Matemáticas y olimpiadas_ Examenes Secundaria Talentos Sigma

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V OLIMPIADA NACIONAL
DE MATEMÁTICA
13 DE DICIEMBRE
CHINCHA - PERÚ
EXAMEN 1° GRADO SECUNDARIA
Al número abc se le restó el número cba, y en 
el resultado se observó que la cifra de unidades 
era el doble de la cifra de centenas. Si: “a + b + 
c” es lo máximo posible. Hallar: “a . b . c”. 
De la división, halle la suma de las cifras del 
dividendo:
* * * * * *
4 6 * * *
* * *
1 1 5
 * *
 2 3
 1 6
A) 19 B) 29 C) 39 D) 49 E) 30 
01
02 Si: AA + DD + UU = ADU.
2 2 2
Calcular: E = A + D - U.
A) 18 B) 20 C) -18 D) 80 E) 40
03 Si se cumple que:
abab = 221.(n)
Hallar el valor de: (3a + b + 2n)
A) 17 B) 13 C) 18 D) 15 E) 21
04
A) 360 B) 324 C) 486 D) 405 E) 432
05 Hallar el valor de “S”
S=1010 + 1010 + 1010 + ..... + 1010(2) (4) (6) (16)
A)5220 B)10440 C)6860 D)6960 E)8352
06 ¿Cuántas personas habrá en un grupo de 
estudiantes de los cuales, 18 estudian 
aritmética, 19 álgebra y 17 geometría; además 
3 estudian aritmética y álgebra, 6 estudiaban 
aritmética y geometría, 7 estudian álgebra y 
geometría pero no aritmética, 2 estudian los 3 
cursos y 12 estudian otros cursos? 
A) 38 B) 39 C) 50 D) 56 E) 58
07 Un estudiante no sabe si comprar 56 hojas de 
papel o por el mismo precio 8 lápices y 8 
lapiceros. Luego decide comprar el mismo 
número de artículos de cada clase. ¿Cuántos 
artículos compró? 
A)20 B) 21 C) 14 D) 24 E) 22
08 Para el grado de:
9
X
-2 -1
.
p 
x x . x ; sea ; “p” 2
3
debe tomar el valor de:
1
3
A) B) C) D) E)9
2
3
4
5
12
12
13
09
A) 30 B) 24 C) 26 D) 28 E) 32
10 Manuel gastó la quinta parte de sus ahorros; 
luego invirtió 1/3 de lo que le quedó más S/. 
450, en comprar una radiola, como tenía 
que pagar una letra de S/. 7 100 debió pedir 
préstamo 1/3 de lo que le quedaba menos 
S/. 460. ¿A cómo ascendía sus ahorros?
A) 11 400 soles B) 7 650 soles
C) 15 300 soles D) 11 475 soles
E) 19 125 soles
11 La suma de 2 fracciones homogéneas es 5, y 
la suma de los denominadores es 14, si el 
producto de los 4 términos es 12 250. Hallar 
la suma de los 4 términos.
A) 70 B) 35 C) 49 D) 20 E) 90
12 Si de un depósito que está lleno 1/2 de lo 
que no está lleno, se vacía una cantidad 
igual a 1/3 de lo que no vacía. ¿Qué parte del 
volumen del depósito quedará con líquido?
A) 1/8 B) 1/12 C) 1/6 
D) 1/2 E) 1/4
13 Se tiene 3 caños para llenar un tanque; el 1° 
lo puede llenar en 72 horas, el 2° en 90 
horas y el 3° en 120 horas. Si estando vacío 
el tanque se abren simultáneamente las 
llaves de los 3 caños. ¿En qué tiempo 
llenarán los 2/9 de los 3/2 del tanque?
A) 10 h B) 11 h C) 5 h 
D) 8 h E) 12 h
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Decir cuántos cuadrados hay en la figura 
mostradaTALENTO
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D
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14 Vicente juega a las cartas, en la primera 
partida pierde 2/5 de lo que tenía, en la 
segunda pierde 5/12 de lo cual le quedaría, 
finalmente en la tercera partida pierde los 3/7 
de lo que aún le quedaba. ¿Qué fracción de lo 
que tenía al principio le queda?
