Límites e Continuidade

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Unidad 2
Límites y continuidad
Objetivos
Al terminar la unidad, el alumno:
Aplicará el álgebra de límites.
2
79
Matemáticas 
Introducción
L a noción de estar cada vez más cerca de algo pero sin llegar a tocarlo 
caracteriza al l ímite, que es el concepto fundamental sobre el cual se 
construye todo el cálculo.
El concepto de límite describe en forma precisa el comportamiento de la 
función cuando los valores de x están muy próximos a un valor a, pero sin ser 
igual a a. Esta situación la tenemos presente en problemas de administración 
y economía, por ejemplo, en la producción máxima teórica de una máquina o 
proceso industrial, la que se calcula como un límite en el sentido de que es una 
producción no alcanzable, pero a la que se puede aproximar; también podemos 
percibirlo en el rendimiento por litro de gasolina de un auto, el fabricante nos 
indica que tiene cierto rendimiento, sin embargo es un valor no alcanzable pues 
este rendimiento se logra bajo ciertas condiciones que difícilmente se llegan 
a tener en el uso diario del automóvil, posiblemente se logrará acercarse a ese 
valor, pero nunca se alcanza.
La continuidad de una función es el otro concepto que se estudiará en esta 
unidad, la cual, además de su importancia teórica, está presente en ciertos 
procesos productivos en los cuales se considera que existen puntos en el 
proceso de producción en donde existen discontinuidades, los costos asumen 
diferente estructura.
2.1. Concepto de límite
Los límites describen lo que le sucede a una función f(x) a medida que 
su variable independiente x se aproxima a una constante a. Para ilustrar este 
concepto, supongamos que se quiere conocer qué le sucede a la función:
 
f x
x x
x
( )
2 2
1
a medida que x va tomando valores cercanos a 1.
Aunque f(x x = 1, el interés no es esta igualdad, ya que 
lo que se quiere es tomar valores cercanos a 1 y observar el comportamiento de 
las imágenes. Ahora bien, para acercarnos a 1 lo podemos hacer con valores más 
pequeños que 1 o con valores mayores a 1. 
Haciendo referencia al eje x, se dice que se realiza un acercamiento por 
la izquierda en el primer caso y por la derecha en el segundo. La tabla 2.1 
muestra algunos valores de x en las cercanías de 1 junto con sus respectivas 
imágenes f(x).
80
Unidad 2
0
Al factorizar el numerador y cancelar los factores comunes se obtiene: 
 , f(x) = x + 2 para todos los valores x 1, lo que 
facilita los cálculos. 
Tabla 2.1. Algunos valores de la función f(x)= x + 2 en las cercanías de 1.
En esta tabla los valores de la función f x
x x
x
( )
2 2
1
 se acercan a 3 
cuando x se acerca cada vez más a 1 por cualquier lado. 
Este comportamiento puede describirse diciendo que el límite de f(x) a medida 
que x se acerca a 1 es igual a 3 y se escribe simbólicamente de la forma: 
 
lim ( )
x
f x
1
3
f x
x x
x
( )
2 2
1
 a través 
Figura 2.1. f x
x x
x
( )
2 2
1
en un valor a:
 x 0.8 0.9 0.95 0.99 0.999 1.0001 1.001 1.01 1.05 1.1
 f(x) 2.8 2.9 2.95 2.99 2.999 3.0001 3.001 3.01 3.05 3.1
f x
x x
x
x( )
( )( )2 1
1
2
2
81
Matemáticas 
Agregar otros teoremas de límites que completen las propiedades:
El l ímite, cuando existe, es único. Esto en particular significa que la 
función f(x) se acerca a L, tanto si x se acerca a a por la izquierda como 
por la derecha.
El límite de una función en un punto a 
L, que es el límite de la función, coincide con f(a
la función existe y f(a
función f(a) no existe, sin embargo el límite L sí existe.
Figura 2.4. El límite existe en a x = a.
Si f(x) se aproxima cada vez más a un número L a medida que x se acerca a 
a por cualquier lado, se dice que L es el límite de f(x), cuando x toma valores 
a pero no igual a a, y se escribe:
 lim
x a
f x L( )
f(a)
f(a)
Figura 2.2. El límite L coincide con f(a). Figura 2.3. El límite L es diferente a f(a).
82
Unidad 2
límite en a porque f(x) se 
aproxima a 2 a medida que x se acerca a a por la izquierda y a su vez se aproxima 
a 5 cuando x se acerca a a por la derecha. El círculo relleno indica que la imagen 
de a esta ahí, en tanto que el círculo vacío indica lo contrario.
Figura 2.5. No existe límite en a.
a 
no existe, ya que los valores de la función f(x
que x se acerca a a 
Figura 2.6. El límite en el punto a .
2
83
Matemáticas 
Ejercicio 1
1. 
 
2.
3.
4.
b (a, b)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
84
Unidad 2
5.
6.
 
 
 
7.
 
