Apuntes de Hidrología del Subsuelo

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Apuntes de Hidrología del Subsuelo preparados por Javier Samper. Curso 2013-2014 
 
 
 
Hidrología del Subsuelo. E.T:S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Universidad de La Coruña. página 1 de 9 
 
HIDROLOGÍA DEL SUBSUELO: 
 
ECUACIÓN GENERAL DEL FLUJO A TRAVÉS 
DE MEDIOS POROSOS 
 
 
Índice 
1. Ecuación general del flujo 
1.1 Ecuación de continuidad 
1.2 Ecuación de la dinámica 
2. Casos particulares 
3. Análisis de valores medios y análisis dimensional 
4. Métodos de solución de la ecuación del flujo 
5. Ejercicios 
 
 
1. ECUACIÓN GENERAL DEL FLUJO 
 
La ecuación del flujo a través de medios porosos se obtiene a partir de dos principios físicos básicos: 1) 
el de conservación de la masa y 2) la ley de la dinámica (conservación del momento). 
 
1.1. Ecuación de continuidad 
 
La ecuación de continuidad o conservación de la masa establece que en un elemento diferencial de 
medio poroso de dimensiones dx· dy·dz se debe cumplir que (Figura 1): 
 
FLUJO MÁSICO ENTRANTE – FLUJO MÁSICO SALIENTE  FUENTE / SUMIDERO = 
 VARIACIÓN DE ALMACENAMIENTO (1.1) 
 
El flujo volumétrico viene dado por la velocidad de Darcy, ,q cuyas componentes son (qx, qy, qz) 
mientras que el flujo másico unitario es q , donde  es la densidad del agua. 
En un elemento paralelepipédico de dimensiones dx, dy, y dz, por la cara perpendicular al 
eje x existe un flujo másico entrante cuya magnitud es el producto del flujo unitario xq por la 
superficie de dicha cara, dy·dz. En la cara opuesta situada a una distancia dx, el flujo unitario 
tiene una magnitud 
dx
x
xq
xq

  
 
Aplicando el mismo razonamiento al resto de las caras y teniendo en cuenta el signo de los 
flujos se obtiene: 
 
 
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Figura 1. Volumen elemental de referencia 
 
 
t
wM
dzdywdxdydxdx
z
zq
zqdydxzqdzdx
dy
y
yq
yqdzdxyqdzdydx
x
xq
xqdzdyxq































·····
···



 (1.2) 
 
donde Mw es la masa de agua contenida en el elemento diferencial de medio poroso que se 
obtiene multiplicando el volumen de medio de poroso, dx·dy·dz, por la porosidad  y la 
densidad del agua  : 
 dz·dy·dxwM  (1.3) 
 
Simplificando los términos que se cancelan en (1.2) y sustituyendo (1.3) en (1.2), se obtiene 
 
dz·dy·dx
t
dz·dy·wdxdz·dy·dx
z
zq
y
yq
x
xq








 







 (1.4) 
 
donde w representa el término fuente/sumidero volumétrico (volumen añadido/extraido por 
unidad de tiempo y unidad de volumen de medio poroso). Puesto que dx·dy·dz es no nulo, se 
puede simplificar de la Ecuación (1.4, obteniéndose: 
 
 
t
w
z
zq
y
yq
x
xq








 







 (1.5) 
 
El primer término de esta ecuación es el operador divergencia de q que se denota mediante el 
símbolo   , simplificándose en: 
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  
t
wq

 (1.6) 
 
El término de la derecha de la Ecuación (1.6) representa la variación temporal de la masa de 
agua por unidad de volumen de medio poroso. En hidrología subterránea este término se suele 
expresar en términos de la variación temporal del nivel piezométrico, h, aplicando la regla de la 
cadena y teniendo en cuenta que tanto  como  dependen de la presión intersticial, p, la cual 
a su vez está relacionada con h mediante 
 γ
p
+z=h (1.7) 
donde  es el peso específico del agua, gp . Por tanto, 
 
 
t
h
pt
p
pt 








 
 (1.8) 
 
