U10 Autovalores y Autovectores AV

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
Facultad Regional Córdoba
Departamento de Materias Básicas
Álgebra y Geometría Analítica
Socolovsky Silvia – Martínez Iván
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Autovalores y Autovectores
Unidad 10
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Autovalores y Autovectores 
Sea 𝑇𝑇:𝑉𝑉 → 𝑉𝑉 una transformación lineal 
Queremos hallar vectores no nulos 𝑣𝑣 �𝜖𝜖 𝑉𝑉 ∶ 𝑣𝑣� 𝑦𝑦 𝑇𝑇(�̅�𝑣) sean paralelos (no cambia su dirección), es decir, 
que el vector obtenido de la TL sea múltiplo del vector �̅�𝑣 
 Siendo 𝜆𝜆 y las componentes de �̅�𝑣 reales o complejas 
 
La transformación se puede representar por la matriz A, es decir, 
 
 
 
 
𝑇𝑇(�̅�𝑣) = 𝜆𝜆. �̅�𝑣 
 
𝐴𝐴. �̅�𝑣 = 𝜆𝜆. �̅�𝑣 
 
Valor característico asociado a la T o matriz A 
Valor propio, autovalor, eigenvalor 
Vector característico asociado a la T o matriz A 
correspondiente al valor característico 𝜆𝜆 
Vector propio, autovector, eigenvector 
 
Definición
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Veamos un ejemplo
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Cálculo de Autovalores y Autovectores
𝐴𝐴 es una matriz cualquiera de orden 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 
𝐴𝐴 �̅�𝑣 = 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 �̅�𝑣 
 𝐴𝐴 �̅�𝑣 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 �̅�𝑣 = 0 
(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 ). �̅�𝑣 = 0 Representa un sistema de ecuaciones homogeneo 
de “n” ecuaciones y “n” incógnitas 
y det(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 ) = 0 
Desarrollando el determinante obtenemos un polinomio 
𝑃𝑃(𝜆𝜆) que se denomina polinomio característico 
y 𝑃𝑃(𝜆𝜆) = det(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 ) = 0 Se denomina Ecuación Característica 
 
