INTRODUCION A LOS SISTEMAS DE TELECOMUNICACION V

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1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS 
DE TELECOMUNICACIÓN 
 
 
 1.1 Introducción……………………………………………………………………….. 2
 1.2 Modelo de sistema de telecomunicación…………………………………….. 2
 1.3 Clasificación de señales…………………………………………………………. 3
 1.4 Caracterización temporal de señales…………………………………………. 4
 1.5 Caracterización espectral de señales…………………………………………. 5
 1.5.1 Sistema inverso………………………………………………………….. 6
 1.6 Potencia y energía………………………………………………………………… 8
 1.7 Ancho de banda de una señal…………………………………………………. 11
 1.8 Transmisión a través de un canal……………………………………………. 12
 1.8.1 Transmisión sin distorsión a través de un SLIT…………………. 12
 1.8.2 Transmisión a través de un sistema no lineal……………………. 15
 1.9 Filtros……………………………………………………………………………….. 16
 1.10 Ruido………………………………………………………………………………. 21
 1.10.1 Ruido Blanco Gaussiano Aditivo…………………………………... 22
 1.10.2 Ruido coloreado………………………………………………………… 22
 1.11 Relación Señal a Ruido. Ganancia de Proceso.………..………………… 23
Añadir “transmisión en banda base”, pero simplificado 
 2
1.1 Introducción 
 
La necesidad de comunicarse es un problema surgido desde los tiempos en que 
se formaron las primeras comunidades humanas. Hoy en día resulta innecesario 
destacar la enorme importancia que presentan las comunicaciones en nuestra 
vida diaria. Resulta imposible pensar en una sociedad moderna que prescinda de 
servicios tales como el teléfono, la radio o la televisión. Pero además de estos 
servicios que ya podemos considerar clásicos, se han producido avances tales 
como la telefonía móvil o la televisión digital que han aumentado el gran valor que 
ya tenían. Además se han creado nuevos servicios, como la red Internet que 
proporciona acceso a fuentes de información en cualquier punto del planeta 
desde un simple ordenador personal. 
 
Se tratará de exponer los conceptos fundamentales relacionados con la 
generación, transmisión y recepción de señales que transportan una determinada 
información de un punto a otro. Evidentemente habrá una gran cantidad de 
aspectos a tener en cuenta en función de cuáles sean las características de la 
transmisión a realizar. No es lo mismo que la información a transmitir sea 
analógica o digital; ni que el medio por el que se va a transmitir sea un cable de 
fibra óptica, un cable telefónico, la atmósfera o el agua; ni que el receptor se 
encuentre a una distancia de pocos metros o que el receptor sea un satélite 
situado a miles de kilómetros del transmisor. Cada transmisión tiene sus propias 
peculiaridades y por lo tanto serán las ideas básicas a tener en cuenta en la 
mayoría de sistemas las que se estudiarán. 
 
 
1.2 Modelo de sistema de telecomunicación 
 
Un modelo de sistema lo más general posible que englobe la gran mayoría de 
sistemas existentes en la práctica se muestra en la figura 1.1. Como se mencionó 
en la introducción, la fuente de información puede ser de muy diversa naturaleza. 
Un transductor es un dispositivo que transforma una magnitud física en otra, y 
en un transmisor se emplea para convertir la información de la fuente en una 
señal eléctrica. Una vez se dispone de la señal eléctrica, ésta se procesa de forma 
conveniente para poder transmitirla al medio. 
 
El medio de transmisión, también llamado en ocasiones canal, puede ser de muy 
diversa naturaleza: aire, agua, cable bifilar, cable coaxial, fibra óptica, etc. El 
canal modifica las señales que son transmitidas a través de él, de tal forma que a 
la entrada del receptor se dispondrá de una señal distorsionada respecto a la 
original a la que se le añade ruido, interferencias y otras señales que están siendo 
transmitidas simultáneamente. 
 
 3
El receptor para recuperar la información deberá realizar las operaciones inversas 
a las del transmisor. Procesa la señal que tiene a su entrada y la envía a un 
transductor que finalmente presenta la información deseada al destinatario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 
 
 
1.3 Clasificación de señales 
 
Llamaremos señal a una función del tiempo (eje de abcisas), la función a 
representar será algún parámetro físico (tensión, corriente, intensidad 
luminosa,…) en el eje de ordenadas. Para cada valor del tiempo la función tiene 
uno y solo un valor. Es decir, las señales no pueden tener dos valores en un 
instante de tiempo, cosa que puede ser posible en una función matemática. 
Además, las señales que usaremos estarán acotadas en amplitud, no pueden 
crecer de forma indefinida. 
 
