
c. Escalas construidas irregularmente 
2. Acordes por proporción armónica y música espectral 
3. Klangspaltung 
4. Microtonalidad aleatoria 
 
La relevancia de las taxonomías de Haas se debe a que estas permiten organizar a la 
música microtonal desde sus cualidades esenciales. Por ello, estas clasificaciones facilitan el 
 
3 Hasegawa, R. (2015). Clashing Harmonic Systems in Haas’s Blumenstück and in Vain, Music Theory Spectrum, 
Vol. 37, No. 2, 204-223, 3. 
4 Esta reorganización se debe, principalmente, a que Haas reconsideró la relación existente entre lo vertical y 
lo horizontal, es decir, entre armonía y escalas. Por ello, la dicotomía entre las primeras dos 
clasificaciones de la taxonomía del 2003 fue abandonada. Así, la taxonomía del 2007 sugiere que Haas 
terminó por considerar a las Proporciones armónicas y a la Afinación justa dentro de la concepción 
de escalas, en lugar de armonía. 
5 Loc. Cit. 
 
16 
 
estudio y comprensión de la música microtonal. Con especto a la “división de la octava en 
partes iguales”, la cual se presenta en ambas taxonomías, hace referencia a los 
“temperamentos iguales”. Técnicamente, el temperamento igual de 12 tonos (12-TET)6 es 
parte de esta clasificación. Sin embargo, esta categoría suele referirse a aquellas escalas que 
se forman a partir de un número mayor a los 12 tonos tradicionales de la escala cromática. 
Por ejemplo, los cuartos de tono, los cuales generan 24 tonos por octava (24-TET). 
Por otro lado, la “afinación justa” y “escalas construidas irregularmente” (como se 
presenta en la primera y segunda taxonomía, respectivamente) hacen referencia al uso de 
proporciones armónicas que distribuyen a los tonos en intervalos irregulares. Esto genera la 
presencia de dos o más intervalos con nombres similares, pero con diferentes distancias. Por 
lo tanto, es posible encontrarse con intervalos como: segunda mayor “grande”, segunda 
mayor “pequeña”, semitono cromático y semitono diatónico. Con respecto a los semitonos, 
a diferencia del temperamento igual, el primero es más grande que el segundo. 
Históricamente, la afinación justa precede al temperamento igual. Sin embargo, de manera 
similar a este último, es posible utilizar a la afinación justa en un contexto con 12 tonos. Por 
ello, se suele utilizar el término “afinación justa extendida” para expresar que se ha 
sobrepasado la cantidad de tonos mencionados con anterioridad. 
La “música espectral” o “espectralismo”, al igual que la afinación justa, utiliza las 
proporciones armónicas para llevar a cabo la organización de los tonos y de las estructuras 
armónicas. Su característica principal consiste en el análisis espectral del sonido por medio 
de software que permiten descomponer el timbre. En cambio, la afinación justa se caracteriza 
por el uso de métodos geométricos y de instrumentos mecánicos como el monocordio. Por 
tales motivos, la música espectral presenta microtonos con un origen significativamente 
diferente en relación con la música que se genera a través de la afinación justa. 
Con respecto a las últimas dos categorías de ambas taxonomías, Klangspaltung se 
refiere al efecto psico-acústico que “divide al sonido”, el cual se genera por el batimiento 
creado por la cercanía entre tonos concretos. Sin embargo, cabe señalar que este término no 
es utilizado de manera generalizada por otros compositores.7 Por último, la “microtonalidad 
 
6 Del inglés 12 Tone Equal Temperament. También suele encontrarse como 12 Equal Division of the Octave 
(12-EDO). 
7 Ver Anexo 2. Entrevista al Dr. Robert Hasegawa. Para más información acerca de las taxonomías de Haas y 
su relevancia. 
 
17 
 
aleatoria” es el resultado de diferentes técnicas, como lo son: multifónicos, pianos preparados 
o notación indeterminada (ej. el glissando). 
 
1.2 Antecedentes históricos de la música microtonal 
El término “microtonal” surge para distinguir a los intervalos que ocurren en las músicas no 
occidentales que utilizan divisiones de la octava distintas al temperamento igual de 12 tonos. 
No obstante, este término también aplica a la música griega y su teoría de géneros, ya que 
estas no se encuentran en dicho temperamento. Por ello, este apartado aborda algunos casos 
históricos que se revisan desde este concepto, como lo son: el clavecín con 19 tonos de 
Gioseffo Zarlino (1517–1590) y el archicémbalo con 31 tonos de Nicola Vicentino (1511–
1572). Así, se busca contextualizar y justificar a las practicas musicales del siglo XX que se 
abordan en los capítulos 3, 4 , 5 y 6. 
 
1.2.1 El clavecín con 19 tonosde Gioseffo Zarlino 
Al igual que otros teóricos del renacimiento, Gioseffo Zarlino basó su sistema de afinación 
en autores como Boecio y Ptolomeo. Por ello, utiliza el modelo griego del sýstema 
ametábolon en los tres géneros (diatónico, cromático y enarmónico) para construir escalas.8 
Además, cuando Zarlino explica los intervalos de ditono 81/64 y tercera mayor con 
proporción 5/4, prefiere a este último, ya que, según él, es el más consonante por su relación 
con el senario.9 
El senario de Zarlino10 consiste en restringir las consonancias hasta los primeros seis 
números naturales, los cuales corresponden a los primeros seis parciales de la serie armónica. 
En la época de Zarlino, el número seis tenía un significado metafísico al estar presente en: 
los seis lados de un cubo, los seis planetas (conocidos en aquel tiempo) y los seis días de la 
creación. Por estas y otras razones, los intervalos con proporciones 2/1, 3/2, 4/3 5/4 y 6/5 
eran considerados consonancias perfectas simples, ya que se consiguen a través de la 
manipulación de los primeros seis números naturales.11 
 
