topologia texto

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Topolog´ıa general
[un primer curso]
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Topolog´ıa general
[un primer curso]
Gustavo N. Rubiano O.
Profesor titular
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogota´
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vi, 284 p. : 3 il. 00
ISBN 978-958-719-442-5
1. Topolog´ıa general
Gustavo N. Rubiano O.
Topolog´ıa general, 3a. edicio´n
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogota´
Facultad de Ciencias, 2010
Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.
c© Edicio´n en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Ortego´n
Universidad Nacional de Colombia.
Diagramacio´n y disen˜o interior en LATEX: Gustavo Rubiano
Tercera edicio´n, 2010
Impresio´n:
Editorial UN
Bogota´, D. C.
Colombia
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Contenido
Pro´logo IX
1. Conjuntos con topolog´ıa 1
1.1. Los reales —una inspiracio´n— . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) . . . . . . . . 8
1.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . 22
2. Espacios me´tricos 28
2.1. Me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1. Caracterizacio´n de los espacios euclidianos . . . . . 42
2.3. Topolog´ıa para una me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1. Me´tricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Bases y numerabilidad 57
3.1. 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Funciones —comunicaciones entre espacios— 64
4.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. La categor´ıa Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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vi CONTENIDO
5. Filtros, convergencia y continuidad 74
5.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.1. Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6. Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho– 89
6.1. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2. Invariantes topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7. Espacios de identificacio´n –cociente– 102
7.1. Topolog´ıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.1. Descomposicio´n cano´nica por una funcio´n . . . . . 105
8. La topolog´ıa producto 112
8.1. Definicio´n sinte´tica de producto entre conjuntos . . . . . . 112
8.2. La topolog´ıa producto –caso finito– . . . . . . . . . . . . . 113
8.3. La topolog´ıa producto —caso infinito— . . . . . . . . . . 115
8.4. Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5. La topolog´ıa producto —en los me´tricos— . . . . . . . . . 123
8.6. Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7. Topolog´ıas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.7.1. La topolog´ıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.7.2. La topolog´ıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9. Posicio´n de un punto respecto a un conjunto 133
9.1. Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1.1. Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.1.2. La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . 140
9.2. Puntos de acumulacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
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CONTENIDO vii
9.2.1. Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.3. Interior – exterior – frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4. Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.Compacidad 156
10.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . 163
10.2.1. Compacidad v´ıa cerrados . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2.2. Compacidad v´ıa filtros . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2.3. Compacidad v´ıa ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . 166
10.3. Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.4. Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.5. Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.6. Compacidad para me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.7. Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.8. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.8.1. Compactacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.Espacios me´tricos y sucesiones —completez— 196
11.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.1.1. Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.2. Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.3. Completez de un espacio me´trico . . . . . . . . . . . . . . 204
11.4. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.Los axiomas de separacio´n 210
12.1. T0, T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.2. Regulares, T3, Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.2.1. Inmersio´n en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
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viii CONTENIDO
12.3. Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . 227
12.5. Tietze o extensio´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.Conexidad 238
13.1. La conexidad como invariante topolo´gico . . . . . . . . . . 238
13.2. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.3. El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.4. Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.5. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Bibliograf´ıa 264
I´ndice alfabe´tico 266
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Pro´logo
El tema central de esta tercera edicio´n es presentar un texto que
sirva como gu´ıa para un primer curso formal en topolog´ıa general o de
conjuntos. Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate
de una nueva edicio´n y no de una simple reimpresio´n de la anterior.
La mayor´ıa de las herramientas y conceptos utilizados en el estudio
de la topolog´ıa se agrupan en dos categor´ıas: invariantes topolo´gicos y
construcciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.
En la parte de invariantes, el e´nfasis en los espacios 1-contable o es-
pacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios
para los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topolog´ıa,
justifica la introduccio´n del concepto de filtro como una adecuada no-
cio´n de convergencia, que resulte conveniente para describir la topolog´ıa
en espacios ma´s generales; de paso, este concepto nos proporciona una
manera co´moda para llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible en
cualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de con-
strucciones.
Nuevos cap´ıtulos, secciones, demostraciones, gra´ficos y referencias
histo´ricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar
de manera activa una de las a´reas ma´s prol´ıficas de la matema´tica y la
ciencia.
Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte del
autor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de varios
cla´sicos sobre el tema o la introduccio´n de algunos ejemplos nuevos.
Agradezco a la Facultad de Ciencias de la UniversidadNacional de
Colombia, Sede Bogota´, el darme ese tiempo extra que siempre necesi-
tamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.
Gustavo N. Rubiano O.
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x CONTENIDO
gnrubianoo@unal.edu.co
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1 Conjuntos con topolog´ıa
1.1. Los reales —una inspiracio´n—
No hay nada ma´s familiar a un estudiante de matema´ticas que el
conjunto R de los nu´meros reales y las funciones f : R −→ R. Si u´nica-
mente tuvie´ramos en cuenta la definicio´n usual de funcio´n de R en R,
es decir, una coleccio´n de pares ordenados (x, y) ∈ R × R donde cada
elemento de R es la primera componente de una y de solo una pareja
ordenada, estar´ıamos desperdiciando el concepto de intervalo que cono-
cemos para los nu´meros reales y, au´n ma´s, el hecho de que en R podemos
decir quie´nes son los vecinos de un punto x ∈ R.
En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un
ε > 0 son todos los y ∈ R tales que |x − y| < ε; es decir, el intervalo
(x−ε, x+ε) es la vecindad ba´sica de x con radio ε. Cuando a una funcio´n
de R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad
ba´sica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definicio´n ε, δ de
continuidad empleada en el ca´lculo.
Revisemos esta definicio´n de continuidad. La funcio´n f : R −→ R se
dice continua en el punto c ∈ R si:
“Para cada nu´mero positivo ε, existe un nu´mero positivo δ tal que
|f(x)− f(c)| < ε siempre que |x− c| < δ”.
Pero |f(x)−f(c)| < ε significa f(x) ∈ (f(c)−ε, f(c)+ε); as´ı mismo,
|x − c| < δ significa x ∈ (c − δ, c + δ); luego la definicio´n entre comillas
la podemos reescribir como
“Dado ε > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar δ > 0 tal que
si x ∈ (c− δ, c+ δ) entonces f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε)”.
Hablando en te´rminos de los intervalos abiertos como las vecindades
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2 Conjuntos con topolog´ıa
f(c)
c
2δ
2ε g(c)
c
Figura 1.1: La continuidad en R.
ba´sicas, esta definicio´n es:
“Dada una vecindad ba´sica de radio ε alrededor de f(c), podemos
encontrar una vecindad ba´sica de c y con radio δ tal que
si x ∈ (c− δ, c+ δ) entonces f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε)”.
Lo que de nuevo reescribimos como: “Dada una vecindad de f(c)
podemos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagen
por f de esta u´ltima se encuentra dentro de la vecindad de f(c)”.
Informalmente decimos que:
Un cambio ‘pequen˜o’ en c produce un cambio ‘pequen˜o’ en f(c).K
Hemos visto entonces que el concepto de continuidad en R esta´ liga-
do esencialmente a la definicio´n que podamos hacer de ‘vecindad’ para
un punto y la relacio´n entre las ima´genes de las vecindades. Luego, si
quisie´ramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos que
no sean nuestros nu´meros reales usuales, debemos remitirnos a obtener
de alguna manera —pero con sentido— el concepto de ‘vecindad’ para
estos conjuntos.
Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es unio´n
de intervalos abiertos —nuestras vecindades ba´sicas— es fa´cil verificar
que:
1. ∅ es abierto —la unio´n de una familia vac´ıa—.
2. R es abierto.
3. La unio´n de una coleccio´n de abiertos es un abierto.
4. La interseccio´n de un nu´mero finito de abiertos es un abierto.
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1.1 Los reales —una inspiracio´n— 3
Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definicio´n.
Definicio´n 1.1. Una topolog´ıa1 para un conjunto X es una familia
T = {Ui : i ∈ I}, Ui ⊆ X
tal que:
1. ∅ ∈ T, X ∈ T.
2.
⋂
i∈F Ui ∈ T para cada F subconjunto finito de I —F b I—.
3.
⋃
i∈J Ui ∈ T para cada J ⊆ I.
Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para
la unio´n arbitraria como para la interseccio´n finita. La condicio´n 1 es
consecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ı´ndices I = ∅.
Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X,T) es por defini-
cio´n un espacio topolo´gico. Brevemente lo notamos X cuando no es
necesario decir quie´n es T. Los elementos de X son los puntos del espa-
cio. Las condiciones en la definicio´n anterior se llaman los axiomas de
una estructura topolo´gica.
A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra 
espacio significara´ espacio topolo´gico. Los complementos de los conjuntos
abiertos se llaman conjuntos cerrados.
EJEMPLO 1.1
Ru. En R definimos una topolog´ıa T conocida como la usual (el espacio
es notado Ru) definiendo U ∈ T si U es unio´n de intervalos abiertos.
O de manera equivalente, U ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ U
existe un intervalo (a, b) que contiene a x y esta´ contenido en U .
1Se le acun˜a la invencio´n de la palabra topolog´ıa al matema´tico alema´n de ascen-
dencia checa Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestro
de escuela Mu¨ller.
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4 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.2
Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X que
sea linealmente —totalmente— ordenado por una relacio´n ≤. Definimos
T≤ la topolog´ıa del orden o la topolog´ıa intervalo sobre (X,≤)
tomando como abiertos todos los U ⊆ X que se pueden expresar como
unio´n de intervalos de la forma
1. (x, y) := {t : x < t < y} —intervalos abiertos acotados—.
2. (x,→) := {t : x < t} —colas a derecha abiertas—.
3. (←, y) := {t : t < y} —colas a izquierda abiertas—.
En el caso en que X no posea elementos ma´ximo y mı´nimo, basta con-
siderar tan solo los intervalos acotados (x, y) —¿por que´?—.
