Documento36

Vista previa del material en texto

FES. Magnetismo
El magnetismo en los sólidos es un problema muy interesante y amplio y con implicaciones en 
muchos aspectos tanto de física fundamental como de física aplicada y física experimental. 
Física fundamental:
Preparación de materiales magnéticos
Simetrías magnéticas
Transiciones de fase
Teorías de muchos cuerpos
Correlación de spin
Diseño de materiales
Física aplicada:
Utilización de materiales magnéticos
Imanes permanentes
Antenas
Física experimental
Medidas termodinámicas, calor específicos, susceptibilidad magnética
Difracción de neutrones
ESR y NMR
Espectroscopia Mösbauer
FES. Magnetismo
Si bien un estudio detallado del magnetismo en los sólidos da para estudiar varias 
asignaturas, este breve apartado pretende explicar como la metodología de la FES permite 
entender el ferromagnetismo.
Nos centraremos en el estudio de materiales aislantes magnéticos y en particular en 
encontrar los fundamentos que hacen que algunos de estos materiales sean ferromagnéticos 
y las propiedades a las que da lugar este comportamiento específico
Características fundamentales de los materiales ferromagnéticos:
1. Son atraídos hacía las zonas de mayor campo de un imán.
2. Presentan una imanación espontanea, es decir un momento magnético en ausencia de campo 
externo.
3. Presentan un ciclo de histéresis.
4. Alcanzan una saturación absoluta que cuando la excitación H es suficientemente grande es la suma de 
los momentos magnéticos de los constituyentes (en todos los dominios).
5. En general su susceptibilidad magnética depende de su naturaleza, pero también de sus historia 
(térmica, mecánica, etc)
6. A una cierta temperatura (Temperatura de Curie Tc) se produce una transición de Ferromagnético a 
Paramagnético
7. Presentan magneto estricción (cambio en el volumen por modificaciones del orden magnético).
FES. Magnetismo
Tipos de comportamiento magnético
Nociones básicas sobre magnetismo en los sólidos
Nos centraremos 
en estudiar estos 
sistemas
FES. Magnetismo
Nociones básicas sobre magnetismo en los sólidos
Clasificación de los materiales magnéticos. (A temperatura ambiente)
FES. Magnetismo
El ferromagnetismo no es característico de algún tipo de estructura cristalina particular, 
vemos en la figura que están representados materiales con diferentes estructura. Lo que 
es característico de estos materiales es la presencia de capas d o f parcialmente llenas. 
Nociones básicas sobre magnetismo en los sólidos
FES. Magnetismo
Nociones básicas sobre magnetismo en los sólidos
Valores de la temperaturas críticas y magnetización de saturación de algunos compuestos 
ferromagnéticos
FES. Magnetismo
Nociones básicas sobre magnetismo en los sólidos
Susceptibilidad magnética para temperaturas por encima de las de transición.
Nociones básicas sobre magnetismo en los sólidos
FES. Magnetismo
Magnetización de in material ferromagnético por debajo de la temperatura de Curie
FES. Magnetismo
Evolución de los materiales magnéticos a lo largo del sigo XX
Nociones básicas sobre magnetismo en los sólidos
FES. Magnetismo
Susceptibilidad magnética atómica: Resumen de los resultados fundamentales.
La predicción de las propiedades magnéticas de sólido aislante parte de entender como es 
el comportamiento magnético de un conjunto de átomos aislados. Para aquellos sólidos 
en los que no existe interacción entre los momentos magnéticos atómicos las predicciones 
del comportamiento para un átomo aislado serán fácilmente extrapolable a materiales 
solidos (aislantes magnéticos) sin más que sumar el comportamiento de todos los átomos
Definiciones:
Magnetización M(H) (densidad volumétrica de momento dipolar magnético) en un sistema cuántico a T=0K de 
volumen V se define por 
� � � � 1
�
��	
��
Donde E0 es la energía del estado fundamental en presencia del campo magnético. 
Para una temperatura distinta de T=0K la magnetización de determina usando la ecuación:
� �,� � ∑ �
 � ���
 ���
∑ ���
 ���
donde En son las energías de los estados posibles del sistema y 
�
 � � � 1
�
��
��
Es la magnetización de cada estado
FES. Magnetismo
La susceptibilidad magnética se define por
� � ��
�� � � 1
�
���	
���
Que se reduce a � � �
� 	 si la dependencia entre M y H es lineal. 
