Rutas_para_viajar_por_el_Sistema_Solar

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Órbitas… Rosa M Herrera  
  
  
  
      
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Rutas  para  viajar  por  el  Sistema  Solar  
Rosa  M  Herrera  
x  de  xxxx  de  201x    
  
He  examinado  la  cuestión  bajo  todos  sus  aspectos,  la  he  abordado  resueltamente,  y  de  
mis  cálculos  indiscutibles  resulta  que  todo  proyectil  dotado  de  una  velocidad  inicial  de  
doce  mil  yardas1  por  segundo,  y  dirigido  hacia  la  Luna,  llegará  necesariamente  a  ella.  
Tengo,   pues,   distinguidos   y   bravos   colegas,   el   honor   de   proponeros   que   intentemos  
este  pequeño  experimento.  
“De  la  Tierra  a  la  Luna”  (J.  Verne)  
Las  naves  colgaban  del  cielo  casi  del  mismo  modo  en  el  que  los  ladrillos  no  lo  hacen.  
“Autopistas  galácticas”  (D.  Adams)  
  
  
                                                                                                                                  
Figura  1.  a)  “Principia  Matematica  Philosphiae  Naturalis”  de  I.  Newton    
  
En   la   obra   capital   de   I.   Newton   (1642-­‐‑1727)   “Principia   Matematica  
Philosophiae  Naturalis”  (Principios  matemáticos  de  la  filosofía  natural),  1687,  
 
1  unos  11000  m  
Rosa M Herrera Órbitas  
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se  recoge  la  siguiente  idea:  El  mismo  principio  físico  rige  el  movimiento  de  una  bola  
de  cañón  lanzada  desde  la  cima  de  una  montaña  que  el  movimiento  orbital.  De  hecho,  
la  trayectoria  de  una  bala  de  cañón  (o  de  una  pelota  lanzada)  es  un  fragmento  
de  una  elipse,  tan  pequeñito  que  parece  una  parábola.  
  
  
Figura  2.  Una  parte  de  la  elipse  coincide  con  la  trayectoria  de  una  parábola  en  las  
proximidades  del  Sol,  ilustrando  la  trayectoria  de  un  cometa  -­‐‑dibujo  extraído  de  un  
curso  de  astronomía  de  F.  Tisserand  (1845-­‐‑1896)-­‐‑.  
  
La  idea  manifestada  por  Newton  quizá  haría  pensar  que  para  poner  en  órbita  
un  proyectil   bastaría   con   lanzarlo   como  una  bala  de  un   cañón   situado  en   la  
cumbre   de   un  monte,   cuanto  más   elevado  mejor.   Pero   esta   concepción,   sin  
refinar   y   sin   completar   teniendo   en   cuenta   las   leyes  de   la   naturaleza   que   la  
física  describe,  encierra  bastantes  errores  básicos  y  resulta  algo   ingenua,  aun  
suponiendo  que  fuese  posible  que  algún  hábil  fabricante  encontrara  la  manera  
de  construir  un  cañón  de  tanto  alcance.  
  
Por  ejemplo,  el  entusiasta  debería  haber  contado  con  la  resistencia  que  ofrece  
el   aire   que,   por   una   parte   frenaría   el   movimiento   del   proyectil   en   no  
demasiado   tiempo,   pero   además   el   calor   producido   en   la   fricción   lo  
convertiría  en  vapor  rápidamente.  En  fin,  no  hace  falta  ahondar  demasiado,  la  
realidad  inmediata  muestra  inviable  esta  posibilidad.  
  
Dado  que  las  expectativas  de  poner  un  objeto  en  órbita  por  el  método  citado  
parecen  poco  realistas,  a  pesar  de  que  son  muy  divertidas,  vamos  a  observar  
algunas   características   esenciales   del   movimiento   de   los   astros   y   las  
comparamos  con  las  que  deberían  tener  los  vuelos  espaciales  propiciados  por  
humanos,  y  así  nos  planteamos  con   la  aportación  de  algunos  elementos  más  
realistas  las  posibilidades  de  llevarlos  a  la  práctica.  
  
