14 3 Cálculo de áreas en coordenadas polares

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ÁREAS EN COORDENADAS POLARES 
 
Coordenadas Polares: 
Todo punto P(x, y) que está representado en coordenadas rectangulares 
cartesianas, se puede representar como un punto p’(r, ) en coordenadas 
polares. Geométricamente: 
Sistema de coordenadas cartesianas Sistemas de coordenadas 
polares 
 
 
 
 
 
 
 
Algunas fórmulas de transformación: 
a) De coordenadas rectangulares a coordenadas polares: 
|r| = 22 yx + 






=
x
y
arctg 
 
 
 
 
 
y 
x 
origen 
. 
P (x,y) 
y 
x Polo 
. 
P (r,) 
(eje normal) 
(eje polar) 
y 
y 
x x 
x Polo 
P (x,y) 
P (r,) 
r 
 
y (eje polar) 
(eje normal) 
 
b) De coordenadas polares a coordenadas rectangulares 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios: 
1) Transformar a coordenadas polares: x2 + (y - 2)2 = 4 
Solución: 
x2 + (y - 2)2 = 4 
x2 + y2 – 4y + 4 = 4 
r2 – 4 r sen  = 0 
r2 = 4 r sen  
r = 4 sen  
2) Transformar a coordenadas cartesianas: r = 2 cos  
Solución: 
r = 2 cos  
r2 = 2 r cos  
x2 + y2 = 2y 
(x - 1)2 + y2 = 1 
 
3) Transformar a coordenadas polares: (x2 + y2)3 = 4a2xy (x2 – y2) ; a > 0 
Solución: 
(x2 + y2)3 = 4a2xy (x2 – y2) 
r 
 
y 
x 
P (r,) 
(eje polar) 
(eje normal) 
y 
x x 
y 
P (x,y) 
y = rsen  
x = rcos  
r6 = 4a2r2 sen  cos  (r2 cos2  - r2 sen2  ) 
r2 = 4a2 sen  cos 2 cos  
r2 = 2a2 sen2 cos 2 
r2 = a2 sen 4 
r =  a 4sen 
4) Transformar a coordenadas polares: x4 + y4 = x2 + y2 
Solución: 
(x2 + y2)2 – 2x2y2 = x2 + y2 
r4 – 2r4 cos2sen2 = r2 
r2 = 2r2 cos2sen2 + 1 
r2 (1 – 2 sen2cos2) = 1 
r = 
( )

−
2
2
1
1
2 sen
 r = 
( )22
2
2sen−
 
5) Transformar a coordenadas polares: (x2 + y2)2 = a2x2 + b2y2 
a > 0, b > 0 
Solución 
(x2 + y2)2 = a2x2 + b2y2 
r4 = a2r2 cos2 + b2r2 sen2 
r2 = a2cos2 + b2sen2 
r =   2222 cos senba + 
6) Transformar a coordenadas cartesianas: r = 2 cos  
Solución: 
r = 2 cos  
r2 = 2 r cos  
x2 + y2 = 2x 
(x - 1)2 + y2 = 1 
 
7) Transformar a coordenadas cartesianas: r = sec  
Solución: 
r = sec  
1 = 
cosr
1
 
r cos  = 1 
x = 1 
 
8) Transformar a coordenadas cartesianas: r = 3 csc  
Solución: 
r = 3 csc  
r = 
sen
3
 
1 = 
rsen
3
  y = 3 
 
9) Transformar a coordenadas cartesianas : r2 = 2a2 sen  
Solución: 
r2 = 2a2 sen 2 
r4 = 4a2 sen  r cos  
(x2 + y2)2 = 4a2 xy 
 
10) Transformar a coordenadas cartesianas. r = 2 – cos 4  
Solución: 
r = 2 – cos  
r = 2 – (cos2 (2) – sen2 (2)) 
r = 2 – (1 – sen2 (2) – sen2 (2 )) 
r = 2 – 1 + 2 sen2 (2 ) 
r = 1 + 2sen2 (2 ) 
r = 1 + 8 sen2  cos2  
r5 = r4 + 8r2 sen2 r2cos  
r4 (r - 1) = 8r2 sen2  cos2  
( ) ( ) 2222222 81 yxyxYx =−++ 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS SOBRE ÁREAS EN COORDENADAS POLARES 
 