8 Sukljan, N. (2017). Zarlino’s Harpsichord: A Contribution to the (Pre)History of Equal Temperament. 
Musicological annual, LIV/1, 5-22. DOI: 10.4312/mz.54.1.5-22., 6-7. 
9 Zarlino. G. (3a Ed.) (1573). Instituzioni Armoniche. Venice: De Franceschi. Recuperado de: IMSLP106837-
PMLP156553-le_istituzioni_harmoniche.pdf, 188. 
10 Zarlino lo llamó numero senario. Sin embargo, en el estado de la cuestión suele encontrase solamente como 
“el senario”. 
11 Christensen, T. op. Cit., 74. 
http://conquest.imslp.info/files/imglnks/usimg/3/37/IMSLP106837-PMLP156553-le_istituzioni_harmoniche.pdf
http://conquest.imslp.info/files/imglnks/usimg/3/37/IMSLP106837-PMLP156553-le_istituzioni_harmoniche.pdf
 
18 
 
Zarlino concluyó que la afinación pitagórica (a la que llamó especie diatónico 
diatono) no era la más adecuada para la música de su época, ya que utiliza el ditono 81/64. 
En su lugar, estaba convencido que la afinación justa (a la que llamó diatonico syntono o 
Naturale) era la mejor opción para la música vocal, pues contiene a los intervalos de tercera 
mayor 5/4 y tercera menor 6/5. Estos intervalos, según él, son más placenteros al oído por su 
naturaleza explicita en el senario.12 
Los problemas de la afinación justa aparecen en torno a la música instrumental.13 Por 
ello, Zarlino notó que no es posible aplicar este sistema en los instrumentos de teclas o de 
trastes de tal forma que permitan la modulación a todas las tonalidades. Para solucionarlo, 
ajustó los intervalos de la afinación justa de manera que: cada quinta justa se disminuye 2/7 
de coma sintónica,14 las terceras mayores se disminuyen 1/7 de la misma coma y la segunda 
mayor con proporción 9/8 en 4/7 de coma.15 Así, el ciclo de quintas justas se “cierra”, lo que 
permite la modulación a otras tonalidades. Este temperamento es llamado “temperamento 
mesotónico” (TM).16 
No obstante, dicho temperamento también conlleva ciertas desventajas, puesto que, 
en función de la distribución de los intervalos y la reducción de estos, existe una quinta que 
es más grande que las demás, llamada “quinta del lobo”. Cabe destacar que, esta suele 
evitarse si se sitúa en algún lugar que no afecte a la composición (usualmente la quinta entre 
C# y G o G# y D#).17 
En 1548, Zarlino encargó a Domenico da Pesaro (1533–1575) un clavecín en el que 
fuera capaz de tocar el TM en género cromático y enarmónico (ver fig.1).18 Para esto se 
instalaron las teclas blancas para el género diatónico y las teclas negras pequeñas para el 
género cromático. En adición, se le agregó otro conjunto de teclas blancas pequeñas con el 
propósito de facilitar la ejecución del género enarmónico.19 De esta manera se obtienen los 
 
12 Sukljan, N. op. Cit., 11-12. 
13 Ver capítulo 2.4.1 Ventajas e inconvenientes de las afinaciones y clasificación de los temperamentos. Para 
más información acerca de los problemas prácticos de las afinaciones. 
14 Ver capítulo 2.3.4 Coma sintónica. Para más información acerca de la discrepancia en cuestión. 
15 Sukljan, N. op. Cit., 18-19. 
16 Su nombre se debe a que el intervalo de segunda mayor de este temperamento se encuentra en medio del 
tono mayor grande 9/8 y el tono menor pequeño 10/9. 
17 Loc. Cit. 
18 Ver capítulo 2.2.4 Género cromático y enarmónico. Para más información acerca de los géneros de 
melodías. 
19 Sukljan, N. op. Cit., 20-21. 
 
19 
 
19 tonos de la colección del género diatónico, cromático y enarmónico del sýstema 
ametábolon. 
 
Figura 1. Clavecín con 19 tonos por octava. 
Tomada de: “Le Institutione Harmoniche” por Zarlino, G. (1a Ed.). 1558, 141. 
 
Con respecto al clavecín de Zarlino, las terceras mayores se encuentran reducidas 1/7 
de coma sintónica, por lo que es posible dividirlas en dos segundas mayores con medida de 
191.6 cents cada una. A su vez, es posible dividir a ambas segundas en dos diferentes 
semitonos, uno diatónico de 120.93 cents y uno cromático de 70.67 cents. En consecuencia, 
el semitono diatónico se divide en una diesis mayor de 70.67 cents y una diesis menor de 
50.26 cents.20 
Por estas subdivisiones, el clavecín altera cromáticamente en distancias iguales de 
70.67 cents cuando se utilizan los signos de sostenido y bemol. Por ello, los tonos C# y Db 
no comparten la misma frecuencia y, por lo tanto, le corresponde una tecla pequeña diferente 
para cada uno. Así, al alterar con un sostenido al tono C su frecuencia se eleva en un semitono 
cromático (70.67 cents). En cambio, al alterar con un bemol al tono D desciende en la misma 
cantidad. Por ello, ambos se posicionan dentro del espacio del int(C, D) = 191.6 cents. Para 
 
20 Loc. Cit. 
 
20 
 
finalizar, en la fig. 2 se muestran estos intervalos gráficamente. Además, se agrega el 
intervalo que ocurre entre ambos tonos (C# y Db), llamado diesis menor = 50.26 cents. De 
esta manera, se representa una de las practicas históricas que hoy en día podemos etiquetar 
como “microtonal”. 
 
Figura 2. División del tono en el temperamento mesotónico usado en el clavecín de Zarlino. 
 
1.2.2 Archicémbalo con 31 tonos de Nicola Vicentino 
En 1555, el compositor y teórico italiano Nicola Vicentino publicó su tratado L’Antica 
Musica Ridotta ala Moderna Prattica. En este tratado Vicentino expuso su búsqueda para 
combinar la expresividad del género enarmónico griego con las prácticas polifónicas de su 
época. Por ende, desarrolló un arciórgano y un archicémbalo a fin de poner en práctica su 
teoría. En el archicémbalo dividió a la octava en 31 diesis, cada una igual a 1/5 de tono. Así, 
Vicentino aclamó que le era posible interpretar “todas las canciones y aires de acuerdo con 
el idioma de todas las naciones del mundo”.21 
En teoría, el archicémbalo se encuentra en TM, pero a diferencia de Zarlino, quien 
dividió a la coma sintónica en 7 partes, Vicentino recurre a la práctica habitual del TM en 
cuartos de coma.22 Este instrumento dispone de los intervalos de la afinación justa y los 
intervalos de los tres géneros de melodías. Esto último es posible, puesto que cuenta con dos 
teclados, uno inferior de 19 teclas por octava y otro superior con 17. Esta versatilidad lo hace 
comparable a los instrumentos en temperamento igual, ya que es posible modular a cualquier 
 
21 Kaufmann, H. (1961). Vicentino’s Arciorgano: An Annotated Translation. Journaly of Music Theory, Vol. 5, 
No.1 32-53. 
22 La primera descripción práctica del temperamento mesotónico en cuartos de coma se adjudica a Pietro 
Aron (1480–1545). No obstante, el teórico y organista español Francisco Salinas (1513–1590) fue el 
primero en describir este temperamento de forma matemática. 
 