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Tres  son  multitud…  
En   sentido   clásico,   los   asuntos   “mecánico-­‐‑matemáticos”   están   bajo   control  
(relativamente)   mientras   se   pueden   manejar   considerando   dos   cuerpos   (el  
caso  de  una  estrella  y  un  planeta,  o  el  de  un  planeta  y  un  satélite,  o  la  Tierra  y  
un  cohete  lanzado),  en  realidad  son  complicados  casi  siempre,  pero  conocidos  
y  abordables.  
La  dinámica  es  mucho  más  difícil  en  el  caso  de  que  tres  (o  más)  cuerpos  estén  
interactuando  gravitatoriamente;  por  ejemplo,  el  Sol,  un  planeta  y  un  satélite.  
Es  el  célebre  “problema  de  los  tres  cuerpos”.  
Este  en  principio  es  un  problema  de  origen  matemático  y  forma  parte  de  una  
situación  más  general  “el  problema  de  los  n  cuerpos”  que  matemáticamente  se  
formula   como   un   sistema   de   ecuaciones   diferenciales   ordinarias   no   lineales  
que  propuso  Newton  en  su  obra  principal  (antes  citada)  para  hacer  un  modelo  
de   nuestro   Sistema   Solar,   las   ecuaciones   son   de   un   planteamiento  
relativamente   sencillo,   pero   su   resolución   es   muy   difícil   y   ha   ocupado   a  
algunas   de   las   mejores   mentes   matemáticas   de   los   últimos   siglos,   sin  
encontrar  solución  analítica  general.    
En  algunos  casos  particulares,  como  en  el  nuestro  con  n  =  3  se  han  encontrado  
algunas   soluciones   para   casos   especiales,   que   además   de   bonitas,   son   muy  
útiles  como  referencia  teórica  para  estudiar  algunos  aspectos  de  cierto  tipo  de  
órbitas  que  impliquen  3  cuerpos  moviéndose  en  el  Sistema  Solar  como  son  los  
casos  de  algunas   trayectorias  de  dispositivos  diseñados  en   la  Tierra,  aunque  
nos  interesan  también  por  otros  diferentes  motivos.  
Resumiendo,   aunque   no   se   ha   hallado   una   solución   general,   las   soluciones  
particulares   que   se   han   encontrado   aportan   comprensión   de   algunos  
movimientos   orbitales,   de   utilidad   para   entender   la   naturaleza   de   nuestro  
Sistema   Solar,   y   para   emplearlas   de   modo   inteligente   en   astrodinámica   de  
vuelos  interplanetarios.    
En  el   caso  de  un  cuerpo  de  masa  muy  pequeña,  aunque  no  nula,   como  una  
nave   espacial   terrestre.   La   dinámica   que   se   genera   es   muy   interesante   y  
bonita.   Y   algunas   soluciones   son   un   soporte   teórico   para   diseñar   con  
aprovechamiento   la   maniobra   de   “asistencia   gravitatoria”   que   propicia   un  
cambio  de   trayectoria  acelerando  o   frenando  una  nave  espacial  utilizando  el  
campo  gravitatorio  de  un  planeta  o  un  satélite  y  ayudándonos  a  solventar  el  
problema   de   la   energía   necesaria   para   el   movimiento.   Son   los   llamados  
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encuentros   gravitacionales,   cuya   importancia   se   irá   comprendiendo   poco   a  
poco.  
  