 
 
RECUERDE QUE: 
 
 
1.1 EJERCICIOS PREVIOS A LOS PROPUESTOS EN VENERO 
Hallar el área encerrada por r = 1 + cos  
Y 
X 
A 
1 
P() 
A = ( )
M
dP



1
2
2
1
 
 
Solución 
R = 1 + cos  → cardiode 
A = 2 ( ) +


0
2
cos1
2
1
d 







 +
++=
0
d
2
2cos1
cos21A 
( )   +++=
  

0 0 0
2cos1
2
1
cos2 dddA 

 
+

++=
00
00
4
2sen
2
sen2A 
A =  + 
2

 
A = 2u
2
3
 
 
3) Hallar el área encerrada por: r1 = 1 + cos  ; r2 = cos  y los ángulos 
 = 0;  = 
4

 
Solución: 
A = ( )( ) −+
4/
0
22
coscos1
2
1 
 d 
A = ( ) +
4/
0
cos21
2
1 
 d 
A =  +
4/
0
4/
0
cos
2
1  
 dd 
A = 
4/
0
4/
02
1 
 sen+ 
A = 2
8
24
2
2
8
u
 +
=+ 
4) Hallar el área limitada por la curva: r = a sen 3 
Solución: 
r = a sen 3  
A = ( )( )
6/
0
22 3
2
1
6

 dsena 
A = 3a2 ( )
6/
0
2 3

 dsen 
A = 3a2 

d 




 −6/
0 2
6cos1
 
A = 



 + 
6/
0
6/
0
2
6cos
2
3  
 dd
a
 
A = 










−
6/
0
6/
0
2
6
6
1
2
3


 sen
a
 
A = 





− 0
62
3 2 a
 
A = 
4
2 a
 
1.2) Hallar el área que se encuentra fuera de: 
 r1 = 2 y dentro de r2 = 4 cos  
Solución: 
Puntos de intersección: 2 = 4 cos   cos  = 
3
0
2
1 
= 
A = ( ) −
3/
0
22 )24(cos4
2
1
2

 d 
A = ( ) −
3/
0
2 4cos16

 d A = 16 
 −




 +3/
0
3/
0
4
2
2cos1 


d 
A = 
3/
0
3/
0 2
2
84
 
 





+−
sen
 
A = 8 
3
4
2
3/2
3

−





+
sen
 
A = 8 
3
432
3

−+ 
A = 4 232
3
u+

 
 
2) Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de 
Arquímedes: 
r = a  
A = ( ) ( )



 − 




1
2
2
0
22
2
1
dada 
A = 





−


 2
0
332
32
4
36
a
 
A = ( ) ( ) ( ) 333
2
224
6
 −−
a
 
A = ( )33
2
1664
6
 −
a
 
A = 8 232 ua  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS (algunos) 
1. Hallar el área de la región limitada por la (s) curva (s): 
a) r = 2 + cos  , en el primer cuadrante 
Solución: 
A = ( ) +





2
0
2
cos2
2
1

 d 
A = ( ) ++





2
0
2coscos44
2
1

 d 
A = 2   ++2
0
2
0
2
0
2cos
2
1
cos2
  
 ddd 
A = 
8
2

 ++ 
A = 2
8
9
2 u





+

 
b) r = sen  
Solución: 
A = ( )





2
0
2
2
1
2

 dsen 
A = 
2/
02
2
2
1


 





−
sen
 
A = 2
4
u

 
 
 
 
c) r =  , 0    2  
Solución: 
A = ( ) 2
0
2
2
1

 d 
A = ( )
2/
0
3
6
1 
 
A = 2
3
3
4
u

 
d) Dentro de la circunferencia de r = a y fuera de r = a (1 – cos ), cardioide. 
Solución: 
A = ( ) ( )( )  

daa −−





2
0
22 cos1
2
1
2 
A = ( ) −+−2
0
22222 coscos2

 daaaa 
A = a2 
2/
02
2
2
1
2

 











