U8 Espacios vectoriales AV

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
Facultad Regional Córdoba
Departamento de Materias Básicas
Álgebra y Geometría Analítica
Socolovsky Silvia – Martínez Iván
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ESPACIOS VECTORIALES
UNIDAD 8
Un ESPACIO VECTORIAL (EV) es un conjunto no vacío V de objetos denominados 
vectores donde están definidas dos operaciones llamadas “suma” y “producto por 
escalar” que satisfacen los siguientes diez axiomas: 
Matrices, polinomios, funciones 
continuas, vectores, números
(estructuras algebraicas)
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ESPACIOS VECTORIALES
AXIOMAS
1) SUMA 𝑆𝑆𝑆𝑆 “𝑢𝑢𝑢 𝑦𝑦 “𝑣𝑣𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑉𝑉 Ley de composición interna LCI
Ley de cerradura para la suma vectorial
2) CONMUTATIVA 𝑆𝑆𝑆𝑆 “𝑢𝑢𝑢 𝑦𝑦 “𝑣𝑣𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢
3) ASOCIATIVA 𝑆𝑆𝑆𝑆 “𝑢𝑢𝑢 , “𝑣𝑣𝑢 𝑦𝑦 "w" ∈ 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 + 𝑤𝑤 = 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 + 𝑤𝑤
4) ELEMENTO NEUTRO 𝑆𝑆𝑆𝑆 “0𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ∀𝑢𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑢𝑢𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑒𝑒 0 + 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 + 0 = 𝑢𝑢
Siendo “0” el vector cero
5) ELEMENTO INVERSO 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 “𝑢𝑢𝑢 ∈ 𝑉𝑉 ∃ −u ∈ 𝑉𝑉 ∶ 𝑢𝑢 + −𝑢𝑢 = −𝑢𝑢 + 𝑢𝑢 = 0
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6) PRODUCTO POR ESCALAR
𝑆𝑆𝑆𝑆 “𝑢𝑢𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∈ 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑢𝑢𝑒𝑒𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒 𝐾𝐾 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘.𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑉𝑉
Ley de composición externa LCE
Ley de cerradura de la multiplicación por escalar
8) DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE VECTORES
𝑆𝑆𝑆𝑆 “𝑢𝑢𝑢 𝑦𝑦 “𝑣𝑣𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑦𝑦 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 = 𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑘𝑘𝑣𝑣
7) ASOCIATIVA 𝑆𝑆𝑆𝑆 “𝑢𝑢𝑢 ∈ 𝑉𝑉, "k" y "m" 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 , 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘. 𝑐𝑐.𝑢𝑢 = 𝑘𝑘.𝑐𝑐 .𝑢𝑢
10) ELEMENTO NEUTRO ∀ “𝑢𝑢𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑢𝑢𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 1.𝑢𝑢 = 𝑢𝑢
9) DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE ESCALARES
𝑆𝑆𝑆𝑆 “𝑢𝑢𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑦𝑦 𝑘𝑘,𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘 + 𝑐𝑐 𝑢𝑢 = 𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑐𝑐u
Cualquier objeto que satisfaga los 10 axiomas lo podemos denominar Vector del espacio vectorial que corresponda
ESPACIOS VECTORIALES
AXIOMAS
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ESPACIOS VECTORIALES
SUBESPACIOS VECTORIALES
Un conjunto no vacío W de un espacio vectorial V
es un subespacio de V si W es un espacio vectorial 
bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas sobre V
Condiciones necesarias y suficientes para que un subconjunto no vacío de un espacio vectorial sea un subespacio
 El vector “0𝑢 ∈ 𝑉𝑉 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑊𝑊
 Se cumple la LCI para la suma 
 Se cumple la LCE para el producto por escalar
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ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIONES
COMBINACIÓN LINEAL
Se dice que un vector “w” es combinación (CL) de los vectores 
𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, … , 𝑣𝑣𝑛𝑛 si se puede expresar como
𝑤𝑤 = 𝑘𝑘1𝑣𝑣1 + 𝑘𝑘2𝑣𝑣2, +⋯+ 𝑘𝑘𝑛𝑛𝑣𝑣𝑛𝑛 siendo los 𝑘𝑘𝑖𝑖 escalares
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ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIONES
CONJUNTO GENERADOR
Los vectores 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, … , 𝑣𝑣𝑛𝑛 pertenecientes al espacio vectorial V generan a V 
si todo otro vector de V se puede expresar como CL de ellos