Detalles  asociados  con  la  propulsión  de  los  vehículos  espaciales  
El   problema   de   la   energía   necesaria   para   realizar   un   viaje   por   el   Sistema  Solar,   un  
ejemplo  típico  del  caso  de  la  masa  variable  
Nuestra  Tierra  cada  vez  es  más  "ʺgordita"ʺ,  ya  que  material  de  diverso  origen  
incide   sobre   ella,   y   eso  hace   que   se   incremente   su  masa,   pero   al   Sol   y   a   las  
naves   espaciales   les   ocurre   algo   que   podría   considerarse   en   cierto  modo   el  
fenómeno  contrario.  
La  masa  de   la  estrella  va  disminuyendo  principalmente  por   radiación,  y  eso  
afecta   a   su   interacción   gravitatoria   con   cada   planeta   por   separado   (un  
problema   de   Kepler)   esta   redistribución   de   masa   también   influye   en   la  
relaciones  que  se  producen  en  la  totalidad  del  sistema.    
Las  naves  espaciales  van  perdiendo  masa  (de  combustible)  en  su  viaje,  lo  cual  
incide   sensiblemente   en   su   relación,  de  una  parte,   con   el  planetade  partida  
(también   con   el   resto   de   cuerpos   presentes   en   el   viaje),   de   otra,   con   las  
posibilidades  de  su  propio  alcance  en  el  viaje.    
La   relación   entre   el   tamaño   del   vehículo   y   el   combustible   necesario   para  
garantizar  la  viabilidad  del  viaje  teniendo  en  cuenta,  además,  el  instrumental  
que  se  pretende  transportar  es  un  reto  que  hay  superar.  
Optimización  de  trayectorias  
Este  problema  surge  debido  a  que  en   las  rutas   interplanetarias  no  es  posible  
encontrar   “estaciones   de   servicio”   disponibles,   y   por   lo   tanto   el   vehículo  
espacial   necesita   llevar   consigo   de   salida   la   cantidad   de   combustible   que  
precisa  para   llevar   adelante   el   viaje  previsto,   es  decir   que   la  nave  ha  de   ser  
autosuficiente  (o  como  alternativa  servirse  de  fuentes  de  energía  no  usuales  en  
nuestros  desplazamientos  y  actividades  terrestres).  
De   ahí   que   haya   que   encontrar   la   relación   óptima   entre   la   trayectoria,   el  
tiempo  invertido  y  la  vida  útil  del  vehículo  para  diseñar  mejor  el  itinerario  del  
viaje.    
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Hay  que  tener  en  cuenta,  también,  que  la  duración  en  buenas  condiciones  y  en  
plenitud  de   operatividad  de   las   naves   espaciales   es   un   lapso  muy   breve   en  
comparación  con  la  de  los  astros;  pero  eso  nos  da  la  ventaja  de  que  sabemos  
también   que   estos   últimos   en   el   corto   plazo   tienen   la   estabilidad   de   sus  
trayectorias   garantizada2;   lo   que   permite   decidir   la   ocasión   y   el   lugar   de   la  
toma  de  contacto  de  una  nave  de  origen  terrestre  con  determinado  cuerpo.    
Aquí  un  inciso  para  indicar  que  la  noción  de  optimización  del  viaje  espacial  es  
un   poco   distinta   a   nuestra   idea   habitual   de   viajes   sobre   la   superficie   de   la  
Tierra   en   la   que   prevalece,   por   ejemplo,   la   necesidad   de   invertir   el   menor  
tiempo   posible   (disponemos   de   poco   tiempo   vital)   o   minimizar   el   coste   en  
términos   económicos   (ahorro   energético).   Expresado   de   otra   manera,   las  
condiciones   principales   no   son   exactamente   similares   en   ambas   situaciones.  
Un   caso   prototipo   está   representado   por   las   diferentes   modalidades  
ensayadas  para  realizar  visitas  a  nuestro  vecino  más  próximo,  la  Luna3.  
Transferencias  orbitales  
Así   pues,   retomando   el   hilo   principal,   vemos   la   necesidad   de   realizar  
transferencias   eficientes   entre   órbitas   como   etapas   cruciales   en   los   viajes  
interplanetarios  que  parten  de  la  Tierra.    
Para   realizar   estos   cambios   hay   que   efectuar   una   secuencia   de   maniobras  
orbitales   muy   precisas.   Existen   varios   procedimientos,   los   conocimientos  
teóricos  derivan  de  un  trabajo  de  matemática-­‐‑física  muy  complicado  y  de  una  
tecnología  de  alto  nivel.    
Vamos   a   ver   aquí   esbozados,   como   ejemplo,   dos  modalidades  diferentes  de  
paso  entre  órbitas  circulares.  
El   primer   procedimiento   es   el   método   de   Hohmann   -­‐‑en   honor   de   W.  
Hohmann   (1880-­‐‑1945)   ingeniero   estudioso  de   las   órbitas  de   transferencia   en  
mecánica  celeste-­‐‑  y  requiere  dos  maniobras  muy  bien  ajustadas  para  realizar  
un   cambio   desde   una   trayectoria   circular   a   la   siguiente,   coplanaria   con   la  
primera  mediante  una  elipse  de  transición  interior   tangente  a  ambas,  véanse  
los  puntos  A  y  B  en  (Fig.  3a).  Los  cambios  de  velocidades  que  se  precisan  se  
 