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Procedimiento para calcular valores y 
vectores característicos
1) Hallar el polinomio característico, 𝑃𝑃 𝜆𝜆 = det 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼
2) Determinar las raíces (autovalores)de la ecuación característica, 
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = det 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 = 0. 
El orden de la matriz indica la cantidad de valores característicos, “n” valores
3) Hallar los autovectores que corresponden a cada valor característico, 
para ello resolver el sistema homogéneo 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 . �̅�𝑣 = 0
Autovalores y autovectores. Ejercicio concept6ual resuelto. Duración10,19 min 
https://www.youtube.com/watch?v=dHXp-rVlqkc
Vectores propios de una matriz. Duración 9,35 min.
https://www.youtube.com/watch?v=dUdS6alENbY&t=184s
Autovalores y autovectores. Duración 15,11min
https://www.youtube.com/watch?v=k0tsjgZa6-I
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https://www.youtube.com/watch?v=dHXp-rVlqkc
https://www.youtube.com/watch?v=dUdS6alENbY&t=184s
https://www.youtube.com/watch?v=k0tsjgZa6-I
Veamos un ejemplo
Hallar los autovalores y autovectores de la matriz A
𝐴𝐴 = 3 2
−1 0
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = 0
𝜆𝜆2 − 3𝜆𝜆 + 2 = 0
𝜆𝜆1;2 =
− −3 ± −3 2 − 4.2
2
𝜆𝜆1 = 2 𝑦𝑦 𝜆𝜆2 = 1
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼
𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 = 3 2
−1 0 − 𝜆𝜆 . 1 0
0 1
𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 = 3 2
−1 0 − 𝜆𝜆 0
0 𝜆𝜆 = 3 − 𝜆𝜆 2
−1 −𝜆𝜆
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 3 − 𝜆𝜆 2
−1 −𝜆𝜆 = −𝜆𝜆 . 3 − 𝜆𝜆 − 2. −1
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆2 − 3𝜆𝜆 + 2
1
2
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Continuando con el ejemplo
𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 . �̅�𝑣 = 0
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜆𝜆1 = 2
3 − 𝜆𝜆 2
−1 −𝜆𝜆 = 3 − 2 2
−1 −2 = 1 2
−1 −2 → 1 2
−1 −2 . 
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 = 0
0
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 = 0 y −𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 = 0
𝑥𝑥1 = −2𝑥𝑥2 y 𝑥𝑥2 = −1
2
𝑥𝑥1
�̅�𝑣 =
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 =
𝑥𝑥1
−
1
2 𝑥𝑥1
→ 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑥𝑥1 = 𝑑𝑑 →
𝑑𝑑
−
1
2 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑
1
−
1
2
𝐸𝐸𝑛𝑛𝑑𝑑𝐸𝐸𝑛𝑛𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑢𝑢1 =
1
−
1
2
𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑃𝑃𝑒𝑒𝐸𝐸𝑃𝑃 𝜆𝜆1 = 2
−∞ < 𝑑𝑑 < ∞
3
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Continuando con el ejemplo
𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 . �̅�𝑣 = 0
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜆𝜆2 = 1
3 − 𝜆𝜆 2
−1 −𝜆𝜆 = 3 − 1 2
−1 −1 = 2 2
−1 −1 → 2 2
−1 −1 . 
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 = 0
0
2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 = 0 y −𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = 0
𝑥𝑥1 = −𝑥𝑥2 y 𝑥𝑥2= −𝑥𝑥1
�̅�𝑣 =
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 =
−𝑥𝑥2
𝑥𝑥2 → 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑥𝑥2 = 𝑑𝑑 → −𝑑𝑑
𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 −1
1
𝐸𝐸𝑛𝑛𝑑𝑑𝐸𝐸𝑛𝑛𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑢𝑢2 = −1
1 𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑃𝑃𝑒𝑒𝐸𝐸𝑃𝑃 𝜆𝜆2 = 1
−∞ < 𝑑𝑑 < ∞
3
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Para terminar con el ejemplo
Para cada valor “t” tenemos infinitos autovectores asociados a 
𝜆𝜆1= 2 𝑦𝑦 𝜆𝜆2 = 1
Los infinitos autovectores forman un autoespacio o subespacio asociado 
a un autovalor
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Propiedades
 Una matriz simétrica tiene todos sus valores propios reales
 Los valores propios de una matriz son los recíprocos de los valores propios de la 
matriz inversa
 Cuando el valor propio es cero, el vector correspondiente es el vector nulo
 Los valores propios de una matriz son iguales a los de la matriz transpuesta
 Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal 
principal
 Si una matriz se multiplica por una constante, los valor propios resultaran 
multiplicados por dicha contante, pero los vectores propios no cambian.
 Los vectores propios de autoespacios diferentes de una matriz simétrica son siempre 
ortogonales entre si.
 La suma de los valores propios de una matriz cualquiera es igual a la traza (valor de 
la suma de los elementos de la diagonal principal) de dicha matriz
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Diagonalización 
Definición
Se dice que una matriz cuadrada es diagonalizable 
si existe una matriz cuadrada P tal que 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃𝑃−1𝐴𝐴 𝑃𝑃 = 𝐷𝐷 
 
P diagonaliza a la matriz A 
P es la matriz de transición de B’ a B 
Matriz diagonal 
Respecto a la Base B’ 
 
