LOGARITMOS ECUACIONES EXPONENCIALES

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¡BIENVENIDOS!
Hoy revisaremos el 
siguiente tema: 
ECUACIONES 
EXPONENCIALES Y 
LOGARITMOS
CONTENIDO DE LA CLASE
 LOGARITMO
 Definición
 Propiedades
 Ejercicios
 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
 Ejemplos
 Ejercicios
LOGARITMOS
Definición
El logaritmo en 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒂, que se denota 𝒍𝒐𝒈𝒂 , se define de la siguiente manera:
Sea 𝒂 𝜖 ℝ+ − 1 una constante llamada 𝒃𝒂𝒔𝒆. 
𝑎𝑏 = 𝑥
Un logaritmo es una "operación" o "función" matemática que al aplicarse a un numero, da como 
resultado la potencia de la base.
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑏
Restricciones: 𝑎 ∈ ℝ+ − 1 , 𝑥 𝜖 ℝ+ y 𝑏 𝜖 ℝ
Ejemplo
𝑙𝑜𝑔28 = 3 → 23 = 8
𝑙𝑜𝑔39 = 2 → 32 = 9
Logaritmo decimal. Son logaritmos que tienen base 10.
𝑙𝑜𝑔𝑁 = 𝑙𝑜𝑔10𝑁, se lee logaritmo decimal de N.
Notación
Ejemplos
𝑙𝑜𝑔1 = 0 , 𝑙𝑜𝑔10 = 1 , 𝑙𝑜𝑔100 = 2 , 𝑙𝑜𝑔1000 = 3
Logaritmo neperiano. Son logaritmos que tienen base 𝑒 ≈ 2,7182…
ln 𝑁 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑁, se lee logaritmo neperiano de N.
Notación
ln 1 = 0 , ln 𝑒 = 1 , ln 𝑒2 = 2 , ln 𝑒
1
2 =
1
2
Ejemplos
LOGARITMOS
PROPIEDADES DE LOGARITMOS
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
1. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑦) 𝐿𝑜𝑔3 15
2. 𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑥
𝑦
𝑙𝑜𝑔5
3
2
3. 𝑆𝑖 𝑧 𝜖 ℝ, 𝑙𝑜𝑔5 3
4
= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦
= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦
= 𝑧 . 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥
= 𝐿𝑜𝑔3(3 . 5) 𝐿𝑜𝑔3 3= + 𝑙𝑜𝑔3 5
= 𝑙𝑜𝑔5 3 − 𝑙𝑜𝑔5 2
= 4. 𝑙𝑜𝑔5 3𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥
𝑧
PROPIEDADES DE LOGARITMOS
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
4. 𝑆𝑖 𝑧, 𝑠 𝜖 ℝ
𝑙𝑜𝑔52 3
4 =
4
2
. 𝑙𝑜𝑔5 3
=
𝑧
𝑠
. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎𝑠 𝑥
𝑧
𝑠 ≠ 0
𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 3𝑙𝑜𝑔3 2 𝑙𝑜𝑔3 3
2; 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎
𝑥= 𝑥 = 𝑥 = 2 = 25. ;
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 𝑙𝑜𝑔5 5 𝑙𝑜𝑔5 1= 1 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0 = 1 = 06. ;
7. 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 𝑙𝑜𝑔2 3 =
1
𝑙𝑜𝑔3 2
=
1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐
PROPIEDADES DE LOGARITMOS
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
8. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 3 ⇔ 𝑥 = 3𝑥 = 𝑦⇔
𝑙𝑜𝑔5 3 =
𝑙𝑜𝑔6 3
𝑙𝑜𝑔6 5
9. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥
Cambio de base
=
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
10. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 . 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑦 𝑙𝑜𝑔5 3 . 𝑙𝑜𝑔3 7 = 𝑙𝑜𝑔5 7= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦
Solución:
a. 𝐿𝑜𝑔2
128
29
Ejemplos:
𝑙𝑜𝑔2
128
29
= 𝑙𝑜𝑔2
27
29
= 𝑙𝑜𝑔2 2
−2
= −2 . 𝑙𝑜𝑔2 2
= −2
Ejemplos:
Solución:
b. 𝐿𝑜𝑔5 125 125
1
7
𝐿𝑜𝑔5 125 125
1
7
= 𝐿𝑜𝑔5 53 × 53
1
7
= 𝐿𝑜𝑔5 53 × 53/2
1
7
= 𝐿𝑜𝑔5 59/2
1
7
= 𝐿𝑜𝑔55
9/14 =
9
14
Ejemplos:
Solución:
c. 𝐿𝑜𝑔3
6
27
3
81
= −
5
6
𝐿𝑜𝑔3
6
27
3
81
= 𝐿𝑜𝑔3
6
33
3
34
= 𝐿𝑜𝑔3
33/6
34/3
= 𝐿𝑜𝑔33
1
2
−
4
3
Solución:
1. Si 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎, 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑏 ; calcula 𝑙𝑜𝑔362
𝑙𝑜𝑔362
𝑙𝑜𝑔(62)2
𝑙𝑜𝑔64
4 . 𝑙𝑜𝑔6
4 . log(3 × 2)
4 . [ 𝑙𝑜𝑔3 + 𝑙𝑜𝑔2 ] = 4(𝑎 + 𝑏)
Solución:
2. Calcula el valor de E.
E = 3log3 25
log5 2
E = 3log3 25
log5 2
𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥
25log5 2 = (52)log5 2
= 5 2.log5 2
= 5log5 2
2
= 4
E = 3log3 4
E = 4
Solución:
3. Reduce E.
E = log7
3
7
49
log5 0,2 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥
E = log7
71/3
72
log5
1
5
= log7 7 −5/3 log5 5−1
= −
5
3
(−1) =
5
3
Solución:
4. Si se considera que 𝑙𝑜𝑔2 ≈ 0,3 ˄ 𝑙𝑜𝑔3 ≈ 0,48 , halla el valor aproximado de E.
E = 𝑙𝑜𝑔(230 × 340)
E = 𝑙𝑜𝑔(230 × 340)
= log 230 + log340
= 30 . 𝑙𝑜𝑔2 + 40 . 𝑙𝑜𝑔3
= 30 . 0,3 + 40 . (0,48)
= 9 + 4(4,8)
= 9 + 19,2 = 28,2
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, debemos tener en cuenta lo siguiente:
Si 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑎𝑦
𝑥 > 0,
⟺
Restricciones: 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
Caso 1
Ejemplo
Halla el valor de x en la siguiente ecuación:
log3 (2𝑥 ‒ 1) = 2
Solución Restricción: 
𝑥 >
1
2
log3 2𝑥 ‒ 1 = 2 ↔ 2𝑥 ‒ 1 = 32
2𝑥 − 1 = 9 , 2𝑥 = 10 , 𝑥 = 5
𝐶. 𝑆. = { 5 }
2𝑥 − 1 > 0
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, debemos tener en cuenta lo siguiente:
𝑥 = 𝑦Si 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦⟺
𝑥, 𝑦 > 0,Restricciones: 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
Caso 2
Ejemplo
Resuelve la siguiente ecuación:
log(𝑥2 ‒ 3) = log(2𝑥)
Solución
𝑥2 − 3 = 2𝑥
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 = 3 , 𝑥 = −1
Restricción:
𝑥2 − 3 > 0 ∧ 2𝑥 > 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) > 0 ∧ 𝑥 > 0
𝑥 𝜖 ] 3;+∞ [
𝐶. 𝑆. = { 3 }
− 3 30
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, debemos tener en cuenta lo siguiente:
Si 𝑎𝑥 = 𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦
𝑦 > 0,
→
Restricciones: 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
Caso 3
Ejemplo
Halla el valor de x en la siguiente ecuación: 2𝑥 = 3
Solución
Se aplica log en base 2. 