El término 
t

 se obtiene a partir de la compresibilidad del agua, , y del sólido  . La 
compresibilidad del agua viene dada por 
 
 
pd
)(lnd
dp
d1 

 (1.9) 
Su valor es aproximadamente constante e igual a 4.4 10-10 m2/N. La compresibilidad del 
esqueleto sólido es en general mayor que la del agua (entre 10-7 y 10-9m2/N), y se define como: 
 
  



1
1
'd
d
'd
TV/TdV
 (1.10) 
donde ' es la presión efectiva que, de acuerdo con la ley de Terzaghi, está relacionada con la 
presión total T mediante: 
 p'T  (1.11) 
 
Si T es constante, se cumple que 
 
 dp'd  (1.12) 
 
Desarrollando la derivada de 


 en (1.8) se obtiene 
 
ppp 





 (1.13) 
donde, de acuerdo con (1.9) el primer término viene dado por: 
 


 (1.14) 
 
mientras que el segundo término se puede expresar como 
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p
'
'p 





 
donde 
'

 se obtiene a partir de (1.10) 
  

 1
'
 (1.15) 
De acuerdo con (1.12), 1
p
'



. Sustituyendo (1.14) y (1.15) en (1.13) se obtiene 
  

 1
p
 (1.16) 
 
Sustituyendo (1.8) en (1.6) teniendo en cuenta (1.16), se obtiene finalmente 
 
  
t
h
sSw

  q (1.17) 
donde 
 
     1
s
S (1.18) 
 
SS es el coeficiente de almacenamiento específico que tiene unidades de   1LsS  y 
representa el volumen de agua liberado por unidad de volumen de medio poroso cuando el nivel 
piezométrico se disminuye una unidad. Valores típicos de Ss son del orden de 10-6 m-1. 
 
Si se considera que el medio es deformable, el volumen diferencial dxdydxTdV  puede variar 
de acuerdo con la compresibilidad  mediante: 
 
 
TdV
'
TdV 


 (1.19) 
 
Por tanto, en la ecuación (1.4) hay que añadir el siguiente término: 
 
   
  
t
h
TdV
t
h1TdV 
t
h
h
p
p
'
'
TdV
t
TdV















 (1.20) 
 
Añadiendo este término, el coeficiente de almacenamiento específico Ss viene dado por 
 
     1sS(1.21) 
 
 
 
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1.2 Ecuación de la dinámica 
 
La ecuación de la dinámica del flujo a través de medios porosos es la Ley de Darcy: 
 
 h Kq (1.22) 
 
donde K es el tensor de conductividad hidráulica. Sustituyendo (1.19) en la ecuación de 
continuidad (Ecuación 1.17) se obtiene: 
 
  
t
hSwh s 
 K (1.23) 
 
Desarrollando el término de la divergencia como la derivada de un producto se obtiene: 
 
  
t
hSswhh

 KK (1.24) 
 
En general el término  hK es despreciable frente al resto de términos. Por ello, después 
de dividir por la densidad  la Ecuación (1.25) se reduce a 
  
t
h
s
Swh

 K (1.25) 
 
2. CASOS PARTICULARES 
 
En régimen estacionario o permanente se obtiene la Ecuación de Poisson: 
 
   0wh  K (2.1) 
 
En régimen estacionario y para medio homogéneo e isótropo se tiene 
 
   0whK  (2.2) 
 
Si además w = 0, entonces se obtiene la Ecuación de Laplace 
 
 0h2  (2.3) 
 
donde  2 es el operador laplaciano. En una dimensión la ecuación de flujo es: 
 
 
t
hSw
x
hK
x s 











 (2.4) 
 
En el plano (x, z) la ecuación de flujo es: 
 
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t
hSs
2z
h2
zK
2x
h2
xK






 (2.5) 
 
Las variables dependientes son el nivel piezométrico, h (x, y, z, t), que depende de la 
posición y del tiempo y la velocidad de Darcy que se calcula a a partir de la Ecuación (1.22). Una 
vez conocidos los niveles, h, las presiones intersticiales se calculan a partir de (1.7) mediante 
 
 )( zhp   
 
 
Los parámetros de la ecuación son: 
 
 La conductividad hidraúlica  ,.....,, III KKK 
 El almacenamiento específico SS que depende de las compresibilidades,  y y 
de la porosidad  
 La difusividad hidráulica SSKD / , es el cociente entre K y Ss. 
 