+−
sen
sen 
A = 
( ) 2
2
4
8
u
a −
 
e) Dentro de r = 2 a cos  y fuera de r = 2a 
Solución: 
A = 2 ( ) ( )  −





4
0
22
2cos2
2
1

 daa 
A = ( ) 

daa −4
0
222 2cos4 
A = 2a2 








− 4
0
4
0
2cos2
 
 dd 
A = 2a2 





−+
42
1
4

 
A = a2 2u 
f) r = 2 – sen  
Solución: 
A = 2 ( )  −





2
3
2
2
2
2
1

  dsen 
A = ( ) +−2
3
2
244

  dsenSena 
A = 
2/3
2/2
2
2
1
cos44



 











−++
sen
 
A = 4 
2

 + 
A = 2
2
9
u

 
g) r = ea ,  = 0 ,  = 
2

 
Solución: 
A = ( )





2
0
2
2
1

 de a 
A = ( ) ( )











2
0
2 2
2
1
2
1

 ade
a
a 
A = ( )
2/
0
2
4
1 
ae
a






 
A = 0,
4
1
2 
−
au
a
e a
 
h) Dentro de r = Sen  y fuera de r = 1 – cos  
Solución: 
A = ( )( ) −−





2
0
22 1
2
1

 dCossen 
A = ( )( ) +−−





2
0
22 21
2
1

 dCosCosSen 
A = ( ) −+−





2
0
22 21
2
1

 dCosCosSen 
A = 
2/
02
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1 


 











+−+−





−




 Sen
Sen
Sen
 
A = 
2/
02
2
2
2
1 


 





−−




 Sen
Sen 
A = 





−





2
2
2
1 
 
A = 2
4
1 u





−

 
i) Dentro de r = 8 Cos  y a la derecha de la recta r = 2 Sec  
Solución: 
A = 2 ( ) ( )  −





3
0
22 28
2
1

 dSecCos 
A = ( ) −3
0
22 464

 dSecCos 
A = 64 ( )
3/
0
3/
0
4
2
2
2
1 


 Tg
Sen
−











+ 
A = 32 34
4
3
3 −







+ 
A = ( ) 234332 u+ 
j) Dentro de r = 10 Sen  y encima de la recta r = 2 Csc  
Solución: 
A = 2 ( ) ( )  


dCscSen −




 2
360
53
22
210
2
1
 
A = ( ) −
2
360
53
22 4100


 dCscSen 
A = 100 ( )
2/
360/53
2/
360/53
4
2
2
2
1 





 Ctg
Sen
+










− 
A = 50 ( )24
5
2
5
1
2
−+











−





− Senarc

 
A = 25 2
5
1
5028 uSenarc 





−− 
k) Dentro de r = Sen  y fuera de la carioide r = 1 + Cos  
Solución: 
 
 
A = ( )  +−




 
 
2
22 1
2
1
dCosSen 
A = ( )  ++−




 
 
2
22 21
2
1
dCosCosSen 
A =   

 dCosCosSen −−−





2
22 21
2
1
 
A = 






2/2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1












+−−−





−




 Sen
Sen
Sen
 
A = 





2/22
2
2
1






−−





− Sen
Sen
 
A = 2
4
1 u





−

 
l) Dentro de r = a (1 + Sen ) y fuera de r = a Sen  
Solución: 
A = 2 ( )( ) ( )  −+





2
3
2
22
1
2
1

  dSenaSena 
A = ( )  −++
2
3
2
2222 21


 dSenaSenSena 
A = ( )  +2
3
2
2 21

  dSena 
A = ( )
2/3
2/
2 2


 Cosa − 
A = 22 ua  
2.- Dadas las curvas: (1)r = 2 Cos 2 ; (2) r = 1 
a) Hallar el área de la región dentro de (1) y fuera de (2) 
Solución: A = 8 ( )  −





6
0
2
122
2
1

 dCos 
A = 4 ( ) −
6
0
2 124

 dCos 
A = 16  −





6
0
6
0
2 4)2(2
2
1
 
 ddCos 
A = 8 
0
6
0
6
)(4
2
4
2
2
1 



 −





+ 




 Sen
 
A = 
3
2
3
3
4 
−+ 
A = 23
3
2
u





+

 
b) Hallar el área de la región fuera de (1) y dentro de (2) 
Solución: 
A = 8 ( )  −