8. 
xa
f (x)f (x)
f (x)
f (x)
b (a, b)
f (x)
a
2
85
Matemáticas 
2.2. Teoremas de límites
Para calcular límites en funciones dadas en forma algebraica se requiere de 
los límites de las funciones constante e idéntica y de un teorema que enseña 
a calcular límites para funciones obtenidas como resultado de operaciones 
algebraicas entre funciones.
2.2.1. Límite de la función constante
Si se tiene la función f(x)=2, ¿cuál es el límite de esta función si x tiende al 
valor 5? Como la función no se mueve del valor 2, es natural pensar que su límite 
es también 2. En relación con este razonamiento, de manera general al calcular el 
límite de una constante c se tiene el siguiente resultado general:
 lim
x a
c c
Esto es, “el límite de una constante es la constante misma” .
Ejemplo 1 
¿Cuál es el límite de la función f (x)=5 cuando x se acerca al valor 17?
Solución: la función vale 5 para todos los valores de x, luego su límite 
es 5, es decir:
 
lim
x 17
5 5
2.2.2. Límite de la función idéntica
Dada la función idéntica f(x) = x, ¿cuál es el límite cuando el valor x se 
acerca a a? El límite de esta función es el mismo valor de a, ya que los valores 
de la función son los mismos de x, es decir, se tiene:
 
lim
x a
x a
86
Unidad 2
Ejemplo 2
¿Cuál es el límite de la función idéntica en 85?
Solución: como las imágenes de la función idéntica son los mismos de 
85, es decir:
 
lim
x
x
85
85
2.2.3. Álgebra de límites
El siguiente teorema muestra la forma de hallar los límites de las distintas 
operaciones con funciones cuando se conocen los límites de las funciones 
que intervienen.
Teorema 1
Si lim
x a
f x L( ) y lim
x a
g x M( ) se tiene que:
1. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M 
2. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x LM 
3. lim
( )
( )
lim ( )
lim ( )x a
x a
x a
f x
g x
f x
g x
L
M
 siempre y cuando M 0
4. lim
x a
n nx a
5. lim
x a
n nx a
En otras palabras, lo que el teorema dice es que el límite de una suma, 
diferencia, producto o cociente de funciones es igual a la suma, diferencia, 
producto o cociente de los límites. Para el cociente se excluye el valor 0 para el 
límite M
Así también, el l ímite de una potencia y raíz es la potencia o raíz del 
límite.
Ejemplo 3
¿Cuál es el l ímite de la función f(x) = 2x2 + 3x –5 cuando x tiende a 
cualquier valor a?
2
87
Matemáticas 
Solución: de acuerdo con el teorema tenemos que la función es una suma, 
entonces basta calcular el límite de cada uno de los sumandos y sumar luego 
los resultados. Como los sumandos son el producto de funciones constantes e 
idénticas, es necesario hallar el límite de estas funciones y luego multiplicar 
los límites, esto es:
lim lim
(lim )(lim ) (lim )
x a x a
x a x a x a
x x x
x x
a a
2 2
2
2
2 
Por los resultados conocidos para las funciones constante e idéntica, si 
hacemos lo propio con los demás sumandos se llega a que el límite es igual 
a 2a2 + 3a –5.
Realizando un análisis como el del ejemplo 1 se obtiene el siguiente resultado, 
al cual llamamos corolario para indicar que se deduce del teorema 1.
Colorario 1
1. Si f(x) es un polinomio se tiene que lim
x a
f x f a( ) ( )
2. Si r x
g x
h x
( )
( )
( )
 es una función racional, se tiene que lim
x a
r x r a( ) ( ) 
siempre y cuando h(a) 
Lo que el corolario dicees que para calcular el límite de un polinomio en un 
valor a basta calcular la imagen del polinomio en el valor a. Para las funciones 
racionales es igual, excepto en los casos en que el denominador se haga 0 porque 
la división entre 0 no tiene sentido.
Ejemplo 4
Utilizando los resultados anteriores calculamos los límites siguientes:
a) lim
x 5
7 7
88
Unidad 2
b) lim
x
x
6
2 26 36
c) lim
t
t
2
4 42 16( )
d) lim
x
x x
1
2
2
2
1
2
1
2
3
4
( )
e) lim
x 0 2
0
x
f ) lim
x
x
27
3 3
Ahora bien, ¿cómo se calcula un límite de una función racional cuando el 
denominador es cero? La respuesta depende del límite de la función que está en 
el numerador, en el sentido de que puede ser cero o diferente de cero.
Para el caso en que el l ími te del numerador también sea cero, se 
obtiene una expresión de la forma 0
0
 que es una expresión indeterminada 
porque, 
puede ser cualquier número real r ya que se sati sface la igualdad: 
cociente divisor = dividendo, esto es r 0 = 0.
Para estos casos, aunque se puede dar una respuesta concreta diciendo 
que desaparezca la indeterminación producida por la presencia del 0, tanto 
en el numerador como en el denominador. 
Ejemplo 5
¿Cuál es el lim
x
x
x1
2 1
1
?
 
Solución: cuando x tiende a –1, tanto el numerador como el denominador 
se aproximan a cero, conduciéndonos a una expresión indeterminada de la 
forma 
0
0
.
Si tanto el polinomio del numerador como el del denominador se hacen 0 en –1 
es porque el factor lineal x + 1 los divide, y por lo tanto lo podemos cancelar.
Es decir, factorizando el numerador obtenemos:
2
89
Matemáticas 
 
x
x
x x
x
x
2 1
1
1 1
1
1
( ) ( )
( )
Observemos que la cancelación del término x + 1 en el denominador se 
puede realizar si y solamente si x –1, hecho que no afecta nuestro análisis 
porque precisamente el valor –1 no pertenece al dominio de la función original, 
por lo tanto:
 
lim lim
x x
x
x
x
1
2
1
1
1
1 2
Este ejemplo nos recuerda el hecho de que no obstante la función no esté 
 Figura 2.7. y
x
x
2 1
1
Ejemplo 6
¿Cuál es el lim
x
x
x2
3 8
2
?
Solución: nuevamente tanto el numerador como el denominador se hacen 
0 cuando x 
de factorizar el numerador:
x
x
x x x
x
x x
3 2
28
2
2 2 4
2
2 4
( ) ( )
( )
 para valores x 2
 
lim lim ( )
x x
x
x
x x
2 2
3
28
2
2 4 12
90
Unidad 2
 Figura 2.8. y
x
x
3 8
2
Ejemplo 7
¿Cuál es el lim
x
x
x x1
2
2
1
3 2
?
Solución: por la misma razón de los ejemplos anteriores procedemos primero 
x = 1
 