A) 2/3 B) 4/5 C) 2/5 
D) 1/5 E) N.A.
15 Un tonel contiene 80 litros de vino, se extraen 
sucesivamente 5 litros; 10 litros, 15 litros y 20 
litros; reemplazando sucesivamente con agua 
(en cada caso). ¿Qué volumen de vino y agua 
queda al final de la última operación?
A) 30l y 50l B) 20l y 60l C) 40l y 40l 
D) 50l y 30l E) 60l y 20l
Sara le dice a Manuel: “entre tu dinero y el mío 
hacemos 1 125 soles; pero si hubiera recibido 
30% menos, tendrías lo que yo tendría si 
recibiera 20% menos”. ¿Cuánto tiene Manuel?
A) S/. 650 B) S/. 525 C) S/. 600 
D) S/. 500 E) S/. 580
16
Una señora compra 2 750 nuevos por 1 000 
soles, pero se le rompen 350 y vende los 
restantes a 7 soles la docena. ¿Cuál es el 
porcentaje de ganancia?
A) 30% B) 40% C) 120%
D) 140% E) N.A.
17
18 En la figura mostrada. Hallar el perímetro de la 
región sombreada:
R
O1O
D
CB
A
A) 2R (5π + 2) B) 2R(5 + 2π) C) R(10 + π)
D) R(5π + 4) E) Ninguna
20
Un comerciante compra artículos a 3 por 50 
soles y los vende a 5 por 100 soles. Si los 50 
artículos que le quedan representan su 
ganancia ¿Cuántos artículos compró?
A) 250 B) 300 C) 350 D) 400 E) 450 
70° 80° C
B
A
En la figura mostrada: AB = BC. Calcular el 
valor de “x”.
A) 80° B) 70° C) 75° D) 100° E) 105° 
1919
¡Gracias por su participación!
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Prof. Raúl Gálvez Cel. 959432445 
TALENTO
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x E
V OLIMPIADA NACIONAL
DE MATEMÁTICA
13 DE DICIEMBRE
CHINCHA - PERÚ
EXAMEN 2° GRADO SECUNDARIA
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/6 D) 1/4 E) 1/12 
05
02
03
04
FORMANDOCAMPEONES
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A
Un comerciante compra 54 kilos de té y café. Si 
hubiera comprado cinco sextos de la cantidad 
de té y cuatro quintos de la cantidad de café, 
habría gastado nueve onceavos de lo que 
realmente gastó, y si hubiera comprado tanto 
té como compró de café y viceversa, habría 
gastado 5 dólares más de lo que gastó. El té es 
más caro que el café, y el precio de 6 kilos de 
café excede al de dos kilos de té por 5 dólares. 
Indique la diferencia de los precios de un kilo 
de té y un kilo de café.
Luego de resolver:
x + a + x - a 4x - a
x + a - x - a 2a 
=
2 2
Señale: x + ax + a
2 2 2
A) a B) a C) a 
2 2
D) a E) a
25
16
61
16
t
2
9
16
61
25
Resolver la siguiente ecuación:
(x x - 8)(x - x - 6)
 x x - x - 2 x - 12 
= 6
A) 2 B) 10 C) 4
D) 3 E) Absurda
En un parque, unas palomas vuelan sobre unos 
árboles. Si en cada árbol se posa una paloma, 
quedan “n” palomas volando; en cambio, si en 
cada árbol se posan “n” palomas quedan “n” 
árboles libres.
¿Cuántas palomas hay en el parque?
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) Hay 2 correctas
Si la expresión
R = 10
10 + 3 + 10 - 3
10 + 1 - 10 - 1 
es equivalente a: + . donde: 
2
. Calcular el valor de : “ . ”
A) 8 B) 6 C) 20
D) 12 E) 16
06 Un líquido contenido en un estanque (fig. 1) 
se evapora completamente a razón 
constante, al cabo de días. ¿Cuántos días 
tardará en evaporarse el estanque 
mostrado en la figura 2? 
