01MODELAMIENTO Fundamientos

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1. MODELAMIENTO DE SISTEMAS: FUNDAMENTOS 
 
1.1 INTRODUCCION 
 
Un sistema representa una unidad donde se hacen tratamientos físicos o químicos de 
materiales que puede ser contrastada con un modelo que representa una descripción 
matemática del sistema real. La disposición de varios sistemas unidos entre sí por 
flujos comunes de materiales y/o información constituye un proceso. La salida del 
proceso es una función no solamente de las características de sus sistemas (o 
subsistemas) sino también de sus interacciones o interrelaciones. Una propiedad del 
sistema o de su entorno a la que se le puede asignar valores numéricos arbitrarios se 
denomina como un parámetro. También puede ser una constante o el coeficiente de 
una ecuación. 
 
El estudio de un proceso, mediante la manipulación de su representación matemática 
o de su modelo físico, constituye una simulación. Los estudios clásicos de un 
proceso en estado estacionario se complementan con un análisis dinámico, lo que 
exige un conocimiento de los criterios de estabilidad y de los métodos de operación 
para evaluar exitosamente el funcionamiento del proceso 
 
El análisis de sistemas se refiere al reconocimiento y definición de problemas, su 
planteamiento o modelamiento mediante la aplicación de principios científicos y el 
desarrollo de procedimientos de solución con cuyos resultados se adquiera una total 
comprensión de la situación. 
 
El análisis y la simulación de procesos presentan las siguientes ventajas: 
 
1. Experimentación Continua: Es posible estudiar procesos existentes en una 
forma mas rápida, económica y completa que en la planta real. La simulación 
puede aumentar o reducir el tiempo real de una forma análoga a como una 
cinematográfica acelera o retarda las imágenes; de esta forma se puede 
observar más fácilmente la operación del sistema. 
 
2. Extrapolación: Con un modelo matemático adecuado se pueden ensayar 
intervalos extremos de las condiciones de operación, que pueden ser 
impracticables o imposibles de realizar en una planta real. También es posible 
establecer características de funcionamiento 
 
3. Estudio de conmutabilidad y evaluación de otros planes de actuación: Se 
pueden introducir nuevos factores o elementos de un sistema y suprimir otros 
antiguos al examinar el sistema con el fin de ver si estas modificaciones son 
compatibles. La simulación permite comparar distintos diseños y procesos 
2 
Mach 
 
2 
 
que todavía no están en operación y ensayar hipótesis sobre sistemas o 
procesos antes de llevarlos a la práctica 
 
4. Repetición de experimentos: La simulación permite estudiar el efecto de la 
modificación de las variables y parámetros con los resultados producibles. En 
el modelo matemático se puede introducir o retirar a voluntad un error, lo 
cual no es posible en la planta real 
 
5. Control de cálculo: La simulación constituye una importante ayuda material 
para el estudio de los sistemas de control con lazos abiertos y cerrados 
 
6. Ensayo de sensibilidad: Se puede ensayar la sensibilidad de los parámetros 
de costos y básicos del sistema; por ejemplo, un incremento de un 10 % en la 
velocidad de alimentación podrá tener, según los casos, un efecto mínimo o 
muy importante sobre el funcionamiento del sistema 
 
7. Estudio de la estabilidad del sistema: Se puede examinar la estabilidad de 
sistemas y subsistemas frente a diferentes perturbaciones 
 
 
1.2 TIPOS DE MODELOS DE SISTEMAS 
 
Debido a su utilización en diversos campos de la ciencia, es imposible incluir dentro 
de una sola definición las diferentes acepciones de la palabra modelo. Un sistema se 
puede modelar mediante, ya sea, una construcción física o analógica, una 
representación gráfica o un mapa, un enunciado teórico o un planteamiento 
matemático. Es decir, se pueden describir los siguientes tipos de modelos: 
 
1. Modelos Físicos: Son construcciones materiales que representen sistemas 
como barcos, plantas pilotos, maquetas de edificios y otros 
 
2. Modelos Analógicos: Son construcciones materiales que representen circuitos 
eléctricos, electrónicos o mecánicos 
 
3. Teorías Provisionales: Son postulaciones que explican comportamientos 
fenomenológicos en sistemas como la de los gases ideales o la de la gota de 
líquido para la nucleación 
 
4. Gráficos o Mapas: Son representaciones mediante símbolos convencionales 
de estructuras de sistemas que explican en algunos casos su organización o su 
distribución o su logística, etc. Por ejemplo, la representación de un proceso 
químico mediante su diagrama de flujo 
3 
Mach 
 
3 
 
5. Enunciados matemáticos y modelos en forma de símbolos: Son sistemas de 
ecuaciones que expresan simbólicamente el fenómeno que se desarrolla en el 
sistema. Por ejemplo, el modelamiento matemático que exprese el flujo y los 
cambios de materia y energía a través de un reactor ideal de mezcla completa. 
 
 
1.3 MODELOS MATEMATICOS 
 
Los modelos matemáticos son los que mas utiliza el ingeniero químico para el 
análisis de sus procesos. El tipo mas aplicado es el que modela los fenómenos de 
transporte de masa, energía y cantidad de movimiento a través de un sistema, pero 
en algunos casos se hace necesario el planteamiento de un modelo del tipo balance 
de población o el ajuste de una información conocida a un modelo matemático que 
empíricamente permita su análisis. La descripción de cada uno de estos tipos de 
modelos matemáticos es la siguiente: 
 
1. Modelos de Fenómenos de Transporte: Se aplican en sistemas donde se 
desarrollan fenómenos de transporte de entidades como materia, energía y 
cantidad de movimiento, como el flujo de fluidos en tuberías y el flujo de 
materia y calor en reactores y columnas de destilación. 
 
2. Modelos de Balance de Población: Se aplican en sistemas donde se hace 
necesario plantear un modelo de balance de población para describir las 
propiedades de la masa reaccionante en una localización puntual, como su 
concentración, temperatura o tiempo de residencia. Por ejemplo, en un 
reactor agitado que no se cumple el idealismo de un mezclado perfecto y, por 
lo tanto, no se cumple la consideración de una igualdad de condiciones en 
cada una de las localidades en la masa reaccionante. 
 