x
x x
x x
x x
x
x
2
2
1
3 2
1 1
1 2
1
2
( ) ( )
( ) ( )
 para x 1
Gracias a la nueva expresión podemos calcular el límite sin ningún problema 
sustituyendo el valor de x por 1
lim lim
x x
x
x x
x
x1
2
2 1
1
3 2
1
2
2
1
2
 Figura 2.9. y
x
x x
2
2
1
3 2
2
91
Matemáticas 
Ejemplo 8
¿Cuál es el lim ?
x
x
x9
9
3
Solución: lim lim
lim
x x
x
x
x
x
x
x
x9 9
9
9
3
9
3
3
3
 =
(( )( )
( )
lim
x x
x
x
x
9 3
9
3 6
9
 Figura 2.10. y
x
x
9
3
Ejercicio 2
1. 
x 3
lim ( )3 2 22x x 6. lim 
x
x x
x x0
7 5
3
2. 
x
x
x0
21lim 7. lim
x
x x
x2
3
3
2 4
8
3. lim( )
x
x
2
22 8. lim
x
x
x1
3
4
1
1
4. lim
x
x
x3
6 3 9. lim
x
x
x4
2
4
5. lim
x
x x x
x1
2 5 2
1
3 2
3 10. lim
x
x
x4
2 16
2
92
Unidad 2
2.2.4. Límites infinitos 
En los ejemplos anteriores se trabajó con indeterminaciones del tipo 
0
0
 que como 
se vio se resuelven factorizando y cancelando el término lineal que las origina. 
Ahora, ¿qué se hace si es sólo el denominador el que se anula en el valor 
en el que se quiere calcular el l ímite? Es decir, qué se hace en situaciones 
como la del siguiente ejemplo:
Ejemplo 9
¿Cuál es el lim
x x0 2
1
?
Solución: si reemplazamos la x por el valor 0 obtenemos la expresión 
1
0
 que 
no es número real, ya que no existe ningún número que multiplicado por 0 dé como 
resultado el valor 1. Como estamos calculando un límite, observemos lo que ocurre 
con los valores de la función cuando nos acercamos al valor 0. En la tabla 2.2 
aparecen algunos valores de x con sus correspondientes imágenes: 
Tabla 2.2. Valores de la función 1/x2 en las cercanías de 0.
 x 1/x2 x 1/x2
 –1 1 1 1
 –0.5 4 0.5 4
 –0.2 25 0.2 25
 –0.1 100 0.1 100 
 –0.05 400 0.05 400
 –0.01 10 000 0.01 10 000
 –0.001 1 000 000 0.001 1 000 000 
1
2x
 que aparecen en la 
los valores de la función se hacen más grandes y tan grandes como se quiera. 
Figura 2.11. f x
x
( )
1
2 .
2
93
Matemáticas 
Para indicar este tipo de comportamiento usamos la notación:
 
lim
x x0 2
1
Donde el símbolo 
la función crece ilimitadamente, es decir, podemos hacer 
1
2x
 tan grande como 
deseemos, escogiendo una x 
simplemente símbolos que indican un crecimiento o decrecimiento de la función.
En escritura simbólica se tiene:
 
lim
x a
f x( )
para indicar que los valores de f(x) se hacen cada vez más grandes cuando 
x tiende a a, y lo leemos: 
Ejemplo 10
¿Cuál es el lim
x x0
1
?
Solución: igual que en el ejemplo anterior, si reemplazamos la x por el valor 
0 obtenemos la expresión 
1
0
 que no es número real. Para tener una idea de 
lo que ocurre en las cercanías de 0, calculamos la imagen de la función para 
algunos valores cercanos a 0. En la tabla 2.3 aparecen algunos valores de x con 
sus correspondientes imágenes.
Tabla 2.3. Algunos valores de la función 1/x en las cercanías de 0.
 x 1/x x 1/x
 –1 –1 1 1
 –0.5 –2 0.5 2
 –0.1 –10 0.1 10
 –0.02 –50 0.02 50 
 –0.001 –1000 0.001 1 000
 –0.00001 –100 000 0.00001 100 000
 –0.000001 –1 000 000 0.000001 1 000 000 
En la tabla anterior podemos observar los siguientes hechos:
“El límite de f(x) cuando x tiende a a f(x
cuando x tiende a a” .
94
Unidad 2
1. Cuando x se acerca a 0 con valores más pequeños (negativos) los valores 
de la función aunque negativos, se hacen muy grandes y cada vez más 
en valor absoluto.
2. Cuando x se acerca a 0 con valores mayores (positivos) los valores de la 
función crecen y se hacen cada vez más grandes.
Es decir, en este caso tenemos comportamientos diferentes para la función 
según el acercamiento a 0 sea por la derecha o por la izquierda. Cuando se acerca 
por la derecha (los valores positivos en la tabla), de acuerdo con el ejemplo 
anterior la función tiende a . En cambio, cuando se acerca por la izquierda 
(son los valores negativos en la tabla) la tendencia es a hacerse grandes pero 
negativos, razón por la cual decimos que tiende a – . Esta circunstancia de 
tendencias diferentes, dependiendo del lado por el cual nos acerquemos, las 
evidenciamos simbólicamente de la siguiente forma: 
 
lim y lim
x xx x0 0
1 1
En donde los signos – y + que aparecen posicionados como si se tratara de 
un exponente, indican por cuál lado se está acercando la x a 0:
El signo – indica que el acercamiento es por la izquierda.
El signo + indica que el acercamiento es por la derecha.
Figura 2.12. f x
x
( )
1
.
2
95
Matemáticas 
Esta idea de diferentes tendencias en la función dependiendo de la forma de 
acercarse al punto en el cual se quiere calcular el límite, conduce al concepto 
de los límites laterales.
2.2.5. Límites laterales
f (x), observemos que 
x = 0, sin embargo: 
a) Si nos acercamos a cero por la derecha, es decir, tomando valores de x 
mayores que cero, la función se acerca a 1.
 
