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Ejercicios Resueltos de Probabilidad 
Colegio La Presentación de Nuestra Señora 
Elías Robles Rodríguez 
 
En el siguiente documento se encuentra una posible clasificación personal de los 
ejercicios que nos podemos encontrar en la parte de Probabilidad en los exámenes de 
selectividad. Para cualquier otro profesor puede existir otra clasificación distinta e 
incluso no existir ninguna. 
TIPO 1: “APLICACIÓN DIRECTA DE FORMULITAS” 
Veamos la teoría necesaria para la resolución de cualquier tipo de problema, esto es, las 
formulitas que vamos a utilizar. Toda la teoría que vamos a desarrollar está hecha para 
un espacio muestral  con sólo dos sucesos  BA, . Para tres sucesos está 
desarrollado en los apuntes de teoría. 
   
       
 
 
 
 
     
      
      
 
 
     
   BAPBAP
BAPAPBAP
BAP
BAP
BAPBAPBAP
BAPBAPBAP
BA
BPAPBAPByA
BP
BAP
BAP
BAPByA
BAPBPAPBAP
APAP
CC
C
CCC
CCC
C






























dos" los de uno sólo" ocurra que de adProbabilid
A ocurra sólo que de adProbabilid
B noy A ocurra que de adProbabilid
 
B"y A " ocurra que de adProbabilid
By A sucesos ambos"" o mente"simultánea" ocurra que de adProbabilid
 
B" óA " ocurra que de adProbabilid
By A dados dos de suceso un" menos al" ocurra que de adProbabilid
1
1
Morgan de Leyes
son. lo también arioscomplement los ntesindependieson y Si
 si ntesindependieson 
B" sucedido ha que sabiendo"A ocurra que de adProbabilid
 ó B" ocurre si"A ocurra que de adProbabilid
/
0 si lesincompatibson 
1
 
1. Sean A y B dos sucesos tales que 
CC
BBAPBPAP donde,6.0)(y7.0)(,4.0)(  es el suceso contrario de B. 
a) ¿Son independientes A y B ? ¿y AC y BC ? 
Calculamos 
3.0)( BP 
  1.06.03.04.0)()()(  BAPBPAPBAP , 
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ahora podemos comprobar 
     














12.01.0
?3.04.01.0¿
BPAPBAP
 
NO SON INDEPENDIENTES 
Ahora bien, si A y B son independientes todos sus complementarios y combinaciones 
entre ellos lo son. 
b) Calcule )/( BAP 
 
25.0
4.0
1.0
)(
)/( 


BP
BAP
BAP 
c) Calcule )( cBAP  
      2.01.03.0  BAPAPBAP C 
d) Calcule )( cc BAP  
     4.06.011)(  BAPBAPBAP Ccc 
e) Calcule )( cc BAP  
     9.01.011)(  BAPBAPBAP Ccc 
f) Calcule )/( cABP 
   
5.0
4.0
1.03.0
)(1
)(
)(
)/( 







AP
ABPBP
AP
ABP
ABP
C
C
c 
Ejercicio que no tiene más complicación que aplicar las formulitas. No hay que decir 
que si no sabemos las formulitas no sabremos hacer ningún ejercicio de estos. 
 
2. De los 39 alumnos de una clase, 16 escogieron francés y 27 inglés. Nueve 
alumnos eligieron ambos, y el resto no escogió ninguno de ellos. Si se elige al 
azar un alumno de dicha clase, halla las siguientes probabilidades. 
a) Escogió francés. 
39
16
)( FP 
b) Escogió inglés. 
39
27
)( IP 
c) Escogió ambos idiomas. 
39
9
)(  IFP 
d) Escogió francés o inglés. 
39
35
39
9
39
27
39
16
)()()()(  IFPIPFPIFP 
e) Escogió francés, pero no inglés. 
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39
7
)()()(  IFPFPIFP C 
f) No escogió ni inglés ni francés. 
39
4
39
35
1)(1)(  IFPIFP CC 
 