3. Modelos Empíricos: Se aplican a un sistema del que se tiene conjunto de 
datos discretos de sus propiedades y pueden ajustarse a una ecuación 
matemática que satisfaga la correspondencia dato a dato. Puede utilizarse 
como recurso de interpolación 
 
 
1.3.1 MODELOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE 
 
Para un ingeniero químico, los sistemas que le competen son aquellos en los que se 
realizan transformaciones físicas o químicas ya sea en forma continua o discontinua. 
Estos sistemas se pueden modelar aplicando los principios de conservación de masa, 
energía y cantidad de movimiento, es decir, como modelos de fenómenos de 
transporte. 
 
4 
Mach 
 
4 
 
Los modelos de fenómenos de transporte son representaciones matemáticas de los 
procesos reales en distintos niveles de descripción que se relacionan con la 
complejidad del detalle físico interno. 
 
 
Tipos de Modelos de Fenómenos de Transporte 
 
Una clasificación, en orden descendente, de acuerdo al grado de detalle de la 
descripción fisicoquímica es: 
 
1. Descripción Atómica y Molecular: Se caracteriza porque trata un sistema 
arbitrario como si estuviese compuesto de entidades individuales, cada una de 
las cuales sigue ciertas leyes. En consecuencia, las propiedades y las 
variables de estado del sistema se obtienen como suma de todas las entidades. 
La mecánica cuántica, la mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio, 
así como la mecánica clásica constituirían métodos típicos de análisis 
mediante los cuales se podrían calcular teóricamente todas las propiedades y 
formas de respuesta de un sistema. 
 
2. Descripción Microscópica: Corresponde a un tratamiento fenomenológico 
del problema y admite que el sistema puede considerarse como continuo. Se 
ignoran las interaccionesmoleculares detalladas y se plantean ciertas 
ecuaciones de balance diferencial para materia, energía y cantidad de 
movimiento. Cada balance, a través del sistema, puede expresarse en la 
siguiente forma: 
 
 










−










+










−










=










Consumo
de
NetaRapidez
Generación
de
NetaRapidez
Salida
de
NetoFlujo
Entrada
de
NetoFlujo
nAcumulació
de
NetaRapidez
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al construir el modelo se reemplaza cada uno de los términos anteriores por 
expresiones matemáticas que sean tan rigurosas y a la vez contengan tan 
pocos parámetros desconocidos como sea posible. Cada balance se plantea 
para cada una de las direcciones en el espacio en que se considera el sistema 
y, por lo tanto, el modelo lo constituye una ecuación diferencial parcial. Se 
aplica, por ejemplo, a fenómenos de transporte laminar y teorías estadísticas 
de la turbulencia. 
 
3. Descripción de Gradiente Múltiple: En este nivel se incorpora menos 
información detallada acerca de las características internas del sistema que en 
5 
Mach 
 
5 
 
el caso de la descripción microscópica. Las formas de las ecuaciones 
matemáticas están sugeridas y corresponden a las ecuaciones de transporte 
microscópico pero con coeficientes modificados. La característica esencial de 
la descripción de gradiente múltiple es que son importantes uno o más 
términos de dispersión que deben ser retenidos en el modelo, con o sin los 
términos convectivos. El modelo de gradiente múltiple se aplica en procesos 
con flujo turbulento o en el flujo con pasos muy complicados como el que 
tiene lugar en lechos de relleno o medios porosos, procesos en los que no se 
puede medir ni calcular el campo de velocidad local. 
 
4. Descripción de Gradiente Máximo: Es una forma menos detallada de 
descripción que se puede considerar como un modelo simplificado de 
gradiente múltiple en el que se suprimen los términos de dispersión y 
solamente se conserva una derivada en términos del flujo global. Cuando no 
se intenta analizar el detalle interno de los modelos de gradiente múltiple se 
realizan suposiciones simplificables adicionales con lo cual se obtienen 
ecuaciones matemáticas de fácil tratamiento que resultan, no obstante, muy 
satisfactorias para numerosos fines. En el modelo de gradiente máximo se 
desprecia toda la dispersión y solamente el mayor componente 
(unidimensional) del gradiente de la variable independiente se considera en 
cada balance. Por ejemplo, en la representación de gradiente máximo de un 
reactor químico o sistema de absorción de gases, solamente se consideran los 
gradientes de concentración en la dirección axial originados por el flujo 
global, mientras que los gradientes que los gradientes radiales, la dispersión, 
etc, se ignoran. Los modelos de gradiente máximo son los generalmente 
considerados en los libros elementales para los procesos continuos y se 
pueden generalizar a un balance con los siguientes términos: 
 
 
{ } { } { }










+=+
erficie
ladetravesa
Transporte
GeneraciónGlobalTransportenAcumulació
sup 
 
 
 
 
 
El balance de materia para cada especie “i” y el balance de energía se 
expresan, respectivamente, con las siguientes ecuaciones: 
 
 
Balance de materia de la especie i, )()( t
ii
izi mR
z
cv
t
c
+=
∂
∂
+
∂
∂ 
 
 
6 
Mach 
 
6 
 
Balance de energía )(t
Rzp ES
z
Tv
t
TC +=





∂
∂
+
∂
∂ρ 
 
 
La descripción del gradiente máximo reduce los principios fisicoquímicos a 
ecuaciones diferenciales menos detalladas. El balance de cantidad de 
movimiento se ignora puesto que normalmente se supone que la velocidad es 
constante o bien una función sencilla de “z”. En el balance de energía el 
término RS representa la energía neta desprendida por el proceso durante 
la(s) reacción(es) que se representa por iR en el balance(s) de materia. El 
término )(t
im tiene en cuenta la velocidad de transferencia molar, por unidad 
de volumen de la especie “i”, a través de los límites del sistema de área “S” 
( )(t
im es positivo cuando se introduce materia). En el balance de energía )(tE 
representa la transferencia de interfase de energía a través de los límites del 
sistema por unidad de volumen por uno o bien una combinación de los 
siguientes mecanismos: conducción, convección, radiación, trabajo mecánico 
o transferencia de materia que le acompaña. Finalmente, en el modelo de 
gradiente máximo es importante recordar que las concentraciones y 
temperaturas ya no son valores puntuales sino valores promediados para la 
sección transversal y son funciones de una sola dirección coordenada. La 
descripción del gradiente máximo reduce los principios fisicoquímicos a unas 
ecuaciones diferenciales menos detalladas. 
 