El Hamiltoniano del átomo en presencia de un campo magnético es:
� � �	 � �� � � �	� � � � 
!"# �� ∑ $%�&& +'�&) (i electrones del átomo)
Donde �	 � 2$1 � )
�* � + ,� - ; , � � 
.# �
/
/01 ; 	�	 � 2.0023
�� �
�.
267	 68�9�:ó9	<�	=>?@
�� � � �	� � Término de Zeeman
FES. Magnetismo
Se aplica teoría de perturbaciones para determinar los nuevos niveles energéticos del 
átomo en presencia del campo magnético:
∆�
 B 9 ∆� 9 � C 9 ∆� 9´ �
�
 � �
´
E
´
donde los In> representan los estados propios del átomo sin perturbar (sin campo)
∆�
 B ��� 9 � � �F� 9 � C 9 ���$� � �F�- 9´ �
�
 � �
´ � ��
867��
� 9 C$%�&
&
+'�&) 9

E
´
Se aproxima el primer y el segundo orden para el primer término de ∆H y solo el primer 
orden para el segundo término de ∆H 
Esta es la ecuación básica para todas las teorías de susceptibilidad magnética de átomos e 
iones o moléculas INDIVIDUALES. APLICABLE A SÓLIDOS que por su constitución manifiesten 
individualidad de sus elementos constituyentes. 
FES. Magnetismo
Caso 1. Susceptibilidad de aislantes con capas cerradas. DIAMAGNETISMO DE LARMOR: 
Átomos con capas cerradas (gases o nobles o iones Li+, F-).
Como las capas son cerradas, L=0 y S=0 por tanto:
∆�F B C ��
867�

E
´
�� 0 C$%�&
&
+'�&) 0
Calculando las susceptibilidad a partir de la derivada segunda:
� � H�
H� � � /
I
H �J
H� 	 se obtiene
� � � ��
467�� 0 C$%�&
&
+'�&) 0
que teniendo en cuenta la simetría esférica de 
los átomos de capas cerradas y suponiendo N 
átomos
� � � ��	L
667�� 0 C@�&
&
0
Diamagentismo de Larmor para N átomos por unidad de 
volumen que es natural a cualquier sustancia. Es una 
contribución independiente de la temperatura dada la poca 
probabilidad (salvo a muy alta temperatura de que los electrones 
pasen a otro estado). 
FES. Magnetismo
Reglas de Hund, para el llenado de orbitales atómicos. 
Configuración electrónica del estado fundamental en átomos:
Acoplo LS:
1. El estado fundamental es el de S máximo (espines paralelos) 
2. El estado fundamental es de L máximo (siendo ya S máximo) 
Acoplo Spin-Orbita
1. Para capas electrónicas menos que semi-llenas J=IL-SI
2. Para capas más que semillenas J=L+S
3. Para capas con la mitad menos 1 electrón J=0
FES. Magnetismo
Caso 2. Susceptibilidad de átomos con capas parcialmente llenas (con J=0) 
Cuando J=0 (momento magnético total). Sustancias sin momento magnético permanente
Equivale a capas con la mitad menos 1 electrón
∆�	 B C 0 ���$� � �F�- 9 �
�	 � �
 � ��
867��
� 0 C$%�&
&
+'�&) 0

E	
9 � � �F� 9 =0
Si determinamos la susceptibilidad para N átomos por unidad de volumen 
con el campo H en la dirección del eje Z
� B �L
�
��
467� 0 C$%�&
&
+'�&) 0 � L
� 2�
�
� C
0 ���$�N � �F�N- 9 �
�
 � �	
E	
Diamagnetismo de Larmor Paramagnetismo de Van-Vleck
FES. Magnetismo
Caso 3. Susceptibilidad de átomos con capas parcialmente llenas (con J≠≠≠≠0) 
Cuando J≠0 (momento magnético total). Sustancias con momento magnético permanente
En este caso y este término pasa a ser la contribución fundamental9 � � �F� 9 ≠0
��OON �N � �F�N ��OON � g JLS	 ON � O�� � 3
2 �
1
2
� � � 1 � �$� � 1-
O$O � 1-
∆�
 B ���	� O�� ON	 Valor a 0 Kelvin. 