4
6
2221
2
1


 dCos 
A = 4  −
4
6
2 )124(


 dCos 
A = 4  





−
4
6
4
6
2 )2(2
2
1
16




 dCosd A = 4 
( )
4
6
4/
6/ 2
4
2
2
1
8





 





+





−
Sen
 
 
 
A = 







−−
4
3
6
4
3

 
A = 2
3
3 u





−

 
c) Hallar el área de la región interior a ambas 
Solución: 
A =  −







2
0
*)
2
1
bd b* Respuesta anterior 
A = 





−−
3
3

 
A = 23
3
4
u





−

 
3.- Encontrar el área de la región limitada por la (s) curva (s): 
a) r = 1 + Sen 2  
Solución: 
A = 2 

dSen +





0
2)21(
2
1
 
A = ( ) ++


0
2 2221 dSenSen 
A = ( )


0
- ( )
 

00 2
4
2
4
1
2 











−+
Sen
Cos 
 
A = 2
2
3
u

 
b) r = 2 Cos Solución: 
A = 4 ( )





2
0
2
2
2
1

 dCos 
A = 8 2
02
2
2
1


 











+
Sen
 
A = 2  u2 
c) r = 2 a Cos2 





=





2
2,
2
2 
Senar Solución: 
A = 4  

















2
0
2
2
2
2
2
1



dSena 
A = 16 a2  

















2
0
4
22


dSen 
 
A = 16 a 2 
2
0

 










 −
22
1 
d
Cos
 
 
A = 4 a 2 
2
0

 ( ) 





+−
2
21 2 
 dCosCos 
 
A = 2 a 2 
0
2
2
2
2
1
2


 











++−
Sen
Sen 
A = 2 a 2 





+−
4
2
2

 
A = a 2 24
2
3
u





−

 
d) r 2 = a 2 Sen 2  (a  0) 
Solución: 
 
 
A = 4 





2
1
 
4
0

 ( )  dSena 222 
A = 2 a 2 





2
1
 ( )
0
42

Cos− 
A = a 2 u 2 
 
e) r = Sen (ocho aplastado) 
Solución: 
A = 4 





2
1
 
2
0

 ( )2Sen d 
A = 2 
2
0

 Sen  d 
A = ( )
0
2
2

Cos− 
A = 2 u 2 
f) r = 2Cos (Trébol de cuatro hojas) 
Solución: 
A = 8 





2
1
 
4
0

 ( )22Cos d 
A = 4 





2
1
 
4
0

 Cos 2  d (2 ) 
A = ( )
0
4
22

Sen 
A = 2 u 2 
g) x 2 + y 2 = x + 22 yx + 
Solución: 
r 2 = r Cos  + 2r 
r 2 = r (1 + Cos ) 
r = 1 + Cos  
2= A 





2
1
 

0
 (1 + Cos ) 2 d 
A = 

0
 (1 + 2 Cos  + Cos2 ) d () 
A = 
02
2
2
1
2

 











+++
Sen
Sen 
A =  + 
2

 
A = 2
2
3
u

 
h) r = 1 + Cos 2  
Solución: 
A = 4 





2
1
 
2
0

 (1 + Cos 2)2 d 
A = 2 
2
0

 (1 + 2 Cos 2  + Cos2 2) d 
A = 2 
0
2
2
4
2
4
1
2


 











+++
Sen
Sen 
A = 2
2
3
u

 
i) r 2 2 a2 Sen 3  
Solución: 
A = 12 





2
1
 
6
0

 (2 a2 Sen 3) d 
A = 12 a 2 





3
1
 
6
0

 (Sen 3) d (3 ) 
A = ( )
0
62 34

Cosa− 
A = 4 a2 u2 
j) r = 2 – Sec  
Solución: 
A = 2 





2
1
 
3
0

 (2 – Sec )2 d 
A = 
3
0

 (4 - 4 Sec  + Sec2 ) d 
A = ( )
0
3
44

 TgTgSecLn ++− 
A = 23243
3
4
uLn 





+++

 
K) (x2 + y2)2 = 22 yx − Sug.: Pasar a coordenadas Polares 
Solución: 
(r2)2 =  2222 SenrCosr − 
(r2)2 = r2  22 SenCos − 
r2 = 2Cos 