21 
 
tonalidad. Sin embargo, es difícil conocer la afinación exacta del instrumento, ya que 
Vicentino no determinó los intervalos de forma cuantitativa.23 
Vicentino describe una división del tono en cinco partes (cinco diesis).La notación 
que utilizó consiste en un punto (similar al signo de articulación staccato) sobre la nota para 
indicar que el intervalo se ha aumentado en 1/5 de tono. Cabe mencionar que, las notas 
afectadas por este símbolo se encuentran en las teclas blancas y negras pequeñas del teclado 
superior. A pesar de ello, el segundo teclado tiene una afinación difícil de determinar a partir 
de la explicación de Vicentino.24 
Los dos teclados del archicémbalo se encuentran organizados en seis filas (tres filas 
para cada teclado) de abajo hacia arriba (ver fig. 3). El teclado inferior se encuentra dividido 
en 19 partes con las notas diatónicas en la primera fila (teclas blancas), las notas cromáticas 
habituales en la segunda fila (teclas negras pequeñas) y las notas enarmónicas en la tercera 
fila (teclas blancas pequeñas), afinadas en el temperamento mesotónico estándar de 1/4 de 
coma sintónica.25 
 
Figura 3. Representación del doble teclado en el archicémbalo de Vicentino. 
Nota: El punto sobre las notas altera su altura en 1/5 de tono ascendente. En cambio, el asterisco ubicado en 
las notas de la sexta fila indica que se encuentran media diesis más aguda que la primera fila. 
 
 
23 Goldáraz, J. op. Cit., 130-132. 
24 Loc. Cit. 
25 Loc. Cit. 
 
22 
 
La cuarta fila es similar a la primera, aunque se encuentra una diesis de 1/5 de tono 
ascendente. De manera similar, las notas de la quinta fila se encuentran a una diesis superior, 
pero con relación a la segunda y tercera fila. Esta disposición divide al tono en cinco partes 
y a la octava en 31 partes (6 tonos divididos en 5 diesis más una limma).26 Por esta razón, 
aunque el archicémbalo cuenta con 36 teclas en total, la solución de Vicentino en realidad 
ofrece 31 tonos por octava, por lo que suele compararse con la versión del temperamento 
igual con 31 tonos (31-TET). 
Por último, la sexta fila se encuentra una media diesis más aguda que la primera, lo 
que la ubica entre la primera y la cuarta fila. Su propósito es el de ofrecer aquellos intervalos 
en proporciones armónicas que sus homónimos no pueden (primera y cuarta fila). No 
obstante, Vicentino no ofrece especificaciones matemáticas para determinar las frecuencias 
del instrumento en cuestión, por lo tanto, no es posible determinar si las relaciones de quinta 
justa 3/2, tercera mayor 5/4 y tercera menor 6/5 se mantienen al mismo tiempo que se 
encuentran temperadas.27 
 
26 Loc. Cit. 
27 Loc. Cit. 
 
23 
 
Capítulo 2. Sistemas de afinación y de temperamento igual 
 
En este capítulo se abordan la afinación pitagórica, la afinación justa y el temperamento igual 
de 12 tonos (12-TET) con el propósito de generar un entendimiento contextualizado del 
comienzo de la música microtonal. Aparte de lo anterior, se revisa la teoría musical griega 
sobre las escalas y géneros (diatónico, cromático y enarmónico), ya que en ellas se incluyen 
tonos e intervalos dentro de la denominación microtonal. Además, se abordan conceptos 
como la serie armónica, consonancia, géneros y discrepancias, puesto que estos sustentan el 
pensamiento de los compositores microtonales. También, se consideran las ventajas e 
inconvenientes de las afinaciones y del temperamento igual de 12 tonos. Por último, se 
comparan las afinaciones y el temperamento igual entre sí a través del cálculo de cents. 
 
2.1 Fuentes históricas 
La construcción de la escala diatónica se le atribuye a Pitágoras de Samos (569–475 a. C.).28 
Este pensador y su maestro, Tales de Mileto (570–497 a. C), representan las bases del 
pensamiento matemático en la cultura occidental posterior. Los primeros documentos que se 
disponen y que se relacionan con la doctrina pitagórica son fragmentos atribuidos a Filolao 
de Crotona (s. V a. C.) y Arquitas de Tarento (s. IV a. C.). Este último elaboró una de las 
primeras divisiones del canon29 en los tres géneros de melodías (diatónico, cromático y 
enarmónico). 
Los primeros escritos griegos sobre la harmonica30 datan de finales del s. IV a. C. 
Entre estos tratados se encuentran Elementa Musica de Aristoxeno (375–360 a. C.), Secto 
Canonis (s. III a. C.), el cual es atribuido a Euclides (pero se desconoce con certeza a su 
autor)31 y Eisagōgē harmonikē (entre el s. IV y III a.C.) de Cleónides. 
 
28 Campos, M. (2011). Afinador de Temperamentos Históricos. [Tesis para obtener el título de Físico, Universidad 
Nacional Autónoma de México]. Repositorio Internacional de la UNAM, 5. 
29 Entiéndase al “canon” en relación con el monocordio, el cual es un instrumento de una sola cuerda adecuado 
para la producción de tonos musicales y la medición comparativa entre estos a través de las distancias 
presentadas por la cuerda que los produce y sus segmentaciones. En este sentido, el término se 
refiere al conjunto de divisiones posibles de la cuerda a través de la manipulación del monocordio. 
30 En el estado de la cuestión en música de la Antigua Grecia, se usa el término harmonica para referirse al 
hecho musical en sí mismo. Considérese que, en este sentido, la música existe en tanto que es 
percibida por los sentidos, recordada por la memoria y analizada por la mente. 
31 Mathiesen, T. (2008). Greek Music Theory. En Christensen, T. The Cambridge History of Western Music Theory 
(p. 109-135). United Kingdom: Cambridge University Press, 112. 
 