5. Descripción Macroscópica: En este nivel se ignora todo detalle dentro del 
subsistema especificado y, en consecuencia, en el planteamiento matemático 
no intervienen gradientes espaciales. En los balances generales, solamente el 
tiempo permanece como una variable diferencial independiente. Las variables 
dependientes, tales como concentración y temperatura, no son funciones de la 
posición y, por tanto, representan valores medios para todo el volumen del 
subsistema. Esta pérdida de detalle simplifica grandemente la descripción 
matemática, pero como contrapartida, lleva consigo una pérdida de 
información concerniente a las características del comportamiento del 
sistema. Este tipo de modelo es el que se planteará en los siguientes capítulos 
para el análisis dinámico de sistemas. 
 
 
1.4 CARACTERIZACION DE UN MODELO MATEMATICO 
 
Diferentes criterios son significativos para la caracterización de un modelo 
matemático como determinístico o probabilístico, de variable continua o discreta, en 
estado estacionario o dinámico, de parámetro globalizado o distribuido. 
 
7 
Mach 
 
7 
 
Según la caracterización del modelo se requerirán procedimientos y restricciones 
matemáticas específicas para su solución. Un modelo de parámetro globalizado se 
plantea con una ecuación diferencial ordinaria mientras que uno de parámetro 
distribuido se expresa mediante una ecuación diferencial parcial. Un modelo en 
estado estacionario no incluye las variaciones de las propiedades del sistema en el 
tiempo y, por lo tanto, su descripción puede ser una ecuación algebraica en el caso 
de un modelo de parámetro globalizado o una ecuación diferencial en el caso de un 
modelo de parámetro distribuido 
 
 
Modelo Determinístico y Modelo Probabilístico 
 
Los modelos determinísticos son aquellos en los que cada variable y parámetro 
puede asignarse a un número fijo definido o una serie de números fijos para una 
serie dada de condiciones. Por el contrario, en los modelos probabilísticas o 
estocásticos se introduce el principio de incertidumbre y, por lo tanto, las variables o 
parámetros utilizados para describir las relaciones entrada-salida y la estructura de 
los elementos (y las restricciones) no son conocidos con precisión. 
 
 
Modelo de Variable Continua – Modelo de Variable Discreta 
 
Un modelo es de variación continua si su variable dependiente puede asumir 
cualquier valor incluido dentro de un intervalo de la variable independiente, pero si 
solo puede tomar algunos valores, entonces el modelo es de variación discreta, por 
ejemplo, una variable que solo puede tomar valores enteros. En los procesos propios 
de la ingeniería química suelen encontrarse tanto variables continuas como discretas 
en un mismo problema, Por ejemplo, al optimizar un sistema de compresión de un 
gas se deben seleccionar un número entero de etapas de compresión (variable 
discreta) además de las presiones de succión y descarga en cada etapa (variables 
continuas). 
 
Modelo en Estado Estacionario – Modelo en Estado Dinámico 
 
El modelamiento de un sistema en estado estacionariose refiere a su planteamiento 
considerando que los términos correspondientes a la acumulación en los distintos 
balances son iguales a cero. Otra forma equivalente de expresar la misma idea 
consiste en decir que cuando el tiempo tiende hacia el infinito desaparecen los 
estados transitorios y el sistema es invariante con respecto al tiempo y, por lo tanto, 
los términos derivativos se hacen iguales a cero Los procesos en estado no 
estacionario también se pueden llamar transitorios o dinámicos. 
 
8 
Mach 
 
8 
 
Aun cuando ha sido una práctica usual de los procedimientos de diseño de procesos, 
desarrollarlos para la operación en estado estacionario, cuando comenzó a estudiarse 
ampliamente el control de procesos se encontró que la operación en estado no 
estacionario era muy importante. Por supuesto que el análisis y el diseño de un 
proceso en estado no estacionario requiere mas tipos diferentes y detallados de 
información que en el caso de estado estacionario, pero el análisis dinámico de la 
operación prolongada suele con frecuencia conducir a un mejor diseño desde el 
punto de vista económico, que al fin y al cabo, es lo que importa. 
 
Un ejemplo típico de un proceso en estado no estacionario puede ser la puesta en 
marcha de una columna de destilación, que alcanzará eventualmente un conjunto de 
condiciones de operación en estado estacionario. De hecho, cuando se examina con 
más detalle, se encuentra que la columna siempre opera en estado estacionario con 
pequeñas fluctuaciones de temperatura y concentración, que se producen en todo 
momento, pero que posiblemente oscilan alrededor de los valores medios en estado 
estacionario. El análisis dinámico ayuda a minimizar las desviaciones de las 
especificaciones del producto durante la puesta en marcha, parada o cambios en los 
niveles de operación. 
 
 
Modelo de Parámetro Globalizado – Modelo de Parámetro Distribuido 
 
En un modelo de parámetro globalizado se ignoran las variaciones espaciales y las 
distintas propiedades y las variables dependientes se pueden considerar homogéneas 
en todo el sistema. En un modelo de parámetro distribuido se tienen en cuenta en 
forma detallada las variaciones en el comportamiento del sistema en todo su 
conjunto. Todos los sistemas reales son, por supuesto, distribuidos porque existen 
algunas variaciones en todo el conjunto. Sin embargo, las variaciones son con 
frecuencia relativamente pequeñas de tal forma que se pueden ignorar y, entonces, el 
sistema se puede considerar globalizado. 
 