Las condiciones en los límites  del dominio D deben ser conocidas. Estas condiciones pueden 
ser de varios tipos, tal como se muestra en la Figura 2: 
 
1. Dirichlet: 
 
0Hh  en 1 
2. Neumann: 
 
0Qnq en 2 
 
Un caso particular son los bordes impermeables en los que 
 
00QnhK  
3. Mixto: 
 0Hh nq en 3 
 
Además de las condiciones en los límites o de contorno el problema queda definido mediante 
las condiciones iniciales )(0 xh que o bien son conocidas o bien pueden corresponder a las 
solución de un problema estacionario dado por: 
   000  whK 
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Figura 2. Ejemplo ilustrativo de condiciones de contorno en el flujo a través de una presa de 
materiales sueltos. 
 
3. ANÁLISIS DE VALORES MEDIOS Y ANÁLISIS DIMENSIONAL 
 
 
t
hSw
2x
h2
K s 



 (3.1) 
 
Integrando está ecuación en el intervalo de tiempo comprendido ente 0 y T se obtiene: 
 
 dt
h
h
sS
T
1
wdt
T
1
dt
T
0
T
0
T
0 2
2
x
h
K
T
1

  

 (3.2) 
 
Definiendo los valores medios h y w 
 
  
T
0
T
0
wdt
T
1
w;hdt
T
1h (3.3) 
 
 0
T
0hTh
SSw
2x
h2
K 


 (3.4) 
 
Para adimensionalizar la ecuación de flujo se definen las variables adimensionales: 
 
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*t
t
Dt ;
H
h
Dh ;
L
X
DX  (3.5) 
donde t* es un tiempo característico. Las derivadas cumplen la siguiente propiedad: 
 
 
     
DXL
1
X
DX
DXx 







 
 
Sustituyendo en la ecuación, se obtiene 
 
 
Dt
Dh
*t
HSS
2
DX
Dh2
2L
HK




 (3.6) 
y simplificando se tiene: 
 
Dt
Dh
*Kt
2LSS
2
DX
Dh2




 (3.7) 
 
Si se define el tiempo característico como: 
 
 
K
2LSS*t  (3.8) 
La ecuación del flujo se reduce a: 
 
Dt
Dh
2
DX
Dh2




 (3.9) 
Por tanto el tiempo dimensional es: 
 
2LsS
Kt
Dt  (3.10) 
 
4. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL FLUJO 
 
4.1 ANALÓGICOS: 
 
- Modelos a escala reducida 
- Modelos con analogía eléctrica 
 
4.2 ANALÍTICOS: 
 
Son exactos aunque sólo aplicables bajo fuertes simplificaciones. Incluyen: 
 
1. Casos simples 
2. Utilización de las transformadas de Laplace (para problemas en dominios infinitos o 
semiinfinitos) y de Fourier (para problemas en dominios finitos) 
3. Separación de variables 
4. Funciones de Green 
5. Indirectos: 
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- Superposición 
- Teoría de imágenes 
 
4.3 GRÁFICOS: Redes de flujo 
 
Sólo aplicables para régimen permanente 
 
4.4 NUMÉRICOS 
 
- Diferencias finitas 
- Elementos finitos 
 






































thh
sDesembalse -
en taludes Flujo -
Bombeos-
OTRANSITORI
medias scondicione de Análisis
presasen Filtración
0
t
q
0
t
h
PERMANENTE
RÉGIMEN
 
 
 
5. EJERCICIOS 
1. Enunciado: a partir de 
x
h
Kq


 , deducir la expresión del caudal adimensional qD.