Fig. 1 Fig. 2
8
4 6
10 8
2
A) B) C)
D) E)
t
2
t t
4
t
8
2t
01
07 Calcular x + y - z, donde
S: suma de los t primeros términost
1+3+5+7+.....+x+.....+y+.....+z
 S = 400n
 S = 625m
 S = 900p
A) 140 B) 136 C) 147
D) 152 E) 120
08 Calcular A x B
A = 1 + 6 + 3 + 2
B = 1 + 6 - 3 - 2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 6 E) 3 + 1
TALENTO
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FINAL
TALENTOSIGMA2014-CHINCHA
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U
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D
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G
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A
D
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09
A) 40 B) 41 C) 42 
D) 20,5 E) 23,5
Un automóvil parte de la ciudad A hacia B, 
con una velocidad de 12km/h; en ese mismo 
instante, un peatón sale de la ciudad B hacia 
A con una velocidad de 4km/h. En el 
momento del encuentro, el peatón sube al 
automóvil y vuelve a su casa percatándose 
en su reloj que ha tardado una hora menos 
en la vuelta que en la ida. Hallar AB.
A) 20 B) 36 C) 18 D) 24 E) 12 
1915Se define en : ℝ
 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 2 3 4 5
2 4 5 6 7
3 6 7 8 9
Hallar A, si: A=17,5 6
10 Hallar x + y, si:
1; 2; 3; 2; 4; 6; 3; 6; 9; x; 8
10; 15; 23; 35; 53; 80; y
A) 100 B) 110C) 112 
D) 124 E) 600
11 Calcular el número de diagonales que se 
puede trazar en un “icoságono”.
A) 100 B) 120 C) 150 
D) 170 E) 190
12 Usted pregunta: ¿qué hora es?, y le 
responden: “ya pasaron las once y falta poco 
para las doce.” Además, dentro de 13' faltará 
para las 13 horas la misma cantidad de 
minutos que había pasado desde las once 
hasta hace 7'. ¿Qué hora es?
A) 10:20' B) 11:34' C) 11:54' 
D) 11:56' E) 11:57'
13 Al dividir dos números enteros se obtiene 11 
de cociente y 39 de residuo. Hallar el 
dividendo y el divisor, sabiendo que el 
primero es menor que 500 o termina en cero 
y es mayor de 400. Dar como respuesta la 
suma de ambos.
A) 511 B) 529 C) 523 
D) 531 E) 457
14 Un lote de licuadoras se vende así: el 20% 
ganando el 20% de su precio de costo; la 
mitad del resto ganando el 40% de su precio 
de costo. Finalmente, se vende el resto con 
una pérdida del 25%. Si en la venta total se 
ganó 125 soles, ¿cuánto costó todo el lote de 
licuadoras?
A) S/. 1000 B) S/. 1250 C) S/. 1300 
D) S/. 1450 E) S/. 1500
Los pobladores de una hacienda 
acostumbran cambiar 12 choclos por 36 
papas; a su vez, 24 papas por 16 camotes. 
En cierta ocasión, un poblador solicitó 100 
choclos a cambio de “n” papas más “n” 
camotes. Calcular “n”.
A) 120 B) 50 C) 160 D) 60 E) 90 
1916
La suma de los n primeros pares es a00
Hallar: a + n
A) 20 B) 12 C) 18 D) 22 E) 30 
1917
1918 Si: a + b + a - b = b
Hallar: a + b - a - b
A) 2 B) 2 C) a D) -b E) b 
¿Cuántos arcos de 60° se contarán en total 
en la figura de posición 20?
1919
1° 2° 3°
A) 1260 B) 1083 C) 1800 
D) 1210 E) 1264 
1920 En el gráfico siguiente se tiene 2 
circunferencias tangentes. Hallar 
58°
A) 100° B) 92° C) 52° 
D) 116° E) 58° 
¡Gracias por su participación!
