U11 pp 254 ley de senos

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Teorema de los senos
En trigonometría plana, el teorema de los senos1 o también conocido como ley
de los senos2 es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo
y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Teorema de los senos
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados
opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente
a, b, c, entonces:
Historia
Demostración
Aplicación
Relación con el área del triángulo
Referencias
Véase también
Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin, la ley esférica de los senos fue descubierta en el siglo X. Ha sido indistintamente
atribuido a Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur.3 
El libro de Ibn Muʿādh al-Jayyānī del siglo XI, El libro de los arcos desconocidos de una esfera introdujo la ley general de los
senos.4 La ley plana de los senos fue descrita más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī. En su Sobre la figura del sector,
declaró la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó las pruebas de esta ley.5 
Según Glen Van Brummelen, «La ley de los senos está en realidad basada en Regiomontanus, en sus soluciones de triángulos
rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones fueron a su vez las bases de sus soluciones de los triángulos generales.»6 
Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.
Teorema del seno.
Índice
Historia
Demostración
https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ubirat%C3%A0n_D%27Ambrosio&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Helaine_Selin&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Abu-Mahmud_Khojandi&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Abu_al-Wafa%27_Buzjani&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Nasir_al-Din_al-Tusi
https://es.wikipedia.org/wiki/Abu_Nasr_Mansur
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ibn_Mu%CA%BF%C4%81dh_al-Jayy%C4%81n%C4%AB&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Nas%C4%ABr_al-D%C4%ABn_al-T%C5%ABs%C4%AB
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Glen_Van_Brummelen&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Regiomontanus
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Ley_de_los_senos.svg
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común
que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos
su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar
la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y
además los ángulos A y P son congruentes, porque ambos son ángulos
inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz).
Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el
mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los
ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la
circunferencia circunscrita, entonces:
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo la razón, entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto,
es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
El teorema de los senos es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a
uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.
Puede ser empleado la ley de los senos, con reajustes circunstanciales, en:
El teorema de los senos establece que
a/sin(A) es constante.
Aplicación
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema
https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_inscrito
https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_capaz
https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Ley_de_los_senos-prueba.svg
Cálculo de la altura de un árbol
Hallar el ángulo de elevación del suelo
Plano para construcción de puentes
Estudio y dibujo de carriles de una autopista
Itinerario de un planeo
Ubicación de un foco de incendio
Situación de un transmisor de radio clandestino
La altitud de una montaña y otros casos.7 
Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la
altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b
o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple:
.
Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al
substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:
.
1. Pogorélov. Geometría elemental. Editorial Mir, Moscú(1977)
2. Larson. Trigonometría. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)
3. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in Selin,
Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics,
Springer, ISBN 1-4020-0260-2
4. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani (http://www-history.
mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html)» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive,
Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html.
5. Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China,
India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
6. "The Law of Sines is really Regiomontanus's foundation for his solutions of right-angled triangles in Book IV, and
these solutions are in turn the bases for his solutions of general triangles." Glen Van Brummelen (2009). "The
mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry (https://books.google.com/books?id=
bHD8IBaYN-oC&pg=&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false)". Princeton University Press. p.259. ISBN 0-691-
12973-8
7. Larson. Op. cit
Trigonometría
Triangulación
Trigonometría esférica
Función trigonométrica
Relación con el área del triángulo
Dos fórmulas para calcular el área
de un triángulo
Referencias
Véase también
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9786074817
https://es.wikipedia.org/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/1-4020-0260-2
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MacTutor_History_of_Mathematics_archive
https://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Saint_Andrews
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Princeton_University_Press
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-691-11485-9
https://es.wikipedia.org/wiki/Regiomontanus
https://books.google.com/books?id=bHD8IBaYN-oC&pg=&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0691129738
https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Triangulaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Formulas_para_%C3%A1rea_de_un_tri%C3%A1ngulo.svg
Geometría del triángulo
Teorema del coseno
Teorema de Pitágoras
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https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
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