=
4
1
8A 
4
0

 (Cos 2 ) d (2 ) 
A = ( )
0
4
22

Sen 
A = 2 u2 
4.- Hallar el área de la región encerrada por la (s) curva (s): 
a) r2 = a2 Sen2  
 Solución: 
A = 4 





2
1
 
2
0

 (a2 Sen 2 ) d 
A = 2 a2 





2
1
 
0
2
2
2


 





−
Sen
 
A = 2
2
2
u
a 
 
b) r 2 = a 2 Sen 2  
Solución: 
A =) 4 





4
1
 
4
0

 (a2 Sen 2 2) d (2 ) 
A = 





2
2a
 
0
4
2
4
2


 





−
Sen
 
A = 2
2
4
u
a 
 
c) r = Tg 2  ;  = 0 = 





8

 
Solución: 
A = 





2
1
 
8
0

 (Tg2 2 ) d 
A = 





2
1
 
8
0

 (Tg2 2 ) d ( 2 ) 
A = 
4
1
 ( )
0
8
22

 −Tg 
A = 2
16
4
u




 − 
 
d) r = 4 Cos  - Sec  ;  = 0 ,  = 





3

 
Solución: 
A = 





2
1
 
3
0

 (4 Cos  - Sec )2 d 
A = 





2
1
 
3
0

 (16 Cos2  - 8 + Sec2 ) d 
A = 8 
3
0

 (Cos 2 ) d - 4 
3
0

 d + 





2
1
 
3
0

 (Sec2 ) d 
A = 4 
0
3
2
2


 





+
Sen
 - ( )
0
3
4

 + 





2
1
 ( )
0
3

Tg 
A = 2
2
33
u







 
h) r = YejeelySec 





22
1 2 
 
Solución: 
A = 2 





2
1
 
2
0

 
2
2
22
1












Sec d 
A = 2 





4
1
 
2
0

 











2
4 
Sec d 





2

 
A = 





2
1
 
2
0

 











2
2 
Sec d 





2

 + 





2
1

2
0

 
























222
22 
dTgSec 
 
A = 





2
1
 
0
2
9














Tg + 





2
1
 
0
2
3
3
2




















Tg
 
A = 





2
1
 





+
3
1
1 
A = 2
3
2
u 
i) r = a Tg  (a  0) y la recta  = 





4

 
Solución: 
A = 2 





2
1
 
4
0

 (a Tg )2 d 
A = a 2 ( )
0
4

 −Tg 
A = a 2 2
4
1 u





−

 
j) r = 3 + Cos 4  y r = 2 – Cos 4  , (la región interior a ambas) 
Solución: 
A1 = 8 (A1 + A2) 
A1 = 





2
1
 
6
0

 (2 – Cos 4 )2 d 
A1 = 





2
1
 
6
0

 (4 – 4 Cos 4  + Cos2 4 ) d 
A1 = 
0
6
2
8
4
2
1
8
1
42


 



















++−
Sen
Sen 
A1 = 
64
3
242
3
3
−+−

 
A1 = 
64
333
24
9
−

 
A2 = 




2
1
 
4
6


 (3 + Cos 4 )2 d 
A2 = 





2
1
 
4
6


 (9 + 6 Cos 4  Cos2 4 ) d 
A2 = 
6/
6/
2
8
4
2
1
8
1
4
43
2
9































+++
SenSen
 
A2 = 
64
3
488
33
24
9
++−

 
A2 = 
64
323
48
19
−

 








−+−=
64
323
48
19
64
333
24
9
81

A 








−=
64
356
48
37
81

A 
A1 = 237
6
37
u





−

 
k) Dentro de r = 2 + Cos 2  y fuera de r = 2 + Sen  
Solución: 
A = 2 





2
1
 
6
2


 ( ) ( ) 22
222  SenCos +−+ d 
A = 
6
2


 (4 + 4 Cos 2  + Cos2 2  - 4 – 4 Sen  - Sen2 ) d 
A = 4 
6
2


 (Cos 2 ) d 
6
2


(Cos2 2) d - 4 
6
2


 (Sen ) d  - 
6
2


 (Sen2 ) 
d 
A = ( )
2
6
22



−
Sen +
4
1
2
6
2
4
2




−






+
Sen
+ ( )
2
6
4



−
Cos - 
2
1
2
6
2
2




−






−
Sen
 
A = 
8
3
4
3
32
16
3
16
316
+−++

A = 2
16
351
u







 
5) Hallar el área dentro de: r1 = 2 Cos 2   r2 = 1 
Solución: 
Puntos de intersección: 2 Cos 2  = 1   = 
6

