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Sergio Yansen Núñez
1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.
Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:
cos2θ = 0 ⇒ θ =
π
4 , en el primer cuadrante.
A = ∫
−
π
4
π
4 1
2 r
2dθ =
1
2 ∫− π
4
π
4 r2dθ =
1
2 ∫− π
4
π
4 cos22θdθ
Por simetría:
A =
1
2 ⋅ 2 ∫
0
π
4 cos22θdθ = ∫
0
π
4 cos22θdθ = ∫
0
π
4 1 + cos4θ
2 dθ
A =
1
2 ∫0
π
4 1 + cos4θdθ =
π
8
Área en coordenadas polares
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2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
3 sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ =
1
2
⇒ θ =
π
6 , θ = π −
π
6 =
5π
6 (en cuadrantes I y II).
A =
1
2 ∫ π
6
5π
6 3sinθ2dθ − 12 ∫ π
6
5π
6 1 + sinθ2dθ
Por simetría, se tiene:
A =
1
2 ⋅ 2 ∫
π
6
π
2 9 sin2θdθ − 12 ⋅ 2 ∫
π
6
π
2 1 + sinθ2dθ
A = ∫
π
6
π
2 9 sin2θdθ − ∫
π
6
π
2 1 + sinθ2dθ
A = ∫
π
6
π
2 9 sin2θ − 1 + sinθ2 dθ
A = ∫
π
6
π
2 8 sin2θ − 1 − 2sinθ dθ
Usando la identidad: sin2θ =
1 − cos2θ
2 se tiene:
A = ∫
π
6
π
2 8 ⋅ 1 − cos2θ
2 − 1 − 2sinθ dθ
Área en coordenadas polares
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A = ∫
π
6
π
2 4 − 4cos2θ − 1 − 2sinθdθ
A = ∫
π
6
π
2 3 − 4cos2θ − 2sinθdθ = π
Área en coordenadas polares
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3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r2 = 9cos2θ.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0 ⇒ θ =
π
4 , en el primer cuadrante.
A = 4 ⋅ ∫
0
π
4 1
2 r
2dθ = 2 ∫
0
π
4 r2dθ = 2 ∫
0
π
4 9 cos2θdθ
A = 18 ∫
0
π
4 cos2θdθ = 9
Área en coordenadas polares
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4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ
y exterior a la circunferencia r = 3.
Solución:
Puntos de intersección:
31 + cosθ = 3 ⇒ cosθ = 0
⇒ θ =
π
2 ∨ θ =
3π
2 (menores que 2π)
Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante
A = 2 ⋅ ∫
0
π
2 1
2 31 + cosθ
2dθ − ∫
0
π
2 1
2 ⋅ 32dθ
A = ∫
0
π
2 91 + cosθ2dθ − ∫
0
π
2 9dθ
A = ∫
0
π
2 91 + cosθ2 − 9 dθ
A = 9 ∫
0
π
2 1 + cosθ2 − 1 dθ
A = 9 ∫
0
π
2 2cosθ + cos2θdθ
A = 9 ∫
0
π
2 2 cosθ + 1 + cos2θ2 dθ
A =
9
2 ∫0
π
2 4cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π4
Área en coordenadas polares
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5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.
Solución:
Por simetría:
A = 2 ⋅ ∫
0
π 1
2 r
2dθ = ∫
0
π
2 + cosθ2dθ
A = ∫
0
π
4 + 4cosθ + cos2θdθ
A = ∫
0
π 4 + 4cosθ + 1 + cos2θ2 dθ
A =
1
2 ∫0
π
8 + 8cosθ + 1 + cos2θdθ
A =
1
2 ∫0
π
9 + 8cosθ + cos2θdθ =
9π
2
Área en coordenadas polares
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6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4sin2θ.