A matriz estándar 
Respecto a la base B 
Las matrices A y D son semejantes o similares 
“A” puede reducirse a una forma diagonal “D” mediante un cambio de base
¿Por qué nos 
interesa 
diagonalizar 
una matriz?
Porque facilita 
cálculos como 
por ejemplo la 
potenciación
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Teorema 
Si A es una matriz de n x n entonces las siguientes proposiciones son 
equivalentes
a) A es diagonalizable
b) A tiene “n” autovectores linealmente independientes
Suponemos que A es diagonalizable, entonces 𝑃𝑃−1𝐴𝐴 𝑃𝑃 = 𝐷𝐷 por definición
Premultiplicando por P tenemos P 𝑃𝑃−1𝐴𝐴 𝑃𝑃 = P 𝐷𝐷
Luego 𝐴𝐴 𝑃𝑃 = P 𝐷𝐷
Partimos de 
𝐴𝐴 𝑃𝑃 =
𝑃𝑃11 𝑃𝑃12
𝑃𝑃21 𝑃𝑃22
… 𝑃𝑃1𝑛𝑛
… 𝑝𝑝2𝑛𝑛
⋮ ⋮
𝑃𝑃𝑚𝑚1 𝑃𝑃𝑚𝑚2
⋮ ⋮
… 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑛𝑛
.
𝜆𝜆1 0
0 𝜆𝜆2
… 0
… 0
⋮ ⋮
0 0
⋮ ⋮
… 𝜆𝜆𝑛𝑛
= 𝜆𝜆1𝑃𝑃1 𝜆𝜆2𝑃𝑃2 … 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑃𝑃𝑛𝑛
Además
𝐴𝐴 𝑃𝑃 =
𝑃𝑃11 𝑃𝑃12
𝑃𝑃21 𝑃𝑃22
… 𝑃𝑃1𝑛𝑛
… 𝑃𝑃2𝑛𝑛
⋮ ⋮
𝑃𝑃𝑚𝑚1 𝑃𝑃𝑚𝑚2
⋮ ⋮
… 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑛𝑛
.
𝑃𝑃11 𝑃𝑃12
𝑃𝑃21 𝑃𝑃22
… 𝑃𝑃1𝑛𝑛
… 𝑝𝑝2𝑛𝑛
⋮ ⋮
𝑃𝑃𝑚𝑚1 𝑃𝑃𝑚𝑚2
⋮ ⋮
… 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑛𝑛
= 𝑃𝑃1𝑃𝑃1 𝑃𝑃2𝑃𝑃2 … 𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃𝑛𝑛
Indecamos los vectores columna
𝑃𝑃1 ; 𝑃𝑃2 ; … ; 𝑃𝑃𝑛𝑛
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Continuando con el Teorema 
Como 𝐴𝐴 𝑃𝑃 = P 𝐷𝐷 entonces 
𝐴𝐴𝑃𝑃1
𝐴𝐴𝑃𝑃2…
𝐴𝐴𝑃𝑃𝑛𝑛
=
=…
=
𝜆𝜆1𝑃𝑃1
𝜆𝜆2𝑃𝑃2…
𝜆𝜆𝑛𝑛𝑃𝑃𝑛𝑛
𝜆𝜆1; 𝜆𝜆2; … ; 𝜆𝜆𝑛𝑛 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑒𝑒𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑃𝑃𝑒𝑒𝐸𝐸𝑃𝑃𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴
𝑃𝑃1 ;𝑃𝑃2 ; … ;𝑃𝑃𝑛𝑛 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑒𝑒𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸𝑃𝑃𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴
Supuesto que P es invertible, sus vectores columna 𝑃𝑃1 ; 𝑃𝑃2 ; … ; 𝑃𝑃𝑛𝑛 no son cero , por 
lo tanto 𝜆𝜆1; 𝜆𝜆2; … ; 𝜆𝜆𝑛𝑛 son los autovalores de A y 𝑃𝑃1 ; 𝑃𝑃2 ; … ;𝑃𝑃𝑛𝑛 son los 
autovectores correspondientes
Los vectores 𝑃𝑃1 ; 𝑃𝑃2 ; … ; 𝑃𝑃𝑛𝑛 son linealmente independiente por lo que la matriz A
tienen ”n” autovectores linealmente independientes.
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑃𝑃𝑃𝑃𝑑𝑑𝑝𝑝𝐸𝐸𝑛𝑛𝑑𝑑𝑆𝑆𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑃𝑃 𝐸𝐸𝑃𝑃𝑑𝑑𝑃𝑃 𝜆𝜆
Los vectores 
columna de P no 
son ceros pues P 
es invertible
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 Una matriz 𝐴𝐴𝜖𝜖𝑅𝑅𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 es diagonalizable si tiene “n” vectores propios LI. Siendo los
elementos de la diagonal principal de la matriz D los autovalores y los vectores
columna de la matriz de transición P los autovectores de A
 Si los autovalores son reales y distintos la matriz A es digonalizable
 Si hay autovalores múltiples la matriz puede ser o no diagonalizable. La
dimensión de los subespacios propios debe ser igual al orden de multiplicidad
del autovalor.
 Si los autovalores son complejos la matriz no es diagonalizable
¿Cuándo una matriz es diagonalizable?
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Procedimiento para diagonalizar una 
matriz
1) Hallar el polinomio característico, 𝑃𝑃 𝜆𝜆 = det 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼
2) Determinar los autovalores, 𝑃𝑃 𝜆𝜆 = det 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 = 0. 
3) Hallar los autovectores asociados a los autovlores , 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 . �̅�𝑣 = 0
4) Armar la matriz de transición P 
5) Calcular la matriz diagonal D, 𝑃𝑃−1𝐴𝐴 𝑃𝑃 = 𝐷𝐷
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Veamos un ejemplo
𝐴𝐴 = 2 1
2 3 ¿Es diagonalizable?
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = 0
𝜆𝜆2 − 5𝜆𝜆 + 4 = 0
𝜆𝜆1;2 =
− −5 ± −5 2 − 4.4
2
𝜆𝜆1 = 4 𝑦𝑦 𝜆𝜆2 = 1
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼
𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 = 2 1
2 3 − 𝜆𝜆 . 1 0
0 1
𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 = 2 1
2 3 − 𝜆𝜆 0
0 𝜆𝜆 = 2 − 𝜆𝜆 1
2 3 − 𝜆𝜆
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 2 − 𝜆𝜆 1
2 3 − 𝜆𝜆 = 2 − 𝜆𝜆 . 3 − 𝜆𝜆 − 2