EJEMPLO 1.3
Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X —partes de X o
℘(X)—. Esta es la topolog´ıa discreta de X —permite que todo sea
abierto—. Es la topolog´ıa sobre X con la mayor cantidad posible de
abiertos.
Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T =
{∅, X}, conocida como la topolog´ıa grosera de X —pra´cticamente no
permite la presencia de abiertos—. Es la topolog´ıa con la menor cantidad
posible de abiertos.
No´tese que toda topolog´ıa T para X se encuentra entre la topolog´ıa
grosera y la topolog´ıa discreta, i. e., {∅, X} ⊆ T ⊆ 2X .
EJEMPLO 1.4
Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos
la topolog´ıa punto incluido Ip como U ∈ Ip si p ∈ U , o, U = ∅.
La definicio´n de esta topolog´ıa se puede extender a cualquier A ⊆ X y
la notamos como IA.
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1.1 Los reales —una inspiracio´n— 5
EJEMPLO 1.5
Extensio´n cerrada de (X,T). La anterior topolog´ıa permite la siguiente
generalizacio´n. Dado un espacio (X,T) y p /∈ X, definimos la extensio´n
X∗ = X ∪ {p} y T∗ = {V ∪ {p} : V ∈ T} ∪ {∅}. (X∗,T∗) es un espacio y
los cerrados de X∗ coinciden con los de X.
El ejemplo 1.4 es la extensio´n Y ∗ para el caso (Y = X − {p}, 2Y ).
EJEMPLO 1.6
Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos
la topolog´ıa punto excluido Ep como U ∈ Ep si U = X, o, p /∈ U .
EJEMPLO 1.7
Sierpinski. En X = {0, 1} construimos todas las posibles topolog´ıas:
1. J1 = {∅, X},
2. J2 = {∅, X, {0}},
3. J3 = {∅, X, {1}},
4. J4 = {∅, X, {0}, {1}, {0, 1}}.
•
•
•
•
J2
J1
J3
J4
El diagrama muestra co´mo es la contenencia entre estas cuatro topolog´ıas,
as´ı que J2 y J3 no son comparables. J2 = {∅, X, {0}} se conoce como la
topolog´ıa de Sierpinski2. Es el espacio ma´s pequen˜o que no es trivial
ni discreto.
2En honor al matema´tico polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920,
Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz,
fundaron una influyente revista matema´tica, Fundamenta Mathematica, especializada
en trabajos sobre teor´ıa de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabajo´ sobre
todo en teor´ıa de conjuntos, pero tambie´n en topolog´ıa de conjuntos y funciones de
una variable real. Tambie´n trabajo´ en lo que se conoce actualmente como lacurva de
Sierpinski.
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6 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.8
Complementos finitosa. Dado un conjunto X, definimos la topolog´ıa
(T, cofinitos) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es fini-
to, o U = ∅. En este ejemplo —como en cada ejemplo donde los abiertos
se definan en te´rminos de cardinalidad— es interesante tener en cuen-
ta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o
infinito no contable.
aTambie´n conocida como la topolog´ıa de Zariski en honor al matema´tico bielorruso
Oscar Zariski (1899-1986).
EJEMPLO 1.9
Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topolo-
g´ıa (T, coenumerables) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es
enumerable o contable —finito o infinito—, adema´s del ∅, por supuesto.
EJEMPLO 1.10
Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. Definimos
U ∈ Eωp si U c es finito, o p /∈ U .
La coleccio´n Top(X) de todas las topolog´ıas sobre un conjunto X es un
conjunto parcialmente ordenado por la relacio´n de inclusio´n: T1 ≤ T2
si T1 ⊆ T2, caso en el cual decimos que T2 es ma´s fina que T1. Por
tanto, sobre Top(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos
relativos a conjuntos ordenados.
Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el
conjunto de topolog´ıas definibles sobre X. Una pregunta natural y for-
mulada desde el inicio de la topolog´ıa es: ¿cua´ntas topolog´ıas existen
sobre X? o ¿quie´n es el cardinal |T(n)|? La pregunta es dif´ıcil de con-
testar y por ello se trata de un problema abierto; ma´s au´n, para este
problema de conteo no existe —a la fecha— ninguna fo´rmula cerrada ni
recursiva que de´ una solucio´n. Tampoco existe un algoritmo eficiente de
computacio´n que calcule el total de T(n) para cada n ∈ N.
Para valores pequen˜os de n el ca´lculo de |T(n)| puede hacerse a mano;
por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimiento
de T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, ex-
isten 261492535743634374805066126901117203 posibles topolog´ıas para
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1.1 Los reales —una inspiracio´n— 7
n Nu´mero de topolog´ıas en T(n)
1 1
2 4
3 29
4 355
5 6.942
6 209.527
7 9.535.241
8 642.779.354
9 63.260.289.423
10 8.977.053.873.043
11 1816846038736192
12 519355571065774021
13 207881393656668953041
14 115617051977054267807460
15 88736269118586244492485121
16 93411113411710039565210494095
17 134137950093337880672321868725846
18 261492535743634374805066126901117203
Cuadro 1.1: Nu´mero de topolog´ıas para un conjunto de n elementos.
un conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el
mayor para el cual el nu´mero de topolog´ıas es conocido.
Ejercicios 1.1
1. ¿Co´mo son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteri-
ores?
2. Construya todas las topolog´ıas para X = {a, b, c}.
3. Muestre que, para un conjunto X, la interseccio´n de topolog´ıas
sobre X es de nuevo una topolog´ıa.
4. Muestre que la unio´n de dos topolog´ıas sobre un conjunto X no
necesariamente es una topolog´ıa.
5. En cada uno de los ejemplos dados en esta seccio´n, revise la per-
tinencia de la cardinalidad del conjunto X.
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8 Conjuntos con topolog´ıa
•• • •• • •• •
•• • •• • •• •
•• •
6. Muestre que (Top(X),⊆) es un ret´ıculo completo. En particular,
para el caso de dos topolog´ıas T, I el sup ∨{T, I} esta´ formado por
todas las posibles uniones de conjuntos de la forma
{U ∩ V : U ∈ T, V ∈ I}.
7. Revise el ejemplo 1.10 en te´rminos del ejercicio anterior.
1.2. Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas)
Entre los abiertos de un espacio, algunas veces —casi siempre— es im-
portante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o de-
scriben a los dema´s, i. e., toda la estructura topolo´gica puede ser recu-
perada a partir de una parte de ella.
Definicio´n 1.2. Si (X,T) es un espacio, una base para T es una sub-
familia B ⊆ T con la propiedad que: dados un abierto U y un punto
x ∈ U , existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U .
Cada abierto en T es unio´n de elementos en B.
EJEMPLO 1.11
Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topolog´ıa en
Ru. Revise la definicio´n de la topolog´ıa del orden.
Por supuesto, para un espacio (X,T), T en s´ı misma es una base de
manera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades
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1.2 Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) 9
ma´s importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy
grande —espacio 2–contable—.
¿Co´mo reconocer que una coleccio´n B de subconjuntos de X pueda
ser base para alguna topolog´ıa? K
Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B ⊆ ℘(X) es base de una topolog´ıa
para X si y solo si se cumple que
1. X =
⋃{B : B ∈ B}, i. e., B es un cubrimiento de X.
2. Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B con
x ∈ B ⊆ U ∩ V . Esto es, U ∩ V es unio´n de elementos de B para
todo par U, V de B.
No´tese que, en particular, un cubrimiento B ⊆ ℘(X) cerrado para
intersecciones finitas es una base.
Demostracio´n. ⇒) 1) Supongamos que B es base para una topolog´ıa T
de X. Veamos que X =
⋃{B : B ∈ B}; en efecto, dado x ∈ X existe
U ∈ T tal que x ∈ U , y como B es base, existe B con x ∈ B ⊆ U —la
otra inclusio´n es obvia—. 2) Si U, V ∈ B entonces, dado x ∈ U ∩ V , por
ser B una base, existe B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V —U, V esta´n en T, y
por tanto U ∩ V ∈ T—.
⇐) Construyamos una topolog´ıa T para la cual B es una base. Defin-
imos U ∈ T si U es unio´n de elementos de B. Por supuesto tanto X como
∅ esta´n en T —∅ por ser la unio´n de la familia vac´ıa—. Si tomamos la
unio´n de una familia en T, ella finalmente es unio´n de elementos de B.
Ahora veamos que B es base de T. Si U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V , por la
definicio´n de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidos en
U y V respectivamente; por la condicio´n 2 sobre B, existe B tal que
x ∈ B ⊆ (BU ∩BV ) ⊆ U ∩ V .
La topolog´ıa dada por el teorema anterior se conoce como la topolog´ıa
generada por la base B y la notamos T = 〈B〉3.
EJEMPLO 1.12
Si X es un conjunto y p ∈ X, una base de la topolog´ıa Ip del punto
incluido es B = {{x, p} : x ∈ X}.
3Una misma topolog´ıa puede ser generada por bases diferentes.
G
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10 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.13
Particio´n. Dada una particio´n R sobre un conjunto X —o lo que es igual
una relacio´n de equivalencia R—, la coleccio´n R junto con el conjunto ∅ es
una base para una topolog´ıa sobre X. Un subconjunto de X es entonces
abierto si es unio´n de subconjuntos pertenecientes a la particio´n.
EJEMPLO 1.14
L´ınea de Khalinsky. En Z definimos la base
B = {{2n− 1, 2n, 2n+ 1} : n ∈ Z}
⋃
{{2n+ 1} : n ∈ Z}.
En la topolog´ıa generada, cada entero impar es abierto y cada entero
par es cerrado.
EJEMPLO 1.15
Topolog´ıa a derecha. Para un conjunto (X,≤) parcialmente ordenado, el
conjunto de las colas a derecha y cerradas
x ↑ := [x,→) := {t : x ≤ t},
es una base para una topolog´ıa ya que
[x,→) ∩ [y,→) =
⋃
z
[z,→) para z ∈ [x,→) ∩ [y,→).