La respuesta a la pregunta de si la globalización de parámetros es válida dista mucho 
de ser sencilla. Una buena regla aproximada es que si la respuesta del elemento, para 
todos los fines prácticos, es instantánea en el conjunto de todo el elemento, entonces 
el parámetro del elemento puede ser globalizado. Si la respuesta presenta diferencias 
instantáneas a lo largo del elemento, ya no sería globalizado. Por respuesta se 
entiende la velocidad de propagación de la señal de entrada a través del elemento. 
Así, para ver si debe utilizarse una ecuación de parámetro distribuido o globalizado, 
es necesario conocer algo acerca de los detalles internos del elemento en cuestión. 
 
Debido a que los procedimientos matemáticos para la resolución de sistemas de 
parámetro globalizado son más sencillos que para los sistemas de parámetro 
distribuido, con frecuencia se aproxima este último por un sistema equivalente de 
9 
Mach 
 
9 
 
parámetro globalizado. Mientras que la globalización resulta, con frecuencia, posible 
es preciso tener mucho cuidado en evitar el enmascaramiento de las características 
sobresalientes del elemento distribuido (lo que dará lugar a la construcción de un 
modelo inadecuado) debido a la globalización. Además, la variabilidad o no 
linealidad del modelo de parámetro globalizado puede dar lugar a un tratamiento 
matemático tan difícil como el modelo original no globalizado. 
 
Un ejemplo importante es el tanque de mezcla que se emplea para el mezclado de 
fluidos o para efectuar reacciones químicas. Generalmente, se basan los cálculos en 
la suposición de que el tanque está perfectamente agitado de forma que todo el 
volumen del mismo consiste en un material homogéneo de características idénticas 
al producto que sale del tanque. Ahora bien, en un tanque real existen placas 
deflectoras, esquinas, etc., y la mezcla no es perfecta en todas las regiones, lo que 
conduce a falta de uniformidad en el tanque. Con frecuencia se ignoran estas 
variaciones y se emplean ciertos valores medios para las propiedades del material 
contenido en el tanque. Para muchos propósitos la suposición globalizada resulta 
bastante satisfactoria, aunque para ciertos tipos de reacciones químicas el mezclado 
no ideal puede tener efectos importantes. 
 
Las variaciones espaciales consideradas en los modelos de parámetro distribuido 
pueden ser para una dimensión solamente o para dos o tres. Por ejemplo, en los 
métodos habituales de diseño de un absorbedor de gases con relleno se supone que 
las concentraciones varían en forma continua en la dirección axial o de flujo, pero en 
cambio se ignoran en la dirección radial. En un reactor tubular o de partículas de 
relleno se le considera, generalmente, en la misma forma pero en este caso los 
gradientes radiales de temperatura pueden ser importantes. Para tener en cuenta lo 
anterior se hace necesario utilizar un modelo de parámetro distribuido de dos o tres 
dimensionasen el que se consideren las variaciones radial y axial de la temperatura y 
la concentración. 
 
 
1.5 ESTRUCTURA MATEMATICA DE UN MODELO 
 
 
Ecuaciones Diferenciales – Ecuaciones Algebraicas 
 
El modelamiento de un sistema en estado dinámico se plantea mediante sistemas de 
ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencias de acuerdo a que el sistema sea 
de variación continua o discreta. Los modelos de variación continua también se 
pueden plantear mediante ecuaciones integrales. 
 
Los modelos de variación continua tanto de parámetro globalizado en estado no 
estacionario como de parámetro distribuido en estado estacionario se expresan 
10 
Mach 
 
10 
 
mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En los de parámetro globalizado la 
variable independiente es el tiempo mientras que en los de parámetro distribuido es 
una dirección espacial. 
 
Los modelos de variación continua de parámetro distribuido se expresan mediante 
ecuaciones diferenciales parciales tanto para descripción en estado estacionario 
como no estacionario. Si el modelo se describe en estado estacionario, las variables 
independientes son las direcciones espaciales y si su descripción es en estado no 
estacionario se agrega el tiempo como variable independiente. 
 
Los modelos de variación discreta se expresan mediante ecuaciones de diferencias 
finitas, que también pueden ser unidimensionales o multidimensionales según el 
número de conexiones entre los subsistemas de parámetro globalizado. 
 
En condiciones estacionarias, las ecuaciones diferenciales de un modelo de 
parámetro globalizado se transforman en ecuaciones algebraicas mientras que las 
ecuaciones diferenciales parciales de un modelo de parámetro distribuido se 
transforman en ecuaciones diferenciales que expresan las variaciones del sistema 
con respecto a las direcciones espaciales 
 
 
1.6 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO 
 
Los modelos de parámetro globalizado son modelos matemáticos de fenómenos de 
transporte descritos macroscópicamente, es decir, que solo se consideran las 
variaciones del sistema con el tiempo y se omiten las variaciones espaciales. En su 
planteamiento se aplican un conjunto de leyes fundamentales de la física y la 
química como los principios de conservación de la masa, energía o cantidad de 
movimiento, las ecuaciones de transporte superficial, las ecuaciones de estado, las 
ecuaciones de equilibrio químico y físico y las ecuaciones cinéticas de reacciones. 
 
 
Ecuación de balance de materia total 
 
En el flujo totalde materia a través de un sistema se cumple el principio de 
conservación y su balance se puede expresar de la siguiente manera: 
 
 






=






−






a 
 
 
 
 
 
Masde
nAcumulaciódeRapidez
Salidade
MásicoFlujo
Entradade
MásicoFlujo
 (1.1) 
 
 
11 
Mach 
 
11 
 
En la ecuación (1.1) cada uno de los términos expresa unidades de masa por unidad 
de tiempo. El miembro derecho de la ecuación corresponde a un término rapidez de 
cambio de masa, es decir, a una derivada con respecto al tiempo 
 
 
Ecuaciones de balance de materia de componente 
 
En el flujo de materia a través de un sistema, el principio de conservación de cada 
componente se plantea mediante un balance que se puede expresar de la siguiente 
manera: 
 
 










=










−










+










−










nóicAcumula
de
MolarRapidez
Consumo
de
MolarRapidez
Generación
de
MolarRapidez
Salida
de
MolarFlujo
Entrada
de
MolarFlujo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1.2) 
 
 
En la ecuación (1.2) cada uno de los términos expresa una cantidad de moles de 
componente por unidad de tiempo. Los flujos molares de entrada y salida son tanto 
convectivos como difusivos. Los términos Rapidez de Generación, Rapidez de 
consumo y Rapidez de Acumulación se expresan como derivadas con respecto al 
tiempo. En el planteamiento de un modelo se requieren tantos balances de materia 
como componentes estén presentes en el sistema. 
 