2  Aunque  en  el  largo  plazo  la  estabilidad  no  está  garantizada,  sobre  todo  en  los  planetas  
interiores.  
3  Este  caso  será  posiblemente  tratado  con  más  detalle  en  una  artículo  posterior.  
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computan   teniendo   en   cuenta   una   magnitud   muy   interesante   en   mecánica  
celeste,  el  momento  angular.    
Mientras  que   en   el   segundo   (Fig.   3b)   lo  que   se  observa   es  una   transferencia  
bielíptica   es   decir   que   para   pasar   de   una   órbita   a   otra   se   trazan   dos   semi-­‐‑
elipses  que  cambian  el  cuerpo  del  punto  A  de  la  primera  órbita  al  punto  B  de  
la  segunda  órbita  circular,  por  la  parte  exterior  de  las  circunferencias.  
  
Figura  3.  Transferencia  de  órbitas  en  naves  espaciales  
Estas  formas  de  paso  de  unas  órbitas  a  otras  se  prueban  y  se  están  empleando  
en  misiones  espaciales,  ¡bonitos  juegos  de  trayectorias!,  y  muy  útiles.  
  
Referencias  
[1]  HERRERA,   R.M.:   “El   piano   y   la   Luna”  Ciencia   y  Cultura  C2,  Monterrey,  
2015  
[2]  HERRERA,  R.M.:  “¿Por  qué  la  noche  es  oscura?,  C2,  Monterrey,  2015  
[3]   HERRERA,   R.M.:   “Resonancias   en   el   Sistema   Solar”  Neomenia,   Madrid,  
2012  
[4]   HERRERA,   R.M.:   “Urania   y   los   caminos   del   cielo”  Ciencia   y   Cultura  C2,  
Monterrey,  2015  
[5]   MILANI,   A.   &   GRONCHI,   C.:   “Theory   of   the   orbit   determination”  
Cambridge  University  Press,  2010    
[6]  MOSER,   J.K.:   “Is   the   Solar   System  Stable?”  The  Mathematical   Intelligencer.  
pp.  65-­‐‑71,  1978  
Órbitas… Rosa M Herrera  
  
  
  
      
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[7]   MOSER,   J.K.:   “Stable   and   Random   Motions   in   Dynamical     Systems”  
Princenton  Landarmarks  in  Mathematics    
[8]   POINCARÉ,   H.:   “Les   méthodes   nouvelles   de   la   mécanique   céleste”  
Gauthier-­‐‑Villars  et  fils,  1899  (reprint  Dover  1957)  
[9]   SIEGEL,   C.L.   &   MOSER,   J.K.   &   KALME,   Ch.I.:   ”Lectures   on   Celestial  
Mechanics”  Springer,  1994  
  
Sobre  la  autora:  
Nombre:  Rosa  M  Herrera    
Correo  Electrónico:  herrera.rm@gmail.com  
Institución:   Dep.   Matemática   aplicada   a   la   Ingenieria   Civil   (UPM)-­‐‑   GIE  
“Pensamiento  Matemático”  &  Research  Group  of  Celestial  Mechanics    (SEAC)