𝑃𝑃 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆2 − 5𝜆𝜆 + 4
1
2
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Continuando con el ejemplo
𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 . �̅�𝑣 = 0
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜆𝜆1 = 4
2 − 𝜆𝜆 1
2 3 − 𝜆𝜆 = 2 − 4 1
2 3 − 4 = −2 1
2 −1 → −2 1
2 −1 . 
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 = 0
0
−2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 0 y 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = 0
Luego 𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥1
�̅�𝑣 =
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 =
𝑥𝑥1
2 𝑥𝑥1 → 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑥𝑥1 = 𝑑𝑑 → 𝑑𝑑
2 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 1
2
𝐸𝐸𝑛𝑛𝑑𝑑𝐸𝐸𝑛𝑛𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑢𝑢1 = 1
2 𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑃𝑃𝑒𝑒𝐸𝐸𝑃𝑃 𝜆𝜆1 = 4
−∞ < 𝑑𝑑 < ∞
3
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Continuando con el ejemplo
𝐴𝐴 − 𝜆𝜆. 𝐼𝐼 . �̅�𝑣 = 0
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜆𝜆2 = 1
2 − 𝜆𝜆 1
2 3 − 𝜆𝜆 = 2 − 1 1
2 3 − 1 = 1 1
2 2 → 1 1
2 2 . 
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 = 0
0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 0 y 2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 = 0
Luego 𝑥𝑥1 = −𝑥𝑥2
�̅�𝑣 =
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 =
𝑥𝑥1
−𝑥𝑥1 → 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑥𝑥1 = 𝑑𝑑 → 𝑑𝑑
− 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 1
−1
𝐸𝐸𝑛𝑛𝑑𝑑𝐸𝐸𝑛𝑛𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑢𝑢2 = 1
−1 𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝐸𝐸𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸𝑣𝑣𝑃𝑃𝑒𝑒𝐸𝐸𝑃𝑃 𝜆𝜆2 = 1
−∞ < 𝑑𝑑 < ∞
3
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Continuando con los cálculos
Para cada valor “t” tenemos infinitos autovectores asociados a 𝜆𝜆1= 4 𝑦𝑦 𝜆𝜆2 = 1
Matriz de transición P
𝑃𝑃 = 𝑢𝑢1 𝑢𝑢2 → 𝑃𝑃 = 1
2
1
−1
Cálculo de la matriz diagonal
𝑃𝑃−1𝐴𝐴 𝑃𝑃 = 𝐷𝐷
𝑃𝑃−1 =
1
3
2
3
1
3
−
1
3
𝑃𝑃−1𝐴𝐴 𝑃𝑃 =
1
3
2
3
1
3
− 1
3
. 2 1
2 3 . 1
2
1
−1 = 4
0
0
1
5
4
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Aplicaciones
 Frecuencias de Resonancia. Como vibra y a qué frecuencia un objeto 
sólido. Ejemplo: viga metálica empotrada en una pared. 
 Reconocimiento Facial. Ejemplo: Eigenfaces
 Teoría de grafos: Ejemplo: Page Rank de Google
 Sistemas dinámicos (dependen del tiempo). Ejemplo: Supermercado
 Otros 
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Como vibra y a qué frecuencia un objeto sólido.
Ej. viga metálica empotrada en una pared.
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Reconocimiento Facial
Eigenfaces
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Teoría de grafos
Ejemplo: Page Rank de Google
https://www.youtube.com/watch?v=FNjQ-itLuBY&t=6s
Cómo funciona el algoritmo PageRank de Google. Duración 4,40 min.
Teoría de grafos. Duración 24,24 min.
https://www.youtube.com/watch?v=qZnnAUARP60
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https://www.youtube.com/watch?v=FNjQ-itLuBY&t=6s
https://www.youtube.com/watch?v=qZnnAUARP60
Para saber más
En 
https://www.feandalucia.ccoo.es/docu/p5sd4864.pdf
ver 
“2. Aplicaciones del autovalor de Perrón. Buscador Google” 
en la página 7
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https://www.feandalucia.ccoo.es/docu/p5sd4864.pdf
Sistemas dinámicos
Ejemplo: Supermercado
Una empresa de publicidad encargada de la propaganda de un 
supermercado A, determina que del total de clientes que compran en el 
supermercado A un fin de semana, el 80% vuelve a comprar en A el siguiente 
fin de semana, mientras que el 20% restante va a comprar al supermercado B. 
Se sabe también que del total de clientes que compra en B un fin de semana, 
el 70% vuelve a comprar el fin de semana siguiente en ese supermercado y el 
30% restante va al supermercado A. 
¿Cuál es la distribución de clientes luego de ocho fines de semanas siguientes 
al estado inicial?
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es el estado inicial del sistema 
 