La topolog´ıa generada se nota Td y se conoce como la topolog´ıa a
derecha —dualmente existe la topolog´ıa a izquierda—.
La anterior topolog´ıa es saturada o de Alexandroff4 en el sentido
que la interseccio´n arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. No´tese
que las colas abiertas son tambie´n abiertos para esta topolog´ıa.
(a,→) =
⋃
b>a
[b,→).
4En general una topolog´ıa se dice de Alexandroff o A–topolog´ıa si las intersec-
ciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadas
inicialmente por P. S. Alexandroff en 1937. No´tese que toda topolog´ıa finita es de
Alexandroff.
G
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1.2 Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) 11
EJEMPLO 1.16
Una topolog´ıa puede tenerdiferentes bases. En R2 definamos dos bases
B1,B2 que nos conducen a una misma topolog´ıa: la usual.
B1: U ∈ B1 si U = {(x, y) :
(
(x− u)2 + (y − v)2)1/2 < ε} para algu´n
ε > 0 y algu´n (u, v) en R2. U se acostumbra denotar como Bε((u, v))
—U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio ε—.
B2: V ∈ B2 si V = {(x, y) : |x − u| + |y − v| < ε} para algu´n ε > 0 y
algu´n (u, v) en R2 —V es el interior de un rombo en R2 con centro en
(u, v)—.
Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como unio´n de
elementos de B1, lo puedo expresar tambie´ncomo unio´n de elementos de 
B2, con lo cual las dos topolog´ıas generadas coinciden.
EJEMPLO 1.17
De manera ma´s general, en Rn definimos una base B de la manera si-
guiente:
B = {Bε(x) : ε > 0, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn}
donde,
Bε(x) =
(y1, . . . , yn) ∈ Rn
∣∣∣∣
(
n∑
i=1
(xi − yi)2
)1/2
< ε
 .
Bε(x) es la bola abierta de centro en x con radio ε. La topolog´ıa gen-
erada por esta base se conoce como topolog´ıa usual de Rn y notamos
Rnu.
No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamente
estas bases satisfacen la condicio´n para serlo, y hacer los gra´ficos respec-
tivos para las bolas abiertas en Ru y R2u.
G
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12 Conjuntos con topolog´ıa
Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias de
partes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser base
para alguna topolog´ıa. Cuando dos bases generen una misma topolog´ıa
las vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de ‘igualdad’
acomodado por nosotros para nuestros intereses. En otras palabras,
definimos una relacio´n de equivalencia y lo que llamamos equivalente
es esa ‘igualdad’ acomodada.
Definicio´n 1.4. Sean X un conjunto y B1, B2 dos bases como en la
definicio´n 1.2. Decimos que B1 ≡ B2 —son dos bases equivalentes—
si las topolog´ıas generadas son iguales, i. e., 〈B1〉 = 〈B2〉.
Proposicio´n 1.5. B1 ≡ B2 si y solo si dados B1 ∈ B1 y x ∈ B1 existe
B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1, con lo cual 〈B1〉 ⊆ 〈B2〉 y viceversa.
Demostracio´n. Ejercicio.
El lector debe verificar que esta relacio´n es de equivalencia sobre el
conjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo. As´ı que,
dada una topolog´ıa sobre X podemos escoger, de la clase de equivalencia
que representa esta topolog´ıa, el elemento base que mejor se acomode a
nuestro intere´s —cano´nico—.
Dado un cubrimientoD de X, es posible crear la menor topolog´ıa sobre
X que tenga entre sus abiertos la coleccio´n D. Para ello, creamos a
partir de esta coleccio´n una base y luego generamos la topolog´ıa.K
Teorema 1.6. Dado un cubrimiento D de X, existe una u´nica topolog´ıa
T para la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topolog´ıa
H que contenga a D es ma´s fina que T, esto es, T ⊆ H.
Demostracio´n. Definimos la coleccio´n B como el conjunto de todas las
intersecciones finitas de elementos de D, es decir B ∈ B si B = ⋂ni=1Di
para Di ∈ D; B es una base de topolog´ıa y D ⊆ B.
Sea T = 〈B〉. En otras palabras, un elemento U de T es aquel que
podemos expresar como una reunio´n de intersecciones finitas de ele-
mentos de D. Si H es una topolog´ıa para X tal que D ⊆ H , es claro
que todo elemento de T tambie´n es elemento de H por la definicio´n de
topolog´ıa.
En general definimos una subbase de la manera siguiente.
G
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1.2 Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) 13
Definicio´n 1.7. Sea (X,T) un espacio. Una subbase para la topolog´ıa
T es una subcoleccio´n D ⊆ T con la propiedad que la familia formada
por las intersecciones finitas de elementos de D es una base para T.
EJEMPLO 1.18
Los intervalos de la forma (a,→), (←, b) con a, b ∈ R forman una subbase
para la topolog´ıa usual. Generalice a la topolog´ıa del orden.
EJEMPLO 1.19
Para un conjunto X la coleccio´n D = {X−{x} : x ∈ X} es una subbase
para la topolog´ıa de los cofinitos.
Ejercicios 1.2
1. (R2, verticales). Por cada x ∈ R sea Bx = {(x, y) : y ∈ R}.
Muestre que B = {Bx : x ∈ R} es base de una topolog´ıa para
R2 ¿Co´mo son los abiertos?
2. (R2, triangulares). Dados a, b, c ∈ R, con a > 0, definimos la
regio´n comprendida entre dos rectas
Da,b,c = {(x, y) : y ≥ ax+ b y y ≥ −ax+ c} ⊆ R2.
Sea D = {Da,b,c : a > 0, b, c ∈ R}. D es una coleccio´n de regiones
triangulares infinitas. Muestre que D es base para una topolog´ıa.
3. Cuando tenemos un conjunto (X,≤) totalmente ordenado y sin
elementos ma´ximo ni mı´nimo, es posible definir otras topolog´ıas
diferentes de la usual para el orden. Consideremos las siguientes
familias de subconjuntos y verifiquemos que efectivamente se trata
de bases para nuevas topolog´ıas:
a) Bd = {x ↑= [x,→) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Td de las
colas a derecha y cerradas, o topolog´ıa a derecha (ver ejemplo
1.15).
b) Bi = {x ↓= (←, x] : x ∈ X} genera la topolog´ıa Ti de las
colas a izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, esta
topolog´ıa es de Alexandroff. Tambie´n se dice que la topolog´ıa
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14 Conjuntos con topolog´ıa
b •
c •
Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2.
es generada por los inferiores x ↓ de cada elemento. En estos
dos casos no es necesario que el orden sea total, basta tener
una relacio´n de orden parcial en X.
Bi tambie´n genera los intervalos de la forma
(←, a) =
⋃
b<a
(←, b],
con lo cual es inmediato ver que Tai ≤ Ti.
c) Bad = {(x,→) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Tad de las colas a
derecha y abiertas. En este caso es necesaria la no existencia
del mı´nimo.
d) Bai = {(←, x) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Tai de las colas
a izquierda y abiertas. Necesitamos de la no existencia de
ma´ximos.
e) B+ = {[x, y) : x, y ∈ X} genera la topolog´ıa T+ de los in-
tervalos semiabiertos a derecha. En el caso X = R, T+ es
G
. R
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1.2 Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) 15
llamada topolog´ıa de Sorgenfrey o del l´ımite inferior5.
B+ genera: (a, b) =
⋃
t>a
[t, b),
[a,→) =
⋃
a<b
[a, b),
(a,→) =
⋃
a<b
(a, b),
(←, b) =
⋃
a<b
(a, b).
5Introducida por R. H. Sorgenfrey (1915-1996) en 1947 para los nu´meros reales,
es una fuente de u´tiles contraejemplos.
G
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16 Conjuntos con topolog´ıa
f ) B− = {(x, y] : x, y ∈ X} genera la topolog´ıa T− de los inter-
valos semiabiertos a izquierda.
B− genera: (a, b) =
⋃
x<b
(a, x],
(←, a] =
⋃
b<a
(b, a],
(a,→) =
⋃
b<a
(a, b),
(←, b) =
⋃
a<b
(a, b).
Verifique el diagrama 1.3, el cual muestra la relacio´n de con-
tenencia entre estas topolog´ıas y dice quie´nes no son compa-
rables.
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Ji
J−2X
J0
Jai Jad
J+
Jd
Figura 1.3: Contenencia entre topolog´ıas.
4. Sea B ⊆ ℘(X) un cubrimiento de X cerrado para las intersecciones
finitas —propiedad de la interseccio´n finita PIF—. Muestre que B
es base para una topolog´ıa en X.
5. Dado el intervalo unidad I = [0, 1] ⊆ R, consideremos el conjunto
X = Mor(I, I) = {f | f : I −→ I}.
Por cada S ⊆ I, definimos
BS = {f ∈ X : f(x) = 0, para cada x ∈ S}.
La coleccio´n B = {BS}S⊆I es base para una topolog´ıa en X.
G
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1.3 Vecindades 17
1.3. Vecindades
En la motivacio´n de este cap´ıtulo utilizamos el te´rmino ‘vecindad’ en
el contexto de los nu´meros reales; hagamos la generalizacio´n a espacios
topolo´gicos de acuerdo con la siguiente definicio´n.
Definicio´n 1.8. Sea (X,T) un espacio. Decimos que V ⊆ X es vecin-
dad6 de x ∈ X —la notamos Vx— si existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx.
Al conjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x).
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Vx
x•
y
U
•
Figura 1.4: Propiedad 4 de la axiomatizacio´n de vecindad.