24 
 
El tratado de Aristoxeno es una pieza fundamental para comprender las divisiones del 
canon y los géneros melódicos, aunque se encuentra incompleto. Por otro lado, Secto Canonis 
se conserva de manera integral y es un ejemplo de la tradición denominada pitagórica-
platónica, la cual plantea el uso de la geometría para explicar el comportamiento de las 
cuerdas. A partir de ambos tratados es posible hablar de dos tradiciones relevantes en el 
estudio de la harmonica griega: la escuela aristoxénica y la escuela pitagórica.32 
Al principio de la era cristiana, apareció otra serie de tratados importantes sobre la 
harmonica: Manuale Harmonices de Nicómaco de Gerasa (50–100 d. C.), Harmonica de 
Claudio Ptolomeo (48–127 d. C) y Perì Musikês de Aristides Quintiliano (III–IV d. C.). En 
ellos se citan divisiones de tetracordios de tratados anteriores y numerosas referencias a la 
escuela pitagórica.33 
En el medioevo, Anicio Manlio Severino Boecio (480–525 d. C.) fue el académico 
más prolífico e influyente de la tradición platónica. Su tratado De Institutione Musica tienen 
una marcada influencia de los escritos de Euclides, Nicómaco y Ptolomeo. Boecio contribuyó 
a transmitir la interpretación pitagórica y sus desarrollos en la Teoría de Proporciones al 
difundir los procedimientos para la división del monocordio.34 
En lo que respecta al estudio de los tratados que se escribieron entre los años 1000 y 
1500 d. C., se toma como referencia la investigación Mensura Monochordi (1996) de 
Christian Meyer, en la cual se examina el corpus canónico de ese periodo. En este estudio se 
abarcaron 143 ejemplares y se clasifican las divisiones del canon en tres grandes grupos: 
género diatónico con afinación pitagórica, género diatónico con afinación justa y los que 
involucran a los géneros cromáticos y enarmónicos.35 
Entre los tratados más destacados que abarca Meyer se encuentran: Magadis in 
Utraque Parte (1000), Dialogus de Musica (1000) de Odo, Micrologus (1025–26) de Guido 
de Arezzo, In Primis Divide (s. XII), Lucidarum in Arte Musicae Planae (1316–17) de 
 
32 García, A. op. Cit., 33. 
33 Loc. Cit. 
34 Bower, C. (2008). The Transmission of Ancient Music Theory into the Middle Ages. En Christensen, T. The 
Cambridge History of Western Music Theory (pp. 136-167). United Kingdom: Cambridge University 
Press, 141. 
35 Herlinger, J. (2008). Medieval Canonics. En Christensen, T. The Cambridge History of Western Music Theory 
(pp. 168-192). United Kingdom: Cambridge University Press, 170. 
 
 
25 
 
Marchetto de Padua, Musica Practica (1482) de Ramos de Pareja yPractica Musica (1496) 
de Franchino Gaffurio (1451–1522). 
Por último, sobre la división del canon posterior al año 1500, se encuentran las 
siguientes tratados: Musica Theorica (1529) de Lodovico Fogliano, Scintille de Musica 
(1533) de Giovanni María Lanfranco (1490–1545), el tratado Dodecachordon (1547) de 
Henrich Glareanus (1488–1563), L’Antica Musica Ridotta ala Moderna Prattica (1555) de 
Nicola Vicentino (1511–1576) e Institutioni Harmoniche (1558) de Gioseffo Zarlino (1517–
1590). De estos, los últimos dos incluyen exploraciones sobre teclados con más de 12 tonos 
por octava. 
 
Tabla 1. Algunos tratados históricos sobre la afinación y el temperamento 
Autor Fecha Nombre del Texto 
Aristoxeno 375–360 a. C. Elementa Musica 
Anónimo (Euclides) siglo III a. C. Secto Canonis 
Cleónides III–IV a.C. Eisagōgē Harmonikē 
Nicómaco 50–100 d.C. Manuale Harmonices 
Ptolomeo 48–127 d.C. Harmonica 
Quintiliano III–IV d. C. Perì Musikês 
Boecio 480–525 d. C. De Institutione Musica 
Anónimo 1000 d. C. Magadis in Utraque Parte 
Odo 1000 d. C. Dialogus de Musica 
Guido de Arezzo 1025/26 d. C. Micrologus 
Anónimo s. XII d. C. In Primis Divide 
Marchetto de Padua. 1316/17 Lucidarum in Arte Musicae Planae 
Ramos de Pareja 1482 d. C. Musica Practica 
Franchino Gaffurio 1496 d. C. Practica Musica 
Lodovico Fogliano 1529 d. C. Musica Theorica 
Giovanni María Lanfranco 1533 d. C. Scintille de Musica 
Henrich Glareanus 1547 d. C. Dodecachordon 
Nicola Vicentino 1555 d. C. L’Antica Musica Ridotta ala Moderna Prattica 
Gioseffo Zarlino 1558 d. C. Institutioni Harmoniche 
 