� �, � � ∑ �
 � ���
 ���
∑ ���
 ���
� L
� TO=U$VTO�-
T � �$O��-��
V � 1
W�
=U % � 2O � 1
2O 7>:�? 2O � 1
2O % � 1
2O 7>:�?
1
2O %
Cuando T� ≪ W�	=U % � UY/
0U %
� � L
� 	
$���-�
3
O$O � 1-
W� Paramagnestimo de Curie-Langevin
Factor de 
Landé
FES. Magnetismo
Diamagnetismo de Larmor
Paramagnetismo de Van Vleck
Paramagnetismo de Curie-Langevin (1/T)
Diamagnetismo de Landau
Paramagnetismo de Pauli
Contribuciones a las curvas de susceptibilidad vs temperatura
Las contribuciones de Curie-Langevin, Van-Vleck y Larmor provienende los átomos (cores en un 
sólido).
Las contribuciones de Pauli y Landau están asociadas a electrones libres o cuasi libres (metales)
FES. Magnetismo
Teoria de Weiss del Ferromagnetismo. 
Las teorías previas prevén el diamagnetismo y el paramagnetismo pero no prevén la 
posibilidad de que exista orden magnético, para que se de dicho orden debe existir algún tipo 
de interacción que la justifique. Previamente al desarrollo de la mecánica cuántica Weiss
(1907) sugiere la existencia de un «campo molecular» que permite que exista el orden 
magnético. El origen de dicho campo aún no se podía entender. 
La hipótesis del campo molecular es útil y por ello empleada, pero solamente constituye una 
interpretación fenomenológica de las propiedades magnéticas de los sólidos con orden 
magnético.
Weiss supone que en los materiales ferromagnéticos existe un campo magnético interno HE 
de naturaleza desconocida. Su magnitud puede ser para el Fe (Temperatura crítica de 1000 K) 
del orden de 107 Gauss que es un valor muy alto.
Si el magnetismo remanente se debe a la existencia de este campo podremos escribir una 
relación entre la magnetización y el campo
HE=λM 
siendo λ la constante de Weiss independiente de la temperatura
FES. Magnetismo
Teoria de Weiss del Ferromagnetismo. T<TC
Suponemos que en este rango de temperaturas puede aplicarse la Ley de Curie-Langevin
χ=C/T
Entonces reemplazando el campo magnético por la suma del campo aplicado (H) y el campo 
molecular tenemos
� � � � � �� � � � � Z� � [
� $H � λ�-
Y por tanto � � �
� � ^
��^_ Ley de Curie-Weiss donde Tc=Cλ
Esta ecuación da cuenta con una buena aproximación del comportamiento de las sustancias 
ferromagnéticas a temperaturas por encima de la de transición Tc
Teniendo en cuenta el valor de la constante de Curie:
[ � L`����
3W
donde ` � � O$O � 1- //�
Se puede estimar un valor para la constante de Weiss
Z � 3W�#
L��		��� �$� � 1 //� Que da lugar a campos de 
107 Gauss
FES. Magnetismo
Teoria de Weiss del Ferromagnetismo. T>TC
Partimos de la expresión para M en el comportamiento paramagnético
� � L
� TO=U$VTO�-
Suponemos el caso de: L=0, J=S=1/2; µ=gJµB y obtenemos
� � Lµ tanh ��
W�
Sustituyendo H por λM (no aplicamos campo externo
� � Lµ tanh fλ�
�� 	ecuación que puede resolverse gráficamente para obtener M(T)
FES. Magnetismo
FES. Magnetismo
Con esta aproximación se pueden reproducir aproximadamente los resultados experimentales 
para distintos materiales (Ni (figura), Fe, EuO, ect)
Cualitativamente lo que sucede es que cuando se incrementa la temperatura la imanación 
decrece porque los momentos magnéticos inicialmente ordenados se desordenan. 
Aunque el modelo da resultados aceptables tiene varios problemas.
1. Conceptualmente no está claro el origen del campo molecular
2. Las predicciones a bajas temperaturas no siguen el comportamiento real
FES. Magnetismo
Por tanto es necesario recurrir a modelos más avanzados para entender el comportamiento 
de este tipo de sistemas. 