Proposicio´n 1.9. Sean (X, T) un espacio y x ∈ X. El sistema V(x)
de vecindades de x ∈ X posee las siguientes propiedades:
1. Si V ∈ V(x) entonces x ∈ V .
2. Si V ∈ V(x) y V ⊆W entonces W ∈ V(x).
3. Si V,W ∈ V(x) entonces V ∩W ∈ V(x).
4. Para cada V ∈ V(x) existe U ∈ V(x) con U ⊆ V tal que V ∈ V(y)
para todo y ∈ U .
Demostracio´n. La demostracio´n se deja como ejercicio.
6Fue el matema´tico alema´n Felix Hausdorff quien en 1.914 introdujo la nocio´n
de espacio topolo´gico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co., 1914,
partiendo de una axiomatizacio´n del concepto de vecindad. Tambie´n trabajo´ en teor´ıa
de conjuntos e introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado.
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18 Conjuntos con topolog´ıa
En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es un
filtro para cada x ∈ X —el concepto de filtro se define en el cap´ıtulo 5,
pa´g. 81—. Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que
Una vecindad de un punto x es tambie´n vecindad de los puntos sufi-
cientemente cercanos a x.
El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomati-
zacio´n de Hausdorff con la dada por N. Bourbaki7 un cuarto de siglo
ma´s tarde, la cual es nuestra definicio´n inicial de topolog´ıa.
Felix Hausdorff
Teorema 1.10. Sea X un conjunto. Supongamos que a cada x ∈ X se
le asigna un conjunto V(x) no vac´ıo de subconjuntos de X que cumple
1, 2, 3 y 4 de la proposicio´n 1.9; entonces existe una u´nica topolog´ıa T
para X tal que para cada x ∈ X la coleccio´n V(x) es precisamente el
sistema de vecindades de x en el espacio (X,T).
Demostracio´n. Definimos U ∈ T si para cada x ∈ U se tiene que U ∈
V(x) —U es vecindad de cada uno de sus puntos—. Veamos que en efecto
T es una topolog´ıa. Por vacuidad, vac´ıo esta´ en T. Por hipo´tesis, V(x) es
7Un grupo de matema´ticos, en su mayor´ıa franceses, quienes bajo este seudo´nimo
comenzaron a reunirse en 1930 con la intencio´n de escribir de una manera unificada
la matema´tica existente.
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1.3 Vecindades 19
diferente de vac´ıo para x ∈ X, y por tanto X ∈ V(x). Dado x ∈ U ∩ V
donde U, V ∈ T, tenemos U ∩ V ∈ V(x) ya que U, V ∈ V(x). Dada {Ui},
(i ∈ I) una familia en T y x ∈ U = ⋃{Ui : i ∈ I}, existe i ∈ I tal que
x ∈ Ui, y como Ui ∈ V(x), por la propiedad 2 tenemos U ∈ V(x).
Veamos ahora que V(x) =W(x) donde W(x) es el sistema de vecin-
dades de x en (X,T). Si Vx es una vecindad de x, existe U ∈ T tal que
x ∈ U ⊆ Vx. Como U ∈ T, significa que U ∈ V(x) y as´ı Vx ∈ V(x).
Mostremos finalmente que V(x) ⊆ W(x). Dada V ∈ V(x), definimos
U = {y ∈ V : V ∈ V(y)}; claramente x ∈ U ⊆ V , as´ı que solo resta
mirar que U ∈ T. Por definicio´n, si y ∈ U entonces V ∈ V(y) y por
4 existe W en V(y) tal que V ∈ V(z) para cada z ∈ W , con lo cual
W ⊆ U , y por 2, U esta´ en V(y), pero como esto se tiene para cada
y ∈ U , entonces U ∈ T por la definicio´n de T.
Es un ejercicio verificar que la topolog´ıa T es u´nica.
Definicio´n 1.11. En un espacio (X,T) un SFV sistema fundamental
de vecindades para un punto x ∈ X, es una familia W = {Wi}i
de vecindades de x, tal que para cada vecindad Vx existe una Wi con
Wi ⊆ Vx.
Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentro
de cada vecindad.
Definicio´n 1.12. Un espacio (X,T) se dice T1 si dado cualquier par de
puntos x, y ∈ X existen Vx, Vy tales que y /∈ Vx y x /∈ Vy.
Definicio´n 1.13. Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff,
T2, o separado, si dado cualquier par de puntos x, y ∈ X existen vecin-
dades Vx, Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Es decir, podemos separar los puntos por
medio de vecindades disyuntas.
El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho de
haber sido F. Hausdorff8 quie´n la introdujo como un axioma adicional
a los de la proposicio´n 1.9.
8F. Hausdorff (1868-1962) crecio´ en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduo´ de
la Universidad de Leipzig y fue docente all´ı hasta 1910. Comenzo´ su carrera de genial
matema´tico como un astro´nomo. Por su inmenso aporte es considerado como uno de
los padres de la topolog´ıa. Tambie´n escribio´ poes´ıa y filosof´ıa. En 1942 prefirio´ cometer
suicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentracio´n
nazi.
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20 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.20
En (X, discreta) el conjunto W(x) = {{x}} es un SFV de x. En Ru el
conjunto W(x) = {(x− 1n , x+ 1n)}n∈N es un SFV de x ∈ R.
Ejercicios 1.3
1. Muestre que en un espacio X, U ⊆ X es abierto si y solo si es
vecindad de cada uno de sus puntos.
2. Muestre que en un espacio T1 los conjuntos unitarios {x} son cer-
rados.
3. ¿Cua´les espacios de los que hemos definido son T1?
4. ¿Cua´les de los espacios topolo´gicos que hemos definido son Haus-
dorff?
5. B = {(a, b) : b− a ≤ 1} es base para la topolog´ıa usual de R.
6. ¿En (R2, verticales) quie´nes forman a V((0, 0))?
7. Muestre la unicidad en el teorema 1.10.
8. Sea (X,T) un espacio. Muestre que la topolog´ıa T es de Alexandroff
o A–topolog´ıa si y solo si cada punto x ∈ X posee una vecindad
Ax mı´nima, i. e., Ax esta´ contenida en cualquier otra Vx.
9. Muestre que toda topolog´ıa finita es de Alexandroff.
10. Lexicogra´fico. En R2 definamos el orden lexicogra´fico de la man-
erasiguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = c
tenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) en
este espacio, resultan ser recta´ngulos infinitos hacia arriba y hacia
abajo, con parte de los lados verticales incluidos, segu´n sea el caso
(ver figura).
Luego un abierto para la topolog´ıa generada sera´ todo lo que logre-
mos expresar como unio´n de estos elementos ba´sicos. No´tese que
esta definicio´n puede extenderse a Rn y coincide con la manera
como ordenamos un diccionario.
G
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1.3 Vecindades 21
a c
b
d
a) Dibuje al menos tres vecindades del
punto (0, 0) para la topolog´ıa in-
ducida por este orden.
b) ¿Co´mo es geome´tricamente el in-
tervalo ((0, 0), (2, 3))?
c) ¿Que´ relacio´n existe entre la topo-
log´ıa usual y la topolog´ıa de orden
asociada al lexicogra´fico?
d) ¿Co´mo puede usted generalizar es-
ta topolog´ıa a cualquier conjunto
ordenado?
e) Trate de observar co´mo es esta topo-
log´ıa si el conjunto X es el cuadra-
do unidad I × I.
11. Muestre que B = {((a, b), (a, c)) : b < c} es tambie´n una base para
la topolog´ıa del orden lexicogra´fico.
12. La topolog´ıa del orden para N es la topolog´ıa discreta.
13. La topolog´ıa del orden para N×N con el orden lexicogra´fico no es
la topolog´ıa discreta.
14. La topolog´ıa del orden para Z× Z con el orden lexicogra´fico es la
topolog´ıa discreta.
15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos para
cada x ∈ X un conjunto V(x). ¿En que´ casos la coleccio´n de las
V(x) constituye un sistema de vecindades? ¿Cua´l es la topolog´ıa
generada por este sistema?
a) V(x) = {A ⊆ X : x ∈ A}.
b) V(x) = {{x}}.
c) V(x) = {X}.
d) Sea X = N ∪ {ω} donde ω /∈ N. Por cada n ∈ N definamos
1) V(n) = {A ⊆ X : n ∈ A},
2) V(ω) = {A ⊆ X : ω ∈ A y Ac es finito}.
e) Sea X = (N×N) ∪ {ω} donde ω /∈ N×N. Por cada (m,n) ∈
N× N definamos:
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22 Conjuntos con topolog´ıa
1) V((m,n)) = {A ⊆ X : (m,n) ∈ A},
2) V(ω) = {A ⊆ X : ω ∈ A, donde A contiene casi todos los
puntos de casi todas las filas}.
En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitos
nu´meros, y solo a un nu´mero finito de filas le pueden faltar
infinitos nu´meros. La fila k-e´sima es por definicio´n el subcon-
junto N×{k} la cual notamos Nk. A ∈ V(ω) si ω ∈ A y existe
m ∈ N tal que Nk −A es finito para todo m < k.
La topolog´ıa generada es la de Arens-Fort9: un abierto con-
tiene a ω si u´nicamente un nu´mero finito de filas contienen
‘huecos significativos’. Revise el ejemplo 1.10.
1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio
Esta seccio´n presenta una ‘ma´quina’ de construccio´n para nuevos
espacios a partir de espacios ya conocidos.
Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X, A hereda una estructura topolo´gi-
ca TA de manera natural con respecto a T.
Proposicio´n 1.14. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. La coleccio´n
TA := {U ∩A | U ∈ T}
es una topolog´ıa sobre A.
TA se llama la topolog´ıa de subespacio inducida sobre A o la
topolog´ıa asociada al subespacio A.
Demostracio´n. Claramente ∅ = ∅∩A y A = X∩A son elementos de TA.