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13 DE DICIEMBRE
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EXAMEN 3° GRADO SECUNDARIA
Al resolver la ecuación:01 06
FORMANDOCAMPEONES
T
A
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T
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S
S
IG
M
A
45 45 45
 8 + x 8 + x x
 8 x 2
+ =
se obtiene: 2a
b c
 a - 1
Indica el valor de: a + b - c
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5
03
Si: “y” es una raíz de la ecuación:
2
 x + x = 1
Calcular: 
5
y + 8
y + 1
A) 5 B) -5 C) 3 
D) -3 E) 1
Hallar el valor de “x”
3 2 3 2
a (x + b) = x + xb - x b
A) B) C)
 
 
D) E) 
b
3
1 - a
3
b
2
(1 - a)
3
a b
2
(1 - a)
3
(1 - a)
3
a b a - b
3
(a + b)
04
02
Indicar el denominador racionalizado de:
 4 7
18 + 6 7 + 6 2 + 2 14
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 7
05 Hallar: a + b, si la expresión:
 a + b 2
2b - 2b + ( 2 - 1)a
2
E =
se le puede dar forma:
 a + b: “a” y “b” son enteros positivos.
A) 17 B) 12 C) 11 
D) 19 E) No se puede determinar
Si al dividir: 26 - 2 7 entre 3 - 7 se 
obtiene una expresión de la forma a + b 
donde “a” y “b” son enteros positivos, 
2
entonces a - b es:
A) 9 B) 15 C) 29 
D) 2 E) 18
Proporcionar el valor de:07 4
4 4
A partir de: 11 2 - 12 = -
A) 1 B) C) 
 
D) E) 
3 2
 4
 2
 3
3 2
 2
2 2
 3
08 2 + 5 - 3 6 - 2 + 8 + 2 12
4
A) 3 B) 3 C) 3 + 2 2 
 
4
D) 2 2 E) 2 
09
2 2
a + a - 1 a - a - 1
2 2
a - a - 1 a + a - 1 
-
Calcular:
E =
4 2
para: a - a = 6
A) 4 6 B) 2 3 C) 3 2 
D) 4 3 E) 2 6 
10 Determinar la longitud DC, si: BE= 1
D
C
E
B
A
2
A) sec B) sec2 C) 2 
D) 1 E) csc
TALENTO
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FINAL
TALENTOSIGMA2014-CHINCHA
T
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R
C
E
R
G
R
A
D
O
11
2 2
A) -ctg B) tg C) -1/2 
2 2
D) -2sen E) 2cos
En la enumeración de las páginas impares 
de un libro se ha utilizado 440 tipos de 
imprenta. ¿Cuántas hojas tiene dicho libro?
1916Reducir:
¡Gracias por su participación!
4 4
sen - cos - 1
4 4
sen - cos + 1
y =
12 Tomemos la edad que tendré dentro de 
“algunos” años, tantas veces como años 
tendré y restémosle tantas veces como años 
tenía los años que tuve hace los mismos 
“algunos” años; obtendremos 24 veces mi 
edad actual. De aquellos años que tuve, 
¿cuántos años más son los que tengo?
A) 3 B) 5 C) 6 
D) 8 E) 10
13 Calcular el valor de la siguiente expresión:
A =
(1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + .... ) + n
2 2 2
 1 + 2 + 3 ....
“n” sumados
“n” sumados
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5
14 Dos relojes se ponen en hora a las 12, al día 
siguiente a la misma hora, uno de ellos ha 
adelantado el otro en 4 minutos y ninguno de 
los relojes marca la hora exacta. Esta hora es 
resultado de aumentar un minuto a la 
semisuma de las horas marcadas por los dos 
relojes. ¿Qué hora es en el reloj adelantado?
A) 12h 1min B) 12h 5min C) 10h 1min 
D) 11h 57min E) 11h 53min
15 Luis le dice a César: “Nuestras edades son 
proporcionales a los números 3 y 4 
respectivamente. Además yo tengo la edad 
que tu tenías cuando mi padre tenía la edad 
de tu padre. Ahora bien, cuando tu padre 
tenga la edad de mi padre, mi edad será la 
mitad de la edad que tu padre tenía hace 10 
años y tu edad será la mitad de la edad que 
tenía mi padre hace 5 años”. Hallar la suma 
de las edades de Luis y César.
