Guia 03 Teoremas Senos Cosenos

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Teorema del seno 1
Teorema del seno
Teorema del seno.
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de
proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los
senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces
Demostración
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es
poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque
muy elegante).
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su
circuncentro y dibujamos su circunferencia
circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta
cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque 
ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la
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Teorema del seno 2
función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones
tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia
circunscrita, entonces:
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
Aplicación
El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado
opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de
ellos.
Relación con el área del triángulo
Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo
Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la
medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de
seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo
que se cumple:
.
Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se
obtiene un nuevo teorema:
.
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 TEOREMA DEL COSENO 
 
El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados 
menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido. 
Es decir, 
b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos B 
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos A 
c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos C 
 
Demostración: 
 
Sea m y n las proyecciones ortogonales de los lados b y a, 
respectivamente, sobre el lado a. 
 En el triángulo ADC se verifica: 
(1) b2 = hC
2 + m2 = hC
2 + (c – n)2 = hC
2 + c2 + n2 – 2nc 
En el triángulo DCB se verifica que a2 = n2 + hC
2 
Por tanto, sustituyendo en (1), queda: 
(2) b2 = a2 + c2 – 2nc 
También, se verifica que n = a · cos A 
Sustituyendo en (2),obtenemos: 
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos A 
 
 
Las dos restantes igualdades se demuestran igual, considerando las proyecciones sobre los lados b y c. 
 
 
IMPORTANTE: El teorema es válido para cualquier tipo de triángulo. 
 
Sea el triángulo BAC obtusángulo en B. 
 
Sea m la proyección ortogonal del lado b sobre c. 
Se tiene: 
(1) b2 = hc
2 + (c + m) 2 = c 2 + 2mc + (m2 + hc
2) 
En el triángulo BCC´ se verifica que a2 = m2 + hC
2 
Por tanto, sustituyendo en (1), queda: 
(2) b2 = a2 + c2 – 2mc 
También, se verifica que m = a · cos α = a · cos A 
( α = 180º – A → cos A = cos α) 
Sustituyendo en (2),obtenemos: 
(2) b2 = a2 + c2 – 2ac · cos A 
 
 
Para el caso particular que A = 90º obtendríamos el teorema de Pitágoras 
C 
A 
B 
α 
a 
 b 
c 
 hC 
C´ m 
 b 
C 
 hC 
A B 
D
a 
c 
m n 
Teorema del Coseno 3
 
 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS : 
 
 
1. Resolver un triángulo conocido dos lados y el ángulo comprendido. 
 
 
Datos conocidos: a, b y C 
 
� c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos C 
� =a b
sen A sen B
 → 
a·sen B
sen A
b
= 
� B = 180º – (A + C) 
 
En este caso siempre existe una única solución. 
 
Al hallar el ángulo A, obtenemos dos ángulos: uno agudo y otro obtuso. 
 
Como sabemos que a mayor ángulo se opone mayor lado, conociendo la medida de los tres lados, sólo es 
posible un único valor del ángulo A. 
 
 
Ejemplo: 
 
Se conocen los siguientes datos de un triángulo: a = 10 cm, b = 7 cm, C = 70º. Resolver el triángulo. 
 
Solución 
 
Por el teorema del coseno: 
c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos C → c2 = 102 + 72 – 2·10·7·cos 70º = 101,4 → c = 10,07 cm 
 
Aplicando el teorema del seno: 
10 10,07
sen A sen70º
= → 10·sen70º
sen A 0,88
10,07
= = → A = arc sen 0,87 → A = 61,64º ó A = 118,36º 
Como c > a, tiene que ser C > A , por tanto A = 61,64º 
También se podía aplicar el teorema del coseno: 
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos A → cos A = 
2 2 2b c a
2bc
+ −
 → cos A = 
2 2 27 10,7 10
0,42
2·7·10,7
+ − = 
A = arc cos 0,42 → A = 64,92º 
Como A + B + C = 180º → B = 180º – (61,64º + 70º) = 48,36º 
 
 
Teorema del Coseno 4
 
 
2. Resolver un triángulo conocido los tres lados. 
 
Datos conocidos: a, b y c 
� a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos A → cos A = 
2 2 2b c a
2bc
+ −
 
� =a b
sen A sen B
 → 
b·sen A
senB
a
= 
También se puede aplicar el teorema del coseno: 
b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos B → cos B = 
2 2 2a c b
2ab
+ −
 
� C = 180º – (A + B) 
 
En este caso la solución existe y es única siempre que el lado mayor sea menor que la suma de los otros 
dos lados. 
 