Si M,N ∈ TA entonces M = U ∩ A, N = V ∩ A para U, V ∈ T, con lo
cual (U ∩A)∩ (V ∩A) = (U ∩ V )∩A, y como U ∩ V ∈ T, tenemos que
M ∩ N ∈ TA. Por induccio´n esto es va´lido para cualquier interseccio´n
finita de elementos de TA.
Si {Mi}, (i ∈ I) es una familia de elementos de TA, cada Mi = Vi∩A
para un Vi ∈ T. As´ı que M = ∪i∈IMi = ∪i∈I(Vi ∩A) = A ∩ (∪i∈IVi), y
como ∪i∈IVi ∈ T, tenemos M ∈ TA.
9Marion K. Fort, Jr. (1921-1964) matema´tico estadounidense. Los espacios Fort y
Arens-Fort son llamados en su honor.
G
. R
UB
IA
NO
1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 23
Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A.
EJEMPLO 1.21
1. Sea X = R2u. Entonces cualquier subconjunto del plano puede ser
visto como un espacio topolo´gico. En particular las figuras de la
geometr´ıa, como circunferencias, discos, pol´ıgonos, etc., pueden ser
ahora vistas como espacios.
Examinemos el caso de la recta real R = {(x, 0) : x ∈ R} ⊆ R2.
La topolog´ıa de subespacio es la topolog´ıa usual de R. En efecto,
dado M abierto de R, M = R ∩ V para V abierto de R2. Luego
V = ∪i∈IBi, donde cada Bi es una bola abierta; entonces
M = R ∩ (∪i∈IBi) = ∪i∈I(R ∩Bi)
y cada R ∩ Bi es un intervalo abierto o el ∅, luego M es reunio´n
de intervalos abiertos, i. e., M es abierto de la topolog´ıa usual.
2. Lo mismo sucede en R3 y Rn con la topolog´ıa usual, cuando consid-
eramos alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, al dar topolog´ıa
a las esferas Sn.
La siguiente proposicio´n dice co´mo obtener una base para la topolog´ıa
inducida sobre A ⊆ X a partir de una base para la topolog´ıa en X.
Proposicio´n 1.15. Si B = {Bi}i∈I es una base para (X,T) entonces
D = {Bi ∩A : Bi ∈ B} es una base de TA.
Demostracio´n. Veamos que tenemos un cubrimiento. Si x ∈ A entonces
x ∈ Bi para algu´n i y por tanto x ∈ Bi ∩ A. De otra parte, si x ∈
(Bi ∩A) ∩ (Bj ∩A), existe Bk ⊆ Bi ∩Bj lo que implica x ∈ (Bk ∩A) ⊆
(Bi ∩A) ∩ (Bj ∩A).
G
. R
UB
IA
NO
24 Conjuntos con topolog´ıa
Un subconjunto abierto en (A,TA) no tiene por que´ serlo en (X,T).
Un subespacio A ⊆ X cuya topolog´ıa de subespacio es la discreta se
llama subespacio discreto de X. Esto es equivalente a decir que para
cada punto a ∈ A existe un subconjunto abierto en X cuya interseccio´n
con A es solo el punto a.
EJEMPLO 1.22
En Ru, la topolog´ıa inducida sobre los enteros es la discreta; {n} es
ahora abierto en Z, pero no lo era en R. Por tanto, debemos tener cierta
discrecio´n cuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios o
subespacios.
As´ı, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera que
tambie´n lo es ya que entre cada par de racionales existe un nu´mero
irracional; sin embargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplo
de un espacio con propiedades interesantes.
EJEMPLO 1.23
Sea A = [0, 2] ∪ [3, 7) subconjunto de R y consideremos la topolog´ıa
inducida de Ru. El subconjunto [3, 7) es abierto en TA pero no lo es en
Ru.
EJEMPLO 1.24
Si B = { 1n : n ≥ 1}, la topolog´ıa inducida de Ru es la discreta. Si
agregamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta.
EJEMPLO 1.25
En R3u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig.
1.6). Dados a > b, dos reales positivos, T esta´ formado por todas las
triplas de la forma
((a+ b · cosφ)cosθ, (a+ b · cosφ)senθ, b · senφ)
cuando φ, θ var´ıan en el intervalo [0, 2pi].
No´tese que la parte
(a+ b · cosφ, b · senφ) = (x(φ), y(φ))
G
. R
UB
IA
NO
1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 25
parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida lo
que hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de la
ecuacio´n (x(φ)cosθ, x(φ)senθ, y(φ)), la cual da una vuelta de radio x(φ)
para cada φ. Los elementos de la base para la topolog´ıa de T inducida
por la usual de R3, sera´n las intersecciones de las esferas sin borde de
R3 con T (ver fig. 1.6).
Figura 1.5: Parametrizaciones interrumpidas para θ y para φ respectivamente.
Figura 1.6: Un abierto ba´sico del toro.
EJEMPLO 1.26
Sea M3×3 o M3(R) el conjunto de todas las matrices reales de taman˜o
3×3. Usando las 9 entradas (ai,j) en cada matriz como coordenadas para
un vector, podemos identificarM3×3 con R9. El subconjunto GL(3,R) ⊆
R9 de las matrices invertibles es un espacio con la topolog´ıa de subespacio
(ver ejemplo 2.7).
G
. R
UB
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NO
26 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.27
Aunque en R la topolog´ıa inducida por el orden usual coincide con la
topolog´ıa usual, esto no sucede para los subespacios.
El conjunto A = (5, 7) ∪ [8, 10) tiene el orden ≤ usual de los nu´meros
y la topolog´ıa T≤ inducida por este orden es diferente a la topolog´ıa
‘usual’ TA inducida del ordenusual de R. Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9)∩A
es un abierto en la ‘usual’, pero no lo es en la inducida por el orden
de A porque no corresponde a ningu´n ‘intervalo’ de A, pues no existe
8 ∈ (a, b) ⊆ [8, 9).
EJEMPLO 1.28
Sobre el cuadrado A = I × I = [0, 1] × [0, 1] podemos considerar y
comparar tres topolog´ıas:
La topolog´ıa TI×I inducida por la usual de R2.
La topolog´ıa T� inducida por su orden � lexicogra´fico.
La topolog´ıa T�I×I inducida del espacio (R
2,T�) donde T� es la
inducida por el orden � lexicogra´fico de R2.
(a) (b)
p
•
p
•
Figura 1.7: (a) un abierto en T�I×I , (b) un abierto en T�.
Estudie la contenencia entre estas tres topolog´ıas (ver fig. 1.7).
G
. R
UB
IA
NO
1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 27
Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: ¿cua´ndo los
abiertos de un subespacio son tambie´n abiertos para el espacio?
Proposicio´n 1.16. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Entonces TA ⊆ T
si y solo si A es abierto.
Demostracio´n. Sea M ∈ TA es decir M = V ∩ A donde V ∈ T. Como
A ∈ T tenemos V ∩A ∈ T.
Ejercicios 1.4
1. ¿Co´mo es la topolog´ıa de subespacio para S1 ⊆ R2?
2. En (R2, verticales), pa´g. 13 ej. 1, ¿co´mo son las topolog´ıas induci-
das sobre R× {0} y {0} × R?
3. En Ru ¿co´mo son las topolog´ıas heredadas para Q y para A =
{1/n | n ∈ N} ∪ {0}?
4. En (R2, lexicogra´fico) ¿co´mo es la topolog´ıa inducida sobre la recta
real y sobre I × I?
5. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Muestre que F ⊆ A es cerrado
en (A,TA) si y solo si F es la interseccio´n de A con un subconjunto
cerrado de X.
6. En X = {1, 2} × N con el lexicogra´fico, todo unitario es abierto
excepto uno; ¿de que´ punto se trata?
7. Y ⊆ (X,≤) se dice convexo si para todo a, b ∈ Y con a < b el
intervalo (a, b) ⊆ Y . Muestre que en este caso las topolog´ıas T�Y y
TY� coinciden (ver ejemplo 1.28).
G
. R
UB
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NO
2 Espacios me´tricos
En este cap´ıtulo vemos los espacios me´tricos como una clase par-
ticular de espacios topolo´gicos. Por supuesto que los espacios me´tri-
cos, en s´ı mismos, son extremadamente importantes y dentro de la
matema´tica merecen su propio espacio y por supuesto su propio tex-
to. La presentacio´n que aqu´ı hacemos es con la finalidad de prepararnos
—motivarnos, dar ejemplos— para las futuras definiciones en topolog´ıa
concernientes a las nociones de cercan´ıa y l´ımite, pero no pretendemos
hacer una exposicio´n tan siquiera incompleta.
Estos espacios —el concepto— fueron introducidos por el matema´tico
france´s Maurice Rene´ Fre´chet (1878–1973) en 1906 y constituyeron uno
de los pasos decisivos en la creacio´n de la Topolog´ıa general. Se trataba
de definir el concepto de ‘distancia’ de la manera ma´s general posible
para objetos matema´ticos de naturaleza no espec´ıfica —no necesaria-
mente puntos de Rn, curvas o funciones—. Con tan pocas condiciones
(ver siguiente definicio´n) Fre´chet pudo introducir de nuevo todas las
nociones topolo´gicas introducidas hasta ese entonces para Rn, esto es,
l´ımites, continuidad, vecindades para un punto, conjuntos abiertos, con-
juntos cerrados, puntos de acumulacio´n, compacidad, conexidad, etc.
2.1. Me´trica
Definicio´n 2.1. Una me´trica d para un conjunto X es una funcio´n
d : X × X −→ R≥0 = [0,∞) —toma valores en los nu´meros reales
positivos— que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z ∈ X:
1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y,
2. d(x, y) = d(y, x),
28
G
. R
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NO
2.1 Me´trica 29
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
El nu´mero d(x, y) se llama la distancia entre x y y. El par (X, d) se llama
un espacio me´trico.