TIPO 2: “PROBABILIDAD TOTAL Y BAYES” 
Este tipo de ejercicio lo podemos identificar porque en las preguntas del problema 
siempre se sigue el mismo esquema, la primera pregunta va encaminada a calcular la 
probabilidad total de un suceso y la segunda pregunta es la aplicación del teorema de 
Bayes (probabilidades a posteriori). La resolución de estos ejercicios se puede llevar a 
cabo de dos maneras distintas: 
a) Mediante un diagrama de árbol dependiendo del contexto, por ejemplo 
 
Desarrollemos el primer diagrama. El primer esquema es el más común en 
selectividad, siempre nos exponen un experimento aleatorio que da lugar a dos 
casos (A1, A2), cada uno con su probabilidad, y después nos dicen que en cada 
caso aparecen dos sucesos S y C (cuando son dos nada más, son 
complementarios, eso facilita las cuentas) y estos, a su vez, tienen otras 
probabilidades asociadas para cada caso. Trabajaremos después el primer 
esquema mediante una tabla de contingencia. 
Calculemos la probabilidad total de los sucesos S y C, que en este caso son 
complementarios porque sólo hay dos en el segundo paso del diagrama, y una 
vez calculado uno de los dos el otro puede calcularse usando la probabilidad 
total o viendo que son complementarios. 
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






)(1
6241)2/()2()1/()1(
)(
5231)2/()2()1/()1()(
SP
ppppACPAPACPAP
CP
ppppASPAPASPAPSP
 
El siguiente apartado siempre es la probabilidad de Bayes, por ejemplo, calcular 
sabiendo que ha ocurrido el suceso C (condición en la segunda parte del 
diagrama), qué probabilidad hay de que provenga del caso A2. Pues nada más 
que escribir la formulita (es una condicionada normal) y dejarse llevar 
sustituyendo siempre de la siguiente manera o según nos convenga. 
6241
62
)(
)2/()2(
)(
)2(
)/2(
pppp
pp
CP
ACPAP
CP
CAP
CAP






 
b) Mediante una tabla de contingencia (desarrollada en la teoría mediante un 
ejemplo) 
 S C 
A1   SAP 1 p1 x p3  CAP 1 p1 x p4 P(A1) = p1 
A2  CAP 2 p2 x p5  CAP 2 p2 x p6 P(A2) = p2 
 
P(S) = 
p1 x p3+ p2 x p5 = 
1 - P(C) 
P(C) = 
p1 x p4+ p2 x p6 = 
1 - P(S) 
1 
Aquí la probabilidad de Bayes se puede obtener de la misma forma que en el caso 
anterior. Advierte que Bayes es una probabilidad condicionada y cuando tenemos la 
tabla de contingencia, la probabilidad condicionada es un numerito entre otro, observa: 
 





)(
)2/()2(
)(
)2(
)/2(
CP
ACPAP
CP
CAP
CAP 
Todos los ejercicios se pueden hacer mediante un diagrama en árbol, pero si se dominan 
los dos procedimientos podremos afrontar todos los ejercicios de una manera 
rapidísima. En estos apuntes, se realizarán todos los ejercicios del tipo 2 con el 
diagrama en árbol, pero cuando convenga la tabla, también se utilizará para aprender 
una forma alternativa. 
 
 
 
 
 
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Elías Robles Rodríguez 
 
1. Un médico ha observado que el 40% de sus pacientes fuma y de estos, el 75% 
son hombres. Entre los que no fuman, el 60% son mujeres. Calcula la 
probabilidad de: 
 
 
 
a) Un paciente no fumador sea hombre. 
Esto aunque no viene precedido “de sabiendo que” o va entre comas, se trata de 
una condicionada. Es distinto “no fumador sea hombre” que por ejemplo “sea 
hombre no fumador”. Esto es más bien una cuestión de Lengua Castellana. 
Bueno resolvamos ya sin más dilaciones: 
4.0)/( CFHP directamente en el árbol. 
b) Un paciente sea hombre fumador. 
Al igual que antes y por la distinción que hemos hecho en el razonamiento 
anterior, ahora se trata de una intersección y no una condicionada. 
3.075.04.0)/()()(  FHPFPHFP 
c) Un paciente sea mujer 
Esto es claramente y mirando a nuestro árbol, probabilidad total. 
46.0
6.06.025.04.0
)/()()/()()(