A) 15 B) 20 C) 25 
D) 30 E) 35
A) 165 B) 220 C) 330 
D) 161 E) 215
Los carros de Lima-Callao salen cada 6 
minutos. Si una persona toma a las 8:00 
a.m. un carro en el paradero inicial, ¿a qué 
hora llegará al final de la ruta si luego de 3 
minutos se baja y espera el carro siguiente 
donde viaja también durante 3 minutos, y 
así sucesivamente, tomando en total 7 
carros?
1917
A) 8:57 B) 8:51 C) 8:39 
D) 8:54 E) 9:00
Tres personas (A, B y C) están jugando a los 
naipes con la condición de que el que pierda 
duplicará el dinero de los otros y además les 
dará 10 soles. Si cada uno ha perdido una 
partida en el orden indicado por sus 
nombres y se han quedado cada uno con 70 
soles, hallar lo que tenía “A” inicialmente.
1918
A) 60 B) 30 C) 90 
D) 120 E) 110
Cuatro jardineros siembran 40 árboles 
alrededor de un terreno de forma de 
triángulo equilátero de 20m de lado, en 3 
días. ¿En qué tiempo dos jardineros 
sembrarían 50 árboles alrededor de un 
terreno circular de 80m de perímetro, 
sabiendo que este perímetro es doblemente 
más duro que el primero?
1919
A) 20 días B) 12 días C) 13 días
D) 18 días E) 25 días
Se tiene 3 botellas cuyas capacidades 
respectivas son 3/4, 7/12, 9/11 litros. 
Calcular la cantidad total de agua que se 
necesita para llenar hasta los 33/71 de la 
capacidad de cada botella.
1920
A) 1 litro B) 3/2 litro C) 5/3 litro
D) 2 litro E) 4 litro
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DE MATEMÁTICA
13 DE DICIEMBRE
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EXAMEN 4° GRADO SECUNDARIA
Resolver la ecuación:01 06
FORMANDOCAMPEONES
T
A
L
E
N
T
O
S
S
IG
M
A
A) 2 B) mab + nbc + pac C) mnp 
D) 1 E) a + b + c
A) B) C) 
D) E) 
x + mab + nbc x + mab + pac
 pacnbc
x + pac + nbc qx
 mab mab + nbc + pac
+ +
- = q - 3
Determinar el denominador positivo de
dicha raíz
Resolver para “x”:02
n + 1
K = 1
11
x( )
K
+
n+1
x (x-1)
=
1 - n
n
A) B) C)
 
D) E) 
 n
n - 1
 2n
n + 1
 2n
n - 1
 1
1 - n
 n
n + 1
03 Si se cumple:
2
5x-2 + 2 6x - 7x-3 = ax + b + cx-a
de modo que: {a, b, c } N
Calcular a + b + c
A) B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
04
Calcular su valor para: =45°
Reducir la expresión:
sen3 + cos3
 cos - sen
A =
A) 3 B) -3 C) 2
D) -2 E) 1
05 Determinar el valor de “A”, si se cumple:
sen6x + sen2x cos6x + cos2x(A + 1)
 sen2x cos2x
=
A) 1 B) -1 C) 0
D) 2 E) -2
Reducir:
2 2 2
[(1 + sen ) - cos )]
2 2
 sen cos
T=
1 + sen
1 - sen
1 + cos
1 - sen
1 + sen
1 - sen
4
 2cos
1 - cos
 3sen
4(1-sen )
07 En la figura, M, N, Q, y F son puntos de
tangencia y m MN = 100°, calcular x.
M N
A F Q B
x
A) 20° B) 30° C) 40° 
D) 50° E) 60°
08 En la figura, A es punto de tangencia; BC=BF 
y AP=4, calcular ED.
D C
B
E
F
P
A
09 Según el gráfico, calcular m EBC, si mDT = 
98° (T es el punto de tangencia)
A
B
C
L
T
E
D
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 8 E) 1.5
A) 48° B) 49° C) 50° 
D) 51° E) 52°
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FINAL
TALENTOSIGMA2014-CHINCHA
C
U
A
R
T
O
G
R
A
D
O
10 En dos circunferencias ortogonales de 
radios R y r, respectivamente, se cumple 
que la distancia D entre sus centros es:
1914Según la figura, calcular x, si T es punto de 
tangencia
A) 35° B) 30° C) 20° 
D) 40° E) 25°
A) 4(r - R)< d < r + R B) R + r < D
2 2 2
C) (R-r)/2 < D < (R-r)/2 E) D = R + r
E) R + r = D
70°
x
B C
A D O P
T
11 En la figura, ABCD y AMP son polígonos 
regulares, M, N, y son puntos de tangencia y 
PD=2, calcular r.