lim
x
f x
11( )
b) Si nos acercamos a cero por la izquierda, es decir, tomando valores de x 
menores que cero, la función se acerca a –1.
 lim
x
f x
1
1( )
Figura 2.13. Función con límites laterales distintos, cuando x 0.
Límites como éstos son llamados límites laterales y son muy útiles para saber 
si el límite de una función existe. El límite existe si y sólo si los límites laterales 
existen y son iguales. Simbólicamente se escribe de la siguiente forma:
 lim lim y lim
x a x a x a
f x L f x L f x L( ) ( ) ( )
Donde el símbolo si y sólo si en el sentido de que la expresión 
del lado izquierdo es “equivalente” a la del lado derecho. 
96
Unidad 2
límites laterales en 0, no tiene límite en 0 porque éstos no son iguales.
Ejemplo 11
¿La función f x
x x
x
( )
1 2
2 2
si
si
 tiene límite en x = 2?
Solución: calculemos los límites laterales:
a) Para calcular el límite por la izquierda con valores más pequeños que 2, 
usamos la expresión x + 1 y obtenemos:
 
lim lim
x x
f x x
2 2
1 3( )
b) Por la derecha con valores más grandes que 2, obtenemos:
 
lim lim
x x
f x
2 2
2 2( )
Como los límites laterales son diferentes, concluimos que la función no 
tiene límite en 2.
 Figura 2.14. f x
x x
x
( )
1 2
2 2
si 
 si 
Ejemplo 12
Analicemos el comportamiento de la función f x
x
( )
2
1
 en las cercanías 
de –1.
2
97
Matemáticas 
Solución: cuando x tiende a –1 por la derecha (valores de x tales como 
–0.9, –0.99, y así sucesivamente) x + 1 tiende a 0 pero siempre es positivo. 
Como el numerador es negativo el cociente es negativo y cada vez más grande 
en valor absoluto, tenemos:
 
lim
x x1
2
1
Cuando x se acerca a –1 por la izquierda (valores como –1.5, –1.1, etc.) x+1 
tiende a 0 pero con valores negativos. Como el numerador es negativo, se tiene 
que el cociente es positivo y por lo tanto obtenemos:
 
lim
x x1
2
1
Como los dos límites laterales son diferentes podemos concluir que la 
función dada no tiene límite en –1.
 Figura 2.15. y
x
2
1
Ejemplo 13
El costo de eliminar x% de artículos defectuosos está dado por la siguiente 
función C x
x
x
( )
7 000 000
100
 
 para 0 x 100
a) ¿Cuál es el costo de eliminar la mitad de producción defectuosa?
b) ¿Qué porcentaje de los productos defectuosos puede eliminarse con 
30 000 000?
c) Evalúa el costo cuando x tiende a 100.
Solución: a) Para encontrar el costo de el iminar la mi tad de la 
producción defectuosa calculamos la imagen de la función cuando x es 
50, C(50)= 7 000 000
98
Unidad 2
b) Para hallar el porcentaje correspondiente basta despejar x en la ecuación 
30 000 000
7 000 000
100
 x
x
 para obtener x = 81.1%
c) Cuando decimos x tiende a 100 debemos asumir que el acercamiento es 
con valores más pequeños que 100, ya que con valores mayores que 100 no tiene 
ningún sentido. Es decir, la idea es calcular el límite por la izquierda en 100. 
Como 100 – x es positivo tenemos que lim
x
C x
100
( ) .
error en la producción, lo que en términos reales nos podría llevar a conformarnos 
con aceptar ciertos “ límites razonables” de errores en la producción o a revisar la 
función dada para el costo de eliminar esa producción.
2.2.6. Límites en el infinito 
cuando la variable independiente se acercaba a un valor real a, no obstante, 
también es útil preguntarse por la tendencia de la función cuando el valor de la 
límite, se pretende estudiar límites de las siguientes formas:
 
lim lim
x x
f x f x( ) ? ( ) ?
Para responder estas incógnitas, lo mejor es estudiar una situación real donde 
 
Ejemplo 14
Una fábrica de muebles produce muebles para computadora. La fábrica 
en saber hasta cuánto puede reducir el costo promedio de la fabricación de cada 
Solución: la función de costos tiene la forma C(x) = 1 000 000 + 300x siendo 
x el número de muebles para computadora.
2
99
Matemáticas 
A su vez, el costo promedio de cada escri torio está dado por 
C x
x x
( ) 1 000 000
300
Lo que queremos calcular es el valor hacia el cual tiende el costo promedio 
trata de calcular el siguiente límite:
lim lim
 
x x
C x
x x
( ) 1 000 000
300
Como es el límite de una suma tenemos que calcular el l ímite de cada 
uno de los sumandos:
 
lim
 
 
x x
1 000 000
(1))
lim 
x
300 (2)
Para calcular el límite (1) basta observar que a medida que el valor de x crece 
el cociente se hace más pequeño, lo que nos conduce a concluir que:
 
