Estadistica - Parte Uno-páginas-98

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18. Cálculo de valores críticos de x2 Para números grandes de grados de libertad pode-
mos aproximar los valores críticos de x2 de la siguiente forma:
Aquí k es el número de grados de libertad y z es el valor crítico, obtenido en la tabla
A-2. Por ejemplo, si deseamos aproximar los dos valores críticos de x2 en una prueba
de hipótesis de dos colas, con a 5 0.05 y un tamaño de muestra de 150, permitimos
que k 5 149 con z 5 21.96, seguido por k 5 149 y z 5 1.96.
a. Utilice esta aproximación para estimar los valores críticos de x2 en una prueba de
hipótesis de dos colas con n 5 101 y a 5 0.05. Compare los resultados con los
obtenidos en la tabla A-4.
b. Use esta aproximación para estimar los valores críticos de x2 en una prueba de
hipótesis de dos colas, con n 5 150 y a 5 0.05.
19. Cálculo de los valores críticos de x2 Repita el ejercicio 18 aplicando esta aproxima-
ción (con k y z descritas en el ejercicio 18):
20. Efectos de un dato distante Al utilizar el procedimiento de prueba de hipótesis de es-
ta sección, ¿se vería muy afectado el resultado con la presencia de un dato distante?
Describa cómo llegó a su respuesta.
21. Análisis del último dígito En ocasiones los últimos dígitos de datos muestrales se
emplean para determinar si los datos fueron medidos o simplemente reportados por el
sujeto. Los datos reportados suelen tener últimos dígitos con un exceso de ceros y cin-
cos. Los datos medidos tienden a tener últimos dígitos con una media de 4.5, una des-
viación estándar de alrededor de 3 y los dígitos suelen presentarse casi con la misma
frecuencia.
a. ¿De qué manera se afecta la desviación estándar cuando existe un exceso de ceros
y cincos?
b. ¿Por qué no podemos utilizar los métodos de esta sección para probar que los últi-
mos dígitos de los datos muestrales tienen una desviación estándar igual a 3?
22. Probabilidades de un error tipo II Remítase al ejercicio 9. Suponiendo que s es en
realidad igual a 4.0, calcule b, que denota la probabilidad de un error tipo II. Revise el
ejercicio 19 de la sección 7-4 y modifique el procedimiento de tal modo que se apli-
que a una prueba de hipótesis que incluya s en lugar de m.
Repaso
En este capítulo se presentaron métodos básicos para probar aseveraciones acerca de una
proporción poblacional, una media poblacional o una desviación estándar poblacional (o
varianza). Los profesionales utilizan los métodos de este capítulo en una gran variedad de
disciplinas, tal como se ilustra en muchas de sus revistas científicas.
En la sección 7-2 presentamos los conceptos fundamentales de una prueba de hipó-
tesis: la hipótesis nula, la hipótesis alternativa, el estadístico de prueba, la región crítica, el
nivel de significancia, el valor crítico, el valor P, el error tipo I y el error tipo II. También
estudiamos las pruebas de dos colas, las pruebas de cola izquierda, las pruebas de cola de-
recha y el planteamiento de conclusiones. Empleamos estos componentes para identificar
tres métodos diferentes de prueba de hipótesis:
1. El método tradicional (resumido en la figura 7-8)
2. El método del valor P (resumido en la figura 7-9)
3. Los intervalos de confianza (estudiados en el capítulo 6)
x2 5 ka1 2
2
9k
1 zB 2
9k
b3
�2 5
1
2
 Az 1 22k 2 1 B2
426 CAPÍTULO 7 Prueba de hipótesis
Ejercicios de repaso 427
En las secciones 7-3 a 7-6 estudiamos métodos específicos para manejar distintos paráme-
tros. Puesto que es tan importante seleccionar correctamente la distribución y el estadístico
de prueba, presentamos la tabla 7-3, que resume los procedimientos de este capítulo para
la prueba de hipótesis.