La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos re-
cuerda el hecho de que la distancia ma´s corta entre dos puntos es la
que se toma directamente entre ellos —claro que el sentido del te´rmino
distancia es algo que nosotros hemos definido por medio de d, a nuestro
antojo—.
Una consecuencia inmediata de 3 es
|d(x, y)− d(z, y)| ≤ d(x, z) (2.1)
puesto que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z)
e, intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y)− d(x, y) ≤
d(z, x), con lo cual
−d(x, z) ≤ d(x, y)− d(z, y) ≤ d(x, z). (2.2)
Dados (X, d), x ∈ X y � > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < �
lo llamamos la bola abierta B�(x). (Ver definicio´n 2.8).
EJEMPLO 2.1
El conjunto R de los nu´meros reales, con la funcio´n d(x, y) = |x− y| es
un espacio me´trico. Este ejemplo incluye su curso de ca´lculo I en este
texto.
La desigualdad triangular es en este caso |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|.
Al reemplazar a = x − z, b = z − y tenemos la cla´sica desigualdad
|a+ b| ≤ |a|+ |b|.
EJEMPLO 2.2
Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimos
d(x, y) como la longitud del camino ma´s corto entre todas las rutas que
comunican a x con y, tenemos que d es una me´trica.
G
. R
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NO
30 Espacios me´tricos
EJEMPLO 2.3
Me´trica discreta. Si X es un conjunto cualquiera, la me´trica discreta
se define como: para x, y ∈ X
d(x, y) :=
{
1 si x 6= y,
0 si x = y.
EJEMPLO 2.4
Dados x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) dos puntos en Rn defin-
imos
d2(x,y) = |x−y| = ((x1−y1)2 +(x2−y2)2 + · · ·+(xn−yn)2)1/2. (2.3)
Esta me´trica se llama distancia euclidiana —la manera de medir usu-
al—. Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigual-
dades de:
Minkowski,(
n∑
i=1
(xi + yi)2
) 1
2
≤
(
n∑
i=1
xi
2
) 1
2
+
(
n∑
i=1
yi
2
) 1
2
(2.4)
Bunjakovski-Cauchy-Schwartz,
n∑
i=1
|xiyi| ≤
(
n∑
i=1
xi
2
) 1
2
(
n∑
i=1
yi
2
) 1
2
(2.5)
Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad de
Minkowski:
d(x,y) + d(y, z) = |x− y|+ |y − z|
≥ |(x− y) + (y − z)| = |x− z|
= d(x, z).
Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una me´trica dp en Rn
para cada nu´mero real p ≥ 1 —no necesariamente p = 2, i. e., tenemos
una coleccio´n infinita de me´tricas— (ver fig. 2.4).
G
. R
UB
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NO
2.1 Me´trica 31
dp(x,y) :=
(
n∑
i=1
|xi − yi|p
) 1
p
, p ≥ 1, (x,y ∈ Rn).
El espacio me´trico resultante es notado por algunos autores como lnp ,
de suerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir en
Rn, notamos ln2 .
EJEMPLO 2.5
El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas. Sea l∞ el conjunto
de todas las sucesiones acotadas de nu´meros reales, i. e., las sucesiones
x = (x1, x2, ...) = (xn) tales que supn |xn| <∞. Si x = (xn), y = (yn) ∈
l∞, definimos la me´trica
d∞(x,y) = sup
n
|xn − yn|.
Verifiquemos la desigualdad triangular. Si z = (zn) ∈ l∞, entonces
|xn − yn| ≤ |xn − zn|+ |zn − yn|
≤ sup
n
|xn − zn|+ sup
n
|zn − yn|
= d∞(x,y) + d∞(y, z).
Por tanto,
d∞(x,y) = sup
n
|xn − yn| ≤ d∞(x, z) + d∞(z,y).
EJEMPLO 2.6
Sea C([0, 1],R) el conjunto de todas las funciones continuas de [0, 1] en
R, y definamos la me´trica d2 como
d2(f, g) =
(∫ 1
0
(f(x)− g(x))2dx
) 1
2
.
Si tomamos el conjunto de todas las funciones, no necesariamente con-
tinuas, la fo´rmula anterior no define una me´trica ¿por que´?. K
G
. R
UB
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NO
32 Espacios me´tricos
EJEMPLO 2.7
Grupo lineal general GLn o GL(n,R). Denotemos por Mn(R) el con-
junto de las matrices de taman˜o n × n con entradas en R (ver ejemplo
1.26).
Si cada matriz A = (aij) se identifica con el punto
(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann) ∈ Rn2
entonces GL(n,R) queda identificado con Rn2 y por tanto lo podemos
ver como un espacio me´trico.
Una matriz A es invertible (multiplicacio´n) si existe una matriz B
tal que AB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de manera
equivalente Det(A) 6= 0 (determinante distinto de cero).
En Mn(R) se distingue el subconjunto GL(n,R) o GLn(R) de las
matricesinvertibles. Por su sigla lo llamamos grupo lineal general.
Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas de
At son las columnas de A, esto es, (At)ij = Aji. Cada matriz define una
funcio´n A : Rn → Rn como A(x) = Ax.
Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A−1 = At, i.
e., AAt = I.
EJEMPLO 2.8
On o O(n,R). El subconjunto On ⊆ GLn de las matrices ortogonales,
se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones lineales
de Rn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalente
a las isometr´ıas de Rn que fijan el origen.
Si A ∈ On, entonces det(A) ∈ {1,−1} puesto que
det(A)2 = det(A)det(At) = det(AAt) = det(I) = 1.
EJEMPLO 2.9
El subconjunto SOn ⊆ On de las matrices A ∈ On con det(A) = 1
se llama grupo ortogonal especial y corresponde a las matrices que
tienen determinante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Este
subconjunto coincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen.
G
. R
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2.1 Me´trica 33
Para el caso 2–dimensional n = 2 tenemos SO2. Dado un a´ngulo θ
definimos las matrices
Rθ =
(
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
)
Sθ =
(
cos θ sen θ
sen θ −cos θ
)
.
Estas matrices son ortogonales y det(Rθ) = 1, det(Sθ) = −1. Por
tanto Rθ ∈ SO2 y Sθ ∈ O2 − SO2. Pero mucho ma´s, cualquier matriz
A ∈ SO2 es de la forma Rθ para algu´n θ y cualquier matriz A ∈ O2−SO2
es de la forma Sθ para algu´n θ.
Rθ representa una rotacio´n de medida θ en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Sθ representa una reflexio´n por la l´ınea que pasa por el origen en
a´ngulo θ/2 con respecto al eje x.
Una isometr´ıa de Rn es una funcio´n f : Rn → Rn de la forma
f(x) = Ax+ a para alguna matriz ortogonal A ∈ On y algu´n vector a ∈
Rn. Denotamos por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indica
su nombre, una isometr´ıa f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) =
d(x, y) para todo x, y ∈ Rn. De manera rec´ıproca, para cualquier funcio´n
f : Rn → Rn que preserva distancias existen A ∈ On y a ∈ Rn tal que
f(x) = Ax+ a para todo x ∈ Rn.
Ejercicios 2.1
1. Dados (X, d),(Y,m) dos espacios me´tricos muestre que para
x = (x1, y1), y = (x2, y2) con x, y ∈ X × Y las siguientes fun-
ciones definen me´tricas sobre X × Y :
a)
d2(x, y) := (d(x1, x2)2 +m(y1, y2)2)
1
2 . (2.6)
Sugerencia: para la desigualdad triangular apo´yese en la sigu-
iente desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son nu´meros reales no neg-
ativos con a ≤ b + c, x ≤ y + z, entonces (a2 + x2)1/2 ≤
(b2 + y2)1/2 + (c2 + z2)1/2.
b)
d∞(x, y) := ma´x {d(x1, x2),m(y1, y2)}. (2.7)
G
. R
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34 Espacios me´tricos
c)
d(x, y) := d(x1, x2) +m(y1, y2). (2.8)
2. Generalice las me´tricas del ejemplo anterior para un producto fini-
to de espacios me´tricos.
3. La me´trica del mensajero. En el espacio euclidiano R2, defini-
mos la me´trica m del mensajero como m(p, q) := d2(0, p)+d2(0, q)
donde 0 = (0, 0), p, q ∈ R2. Si p = q definimos m(p, q) = 0.
El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nueva-
mente a repartir en q (figura 2.1). ¿Co´mo es B1(p), i.e., que´ puntos
pertenecen a esta bola?
p
q
•
•
•
Figura 2.1: La me´trica del mensajero.
4. Sea X un conjunto no vac´ıo. En XN definimos d, la me´trica
primeriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x1, x2, . . .),
y = (y1, y2, . . .) en X,
d(x,y) := 1/k, si xn = yn para todo n < k y xk 6= yk.
Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos suce-
siones difieren. Si xn = yn para todo n ∈ N, definimos d(x,y) = 0.
Muestre que (XN, d) es un espacio me´trico.
En el caso en que X = N obtenemos la coleccio´n de todas las sucesiones
de nu´meros naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y,
como curiosidad, este espacio no es ma´s que otra manera de describir
al conjunto de los nu´meros irracionales v´ıa ‘fracciones continuas’.
5. De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto {0, 1}N de todas las
cuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto {0, 1} es un
G
. R
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2.1 Me´trica 35
espacio me´trico. La distancia esta´ dada en te´rminos de la longitud
k del primer prefijo que comparten.
Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto {0, 1}N la
distancia d(x,y) :=
1
2k
.
Veamos la desigualdad triangular para esta nueva me´trica. Sean
a, b, c sucesiones y mostremos que
d(a, b) ≤ max{d(a, c), d(c, b)}.
Sea k la longitud del mayor prefijo comu´n entre a y c, y sea m la
longitud del mayor prefijo comu´n entre c y b. Si n = mı´n{k,m},
sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primeras
n letras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con las
primeras n letras de b. As´ı, las primeras n letras de a coinciden
con las primeras n letras de b. Luego, el prefijo comu´n entre a y
b tiene longitud al menos n.