Las señales pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios. Por un lado se 
pueden dividir en señales analógicas o digitales. Por otro lado pueden clasificarse 
como de tiempo continuo o discreto. Una señal puede ser analógica y de tiempo 
continuo o discreto, o puede ser digital en tiempo continuo o discreto. Estas 
características se han explicado con claridad en las asignaturas de Teoría de la 
Señal I y II. 
 
Por otro lado las señales pueden ser deterministas o aleatorias. Una señal 
determinista es aquella cuyo valor en cada instante de tiempo es conocido y por 
lo tanto se puede modelar como una función dependiente del tiempo. Un ejemplo 
podría ser x(t)=Asen(ωot). Una señal aleatoria es aquella cuyo valor en un instante 
de tiempo es impredecible, su caracterización se realiza usando métodos 
estadísticos. Un ejemplo de señal aleatoria podría ser una señal de voz. En 
comunicaciones las señales en general son de naturaleza aleatoria, ya que no 
siempre se conoce la información a transmitir. Sin embargo, para el diseño y 
RECEPTOR 
Medio de transmisión ó canal 
Fuente de 
información
Transductor Procesador 
transmisor 
Destino o 
presentación 
Transductor Procesador
receptor 
Ruido 
Interferencias 
Otras transmisiones 
TRANSMISOR
 4
análisis de sistemas de comunicación puede usarse como primera aproximación 
señales deterministas. Adviértase que en cualquier caso, el ruido presente en el 
receptor siempre tiene una naturaleza aleatoria y no se puede evitar tratarlo 
como tal señal aleatoria. 
 
Normalmente las señales a usar serán reales, otras veces por conveniencia se 
considerarán complejas, las conclusiones obtenidas se harán extensivas a las 
señales reales anulando la componente imaginaria. 
 
 
1.4 Caracterización temporal de señales 
 
En este apartado se pretende presentar algunos parámetros de las señales que se 
pueden calcular en el dominio del tiempo. 
 
Valor medio de una señal en un intervalo de tiempo centrado en to y 
duración T segundos. Sea x(t) la señal, este valor medio se calcula con la 
expresión 1-1. 
 
∫
+
−
=
2/Tt
2/Tt
T,t
0
0
0
dt)t(x
T
1)t(x (1-1)
 
El valor medio es por tanto el valor constante que multiplicado por la duración 
del intervalo es igual al área neta de la señal en ese intervalo. 
 
Valor medio. Sea x(t) la señal, su valor medio se calcula con la expresión 1-2. 
 
∫
+
−
∞→
=
2/T
2/T
T
dt)t(x
T
1lim)t(x (1-2)
 
El valor medio es la señal de valor constante que “guarda” igual área neta que la 
señal x(t). Se define el operador “valor medio” en la expresión 1-3. 
 
( ) ( )∫
+
−
∞→
⋅=⋅
2/T
2/T
T
dt
T
1lim (1-3)
 
 
 
 
 5
Valor cuadrático medio de una señal en un intervalo de tiempo centrado en 
to y duración T segundos. Se calcula con la expresión 1-4. Es el valor medio en 
ese intervalo de la señal al cuadrado. 
 
∫
+
−
=
2/Tt
2/Tt
2
T,t
2
0
0
0
dt)t(x
T
1)t(x (1-4)
 
Valor cuadrático. Se calcula con la expresión 1-5. Es el valor medio de la señal 
al cuadrado. 
 
∫
+
−
∞→
=
2/T
2/T
2
T
2 dt)t(x
T
1lim)t(x (1-5)
 
Se define el operador “valor cuadrático medio” en la expresión 1-6. 
 
( ) ( )∫
+
−
∞→
⋅=⋅
2/T
2/T
2
T
2 dt
T
1lim (1-6)
 
 
1.5 Caracterización espectral de señales 
 
Debe recordarse que de la señal x(t), si cumple una serie de condiciones, se puede 
calcular su transformada de Fourier con la expresión 1-7. A esta transformación 
se le suele llamar transformada directa de Fourier, y a la ecuación, ecuación de 
análisis. 
 
[ ]
)(X)t(x
dte)t(x)t(x)(XTF
tj
ω⎯⎯→⎯
=ℑ=ω ∫
+∞
∞−
ω−
 (1-7)
 
A partir de X(ω) puede obtenerse x(t) con la expresión 1-8. Esta operación es la 
transformada inversa de Fourier, y a la ecuación se la llama de síntesis. 
 