Solución:
Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante
sin2θ = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ =
π
2 (considerando el pétalo del primer cuadrante)
A = 4 ⋅ ∫
0
π
2 1
2 r
2dθ = 2 ∫
0
π
2 r2dθ = 2 ∫
0
π
2 4sin2θ2dθ
A = 32 ∫
0
π
2 sin22θdθ = 32 ∫
0
π
2 1 − cos4θ
2 dθ
A = 16 ∫
0
π
2 1 − cos4θdθ = 8π
Área en coordenadas polares
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7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ
e interior a la circunferencia r = 3 sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
1 + cosθ = 3 sinθ
1 + cosθ2 = 3sin2θ
1 + 2cosθ + cos2θ = 31 − cos2θ
1 + 2cosθ + cos2θ − 31 − cos2θ = 0
−2 + 2cosθ + 4cos2θ = 0
2cos2θ + cosθ − 1 = 0
cosθ + 12cosθ − 1 = 0
cosθ + 1 = 0 ∨ 2cosθ − 1 = 0
θ =
π
3 ∨ θ = π , (valores menores que 2π)
A =
1
2 ∫ π
3
π 3 sinθ 2dθ − 12 ∫ π
3
π
1 + cosθ2dθ
A =
1
2 ∫ π
3
π 3sin2θ − 1 + cosθ2 dθ
A =
1
2 ∫ π
3
π 3sin2θ − cos2θ − 2cosθ − 1 dθ
Área en coordenadas polares
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A =
1
2 ∫ π
3
π
31 − cos2θ − cos2θ − 2cosθ − 1dθ
A =
1
2 ∫ π
3
π
2 − 4cos2θ − 2cosθdθ
A =
1
2 ∫ π
3
π 2 − 4 1 + cos2θ
2 − 2cosθ dθ
A =
1
2 ∫ π
3
π
−2cos2θ − 2cosθdθ =
3 3
4
Área en coordenadas polares
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8. Calcule el área de la región interior a r = 3cosθ y exterior a r = 1 + cosθ.
Solución:
Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante
Puntos de intersección:
3cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ =
1
2
⇒ θ =
π
3 (valor en primer cuadrante)
A = 2 ⋅ 1
2 ∫0
π
3 3cosθ2dθ − 12 ∫0
π
3 1 + cosθ2dθ
A = ∫
0
π
3 9 cos2θ − 1 + cosθ2 dθ
A = ∫
0
π
3 8cos2θ − 1 − 2cosθdθ
A = ∫
0
π
3 8 1 + cos2θ
2 − 1 − 2cosθ dθ
A = ∫
0
π
3 3 + 4cos2θ − 2cosθdθ = π
Área en coordenadas polares
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9. Calcule el área de la región interior a r2 = 2cos2θ y exterior a r = 1.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante.
Puntos de intersección:
2cos2θ = 1 ⇒ cos2θ =
1
2 ⇒ θ =
π
6 , valor en primer cuadrante.
A = 4 ⋅ 1
2 ∫0
π
6 2 cos2θdθ − 12 ∫0
π
6 dθ = 2 ∫
0
π
6 2cos2θ − 1dθ = 3 −
π
3
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10. Considere la ecuación polar r = 4sin3θ. Calcule el área de un pétalo.
Solución:
A =
1
2 ∫0
π
3 4sin3θ2dθ =
1
2 ∫0
π
3 16 sin23θdθ
A = 8 ∫
0
π
3 sin23θdθ = 8 ∫
0
π
3 1 − cos6θ
2 dθ
A = 4 ∫
0
π
3 1 − cos6θdθ =
4π
3
Área en coordenadas polares
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11. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sinθ y r = cosθ.
Solución:
Puntos de intersección:
sinθ = cosθ ⇒ θ =
π
4 , valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte.
A = 2 ⋅ 12 ∫0
π
4 sin2θdθ = ∫
0
π
4 sin2θdθ
A = ∫
0
π
4 1 − cos2θ
2 dθ =
1
2 ∫0
π
4 1 − cos2θdθ =
π
8 −
1
4
Área en coordenadas polares
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12. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sin2θ y r = cos2θ.
Solución:
Puntos de intersección:
sin2θ = cos2θ ⇒ θ =
π
8 , menor valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área
de la región sombreada (ver la siguiente figura).
Área en coordenadas polares
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A = 16 ⋅ 12 ∫0
π
8 sin22θdθ = 8 ∫
0
π
8 sin22θdθ
A = 8 ∫
0
π
8 1 − cos4θ
2 dθ = 4 ∫
0
π
8 1 − cos4θdθ =
π
2 − 1
Área en coordenadas polares