 
26 
 
2.2 Afinación pitagórica 
2.2.1 Escala diatónica pitagórica 
La palabra “afinación” se utiliza para describir sistemas como el pitagórico y el justo, ya que 
todos sus intervalos se expresan en el lenguaje de proporciones o por razones numéricas. En 
cambio, el término “temperamento” se utiliza para describir un cambio o ajuste en la 
afinación, lo cual requiere de números radicales para expresar por lo menos un par de sus 
intervalos.36 
Para ejemplificar lo anterior, considérese el tratado Practica Musica (1496) de 
Franchino Gaffurio. En este tratado se menciona que los constructores de órganos redujeron 
las quintas justas en una pequeña parte llamada participata. Por esta razón, hoy en día es 
posible suponer que se llevó a cabo algún tipo de temperamento en los órganos de la época 
de Gaffurio en lugar de una afinación. Aunque, en teoría, los instrumentos de teclado de 
aquella época se afinaban bajo la concepción de la afinación pitagórica (AP). 
El intervalo de octava se produce al comparar una cuerda, denominada “unidad”,37 
contra un segmento o división que sea igual a la mitad de la extensión total de la cuerda. En 
el lenguaje de proporciones la razón 2/1 representa esta relación de octava.38 En cambio, al 
tomar una cuerda cuya extensión sea equivalente a dos terceras partes de la unidad se obtiene 
el intervalo de quinta justa con razón 3/2. 
En el tratado Dodecachordon de Glareanus se aborda la construcción de la escala 
diatónica pitagórica mediante la división de la cuerda. Para esto, se restringen los intervalos 
producto de factores mayores al número 3. En otras palabras, las escalas que se crean en AP 
solamente utilizan intervalos de octava y quinta justa con proporción 2/1 y 3/2, 
respectivamente. Así, se respetan los principios pitagóricos, los cuales limitan la división de 
la cuerda en dos, tres, cuatro, y nueve partes.39 Cabe mencionar que, la razón que prohíbe los 
intervalos que utilizan factores primos mayores que 3, como lo son 5 y 7 tiene su fundamento 
 
36 Barbour, J. (2004). Tuning and Temperament: A Historical Survey. Nueva York: Dover Publication, 5. 
37 Representada por la razón 1/1. 
38 En el lenguaje de proporciones, el orden de los números varía en función de la connotación. Es decir, si 
hace alusión a la longitud de una cuerda o a la altura del sonido que genera la cuerda. Y, ya que las 
proporciones también representan intervalos, el orden denota sentido ascendente o descendente. En 
esta disertación se usarán todas estas opciones según sea necesario. 
39 Rasch, R. (2008). Tuning and Temperament. En Christensen, T. The Cambridge History of Western Music 
Theory (pp. 193-222). United Kingdom: Cambridge University Press, 196. 
 
27 
 
en un ámbito puramente matemático. Esto último se refleja en el misticismo entorno al 
tetraktys.40 
Para entender el procedimiento de Glareanus es útil considerar que en la teoría 
musical tradicional dos quintas justas en el mismo sentido resultan en un intervalo compuesto 
de novena mayor. Ello, descrito a través del lenguaje de proporciones se traduce en el 
producto de la razón del intervalo de quinta justa 3/2 consigo mismo, esto es (3/2)(3/2) = 9/4. 
De esta manera se deriva la razón del intervalo de novena mayor, la cual es 9/4 (ver fig. 4). 
 
Figura 4. Adición de dos quintas justas 3/2 a partir del tono C para derivar el intervalo de novena 
mayor 9/4 en el lenguaje de proporciones. 
 
En consecuente, es posible simplificar el intervalo de novena mayor en un segunda 
mayor al disminuir el primero con un intervalo de octava. Así, la octava con razón 2/1 reduce 
el intervalo de novena mayor 9/4 cuando se dividen las proporciones de la siguiente manera: 
(9/4)÷(2/1) = 9/8. De este modo se comprueba que la razón 9/8 es equivalente al intervalo de 
segunda mayor por simplificación. 
Considérese que una cuerda con longitud de 7,776 mm genera una frecuencia (FQ) a 
la que se le llama C.41 A partir del método de Glareanus al dividir la cuerda en nueve partes 
iguales, ocho de estas partes medirán 6,912 mm (7,776 mm/9x8 = 6,912 mm). Este fragmento 
de cuerda se encuentra en relación directa con la proporción 9/8 y el tono que se escucha es 
D a distancia de segunda mayor de C. Expresado de manera algebraica, esto es: 
 
40 Forma triangular que consiste en diez puntos ordenados en cuatro filas: con uno, dos, tres y cuatro puntos 
en cada fila. 
41 La medida de longitud que se ha tomado de referencia es la misma que utiliza Rasch (2008) sobre la 
explicación de Glareanus. Y, ya que es imposible saber con exactitud el diámetro, tensión y densidad 
de la cuerda que utilizó Glareanus para así poder determinar su frecuencia real, se considerará un 
supuesto caso donde estos tres factores concuerden con la frecuencia igual a C que se utiliza en la 
actualidad. 
 
28 
 
 
(8/9)(7,776 𝑚𝑚) = 6,912 𝑚𝑚, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, (9/8)𝐹𝑄(𝐶) = 𝐹𝑄(𝐷).42 
 
Al repetir este procedimiento a partir de FQ(D) el tono que se produce se encuentra 
nuevamente a distancia de segunda mayor. Esto resulta en el tono E, ya que el intervalo de 
segunda mayor se encuentra entre los tonos {C, D} y {D, E}. Y al igual que el primer caso, 
se representa algebraicamente de la siguiente manera: 
 
(8/9)(6,912 𝑚𝑚) = 6,144 𝑚𝑚, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, (9/8)𝐹𝑄(𝐷) = 𝐹𝑄(𝐸). 
 
A partir de lo anterior, es posible derivar el intervalo (int) de tercera mayor. Este 
último equivale a la suma de dos segundas mayores. Por lo tanto, al dividir la cuerda (C) en 
dos intervalos con proporción 9/8 se obtiene la distancia entre C y E, la cual corresponde al 
intervalo de tercera mayor (ver fig. 5). Traducido al lenguaje de proporciones, esto es: 
 
(9/8)(9/8) = 81/64 𝑜 𝑖𝑛𝑡(𝐹𝑄[𝐶], 𝐹𝑄[𝐸]) = 81/64.43 
 
El intervalo de cuarta justa corresponde a la distancia entre la unidad (C) y el tono F. 
Este último se encuentra cuando la cuerda se divide en cuatro partes iguales y tres de estas 
partes generan al tono en cuestión (F). Por ello, la proporción 4/3 representa al intervalo de 
cuarta justa. En lenguaje algebraico esto es: 
 
(3/4)(7,776 𝑚𝑚) = 5,832 𝑚𝑚, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, (4/3)𝐹𝑄(𝐶) = 𝐹𝑄(𝐹). 
 