A pesar de su simplificad este modelo sigue siendo muy útil hoy en día no solo para 
materiales ferromagnéticos sino también para antiferromagnéticos y ferrimagnéticos. Es 
destacable por ejemplo el trabajo realizado por L. Neel en las ferritas (premio nobel en 1970) 
Ley T3/2 de Bloch
FES. Magnetismo
El experimento de Dorfmann. Origen del campo molecular de Weiss?
Vista lateral Planta
La idea de este experimento es la siguiente: 
Si HE es de naturaleza magnética los electrones se verán desviados por la acción de la suma del campo externo H y 
del interno HE. Dado que según los cálculos de la teoría de Weiss HE es un campo elevado el efecto en la deflexión 
de los electrones debería ser fácilmente detectable. 
La deflexión esperada supuesto la acción de H+HE era de b=10 cm, la realidad experimental fue de b=0.3 cm que 
corresponde a la deflexión asociada al campo externo H.
CONSECUENTEMENTE EL CAMPO MOLECULAR DE WEISS NO TIENE NATURALEZA MAGNÉTICA. 
FES. Magnetismo
La integral de canje o intercambio. 
Frenkel y Heisemberg demostraron que si existe una interacción electrostática intensa entre 
los electrones, puede resultar conveniente, desde el punto de vista energético, el estado con 
orientación paralela de espines, es decir el estado con imanación. 
Los cálculos mecano-cuánticos detallados de la interacción entre dos electrones, teniendo en 
cuenta su momento de espín, indistinguibilidad de las partículas y antisimetrización para las 
funciones de onda de un conjunto de fermiones conduce a la siguiente conclusión:
En la expresión de la energía de interacción resultante entre electrones, además del término 
coulombiano puramente clásico, figura un término adicional, específicamente cuántico, 
dependiente de la orientación mutua de los espines. Este energía adicional se denomina 
energía de intercambio o de canje, J. 
Este es un concepto conocido en la Física Atómica. En este caso (J>0) los estados de menor 
energía son aquellos en los que el valor del espín S es máximo (reglas de Hund). Ahora bien 
por ejemplo en una molecula como el hidrógeno H2 la orientación predica es justo la contraria 
(J<0) y el estado fundamental es el de espín cero.
FES. Magnetismo
En la molécula de hidrógeno, J<0. El estado 
de menor energía es aquel en el que los 
espines son anti paralelos S=0. 
La idea propuesta por Heisemberg es que en los sólidos se tiene una situación similar a la de la 
molecular de hidrógeno con la diferencia de que en este caso cada electrón atómico no es solo 
perturbado por otro electrón sino por también por el efecto de todos los átomos vecinos, de 
manera que las contribuciones a la integral de canje J son variadas, pudiendo tomar valores 
positivos y negativos. 
FES. Magnetismo
Así la integral de canje o intercambio puede ser positiva o negativa y esto depende de las 
distancias entre átomos (ver figura previa). Cuando J<0 los espines tienen a orientarse de 
forma antiparalela (materiales antiferromagnéticos) , cuando J>0 (materiales ferromagnéticos) 
los espines se orientan de forma paralela. Cuando las distancias son suficientemente grandes 
las interacciones desparecen (J=0) dando lugar a un comportamiento paramagnético.
Podemos entonces escribir una expresión sencilla que de cuenta de este efecto.
Einter= -J(S1S2)
Donde S1 y S2 son los vectores unitarios asociados a los espines. 
Si J>0 la orientación de menor energía es la paralela
Si J<0 la orientación de menor energía es la anti-paralela. 
En el caso de tener que representar la interacción entre un gran número de átomos en un 
sólido el término anterior se puede generalizar para escribir
�&
g�h~COjj´�j�j´
jj´
FES. Magnetismo
Diferentes tipo de interacciones de intercambio o canje
Intercambio directo: se debe a la superposición de 
las distribuciones de carga de distintos iones 
magnéticos con capas d o f incompletas
Super intercambio: Existen iones no magnéticos 
(capas llenas) entre los magnéticos . El intercambio 
se produce a través de los electrones del ión no 
magnético común a ambos
Intercambio indirecto: A través de electrones de 
conducción (característico de materiales metálicos 
y aleaciones de tierras raras). 