[ ]
)(X)t(x
de)(X
2
1)(X)t(x
1TF
tj1
ω⎯⎯ ⎯←
ωω
π
=ωℑ=
−
∫
+∞
∞−
ω+−
 (1-8)
 
Cuando un sistema es lineal e invariante en el tiempo (SLIT) queda caracterizado 
por la respuesta al impulso delta de Dirac (figura 1.2) y puede calcularse su señal 
de salida como se indica más abajo. 
 6
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 
Donde: 
)(Y)t(y
)(X)t(x
)(H)t(h
TF
TF
TF
ω⎯⎯→⎯
ω⎯⎯→⎯
ω⎯⎯→⎯
 
 
Donde a H(ω) se le llama función de transferencia en frecuencias del sistema, 
función de transferencia o respuesta en frecuencia del sistema. Además se 
cumple que la salida se puede calcular en el dominio del tiempo (1-9) o en el 
dominio de la frecuencia (1-10). 
 
)(X)(H)(Y
)t(x)t(h)t(y
ωω=ω
∗=
 (1-9)
(1-10)
 
Donde “*” denota la operación de convolución. En este punto deben recordarse 
las propiedades de la transformada de Fourier, de los SLIT y de la operación de 
convolución. 
 
 
1.5.1 Sistema inverso 
 
Sea la transmisión de la señal x(t) a través de un SLIT como indica la figura 1.3, 
donde en su salida se obtiene la señal y(t), se pretende hacer pasar la señal 
recibida y(t) por un nuevo SLIT de tal forma que en su salida s(t) se obtenga de 
nuevo la señal x(t). 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 
 
 
 
 
 
SLIT
δ(t) h(t)
SLIT
x(t) y(t)
h(t) 
H(ω) 
x(t) y(t) s(t)=x(t) hi(t) 
Hi(ω) 
 7
El estudio se puede realizar en el dominio del tiempo: 
 
)t()t(h)t(h
)t(x)t(s
)t(x)t(h)t(h)t(y)t(h)t(s
)t(x)t(h)t(y
i
ii δ=∗⇒
⎭
⎬
⎫
=
∗∗=∗=
∗=
 (1-11)
 
O en el dominio de la frecuencia. 
 
1)(H)(H
)(X)(S
)(X)(H)(H)(Y)(H)(S
)(X)(H)(Y
i
ii =ωω⇒
⎭
⎬
⎫
ω=ω
ωωω=ωω=ω
ωω=ω
 (1-12)
 
Haciendo la transformada de Fourier de la ecuación 1-11 se obtiene la expresión 
1-12. La función de transferencia del segundo sistema viene dado por 1-13. 
 
)(H
1)(Hi ω
=ω (1-13)
 
Esta ecuación debe respetarse al menos donde X(ω) es distinto de cero. 
Expresando las funciones de transferencia en función de sus módulos y fases 
(ecuaciones 1-14 y 1-15), y sustituyendo (1-16) se obtienen las expresiones 1-17 
y 1-18. 
 
)(Hje)(H)(H ω∠ω=ω (1-14)
 
)(Hj
ii
ie)(H)(H ω∠ω=ω (1-15)
 
)(Hj-
)(Hj
)(Hj
i e
)(H
1
e)(H
1e)(H i ω∠
ω∠
ω∠
ω
=
ω
=ω (1-16)
 
)(H
1)(Hi ω
=ω (1-17)
 
)(H)(Hi ω−∠=ω∠ (1-18)
 
Es decir la ganancia para cada frecuencia del segundo sistema es la inversa del 
primero, y la característica de fase del segundo es igual a la del primero cambiada 
de signo. 
 8
Cuestión. Supóngase que para una cierta frecuencia X(ω) es distinto de cero, y para 
esa misma frecuencia |H(ω)| es igual a cero ¿Se puede recuperar x(t)? ¿Existe el 
sistema inverso al primero? 
 
 
1.5 Potencia y energía 
 
Supóngase que la señal de tensión v(t) se aplica sobre una resistencia de R 
ohmios, esto provoca una señal de corriente instantánea i(t). Igualmente puede 
considerarse la señal aplicada i(t), y que esta provoca v(t). En cualquier caso la 
potencia instantánea viene dada por 1-19. Su unidad de medida es el vatio (W). 
 
R)t(i
R
)t(v)t(i)t(v)t(p 2
2
=== W (1-19)
 
Si se toma el valor de la resistencia de 1 ohmio queda la expresión 1-20. En el 
resto de la asignatura siempre debe suponerse este valor de resistencia. 
 
)t(i)t(v)t(i)t(v)t(p 22 === W (1-20)
 
Esto último permite eliminar de las expresiones el valor de la resistencia. Si bien 
es verdad que la potencia depende de la resistencia, en los sistemas de 
comuniaciones es habitual evaluar cocientes de potencias de señales que existen 
en un mismo punto, en cualquier caso el valor R desaparecería del numerador y 
del denominador; dicho de otra forma, el cociente de potencias no depende del 
valor de R elegido. 
 