 
Ecuación de balance de energía 
 
En el modelamiento de un sistema abierto, el principio de la conservación de la 
energía se expresa mediante la primera ley de la termodinámica de la siguiente 
manera: 
 
 










=










−










+










−










Sistemaelen
Energíade
CambiodRapidez
Sistema
elpor
alizadoTrabajo
Sistema
alAñadido
CalorFlujo
Salida
Energiade
TotalFlujo
Entrada
Energiade
TotalFlujo
 
 
 e 
 
 
Re 
 
 
 de 
 
 
 
 
 
 
 
(1.3) 
 
En la ecuación (1.3) cada uno de los términos expresa una cantidad de energía por 
unidad de tiempo. Los flujos energéticos totales de entrada y salida incluyen energía 
interna, cinética y potencial tanto por convección como difusión. El flujo calórico 
12 
Mach 
 
12 
 
añadido al sistema incluye las transferencias por conducción, radiación y de 
reacción. El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores incluye trabajo de 
eje y de tipo presión por flujo volumétrico. El término rapidez de cambio de energía 
en el sistema es la del cambio en energía interna y potencial del sistema. 
 
 
Ecuaciones de transferencia de masa y energía 
 
Para modelamiento de parámetro globalizado, la ecuación de transferencia de masa 
relaciona el flujo másico superficial con el cambio de concentración mientras que la 
ecuación de transferencia de energía relaciona el flujo superficial de calor con el 
cambio de temperatura. Las constantes de proporcionalidad son los coeficientes 
globales de transferencia. Las ecuaciones de transferencia de masa y energía se 
pueden escribir así: 
 
 
{ }{ }nncentracióCambiodeCoiaransferenceGlobaldeTCoeficient
lSuperficia
aFlujodeMas
=





 (1.4) 
 
{ }{ }mperaturaCambiodeTeiaransferenceGlobaldeTCoeficient
lSuperficia
orFlujodeCal
=





 (1.5) 
 
 
Ecuaciones de estado 
 
En el planteamiento de un modelo pueden necesitarse las relaciones entre algunas 
propiedades físicas o termodinámicas con la temperatura, presión o concentración. 
Lo anterior se puede plantear con respecto a la densidad y a la entalpía de la 
siguiente forma: 
 
 
{ } ),,( iL xTPfquidoDensidadLí == ρ (1.6) 
{ } ),,( iV yTPfporDensidadVa == ρ (1.7) 
{ } ),,( ixTPfhquidoEntalpíaLí == (1.8) 
{ } ),,( iyTPfHporEntalpíaVa == (1.9) 
 
 
Algunas simplificaciones que suelen hacerse sin afectar considerablemente la 
exactitud del modelo son: 
 
TCh P= (1.10) 
13 
Mach 
 
13 
 
VPTCH λ+= (1.11) 
 
 
Si se considera la influencia de la temperatura en el valor del calor específico, se 
plantea algo más riguroso así: 
 
 
∫=
T
T P
o
dTTCh )( (1.10) 
 
 
Suele considerarse una relación polinomial entre el calor específico y la temperatura, 
de tal manera que disponiendo de los coeficientes de cada uno de los términos se 
puede integrar la ecuación (1.10) y expresar una relación entre la entalpía de líquido 
y la temperatura. 
 
La entalpía de una mezcla de “N” componentes líquidos se puede calcular, 
despreciando los efectos calóricos de mezclado, mediante un promedio de la 
siguiente manera: 
 
 
∑
∑
=
== N
i
ii
N
i
iii
Mx
Mhx
h
1
1 (1.11) 
 
 
Las densidades de los líquidos pueden asumirse como constantes siempre y cuando 
no se observen grandes cambios en ellas con los cambios de temperatura y 
composición. Las densidades de los vapores no pueden considerarse constantes y 
para sus cálculos se aplica, generalmente, una ecuación de estado. Considerando un 
comportamiento ideal, la densidad de un vapor se puede calcular con la ecuación 
 
 
RT
MP
V
nM
V ==ρ (1.12) 
 
 
Estado de Equilibrio 
 
La segunda ley de la termodinámica nos facilita las ecuaciones que nos expresan las 
condiciones de un sistema para que se mantenga en estado de equilibrio, ya sea que 
14 
Mach 
 
14 
 
se trate del equilibrio de un sistema reaccionante (Equilibrio Químico) o del 
equilibrio entre varias fases (Equilibrio Físico) 
 
 
Equilibrio Químico 
 
En una reacción química en estado de equilibrio se cumple que la suma total de los 
potenciales químicos de cada uno de los componentes de la reacción es igual a cero 
(considerando al potencial de los reaccionantes con signos negativos y el de los 
productos con signos positivos). La forma usual de aplicar lo anterior es en términos 
de la constante de equilibrio para una reacción. Para una reacción en fase acuosa de 
la forma 
 
 
dDcCbBaA +⇔+ (1.13) 
 
 
La expresión para la constante de equilibrio es una relación entre las 
concentraciones de los componentes de la reacción en equilibrio escrita de la 
siguiente manera: 
 
 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]bea
e
d
e
c
e
e BA
DCK = (1.14) 
 
 
Para una reacción en fase gaseosa, se puede transformar la expresión en términos de 
las presiones parciales de la siguiente manera: 
 
 
b
eb
a
ea
d
ed
c
ec
e PP
PP
K
.,
,,= (1.15) 
 
 
Equilibrio Físico 
 
El equilibrio entre dos fases ocurre cuando el potencial químico de cada componente 
es el mismo en ambas fases. Para un sistema de dos fases líquido y vapor se pueden 
aplicar las siguientes leyes o considerandos: 
 