Por tanto,
d(a, b) ≤ (1/2)n = (1/2)mı´n{k,m} (2.9)
= ma´x{(1/2)k, (1/2)m} (2.10)
= ma´x{d(a, c), d(c, b)}. (2.11)
Esta u´ltima ultra–desigualdad implica la desigualdad triangular ya
que
ma´x{d(a, c), d(c, b)} ≤ d(a, c) + d(c, b).
6. Un espacio ultrame´trico X es un espacio me´trico (X, d) en el
cual la me´trica d satisface la ultra-desigualdad triangular:
d(x, z) ≤ ma´x{d(x, y), d(y, z)}.
a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de es-
pacios ultrame´tricos.
b) En un espacio ultrame´trico cualquier punto de una bola (ver
definicio´n 2.8) puede ser su centro, i. e., si y ∈ Bε(x) entonces
Bε(x) = Bε(y). Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntas
son comparables por la inclusio´n.
c) Una bola cerrada es un conjunto abierto. K
d) Una bola abierta es un conjunto cerrado.
G
. R
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36 Espacios me´tricos
7. Sean (X, d) un espacio me´trico y A ⊆ X. Muestre que la funcio´n
d restringida a A × A define una me´trica dA para A. Al espacio
(A, dA) lo llamamos subespacio me´trico.
8. En X = ℘(N) defina d(A,B) = 0 si A = B, de lo contrario defina
d(A,B) =
1
k
donde k = mı´n{n : n ∈ (A ∪B)− (A ∩B)}.
Sugerencia: d(A,B) <
1
m
si y solo si A ∩ [1,m] = B ∩ [1,m].
2.2. Espacios unitarios o euclidianos
Recordemos que los espacios euclidianos Rn con la suma usual de
vectores y el producto por escalar no son ma´s que elementos cano´nicos
de espacios vectoriales normados de dimensio´n finita.
Definicio´n 2.2. Un espacio vectorial —lineal— real es un conjunto
V no vac´ıo —los elementos de V se llaman vectores— sobre el cual
esta´ definida una operacio´n binaria + llamada la adicio´n de vectores, y
una multiplicacio´n escalar —multiplicacio´n de un vector por un nu´mero
real— que satisfacen las siguientes propiedades: para x, y, z ∈ V y α, β ∈
R tenemos
1. x+ y = y + x.
2. x+ (y + z) = (x+ y) + z
3. Existe un u´nico 0 ∈ V —llamado el elemento cero— tal que x+0 =
x para todo x.
4. A cada x corresponde un u´nico elemento −x ∈ V —llamado el
inverso aditivo de x— tal que x+ (−x) = 0.
Hasta aqu´ı, de 1, 2, 3 y 4 tenemos una estructura de grupo.
5. α(βx) = (αβ)x.
6. (α+ β)x = αx+ βx.
7. α(x+ y) = αx+ αy.
G
. R
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2.2 Espacios unitarios o euclidianos 37
8. 1x = x.
Definicio´n 2.3. Sea X un espacio vectorial real. Una norma para X es
una funcio´n ‖ ‖ : X −→ [0,∞) que a cada vector x le asocia el nu´mero
real positivo ‖x‖ con las siguientes propiedades:
1. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0 —el vector mo´dulo—.
2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖, para todo x ∈ X, λ ∈ R—homogeneidad absoluta–
.
3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, para x, y ∈ X —subaditiva o triangular—.
Al par (X, ‖ ‖) lo llamamos espacio —vectorial— normado.
Como consecuencia de la subaditividad 3 tenemos∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣ ≤ ‖x− y‖,
al tomar
‖x‖ = ‖x− y + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖
‖y‖ = ‖y − x+ x‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x‖
con lo cual
−‖x− y‖ ≤ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖.
Teorema 2.4. Si (X, ‖ ‖) es un espacio vectorial normado, la fo´rmula
d(x, y) := ‖y − x‖
define una me´trica paraX.
Demostracio´n. 1, 2 y 3 de la definicio´n de me´trica son inmediatas. Para
la desigualdad triangular notemos que
d(x, y) + d(y, z) = ‖y − x‖+ ‖z − y‖
≥ ‖(y − x) + (z − y)‖ = ‖z − x‖ = d(x, z).
Decimos que la me´trica es inducida por una norma.
G
. R
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38 Espacios me´tricos
Cada espacio normado es de manera intr´ınseca un espacio me´trico.
Esta me´trica es invariante por traslaciones, i. e.,
d(x, y) = d(a+ a, y + a) para todo vector x, y, a.
Por geometr´ıa, los vectores de Rn tambie´n poseen un producto escalar
o punto; es decir, no son ma´s que ejemplos de espacios vectoriales con
producto interior.
Definicio´n 2.5. Un producto interior —o un producto escalar— para
un espacio vectorial real X es una funcio´n 〈 , 〉 : X × X −→ R que a
cada par (x, y) le asocia el nu´mero real 〈x, y〉 y satisface:
1. 〈x, x〉 ≥ 0, y 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0 —definido positivo—.
2. 〈x, y〉 = 〈y, x〉 —simetr´ıa—.
3. 〈λx+ µy, z〉 = λ〈x, z〉+ µ〈y, z〉, para x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R.
Al par (X, 〈 , 〉) lo llamamos espacio unitario o euclidiano o espacio
pre-Hilbert.
Teorema 2.6. Sea (X, 〈 , 〉) un espacio unitario. La fo´rmula
‖x‖ :=
√
〈x, x〉
define una norma para X.
Demostracio´n. Para la demostracio´n basta verificar las siguientes dos
desigualdades cla´sicas (Bunjakovski-Cauchy-Schwartz)
|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉, (2.12)
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖. (2.13)
Decimos en este caso que la norma es inducida por el producto interior.
EJEMPLO 2.10
En Rn veamos las siguientes normas y sus respectivas me´tricas inducidas:
G
. R
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NO
2.2 Espacios unitarios o euclidianos 39
1. La me´trica d1 conocida como me´trica del taxista y definida por
d1(x,y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ · · ·+ |xn − yn|;
la norma en este caso es
‖x‖1 = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|.
2. La me´trica euclidiana d2 inducida por la norma
‖x‖2 = (x21 + x22 + · · ·x2n)1/2,
la cual proviene del producto interior
〈x,y〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn,
con lo cual
d2(x,y) = ((x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2)1/2.
3. Los sub´ındices 1, 2 de las anteriores me´tricas d1, d2 no son en man-
era alguna fortuitos, son casos particulares de la siguiente defini-
cio´n ma´s general. Para cada nu´mero real p ≥ 1 definimos
‖x‖p := (|x1|p + · · ·+ |xn|p)1/p.
Esta norma nos induce la me´trica dp definida por (ver definicio´n
de la pa´g. 31)
dp(x,y) :=
(
n∑
i=1
|xi − yi|p
) 1
p
, (x,y ∈ Rn).
4. La me´trica d∞ del sup definida como —¿por que´ el s´ımbolo ∞?—
d∞(x,y) = ma´x{|x1 − y1|, |x2 − y2|, . . . , |xn − yn|}
la cual es a su vez inducida por la norma
‖x‖∞ := ma´x{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}.
G
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NO
40 Espacios me´tricos
EJEMPLO 2.11
El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas (ejemplo 2.5) es un
espacio vectorial con la suma usual (xn)n + (yn)n = (xn + yn)n y multi-
plicacio´n por escalar α(xn)n = (αxn)n. Si para x ∈ l∞ definimos
‖x‖ = sup
n
|xn|
entonces la me´trica d∞ es inducida por esta norma.
El siguiente espacio me´trico es un cla´sico de la topolog´ıa y del ana´lisis
funcional; por esto, lo discutimos de manera amplia y reiterada.
EJEMPLO 2.12
El espacio de Hilbert H, tambie´n notado como l2:
Si en RN —el espacio vectorial formado por el conjunto de todas las
sucesiones en R con las operaciones usuales de suma de sucesiones y
multiplicacio´n por escalar— quisie´ramos definir una me´trica modelando
la me´trica euclidiana para el caso finito Rn, tendr´ıamos que dadas dos
sucesiones x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .), la suma infinita( ∞∑
i=1
(xi − yi)2
) 1
2
(2.14)
debe ser un nu´mero real y, por tanto, debemos restringirnos a un sub-
conjunto H de RN.
El espacio de Hilbert1 H esta´ formado por el conjunto de todas
las sucesiones x = (xn) de nu´meros reales tales que
∑∞
n=1 x
2
n < ∞.
H provisto de la adicio´n y del producto escalar para sucesiones es un
espacio vectorial real de dimensio´n infinita —subespacio de RN—.
1El nombre dado a estos espacios es en honor al matema´tico alema´n David Hilbert
(1862, Ko¨nigsbergl-1943, Go¨ttingen, Alemania), quien los utilizo´ en su estudio de
las ecuaciones integrales. Hilbert invito´ a Einstein a Go¨ttingen para que impartiera
una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su
teor´ıa de la gravedad en desarrollo. El intercambio de ideas llevo´ a la forma final de
las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Aunque Einstein y Hilbert no
llegaron nunca a una disputa pu´blica sobre prioridad, ha habido discusio´n sobre a
quie´n corresponde el me´rito del descubrimiento de las ecuaciones de campo.
G
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2.2 Espacios unitarios o euclidianos 41
La funcio´n 〈 , 〉 : H×H −→ R definida para x = (xn),y = (yn) ∈ H
como
(x,y) 7→ 〈x,y〉 =
∞∑
k=1
xkyk (2.15)
es sime´trica, bilineal y definida positivamente, luego es un producto inte-
rior sobreH. Para verificar la buena definicio´n, esto es, que efectivamente
la serie correspondiente a 〈x, y〉 es un nu´mero, basta tomar l´ımites en
la desigualdad (2.4) para los espacios Rn y obtenemos la siguiente de-
sigualdad, la cual asegura que la serie converge absolutamente
〈x,y〉 ≤
∞∑
k=1
|xk||yk| ≤
( ∞∑
k=1
x2k
)1/2( ∞∑
k=1
y2k
)1/2
. (2.16)
Por tanto, el par (H, 〈 , 〉) es un espacio euclidiano de dimensio´n infinita
—sera´ de Hilbert cuando demostremos que es completo—.