CNB
M
A P D
Tr
A) 2 3 - 2 B) 2 3 C) 2 3 + 3 
D) 3 3 - 2 E) 2 3 + 2
12 Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 2 cm, 
uniendo los puntos medios de los lados se 
obtiene un segundo cuadrado; haciendo lo 
mismo con el segundo, se obtiene un tercero y 
así sucesivamente. La razón entre la longitud 
del lado del primer cuadrado y la longitud del 
lado del noveno cuadrado es:
2 3
A) 2 B) 2 C) 2 
4 5
D) 2 E) 2
13 En un cuadrante AOB de centro O y por un 
punto M del arco AB se traza una paralela de la 
cuerda AB que interseca a la prolongación de 
OA, en el punto A, y a la prolongación de OB en 
el punto B, si:
MA' = a y MB' = b.
Hallar la longitud de la cuerda AB.
2 2
A) 2 ab B) 2 a + b C) 
2 2
D) a + b E) ab
 2ab
a + b
1915 Los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6. 
¿Cuánto hay que disminuir a cada lado para 
que el nuevo triángulo sea rectángulo?
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 
D) 2 E) 2,5
1916 Calcular la longitud del inradio de un 
triangulo isósceles; si su perímetro es igual 
a 98cm y su base es igual a 40 cm.
A) 9 cm B) 60/7 cm C) 8 cm 
D) 44/5 cm E) 7 cm
1917 En un triángulo rectángulo, las proyecciones 
de los dos catetos están en relación de 4 a 5. 
Hallar la relación de dichos catetos.
A) B) C) 
 
D) E) 
2
5
2
5
2
5
3
5
5
4
5
1918 Determinar para qué valor de x, la expresión 
2
y= x - 4x + 6 se hace mínima.
A) 1 B) 0 C) 2/3 
D) 2 E) -1/5
1919 Edgar echó una taza de harina en un 
recipiente vacío a las 8; a las 8:30 echó 2 
tazas, a las 9 echó 4 tazas. Continuó el 
trabajo duplicando la cantidad cada 1/2 
hora, de modo que a las 11 en punto había 
llenado el recipiente. ¿A qué hora hubiera 
estado casi lleno, si hubiese comenzado con 
4 tazas?
A) 9:00 B) 12:00 C) 10:00 
D) 10:30 E) 11:00
1920 ABCD es un cuadrado de lado “L”. Hallar el 
área de la región sombreada.
A
B C
D
2 2 2
A) L /2 B) L /4 C) L /5 
2 2
D) L /3 E) L /6
¡Gracias por su participación!