lim
 
x x
1 000 000
0
Como el límite (2) es el l ímite de una constante y por lo tanto es la 
constante misma, tenemos que el costo promedio tiende al valor 300, lo que 
coincide con la intuición previa que hubiéramos podido tener antes de realizar 
los cálculos, debido a que los costos fijos deben dividirse entre todos los 
escritorios fabricados. 
Del ejemplo anterior podemos generalizar el lim
x x
1
0 diciendo que
 lim
x nx
1
0 donde n > 0
Ejemplo 15
¿Cuál es el lim
x
x x( )5 3 72 ?
Solución: cuando x x2 + 3x – 7 lo hace 
también, por lo tanto, lim
x
x x5 3 72
100
Unidad 2
Ejemplo 16
¿Cuál es el lim
x
x x( )3 2 1
3
?
Solución: cuando x x3 lo hace también, sin embargo, 
–x2
la grandeza de los términos que participan. Para quitar la indeterminación 
procedemos algebraicamente sobre la función dada:
x x x
x x
3 2 3
3
1
3
1
1 1
3
 para valores x 0. Calculamos ahora el límite 
cuando x como 1 1
3 3x x
y tienden a cero, por lo tanto el límite es 
 Figura 2.16. y x x3 2 1
3
Con el mismo procedimiento algebraico de los ejemplos 15 y 16 se puede 
deducir la siguiente proposición:
Proposición 1
Dado el polinomio de grado n, p x a x a x an
n
n
n( ) 1
1
0 se tiene que: 
 
lim
si
six
n
n
p x
a
a
( )
0
0
2
101
Matemáticas 
Demostración: igual que en el ejemplo 15, la idea es factorizar el polinomio 
dado: 
 
p x a x a x a x a
a
x
a
xn
n
n
n n
n
n
n
( ) ( )1
1
0
1 0
Al calcular ahora el límite obtenemos ± dependiendo del signo de an tal 
En palabras, lo que la proposición 1 dice es que en un polinomio el término 
que predomina es el término principal, es decir, el de la mayor potencia. Si el 
signo es + el polinomio va para ; si es – el polinomio va hacia – .
Con los ajustes necesarios la proposición 1 permite calcular el límite para un 
polinomio cuando x o x –
Ejemplo 17
Analicemos los siguiente límites:
a) lim 
x
x x x x( )5 150 15 678 17 6 . Como el coef iciente de mayor 
potencia es 5 el resultado es .
b) lim
x
x x x x( )2 5 310 . Basta mirar el término de mayor potencia, 
x5, entonces el límite buscado es – .
Ejemplo 18 
¿Cuál es el lim
x
x x
x
2 3 8
5 1
3 2
2
?
Solución: dado que tanto el numerador como el denominador son polinomios, 
con an > 0 obtenemos la indeterminación . Como siempre, para quitar la 
indeterminación procedemos algebraicamente: dividimos el numerador y el 
denominador por la mayor potencia de todos los términos que existen, es decir, 
dividimos por x3 y obtenemos:
102
Unidad 2
 
2 3 8
5 1
2 3 8
5 1
2
3 8
5 1
3 2
2
3
3
2
3 3
2
3 3
3
3
x x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
 
Cuando x , el límite pedido es de la forma 
2
0
, que por nuestra experiencia 
con la función 1/x sabemos que es . Así obtenemos:
 
lim
x
x x
x
2 3 8
5 1
3 2
2
 
 Figura 2.17. y
x x
x
2 3 8
5 1
3 2
2
Ejemplo 19
Hallemos los siguientes límites:
a) lim lim
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
2 3 1
3 5 2
2
3 1
3
5 2
2 0 0
3 0
2
2
2 2
2 2
0
2
3
 
2
103
Matemáticas 
b) lim lim
x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x x
4 2
5
4
5
2
5 527 35 21
2 3 2
27 35 21
55
5
5 5 5
3 4 5
4 5
2 3 2
1 27 35 21
2
3 2
0 0 0 0
x
x
x
x x
x x x x
x x
x
lim
22 0 0
0
2
0
c) lim
x
x x x x
x x x
6 3 2
6 5
2 5 2 4
8 20 7
1
8
Ejercicio 3
En los ejercicios 1 a 7 halla los límites indicados en el caso de que existan:
1. lim )
x
x x
2
23 5 2 ( 2. lim
xx x
x5
2 3 10
5
 
3. lim
x
x
x3
2 3
3
 4. lim
x
x
x3
2 3
3
 
5. lim
x
x
x3
2 3
3
 6. lim ( )
x
x x x 3 5 7 56 1
7. lim
x
x x
x3
2
2
4 5
1
 
8. El costo (en pesos) de eliminar x% de la contaminación del agua en 
cierto río está dado por:
 
C x
x
x
x( )
712500
100
0 100para
a) Halla el costo de eliminar la mitad de la contaminación.
b) ¿Qué porcentaje de la contaminación puede eliminarse con $190 000?
c) Evalúa lim ( )
x
C x
100
. Realiza comentarios sobre los resultados.
104
Unidad 2
9. El costo en miles de pesos para producir x unidades de un artículo está 
dado por C(x) = 40x + 545 miles de pesos.
C (x).
C x
C x
x
xm( )
( )
para 0
c) ¿Qué le sucede a C x xm( ) cuando ?
10. El efecto de reducción del dolor de oídos con ayuda de un medicamento 
puede medirse empleando la función:
 
d x
x
x x
( )
. .
100
0 5 0 03
2
2
donde d (x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera cuando se utilicen 
x unidades de medicamento.
¿Qué le sucede a d(x) cuando x ?
2.3. Continuidad
Como se ha observado al calcular los límites de funciones, no siempre el 
límite coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se acerca la 
un corte en la línea que la representa. Se dice precisamente que la función 
en este punto es discontinua; cuando este corte no se presenta se dice que la 
función es continua en ese valor. 
Desde el punto de vista económico se puede decir que la continuidad 
de un proceso hace referencia a la homogeneidad de éste, en el sentido de 
que no existen momentos de ruptura donde las cosas se deban considerar 
diferentes a las demás.
una función y se presentan las propiedades de las funciones continuas.
2
105
Matemáticas 
 Figura 2.18. f (x) Figura 2.19. f (x) 
 continua en x=1. discontinua en x=1.
x = 1. 
recta continua sin 
discontinuidad en x = 1.
 Desde otro punto de vista, si se dibujan ambas rectas con un lápiz, se tendría 
x = 1, pero no se tendría que 
 continuas o discontinuas en un punto puede ser expresada por 
medio de límites. 
de la función f(x) = x
 