Entonces ∀ 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 , ∃ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝1,𝑝𝑝2, … ,𝑝𝑝𝑛𝑛 tales que
𝑣𝑣 = 𝑝𝑝1𝑣𝑣1 + 𝑝𝑝2𝑣𝑣2, +⋯+ 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑣𝑣𝑛𝑛 siendo los 𝑝𝑝𝑖𝑖 escalares
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ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIONES
BASE
Dado un espacio vectorial V y un conjunto de vectores 𝑆𝑆 = 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, … , 𝑣𝑣𝑛𝑛
de dicho espacio vectorial, diremos que S es base del espacio vectorial V si se cumple que 
 S es Linealmente Independiente
 S genera a V
Recordemos que los vectores de la base S serán linealmente independientes si se pueden expresar como 
0 = 𝑝𝑝1𝑣𝑣1 + 𝑝𝑝2𝑣𝑣2 + ⋯+ 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑣𝑣𝑛𝑛 siendo los escalares 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 0
Ejemplos comentados en clase: carta de un restaurante, formación de colores
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DIMENSIÓN
Cantidad de vectores en una base
Implica LI
Dos bases distintas de un mismo EV tienen la misma cantidad de vectores LI
Caso 𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝑛𝑛
Todo conjunto de vectores LI en 𝑅𝑅𝑛𝑛 genera a 𝑅𝑅𝑛𝑛
y todo conjunto de “n” vectores LI en 𝑅𝑅𝑛𝑛 es una base de 𝑅𝑅𝑛𝑛
ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIONES
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ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS DE FILAS (renglones) Y COLUMNAS
Son espacios vectoriales asociados con matrices
Se utilizan para hallar vectores que constituyan una base
Dada la matriz 𝐴𝐴𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑨𝑨 =
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏
… 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏
… 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏
⋮ ⋮
𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏
⋮ ⋮
… 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏
Donde las filas de la matriz A son 
𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝11 𝑝𝑝12 … 𝑝𝑝1𝑛𝑛
𝑝𝑝2 = 𝑝𝑝21 𝑝𝑝22 … 𝑝𝑝2𝑛𝑛
𝑝𝑝𝑚𝑚 = 𝑝𝑝𝑚𝑚1 𝑝𝑝𝑚𝑚2 … 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑛𝑛
… … . …
“m” vectores fila
de “n” elementos
El espacio de filas de la matriz A 
es el subespacio 𝑅𝑅𝑛𝑛 generado 
por los “m” vectores fila de A
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ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS DE FILAS (renglones) Y COLUMNAS
𝑨𝑨 =
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏
… 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏
… 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏
⋮ ⋮
𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏
⋮ ⋮
… 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏
Y las columnas de la matriz A son 
… … . … de “m” elementos
“n” vectores columna
El espacio de columnas de la matriz A 
es el subespacio 𝑅𝑅𝑚𝑚 generado por 
los “n” vectores columna de A
𝑒𝑒2 =
𝑝𝑝12
𝑝𝑝22
⋮
𝑝𝑝𝑚𝑚2
𝑒𝑒1 =
𝑝𝑝11
𝑝𝑝21
⋮
𝑝𝑝𝑚𝑚1
𝑒𝑒𝑛𝑛 =
𝑝𝑝1𝑛𝑛
𝑝𝑝2𝑛𝑛
⋮
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑛𝑛
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ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS DE FILAS (renglones) Y COLUMNAS
Ejemplo
2 vectores fila con 3 elementos
El espacio de filas de la matriz A 
es el subespacio 𝑅𝑅3 generado por 
los “2” vectores fila de A
𝑒𝑒2 = 1
−1𝑒𝑒1 = 2
3
𝑒𝑒3 = 0
4
A= 2 1 0
3 −1 4
𝑝𝑝1 = 2 1 0
𝑝𝑝2 = 3 − 1 4
Vectores fila Vectores columna
3 vectores columna con 2 elementos
El espacio de columnas de la matriz A 
es el subespacio 𝑅𝑅2 generado por 
los “3” vectores columna de A
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ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS DE FILAS (renglones) Y COLUMNAS
Observaciones
Las operaciones elementales sobre renglones no cambian el espacio de renglones
de una matriz.
Recuerda que, todo espacio vectorial es cerrado para la suma y la multiplicación por escalar por lo que
admite cualquier combinación que resulte de aplicar las operaciones elementales.