 
42Esta expresión algebraica se encuentra en dos partes. La primera parte hace referencia a las longitudes de 
las cuerdas, la segundacorresponde a las frecuencias de dichas cuerdas. La primera parte, indica la 
medida del segmento que divide a la longitud total de la cuerda, es decir, 8 partes de 9. La segunda 
parte, indica que al aplicar la proporción 9/8 a la frecuencia C se convierte en la frecuencia D. Además, 
téngase en cuenta que la frecuencia de dicha cuerda es inversamente proporcional a su longitud y 
viceversa. 
43 Similar a las expresiones anteriores, la primera parte indica que al multiplicar la razón 9/8 consigo misma 
resulta en la proporción 81/64. Por lo tanto, en la segunda parte se expresa que el intervalo de las 
frecuencias C y E se encuentra en proporción 81/64. 
 
29 
 
Figura 5. Adición de dos segundas mayores 9/8 a partir del tono C para derivar el intervalo de 
tercera mayor 81/64 en el lenguaje de proporciones. 
 
Como se mencionó anteriormente, el intervalo de quinta justa se representa con la 
razón 3/2. Esta se invierte en el lenguaje de proporciones en una cuarta justa de manera 
análoga a la teoría musical tradicional. Para ello, se invierte una proporción en su 
complemento44 por medio de una división siempre y cuando se cumplan dos condiciones: 
que el intervalo de octava sea la primera proporción en la operación y que la segunda 
proporción sea un intervalo simple. En el caso de la quinta justa o cuarta justa se expresa de 
la siguiente manera: 
 
(2/1) ÷ (3/2) = 4/3, 𝑜 𝑣𝑖𝑐𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎, (2/1) ÷ (4/3) = (6/4) ÷ (2) = 3/2.45 
 
Las longitudes, tonos y proporciones utilizadas hasta ahora corresponden al tetracorde 
inferior de la escala diatónica de do mayor = {C, D, E, F}. Cabe destacar que, los intervalos 
utilizados, en principio, son solamente la octava 2/1 y la quinta justa 3/2. Los demás 
intervalos se consiguen por adición, sustracción o inversión. La novena mayor 9/4 se deriva 
de la superposición de dos quintas justas 3/2; la segunda mayor 9/8 se simplifica al dividir la 
novena mayor 9/4 a través de un octava 2/1; la tercera mayor es el resultado de la 
superposición o adición de dos segundas mayores 9/8; y la cuarta justa 4/3 es la inversión de 
la quinta justa 3/2. 
 
44 Un complemento es el intervalo que, cuando se agrega el intervalo original, abarca una octava en total. Por 
ejemplo, una quinta justa (ej. C, G) es el complemento de una cuarta justa (ej. G, C). El complemento 
de cualquier intervalo también se conoce como su inverso o inversión. 
45 En el segundo caso la razón 6/4 se ha simplificado en la proporción 3/2 a través del número común 2. 
 
30 
 
Por otro lado, el tetracorde superior de la escala diatónica de do mayor = {G, A, B, 
C} se encuentra cuando se aplica el intervalo de quinta justa 3/2 a la longitud inicial. A partir 
de esta, se repite el mismo procedimiento aplicado a la cuerda inicial. Entonces, esto es: 
 
(2/3)(7,776 𝑚𝑚) = 5, 184 𝑚𝑚 𝑜 (3/2)𝐹𝑄(𝐶) = 𝐹𝑄(𝐺), 
(8/9)(5,184 𝑚𝑚) = 4,608 𝑚𝑚 𝑜 (9/8)𝐹𝑄(𝐺) = 𝐹𝑄(𝐴), 
(8/9)(4,608 𝑚𝑚) = 4, 096 𝑚𝑚 𝑜 (9/8)𝐹𝑄(𝐴) = 𝐹𝑄(𝐵). 
 
De esta manera, el procedimiento aplicado a la cuerda FQ(C) = 7,776 mm es 
homólogo al método de Glareanus, u otro pitagórico, a fin de obtener la escala diatónica a 
través del monocordio. Así, la escala diatónica pitagórica de do mayor = {C, D, E, F, G, A, 
B}, la cual se obtuvo por el procedimiento descrito, es la misma en lo que respecta a nombres 
e intervalos. Cabe mencionar que, no es posible saber con certeza la altura que le 
correspondía a estos tonos en aquella época, debido a las limitaciones tecnológicas de aquel 
tiempo. 
Sin embargo, con el propósito de comparar esta escala con la escala de la afinación 
justa (AJ) y la del temperamento igual (TI), se repetirá el mismo procedimiento a partir de la 
FQ(A5) = 440 Hz, pues es la referencia para la afinación estándar actual.46 Para ello, es 
necesario derivar el intervalo de sexta mayor por medio de la adición del intervalo de quinta 
justa y segunda mayor, esto es: (3/2)(9/8) = 27/16. Después, se intercambia el antecedente y 
el consecuente para cambiar el sentido del intervalo de ascendente a descendente. Así, se 
obtiene el valor de FQ(C) en hercios: 
 
(16/27)𝐹𝑄(440) = 260.74 𝐻𝑧 𝑜 (16/27)𝐹𝑄(𝐴5) = 𝐹𝑄(𝐶5).47 
 
A partir del nuevo valor, FQ(C5) = 260.74 Hz, es posible repetir el mismo 
procedimiento realizado a la longitud de la cuerda imaginaria inicial con longitud 7,776 mm, 
 
46 Nótese que aquí se ha utilizado la palabra “afinación” para referirse a una frecuencia, tono o altura que se 
utiliza como punto de partida para ajustar las demás frecuencias según el sistema de afinación o 
temperamento en cuestión. 
47 Nótese que en ambas partes de esta expresión el número mayor de la proporción 27/16 se encuentra a la 
derecha, en lugar de la izquierda. Esto se debe a que antes, la primera parte indicaba la longitud. En 
cambio, en este caso ambas partes hacen referencia a la frecuencia. Por lo tanto, así es posible 
expresar que el intervalo se encuentra en sentido descendente en lugar de ascendente. 
 