Si la señal aplicada es x(t) la potencia instantánea queda como la señal al 
cuadrado (1-21), sin importar si es de tensión o de corriente. 
 
)t(x)t(p 2= W (1-21)
 
Por otro lado la potencia instantánea es la derivada de la energía respecto al 
tiempo (1-22). 
 
dt
)t(dE)t(p = W (1-22)
 
 
 
 9
La potencia media de una señal en un intervalo centrado en to y duración T 
segundos se calcula con la expresión 1-23. 
 
∫∫
+
−
+
−
===
2/Tt
2/Tt
2
2/Tt
2/Tt
T,tT,t
0
0
0
0
00
dt)t(x
T
1dt)t(p
T
1)t(pP W (1-23)
 
La potencia media de una señal se calcula con la expresión 1-24. 
 
)t(xdt)t(x
T
1limdt)t(p
T
1lim)t(pP 2
2/T
2/T
2
T
2/T
2/T
T
==== ∫∫
+
−
∞→
+
−
∞→
 W (1-24)
 
Es decir, la potencia media de una señal es igual a su valor cuadrático medio. 
 
Por otro lado un elemento diferencial de energía se puede calcular con 1-25. Se 
mide en julios (J). 
 
dt)t(p)t(dE = J (1-25)
 
La energía disipada en la resistencia hasta el instante t viene dada por la 
expresión 1-26. 
 
∫ ∫
∞− ∞−
==
t t
dt)t(p)t(dE)t(E J (1-26)
 
La energía disipada en la resistencia en un intervalo centrado en to y duración T 
segundos se calcula con la expresión 1-27. 
 
∫∫ ∫
+
−
+
−
+
−
===
2/Tt
2/Tt
2
2/Tt
2/Tt
2/Tt
2/Tt
T,t
0
0
0
0
0
0
0
dt)t(xdt)t(p)t(dEE J (1-27)
 
La energía total disipada en la resistencia viene dada por 1-28. 
 
∫∫∫ ∫
+∞
∞−
+
−
∞→
+
−
+
−
∞→∞→
==== dt)t(xdt)t(xlimdt)t(plim)t(dElimE 2
2/T
2/T
2
T
2/T
2/T
2/T
2/T
TT
 J (1-28)
 
Nuestras señales serán definidas en energía o definidas en potencia. 
 
Una señal es de energía si su energía es finita (1-28), por tanto su potencia media 
será nula (1-24). Una señal es de potencia si su potencia media es finita (1-24), la 
energía disipada será infinita (1-28). La tabla siguiente resume lo anterior. 
 10
 Energía Potencia 
Señal de energía 0 < E < +∞ P = 0 
Señal de potencia E = +∞ 0 < P < +∞
 
Matemáticamente es posible definir señales que no son ni de energía ni de 
potencia, algunas con energía y potencia infinitas, pero estas señales no son de 
nuestro interés por ser no acotadas y crecer hacia el infinito. Las señales de 
energía son normalmente de duración finita, y las de potencia de duración 
infinita. 
 
Cuestión. En el laboratorio de electrónica, ¿existen las señales de energía? ¿Y las de 
potencia? 
 
Ejemplo de señal de energía. Sea el pulso rectangular: ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
τ
Π= tA)t(x 
 
 
 
 
La energía de x(t) se calcula con la expresión 1-28. 
 
[ ] [ ] τ=τ−−τ+==== τ+
τ−
τ+
τ−
+∞
∞−
∫∫ 222/
2/
2
2/
2/
22 A)2/(2/AtAdtAdt)t(xE J 
 
Aplicando 1-24 se obtiene que su potencia media es nula. 
 
Ejemplo de señal de potencia. Sea un tono )tcos(A)t(x 0ω= . Donde: 
 
0
000 T
1ff2 =π=ω 
 
Si se trata de calcular su energía con 1-28 se tiene una integral cuya solución no 
converge. Por ser periódica se calculará la potencia media en un periodo, que coincide 
con su potencia media. 
 
( )
2
Adt
T2
Adt)t2cos(1
2
A
T
1dt)t(cosA
T
1PP
2T
00
2T
0
0
2
0
T
0
0
22
0
T
000
0 ∫∫∫
+++
==ω+=ω== W 
 
A 
-τ/2 +τ/2 
 11
1.7 Ancho de banda de una señal 
 
Es una medida de la banda de frecuencias donde se concentra mayormente la 
energía o la potencia de la señal, según sea el caso. Existen varios criterios, se 
enumeran a continuación. Se supone en adelante una señal de energía, pero es 
similar para señales de potencia. 
 
Ancho de banda del primer nulo. Se distinguirá de una señal paso bajo de una 
señal paso banda. 
 