 
Ejemplo 1 
 
Se conocen los siguientes datos de un triángulo: a = 13 cm, b = 8 cm, c = 9 cm. Resolver el triángulo. 
 
Solución 
 
Por el teorema del coseno: 
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos A → cos A = 
2 2 2b c a
2bc
+ −
 → cos A = 
2 2 28 9 13
0,17
2·8·9
+ − = − → A = arc cos (-0,17) 
A = 99,79º 
 
b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos B → cos B = 
2 2 2a c b
2ab
+ −
 → cos B = 
2 2 213 9 8
0,79
2·13·9
+ − = → B = arc cos 0,79 
B = 37,81º 
Como A + B + C = 180º → B = 180º – (99,79º + 37,81º) = 42,4º 
 
 
Ejemplo 2 
Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 1 3 m, 14 m y 15m. Calcula el seno y el coseno del 
ángulo menor y la superficie del triángulo. 
Solución: 
 
Aplicando el teorema del coseno: 
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos A → 132 = 142 + 152 – 2 · 14 · 15 · cos A 
cos A = 0,6 =
3
5
 → sen A = 
4
5
 
Área = 
1 1 1 4
AB·h AB·a·senB 15·14· 84
2 2 2 5
= = = cm2 
 
 
 
 13 
C 
 h 
A B 
14 
15 
Teorema del Coseno 5
 
 
3. Identificar eltipo de triángulo. 
 
El teorema del coseno es un buen criterio para determinar el tipo de triángulo con el que trabajamos. 
Es decir, según que el cuadrado del lado de un triángulo sea menor, igual o mayor que la suma de los 
cuadrados de los otros dos, el ángulo será agudo, recto u obtuso. 
 
Ejemplos: 
� Si los lados de un triángulo vienen dados por la terna (3,4,5) se trata de un triángulo rectángulo pues 
3 2 + 4 2 = 5 2. 
� Si los lados vienen dado por la terna (3,5,7) se trata de un triángulo obtusángulo pues 
3 2 + 5 2 = 34 < 7 2. 
� Si la terna de los lados es (7,8,10) el triángulo es acutángulo pues 
7 2 + 8 2 = 113 > 10 2 
 