De otra parte, tenemos cano´nicamente asociada a este espacio una
me´trica d inducida por la norma asociada a este producto interior
d(x,y) = ‖x− y‖ =
( ∞∑
k=1
(xk − yk)2
)1/2
(2.17)
Hablamos de el espacio de Hilbert —un espacio euclidiano, completo,
separable y de dimensio´n infinita— en honor a David Hilbert; la uni-
cidad por cuanto este espacio es u´nico salvo isomorfismo. Este u´ltimo
hecho no es trivial, pues aunque todo espacio euclidiano n-dimensional
siempre es isomorfo a Rn, no es verdad que todo par de espacios eu-
clidianos infinito-dimensionales lo sea.
Por ejemplo, el espacio (C2([0, 1],R),m) con m definida como
m(f, g) :=
(∫ 1
0
[f(t)− g(t)]2dt
) 1
2
no es isomorfo a l2 pues el primero no es completo mientras que el
segundo s´ı lo es.
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42 Espacios me´tricos
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f − g
f + g
Figura 2.2: La ley del paralelogramo.
2.2.1. Caracterizacio´n de los espacios euclidianos
Dado V un espacio vectorial —lineal— real y normado, miremos bajo
que´ circunstancias V es euclidiano —posee un producto escalar—. En
otras palabras, buscamos condiciones adicionales sobre la norma de V
que nos garanticen que dicha norma es inducida por cierto producto
escalar definido en V .
Teorema 2.7. Una condicio´n necesaria y suficiente para que un espacio
lineal normado V sea euclidiano es que
‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 2 (‖f‖2 + ‖g‖2) (2.18)
para cada f, g ∈ V .
Demostracio´n. Si pensamos en f + g y f − g como las diagonales del
paralelogramo en V con lados f y g la igualdad (2.18) puede ser inter-
pretada como el ana´logo de la familiar propiedad del paralelogramo en el
plano: ‘la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo
es igual a la suma de los cuadrados de sus lados’.
La necesidad de (2.18) es clara, ya que si V es euclidiano entonces
‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 〈f + g, f + g〉+ 〈f − g, f − g〉
= 〈f, f〉+ 2〈f, g〉+ 〈g, g〉+ 〈f, f〉 − 2〈f, g〉+ 〈g, g〉
= 2 (‖f‖2 + ‖g‖2). (2.19)
Para probar que (2.18) es suficiente, definamos
〈f, g〉 = 1
4
(‖f + g‖2 − ‖f − g‖2) (2.20)
G
. R
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2.2 Espacios unitarios o euclidianos 43
y mostremos que si (2.18) se tiene, entonces (2.20) posee las propiedades
de un producto escalar —la igualdad en (2.20) se tiene en todo espacio
con producto interior y expresa el producto en te´rminos de la norma—.
Por (2.20) tenemos
〈f, f〉 = 1
4
(‖2f‖2 + ‖f − f‖2) = ‖f‖2 (2.21)
lo cual muestra que este producto escalar efectivamente genera la norma.
De (2.20) y (2.21) tenemos que
1. 〈f, f〉 ≥ 0 donde 〈f, f〉 = 0 si y solo si f = 0,
2. 〈f, g〉 = 〈g, f〉.
La demostracio´n de las propiedades de linealidad 
〈f + g, h〉 = 〈f, h〉+ 〈g, h〉
〈αf, g〉 = α〈f, g〉
requiere de ma´s trabajo y se deja como ejercicio de consulta.
EJEMPLO 2.13
En C([0, 1],R) definimos la distancia d∞ entre dos funciones f, g por
d∞(f, g) = sup {|f(x)− g(x)| : x ∈ I}.
Lo que es equivalente a definir en C(I) la norma
‖f‖∞ = sup{|f(x)| : x ∈ I}.
d∞ es conocida como la distancia uniforme.
La desigualdad triangular
d∞(f, h) ≤ d∞(f, g) + d∞(g, h) (2.22)
se sigue del hecho que para cada x ∈ I se tiene
|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)| (2.23)
G
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44 Espacios me´tricos
y por tanto,
sup
x
|f(x)− h(x)| ≤ sup
x
|f(x)− g(x)|+ sup
x
|g(x)− h(x)| (2.24)
ya que sup(A+B) ≤ supA+ supB.
EJEMPLO 2.14
C([0, pi/2],R) con la norma ‖ ‖∞ no es euclidiano. Consideremos el par
de funciones f(t) = cos(t) y g(t) = sen(t). Entonces
‖f‖∞ = ‖g‖∞ = 1,
‖f + g‖∞ = max0≤t≤pi/2 : cos(t) + sen(t) :=
√
2,
‖f − g‖∞ = max0≤t≤pi/2 : cos(t)− sen(t) :=
√
1,
con lo cual
‖f + g‖2∞ + ‖f − g‖2∞ 6= 2(‖f‖2∞ + ‖g‖2∞).
Por lo tanto, la norma no puede ser generada por ningu´n producto es-
calar. Lo mismo es cierto para el espacio (C[a, b],R) para cada a < b.
EJEMPLO 2.15
De manera ma´s general: sean (Y, d) un espacio me´trico con una me´trica
acotada d y J un conjunto cualquiera no vac´ıo. Sobre el conjunto Y J =
Hom(X,Y ) =
∏
j∈J Y de todas las funciones de J en Y definimos la
me´trica uniforme d∞(f, g) = sup{d(f(j), g(j)) : j ∈ J}.
Ejercicios 2.2
1. Un segmento de recta ab en R2 puede ser descrito como
{x : d2(a, x) + d2(x, b) = d2(a, b)}.
¿Co´mo luce esta definicio´n, i. e. este conjunto, si la me´trica involu-
crada es d1? Haga la misma reflexio´n con la definicio´n de circun-
ferencia, elipse, para´bola, etc.
2. Muestre que una me´trica d en un espacio vectorial real X proviene
de una norma si y solo si es compatible con la estructura lineal del
espacio, esto es, si se satisface:
G
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UB
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NO
2.3 Topolog´ıa para una me´trica 45
a) d(x + a, y + a) = d(x, y), para todo a, x, y ∈ X (invarianza
por traslacio´n).
b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) para λ ∈ R, x, y ∈ X (homogeneidad).
Sugerencia: Defina ‖x‖ = d(x, 0). Por supuesto no toda me´trica
en un espacio vectorial proviene de una norma; ¿por que´?
Por lo anterior, dado un espacio vectorial, entre las normas ar-
bitrarias y los espacios me´tricos homoge´neos e invariantes por
traslacio´n, existe una correspondencia biun´ıvoca natural.
3. Rnp o lnp no es euclidiano si p 6= 2 —la norma no puede ser generada
por un producto escalar—.
Sugerencia: considere el par de vectores u = (1, 1, 0, . . . , 0) y v =
(1,−1, 0, . . . , 0).
4. El siguiente ejercicio generaliza los ejemplos 2.5 y 2.13. Sea X
conjunto. La coleccio´n
E = {f | f : X −→ R, acotada}
es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de
funciones y multiplicacio´n por escalar. Para cada f ∈ E definimos
‖f‖ = sup
x∈X
|f(x)|. (2.25)
Muestre que en efecto se trata de una norma y de´ una genera-
lizacio´n.
5. Hilbert generalizado. Para cada p ≥ 1 definimos el conjunto lp de
todas las sucesiones de nu´meros reales, x = (x1, x2, ...) = (xn)n
tales que la serie
∑∞
n=1 |xn|p < ∞. Si x,y ∈ lp, muestre que
x− y ∈ lp y que la funcio´n dp es una me´trica en lp, donde
dp(x,y) =
( ∞∑
n=1
|xn − yn|p
) 1
p
.
2.3. Topolog´ıa para una me´trica
Dado un espacio me´trico (X, d), existen unos subconjuntos relevantes
de e´l, capaces de describir a los vecinos de un punto controlando la
G
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46 Espacios me´tricos
distancia —grado de cercan´ıa— y que adema´s sera´n los encargados de
definirnos la topolog´ıa inherente a la me´trica.
Definicio´n 2.8. Sean x ∈ (X, d) y ε > 0 un nu´mero real. Los conjuntos
Bε(x) = {y : d(x, y) < ε}, (2.26)
Bε(x) = {y : d(x, y) ≤ ε}, (2.27)
Sε(x) = {y : d(x, y) = ε} (2.28)
son respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera de
centro en x y de radio ε en el espacio (X, d).
• • •
Figura 2.3: Bola abierta, bola cerrada y esfera en R2.
Figura 2.4: B1((0, 0)) para p = 1, 2, 7 en R3p.
EJEMPLO 2.16
En R32 una bola tiene efectivamente la forma de una ‘bola usual’; pero
esto esta´ bien lejos de suceder cuando utilizamos en R2 otras me´tricas
diferentes a la usual, como en R31 y R37 (fig. 2.4) donde una bola puede
tener otras formas, pero al fin bolas.
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2.3 Topolog´ıa para una me´trica 47
EJEMPLO 2.17
En el espacio (C([0, 1]), d∞) (ejemplo 2.13) las bolas abiertas toman
una forma muy especial (fig. 2.5), son franjas abiertas llenas de todos
los segmentos continuos imaginables —no se alza la mano del papel al
trazarlos— i. e., dados ε > 0 y f ∈ C(I,R), la bola Bε(f) consiste
de todas las funciones que permanecen estrictamente