FES. Magnetismo
El modelo de Heisemberg. Ondas de Spin. 
Hemos visto en apartados previos que en un material aislante ferromagnético (del tipo EuO, 
CrBr3, EuS, etc) debido al valor positivo de J el estado fundamental del sistema corresponde 
con una situación paralela de todos los momentos magnéticos.
Cualquier desviación de esta situación (válida a 0 K) no va a quedar confinada a una 
determinada región sino que se va a propagar a través del sólido como una onda (ONDA DE 
SPIN) a través del acoplamiento de canje. Estas débiles excitaciones viajeras fueron definidas 
por Bloch en 1930, veremos en este apartado que estas ondas de spin son cuantizadas, de 
forma que podremos definir el estado de excitación de un sólido magnético en función de un 
cierto número de magnons para cada modo particular.Para poder entender el comportamiento del sistema partimos del siguiente Hamiltoniano:
FES. Magnetismo
En primera aproximación despreciaremos los términos de interacción dipolo-dipolo y el término 
anisotrópico, de valores muy inferiores, 103 veces menores que la interacción de canje
FES. Magnetismo
El desarrollo que se realiza es similar al llevado a cabo en el tema de las vibraciones reticulares. 
Se realizan una serie de transformaciones para poder transformar el Hamiltoniano en un 
sistema reconocible. 
�Yj � �kj � l�mj
��j � �kj � l�mj
�Yj � $2�-//�	 1 � 8Yj8j
2�
//�
8j
��j � $2�-//�	 1 � 8Yj8j
2�
//�
8Yj
FES. Magnetismo
8j � L�//�C8n�&nj
n
8Yj � L�//�C8Yn��&nj
n
q cumplen las condiciones cíclicas y pertenecen a la primera zona de Brillouin
FES. Magnetismo
Para el sistema cúbico simpe
FES. Magnetismo
El problema es formalmente equivalente al de las vibraciones reticulares. Tenemos un 
conjunto de osciladores armónicos independientes, uno por cada q, con energías dadas por 
la relación de dispersión.
A las excitaciones elementales, cuasi-partículas, asociadas a estas «ondas de spin» se les 
denomina magnons. 
Una vez determinado la relación de dispersión y establecido un lenguaje equivalente al 
de las vibraciones reticulares (y al de los electrones) podemos pasar a evaluar las 
propiedades del sistema con la metodología habitual. 
FES. Magnetismo
Excitación térmica de los magnons. Comportamiento de la magnetización a bajas 
temperaturas. Ley T3/2 de Bloch
El problema del magnetismo podemos entenderlo de forma análoga al de la vibraciones 
reticulares. Existe una descripción ondulatoria (ONDAS de SPIN) y otra, equivalente, basada en 
cuasipartículas, que en este caso se denominan magnons. 
Para la determinación de propiedades es más cómodo usar el lenguaje de las cuasi-partículas.
Para determinar la evolución de la magnetización con la temperatura partimos de que esta es 
máxima a 0 K (todos los espines alineados) y se reduce conforme se incrementa la temperatura 
por la excitación de magnons (ondas de spin). Los magnons vienen descrito por la estadística de 
Bose 
9n �
1
exp .rn W�� � 1
� � � ���$L� �C9n-
n
FES. Magnetismo
Evaluaremos el número de magnons activados a una determinada temperatura suponiendo 
que estamos a bajas temperaturas (donde habrá pocos y las interacciones entre ellos 
pueden ser despreciadas) y donde los términos energéticos dipolar y Zeemen pueden ser 
despreciados.
Lo primero que se debe determinar es la densidad de estados:
s r <r � �
8t0 <
0u � �
8t0 4tu
�<u
.r u � 2�Ou�8�
s r � �
4t�
.
2O�8�
0/�
r//�
Densidad de estados análoga a la de los 
electrones libres
∑ 9nn � v s r 	wxyz
	
/
{|} .~ ��� �/dω � I
�* 
.