 CC FHPFPFMPFPMP
 
d) Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea 
fumador. 
Y ya para rizar el rizo y claramente condicionando al suceso posterior, tocamos 
un poquito de teorema de Bayes. 
Para empezar la 54.0)(1)(  MPHP ya la tenemos calculada. 
Ahora 5.0
54.0
3.0
)(
)/()(
)(
)(
)/(






HP
FHPFP
HP
HFP
HFP 
 
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Si resolviéramos el ejercicio con tabla todo quedaría reflejado en ella. 
Veámoslo: 
 H M 
F   3.075.04.0 HFP   1.025.04.0 MFP 0.4 
F
C   45.075.06.0 HFP C   15.025.06.0 MFP C 0.6 
 75.045.03.0)( HP 25.015.01.0)( MP 1 
 
Y ahora para calcular todas las probabilidades pedidas nada más que repetir los 
cálculos. 
 
2. Se realiza una encuesta sobre las preferencias de vivir en la ciudad o en 
urbanizaciones cercanas. Del total de la población encuestada el 60% son 
mujeres, de las cuales prefieren vivir en la ciudad un 73%. Se sabe que la 
probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad 
es 0.62. 
 
 
 
“la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad es 
0.62” significa: 
62.0)( CP pero si esto lo expresamos con su fórmula tenemos: 
455.0
62.04.073.06.0
62.0)/()()/()(62.0)(



x
x
HCPHPMCPMPCP
 
 
Luego de esta forma hemos obtenido la probabilidad de preferir la ciudad dentro de 
los hombres. 
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a) Calcule la probabilidad de que elegido un hombre al azar, prefiera vivir en 
la ciudad. 
Curiosamente la acabamos de calcular. 
b) Supuesto que una persona, elegida al azar, desee vivir en la ciudad, calcule 
la probabilidad de que sea mujer. 
706.0
62.0
73.06.0
)(
)(
)/( 




CP
CMP
CMP 
 Si resolviéramos el ejercicio con tabla todo quedaría reflejado en ella. 
Veámoslo: 
 C C
C 
 
M   438.073.06.0 CMP 162.0438.06.0  0.6 
H 0.182 0.218 0.4 
 0.62 0.38 1 
 
Y ahora para calcular todas las probabilidades pedidas nada más que repetir los 
cálculos. 
 
 
 
TIPO 3: “PROBABILIDAD COMPUESTA” 
La teoría es muy poca o casi nada. Lo único que hay que saber son dos formulitas: 
 






NTESINDEPENDIE NO)21/3()1/2()1(
NTESINDEPENDIE)3()2()1(
321
AAAPAAPAP
APAPAP
AAAP 
A continuación, con el primer ejemplo, veremos muchísimos de los casos que se nos 
pueden presentar en los ejercicios de tipo 3. ¿Cómo los identifico? Muy fácil, no son ni 
tipo 1 ni tipo 2. ¿Por qué? Porque no son mecánicos, en ellos, hemos de pensar un 
poquito, hay que valorar todas las posibilidades, etc. 
1. Se tiene una urna llena de bolas con la siguiente composición: 2 ROJAS, 3 
VERDES, 5 AZULES. Se extraen sin reemplazamiento 3 bolas. Se piden las 
siguientes probabilidades: 
a) Describe el espacio muestral y asigna probabilidades a cada suceso 
elemental. 
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Elías Robles Rodríguez 
 
Para no equivocarnos al describir el espacio muestral y puesto que se tienen 3
3
 -
1 elementos (hay dos rojas = una posibilidad menos), o sea, 26, vamos a 
               
                 
                 








AAAAAVAARAVAAVVAVRARAARVARR
VAAVAVVARVVAVVVVVRVRAVRVVRR
RAARAVRARRVARVVRVRRRARRV
,,,,,,,,
,,,,,,,,,
,,,,,,,,
 
Los sucesos no son equiprobables por tanto no podremos calcular probabilidades 
aplicando la regla de Laplace. No os escribo las probabilidades porque es un 
tanto engorroso, y además, con el desarrollo del ejercicio se van calculando 
muchas de ellas. 
b) Calcular la probabilidad de que la primera sea roja, la segunda verde y la 
tercera azul. 
 