Podemos determinar la matriz escalonada donde los vectores fila de dicha matriz
distintos de cero constituyen una base para el espacio de renglones de A
Los renglones y columnas podemos escribirlos en forma vertical y horizontal
respectivamente por lo que el espacio de columnas de A es igual al espacio de
renglones de 𝐴𝐴𝑡𝑡
Espacio de columnas de A = Espacio de renglones de 𝐴𝐴𝑡𝑡
Veamos un ejemplo
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ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS DE FILAS (renglones) Y COLUMNAS
Observaciones. Continuación 
La dimensión del espacio de renglones y/o columnas de la matriz A se conoce
como rango de A (cantidad de vectores de la base)
Si 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛 y tiene rango “n”
- A es invertible - Los vectores fila/columna de A son LI
- det (A) ≠ 0 - 𝐴𝐴. 𝑥𝑥 = 0 y 𝐴𝐴.𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 tienen solución
A= 2 1 0
3 −1 4
Ejemplo
𝐴𝐴𝑡𝑡 =
2 3
1 −1
0 4
3 vectores columna 
con 2 elementos
3 vectores fila
con 2 elementos
Espacio de columnas de A
𝑅𝑅2
Espacio de renglones de 𝐴𝐴𝑡𝑡
𝑅𝑅2
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ESPACIOS VECTORIALES
Relación entre concepto de base y coordenadas
̂𝚤𝚤
̂𝚥𝚥
P(a;b)
a�̂�𝒊
b�̂�𝒋
0
El punto “P” tiene por coordenadas (a; b) 
Considerando los vectores unitarios ̂𝚤𝚤 y ̂𝚥𝚥 perpendiculares entre si y 
con un mismo punto de origen 
obtenemos los vectores a�̂�𝒊 y b�̂�𝒋 de modo que
𝑂𝑂𝑂𝑂 = a�̂�𝒊 + b ̂𝒋𝒋
Expresamos el vector 𝑂𝑂𝑂𝑂 como combinación lineal de los vectores 
̂𝚤𝚤 y ̂𝚥𝚥 a través de escalares a y b
a y b
Son las coordenadas 
del punto “P”
Los versores pertenecen a una base, podemos asociar entonces coordenadas a los puntos considerando cualquier 
base, no necesariamente de longitud uno y perpendiculares
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ESPACIOS VECTORIALES
Relación entre concepto de base y coordenadas
Generalizando
Si 𝑆𝑆 = 𝑣𝑣1; 𝑣𝑣2; 𝑣𝑣3; … ; 𝑣𝑣𝑛𝑛 es una base de un espacio vectorial “V”, 
Entonces, todo otro vector �𝑢𝑢 de dicho espacio vectorial se puede expresar como 
�𝑢𝑢 = 𝑒𝑒1 𝑣𝑣1 + 𝑒𝑒2 𝑣𝑣2 + 𝑒𝑒3 𝑣𝑣3 + ⋯+ 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑛𝑛 de manera única por ser LI 
los vectores de la base S
Es la expresión del vector �𝑢𝑢 en función de la base “S”
A los escalares 𝑒𝑒1; 𝑒𝑒2 ; 𝑒𝑒3; … ; 𝑒𝑒𝑛𝑛 se los denomina 
coordenadas del vector �𝑢𝑢 relativas a la base “S”
IndicaremosVECTOR de coordenadas de
�𝑢𝑢 relativas a la base “S”
�𝑢𝑢 𝑆𝑆 = 𝑒𝑒1; 𝑒𝑒2 ; … ; 𝑒𝑒𝑛𝑛
MATRIZ de coordenadas de
�𝑢𝑢 relativas a la base “S”
�𝑢𝑢 𝑆𝑆 =
𝑒𝑒1
𝑒𝑒2…
𝑒𝑒𝑛𝑛
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ESPACIOS VECTORIALES
Cambio de Base - MATRIZ DE TRANSICIÓN
�̅�𝑣 𝜀𝜀 𝑉𝑉
Demostraremos que �̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂 �̅�𝑣 𝐵𝐵 𝑂𝑂:𝐵𝐵 → 𝐵𝐵𝐵
B → 𝐵𝐵𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐼𝐼𝑒𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒𝑆𝑆𝑝𝑝𝑐𝑐 B𝐵 → 𝑁𝑁𝑢𝑢𝑒𝑒𝑣𝑣𝑝𝑝 𝐵𝐵𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒
�̅�𝑣 𝐵𝐵 �̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵¿Cuál es la 
relación entre 
ambas?