15 
Mach 
 
15 
 
Ley de Dalton: Para una fase vapor con comportamiento ideal se aplica la ley de 
Dalton que calcula la presión parcial de cada componente como el producto de la 
fracción molar del componente en la fase vapor y la presión total 
 
 
 Tii PyP = (1.16) 
 
 
Ley de Raoult: Para una fase líquida con comportamiento ideal se aplica la ley de 
Raoult en la cual se iguala la presión parcial de un componente en la fase vapor con 
la presión de saturación del componente puro en la fase líquida de la siguiente 
manera: 
 
 
 o
iiTi PxPy = (1.17) 
 
 
De lo anterior se puede demostrar que la presión total de la fase vapor se puede 
calcular en función de la composición de la fase líquida con la siguiente ecuación: 
 
 
 ∑
=
=
N
i
o
iiT PxP
1
 (1.18) 
 
 
Las presiones de vapor son función de la temperatura, solamente; y esta dependencia 
se puede expresar mediante relaciones como la de Antoine. 
 
 
Volatilidad Relativa: La volatilidad relativa ij
α del componente “i” con respecto 
al componente “j” se define mediante la siguiente relación;jj
ii
ij xy
xy
/
/
=α (1.19) 
 
 
Las volatilidades relativas son constantes en un cierto número de sistemas y son 
frecuentemente usadas debido a esta ventaja. 
 
16 
Mach 
 
16 
 
Al aplicar la ecuación (1.19) a un sistema binaria para el componente más volátil 
con respecto al menos volátil se demuestra una ecuación muy usual para calcular las 
composiciones de la fase vapor en equilibrio con una fase líquida y que es la 
siguiente: 
 
 
x
xy
)1(1 −+
=
α
α (1.20) 
 
 
Constantes de distribución de fases: Las relaciones entre la composición de la 
fase vapor y la de la fase líquido en equilibrio son las denominadas Constantes de 
distribución de fases, Se utilizan ampliamente, especialmente en la industria del 
petróleo 
 
 
i
i
i x
y
K = (1.21) 
 
 
Las constantes de distribución de fases dependen de la temperatura y la composición 
y en menor extensión de la presión 
 
 
Cinética Química 
 
El modelamiento de reactores requiere del manejo de las relaciones y la 
terminología que se utiliza al describir la cinética de las reacciones químicas 
mediante sus ecuaciones de velocidad de reacción. Estas ecuaciones expresan la 
dependencia de la velocidad de una reacción con la concentración de los 
reaccionantes y la temperatura de la reacción. 
 
 
Ley de acción de masas 
 
Esta ley establece que la velocidad global de una reacción depende de la temperatura 
y de la concentración de los reaccionantes elevada a sus respectivas potencias. Si la 
velocidad depende de la concentración de los reaccionantes A y B, suele expresarse 
mediante la denominada ecuación de velocidad de reacción con la siguiente forma: 
 
 
[ ] [ ]ba BAkr = (1.22) 
17 
Mach 
 
17 
 
Los exponentes a y b son los órdenes de la reacción con respecto a cada uno de los 
reaccionantes Con esta definición suelen caracterizarse las reacciones desde el punto 
de vista cinético como de primer orden, segundo orden, etc. 
 
 
Ecuación de Arrhenius 
 
La dependencia de la velocidad de reacción con la temperatura se incluye en la 
constante específica de velocidad de reacción. La ecuación de Arrhenius es muy 
usual para considerar la influencia de la temperatura en la constante de velocidad de 
reacción de la siguiente forma: 
 
 





−=
RT
EAk exp (1.23) 
 
 
“A” es el denominado factor preexponencial y “E” es la energía de activación de la 
reacción, “R” es la constante de los gases (1.99 cal/mol-K) y “T” es la temperatura 
en grados K 
 
 
1.6.1 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO: Características 
 
Al analizar un modelo de parámetro globalizado y para el desarrollo de su posible 
solución, se hace necesario identificar los parámetros, las constantes, las variables y 
el tipo de ecuaciones que lo conforman. Esto hace que el sistema modelado se pueda 
caracterizar como univariable o multivariable y lineal o no lineal 
 
 
Constantes, Parámetros y Variables 
 
Las constantes son los términos físicos o químicos independientes del tiempo, las 
direcciones espaciales y las condiciones del sistema como la constante de los gases o 
el peso mol de una sustancia. Los parámetros son todos aquellos valores que pueden 
ser variables pero que en el sistema se toman como constantes como el diámetro y la 
altura de un recipiente cilíndrico. Las variables son aquellas propiedades del sistema 
que pueden cambiar mediante algún efecto externo sobre ellas mismas o como 
consecuencia de los cambios externos realizados sobre algunas propiedades del 
sistema. A las primeras se les llama variables de entrada y a las segundas variables 
de salida 
 
18 
Mach 
 
18 
 
Sistemas univariables (SISO) y multivariables (MIMO) 
 
Un modelo de parámetro globalizado univariable se expresa mediante una ecuación 
diferencial con una variable de entrada y una variable de salida. Esto suele referirse 
como un modelo SISO (Single Input Single Output). Un modelo multivariable 
incluye varias variables de entrada o salida y se refiere como un modelo MIMO 
(Multiple Input Multiple Output). Se requieren tantas ecuaciones diferenciales como 
variables de salida se identifiquen en el sistema. Las variables de salida son las 
propiedades que cambian con el tiempo y, por lo tanto, los términos derivadas de 
dichas propiedades con respecto al tiempo se observan en las ecuaciones 
diferenciales. 
 
 
Orden y Linealidad de un sistema 
 
El orden de la dinámica de un sistema univariable está dado por el orden de la 
ecuación diferencial que expresa su modelamiento. Si la ecuación diferencial es 
lineal el sistema es lineal, en caso contrario es no lineal. La siguientes ecuaciones 
diferenciales son las forma estándares de escribir los modelos dinámicos de un 
sistema univariable lineal de primer y segundo orden, respectivamente. 
 