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Prof. Raúl Gálvez Cel. 959432445 
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Formando Campeones
V OLIMPIADA NACIONAL
DE MATEMÁTICA
13 DE DICIEMBRE
CHINCHA - PERÚ
EXAMEN 5° GRADO SECUNDARIA
Resolver en “x”.01 06 En la siguiente identidad:
FORMANDOCAMPEONES
T
A
L
E
N
T
O
S
S
IG
M
A
2
a - (ax + b)
 a - ax + b
= a(x + 3a)+ b; a > b > 0
2
a - b
 a
2
a - b
 a
a - b
 a
A) B) C)
 
 
D) E) 
2
a - b
 b
02
+
Sabiendo que: n Z ; a y b reales que
verifican: n+1 + n! = a + b
Además: ab=(n-1)!. Hallar: a+b.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 13 E) 8 
03
2
Sabiendo que: x = x + 1; x > 0
Reducir:
x + x -
x - 1
 2
E=
A) B) C)
 
D) E) 
x
2
2x
2
2
2
x
2
2 x
 2
04 Reducir: P= cot1° - tan1° -2tan2° + 4tan4°
(Considerar: tan8° = )
1
7
A) 20 2 B) 15 2 C) 80 2
 
D) 24 2 E) 40 2 
2tan - sen2
2cot - sen2
k
= tan
calcular: “k”
A) -4 B) 2 C) 4 
D) -2 E) 1/4
07
2 2
Si: asen x - bcos x = 0
hallar el equivalente de: A=4cot2x.csc2x
2 2 4 4 2 2
A) 2(a - b ) B) 2(a +b ) C) a + b
 
D) E) 
a b
b a
-
3 3
a - b
 ab
2
08 Si se verifica la siguiente igualdad:
2 2
 sec x+csc x = n(tanx + cotx)
Hallar la expresión equivalente en términos
2
de “n” de: E= 4csc 2x
09 Hallar: P= ctg( + ), si: tg =
 7 - tg
1+7 tg
A) 7 B) 8 C) 1/4
D) 1/8 E) 1/7
10 Simplificar:
 2cos(x -x )1 2
sen(x + x )+sen(x -x )1 2 1 2
E= - tgx2
A) tanx B) cot(x +x ) C) tgx2 1 2 1
D) ctgx E) ctgx1 2
11 Simplificar: M = 1 + sen4 + sen2
si: 90° < < 135°
 
A) 0 B) 2sen2 + cos2 C)cos2
D) 2sen2 E) -cos2
12 Determinar la suma del máximo y mínimo 
valor de:
3 3
sen + cos
 sen + cos
M= ; si: 0 ;
2[ ]
 
A) 3/4 B) 1/2 C)-2
D) 2 E) 3/2
05 Si 2AB = 3BC, calcular
r
R
R r
A B C
A) 2/3 B) 1/3 C) 4/9
D) 1/2 E) 2/9
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FINAL
2 2 2
A) 2n B) -2n C) 3n 
2 2
D) n E) 4n
Q
U
IN
T
O
G
R
A
D
O
¡Gracias por su participación!
13 1917Según el gráfico, calcular x. (B es punto de 
tangencia)
N
M
x
56°
18°
BA C
A) 18° B) 16° C) 14°
D) 12° E) 20°
14 Según la figura, ABCD es romboide M y N son
puntos de tangencia, calcular la m MN
(
A PD
M
B N C
A) 60° B) 30° C) 45°
D) 53° E) 37°
15 En un paralelogramo ABCD, las diagonales 
se intersecan en O, se ubican exteriormente 
y relativo a BC los puntos M y N tal que: 
m AOM=m DON=90°, AO=OM, DO=ON 
y AN=5, calcular MD.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
16 Se tiene un triángulo ABC donde la media 
del ángulo A es dos veces la media del 
ángulo B.
Si b = 4 y c = 5, la razón de a y b será.
A) B) C) 
D) E) 
2
3
3
2
5
6
6
5
6
2
En la figura, calcular BC.
Si: AB = 5, AD = 13, AQ = QD
(C: punto de tangencia)
A
B C
Q O D
F
A) 4 2 B) 5 2 C) 6 2 
D) 7 2 E) 8 2
1918 Un auto sale de Cajamarca a las 5p.m. y 
llega a Lima, al día siguiente, a las 2 p.m.; 
otro auto sale de la misma ciudad a las 
7p.m. y llega a Lima a las 9 a.m. ¿A qué hora 
el segundo auto alcanzó al primero?
A) 10 p.m. B) 11 p.m. C) 1 a.m. 
D) 2 a.m. E) 3 a.m.1919 Si ABCD es un paralelogramo, y el área de la 
2
región sombreada es 12u, hallar el área del 
triángulo ABM, si BN=3(NM).
B C
A M D
N
1920 Un litro de mezcla formada por 75% de 
alcohol y 25% de agua pesa 960 g. Sabiendo 
que un litro de agua pesa 1 kg, se pide 
calcular el peso de un litro de mezcla que 
contiene 48% de alcohol y 52% de agua.
2 2 2
A) 12u B) 15u C) 24u 
2 2
D) 16u E) 18u
A) 974,8g B) 975,2g C) 974,4g 
D) 975,7g E) 960g
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