es el porcentaje de clientes que compra en el 
supermercado A y B respectivamente, al fin de la semana 
inicial 
 
es el estado del sistema al fin de semana siguiente, S1 
 
es el porcentaje de clientes que compra en el 
supermercado A y B respectivamente, el fin de semana 
siguiente. 
 
es la matriz de transición que nos permite pasar del 
estado S0 al estado S1 
 
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Luego, el estado del sistema S2 se obtiene repitiendo el procedimiento anterior: 
 
Por último, el estado del sistema n fines de semana luego del estado inicial 
considerado es: 
 
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Por lo tanto, para encontrar 
el estado S8 del sistema se 
debe calcular la potencia 
octava de la matriz de 
transición. Realizando 
algunas operaciones, se 
obtiene:
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Si el estado inicial del sistema es: 
 
es decir, el supermercado A tiene 65% de los clientes y el supermercado B tiene el 
35% de los clientes, luego de ocho fines de semanas siguientes al estado inicial, la 
distribución de clientes se estabiliza en los siguientes porcentajes: 
 
De esta manera, se puede concluir que el supermercado A tiene aproximadamente 
el 60% de los clientes y el supermercado B, el 40%. 
 
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Para describir la evolución de un sistema dinámico, como ya se ha visto, se deben 
calcular potencias de matrices cuadradas. Si se considera el sistema cuyo estado en 
el tiempo k está representado por el vector columna x y sea A Є Rnxn la matriz de 
cambio de estado, el estado del sistema en el tiempo k+1 será: 
 
