Modelos_de_error_en_computacion_cuantica

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Modelos de error en computación cuántica* 
J. García-López1, F. García-Mazarío1 y V. Martín2 
1 Dpto. Matemática Aplicada, E. U. Informática, U. Politécnica Madrid, Ctra. Valencia Km 7, 28031 Madrid. 
2 DLSIIS-Análisis Numérico, F. Informática, U. Politécnica de Madrid, Boadilla del Monte, 28060 Madrid. 
El modelo cuántico de computación a diferencia del modelo clásico es analógico. Este 
hecho plantea mayores dificultades para la construcción de ordenadores cuánticos que las 
que se tuvieron que afrontar para ordenadores clásicos. En primer lugar, las superposiciones 
coherentes de estados se pierden rápidamente por la influencia del entorno que provoca el 
fenómeno denominado decoherencia y se convierte de este modo en una fuente de errores. 
Y, en segundo lugar, la imprecisión del propio ordenador cuántico al aplicar las puertas 
cuánticas constituye una nueva fuente de errores. Estas son las razones fundamentales por 
las que la computación cuántica requiere un mecanismo para acotar la acumulación de 
errores durante el proceso de cálculo. 
Este problema se ha abordado planteando un modelo de computación tolerante a fallos 
para reducir la acumulación de errores durante el cálculo y hacer así viable la computación 
cuántica1,2,3,4. Los ingredientes fundamentales de este modelo son la corrección cuántica de 
errores y la computación con qubits codificados5,6,7,8. La construcción de códigos correc-
tores cuánticos se basa en una discretización de los errores y, sobre la base de esta 
discretización, se define el modelo estocástico de errores independientes de este modelo de 
computación. El error que se produce en un paso cualquiera de la computación es discreto e 
independiente en cada uno de los qubits y se modeliza por E1⊗⋅⋅⋅⊗En, donde Ei es igual a I, 
X, Y y Z con probabilidades 1-p, p/3, p/3 y p/3 respectivamente. 
En este artículo consideramos otros modelos de error no estocásticos, además del 
anterior. En el primero, que también es un modelo de errores independientes, modelizamos 
el error en cada paso por E1⊗⋅⋅⋅⊗En, donde las Ei son transformaciones unitarias de un qubit 
que siguen una distribución continua de probabilidad centrada en la identidad. Y en el 
segundo modelizamos el error en cada paso por E, siendo E una transformación unitaria de 
n qubits que sigue una distribución continua de probabilidad centrada en la identidad. En 
concreto hemos estudiado la capacidad de los códigos correctores para controlar los errores 
del segundo tipo. 
Consideramos un código de longitud n que codifica m qubits y que el estado inicial 
del n-qubit Ψ0 no tiene error. Suponemos que en un paso cualquiera de la computación se 
produce un error que da como resultado el estado Ψ y, a continuación, se aplica el código 
corrector obteniendo el estado final Ψ1. Consideramos, en un primer estudio, que el circuito 
que realiza dicha corrección es ideal, es decir no introduce ningún error adicional. Y, para 
analizar la eficiencia del código corrector, calculamos las varianzas del estado perturbado 
Ψ y del estado corregido Ψ1, determinando los valores esperados Var(Ψ)=E[||Ψ-Ψ0||2] y 
Var(Ψ1)=E[||Ψ1-Ψ0||2]. Desafortunadamente se obtiene que Var(Ψ1)>Var(Ψ0) y, a la vista 
de este resultado, resulta crucial entender la relación entre el modelo de error que nosotros 
hemos usado y los modelos utilizados habitualmente. 
El resultado anterior se ha obtenido para una distribución del error en la que la 
probabilidad de que el estado perturbado sea Ψ depende exclusivamente de ||Ψ-Ψ0||2. Si 
consideramos los estados como puntos de la esfera unitaria de Rd centrada en el origen y 
 
* Trabajo subvencionado por el MCYT, proyecto TIC2002-01541. 
tomamos coordenadas polares midiendo la 
latitud θ respecto del punto Ψ0 entonces la 
función de densidad sólo depende de θ, 
puesto que ||Ψ-Ψ0||2=2-2cos(θ). La expre-
sión analítica de dicha función es 
 
 
donde σ es un parámetro entre 0 y 1 y 
d=2n. En la figura 1 se ilustra la depen-
dencia de la distribución respecto del pa-
rámetro σ. Cuando σ se aproxima a 1 la 
probabilidad se concentra en el punto Ψ0, 
anulándose el error, y cuando σ se aproxi-
ma a 0 la distribución tiende a una uniforme, es decir, a una distribución en la que después 
de la perturbación todos los estados son igualmente probables. 
El resultado que presentamos en este artículo plantea algunas cuestiones importantes 
sobre las que estamos trabajando. En primer lugar determinar en qué circunstancias son 
equivalentes y en cuáles no los modelos de error mencionados y en segundo lugar un 
problema mucho más importante, encontrar el modelo de error que se ajusta a la realidad de 
la computación cuántica. En cuanto a la equivalencia de los modelos de error, creemos que 
es necesario determinar si los modelos estocásticos simulan los mismos modelos de error 
que los no estocásticos con el objetivo de fundamentar la computación tolerante a fallos 
sobre bases más sólidas. La segunda cuestión debe abordarse tanto desde un punto de vista 
teórico como experimental para poder contrastar los resultados teóricos con los datos 
experimentales. En esta línea estamos estudiando posibles formas de obtener datos 
experimentales que den información sobre aspectos fundamentales del modelo de error real. 
Referencias 
1 Aharonov, D. and Ben-Or, M., “Fault-tolerant quantum computation with constant error 
rate”, SIAM J. Comp., to appear, (arXiv:quant-ph/9906129). 
2 Bacon, D.; Kempe, J.; Lidar, D. A. and Whaley, K. B., “Universal fault-tolerant 
computation on decoherence free subspaces”, Phys. Rev. A, 54, 3824, (1996), (arXiv: 
quant-ph/9604024). 
3 Knill, E; Laflamme, R. and Zurek, W. H., “Resilient Quantum Computation: Error 
Models and Thresholds”, arXiv:quant-ph/9702058, (1997). 
4 Shor, P. W., “Fault-Tolerant Quantum Computation”, arXiv:quant-ph/9508027, (1997). 
5 Calderbank, A. R.; Rains, E. M.; Shor, P. W. and Sloane, N. J., “Quantum error correction 
and orthogonal geometry”, Phys. Rev. Lett., 78, 405-408, (1997). 
6 Calderbank, A. R. y Shor, P. W., “Good quantum error-correcting codes exist”, Phys. Rev. 
A, 54, 1098-1105, (1996), (arXiv:quant-ph/9512032). 
7 Gottesman, D., “Stabilizer Codes and Quantum Error Correction”, Ph.D. thesis, California 
Institute of Technology, Pasadena, CA, 1997. 
8 Steane, A. M., “Error correcting codes in quantum theory”, Phys. Rev. Lett., 77, 793-797, 
(1996). 
Figura 1. Función de densidad para n igual a 3 y σ igual 
a 0, 0.0125, 0.025, 0.05 y 0.1 respectivamente. El 
máximo de la función aumenta al crecer el parámetro σ. 
( )
( )
( )
( )dd
d
)cos(21
1
2
!!22
2
2
θσσ
σ
π −+
−−