 
A = 4 
6/
0

1 d  + 4 
4/
0

 4 Cos 2 (2 ) d 
A = 4 
6/
0

 d  + 16 
4/
0

 
2
41 Cos+
 d 
A = 4 
6/
0

 d  + 8 



 + 
4/
6/
4/
6/
4




 dCosd 
A = 6/
04  + 4/
6/
4/
6/ 428 


  sen+ 
A = 4 ( )102
64
8
6
++





−+

 
A = 2
3
64
2
3
2
3
2
u
+
=++

 
6) Hallar la mayor área encerrada por: r2 = 2a2 cos2 ( / 2) 
Solución: 
r2 = 2ª2 cos2 ( / 2) 
Encontraremos la mayor área 
Todo de la región 
Limitada por: r2 = 2ª2 cos2 ( / 2) 
A = 4  







2
2/8
22
2
cos2
2
1
da 
A = 4  




 +


2
2/8
2
2
cos1
da 
A = 2 a2 ( )   +=+





2
2/8
2
2/3
22 2cos1 senaa 
A = 2 a2 





+− 1
2
3
2

 
A = a2 ( + 2) u2 
7) Hallar el área limitada por la curva: (x2 + y2 )2 = a2 x2 + b2 y2 , a  0 : b  0 
Solución: 
x = r cos  y = r sen  
(r 2 )2 = a2 r2 cos2  + b2 r2 sen2  
r =  2222 cos senba + 
A = ( ) +2
0
2222 cos
2
1
4

 dsenba 
A = 2 ( ) +2
0
2222 cos

 dsenba 
A = 2 



 
dbda 










 −
+




 +
 2
0
2
0
22
2
2cos1
2
2cos1
 
A = a2
 2
0

(1 + cos 2 ) d + b2  2
0

 (1 – cos 2 ) d  
A = a2 
0
2
2
2


 





+
sen
 + b2
0
2
2
2


 





−
sen
 
A = a2 





+





22
2 
b 
A = ( ) 222
2
uba

+ 
8) Hallar el área encerrada por: (x2 + y2) = 4a2 xy (x2 – y2) a  0 
Solución: 
x = r cos  y = r sen  
(r2)3 = 4 a2 r4 sen  cos  (cos2  - sen2 ) 
r2 = 2 a2 sen 2  cos 2  
r = 4sena 
A = 
8/
0
4
2
1
8

 dsen 
A = a2 ( ) 8/
0
4cos

− 
A = a2 (0 + 1) = a2 u2 
9) Hallar el área encerrada por: x4 + y4 = x2 + y2 
Solución: 
y = r sen  x = r cos  
r4 - 2 r4 sen2  cos2  = r2 
r 2 = 
( ) 22 cos21
1
sen−
 
r = 
22
2
2sen−
 
Simétrica respecto al origen y ambos ejes. 
A =  −
4/
0 2 22
2
2
1
8



d
sen
 
Por propiedad: (contracción del intervalo de integración) 
A = 4 
( ) −


0 2 4/22
2
4
1
d
sen
 
A = 
( ) −


0 2 2/2
2
d
sen
 
A = ( )  =
+




0
2/tan
cos3
t
d
 
A = 4 
( )  







+
=





+
 
0 0 222
2
1
4
2
1
dt
t
dt
t
 
A = 

02
arctan
2
4





 t
 aplicando limites 
A = 





− 0
22
4 
 
A = 22 u 
11) Hallar el área de la región limitada por la parte externa e interna de la 
curva: 
r = sen3 ( / 3) 
Solución: 
r = sen3 ( / 3) 
A = ( ) ( ) −
2/3
2/
2/
0
66 3/
2
1
23/
2
1
2



 dsendsen 
A = 2
32
3185
u
+