Ejercicios de repaso
1. a. Usted acaba de reunir una muestra muy grande (n 5 2575) de respuestas obtenidas
de adultos estadounidenses que enviaron por correo las respuestas a un cuestiona-
rio impreso en la revista Fortune. Una prueba de hipótesis realizada con un nivel
de significancia de 0.01 conduce a la conclusión de que la mayoría (más del 50%) de
los adultos se oponen a los impuestos estatales. ¿Concluiremos que la mayoría de los
adultos estadounidenses se oponen a los impuestos estatales? ¿Por qué?
b. Al probar un fármaco para el control del peso, una prueba de hipótesis basada en
5000 sujetos seleccionados al azar revela que la pérdida media de peso de 0.2 li-
bras es significativa al nivel 0.01. ¿Deberán utilizar este fármaco los sujetos que
desean perder peso? ¿Por qué?
c. Usted acaba de inventar una nueva cura para el resfriado común y planea realizar
una prueba formal para justificar su eficacia. ¿Qué valor P preferiría: 0.99, 0.05,
0.5, 0.01 o 0.001?
d. Al probar la aseveración de que la cantidad media de refresco de cola en latas es
mayor que 12 onzas, usted no rechaza la hipótesis nula. Plantee la conclusión final
que retoma la aseveración original.
e. Complete la afirmación: “Un error tipo I es el error de...”
Tabla 723 Pruebas de hipótesis
Distribución y estadístico Valores P
Parámetro Condiciones de prueba y críticos
Proporción np $ 5 y nq $ 5 Normal: Tabla A-2
Media s conocida y población que se Normal: Tabla A-2
distribuye normalmente
o
s conocida y n . 30
s desconocida y población t de Student: Tabla A-3
distribuida normalmente
o
s desconocida y n . 30
Población no distribuida Usar método no paramétrico
normalmente y n # 30 o bootstrap.
Desviación estándar Población distribuida Chi cuadrada: Tabla A-4
o varianza normalmente
x2 5
sn 2 1ds2
s2
z 5
p̂ 2 pBpq
n
z 5
x 2 mx
s
!n
t 5
x 2 mx
s
!n
428 CAPÍTULO 7 Prueba de hipótesis
2. Identificación de hipótesis y distribuciones Con base en las condiciones acordadas,
identifique la hipótesis alternativa y la distribución muestral (normal, t, chi cuadrada)
del estadístico de prueba.
a. Aseveración: El ingreso anual medio de estudiantes universitarios de tiempo comple-
to está por debajo de $10,000. Datos muestrales: para 750 estudiantes universitarios
seleccionados aleatoriamente, la media es $3662 y la desviación estándar es $2996.
b. Aseveración: Con el ensamble manual de las partes de teléfonos, los tiempos de
ensamble varían más que los tiempos del ensamble automatizado, del cual se sabe
que tiene una media de 27.6 segundos y una desviación estándar de 1.8 segundos.
c. Aseveración: La mayoría de los estudiantes universitarios son mujeres. Datos
muestrales: de 500 estudiantes universitarios seleccionados aleatoriamente, el 58%
son mujeres.
d. Aseveración: Cuando se selecciona al azar a un grupo de adultos encuestados, su
CI medio es igual a 100. Datos muestrales: n 5 150 y 5 98.8. Es razonable supo-
ner que s 5 15.
3. Generación aleatoria de datos La calculadora TI-83 Plus se utiliza para generar da-
tos aleatorios a partir de una población que se distribuye normalmente. El comando
rand-Norm(100,15,50) genera 50 valores de una población distribuida normalmen-
te, con m 5 100 y s 5 15. Una muestra generada de este tipo de 50 valores tiene una
media de 98.4 y una desviación estándar de 16.3.
a. Utilice un nivel de significancia de 0.10 para probar la aseveración de que la mues-
tra en realidad proviene de una población con una media igual a 100. Suponga que
s 5 15.
b. Repita el inciso a, suponiendo que se desconoce s.
c. Utilice un nivel de significancia de 0.10 para probar la aseveración de que esta muestra
en realidad proviene de una población con una desviación estándar igual a 15. ¿Qué
dice este resultado acerca de la variación entre los valores muestrales generados?
d. Con base en los resultados anteriores, ¿parecería que el generador de números
aleatorios de la calculadora está funcionando correctamente?