31 
 
aunque en esta ocasión se calcularán las frecuencias modernas que corresponden a la escala 
diatónica pitagórica ubicada en el índice central, como se muestra a continuación: 
 
(1/1)𝐹𝑄(𝐶5) = 𝐹𝑄(260.74) = 𝐹𝑄(𝐶5), 
(9/8)𝐹𝑄(𝐶5) = 𝐹𝑄(293.33) = 𝐹𝑄(𝐷5), 
(9/8)𝐹𝑄(𝐷5) = 𝐹𝑄(329.99) = 𝐹𝑄(𝐸5), 
(4/3)𝐹𝑄(𝐶5) = 𝐹𝑄(347.65) = 𝐹𝑄(𝐹5), 
(3/2)𝐹𝑄(𝐶5) = 𝐹𝑄(391.11) = 𝐹𝑄(𝐺5), 
(9/8)𝐹𝑄(𝐺5) = 𝐹𝑄(440) = 𝐹𝑄(𝐴5), 48 
 (9/8)𝐹𝑄(𝐴5) = 𝐹𝑄(495) = 𝐹𝑄(𝐵5). 
 
Tabla 2. Escala diatónica pitagórica 
Nombre del tono: C5 D5 E5 F5 G5 A5 B5 
Frecuencia en Hz: 260.74 293.33 329.99 347.65 391.11 440 495 
Intervalo: 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 
Nota: Los intervalos se representan en el lenguaje de proporciones con relación a la fundamental C5 = 260.74 
Hz = 1/1. 
 
2.2.2 Aproximación a la teoría musical griega 
Los términos “diatónico”, “cromático” y “enarmónico” derivan de conceptos griegos 
vinculados a la teoría musical de géneros conocida por Arquitas (s. IV a. C.) desde la Antigua 
Grecia. Estos se utilizan para describir las escalas que se forman en los tres géneros de 
melodías y los tres tipos de tetracordios49 que se encuentran en estas. Ellos se diferencian 
según la posición de dos tonos considerados móviles.50 Por otro lado, en los tres coincide el 
intervalo diatessaron51 o de cuarta justa con razón 4/3, el cual es el intervalo consonante52 
 
48 Téngase en cuenta que el resultado exacto es 439.99 Hz, pero se ha redondeado a su versión estándar A = 
440 Hz. 
49 En esta disertación se usa el término “tetracordio” para referirse a la estructura fija de cuarta justa de la 
teoría musical griega. En cambio, el término “tetracorde” es utilizado para referirse a cualquier 
conjunto de cuatro tonos sin hacer referencia directa a la teoría en cuestión. 
50 García, A. (2020). Los Conceptos “Diatónico”, “Cromático” y “Enarmónico” a lo Largo de la Historia. 
Cuadernos de Música Iberoamericana, Vol. 33, 305-328. DOI: https://dx.doi.org/10.5209/cmib. 71699, 
312-313. 
51 A través de cuatro notas. 
52 Las otras dos consonancias del sistema en los tres géneros son: diapasón (a través de ocho notas) u octava 
justa y diapente (a través de cinco notas) o quinta justa. 
https://dx.doi.org/10.5209/cmib.%2071699
 
32 
 
más pequeño de esta teoría y funciona como estructura fija para la organización de 
tetracordios del sýstema ametábolon (ver fig. 6). 
Figura 6. Sýstema ametábolon. Conjunto del sýstema teleion (hýpaton, méson, diezeugménon y 
hyperbolaíon) y del sýstema metábolon (hýpaton, méson y synemménon). 
Adaptada de: “Ancient Greek Music. A New Technical History” por Hagel, S. 2009, 6. 
 
Dicho sistema consiste en la unión de los sistemas teleion y metábolon. El primero 
consiste en cuatro tetracordios: hýpaton, méson, diezeugménon e hyperbolaíon. Cabe 
mencionar que, méson y diezeugménon se encuentranseparados por una segunda mayor de 
disyunción llamada diazeuxis con proporción 9/8. El segundo sistema consiste en los 
tetracordios hýpaton, méson y synemménon. Sin embargo, este último tetracordio no se 
encuentra separado del tetracordio méson, en contraste con la disyunción que tienen los 
tetracordios méson y diezeugménon en el sistema teleion. Cabe destacar que, el tono 
 
33 
 
posicionado en el centro del sistema teleion se llama mése y se encuentra en los tetracordios 
méson y synemménon, por lo que, también es llamado synaphé (tono de unión).53 
 
2.2.3 Género diatónico 
La mayoría de los cánones medievales pertenecen al género diatónico, mientras que, de las 
143 divisiones del canon que Meyer presenta sólo trece divisiones incluyen al género 
diatónico y/o al enarmónico. Además, once de este pequeño grupo son similares a los que 
reporta Boecio en su tratado.54 
En los tres géneros (diatónico, cromático y enarmónico) los dos tonos que delimitan 
el intervalo de cuarta justa 4/3 se consideran fijos (hestotes). En cambio, los dos tonos 
ubicados en la parte central del tetracordio se consideran móviles (keinoumenoi).55 Estos 
últimos caracterizan a cada género según su posición. Por ejemplo, en los tres géneros, la 
díada {e, a’} del tetracordio hiperbolaíon se encuentra fija. Sin embargo, sólo en el género 
diatónico los tonos se posicionan a través de dos intervalos de segunda mayor 9/8 
descendente a partir del tono a’, lo que resulta en los tonos g y f.56 
En el género diatónico los intervalos del conjunto {e, f, g, a’} son seis, sin considerar 
sus complementos. Cabe mencionar que, cuatro de estos intervalos se explicaron en el 
lenguaje de proporciones en el capítulo 2.2.1, aunque a partir de diferentes tonos. Por ello, a 
continuación, se presentan dichos intervalos a partir del conjunto en cuestión: 
 
𝑖𝑛𝑡(𝑒, 𝑎’) = 4/3, 
𝑖𝑛𝑡(𝑓, 𝑔) = 9/8, 
𝑖𝑛𝑡(𝑔, 𝑎’) = 9/8, 
𝑖𝑛𝑡(𝑓, 𝑎’) = 81/64. 
 
 
53 Hagel, S. (2009). Ancient Greek Music. A New Technical History. Nueva York: Cambridge University Press, 5-
6. 
54 Herlinger, J. op. Cit., 184. 
55 Goldáraz, J. (2010). Afinación y Temperamentos Históricos. Madrid: Alianza Editorial, 22. 
56 El procedimiento es similar al que se planteó en la escala diatónica pitagórica. La única diferencia al método 
planteado con anterioridad consiste en el sentido descendente de los intervalos, el cual es típico de 
la teoría en cuestión. 
 