Una señal paso bajo es aquella donde las mayores componentes espectrales se 
concentran en torno al origen. Supóngase una señal cuyo módulo de la 
transformada de Fourier es como la de la figura 1.4, el ancho de banda estimado 
de esta forma es la banda de frecuencias ocupadas desde el origen hasta el 
primer nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 
 
Una señal paso banda es aquella donde la mayores componentes espectrales se 
concentran en torno a un cierto valor de frecuencia, distinto del origen. 
Supóngase una señal cuyo módulo de la transformada de Fourier es como la de 
la figura 1.5, el ancho de banda estimadode esta forma es la diferencia entre las 
frecuencias de los pasos por cero donde se concentran los mayores valores. 
 
No siempre el módulo de la transformada de Fourier tiene nulos, por este y otros 
motivos aparecen otros criterios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5 
ω 
|X(ω)| 
BPN 
ω 
|X(ω)| 
BPN 
 12
Ancho de banda de 3 dB. Igual que antes se distinguirá una señal paso bajo de 
una señal paso banda. Se define a partir de las frecuencias en las que la 
amplitud del espectro cae 3 dB; es decir, la disminución en amplitud viene dado 
por el factor 21 . Se ilustra en las figuras 1.6.a y 1.6.b respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6.a 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6.b 
 
Existen otros criterios como el ancho de banda a 10 dB o 20 dB; además del 
ancho de banda al 90%, donde se calcula el ancho de banda donde reside el 90% 
de la energía o la potencia de la señal. Principalmente durante el curso 
estimaremos los anchos de banda por los pasos por cero. 
 
 
1.8 Transmisión a través de un canal. 
 
Se estudiará en este apartado el canal tanto como si se trata de un SLIT como si 
no. 
 
 
1.8.1 Transmisión sin distorsión a través de un SLIT 
 
Si el canal es un SLIT, donde la señal de entrada es x(t) y la de salida y(t). Se 
considerará que hay transmisión sin distorsión si la salida es de la forma dada 
por 1-29. 
 
)tt(x)t(y d−α= (1-29)
ω 
|X(ω)| 
B3dB 
3 dB 
|X(ω)|max 
|X(ω)|max/ 2
ω 
|X(ω)| 
B3dB 
|X(ω)|max
|X(ω)|max/ 2
3 dB 
 13
Donde α es real y td es el retardo (delay). Es decir; la forma de onda de la salida 
es igual que la de la entrada, puede estar amplificada o atenuada, y sufre un 
retardo respecto de la señal de entrada. En la figura 1.7.a se muestra un ejemplo 
de transmisión sin distorsión y en la 1.7.b con distorsión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7.a 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7.b 
 
Se tratará de determinar las condiciones que debe cumplir el SLIT para que haya 
transmisión sin distorsión. A partir de 1-29 se calcula la transformada de Fourier 
de la señal de salida, que se tiene en 1-30. Para ello se aplica la propiedad de 
desplazamiento en el tiempo. 
 
dtje)(X)(Y ω−ωα=ω (1-30)
 
Entonces la función de transferencia del sistema se puede calcular como muestra 
1-31. 
 
dtje
)(X
)(Y)(H ω−α=
ω
ω=ω (1-31)
 
Entonces ya se puede determinar la expresión del módulo (1-32) y de la fase de la 
función de transferencia (1-33). 
 
α=ω)(H (1-32)
dt)(H ω−=ω∠ (1-33)
 
t 
x(t) 
t 
y(t) 
td 
t 
x(t) 
t 
y(t) 
td 
 14
Es decir, el módulo es constante e igual al factor por el que se multiplicó la señal 
(figura 1.8.a), y la fase es lineal con la frecuencia (figura 1.8.b) donde su derivada 
cambiada de signo es igual al retardo del sistema (1-34). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8.a Figura 1.8.b 
 
dtd
)(Hd =
ω
ω∠− (1-34)
 
Estas características deben cumplirse al menos donde X(ω) es distinto de cero. Es 
decir, donde el espectro de la señal de entrada es igual a cero no tiene por que 
cumplirse estas condiciones. 
 
Cuando no se verifica 1-32 se dice que existe distorsión lineal de amplitud. 
Análogamente, cuando no se verifica 1-33 se dice que existe distorsión lineal de 
fase. 
 
Cuestión. ¿Que significado tendría una pendiente positiva para la fase del sistema? 
¿Sería realizable físicamente? 
 
Resumiendo, cuando se realiza transmisión sin distorsión el módulo de la señal 
de salida es igual al módulo de la señal de entrada por el valor α; es decir se 
amplifican o atenúan las componente espectrales de la misma forma (1-35). Por 
otro lado la fase de la señal de salida es igual a la fase de la señal de entrada 
menos un desfase lineal con la frecuencia (1-36). 
 