4. Errores de entrevista Una encuesta de Accountmeps, realizada a 150 ejecutivos, reveló
que el 44% de ellos dicen que el error más común de los aspirantes durante una entre-
vista de trabajo es decir que “no conocen o conocen poco a la empresa” (según datos
de USA Today). Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de
que menos de la mitad de todos los ejecutivos identifican ese error como el más co-
mún en una entrevistade trabajo.
5. Pesos de monedas de 25 centavos de dólar Si nos remitimos a los pesos (en gramos)
de monedas de 25 centavos de dólar, listados en el conjunto de datos 29 del Apéndice
B, encontramos 50 pesos con una media de 5.622 g y una desviación estándar de
0.068 g. El Departamento del Tesoro de Estados Unidos asevera que el procedimiento
utilizado para acuñar estas monedas produce un peso medio de 5.670 g. Con un nivel
de significancia de 0.01, pruebe la aseveración de que el peso medio de las monedas
de 25 centavos de dólar en circulación es de 5.670 g. Si se rechaza la aseveración,
¿cuál sería una explicación posible para la discrepancia?
6. Pesos de dulces M&M azules Con los pesos de los dulces M&M azules listados en el
conjunto de datos 19 del Apéndice B, pruebe la aseveración de que la media es de al
menos 0.9085 g, el valor medio necesario para que los 1498 M&M produzcan un total
de 1361 g, tal como lo indica la envoltura. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
Para los M&M azules, 5 0.9014 g y s 5 0.0573 g. Con base en el resultado, ¿pode-
mos concluir que el contenido de los paquetes no coincide con el peso aseverado im-
preso en la envoltura?
7. Porcentaje de visitas a parques temáticos Cada año se gastan miles de millones de
dólares en los parques temáticos propiedad de Disney, Universal Studios, Sea World,
Busch Gardens y otros. Una encuesta a 1233 personas que hicieron viajes, reveló que
111 de ellos incluyeron una visita a un parque temático (según datos de la Travel
x
x
Industry Association of America). Con base en esos resultados de encuesta, la consulto-
ra gerencial Laura Croft asevera que menos del 10% de los viajes incluyen una visita a
un parque temático. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar su aseveración.
¿Sería adecuado que ella utilizara esta afirmación para tratar de convencer a la geren-
cia de los parques temáticos de que incremente sus gastos en publicidad?
8. Votos para el candidato ganador En una elección presidencial reciente, se entrevistó a
611 votantes, y 308 de ellos dijeron haber votado por el candidato ganador (de acuer-
do con datos del ICR Survey Research Group). Utilice un nivel de significancia de
0.04 para probar la aseveración de que, entre todos los votantes, el 43% dijo haber vo-
tado por el candidato ganador. (Los registros de votos revelaron que el porcentaje real
que votó por el candidato ganador fue del 43%). ¿Qué sugiere el resultado acerca de
las percepciones de los votantes?
9. ¿Están siendo engañados los consumidores? El Orange County Bureau of Weights
and Measures recibió quejas de que la Windsor Bottling Company estaba engañando
a los consumidores al incluir menos de 12 onzas de cerveza de raíz en sus latas. Al se-
leccionar y medir aleatoriamente 24 latas, se descubre que la cantidad media es de 11.4
onzas y la desviación estándar es de 0.62 onzas. El presidente de la compañía, Harry
Windsor, asevera que la muestra es demasiado pequeña para tener algún significado.
Utilice los datos muestrales para probar la aseveración de que los consumidores están
siendo engañados. ¿Tiene alguna validez el argumento de Harry Windsor?
10. Porcentaje de personas que piensa que Elvis está vivo USA Today publicó un reporte
acerca de una encuesta de la Universidad de Carolina del Norte, realizada a 1248 adul-
tos del sur de Estados Unidos. Se reportó que el 8% de los encuestados creen que Elvis
Presley aún vive. El artículo comenzaba con la aseveración de que “casi uno de 10” su-
reños cree que Elvis aún está vivo. Con un nivel de significancia de 0.01, pruebe la ase-
veración de que el verdadero porcentaje es menor que el 10%. Con base en el resultado,
determine si el resultado muestral del 8% justifica la frase “casi uno de cada diez”.