34 
 
Para encontrar los dos intervalos restantes se comienza con el int(e, f). Para ello, es 
necesario substraer el intervalo 81/64 del intervalo 4/3 con el fin de medir el sobrante o 
remanente, llamado limma.57 Por lo tanto: 
 
(4/3) ÷ (81/64) = 256/243, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑖𝑛𝑡(𝑒, 𝑓) = 256/243. 
 
Para el último, el int(e, g) se deriva a través del valor anterior, es decir, por la adición 
de la limma y una segunda mayor, esto es: 
 
(9/8)(256/243) = (2,304/1,944)/72 = 32/27, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑖𝑛𝑡(𝑒, 𝑔) = 32/27.58 
 
Así, se demuestra que el intervalo de segunda menor = int(e, f) en AP tiene una razón 
256/243 y la tercera menor = int(e, g) es igual a la proporción 32/27. Relacionado a esto, en 
Magadis in Utraque Parte se muestra la división de la proslambanómenos (la longitud total 
de la cuerda) en género diatónico de acuerdo con la AP. Según sus indicaciones, la longitud 
total se divide en cuatro partes para producir a mése (a), néte hyperbolaíon (a’) y a likhanós 
hýpaton (D). Los intervalos entre la proslambanómenos (A) y las otras tres son: octava 2/1 
(4/2), doble octava 4/1 y cuarta justa 4/3, respectivamente.59 Los demás grados de la escala 
se consiguen de manera similar a lo que planteó Glareanus en su tratado. 
Cada tetracordio de este género cuenta con los mismos seis intervalos mencionados 
anteriormente. Por lo tanto, es posible resumirlos en la siguiente estructura: un tono 8/9, un 
ditono60 64/81 y una cuarta justa 3/4 descendente a partir del tono superior de cada tetracordio 
(ver fig. 7). Esta organización de alturas e intervalos es la característica particular del género 
en cuestión y representa a la AP de manera estándar. Cabe mencionar que, este género es el 
que habitualmente se asocia con Pitágoras por todos los autores desde los antiguos hasta el 
presente.61 
 
57 Término griego que significa “remanente” y es considerado el semitono diatónico de la AP, aunque no es 
un intervalo en sentido estricto, sino lo que queda después de haber hecho el procedimiento 
adecuado. Filolao lo denomina “diesis” (separación). 
58 En el estado de la cuestión este intervalo se encuentra bajo el nombre trihemitone o tercera menor pitagórica. 
59 Herlinger, J. op. Cit., 171. 
60 Intervalo de tercera mayor del sistema de AP. 
61 Chalmers, J. (1990). Divisions of the Tetrachord. United States: Frog Peak Music, 9. 
 
35 
 
Figura 7. Estructura del tetracordio hyperbolaíon en género diatónico. 
 
Por último, todos los intervalos posibles en este género, sin considerar inversiones, 
son: octava justa 2/1, quinta justa 3/2, cuarta justa 4/3, tercera mayor o ditono 81/64, tercera 
menor o trihemitone 32/27, segunda mayor 9/8, segunda menor 256/243 y cuarta aumentada 
o tritono 729/512. Este último se consigue por adición de tres segundas mayores: 
 
𝑖𝑛𝑡(𝑓, 𝑏) = (9/8)3 = 729/512.62 
 
2.2.4 Género cromático y enarmónico. 
Tanto en la tradición pitagórica como en la aristoxénica se encuentran diversas calificaciones 
sobre los tetracordios, como lo son: malakon (suave), syntonon (intenso), entre otros.63 
Relacionado a lo anterior, Ptolomeo explica que hay dos tipos de género cromático, chroma 
malakon y chroma syntonon, de los cuales el primero es más consonante.64 No obstante, 
existen clasificaciones con distintas divisiones que comparten el mismo nombre cuando se 
comparan entre diferentes autores. Por ejemplo, Aristoxeno también habla del género 
cromático malakon (suave), pero difiere con el género que explica Ptolomeo bajo el mismo 
nombre. En adición, en el siglo XIV Marchetto de Padua planteó nuevos significados para 
los conceptos cromático y enarmónico en su tratado Lucidarium in Arte Musicae Planae 
(1316–17) con el fin de que estos se adaptaran a las prácticas de su tiempo.65 
 
62 Considérese que la proporción (9/8) elevada a la potencia 3 resume la multiplicación de los tres intervalos 
de segunda mayor 9/8. 
63 Goldáraz, J. op. Cit., 22. 
64 Chalmers, J. op. Cit., 8. 
65 García, A. (2020). op. Cit., 315. 
 
36 
 
Por lo anterior, a continuación, se explica el género cromático pitagórico estándar 
(considerados dentro de las antiguas formas pitagóricas).66 Es decir, se aborda el modelo 
general que aporta las bases para la comprensión de los diversos tipos de géneros llamados 
cromático, sin enfatizar alguna clasificación en particular con el fin de evitar confusiones. 
Para ello, considérese a mése (a) en relación con el tetracordio diezeugménon y el tetracordio 
synemménon. También, téngase en cuenta que el int(a, b) = 9/8 es el intervalo de disyunción 
del sýstema teleion y el int(a, bb) = 256/243 corresponde a la limma del tetracordio 
synemménon. Así, es posible calcular la diferencia de estos últimos por medio de una 
sustracción. Esto es: 
 
(9/8) ÷ (256/243) = 2,187/2,048, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑖𝑛𝑡 (𝑏𝑏 , 𝑏) = 2,187/2,048. 
 
El intervalo que resulta se llama apotome y revela que la segunda mayor 9/8 de este 
sistema no se divide en dos partes iguales. Además, es posible comprobar que el apotome o 
semitono cromático es más grande que la limma o semitono diatónico. Por ello, los antiguos 
experimentaron con el intervalo entre la néte hiperbolaíon (a’) y el primer tono móvil 
descendente (g). La manera más habitual de hacer esto es por la adición de dos limmata67 y 
un apotome, o lo que sería lo mismo, una segunda mayor 9/8 y una limma, para así conseguir 
el intervalo trihemitone (tercera menor pitagórica):