2𝑥 = 3
𝑙𝑜𝑔22
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔23
𝑥𝑙𝑜𝑔22 = 𝑙𝑜𝑔23
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔23
𝐶. 𝑆. = { 𝑙𝑜𝑔23 }
Solución:
1. Resuelve:
log 4𝑥 = 2 − log 𝑥
log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 = log𝑎(𝑏. 𝑐)
log 4𝑥 + log 𝑥 = 2
log 4𝑥 . 𝑥 = 2
log(4𝑥2) = 2
log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑏 = 𝑎𝑥
4𝑥2 = 102
𝑥2 = 25
𝑥2 − 25 = 0
0
(𝑥 − 5)(𝑥 + 5) = 0
0
𝑥 = −5 𝑥 = 5
𝑥 > 0
Solución:
2. Resuelve:
5 𝑥 = 7
5 𝑥 = 7
log5( 5
𝑥) = log5(7)
𝑥 = log5 7
𝑥 = log5 7
2
log𝑎 𝑎
𝑏 = 𝑏
Solución:
3. Resuelve:
42𝑥 − 2. 4𝑥 = 15
4𝑥 2 − 2. 4𝑥 − 15 = 0
𝑦2 − 2𝑦 − 15 = 0
log𝑎 𝑎
𝑏 = 𝑏
4𝑥 = 𝑦
𝑦 − 5 𝑦 + 3 = 0
𝑦 = −3
𝑦 = 5
→ 4𝑥 = −3
→ 4𝑥 = 5
log4 4
𝑥 = log4 5
𝑥 = log4 5
Solución:
4. Resuelve la siguiente ecuación:
ln 𝑥 − 3 2 = ln(4𝑥2)
ln 𝑥 − 3 2 = ln 2𝑥 2
𝑥 − 3 2 − 2𝑥 2 = 0
𝑥 − 3 − 2𝑥 𝑥 − 3 + 2𝑥 = 0
𝑥 = −3
𝑥 − 3 2 = 2𝑥 2
−𝑥 − 3 3𝑥 − 3 = 0
𝑥 + 3 𝑥 − 1 = 0 𝑥 = −1
Solución:
5. Resuelve:
1 + 2 log 𝑥 − log 𝑥 + 2 = 0
log 𝑥2 − log 𝑥 + 2 = −1
log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 = log𝑎
𝑏
𝑐
log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑏 = 𝑎𝑥
log
𝑥2
𝑥 + 2
= −1
𝑥2
𝑥 + 2
= 10−1
𝑥2
𝑥 + 2
=
1
10
10𝑥2 = 𝑥 + 2
Solución:
5. Resuelve:
1 + 2 log 𝑥 − log 𝑥 + 2 = 0
log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 = log𝑎
𝑏
𝑐
log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑏 = 𝑎𝑥
10𝑥2 = 𝑥 + 2
10𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
2𝑥 − 1 5𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −
2
5
𝑥 =
1
2
𝑥 > 0
Solución:
6. Resuelve:
3 log2 𝑥 + 2 log4 𝑥 + 4 log8 𝑥 = 32
log𝑎𝑝 𝑏 =
1
𝑝
log𝑎 𝑏
log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑏 = 𝑎𝑥
3 log2 𝑥 + 2 log22 𝑥 + 4 log23 𝑥 = 32
3 log2 𝑥 + 2
1
2
log2 𝑥 + 4
1
3
log2 𝑥 = 32
3 log2 𝑥 + log2 𝑥 +
4
3
log2 𝑥 = 32
16
3
log2 𝑥 = 32
log2 𝑥 = 6 𝑥 = 26 = 64
Solución:
7. Resuelve:
log 𝑥 = log 𝑥
log 𝑥 =
1
4
log 𝑥 2
log 𝑥 = log 𝑥1/2
log 𝑥 =
1
2
log 𝑥
log 𝑥
2
=
1
2
log 𝑥
2
4. log 𝑥 = log 𝑥 2
Solución:
7. Resuelve:
log 𝑥 = log 𝑥
0 = log 𝑥 2 − 4. log 𝑥
4. log 𝑥 = log 𝑥 2
0 = (log 𝑥)(log 𝑥 − 4)
log 𝑥 = 0 log 𝑥 = 4
𝑥 = 100
𝑥 = 1
𝑥 = 104
𝑥 = 1000 𝐶. 𝑆. = { 1; 1000 }
log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑏 = 𝑎𝑥