11. ¿Es mejor la nueva máquina? La Medassist Pharmaceutical Company utiliza una
máquina para llenar botellas con medicina para el resfriado, de tal modo que la des-
viación estándar de los pesos es de 0.15 onzas. Se prueba una nueva máquina en 71
botellas y la desviación estándar de esta muestra es de 0.12 onzas. La Dayton Machi-
ne Company, que fabrica una nueva máquina, asevera que ésta llena las botellas con
menor variación. Con un nivel de significancia de 0.05, pruebe la aseveración hecha
por la Dayton Machine Company. Si la máquina de Dayton se utiliza por ensayos,
¿debe considerarse su compra?
12. Pesos de paquetes de azúcar Remítase al conjunto de datos 28 del Apéndice B y prue-
be la aseveración de que los pesos de los paquetes de azúcar tienen una media igual a
3.5 g, ¿qué concluye?
Ejercicios de repaso acumulativos
1. Verificación de dioxina A continuación se listan las cantidades medidas de dioxina en
el aire en el World Trade Center, los días posteriores a los ataques terroristas del 11 de
septiembre de 2001. La dioxina incluye un grupo de químicos producidos por los
incendios y ciertos tipos de manufactura. Las cantidades listadas se miden en nanogra-
mos por metro cúbico (ng/m3) y se presentan en orden, de tal modo que los valores
registrados inicialmente se encuentran a la izquierda. Los datos fueron proporcionados
por la Environmental Protection Agency de Estados Unidos.
0.161 0.175 0.176 0.032 0.0524 0.044 0.018 0.0281 0.0268
a. Calcule la media de esta muestra.
b. Calcule la mediana.
c. Calcule la desviación estándar.
Ejercicios de repaso acumulativos 429
T
continúa
430 CAPÍTULO 7 Prueba de hipótesis
d. Calcule la varianza.
e. Calcule el rango.
f. Construya un estimado del intervalo de confianza del 95% de la media poblacional.
g. La EPA (Agencia de Protección Ambiental) emplea un “nivel de verificación” de
0.16 ng/m3, que se “establece como protección en contra del incremento significa-
tivo de los riesgos de cáncer y de otros efectos nocivos para la salud”. Utilice un
nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que esta muestra provie-
ne de una población con una media menor que 0.16 ng/m3.
h. ¿Existe alguna característica importante en los datos que no se señale en los resul-
tados anteriores? Si es así, ¿cuál es?
2. Calificaciones de mujeres en el área de matemáticas del SAT Las calificaciones que
obtienen mujeres en el área de matemáticas del SAT se distribuyen normalmente, con
una media de 496 y una desviación estándar de 108.
a. Si se selecciona al azar a una mujer que resuelve la parte de matemáticas del SAT,
calcule la probabilidad de que su calificación esté por arriba de 500.
b. Si se seleccionan al azar cinco calificaciones de matemáticas del SAT de la población
de mujeres que resolvieron el examen, calcule la probabilidad de que las cinco ca-
lificaciones estén por arriba de 500.
c. Si se seleccionan al azar cinco mujeres que resuelven la parte de matemáticas del
SAT, calcule la probabilidad de que su media esté por encima de 500.
d. Calcule P90, la calificación que separa al 90% inferior del 10% superior.