 
Primer Orden: )()()( tKXtY
dt
tdY
=+τ (1.24) 
 
Segundo Orden: )()(2)(
2
2
2 tKXtY
dt
dY
dt
tYd
=++ ζττ (1.25) 
 
 
Siendo τ , ζ y K, parámetros que caracterizan dinámicamente al sistema y que se 
calculan con algunas de sus características físicas. Y(t) es la variable de salida y X(t) 
es la variable de entrada 
 
Por ejemplo, la dinámica de algunas válvulas de control es de un modelo lineal de 
segundo orden con la forma de la ecuación (1.25) pero con algunas consideraciones 
se puede ajustar a un modelo lineal de primer orden con la forma de la ecuación 
(1.24) y hasta en algunos casos se puede despreciar el parámetro τ y, entonces, su 
dinámica solo se caracteriza por el parámetro K. 
 
Algunos sistemas de flujo a través de un tanque se ajustan a un modelo no lineal 
porque al introducir algunas consideraciones físicas en su planteamiento, su 
19 
Mach 
 
19 
 
descripción matemática es una ecuación diferencial no lineal de primer orden, como 
por ejemplo, la siguiente: 
 
 
)()()( tKXtY
dt
tdY
=+τ (1.26) 
 
 
La solución de un modelo no lineal puede hacerse en algunos casos por métodos 
analíticos, pero en casos complejos se tiene que recurrir a la solución mediante 
métodos numéricos. Es una práctica importante la linearización de los sistemas no 
lineales alrededor de un valor de referencia y la comparación de los resultados 
encontrados en ambos casos. Lo anterior, es necesario para simplificar el diseño de 
los lazos de control de sistemas no lineales. 
 
 
1.7 ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA 
 
El análisis dinámico de un sistema consiste en su modelamiento y la solución 
matemática correspondiente para un determinado cambio en algunas de sus variables 
de entradas con respecto a sus valores invariantes en el tiempo mientras se encuentre 
en estado estacionario. 
 
En sistemas lineales es usual expresar sus ecuaciones diferenciales de tal manera que 
las variables representen los cambios con respecto a sus valores iniciales o en estado 
estacionario. Estas representaciones se denominan Variables Desviación y se 
simbolizan, generalmente, con el mismo de la variable pero en mayúscula. Es decir, 
que: 
 
 
)o()()( xtxtX −= (1.27) 
 
 
De la definición (1.27) se deduce que el valor inicial de una variable desviación es 
igual a cero. Esta transformación permite que se analice la dinámica de un sistema 
observando las desviaciones de sus variables de salida cuando las variables de 
entrada se desvían de sus valores iniciales. 
 
 
1.7.1 PERTURBACION Y RESPUESTA DE UN SISTEMA 
 
Se emplean los términos Perturbación y Respuesta para referirse al tipo de cambio 
considerado en la variable de entrada y al perfil que muestran las variables 
20 
Mach 
 
20 
 
desviación de salida, respectivamente. Algunas perturbaciones con respuestas de 
sencilla solución matemática para el análisis dinámico de un sistema son las 
denominadas Paso, Pulso, Impulso, Rampa y Sinusoidal. 
 
Respuesta Paso o Escalón (Step) 
 
Las perturbaciones paso son funciones que cambian instantáneamente desde un 
valor a otro y son, por lo tanto, constantes. Si el cambio paso es de un tamaño x∆ , 
la perturbaciónse denomina Función Paso, x(t), y se define como: 
 
 
0 )( >∆= tparaxtx 
 (1.28) 
0 0)( ≤= tparatx 
 
 
La función paso en términos desviación es: 
 
 
0 )( >∆= tparaxtX (1.29) 
 
 
La representación gráfica de una función paso es una línea recta horizontal como se 
observa en la Figura 1.1.: 
 
 
 
 
Figura 1.1. Función Paso (Rojo) 
 
 
Si el tamaño del paso es igual a la unidad, la perturbación se Función Paso Unitario 
y se simboliza 
21 
Mach 
 
21 
 
0 1)( >= tparatU (1.30)
 
 
La respuesta de un sistema a una perturbación paso en su variable de entrada se 
denomina Respuesta Paso o Respuesta Paso unitario según el tamaño del cambio 
paso. 
 
 
Respuesta Pulso (Pulse) 
 
Un pulso es una función de forma arbitraria (usualmente rectangular) que comienza 
y termina en el mismo valor. Un pulso rectangular es, simplemente, la suma de una 
función paso positiva a partir de un tiempo cero y una función paso negativa a partir 
de ot minutos después, siendo ot el denominado Tiempo Muerto. Por lo tanto, una 
Función Pulso de altura h y anchura ot se expresa como 
 
 
)()()( otththtx −−= (1.31) 
 
 
La representación gráfica de una función pulso rectangular con altura h y una 
anchura igual ot se observa en la Figura 1.2: 
 
 
 
 
Figura 1.2 Función Pulso Rectangular 
 
 
La función pulso rectangular de altura uno y anchura ot se expresa como 
 
 
22 
Mach 
 
22 
 
)()()( ottututx −−= (1.32) 
 
 
Respuesta Impulso (Impulse) 
 
La función impulso es un pulso de altura infinita, longitud cero y área igual a k 
unidades. Es como una ficción puramente matemática pero de mucha utilidad en 
ciertos tratamientos matemáticos para el análisis dinámico de sistemas. Cuando el 
área del impulso es igual a la unidad, la función se define como la Función Delta 
Dirac, )(tδ . La función impulso de área k suele escribirse como un factor de la 
función Delta Dirac de la siguiente manera: 
 
 
)()( tktx δ= (1.33) 
 
 
La representación gráfica de una función impulso de área k se observa en la Figura 
1.3: 
 
 
 
 
Figura 1.3 Función Impulso de área k 
 
 
Respuesta Rampa (Ramp) 
 
Las variaciones rampas son funciones que cambian linealmente con el tiempo de la 
siguiente manera: 
 
 
kttx =)( (1.34) 
 
23 
Mach 
 
23 
 
Siendo k, una constante. Este tipo de cambio se aplica, por ejemplo, en el modo de 
variar con el tiempo del valor deseado de la presión o de la temperatura de un 
reactor operado por lotes 
 
La representación gráfica de una función rampa de pendiente k se observa en la 
Figura 1.4: 
 
 
 
 
Figura 1.4. Función rampa de pendiente k 
 
 
Respuesta Sinusoidal 
 
La variación sinusoidal de una variable de entrada se expresa como una función 
seno con una determinada frecuencia, w, y amplitud, A, de la siguiente manera: 
 
 
)()( wtASentx = (1.35) 
 
 
La representación gráfica de la función (1.35) se observa en la Figura 1.5. Las 
variaciones sinusoidales son muy poco aplicadas en los procesos de la ingeniería 
química. Sin embargo, las respuestas de un sistema a un cambio sinusoidal en sus 
variables de entrada son de una importancia tan grande que su estudio ha 
introducido unas estrategias adicionales para el análisis dinámico de sistemas 
conocido como las respuestas en el dominio de la frecuencia. 
 