�U�� 
0/� v w�/ 
�.~ ��� �/
wxyz
	
Para bajas temperaturas 
∑ 9n �n
I
�* 
��
�U�� 
0/� v k�/ 
�z�/
�
	 =
I
�* 
��
�U�� 
0/� 0.0587	4t�
FES. Magnetismo
Por tanto:
∆�
�$0- �
0.0587
��
W�
2O�
0/�
Donde Q es el número de átomos por 
celdilla
Resultados que concuerda bien con los resultados experimentales a bajas temperaturas. Por 
tanto la teoría de Heisemberg permite obtener la ley experimental T3/2 de Bloch.
FES. Magnetismo
Calor específico de materiales ferromagnéticos
Donde ν es 0.113, 0.113/2 y 0.113/4 para una red cs, bcc y fcc respectivamente
FES. Magnetismo
Para una aislante ferromagnético debemos esperar a bajas temperaturas:
[� � ��0 � =��
 o bien [���0/� � ��0/� � =
Granate de Ytrio/Hierro.
Resultado que concuerda bien con los datos experimentales
<
FES. Magnetismo
Relación entre las teorías de Heisember y Weiss
El Hamiltoniano completo en la teoría de Heisemberg es: 
� � �COjj´�j�j´ �C2�����
jjj´
La energía magnética en la teoría de Weiss se determina como el producto del campo por el 
momento magnético de cada átomo: 
� � �C�� � �C���$� � ��-�j
jj
Comparando ambas expresiones obtengo
�∑ Ojj´�j´ � ����� �j´ 2����
Teniendo en cuenta que
�� � Z� � ZL� B 2���j
Z � ∑ Ojj´j´
4L���
FES. Magnetismo
Relación entre las teorías de Heisember y Weiss
Como en la teoría de Weiss se tenía que
Z � 3W�#
L���`�
` � � O$O � 1- //� � 2 �$� � 1- //�
Hemos tomado J=S, L=0 y g=2
Combinando las dos expresiones para λ se obtiene una relación entre la integral de canje y 
la temperatura de Curie que permite hacer estimaciones del valor de dicha integral
W�# � /
0∑ Ojj´ �$� � 1-j´
FES. Magnetismo
Consecuencias de la interacción dipolar magnética: dominios magnéticos
A pesar de que la temperatura de transición Tc del hierro está por encima de los 1000 K, una pieza de este 
material normalmente no imana. Sin embargo esta misma pieza es más fácilmente atraída por un imán que 
otra de un material paramagnético, además el hierro puede ser fácilmente magnetizado mediante su 
introducción en un campo H.
Para explicar este efecto es necesario considerar la hasta ahora despreciada interacción dipolar magnética 
entre espines. En los cálculos previos recordamos que no se consideró por ser menos intensa (del orden de 
103 veces menos intensa) que la interacción de canje.
Sin embargo la interrelación de canje es de corto alcance, en un compuesto magnético típicamente decrece 
con al exponencial de la distancia entre espines; mientras que la interacción dipolo-dipolo es de mayor 
alcance (decrece de con R3)
Como resultado de estas diferencias en el comportamiento de las energías con la distancia la configuración 
de una muestra macroscópica puede ser bastante compleja ya que las energías de origen dipolar pueden ser 
importantes cuando la población de espines es grande. En estas condiciones esta energía puede alterar 
considerablemente la configuración paralela de espines asociada a la interacción de canje. 
Se puede demostrar que una configuración de un solo dominio, como la que hemos usado en los cálculos 
previos, implica una gran energía dipolar magnética que puede ser reducida sustancialmente dividiendo la 
muestra en dominios menores, de tamaño macroscópico (del orden de 0.01 a 0.1 mm), con vector 
imanación diferentes en cada uno de ellos 
FES. Magnetismo
Esta sub-división es a costa de un incremento de 
la energía de canje de los espines situados en las 
paredes de los dominios, en las que se altera la 
alineación paralela. El hecho de que sea una 
interacción de corto alcance hace que esta 
pérdida de alineación se centre exclusivamente en 
los espines cercanos a las límites conformando las 
denominadas paredes de Bloch. 
FES. Magnetismo
H
Los ciclos de histéresis en los materiales ferromagnéticos tienen que ver con como 
evolucionan los dominios cuando se aplica un campo externo. 
Pero este tema, muy interesante también, está fuera de los objetivos de este curso. 
H
H