3. PES Un estudiante de psicología diseña un experimento para probar la percepción extra-
sensorial (PES). En este experimento se selecciona al azar un naipe de un mazo mezcla-
do y un sujeto vendado de los ojos debe adivinar el palo (diamantes, tréboles, corazones,
espadas) del naipe seleccionado. El experimento se repite 25 veces, reemplazando el
naipe y mezclando el mazo cada vez.
a. Para los sujetos que adivinan sin PES, calcule el número medio de respuestas
correctas.
b. Para los sujetos que adivinan sin PES, calcule la desviación estándar del número de
respuestas correctas.
c. Para los sujetos que adivinan sin PES, calcule la probabilidad de obtener más de
12 respuestas correctas.
d. Si un sujeto tiene más de 12 respuestas correctas, pruebe la aseveración de que tra-
tó de adivinar. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
e. Usted desea realizar una encuesta para estimar el porcentaje de adultos estadouni-
denses que creen que algunas personas tienen PES. ¿A cuántas personas debe en-
cuestar si busca, con un nivel de confianza del 90%, que el error en su porcentaje
muestral no sobrepase cuatro puntos porcentuales?Actividades de cooperación en equipo 431
Actividades de cooperación en equipo
1. Actividad en clase Cada estudiante debe estimar la
longitud del salón de clases. Los valores deben basarse
en estimados visuales, sin tomar mediciones reales.
Una vez que se han reunido las estimaciones, mida la
longitud de la habitación, después pruebe la asevera-
ción de que la media muestral es igual a la longitud real
del salón de clases. ¿Existe una “sabiduría colectiva”
por la que la media de la clase sea aproximadamente
igual a la longitud real de la habitación?
2. Actividad fuera de clase Utilice un reloj de pulso que
sea razonablemente preciso y póngalo a tiempo. Hágalo
con una estación de radio o un reporte telefónico que
establezca que “en el momento del tono, la hora es...”.
Si no puede poner la hora exacta en segundos, registre
el error del reloj que está utilizando. Ahora compare la
hora de su reloj con la hora de los demás. Registre los
errores con signo positivo para los relojes que están
adelantados y con signo negativo para los que están atra-
sados. Utilice los datos para probar la aseveración de
que el error medio de todos los relojes de pulso es igual
a 0. ¿Están todos a tiempo, o están adelantados o atrasa-
dos? También pruebe la aseveración de que la desviación
estándar de los errores es menor que un minuto. ¿Cuá-
les son las implicaciones prácticas de una desviación
estándar excesivamente grande?
3. Actividad en clase En un grupo de tres o cuatro perso-
nas, realice un experimento de PES, seleccionando a
uno de los miembros del grupo como sujeto. Dibuje un
círculo en un pequeño pedazo de papel y dibuje un cua-
drado en otro papel del mismo tamaño. Repita el siguien-
te experimento 20 veces: seleccione aleatoriamente el
círculo o el cuadrado y colóquelo en la mano del sujeto
a sus espaldas, de manera que no pueda verlo; después
pida al sujeto que identifique la figura (sin verla); regis-
tre si la respuesta es correcta. Pruebe la aseveración
de que el sujeto tiene PES, debido a que la proporción de
respuestas correctas es mayor que 0.5.
4. Actividad en clase Después de formar grupos con ta-
maños entre 10 y 20 individuos, cada miembro debe re-
gistrar su número de latidos cardiacos por minuto. Des-
pués de calcular y s, que cada grupo proceda a probar
la aseveración de que la media es mayor que 60, que es
el resultado del autor. (Cuando las personas hacen ejer-
cicio, tienden a tener pulsos más bajos y el autor corre 5
millas varias veces por semana. ¡Qué tipo!)
5. Actividad fuera de clase Como parte de una encuesta
de Gallup, a unos sujetos se les preguntó: “¿Está usted
a favor de la pena de muerte para las personas senten-
ciadas por homicidio?”. El 65% de los individuos dije-
ron estar a favor, mientras que el 27% se manifestó en
contra y el 8% no opinó. Utilice los métodos de la sec-
ción 6-2 para determinar el tamaño de muestra necesa-
rio para estimar la proporción de estudiantes de su
universidad que están a favor. La clase debe determinar
un intervalo de confianza y un margen de error. Des-
pués divida el tamaño de muestra entre el número de
estudiantes en la clase; realice la encuesta, pidiéndo-
le a cada miembro de la clase que pregunte al núme-
ro apropiado de estudiantes de la universidad. Analice
los resultados para determinar si los estudiantes difie-
ren significativamente de los resultados de la encuesta
de Gallup.
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