 
24 
Mach 
 
24 
 
 
 
Figura 1.5. Función Seno de amplitud A y frecuencia w 
 
 
1.7.2 DOMINIOS PARA EL ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA 
 
El estudio de la dinámica de un sistema en el Dominio del Tiempo significa que las 
ecuaciones diferenciales que constituyen el modelo matemático se resuelven 
directamente, es decir, en términos de las funciones dependientes del tiempo. Pero si 
las ecuaciones diferenciales se transforman según la definición de Laplace el análisis 
dinámico o el comportamiento del sistema se estudia en el Dominio de Laplace. En 
capítulos posteriores, se explican los fundamentos que facilitan un conjunto de 
conceptos y propiedades para el análisis dinámico de un sistema en el Dominio de la 
Frecuencia y para el caso de sistemas cuyos modelos son multivariables se hace uso 
del álgebra matricial para el análisis dinámico de su respuesta en lo que se denomina 
el Espacio de los Estados. 
 
Dominio Tiempo 
 
En el dominio del tiempo, las variables se manejan directamente en función del 
tiempo y los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales, tanto analíticos 
como numéricos, se resuelven directamente en términos del tiempo. Para cada uno 
de los cambios descritos anteriormente para una variable de entrada, las funciones 
empleadas son las definidas en función del tiempo. 
 
Dominio Laplace 
 
Al aplicar transformada de Laplace tanto a las variables de entrada como a las 
ecuaciones diferenciales, el análisis no se plantea en términos del tiempo sino de una 
nueva variable “s”. Para cada una de las perturbaciones anteriores las 
correspondientes transformadas de Laplace son: 
 
25 
Mach 
 
25 
 
Respuesta Paso: 
s
xsX ∆
=)( (1.36) 
 
Respuesta Pulso: )1()()()( st
st
o
o
e
s
h
s
esh
s
shsX −
−
−=−= (1.37) 
 
Respuesta Impulso: ksX =)( (1.38) 
 
Respuesta Rampa: 2)(
s
ksX = (1.39) 
 
Respuesta Seno: 22)(
ws
AwsX
+
= (1.40) 
 
 
La transformada de Laplace solo puede aplicarse a ecuaciones diferenciales lineales 
y es de mucha utilidad para el análisis dinámico de sistemas lineales porque 
transforma una ecuación diferencial de tal manera que su representación es mucho 
más compacta y conveniente que la correspondiente representación en función del 
tiempo. Por ejemplo, la ecuación diferencial en términos del tiempo que modela a un 
sistema lineal de primer orden con una variable de entrada y una variable de salida 
suele escribirse en su forma estándar de la siguiente manera: 
 
 
)()()( tKXtY
dt
tdY
=+τ 
 
 
La correspondiente transformada de Laplace se expresa de tal manera que muestre 
una relación entre las variables de entrada y salida del sistema y que escrita como 
una función de transferencia es la descripción del sistema en el dominio de Laplace: 
 
 
1)(
)(
+
=
s
K
sX
sY
τ
 
 
 
Dominio Frecuencia 
 
El estudio dinámico de un sistema en el dominio de la frecuencia se fundamenta en 
las características que muestra la respuesta de un sistema de primer orden lineal ante 
una perturbación sinusoidal de cierta frecuencia y amplitud en su variable de 
26 
Mach 
 
26 
 
entrada. A partir de estas características se definen unas propiedades que dependen 
de la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada como son la relación entre las 
amplitudes entre la función sinusoidal de entrada y la respuesta del sistema y el 
desfase entre ellas y a partir de estas se plantean unos conceptos como los de Bode y 
Nyquist muy útiles y aplicables en el análisis de cualquier sistema.Los métodos de 
análisis en el dominio de la frecuencia son un poco más abstractos que los 
correspondientes en los otros dominios y se apoyan en el concepto de función de 
transferencia propio de los estudios en el dominio de Laplace. 
 
Espacio de los Estados 
 
La escritura de un modelo en forma del Espacio de los Estados se puede aplicar a 
sistemas lineales con múltiples variables de entrada y salida. Lo anterior significa 
que el modelo lo constituyen tantas ecuaciones diferenciales lineales como variables 
de salida hayan y este conjunto puede compactarse en una escritura matricial de la 
siguiente forma: 
 
 
BuAXX +=& 
DuCXY += 
 
 
Cada una de las letras A, B, C, D representa una matriz. “X” es el vector de las 
variables de estado del sistema y el punto arriba simboliza el vector de sus derivadas 
con respecto al tiempo; “Y” es el vector de las variables de salida del sistema y “u” 
es el vector de las variables de entrada.A y B son las matrices de los coeficientes de 
cada uno de los términos lineales en cada una de las ecuaciones diferenciales. C y D 
son matrices que expresan una relación entre las variables de estado y de entrada con 
las de salida 
 
Bibliografía 
 
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice Hall 
International Series. 1998 
 
Edgar T.F., Himmelblau D.M. Optimization of Chemical Processes. McGraw-Hill 
International Editions. 1989 
 
Himmelblau D.M., Bischoff K.B. Análisis y Simulación de Procesos. Editorial 
Reverte S.A. 1976 
 
Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers. 
Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990