8
5
9
3
10
2
321  AVRP se trata de una posibilidad concreta, luego no 
barajamos otras opciones 
c) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja. 
     
8
8
9
2
10
8
8
8
9
1
10
2
1/211/212

 XRRRPXRRRPXRXP CC
 
 X es cualquiera de las bolas. 
d) Calcula la probabilidad de que sólo la tercera bola sea azul. 
   
 
 
 
8
5
9
4
10
5
8
4
9
5
10
5
8
4
9
5
10
5
8
3
9
4
10
5
21/31/21
21/31/21
21/31/21
21/31/213





CCCCC
CCC
CC
AAAAAAP
AAAAAAP
AAAAAAP
AAAAAAPAXXP
 
El problema que se plantea aquí es el siguiente, como hay dependencia, y se 
trata de la última bola, hemos de estudiar todos los casos que nos condicionan el 
suceso en cuestión. 
e) Calcula la probabilidad de que no salga ninguna bola verde 
 
8
5
9
6
10
7
321  CCC VVVP 
f) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola verde. 
La probabilidad de “al menos una bola verde” es lo mismo que “lo contrario de 
ninguna bola verde” y esto se traduce en: 
   
8
5
9
6
10
7
13211321  CCC VVVPVVVP 
g) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola roja. 
Igual que el apartado anterior 
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Elías Robles Rodríguez 
 
   
8
6
9
7
10
8
13211321  CCC RRRPRRRP 
h) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas rojas. 
 
 
 
 
8
0
9
1
10
2
8
1
9
8
10
2
8
1
9
2
10
8
8
8
9
1
10
2
321
321
321
321




RRRP
RRRP
RRRP
RRRP
C
C
C
 
i) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas azules 
 
 
 
 
8
3
9
4
10
5
8
4
9
5
10
5
8
4
9
5
10
5
8
5
9
4
10
5
321
321
321
321




AAAP
AAAP
AAAP
AAAP
C
C
C
 
 
Vamos a repetir el ejercicio pero ahora con reemplazamiento, es un poquito más fácil. 
 
 
2. Se tiene una urna llena de bolas con la siguiente composición: 2 ROJAS, 3 
VERDES, 5 AZULES. Se extraen con reemplazamiento 3 bolas. Se piden las 
siguientes probabilidades: 
a) Describe el espacio muestral y asigna probabilidades a cada suceso 
elemental. 
Para no equivocarnos al describir el espacio muestral y puesto que se tienen 3
3
 -
1 elementos (hay dos rojas = una posibilidad menos), o sea, 26, vamos a 
               
                 
                 








AAAAAVAARAVAAVVAVRARAARVARR
VAAVAVVARVVAVVVVVRVRAVRVVRR
RAARAVRARRVARVVRVRRRARRV
,,,,,,,,
,,,,,,,,,
,,,,,,,,
 
Los sucesos no son equiprobables por tanto no podremos calcular probabilidades 
aplicando la regla de Laplace. No os escribo las probabilidades porque es un 
tanto engorroso, y además, con el desarrollo del ejercicio se van calculando 
muchas de ellas. 
b) Calcular la probabilidad de que la primera sea roja, la segunda verde y la 
tercera azul. 
 
10
5
10
3
10
2
321  AVRP se trata de una posibilidad concreta, luego no 
barajamos otras opciones 
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c) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja. 
 
10
10
10
2
10
10
2  XRXP 
 X es cualquiera de las bolas. 
d) Calcula la probabilidad de que sólo la tercera bola sea azul. 
 