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ESPACIOS VECTORIALES
Cambio de Base - MATRIZ DE TRANSICIÓN
�̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂 �̅�𝑣 𝐵𝐵 𝑂𝑂:𝐵𝐵 → 𝐵𝐵𝐵
B = 𝑢𝑢1;𝑢𝑢2 → 𝐵𝐵𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐼𝐼𝑒𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒𝑆𝑆𝑝𝑝𝑐𝑐 B𝐵 = 𝑤𝑤1;𝑤𝑤2 → 𝑁𝑁𝑢𝑢𝑒𝑒𝑣𝑣𝑝𝑝 𝐵𝐵𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒Sean
𝑢𝑢1 𝐵𝐵𝐵 = 𝑝𝑝
𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑢𝑢2 𝐵𝐵𝐵 = 𝑒𝑒
𝑐𝑐y
Es decir 𝑢𝑢1 = 𝑝𝑝 𝑤𝑤1 + 𝑏𝑏 𝑤𝑤2 𝑢𝑢2 = 𝑒𝑒 𝑤𝑤1 + 𝑐𝑐 𝑤𝑤2y
Sea �̅�𝑣 𝜀𝜀 𝑉𝑉 donde �̅�𝑣 𝐵𝐵 = 𝑘𝑘1
𝑘𝑘2
Matriz de coordenadas de �̅�𝑣 en la base inicial B 
Entonces �̅�𝑣 = 𝑘𝑘1𝑢𝑢1 + 𝑘𝑘2𝑢𝑢2 Es el vector �̅�𝑣 expresado en función de los vectores de la base inicial B
Luego �̅�𝑣 = 𝑘𝑘1 𝑝𝑝 𝑤𝑤1 + 𝑏𝑏 𝑤𝑤2 + 𝑘𝑘2 𝑒𝑒 𝑤𝑤1 + 𝑐𝑐 𝑤𝑤2 Vector �̅�𝑣 expresado en función de los vectores 
de la nueva base B𝐵
Reagrupando �̅�𝑣 = (𝑘𝑘1.𝑝𝑝 + 𝑘𝑘2. 𝑒𝑒) 𝑤𝑤1 + (𝑘𝑘1. 𝑏𝑏 + 𝑘𝑘2.𝑐𝑐) 𝑤𝑤2
Entonces �̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵 = 𝑘𝑘1.𝑝𝑝 + 𝑘𝑘2. 𝑒𝑒
𝑘𝑘1. 𝑏𝑏 + 𝑘𝑘2.𝑐𝑐 = 𝑝𝑝 𝑒𝑒
𝑏𝑏 𝑐𝑐
𝑘𝑘1
𝑘𝑘2
Matrices de coordenadas de los vectores de la 
base inicial B en relación a la nueva base B’
Sumatoria de 
coordenadas por vectores
P MATRIZ DE TRANSICIÓN Este archivo fue descargado de https://filadd.com
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𝑝𝑝 𝑒𝑒
𝑏𝑏 𝑐𝑐
ESPACIOS VECTORIALES
Cambio de Base - MATRIZ DE TRANSICIÓN
Continuación
Fijate en las columnas
𝑢𝑢1 𝐵𝐵𝐵 = 𝑝𝑝
𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑢𝑢2 𝐵𝐵𝐵 = 𝑒𝑒
𝑐𝑐
Son las coordenadas de los vectores de la base inicial respecto a la nueva base
𝑢𝑢1 𝐵𝐵𝐵 𝑢𝑢2 𝐵𝐵𝐵 … 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝐵𝐵𝐵Las columnas de la matriz “P” son 
Enseguida llegaEste archivo fue descargado de https://filadd.com
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ESPACIOS VECTORIALES
Cambio de Base - MATRIZ DE TRANSICIÓN
Continuación
Siiiiiii
Si queremos pasar de la base B’ → B, 
consideramos a la base B’ como base inicial y a B como base nueva
Así obtendremos una matriz Q que nos permitirá realizar la transición de B’ a B
Si queremos pasar de la base 
nueva B’ a la base inicial B
¿Podemos?
�̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂 �̅�𝑣 𝐵𝐵 𝑂𝑂:𝐵𝐵 → 𝐵𝐵𝐵Partimos de 
𝑂𝑂−1 �̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂−1𝑂𝑂. �̅�𝑣 𝐵𝐵Premultiplicando por 𝑂𝑂−1
I
Luego �̅�𝑣 𝐵𝐵 = 𝑂𝑂−1 �̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵
Siendo 𝐼𝐼 = 𝑂𝑂−1 𝑂𝑂
y Q = 𝑂𝑂−1
𝑂𝑂−1: B’ → B 
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ESPACIOS VECTORIALES
Cambio de Base - MATRIZ DE TRANSICIÓN
Resumiendo, tenemos
P es la matriz de transición de la base B a la base B’ 
⟹ ∀ �̅�𝑣 se tiene �̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂 �̅�𝑣 𝐵𝐵 𝑦𝑦 �̅�𝑣 𝐵𝐵 = 𝑂𝑂−1 �̅�𝑣 𝐵𝐵𝐵
Observaciones
P es invertible
P es la matriz de transición de B a B’
𝑂𝑂−1 es la matriz de transición de B’ a B
Veamos un ejemplo en el pizarrón
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Terminamos con los temas del día de hoy
Ahora un recreo, o lo que quieras 
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Material desarrollado para las clases de Álgebra y Geometría Analítica
con fines didácticos
Bibliografía y webgrafía consultada: 
Material de Cátedra
Imágenes
Recopilación realizada por Ing. Silvia Socolovsky
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	Número de diapositiva 21
	��Terminamos con los temas del día de hoy�
	Número de diapositiva 23