)t)(X(jtj)(Xj)(Yj dd e)(Xee)(Xe)(Y ω−ω∠ω−ω∠ω∠ αω=αω=ω 
αω=ω )(X)(Y (1-35)
dt)(X)(Y ω−ω∠=ω∠ (1-36)
|H(ω)| 
ω 
α 
∠H(ω) 
ω 
 15
Ejemplo. Sea el pulso rectangular dado por ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛Π=
T
tA)t(x que se transmite por un 
sistema de la forma dada por 1-31. Determine la señal de salida en el dominio del 
tiempo y dibújela. 
 
El espectro de la señal de salida viene dado por: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
ωα=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
ωα=ωω=ω ω−ω− dd tjtj e
2
TcsinAT
2
TcsinATe)(X)(H)(Y 
 
Haciendo la transformada inversa de Fourier, y usando la propiedad de 
desplazamiento en el tiempo se tiene: 
 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −Πα=
T
ttA)t(y d 
 
En la figura 1-9 se representa la forma de onda de la señal de entrada y de la señal de 
salida. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.9 
 
 
1.8.2 Transmisión a través de un sistema no lineal 
 
En un sistema no lineal la entrada y la salida se pueden relacionar con un 
polinomio como en 1-37. 
 
...)t(xa)t(xa)t(xaa)t(y 3
3
2
210 ++++= (1-37)
 
Usando la propiedad de la convolución en frecuencia se tiene 1-38. 
 
x(t) 
t 
A 
-T/2 +T/2 
y(t) 
t αA
td-T/2 td+T/2 td
 16
...)(X)(X)(X
2
1a)(X)(X
2
1a)(Xa)(2a)(Y
2
3210 +ω∗ω∗ω⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+ω∗ω
π
+ω+ωπδ=ω (1-38)
 
Para que no hubiera distorsión solo es deseable el segundo término de la serie. 
En general se produce distorsión, dado que los demás términos interfieren en 
frecuencia con el segundo. Si se supone una señal paso bajo con un espectro real 
de la forma indicada en la figura 1.10.a, con un ancho de banda de ωb radianes 
por segundo (rad/s), se tienen en la salida una serie espectros debido a los 
elementos de 1-38 que deben sumarse en frecuencia. Se bosqueja el espectro de 
salida en la figura 1.10.b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10.a 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10.b 
 
Ejercicio. Considérese un sistema no lineal donde la relación entre la entrada y la 
salida viene dada por los tres primeros términos de 1-37, y la señal de entrada es 
)tcos(A)t(x 0ω= . Bosqueje el espectro de la señal de salida. Se sugiere para ello 
desarrollar y(t) en el dominio del tiempo y después calcule su transformada de 
Fourier. 
 
 
1.9 Filtros 
 
Un filtro es un SLIT, dejan pasar una parte de las componentes espectrales de la 
señal de entrada (banda de paso) y otras son eliminadas en la salida (banda de 
rechazo). A continuación se exponen sus características ideales. Se denomina 
ancho de banda del filtro al intervalo de frecuencias de la banda de paso. 
X(ω) 
ω 
+ωb -ωb 
Y(ω) 
ω 
+ωb -ωb +2ωb -2ωb +3ωb -3ωb 
 17
Filtro Paso Bajo. Deja pasar las componentes de frecuencia por debajo de ωc 
radianes por segundo, y elimina las que están por encima. A ωc se le llama 
frecuencia de corte, coincide con el valor del ancho de banda del filtro (B=ωc 
rad/s). En la figura 1.11 se muestra su característica ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.11 
 
Cuestión. ¿Por qué se supone que |H(ω)| es par? ¿Cómo sería ∠H(ω)? 
 
En la ecuación 1-39 se sugiere una función de transferencia ideal para este filtro. 
En el se ha supuesto una ganancia G en la banda de paso. 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
ωΠ=ω
c2
G)(H (1-39)
 
Si se calcula la respuesta impulsiva de este filtro se obtiene 1-40. Por sencillez se 
ha supuesto G igual a 1, además debe tenerse en cuenta que ωc=2πfc. Si se dibuja 
la señal de 1-40 se observa que el sistema no es causal, y por tanto no es 
realizable físicamente. 
 
)tf2(csinf2)t(h cc= (1-40)
 
Si se supone una nueva función de transferencia como en 1-39 pero con una fase 
lineal con la frecuencia (1-41), entonces la nueva respuesta impulsiva vendrá 
dada por 1-42. 
 
dtj
c
e
2
G)(H ω−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
ωΠ=ω (1-41)
( ))tt(f2csinf2)t(h dcc −= (1-42)
 
Si el retardo es suficientemente grande, el sistema es casi causal y se podría 
aproximar físicamente. Debe observarse que los sistemas 1-39 y 1-41 permiten la 
transmisión sin distorsión en la banda de paso, en el primer caso sin retardo y en 
el segundo caso con retado. 
 