 
Teorema del Coseno 6
Teoremas del seno y el coseno: ejercicios resueltos
1) En los siguientes triángulos, halla los lados y ángulos restantes:
a) b) c) d)
2) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro 
lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 
kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.
3) Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30 
centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.
4) Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto 
y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia 
entre Alberto y Camilo.
5) Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en 
otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.
22º
79º
8
92º
15
12
70º
6
5
110º
25 28
Ejercicios 7
Soluciones
1) 
a) 
Siendo a y A, b y B, c y C las parejas de ángulo y lado opuesto. Utilizamos en este caso los 22º y el 
lado de 8 como referencia y calculamos el lado opuesto a los 79º:
8/sen22 = b/sen79
8/0,37 = b/0,98
b = 21,62·0,98
b = 21,22
Para hallar el resto podría parecer que nos falta el dato del tercer ángulo. Pero recuerda que los tres 
ángulos de un triángulo siempre suman 180º. Por lo tanto, ese tercer ángulo debe valer
C = 180 – 22 – 79 = 79º
Así que es un triángulo isósceles. No hace falta hacer más cálculos: si tiene dos ángulos iguales, 
también tiene dos lados iguales, y el lado que nos falta también mide 21,22.
b)
El tercer ángulo mide 37,63º (180 menos la suma de los otros dos). Con este dato calculamos el 
tercer lado:
15/sen92 = c/sen37,63
15,15 = c/0,61
c = 9,25
(También podríamos haber usado la otra pareja b/senB; comprueba que da lo mismo).
22º
79º
8
92º
15
12
Cuando tengamos que resolver un triángulo no rectángulo del cual 
conozcamos una pareja ángulo-lado opuesto y un dato de algún otro 
lado o ángulo, aplicaremos el teorema del seno. Recuerda que es el 
que establece la siguiente relación:
a/senA = b/senB = c/senC
Otro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ángulo/lado 
opuesto completa, y algún otro dato suelto. Empezamos calculando 
el ángulo que está frente al lado que mide 12:
15/sen92 = 12/senB
15/0,99 = 12/senB
senB = 12/15,15
B = 52,37º
Ejercicios 8
c)
Siendo a el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras, 
sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no 
rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intenta 
pensar cuál antes de mirar la nota al pie de página .
a2 = 52 + 62 – 2·5·6·cos70
a2 = 61 – 60·0,34
a2 = 40,48
a = 6,36
Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos 
que aún no tenemos:
6,36/sen70 = 5/senB
6,36/0,94 = 5/senB
senB = 5/6,39
B = 51,54º
Y por lo tanto, C vale
C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º
d)
Y luego el teorema del seno:
43,42/sen110 = 25/senB
senB = 25/46,21 = 0,54
B = 32,76º
C = 180 – 110 – 32,76 = 37,24º
70º
6
5
110º
25 28
Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una 
pareja de ángulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que 
conocemos dos lados y el ángulo del vértice que forman, usamos el 
teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 - 2bc·cosA
De nuevo usamos el terorema del coseno. Se resuelve igual que el 
caso anterior.
a2 = 252 + 282 – 2·25·28·cos110
a2 = 625 + 784 – 1400·(-0,34)
a2 = 1885
a = 43,42
Ejercicios 9
2) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro 
lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 
6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.
Hagamos primero un esquema de la situación. Sería así:
El ángulo debajo del globo es de 110º porque si trazáramos una perpendicular desde el globo al 
suelo, a la izquierda tendríamos 50º y a la derecha 60º (por cierto, también nos podrían preguntar la 
altura a la que está el globo; usaríamos entonces el teorema de la altura).
Aquí tendremos que usar el teorema del coseno, porque el ángulo que conocemos es el que forman 
los dos lados de los cuales tenemos su longitud.
d2 = 62 + 42 - 2·6·4·cos110º
d2 = 52 – 48·(-0,34)
d2 = 52 + 16,32
d = 8,27Km
3) Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30 
centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.
La representación gráfica es esta:
En primer lugar, podemos deducir que el ángulo que falta mide 20º, porque la suma de todos los 
ángulos de un triángulo debe sumar 180º.
Sabiendo este dato, aplicamos el teorema del seno para hallar la longitud de un lado. El otro lado 
mide lo mismo, porque es un triángulo isósceles (fíjate que tiene dos ángulos iguales. Pero si no te 
fías, puedes calcularlo y verás que te da el mismo valor).
30/sen20º = x/sen80º
87,71 = x/sen80º
x = 87,71·sen80º
x = 86,38cm
A B
6 4
110º
d
80º 80º
30
Ejercicios 10
4) Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto 
y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia 
entre Alberto y Camilo.
El esquema de la situación sería algo así:
Como en el ejercicio anterior, tenemos al menos una pareja ángulo-lado opuesto. Para hallar la 
medida del lado que nos falta, nos basta recurrir al teorema del seno. El problema es que el ángulo 
opuesto al lado AC tampoco lo sabemos, algo que tiene fácil solución si primero aplicamos el 
teorema del seno para hallar el ángulo A y después deducir la medida de B.
25/sen20º = 12/senA
73,10 = 12/senA
senA = 12/73,10
sen A = 0,16
A = 9,45º
Como los tres ángulos deben sumar 180º, B debe valer 150,55º. Ahora ya tenemos todo lo necesario 
para volver a usar el teorema del seno y hallar la distancia AC:
25/sen20º = AC/sen150,55º
73,10 = AC/0,49
AC = 73,10·0,49 = 35,94m
5) Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en 
otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.
Pedirnos el perímetro de la valla es lo mismo que pedirnos hallar el lado que falta y sumarlos todos.
d2 = 62 + 202 – 2·6·20·cos60º
d2 = 436 – 240·0.5
d = 17,78m
Perímetro = 20 + 6 + 17,78 = 43,78m
A
B
C
12m
25m
20º
20 6
60º
Ejercicios 11