g x
x x
x
( )
si
si
1
2 1
 
Además, lim
x
f x f
1
1 1( ) ( ) y que lim
x
g x
1
1( ) , que es diferente g(1) = 2. 
Es decir, en la “recta continua” existe el límite en 1, y es igual a la imagen de la 
función en 1, en tanto que en la “discontinua” el límite existe pero es diferente 
a la imagen de la función en 1.
En forma general se tiene la siguiente definición de función continua 
en un punto:
106
Unidad 2
a exige que se cumplan tres 
condiciones:
1. f x = a; esto es, a está en el dominio de f .
2. El lim
x a
f x( ) existe.
3. lim
x a
f x f a( ) ( )
Con una sola de estas condiciones que no se dé, la función automáticamente 
es discontinua.
Ejemplo 20
Demostrar que la función p(x) = 3x3 –x + 5 es continua en x = 1.
Solución: como la función dada es un polinomio, existe su límite. Éste se 
obtiene de sustituir x=1 en la función.
Ejemplo 21
¿Es continua la función g x
x
x
( )
1
2
 en x = 3?
Solución: como se trata de una función racional tal que su denominador no se 
anula en x = 3 concluimos que es continua en 3. De hecho es continua en todos los 
puntos excepto en 2, dado que en x = 2 el denominador se anula. 
Ejemplo 22
¿Es la función g x
x x
x x
( )
2 1 0
2 0
si
si
 continua en 0?
Solución:
las tres condiciones dadas anteriormente:
1. g g(0)= 02 + 1 = 1
2
107
Matemáticas 
2. Para saber si el límite existe en 0 calculemos los dos límites laterales:
 lim lim
x x x x
g x x g x x
0 0
2
0 0
1 1 2 0( ) lim , ( ) lim
Como los dos límites laterales son diferentes, el límite de la función no 
existe en el valor 0. Luego, al no cumplirse la condición 2 la función no es 
continua en 0.
 Figura 2.20. g x
x x
x x
( )
2 1 0
2 0
 si 
 si 
Ejemplo 23
En situaciones de oferta y demanda es habitual que el precio de venta varíe 
con la cantidad de artículos que se compran: a mayor cantidad de artículos 
menor valor. Las funciones que modelan este tipo de comportamiento presentan 
alguna discontinuidad. Un ejemplo de ello es el siguiente problema: “cinco 
pesos le cuesta cinco pesos le vale” .
Un vendedor en el metro vende plumas a $5 cada una, pero si se le compran 
más de 6 plumas rebaja el precio a $4 cada bolígrafo. 
a) Si necesitas por lo menos 6 plumas, ¿cuál es el número de plumas más 
recomendable a comprar?
b) ¿Qué consejo le darías al vendedor que le permita conservar su política 
de oferta para más de 6 plumas sin que se le presenten contradicciones 
como las que surgen en su propuesta actual?
c) ¿La función es continua en x = 6?
108
Unidad 2
Solución: a) El precio p(x) de x plumas es la función de precio que está 
dada por:
 
p x
x x
x x
( )
5 6
4 6
si
si
Figura 2.21. 
es de $28. Por lo tanto, lo recomendable es comprar 7 plumas.
b) Para evitar contradicciones, el precio de 7 plumas debe ser superior 
al de 6. Si llamamos p al precio de cada bolígrafo cuando se compra más 
de 6, se debe cumplir que 7p > 30, es decir, p 30
7 4 297. . Por lo tanto el 
vendedor debe asignar un valor superior a 4.29 para cada bolígrafo cuando 
se le compran más de 6.
x = 6.
Ejercicio 4
Determina en los ejercicios 1 a 3 si la función dada es continua en el 
x.
1. ( )f x
x x
x x
1 0
1 0
si
si
; x = 0
2. ( )f x x x x3 22 5; x = 0 
3. ( ) ;f x
x x
x
x
2
2
30
25
5
p(x)
2
109
Matemáticas 
En los ejercicios de 4 a 6 halla los puntos de discontinuidad de la función 
4. ( )g x
x
x x
6
2 242
5. ( )t x
x x
x x
2 3 1
6 2 1
si
si
6. ( )h x
x
x x
13
2 82
7. Un almacén vende un artículo por mayoreo con precios diferentes de 
acuerdo con la siguiente lista en pesos:
$19.50 cada uno, al comprar de 1 a 25 unidades. 
$18 cada uno, al comprar de 25 a 60 unidades.
$17.25 cada uno, al comprar más de 60 unidades.
a) ¿Cuál es la función p(x) del precio total de la cantidad x de artículos?
p(x).
c) Si necesitas comprar al menos 25 unidades, según la lista de precios, 
¿qué cantidad es recomendable comprar? ¿Por qué?
d) ¿Es p(x) continua en x = 25?
2.4. Operaciones con funciones continuas
Al recordar que se pueden obtener funciones como resultado de realizar 
operaciones algebraicas sobre otras funciones, la pregunta obligada es, ¿si las 
funciones que se operan son continuas, las funciones que resulten de estas 
operaciones también lo son? La respuesta es af irmativa y la suministra la 
siguiente proposición.
Proposición 2
Si las funciones f y g son continuas en un punto a, entonces las funciones 
1 2 3. . .f g f g
f
g
 también son continuas en el punto a, siempre 
y cuando g(a) 0 en el caso del cociente de funciones.
110
Unidad 2
continua.
Esta proposición generaliza el resultado: todos los polinomios son continuos 
y las funciones racionales también lo son para todos los valores en los cuales 
.
Adicionalmente, se tiene que tanto la función exponencial como la función 
¿Qué se puede decir de la continuidad de la función f(x) = ex2? 
La función f es el resultado de la composición de dos funciones continuas:
 