H(ω) 
ω
B=+ωc -ωc 
 18
Obviamente las características ideales no existen en la práctica. En la práctica los 
filtros: 
- son causales, 
- tienen rizado en la banda de paso y/o en la eliminada, 
- las pendientes de transición entre las bandas de paso y de rechazo no son 
abruptas. 
 
La especificación de un filtro paso bajo puede realizarse como se muestra en la 
figura1.12. 
 
 
Figura 1.12 
 
Filtro Paso Banda. Deja pasar las componentes de frecuencia comprendidas 
entre la frecuencia de corte inferior ωci y la frecuencia de corte superior ωcs. 
Rechaza las componentes que están fuera de esta banda. El ancho de banda 
viene dado por la diferencia de las frecuencias de corte (B=ωcs-ωci rad/s). En la 
figura 1.13 se muestra su característica ideal. A la posición intermedia de la 
banda de paso se le suele llamar frecuencia de sintonía (ωs). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 
 
En la ecuación 1-43 se sugiere una función de transferencia ideal para este filtro. 
En el se ha supuesto una ganancia G en la banda de paso. 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ω−ωΠ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ω+ωΠ=ω
B
G
B
G)(H ss (1-43)
 
Si se calcula la respuesta impulsiva de este filtro se obtiene 1-44. Por sencillez se 
ha supuesto G igual a 1. Si se dibuja la señal de 1-44 se observa que el sistema 
no es causal, y por tanto no es realizable físicamente. 
 
H(ω) 
+ωs +ωcs +ωci 
+ω 
B 
Filtro 
Paso 
Bajo 
Low 
Pass 
Filter 
 
 19
)tcos(t
2
BcsinB)t(h sω⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ππ
= (1-44)
 
Si se supone un filtro con fase lineal se puede aproximar físicamente. Se pueden 
hacer las mismas consideraciones que en el caso anterior. 
 
Durante el curso principalmente se usaran filtros ideales paso bajo y paso banda. 
 
La especificación de un filtro paso banda puede realizarse como se muestra en la 
figura 1.14. 
 
 
Figura 1.14 
 
Filtro Paso Alto. Deja pasar las componentes de frecuencia por encima de ωc 
radianes por segundo, y elimina las que están por debajo. A ωc se le llama 
frecuencia de corte, el ancho de banda de este filtro es infinito. En la figura 1.15 
se muestra su característica ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 
 
En la ecuación 1-45 se sugiere una función de transferencia ideal para esta filtro. 
En el se ha supuesto una ganancia G en la banda de paso. 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
ωΠ−=ω
c2
1G)(H (1-45)
 
Si se calcula la respuesta impulsiva de este filtro se obtiene 1-46. Por sencillez se 
ha supuesto G igual a 1, además debe tenerse en cuenta que ωc=2πfc. Si se dibuja 
la señal de 1-46 se observa que el sistema no es causal, y por tanto no es 
realizable físicamente. 
 
)tf2(csinf2)t()t(h cc−δ= (1-46)
H(ω) 
ω
+ωc -ωc 
Filtro 
Paso 
Banda 
Band 
Pass 
Filter 
 
 20
Si se supone un filtro con fase lineal se puede aproximar físicamente. Se pueden 
hacer las mismas consideraciones que en el caso anterior. 
 
La especificación de un filtro paso alto puede realizarse como se muestra en la 
figura 1.16. 
 
 
Figura 1.16 
 
Filtro Paso Banda Eliminada (o Rechazo de Banda). Elimina las componentes 
de frecuencia comprendidas entre la frecuencia de corte inferior ωci y la frecuencia 
de corte superior ωcs. En la salida aparecen las componentes que están fuera de 
esta banda. El ancho de banda (de rechazo) viene dado por la diferencia de las 
frecuencias de corte (B=ωcs-ωci rad/s). En la figura 1.17 se muestra su 
característica ideal. A la posición intermedia de la banda de rechazo se le suele 
llamar frecuencia de sintonía (ωs). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.17 
 
En la ecuación 1-47 se sugiere una función de transferencia ideal para este filtro. 
En el se ha supuesto una ganancia G en la banda de paso. 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ω−ωΠ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ω+ωΠ−=ω
BB
1G)(H ss (1-47)
 
Si se calcula la respuesta impulsiva de este filtro se obtiene 1-48. Por sencillez se 
ha supuesto G igual a 1. Si se dibuja la señal de 1-48 se observa que el sistema 
no es causal, y por tanto no es realizable físicamente. 
 