10
5
10
10
10
10
3  AXXP aquí no hay dependencia. 
e) Calcula la probabilidad de que no salga ninguna bola verde 
 
10
7
10
7
10
7
321  CCC VVVP 
f) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola verde. 
La probabilidad de “al menos una bola verde” es lo mismo que “lo contrario de 
ninguna bola verde” y esto se traduce en: 
   
10
7
10
7
10
7
13211321  CCC VVVPVVVP 
g) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola roja. 
Igual que el apartado anterior 
   
10
8
10
8
10
8
13211321  CCC RRRPRRRP 
h) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas rojas. 
 
 
 
 
10
2
10
2
10
2
10
8
10
2
10
2
3321
321
321
321




RRRP
RRRP
RRRP
RRRP
C
C
C
 
i) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas azules 
 
 
 
 
10
5
10
5
10
5
10
5
10
5
10
5
3321
321
321
321




AAAP
AAAP
AAAP
AAAP
C
C
C
 
3. Un avión tiene cinco bombas.Se desea destruir un puente. La probabilidad de 
destruirlo de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el 
puente si se lanzan las cinco bombas? 
Vamos a ver, “la probabilidad de que se destruya el puente si se lanzan las cinco 
bombas” es lo mismo que decir “la probabilidad de que al menos una de las bombas 
destruya el puente”, es decir, 
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   
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
1
54321154321

 CCCCC DDDDDPDDDDDP
 
4. Se escuchan tres discos y se vuelven a guardar, al azar. ¿Cuál es la 
probabilidad de que al menos uno de los discos haya sido guardado en el 
envoltorio que le correspondía? 
Si hay tres discos y tres envoltorios, la probabilidad de que uno de los discos elegido 
al azar se meta en su envoltorio original es 1/3, este razonamiento todos lo podemos 
hacer. Ahora bien aunque parezca un ejercicio para realizar con formulita igual que 
el anterior porque con el “al menos uno de los discos” nos vamos directamente a la 
unión y es realmente complicado. Así pues vemos con un razonamiento lógico cómo 
obtener la probabilidad. 
 
5. Se elige al azar un número entero entre 0 y 999. Halla la probabilidad de que el 
número elegido: 
a) No tenga ninguna cifra repetida. 
A partir del 100 incluido hay 900 números aquí hay que calcular la probabilidad 
de que salga un número (del 1 al 9) después otro diferente (al primero, pero del 0 
al 9) y el tercero diferente de los otros dos anteriores (diferente al segundo y al 
primero, y del 0 al 9) entonces sería 
10
8
10
9
9
9
 . O sea 648 de 900. 
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Del 10 al 99, hay 90 números y hay que quitar (11, 22, 33, …, 99) 9 números 
que sale 81, o también, verlo como primera cifra del 1 al 9 y segunda cifra como 
distinta a la primera pero del 0 al 9, es decir, 
10
9
9
9
 que son 81 de 90. 
Del 0 al 9 van todos no se repite ninguno. Así pues, nos quedan 648 +81+9 de 
1000 números, es decir, 738/1000. 
b) Sea capicúa. 
De nuevo hacemos la distinción pero ahora sólo hay posibilidad de capicúa a 
partir de 100 y hasta 999. Podemos sacarlo a ojo o podemos usar razonamientos 
de probabilidad compuesta como en el apartado anterior. 
Buscamos el caso “xyx”, entonces el primero puede ser cualquiera y el segundo 
también. 
9
1
10
9
9
1
 por los 9 casos que hay para la primera y la tercera cifra. De 
esta forma nos queda 9/90 o lo que es lo mismo, para verlo a ojo, serían 90 de 
900 (para el que no lo vea, que piense que son 10-1 casos de capicúa para cada 
centena y hay 9 centenas) 
(*) “xxx” no lo consideramos capicúa. 
 
6. Se tienen cinco pares de guantes de distinto color. Entremezclamos bien los dos 
guantes. Extraemos dos de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos 
formen pareja? 
La probabilidad de que los dos extraídos formen pareja es que el segundo sea del 
mismo color que el primero, y hay cinco colores, luego cinco posibilidades. 
9
1
10
2
)11()"Color Igual("  CCPP , esto por los 5 colores que hay nos da 
9
1
9
1
10
2
5 