A . xk = xk+1 
En el tiempo k+2, el estado del sistema será: 
A . xk+1 = xk+2 
A . xk+1 = A. (A . xk ) = A2 . xk = xk+2 
Y si se repite el procedimiento, se obtiene: 
Ap . xk = xk+p 
Es decir, el estado del sistema en el tiempo k+p será Ap veces el estado del sistema 
en el tiempo k. 
Además, es conveniente poder predecir cómo evolucionará el sistema en períodos 
grandes, es decir, cuando p → ∞. 
Para resolver estas cuestiones, resulta conveniente encontrar una forma eficiente 
de calcular potencias de matrices para poder determinar Ap cuando p→∞. Este archivo fue descargado de https://filadd.com
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Paracalcular la potencia enésima de una matriz A Є Rnxn, se diagonalizará la matriz 
A. Teniendo en cuenta que P-1 A P = D, resulta: 
P P-1 A P P-1 = P D P-1 
A = P D P-1 
Y para calcular potencias de A, 
A2 = (P D P-1) (P D P-1) = P D (P-1 P) D P-1 = P D I D P-1 = P D2 P-1 
Repitiendo el procedimiento, se obtiene: 
An = P Dn P-1 
El cálculo de potencias de una matriz diagonal es sencillo: 
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es decir, basta con elevar a la n cada elemento de la diagonal principal. 
 
Volviendo nuevamente al problema inicial, es decir, calcular la distribución de clientes 
luego de ocho fines de semanas siguientes al estado inicial, es ahora fácil determinar 
su solución. Para ello, diagonalizaremos la matriz A. 
Para obtener la matriz diagonal D, se calcularán los autovalores asociados a la matriz 
A. 
 
 
 
 (1) 
 
 
 
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Para calcular los autovectores para cada autovalor, es necesario resolver el siguiente 
sistema de ecuaciones: 
Si λ1 = 1 , resulta: 
 
(2) 
La solución de (2) son vectores de la forma (x1, 2/3 x1)t . Por lo tanto, un autovector 
correspondiente a λ1 = 1 es (1, 2/3)t. 
Si λ2 = 0,5 , resulta: 
 
(3) 
La solución de (3) son vectores de la forma (x1, -x1)t . Luego, un autovector 
correspondiente a λ2 = 0,5 es (1, -1)t. 
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Entonces, la matriz P que diagonaliza a la matriz A y su inversa son: 
 
La matriz D diagonal similar a la matriz A es, entonces: 
 
Luego, resulta: 
 
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Recordando que el estado inicial del sistema es S0 = (0,65, 0,35)t , la distribución, 
en porcentajes, de clientes luego de n semanas será: 
 
De esta manera, los porcentajes de clientes de cada supermercado cuando n es 
muy grande, n→∞, será: 
 
Así, se tiene que al supermercado A concurrirá el 60% de los clientes y al 
supermercado B concurrirá el 40% de los clientes. 
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Terminamos con los temas del día de hoy
Ahora un recreo, o lo que quieras 
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Material desarrollado para las clases de Álgebra y Geometría 
Analítica
con fines didácticos
Bibliografía y webgrafía consultada: 
Material de Cátedra
Imágenes
Recopilación realizada por Ing. Silvia Socolovsky
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	Número de diapositiva 1
	Autovalores y Autovectores
	Autovalores y Autovectores �
	 Veamos un ejemplo
	Número de diapositiva 5
	Procedimiento para calcular valores y vectores característicos
	Veamos un ejemplo�Hallar los autovalores y autovectores de la matriz A�𝐴= 3 2 −1 0 �
	Continuando con el ejemplo
	Continuando con el ejemplo
	Para terminar con el ejemplo
	Propiedades
	Número de diapositiva 12
	Teorema 
	Continuando con el Teorema 
	Número de diapositiva 15
	Procedimiento para diagonalizar una matriz
	Veamos un ejemplo�𝐴= 2 1 2 3 ¿Es diagonalizable?�
	Continuando con el ejemplo
	Continuando con el ejemplo
	Continuando con los cálculos
	Aplicaciones
	Como vibra y a qué frecuencia un objeto sólido.� Ej. viga metálica empotrada en una pared.
	Reconocimiento Facial�Eigenfaces�
	Teoría de grafos�Ejemplo: Page Rank de Google�
	Para saber más
	Sistemas dinámicos�Ejemplo: Supermercado
	 
	Número de diapositiva 28
	Número de diapositiva 29
	Número de diapositiva 30
	Número de diapositiva 31
	Número de diapositiva 32
	Número de diapositiva 33
	Número de diapositiva 34
	Número de diapositiva 35
	Número de diapositiva 36
	��Terminamos con los temas del día de hoy�
	Número de diapositiva 38