)tcos(t
2
BcsinB)t()t(h sω⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ππ
−δ= (1-48)
 
H(ω) 
+ωs +ωcs +ωci 
+ω 
B 
Filtro 
Paso 
Alto 
High 
Pass 
Filter 
 
 21
Si se supone un filtro con fase lineal se puede aproximar físicamente. Se pueden 
hacer las mismas consideraciones que en el caso anterior. 
 
La especificación de un filtro rechazo de banda puede realizarse como se muestra 
en la figura 1.18. 
 
 
Figura 1.18 
 
Filtro Pasa Todo. Se conoce con este nombre a la característica dada por 1-32, 
puede existir una componente de fase lineal dada por 1-33. El ancho de banda 
del filtro es infinito y no existe banda de rechazo. 
 
Ejercicio. Calcule la respuesta impulsiva del filtro pasa todo suponiendo: 
- el módulo de la función de transferencia es como en 1-32, y fase nula. 
- el módulo de la función de transferencia es como en 1-32, y fase como 1-33. 
 
 
1.10 Ruido 
 
Se entiende por ruido una señal aleatoria indeseada (figura 1.19). Como se puso 
de manifiesto en la figura 1.1 se concentrarán todas las fuentes de ruido en la 
entrada del receptor. Con el uso de teoremas de estadística se comprueba que 
cuando el número de fuentes tiende a infinito la suma tiende al modelo de Ruido 
Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.19 
 
 
 
 
 
n(t) 
t 
Filtro 
Rechazo 
de Banda 
Noth 
Filter 
 
 22
1.10.1 Ruido Blanco Gaussiano Aditivo 
 
El Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA), que llamaremos n(t), tiene un nivel de 
potencia constante con la frecuencia (figura 1.20). De ahí el nombre de “blanco”, 
por la analogía con la luz blanca que se compone de todos los colores. En inglés 
se denota como Additive White Gaussian Noise (AWGN). 
 
 
 
 
 
Figura 1.20 
 
Cuestión. ¿Cuánto vale la potencia media del RBGA? 
 
El RBGA tiene valor medio nulo, no existe atribución de potencia discreta en el 
origen. Se le llama “gaussiano” por que la función de densidad de probabilidad de 
este ruido viene dado por una curva gaussiana (1-49), donde σ es la desviación 
típica. 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
πσ
=
2
2
2
x
e
2
1)n(fdp (1-49)
 
Finalmente se le llama “aditivo” por que se suma a la señal deseada, como se dijo 
en un principio. 
 
 
1.10.2 Ruido coloreado 
 
Si se hace pasar el RBGA a través de un filtro con función de transferencia H(ω), 
a su salida se obtendrá otro ruido cuya DEP no será constante con la frecuencia. 
En la figura 1.21 se representa el ruido coloreado en la salida de un filtro paso 
bajo ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.21 
Potencia 
ω
Potencia 
ω
+ωc -ωc 
 23
 
La potencia del ruido coloreado es finita, y depende de: 
- el valor del nivel de potencia del ruido blanco presente en la entrada, 
- el ancho de banda del filtro y su ganancia. 
 
 
1.11 Relación Señal a Ruido. Ganancia de Proceso 
 
La calidad de un sistema de comunicación analógico, se mide en un determinado 
punto con la Relación Señal a Ruido (RSR). En inglés este parámetro se conoce 
con el nombre de Signal to Noise Relation (SNR). Se define como el cociente entre 
la potencia de señal en un punto (S) y la potencia de ruido que existe en ese 
mismo punto (N). La expresión se tiene en la ecuación 1-50. Se puede expresar en 
dB según la expresión 1-51. Es deseable que la RSR sea lo más elevada posible. 
 
N
SRSR = (1-50)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅=
N
Slog10)dB(RSR (1-51)
 
Cuestión. ¿En qué unidades se mide la RSR? 
 
En un receptor se puede distinguir entre la RSR en la entrada y en la salida, 
como se indica en la figura 1.22. Donde Se y Ss son las potencias de señal en la 
entrada y en la salida respectivamente; por otro lado, Ne y Ns son las potencias de 
ruido en la entrada y en la salida. 
 
 
 
 
Figura 1.22 
 
En un sistema con entrada y salida como es el caso de un receptor se puede 
definir la Ganancia de Proceso (GP) como el cociente entre la RSRs y la RSRe 
(expresión 1-52). Es deseable que la GP sea lo más elevada posible. 
 
( )
( )ee
ss
e
s
N/S
N/S
RSR
RSRGP == (1-52)
 
Cuestión. ¿En qué unidades se mide la GP? 
 
RECEPTOR RSRe=(S/N)e= Se/ Ne RSRs=(S/N)s= Ss/ Ns