f x e g h x g h xx( ) ( )( ) ( ( ))
2
donde g(x) = ex y h(x) = x2 
Por lo tanto, para resolver la pregunta de la continuidad de f se requiere saber 
cómo se relacionan la continuidad de las funciones g y h con la continuidad 
de la función compuesta (g h). 
Proposición 3
Si f es continua en a y g es continua en f (a), entonces la función 
compuesta (f g) es continua en a.
Con este resultado se concluye que la función f (x) = ex2 es continua 
siempre y cuando la exponencial y la función h(x) que es un polinomio, 
sean continuos.
¿Qué se puede decir de la continuidad de las siguientes funciones: 
f x x g x x( ) , ( ) 3 y, en general, de la función raíz enésima dada por
h x xn( ) , donde n es un número natural y x es tal que las raíces se puedan hallar?Como estas funciones son las inversas de las funciones pol inómicas 
f x x g x x( ) , ( )2 3 y, en general, de h(x) = xn que son funciones continuas, y 
dado que la función inversa de una función continua también es continua, se 
 las funciones raíces son también continuas.
Al aplicar la proposición 3 a las funciones potencias xn y a las funciones 
raíz xn , se obtiene el siguiente resul tado: las funciones de la forma 
f x x x
m
n mn( ) , donde m y n son enteros, son funciones continuas en todos 
. Este resultado sigue siendo válido si 
en lugar de un exponente racional se tiene un exponente que sea cualquier 
número real, es decir: 
2
111
Matemáticas 
Ejemplo 24
¿Cuál es el lim
x
x x
1
23 5 ?
Solución: como la función raíz cuadrada es continua y el radicando es 
un polinomio que también es continuo, el límite es igual a la raíz cuadrada 
del límite del polinomio:
 
lim lim ( )
x x
x x x x
1
2
1
23 5 3 5 9 3
Ejemplo 25
¿Cuál es el lim ln
x
x x
x8
3 23
5
2
1
2
56
?
Solución: como la funciones ln, las raíces y los polinomios son continuas, nos 
basta reemplazar la x por el valor 8 para obtener que el límite es ln 5 = 1.61
Ejercicios resueltos
1. ¿Cuál es el lim
x
x x
x x4
1 4
1 4( )
?
Solución:
 ( ) ( )
( ) ( )
,
x x
x x
x
x
x x
1 4
1 4
1
1
4 1para 
Toda función potencia de la forma f x xr( ) donde r es un número real es 
una función continua.
112
Unidad 2
Luego lim lim
x x
x x
x x
x
x4 4
1 4
1 4
1
1
5
3
( )( )
( )( )
 
2. ¿Cuál es el lim
x
x
x5
3
5
?
Solución: al sustituir en la función el valor de x por 5 se obtiene 8
0
 que 
 
o a – . 
Para responder, analizamos el comportamiento de la función al acercarnos a 5 
por la izquierda y por la derecha:
a) Por la izquierda, es decir, con valores x tales que x < 5, o sea 5 – x 
es positivo. Luego: 
 
lim
x
x
x5
3
5
b) Por la derecha, es decir, con valores x tales que x > 5, o sea 5 – x es 
negativo y por lo tanto:
 
lim
x
x
x5
3
5
Por a) y b) como los límites laterales son distintos concluimos que el 
límite no existe.
 Figura 2.22. y
x
x
3
5
2
113
Matemáticas 
3. Enumerar todos los valores de x para los que la función dada no es 
continua:
 
g x
x
x x
( )
( )( )5 1
Solución: la función g es una función racional por lo que los únicos 
puntos de discontinuidad son los que no pertenecen al dominio de la función. 
En nuestro caso son los valores x para los cuales (x+5) (x–1) = 0, es decir, 
x = –5 y x = 1
4. ¿Cuál es el lim
x
x
x9
3
9
?
Solución: cuando x 9, tanto el numerador como el denominador se 
aproximan a cero, conduciéndonos a una expresión inderterminada de la 
forma 
0
0
.
Al tener una raíz en el numerador, se racionalizará para lo cual multiplicaremos 
tanto el numerador como el denominador por el conjugado y una vez cancelada 
la raíz se obtiene el límite.
lim
lim lim
( )( )
lim
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
9
9 9
3
9
0
0
3
9
3
3
9
9 3
9
1
3
1
6x
Observemos que el valor x = 9 no pertenece al dominio de la función.
114
Unidad 2
Ejercicios propuestos
En los ejercicios 1 a 8 halla el límite indicado, si existe:
1. lim
x
x x
0
5 46 7( )
 
5. lim
x
x x x
1
3 22 3( )
2. lim
x
x x
3
21 1( ) ( )
 
6. lim
x
x
x3
29
3
3. lim
x
x
x2
1
2 
7. lim ( )
x
x
0
31 5
4. lim
x
x
x1
2 1
1 
8. lim ( )( )
x
x x
1
2 21 1 2
x.
9. f x
x
x
x( ) ;
2
4
4
 
10. f x
x
x
x( ) ;
2
1
1
11. 
 
 
f x
x x
x x
( )
2 5 1
6 1
En los ejercicios 12 a 15 enumera todos los valores de x para los que la 
12. f x
x
x
( )
1
2 
14. f x
x
x x
( )
( )2
13. f x
x
x
( )
3 3
1 
15. f x
x
x
( )
3 1
2 6
En los ejercicios 16 a 23 halla el lim
x
f x( ) :
16. f x
x x
x x
( )
2
2
2 1
2 
20. f x
x x
x
( )
3 6 2
2 9
2
17. f x x x( ) 3 24 4 21. f x
x x
x x
( )
2
3
5
1 2
18. f x x x( ) ( )( )1 2 5 22. f x x( ) ( )1 2 3
19. f x
x
x x
( )
2 1
3 2 72
 
23. f x
x x
x
( )
2 2
9 2
si
si
2
115
Matemáticas 
24. El costo promedio por disco (en pesos) para una compañía que produce 
discos compactos de audio está dado por la siguiente función:
 
C x
x
( ) 20
23 000
¿Cuál es el costo promedio de cada disco cuando la producción aumenta 
25. La concentración en la sangre de un enfermo con cierto medicamento 
después de t horas de haberle colocado una inyección está dada por C t
t
t
( )
.0 01
2 32 
miligramos por centímetro cúbico. ¿Hacia qué valor tiende la concentración 
a medida que pasa el tiempo?
 
26. Supongamos que los ingresos logrados por una cierta película se pueden 
aproximar por la siguiente función:
 
I t
t
t
( )
85
10
2
2
donde los ingresos están en millones de dólares y t son los meses que la película 
ha sido exhibida. Se pretende saber cuál es el tope de los ingresos que se pueden 
obtener con esta película.
27. Una compañía constructora está pensando en invertir en un área rural 
donde se ha calculado que la población dentro de t años está dada por la 
siguiente función:
 
P t
t t
t t
( )
20 175 150
3 4 15
2
2
en miles de personas. La compañía ha estimado que, para que la inversión 
convenga, se requiere que la población sea al menos de 5 000 personas en 
algún momento. ¿Qué le puedes decir a la compañía constructora respecto a 
la viabilidad del proyecto? 
116
Unidad 2
Autoevaluación
 1. ¿Cuál es el lim
x
x x
x x2
2
2
6
3 2
?
a) –1/3
b) 1/3
c) –2/3
d) 2/3
2. ¿Cuál es el limx
x x
x0
2
2
1( )
?
a) –1
b) ¼
c) No existe.
d) 2
3. ¿Cuál es el lim
x
x x
x1
2
2
4 5
1
?
a) 2/3
b) 3
c) No existe.
d) –3
4. ¿Cuál es el lim
x
x
x
6 1
2 4
?
a) 3 
b) –3
c) No existe.
d) –1/3
5. ¿Cuál es el lim
x
x
x x
11
3 5 92 ?
a) 
b) – 
c) No existe.
d) 0
2
117
Matemáticas 
6. ¿Cuál es el lim
x
x x
x
2 3
5 12
3
2
?
a) 
b) 3 
c) –
d) 0
7. x.
 
f x
x
x
x( ) ,
2 1
3 6
2
8. Enumera los valores de x para los que la función dada no es continua.
 
f x
x
x x
( )
3 2
3 6
a) x = –3 y x = 6
b) x = 2
c) x = 5 y x = 7
d) x = 4 y x = –5
9. Enumera los valores de x para los que la función dada no es continua.
 
f x
x x
x x
( )
2
2
2 3
2 5 1 
 
a y 
b y 
c y
)
)
)
x x
x x
x
5 17
4
5 17
4
5 17
2
5 17
5 17
4
 
d y 
x
x x
5 17
5 17
4
5 17
4
)
118
Unidad 2
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. lim ( )
x a
f x b
2. El límite no existe.
3. lim ( )
x a
f x b
4. El límite no existe.
5. El límite no existe.
6. El límite no existe.
7. lim ( )
x a
f x b
8. lim ( )
x a
f x b
Ejercicio 2
1. 19
2. 0
3. 0
4. 0
5. 1
6. 0
2
119
Matemáticas 
7. 
10
12
8. 
3
4
9. 
1
4
10. 32
Ejercicio 3
1. 4
2. 7
3. – 
4. + 
5. No existe.
6. – 
 7. 2
 8. a) $712 500
 b) 21.05%
 c) C(x) se vuelve arbitrariamente grande cuando x crece sin límite.
 9. a) b) c) Cm 40
 
 
y = Cm(x)
C(x) = 40x + 545
x = 0
120
Unidad 2
10. d(x) 100
Ejercicio 4
1. No.
2. Sí.
3. No.
4. – 6; 4 porque no pertenecen al dominio de la función.
5. En x=1 porque no existe el límite al ser diferentes los límites laterales.
2
121
Matemáticas 
6. 
7. 
a) p x
x x
x x
x
( )
.
.
19 50 1 25
18 25 60
17 25 60
 b) 
c) Es conveniente comprar 26 unidades ya que su precio es $468 menor que 
el precio de 25 unidades que es $487.5
p(x) no es continua en x = 25
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. 7
2. 16
3. 3
4
4. 2
5. –3
6. No existe.
1 080
122
Unidad 2
7. 1
8. 18
9. No.
10. Sí.
11. No.
12. 2
13. –1
14. 0; 1
2
123
Matemáticas 
15. 3
16. 1
17. 
18. 
19. 0
20. 
21. 0
22. 
23. 9
24. 20
25. 0
26. 85
27. Como el tope de la población es 
20
3
6 personas, se puede invertir 
en la zona.
124
Unidad 2
Respuestas a la autoevaluación
1. a) 
2. c) 
3. b) 
4. a) 
5. d) 
6. c) 
7. No.
8. a) 
9. a)